INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD PROFESIONAL TICOMAN

INGENIERIA AERONAUTICA

SEMINARIO DE TITULACIÓN

“MODELADO, DISEÑO, CONTROL Y MANUFACTURA DE ELEMENTOS MECÁNICOS”

“DISEÑO, MANUFACTURA Y ANÁLISIS DE ELEMENTOS PARA UNA PRENSA DE USO LIGERO”

REPORTE FINAL DE INVESTIGACIÓN

PARA OBTENER EL TITULO DE INGENIERO EN AERONAUTICA

P R E S E N T A N:

MENDOZA PÉREZ ANSBERTO BRAULIO ORTIZ HERNÁNDEZ OSCAR

MEXICO D. F. AGOSTO 2005

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2 2

ÍNDICE

JUSTIFICACIÓN 1 OBJETIVO 1 INTRODUCCIÓN 2 1 CONSIDERACIONES PRELIMINARES 4 1.1 DISEÑO 4 1.1.1 ETAPAS DEL PROCESO DE DISEÑO 4 1.1.2 FACTORES DE DISEÑO 6 1.2 TEORÍA ESTRUCTURAL 7 1.2.1 ESFUERZOS DE FLEXIÓN 7 1.2.2 FÓRMULA DE LA FLEXIÓN 9 1.3 PANDEO DE COLUMNAS 11 1.3.1. INTRODUCCIÓN 11 1.3.2. NATURALEZA DEL PROBLEMA DE LA VIGA COLUMNA 12 1.3.3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA VIGAS COLUMNAS 14 1.3.4 ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO 16 1.3.5 CARGA DE PANDEO DE EULER PARA COLUMNAS CON EXTREMOS ARTICULADOS 17 1.3.6. PANDEO ELÁSTICO DE COLUMNAS CON DIFERENTES RESTRICCIONES EN SUS EXTREMOS 21 1.4 EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) 22 1.4.1 MÉTODO GENERAL 22 1.4.1.1 DEFINICIÓN DEL MÉTODO 22 1.4.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO 23 1.4.3 FUNCIONES DE FORMA 26 1.4.3.1 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE FORMA 26 1.4.3.2 CRITERIO DE LA PARCELA 26 1.4.3.3 TIPOS DE FUNCIONES DE FORMA 27 1.4.4 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 29 1.4.5 ESTIMACIÓN DE ERROR Y MALLADO ADAPTATIVO 31 1.4.5.1 ESTIMACIÓN DEL ERROR 32 1.4.6 PASOS A SEGUIR EN EL CÁLCULO MEF. FUNCIONAMIENTO DE UN PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS 33 1.5 INDUSTRIA METALMECANICA 34 1.5.1 INTRODUCCIÓN 34 1.5.2 PROCESOS DE MANUFACTURA 34 1.5.3 HERRAMIENTAS DE CORTE 35 1.5.4 MATERIALES PARA LAS HERRAMIENTAS DE CORTE 35

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2 MODELADO DE LOS ELEMENTOS MECANICOS 38 3 CONSIDERACIONES TEORICAS DE DISEÑO 47 3.1 SISTEMA DE UNIDADES Y CONVENCIÓN DE SIGNOS 47 3.2 GEOMETRÍA DE LA PRENSA 48 3.2.1 PIEZAS QUE SE ANALIZAN DEL CONJUNTO 48 3.3 SELECCIÓN DEL MATERIAL 49 3.3.1 CARACTERISTICAS DEL ALUMINIO 49 3.3.2 NORMAS PARA PRODUCTOS DE ALUMINIO 50 3.3.3 PROPIEDADES DEL ALUMINIO 6063-T5 51 3.4 FACTOR DE SEGURIDAD 53 3.5 CONSIDERACIONES DE DISEÑO 54 3.5.1 ANÁLISIS DE FUERZAS 54 3.5.2. ANÁLISIS DE REACCIONES 54 3.6 ANÁLISIS DE LAS PIEZAS 55 3.6.1. MANIVELA 55 3.6.2. TORNILLO SIN FIN 57 3.6.2.1 FUERZA QUE TRASMITE 57 3.6.2.2. PANDEO EN EL TORNILLO SIN FIN 60 3.6.2.3. ANÁLISIS POR DEFORMACIÓN A TENSIÓN Y COMPRESIÓN 62 3.6.2.4 ESFUERZO ESTÁTICO EN EL TORNILLO SIN FIN 64 3.6.2.4.I. TORSIÓN 64 3.6.2.4.II CARGA AXIAL 64 3.6.2.4.III. ESFUERZO DE EMPUJE EN LA CUERDA (COMPRESIÓN) Y SU DISTRIBUCIÓN ENTRE LOS HILOS EN CONTACTO 64 3.6.2.4.IV. CARGAS COLUMNARES EN TORNILLOS QUE TRANSMITEN POTENCIA Y DETALLES DE DISEÑO 65 3.6.3. MORDAZA MOVIL 65 3.6.4. TUERCAS Y PARTES CON ROSCA DEL TORNILLO SIN FIN 66 3.7 SELECCIÓN DE LA FUERZA DE TRABAJO PERMISIBLE 68 4 ANÁLISIS NUMÉRICO DE LOS ELEMENTOS MECÁNICOS 71 4.1 MODELO 71 4.1.1 ZONAS DE CONTACTO 71 4.1.2 MALLADO 72 4.2 MEDIO AMBIENTE 73 4.2.1. CARGAS ESTRUCTURALES 73 4.2.2. APOYOS ESTRUCTURALES 73 4.3 SOLUCIÓN 73 4.3.1. RESULTADOS ESTRUCTURALES 73 4.3.2. ESFUERZO EQUIVALENTE DE SEGURIDAD 77 4.3.3. ESFUERZO DE CORTE DE SEGURIDAD 77

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5 MANUFACTURA 79 5.1 LA SEGURIDAD EN EL TALLER DE MAQUINADO 79 5.1.1 SEGURIDAD EN EL TRABAJO 79 5.1.2 SEGURIDAD EN EL TALLER 79 5.1.3 CUIDADO PERSONAL 79 5.2 MANTENIMIENTO Y LIMPIEZA DEL LUGAR 80 5.3 PRACTICA SEGURAS DE TRABAJO 80 5.3.1 PREVENCION DE INCENDIOS 81 5.4 CONSIDERACIONES E INSTRUCCIONES DE SEGURIDAD GENERAL 82 5.5 CARACTERISTICAS DE LAS MAQUINAS UTILIZADAS PARA LA MANUFACTURA DE LAS PIEZAS 83 5.6 VELOCIDADES Y AVANCE PARA CORTE 85 5.6.1 VELOCIDADES DE CORTE 85 6 INSTRUMENTACIÓN Y ENSAYO 89 6.1 EXTENSOMETRÍA 89 6.2 EXTENSÓMETROS 89 6.2.1 TIPOS Y APLICACIONES 91 6.3 MATERIAL A EMPLEAR 92 6.4 ELECCIÓN DE LOS PUNTOS A ANALIZAR 93 6.5 PROCEDIMIENTO ÓPTIMO PARA EL PEGADO DE LOS MEDIDORES DE DEFORMACIÓN 95 6.6 ANÁLISIS DE LOS DATOS 100 CONCLUSIONES 102 BIBLIOGRAFÍA 103

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JUSTIFICACIÓN

El diseño, análisis y manufactura de cualquier elemento mecánico requiere de un gran estudio. En este reporte técnico se eligió la elaboración de una prensa para banco, denominada prensa de uso ligero debido a que esta construida en aluminio, para que la generación de los esfuerzos sea más restrictiva en cuanto a cargas aplicadas se refiere y su uso sea mucho más crítico. Todo esto con un fin meramente didáctico, puesto que lo que se pretende es hacer notar el hecho de que, incluso para una pieza de ingeniería simple como una prensa, su diseño, manufactura, análisis estructural y de campo presentan un gran número de consideraciones a tomar, y que de no hacerlo, puede llevar a que no sea una herramienta funcional, y esto tiene un valor enorme en nuestra formación como ingenieros. Puesto que nos ha enfrentado a un problema físico, el cual la sola solución estructural, nos pone en frente de un panorama tan rico en conocimiento, como es el análisis por medio de software que es lo más utilizado en estos momentos en la industria y el método de campo con medidores de deformación; utilizado desde antes de la segunda guerra mundial y vigente gracias a su gran fiabilidad. Desafortunadamente los análisis de campo han disminuido debido a la introducción del análisis numérico mediante software dejándolos de lado. Esto es inadmisible ya que, usarlos a la par uno corrobora al otro. Con la aplicación de todos estos conocimientos, podemos decir que nuestra formación como ingenieros se ve reforzada y actualizada para así tener las herramientas necesarias para enfrentar con éxito el campo laboral.

OBJETIVO

Determinar los esfuerzos presentes en una prensa de banco por medio de un software CAD (ANSYS) y comprobar los resultados por medio de análisis experimentales (EXTENSOMETRIA).

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INTRODUCCIÓN

En la década de los ochenta, en pleno proceso de desarrollo tecnológico intensivo, algunos centros de investigación dedicaron un importante número de publicaciones a la transformación que estaban sufriendo las Máquinas y Herramientas. Muchos de los informes sostenían que en el futuro, el progreso industrial y económico de los países se mediría en función del número de Máquina y Herramientas que estuvieran consumiendo de manera anual y por el grado de sofisticación de éstas. Actualmente podemos afirmar que no solo era válido, sino que hoy más que nunca está vigente, es comprobable y marcará la tendencia de la evolución manufacturera en las próximas décadas en la mayoría de los sectores productivos del país. Hoy en día el tiempo empleado desde el diseño de cualquier elemento mecánico hasta su manufactura es muy corto; para lo cual es necesario gran precisión. Para el DISEÑO se cuenta con potentes softwares para el análisis numérico de cualquier elemento mecánico. Para la MANUFACTURA, actualmente tenemos centros de maquinado con márgenes de error de diezmilésimos de centímetro. Para el análisis de campo tenemos a la extensometría y la fotoelasticidad, Debido a la reciente introducción del método de elementos finitos, esta técnica es menos utilizada. Estas técnicas no debería dejar de ser utilizada ya que obtenemos valores reales, por lo que generalmente se usa en la fase final del diseño de un producto. En el capitulo1 de este reporte estudiaremos todos los esfuerzos a los cuales la prensa estará sujeta y así comprender que comportamiento tendrá. En el capitulo 2 se creara el modelo geométrico de la prensa con el software MECHANICAL DESKTOP. En el capitulo 3 analizaremos teóricamente los componentes de la prensa y obtener los valores críticos a la cual estará sujeta. En el capitulo 4, con la ayuda de ANSYS WORKBENCH, los componentes se analizarán numéricamente. En el capitulo 5 mostraremos las maquinas –herramientas que se utilizaron para la manufactura de los elementos. En el ultimo capitulo indicaremos desde la forma adecuada de colocar los extensómetros hasta los valores obtenidos con el medidor de deformación y su comparación con los valores numéricos.

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CAPITULO I

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CONSIDERACIONES PREELIMINARES

1.1 DISEÑO Diseñar es una compleja, dinámica e intrincada tarea. Es la integración de requisitos técnicos, sociales y económicos, necesidades biológicas, con efectos psicológicos y materiales, forma, color, volumen y espacio, todo ello pensado e interrelacionado con el medio ambiente que rodea a la humanidad. Según Moholy-Nagy, el diseño es la organización de materiales y procesos de la forma más productiva, en un sentido económico, con un equilibrado balance de todos los elementos necesarios para cumplir una función. El proceso de diseño es una guía general de los pasos que pueden seguirse para dar al Ingeniero cierto grado de dirección para la solución de problemas. Los diseñadores emplean un gran número de combinaciones de pasos y procedimientos de diseño, pero no se puede decir que haya una combinación óptima. El seguir las reglas estrictas del diseño no asegura el éxito del proyecto y aún puede inhibir al diseñador hasta el punto de restringir su libre imaginación. A pesar de esto, se cree que el proceso de diseño es un medio efectivo para proporcionar resultados organizados y útiles. 1.1.1 ETAPAS DEL PROCESO DE DISEÑO Las etapas del proceso de diseño son:

• Identificación del problema • Ideas preliminares • Perfeccionamiento • Análisis • Decisión • Realización

Identificación del problema: Es importante en cualquier actividad constructiva dar una definición clara de los objetivos para así tener una meta hacia la cual dirigir todos los esfuerzos. La identificación de la necesidad de un diseño se puede basar en datos de varios tipos: estadísticas, entrevistas, datos históricos, observaciones personales, datos experimentales o proyecciones de conceptos actuales. Definir es establecer los límites; es delimitar el problema y el alcance de la solución que está buscándose. Es indicar lo que se quiere hacer y a dónde no se quiere llegar. Definir un problema es la parte más complicada en el proceso de diseño; una equivocación a esta altura representa un enorme error al final.

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Esto se puede lograr de la siguiente manera:

• Comprensión del problema: efectuar entrevistas, informes. • Recopilación de datos: realizar encuestas, efectuar mediciones. • Analizar los datos: comprobar hipótesis, establecer relaciones causa-efecto. • Formulación del problema: sintetizar de la mejor forma todo lo hallado.

Ideas preliminares: Una vez que se ha definido y establecido el problema en forma clara, es necesario recopilar ideas preliminares a partir de las cuales se pueden asimilar los conceptos del diseño. Esta es probablemente la parte más creativa en el proceso de diseño. Puesto que en la etapa de identificación del problema solamente se han establecido limitaciones generales, el diseñador puede dejar que su imaginación considere libremente cualquier idea que se le ocurra. Estas ideas no deben evaluarse en cuanto a factibilidad, puesto que se las trata con la esperanza de que una actitud positiva estimule otras ideas asociadas como una reacción en cadena. El medio más útil para el desarrollo de ideas preliminares es el dibujo a mano alzada. Perfeccionamiento del problema: La etapa de perfeccionamiento es el primer paso en la evaluación de las ideas preliminares y se concentra bastante en el análisis de las limitaciones. Todos los esquemas, bosquejos y notas se revisan, combinan y perfeccionan con el fin de obtener varias soluciones razonables al problema. Deben tenerse en cuenta las limitaciones y restricciones impuestas sobre el diseño final. Los bosquejos son más útiles cuando se dibujan a escala, pues a partir de ellos se pueden determinar tamaños relativos y tolerancias y, mediante la aplicación de geometría descriptiva y dibujos analíticos, se pueden encontrar longitudes, pesos, ángulos y formas. Estas características físicas deben determinarse en las etapas preliminares del diseño, puesto que pueden afectar al diseño final. Análisis: El análisis es la parte del proceso de diseño que mejor se comprende en el sentido general. El análisis implica el repaso y evaluación de un diseño, en cuanto se refiere a factores humanos, apariencia comercial, resistencia, operación, cantidades físicas y economía dirigidos a satisfacer requisitos del diseño. Gran parte del entrenamiento formal del ingeniero se concentra es estas áreas de estudio. A cada una de las soluciones generadas se le aplica diversos tamices para confirmar si cumplen las restricciones impuestas a la solución, así como otros criterios de solución. Aquellas que no pasan estos controles son rechazadas y solamente se dejan las que de alguna manera podrían llegar a ser soluciones viables al problema planteado. Decisión: La decisión es la etapa del proceso de diseño en la cual el proyecto debe aceptarse o rechazarse, en todo o en parte. Es posible desarrollar,

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perfeccionar y analizar varias ideas y cada una puede ofrecer ventajas sobre las otras, pero ningún proyecto es ampliamente superior a los demás. La decisión acerca de cual diseño será el óptimo para una necesidad específica debe determinarse mediante experiencia técnica e información real. Siempre existe el riesgo de error en cualquier decisión, pero un diseño bien elaborado estudia el problema a tal profundidad que minimiza la posibilidad de pasar por alto una consideración importante, como ocurriría en una solución improvisada. Realización: El último paso del diseñador consiste en preparar y supervisar los planos y especificaciones finales con los cuales se va a construir el diseño. En algunos casos, el diseñador también supervisa e inspecciona la realización de su diseño. Al presentar su diseño para realización, debe tener en cuenta los detalles de fabricación, métodos de ensamblaje, materiales utilizados y otras especificaciones. Durante esta etapa, el diseñador puede hacer modificaciones de poca importancia que mejoren el diseño; sin embargo, estos cambios deben ser insignificantes, a menos que aparezca un concepto enteramente nuevo. En este caso, el proceso de diseño debe retornar a sus etapas iniciales para que el nuevo concepto sea desarrollado, aprobado y presentado. 1.1.2 FACTORES DE DISEÑO En algunas ocasiones, la resistencia de un elemento es muy importante para determinar la configuración geométrica y las dimensiones que tendrá; en tal caso, se dice que la resistencia es un factor de gran importante en el diseño.

La expresión factor de diseño significa alguna característica o consideración que influye en el diseño de algún elemento o, quizá, en todo el sistema. Generalmente se tiene que tomar en cuenta varias de esos factores en un caso de diseño determinado. A veces, alguno de esos factores será crítico y, si se satisfacen sus condiciones, ya no será necesario considerar los demás. Por citar algunos ejemplos, suelen tenerse en cuenta los siguientes factores:

1. confiabilidad 2. condiciones térmicas 3. corrosión 4. desgaste 5. fricción o rozamiento 6. costo 7. peso 8. forma 9. tamaño 10. flexibilidad 11. rigidez 12. mantenimiento

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Algunos de estos factores se refieren directamente a las dimensiones, al material, al procesamiento o procesos de fabricación o bien, a la unión o ensamble de los elementos del sistema. Otros se relacionan con la configuración total del sistema. 1.2 TEORÍA ESTRUCTURAL 1.2.1 ESFUERZOS DE FLEXIÓN Para describir la acción de los esfuerzos de flexión, considérese una viga sujeta a flexión pura (viga en la cual no se presentan esfuerzos cortantes), como se muestra en la Fig.1.2.1. Supóngase que la viga está formada de un gran número de fibras longitudinales.

Cuando se flexiona la viga, las fibras de la porción superior de la viga se comprimen mientras que las de la porción inferior se alargan. Se ve intuitivamente que debe haber alguna superficie donde se verifica la transición entre compresión y tensión.

Esta superficie (en la cual el esfuerzo es cero) se llama la superficie neutra, o eje neutro, y está localizada en el centro de gravedad de la sección transversal. La Fig. 1.2.1 (b) es un diagrama de cuerpo libre de la porción izquierda de la viga y muestra la distribución de las fuerzas en las fibras de la viga.

Fig. 1.2.1

Las fuerzas resultantes de compresión y de tensión (C y T) son iguales en magnitud y forman al momento resistente interno de la viga. La magnitud de los esfuerzos máximos de tensión y de compresión en la viga, asociados a este momento pueden determinarse a partir de la fórmula de la flexión, que se deduce en la sección siguiente: En la deducción y uso de la fórmula de la flexión, se hacen ciertas suposiciones con respecto a la acción de la viga. En un trabajo de diseño normal estas suposiciones se aproximan a la acción real de la viga.

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Las suposiciones que se hacen al usar la fórmula de la flexión son: 1. La viga inicialmente es recta, tiene una sección transversal constante y

se conserva así esencialmente cuando está cargada. Las vigas realmente tienen ligeramente flexiones y torceduras que pueden ocurrir durante su fabricación, y cuyo efecto se desprecia.

2. Las cargas se aplican en .tal forma que no se presenta torsión. Si las cargas se aplican excéntricamente, tiene lugar una combinación de flexión y torsión.

3. Todos los esfuerzos en la viga están por debajo del límite de proporcionalidad, y por consiguiente, se aplica la Ley de Hooke.

4. El módulo de elasticidad de las fibras a compresión es igual al de las fibras a tensión.

5. La parte de la viga que está comprimida, está restringida para moverse lateralmente.

6. La línea de acción de las fuerzas sobre la viga se aplica paralelamente a un eje principal y pasando por el centro de cortante.

7. Las secciones planas antes de la flexión se conservan planas después de la flexión. Es decir, un plano que pase a través de una sección transversal antes de la flexión no se alabeará después de que se cargue la viga. Esta suposición explica la distribución de esfuerzos en forma lineal (OA y 0B) mostrada en la Fig. 1 (b).

Estas suposiciones y las características físicas asociadas con la flexión pueden observarse en la Fig. 1.2.2. La Fig. 1.2.2 (a) y (b) muestra la viga y dos secciones planas (a-b y c-d) antes y después de la flexión.

Fig. 1.2.2

Como las secciones planas antes de la flexión se conservan planas después de la flexión (suposición 7), las fibras de la viga deben cambiar de longitud. La

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posición original de las fibras que se muestran en la Fig. 1.2.2 (c) (con líneas interrumpidas) se ha movido después de la flexión, a la posición mostrada por las líneas continuas. Las fibras superiores se han acortado, las fibras inferiores se han alargado, y las fibras localizadas en el eje neutro no han cambiado su longitud. La Fig. 1.2.2 (d) es un diagrama de la distribución de la deformación en la sección transversal. Obsérvese especialmente que la deformación varía linealmente desde cero en el eje neutro hasta un valor máximo de compresión en las fibras más superiores y hasta un valor máximo de tensión en las fibras más inferiores.

Como, por la Ley de Hooke, el esfuerzo es proporcional la deformación (suposición 3), la distribución de esfuerzos de la Fig. 1.2.2 (e) tiene la misma forma que la distribución de deformaciones, pero a una escala diferente. Por consiguiente, los esfuerzos en una viga varían también desde cero en el eje neutro hasta un máximo en las fibras extremas. 1.2.2 FÓRMULA DE LA FLEXIÓN

Primero establecemos la relación entre los esfuerzos en las fibras y el momento resistente interno, lo cual se puede hacer de la manera siguiente:

a) Se analiza una fibra localizada a una distancia cualquiera y a partir del. eje

neutro, y se determina la fuerza ejercida en esta fibra debida a su esfuerzo, y el momento de esta fuerza con respecto al eje neutro.

b) Se obtiene la suma de los momentos de todas las fibras, con respecto al eje neutro. El resultado será el momento resistente interno de la viga. La deducción tiene la forma siguiente: 1. Considérese una sola fibra de área dA localizada a una distancia y del

eje neutro (Fig. 1.2.3). Si el esfuerzo que actúa sobre esta fibra es σ’, el esfuerzo que actúa sobre la fibra extrema es σ, y la distancia desde el eje neutro a la fibra extrema es c, entonces, por los triángulos semejantes de la Fig. 1.2.3 (e), tenemos:

cyσσ

='

o cyσσ ='

2. Conociendo el esfuerzo sobre esta fibra y su área dA, se determina la

fuerza ejercida por esta fibra:

;AP

=σ dAcydAdP σσ == '

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Fig. 1.2.3

3. El momento de esta fuerza dP con respecto al eje neutro es:

,ydAcydPydM ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== σ dAy

cdM 2σ=

4. Sumando los momentos de cada una de las fibras de la viga se obtiene:

∫∫+

−

=c

c

M

dAyc

dM ,20

σ

∫+

−

=c

c

dAyc

M 2σ

El término es, por definición, el momento de inercia I de la sección

transversal. La fórmula de la flexión entonces se convierte en:

∫+

−

c

c

dAy2

Ic

M σ=

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ó

IMc

=σ

Donde:

σ = esfuerzo en las fibras extremas de la viga, en Ib/plg2, o en Pa. M = momento flexionante interno en la viga, en plg-lb, o en N - m. I = momento de inercia de la sección transversal de la viga, en plg4, o en m4. c = distancia desde el eje neutro de la viga hasta las fibras extremas, en plg, o en m.

Debe notarse que el eje neutro siempre coincide con el centroide de la sección transversal si la viga está sujeta a esfuerzos menores a los del punto de fluencia y no se presentan fuerzas axiales. 1.3 PANDEO DE COLUMNAS 1.3.1. INTRODUCCIÓN Al comienzo de este curso se estableció que la selección de elementos estructurales se basa en tres características: resistencia, rigidez y estabilidad. Los procedimientos de análisis de esfuerzos y deformaciones se estudiaron en detalle en los capítulos anteriores. En este capítulo se tratará la cuestión de la posible inestabilidad de sistemas estructurales. En tales problemas se deben hallar parámetros críticos adicionales que determinen si es posible una configuración o patrón de desplazamientos dado para un sistema particular. Este problema es diferente de cualquiera de los vistos antes. Como un ejemplo intuitivo sencillo considérese una barra de diámetro D sometida a una fuerza axial de compresión. Si tal barra actuando como “columna”, fuera de longitud D no surgiría ninguna cuestión acerca de la inestabilidad y este miembro corto podría soportar una fuerza considerable. Por otra parte, si una misma barra tuviera una longitud de varios diámetros, al ser sometida a una fuerza axial aún menor que la que puede soportar la pieza corta podría llegar a ser lateralmente inestable presentándose en ella pandeo lateral y podría fallar o sufrir colapso. Una regla delgada ordinaria, si se somete a una compresión axial, fallará de esta manera. La consideración de la sola resistencia del material no es suficiente para predecir el comportamiento del miembro. El mismo fenómeno se presenta en numerosas otras situaciones en que existen esfuerzos de compresión. Placas delgadas completamente capaces de resistir cargas en tracción, resultan muy ineficaces para transmitir compresión. Vigas angostas sin arrostramiento lateral, pueden doblarse lateralmente y romperse por la acción de una carga aplicada. Tanques de almacenamiento, así como silos metálicos, a menos que estén apropiadamente diseñados, pueden deformarse gravemente por la presión externa (viento) o interna (líquidos o

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granos) y asumir formas que difieren en forma notable de su configuración geométrica original. Un tubo de pared delgada puede arrugarse o plegarse como un papel de seda cuando se somete a una torsión. Estos son problemas de primordial importancia en el diseño en ingeniería civil. Además por lo general los fenómenos de pandeo o arrugamiento que se observan en miembros cargados ocurren más bien repentinamente. Por esta razón muchas de las fallas estructurales por pandeo son espectaculares y muy peligrosas. Se ponen de relieve las características esenciales del fenómeno de pandeo y algunos procedimientos básicos para su análisis. Este se llevará a cabo investigando primero el comportamiento de barras delgadas cargadas axialmente y sometidas simultáneamente a flexión. Tales miembros se llaman vigas columnas. Los problemas de vigas columnas, además de tener un significado propio permiten determinar las magnitudes de cargas axiales críticas a las que ocurre el pandeo. A continuación se tratará el pandeo de columnas ideales cargadas concéntricamente. Esto conduce al examen de los valores característicos (o autovalores) de las ecuaciones diferenciales apropiadas. Las autofunciones correspondientes dan las formas de pandeo de tales columnas. Se describirá el pandeo elástico y se establecerán límites de validez para el caso de comportamiento elasto-plástico y se presentará también alguna información acerca de columnas cargadas excéntricamente. Finalmente se hará una breve clasificación en base a ejemplos sencillos de problemas en estabilidad elástica a los fines de dar un panorama más completo del tema. 1.3.2. NATURALEZA DEL PROBLEMA DE LA VIGA COLUMNA El comportamiento de vigas columnas reales se puede entender mejor considerando primer un ejemplo idealizado, que se muestra en la Figura 1.a. Aquí, para simplificar, una barra perfectamente rígida de longitud L se mantiene inicialmente en posición vertical por medio de un resorte en A que tiene una rigidez a la torsión k. Luego una fuerza vertical P y una horizontal F se aplican en el extremo superior. A diferencia del procedimiento seguido en todos los problemas anteriores, se deben escribir ahora las ecuaciones de equilibrio para la condición deformada. Teniendo presente que kθ es el momento resistente que desarrolla el resorte en A se obtiene

0 cos 0AM PLsen FL kθ θ θ= +∑ − =

o sea cosk FLP

Lsenθ θ

θ−

= 1.3.1

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Fig. 1.3.1 Respuesta fuerza-desplazamiento de un sistema con un grado de libertad

El aspecto cualitativo de este resultado se muestra en la Figura 1.b y la curva correspondiente se ha marcado como la solución exacta. Es interesante observar que cuando θ→π, siempre que el resorte continúe funcionando, el sistema puede soportar una fuerza muy grande P. Para una fuerza aplicada verticalmente hacia arriba, indicada con un sentido contrario en la figura, el ángulo θ disminuirá cuando P aumente. En el análisis de problemas de los capítulos anteriores el término PLsenθ no había aparecido en lo absoluto. La solución expresada por la ecuación (1.3.1) es para rotaciones arbitrariamente grandes. En problemas complejos es muy difícil alcanzar soluciones de tal generalidad. Además en la mayoría de las aplicaciones no se pueden tolerar desplazamientos de gran magnitud. Por consiguiente de ordinario es posible limitar el estudio del comportamiento de sistemas al caso de desplazamientos pequeños y moderadamente grandes. En este problema lo anterior se puede realizar poniendo senθ≅ θ y cos θ=1. De esta forma la ecuación (1.3.1) se simplifica a

ó -

k FL FLPL k PL

θ θθ−

= = 1.3.2

Para valores pequeños de θ esta solución es completamente aceptable. En cambio a medida que θ aumenta, la discrepancia entre esta solución linealizada y la solución exacta llega a ser muy grande, Figura 1.3.1b. Para una combinación crítica de los parámetros k, P y L, el denominador (k−PL) en el último término de la ecuación (1.3.2) sería cero y presumiblemente daría lugar a una rotación θ infinita. Esto es completamente irreal y resulta de una formulación matemática impropia del problema. No obstante, tal solución proporciona una buena guía acerca del valor de la magnitud de la fuerza axial P a la que las deflexiones llegan a ser intolerablemente grandes. La asíntota correspondiente a esta solución, obtenida de la igualdad (k−PL)=0, define la fuerza PC como

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ckPL

= 1.3.3

Es significativo observar que en sistemas reales las grandes deformaciones asociadas a fuerzas del mismo orden de magnitud que PC por lo general causan tensiones tan grandes que hacen inservible el sistema. Por otra parte, el análisis no lineal de sistemas estructurales debido al cambio de configuración geométrica y al comportamiento inelástico de los materiales es muy complejo y requiere de herramientas computacionales que no siempre están al alcance del analista. Por consiguiente, en el análisis de pandeo de miembros a compresión desempeña el papel más importante la determinación de PC con una base simplificada. 1.3.3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA VIGAS COLUMNAS Para una más completa comprensión del problema de la viga columna resulta instructivo deducir varias relaciones diferenciales entre las variables involucradas. Con ese objetivo consideremos un elemento diferencial de viga columna como se indica en la Figura 3. Notar especialmente que el elemento se muestra en su posición deformada. Para vigas ordinarias (comportamiento lineal) cargadas transversalmente esto no es necesario. Por otro lado los desplazamientos que se tratan en este análisis son pequeños en relación con la luz de la viga columna, lo cual permite las siguientes simplificaciones

/ tan cos 1 y ds dxdv dx senθ θ θ θ= ≅ ≅ = ≅

Con esta base, las dos ecuaciones de equilibrio son

0 qdx-T+(T+dT)=0yF = ↑ +∑

0 - ( ) 02A

dxM M Pdv Tdx qdx M dM= + + + + +∑ = La primera de estas ecuaciones da

dT qdx

= − 1.3.4

que no cambia respecto a lo visto en el caso de plantear el equilibrio en la posición indeformada. La segunda, despreciando infinitesimales de orden superior, da

dM dvT Pdx dx

= − − 1.3.5

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Por lo tanto, para vigas columnas, la fuerza cortante T, además de depender de la derivada del momento M como en la vigas, depende ahora de la magnitud de la fuerza axial y de la pendiente de la curva elástica. El último término es la componente de P a lo largo de las secciones inclinadas que se muestran en la Fig. 2.

Fig.1.3. 2 Elemento de una viga columna

En este desarrollo se puede utilizar la relación usual de la teoría de flexión, v” = M/ (EI). Substituyendo la ecuación (1.3.5) en la (1.3.4) y haciendo uso de la relación anterior, se obtienen dos ecuaciones diferenciales alternativas para vigas-columnas

22

2

d M M qdx

α+ = 1.3.6

O bien 4 2

22 2

d v d v qdx dx EI

α+ = 1.3.7

donde para simplificar se supuso que EI es constante y, como antes, 2 /( )a P EI= . Si P=0, las ecuaciones (1.3.6) y (1.3.7) resultan las mismas ecuaciones vistas para vigas con carga transversal. Para las nuevas ecuaciones, las condiciones de borde son las mismas vistas con anterioridad, excepto que la fuerza de corte se obtiene de la expresión (1.3.5). Para referencia futura, la solución homogénea de la ecuación (1.3.6)-(1.3.7) y sus derivadas se listan a continuación

1 2 3( ) cos( )v C sen x C x C x C4α α= + + +

3

1.3.8a

1 2' cos( ) ( )v C x C sen x Cα α α α= − + 1.3.8b 2 2

1 2'' ( ) cos( )v C sen x C xα α α α= − − 1.3.8c 3 3

1 2''' cos( ) (v C x C sen )xα α α α= − + 1.3.8d

15

Estas relaciones son necesarias en algunos ejemplos para expresar las condiciones de contorno, a fin de evaluar las constantes C1, C2, C3 y C4. 1.3.4 ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO Una aguja perfectamente recta sostenida sobre su punta puede considerarse en equilibrio. Sin embargo, la menor perturbación de éste o la imperfección más pequeña en su fabricación harían imposible tal estado. Se dice que esta clase de equilibrio es inestable, y es imperativo evitar situaciones análogas en sistemas estructurales. Para aclarar más el problema, consideremos de nuevo una barra vertical rígida con un resorte de torsión, de rigidez k, en su base, como se muestra en la Figura 5.a. El comportamiento de tal barra sometida a una fuerza vertical P y una fuerza horizontal F se consideró en la sección 1.3.2. La respuesta de este sistema a medida que aumenta la fuerza P se indica en la Figura 5.b para una fuerza F grande y una fuerza F pequeña. Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Cómo se comportará este sistema si F=0? Este es el caso límite y corresponde al estudio del pandeo perfecto. La barra rígida de la Fig. 3.a puede experimentar sólo rotación, ya que no se puede flexionar; es decir, el sistema tiene un grado de libertad. Para una rotación supuesta, θ, el momento en el resorte (restaurador) es kθ, y con F=0, el momento que produce P (perturbador) será PLsenθ ≈ PLθ, por lo tanto, si

, el sistema es estable, el sistema es inestable

k PLk PLθ θθ θ><

Exactamente en el punto de transición kθ=PLθ, el equilibrio no es estable ni inestable sino neutro (o indiferente). La fuerza asociada a esta condición es la carga pandeo o crítica, que se designará por PC. Para el sistema considerado

CkPL

= 1.3.9

Esta condición establece el comienzo del pandeo. Con esta fuerza dos posiciones de equilibrio son posibles, la forma vertical y una forma inclinada infinitesimalmente próxima a ella. Por lo tanto, como es posible seguir dos ramas o caminos en la solución, a esta condición se la llama punto de bifurcación de la

16

Fig. 1.3.3 Comportamiento de pandeo de una barra rígida

solución de equilibrio. Para P> k/L el sistema es inestable. Como la solución ha sido linealizada no hay posibilidad de que θ sea arbitrariamente grande en PC. Considerando grandes desplazamientos, hay siempre un punto de equilibrio estable en θ

Fig. 1.3.4 Comportamiento de una barra idealmente elástica

Para el caso de la columna ligeramente flexionada de la Figura 5.b., el momento flector M en una sección cualquiera es −Pv (x), que si se substituye en la ecuación diferencial de la elástica da por resultado

2

2

d v M P vdx EI EI

−= =

Entonces, como se hiciera en la ecuación (9.4), tomando , tenemos 2 /P EIα =

2

22 0

d v vdx

α+ = 1.3.10

Es fácil ver que esta ecuación es la parte homogénea de la (1.3.5) para una viga columna con extremos articulados. Su solución es

V = C1sen (αx) + C2 cos (αx) 1.3.11 donde las constantes arbitrarias C1 y C2 se deben determinar a partir de las condiciones de contorno, que son

v(0)=0 y v(L)=0 En consecuencia

v(0)=0= C1sen(0) + C2 cos (0) es decir C2=0, y

18

v(L)=0=C1sen(L) 1.3.12 La ecuación (1.3.12) se puede satisfacer tomando C1=0. Como esto corresponde a la condición sin pandeo, esta solución es trivial. Alternativamente la ecuación (1.3.12) también se satisface si

PL LEI

nα π= = 1.3.13

Fig. 1.3.5 Columna con extremos articulados y sus tres primeros modos de pandeo.

donde n es un entero. En esta ecuación los valores característicos o autovalores para tal ecuación diferencial, que hacen posible una forma de pandeo, requieren que:

2 2

2nn EIP

Lπ

= 1.3.14

Se supondrá en este caso que n puede ser cualquier número entero. Sin embargo, puesto que el interés se centra en el valor mínimo con que puede ocurrir el pandeo, n se debe tomar igual a la unidad. Por lo tanto, la carga crítica (o carga de pandeo de Euler) para una columna articulada en ambos extremos es

2

2CEIP

Lπ

= 1.3.15

donde I debe ser el momento de inercia mínimo del área transversal de la columna y L la longitud de la misma. Este caso de una columna articulada en ambos extremos con frecuencia se lo denomina el caso fundamental. Substituyendo la ecuación (1.3.13) en la (1.3.11), sabiendo que C2 es cero, se obtiene el modo o forma de pandeo de la columna:

19

1n xv C sen

Lπ⎛= ⎜

⎝ ⎠⎞⎟ 1.3.16

Esta es la función característica o autofunción de este problema y puesto que n puede tomar cualquier valor entero, hay un número infinito de tales funciones. En esta solución linealizada la amplitud C1 del modo de pandeo permanece indeterminada. Para n=1, la curva elástica es media onda de una sinusoide. Esta forma, junto con los modos correspondientes a n=2 y n=3, se muestran en la Figura 5.c-e. Los modos de orden superior no tienen significado físico en el problema de pandeo, puesto que la carga crítica mínima ocurre en n=1. Una solución alternativa del problema anterior se puede obtener utilizando la ecuación diferencial igualada a cero. De la ecuación 1.3.7 tal ecuación es

4 22

4 2 0d v d vdx dx

α+ = 1.3.17

Para el caso considerado (articulado en ambos extremos), las condiciones de borde son:

v(0)=0, v (L) = 0, M(0)=EIv′′(0)=0 y M(L)=EIv′′(L)=0

Utilizando estas condiciones con la solución homogénea de la ecuación (1.3.17), junto con su derivada segunda dadas por las ecuaciones (1.3.8a y c), se obtiene

2 4

1 2 32

22 2

1 2

+C + C 0( ) +C cos( ) +C L + C = 0

-C EI =0

-C EI sen( ) -C EI

C sen L L

L

α α

α

α α α

4

=

+

cos( L) =0 α

Para este sistema de ecuaciones C1, C2, C3 y C4 podrían ser todos iguales a cero, lo cual daría una solución trivial. Alternativamente, para obtener una solución no trivial se debe anular el determinante de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones homogéneas. Por lo tanto con α2EI = P

0 1 0 1sen( L) cos( L) L 1 0 -P 0 0-Psen( L) -Pcos( L) 0

α α

α α

0

0

=

La evaluación de este determinante conduce a sen(αL)=0, que es precisamente la condición dada por la ecuación (1.3.12).

20

Este método es ventajoso en problemas con diferentes condiciones de contorno en que la fuerza axial y el producto EI permanecen constantes en toda la longitud de la columna. El método no se puede aplicar si la fuerza axial se extiende sólo sobre una parte de un miembro. 1.3.6. PANDEO ELÁSTICO DE COLUMNAS CON DIFERENTES RESTRICCIONES EN SUS EXTREMOS Procedimientos iguales a los estudiados en la sección anterior se pueden utilizar para determinarlas cargas de pandeo elástico de columnas con diferentes condiciones de borde. Las soluciones de tales problemas son muy sensibles a las restricciones de extremo. Por ejemplo la carga crítica de pandeo para una columna empotrada en su base3, Figura 8.b, con una carga vertical en su extremo libre superior, es

2

2(2 )CEIPL

π= 1.3.18

En este caso extremo la carga crítica es sólo 1/4 de la correspondiente al caso fundamental, ecuación (1.3.15). Para una columna empotrada en un extremo y articulada en el otro, Figura 8.c:

2

22.05CEIP

Lπ

= 1.3.19

En tanto que para una columna empotrada en ambos extremos, Figura 6.d:

2

24CEIP

Lπ

= 1.3.20

Las dos últimas ecuaciones indican que mediante la restricción en los extremos las cargas de pandeo críticas van aumentando notablemente por encima del caso fundamental. Todas las fórmulas anteriores pueden asemejarse al caso fundamental siempre que en vez de la longitud real de la columna se utilice la longitud efectiva de la misma. Esta longitud resulta ser la distancia entre los puntos de inflexión de las curvas elásticas o las articulaciones, si las hay. La longitud efectiva de una columna, Le, en el caso fundamental es igual a L, pero en los casos anteriores es 2L, 0,7L y 0,5L, respectivamente. Para el caso general, Le=KL, donde K es el factor de longitud efectiva, el cual depende de las restricciones en los extremos.

21

Fig. 1.3.6 Longitud efectiva de columnas con diferentes restricciones

En contraste con los casos clásicos que se muestran en la Fig. 6, los miembros a compresión reales rara vez están verdaderamente articulados o completamente empotrados (fijos contra la rotación) en los extremos. Debido a la incertidumbre respecto al grado de fijación de los extremos, a menudo las columnas se suponen con articulaciones en dichas partes. Con excepción del caso que se muestra en la Figura 8.b, donde no se puede utilizar, este procedimiento es conservador. Las ecuaciones anteriores llegan a ser completamente erróneas para el intervalo inelástico y no se deben utilizar en la forma dada. 1.4 EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) 1.4.1 MÉTODO GENERAL 1.4.1.1 DEFINICIÓN DEL MÉTODO El método de los elementos finitos es una aproximación de problemas continuos, de tal forma que:

• El continuo se divide en un número finito de partes, “elementos”, cuyo comportamiento se especifica mediante un número finito de parámetros

22

asociados a ciertos puntos característicos denominados “nodos”. Estos nodos son los puntos de unión de cada elemento con sus adyacentes.

• La solución del sistema completo sigue las reglas de los problemas

discretos. El sistema completo se forma por ensamblaje de los elementos.

• Las incógnitas del problema dejan de ser funciones matemáticas y pasan a ser el valor de estas funciones en los nodos.

• El comportamiento en el interior de cada elemento queda definido a partir

del comportamiento de los nodos mediante las adecuadas funciones de interpolación o funciones de forma.

El MEF, por lo tanto, se basa en transformar un cuerpo de naturaleza continua en un modelo discreto aproximado, esta transformación se denomina discretización del modelo. El conocimiento de lo que sucede en el interior de este modelo del cuerpo aproximado, se obtiene mediante la interpolación de los valores conocidos en los nodos. Es por tanto una aproximación de los valores de una función a partir del conocimiento de un número determinado y finito de puntos. 1.4.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO La forma más intuitiva de comprender el método, al tiempo que la más extendida, es la aplicación a una placa sometida a tensión plana. El MEF se puede entender, desde un punto de vista estructural al análisis de sistemas continuos. De hecho el método nació por evolución de aplicación a sistemas estructurales. Un elemento finito e viene definido por sus nodos (i,j,m) y por su contorno formado por líneas que los unen. Los desplazamientos u de cualquier punto del elemento

se aproximan por un vector columna u .

[ ] eji

jieii Naa

aNNaNu =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

== ∑....

,........, 1.4.1

23

Figura 1.4.1 Coordenadas nodales (i, j, k) y desplazamientos de los nodos.

N son funciones de posición dadas (funciones de forma) y es un vector formado por los desplazamientos nodales de los elementos considerados. Para el caso de tensión plana

ea

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=i

ii v

ua

yxvyxu

u ,),(),(

• u: son los movimientos horizontales y verticales en un punto cualquiera del

elemento. • ai: son los desplazamientos del nodo i.

Las funciones Ni, Nj, Nm han de escogerse de tal forma que al sustituirlas en 1.4.1 las coordenadas nodales, se obtengan los desplazamientos nodales. Conocidos los desplazamientos de todos los puntos del elemento, se pueden determinar las deformaciones ( )ε en cualquier punto. Que vendrán dadas por una relación del siguiente tipo:

Su=ε 1.4.2 Siendo S un operador lineal adecuado. Sustituyendo, la expresión (1.4.1) en (1.4.2) se obtiene las expresiones siguientes.

Ba=ε 1.4.3 SNB = 1.4.4

Suponiendo que el cuerpo esta sometido a unas deformaciones iniciales 0ε debidas a cambios térmicos, cristalizaciones, etc. Y que tiene tensiones internas residuales 0σ la relación entre tensiones y deformaciones en el cuerpo viene dada por

( ) 00 σεεσ +−= D 1.4.5

24

Siendo D una matriz de elasticidad que contiene las propiedades del material o materiales. Se define,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

....

ej

ei

e q

q

q

Como las fuerzas que actúan sobre los nodos, que son estáticamente equivalentes a las tensiones en el contorno y a las fuerzas distribuidas que actúan sobre el elemento. Cada fuerza debe tener el mismo número de componentes que el desplazamiento nodal correspondiente y debe ordenarse en las direcciones adecuadas. En el caso particular de tensión plana, las fuerzas nodales son

ejq

ia

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=i

iei V

Uq

Las fuerzas distribuidas (b) son las que actúan por unidad de volumen en direcciones correspondientes a los desplazamientos u en ese punto. La relación entre las fuerzas nodales y tensiones en el contorno y fuerzas distribuidas se determina por medio del método de los trabajos virtuales. El resultado es el siguiente (Ve es el volumen del elemento e),

∫ ∫−=e eV V

TTe dVbNdVBq ..σ 1.4.6

Esta expresión es valida con carácter general cuales quiera que sean las relaciones entre tensiones y deformaciones. Si las tensiones siguen una ley lineal, como (1.4.5), se puede rescribir la ecuación en la forma siguiente,

0 0

1.4.7

e

e e e

e e e e

e T

V

e T T T

V V V

q K a f

K B DB dV

f N b dV B D dV B dVε σ

= +

= ⋅

= − ⋅ − ⋅ + ⋅

∫

∫ ∫ ∫

En la expresión de fe aparecen, por este orden, las fuerzas debidas a las fuerzas distribuidas, las deformaciones iniciales y las tensiones iniciales. K es la matriz de rigideces. Si existiesen fuerzas distribuidas por unidad de superficie (t), se tendría que añadir un término adicional a las fuerzas nodales del elemento cuyo contorno posee una

∫ ⋅−eA

T dAtN

25

t tendrá que contener el mismo número de componentes que u para que la expresión anterior sea valida. Una vez obtenidos los desplazamientos nodales por resolución de las ecuaciones, se puede calcular las tensiones en cualquier punto del elemento.

00 σεσ +−= DDBae

1.4.3 FUNCIONES DE FORMA La interpolación es un elemento clave del MEF, puesto que es a través de las funciones de forma, o interpolación, que se consigue reducir el problema a la deformación de los corrimientos de unos nodos. Estas funciones deben dar valores suficientemente aproximados de los corrimientos de cualquier punto del elemento, en función de los corrimientos de los nodos. 1.4.3.1 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE FORMA Propiedades de las funciones de forma:

• Derivabilidad: Si el operador S es de orden m la función de forma deberá soportar la m-ésima.

• Integrabilidad: Por coherencia con la ecuación (1.4.6), una vez se realiza la m-ésima derivada, la función de forma debe ser integrable.

• Semejanza con las leyes de distribución de corrimientos: Las leyes de distribución de corrimientos son continuas, por lo que también lo deben ser las funciones una vez aplicado el operador S.

• Condición de polinomio completo: Si la función de forma escogida es polinómica, lo que suele ser lo más habitual, para que la función se aproxime hasta el término m-ésimo a la solución real, el polinomio debe ser completo.

1.4.3.2 CRITERIO DE LA PARCELA Es conveniente que las funciones de forma tengan la propiedad de valer la unidad en los nodos a las que están asociadas y que tengan un valor nulo en el resto. Este tipo de elementos se les llama elementos conformes, y aseguran la continuidad de la ley de corrimientos entre elementos. Los elementos no conformes son, por tanto, los que no aseguran la unicidad de la ley de corrimientos, hecho que provoca la existencia de deformaciones infinitas en el contorno entre elementos. Este tipo de elementos es válido siempre que no disipe trabajo entre los contornos. Es para este tipo de elementos no conformes que se emplea el criterio de la parcela, que comprueba la buena convergencia de este tipo de elementos. Consiste en aislar una porción de ellos del conjunto, aplicar un estado de corrimientos que provoque una deformación constante, si ésta se produce, no se disipa trabajo y el elemento es válido para la formulación.

26

1.4.3.3 TIPOS DE FUNCIONES DE FORMA En cada elemento se pueden distinguir tres tipos de nodos, primarios, secundarios e intermedios.

Fig. 1.4.2 Tipos de nodos de un elemento

Las funciones de forma se agrupan en dos familias principales en función del tipo de nodos. • Serendípidas: En las que sólo existen nodos frontera (primarios y

secundarios). • Langrangianas: Incluyen además nodos intermedios.

Con el fin de conseguir un mayor ajuste de los elementos a la geometría del cuerpo, existe también una interpolación de tipo geométrico. Esto permite obtener elementos de lados curvos a partir de un elemento de referencia.

Fig. 1.4.3 transformación de la geometría mediante el empleo de funciones de interpolación.

No sólo pueden distorsionarse elementos bidimensionales en otros también bidimensionales, sino que se puede distorsionar elementos bidimensionales en elementos tridimensionales. Esto es así estableciendo una correspondencia biunívoca entre las coordenadas cartesianas y curvilíneas. Es conveniente emplear funciones de forma también en las transformaciones curvilíneas que permiten la obtención de lados curvos. Las transformaciones deben ser unívocas, es decir a cada punto del sistema cartesiano le debe corresponder un único punto del sistema curvilíneo, y viceversa. Es decir no pueden existir elementos con pliegues.

27

Fig. 1.4.4 Transformación biunívoca que provoca pliegues en el elemento trasformado.

Además no puede haber huecos ni solapes entre los elementos transformados. Lo anterior se resume en dos teoremas los cuales son: Teorema 1: Cuando dos elementos contiguos están engendrados por “elementos generatrices” cuyas funciones de forma satisfacen las condiciones de continuidad. Los elementos distorsionados (transformados) serán entonces continuos. Teorema 2: Si las funciones de forma N empleadas son tales que la continuidad de los corrimientos u se mantiene en las coordenadas del elemento generatriz, las condiciones de continuidad se satisfacen entonces en los elementos distorsionados. Cuando el número de nodos que definen la forma geométrica del elemento es inferior al número de los utilizados en la interpolación de los corrimientos, se dice que el elemento es subparamétrico. Cuando es superior se dice que es superparamétrico. En la mayoría de los casos se emplean las mismas funciones de interpolación para la geometría y para los corrimientos, siendo en este caso, los elementos isoparamétricos. La transformación isoparamétrica mantiene la continuidad de los corrimientos entre elementos. Como conclusión cabe decir que las funciones de forma tienen 3 cometidos principales dentro del MEF:

• Obtener resultados en cualquier punto del elemento por interpolación de los valores nodales.

• Permitir transformaciones geométricas que permiten adaptar el mallado a la forma del cuerpo analizado de una manera más exacta.

• Realizar la integración de las ecuaciones mediante la sustitución de las funciones elementales por polinomios de Legendre.

28

1.4.4 INTEGRACIÓN NUMÉRICA Las transformaciones curvilíneas transforman las coordenadas x, y, z a las coordenadas locales .,, ξηζ

Fig. 1.4.5 Sistema de coordenadas locales ( )ξηζ ,, y sistema global de coordenadas

cartesianas (x,y,z). Esto implica introducir un cambio de variable en las ecuaciones integrales que describen el comportamiento de los elementos. Las derivadas de las funciones de forma que intervienen en la expresión de B son respecto a x, y, z, que guardan la relación respecto a las coordinadas locales.

[ ]

0

0

1

e TK B DB dVeV

e T e Tf N b dV f B dVb e eV Ve T e Tf B D dV f N t dAte eV A

N Nj jJxi i

σσ

εε

ζ

= ⋅∫

= − ⋅ = − ⋅∫ ∫

= − ⋅ = − ⋅∫ ∫

∂ ∂−=

∂ ∂ 1.4.8

Donde J es la matriz Jacobiana de la transformación.

[ ]

/ / // / / 1.4.9 / / /

x y zJ x y z

x y z

ζ ζ ζη η ηξ ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Los diferenciales de volumen en cada sistema de coordenadas vienen relacionados de la forma

[ ] ξηζ dddJdzdydx ⋅⋅⋅=⋅⋅ det

29

Una vez realizada la transformación, la integración es más sencilla en el sistema de coordenadas local que en el cartesiano (x, y, z,) en el que los dominios están distorsionados. Pero la obtención del resultado final puede presentar ciertos problemas ya que

• det[J] puede ser cero a causa de una mala discretización, por lo que la solución no es posible;

• el proceso de elaboración del jacobiano es laborioso y consume recursos.

• el jacobiano puede estar mas condicionado (det [J] próximo a cero). Es el último de los problemas enunciados el más peligroso de todos, puesto que puede introducir errores numéricos difíciles de detectar. En otras palabras, puede producir una [J]-1 errónea. La integración numérica consiste en sustituir la función que se pretende integrar por un polinomio de interpolación (otra función de forma) que pase por un determinado número de puntos llamados puntos de Gauss. La integración del polinomio se realiza posteriormente a través de una suma ponderada de los valores de la función en estos puntos de Gauss 1.4.10.

Fig. 1.4.6 limites de integración de la función f

i i i

( ) ( )

( ) H f(x ); H : factor de peso 1.4.10

b b

a a

b

a

f x dx P x dx

P x dx

≈

=

∫ ∫

∑∫

El método más empleado para sustituir la función por un polinomio es la cuadratura de Gauss-Legendre. El método permite integrar cualquier función entre -1 y +1 sustituyendo la función a integrar (f(x)) por un polinomio de Legendre de grado 2n-1. Tomando como base los n puntos de Gauss se puede obtener un valor tan aproximado a la integral como se desee. Las abcisas de los puntos de Gauss corresponden a las raíces del polinomio de Legendre escogido.

30

Fig. 1.4.7 Integración de Gauss-Legendrade de la función f

Como conclusión final se dirá que los puntos de Gauss son los puntos óptimos para la evaluación de tensiones y deformaciones (o cualesquiera otras incógnitas a despejar). En los puntos del elemento la aproximación es pobre y los errores pueden llegar a ser muy considerables. Por ello, las tensiones nunca deben ser evaluadas en los nodos directamente, a diferencia de los corrimientos, sino en los puntos de Gauss. Y sus valores en éstos se deben obtener por extrapolación de los resultados en los puntos de Gauss. 1.4.5 ESTIMACIÓN DE ERROR Y MALLADO ADAPTATIVO Son diversas las fuentes de error en el análisis de problemas empleando el MEF. Se recoge a continuación un esquema de errores posibles extraído de:

• Errores del modelado. En la modelización de cargas exteriores. Modelización de condiciones de contorno. Propiedades de los materiales.

• Errores en la discretización.

Errores en la aproximación de la geometría. Por falta de capacidad de las funciones geométricas de representar con exactitud la geometría real. Este problema se resuelve aumentando el mallado o refinándolo en las zonas conflictivas.

Errores en la discretización. Relacionados con el tamaño del elemento y la función de forma de los corrimientos de los nodos. Como norma general se emplean elementos pequeños en las zonas de variación rápida de la solución, y elementos grandes en las zonas de variación lenta.

• Errores de computación.

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Error en la integración sobre los elementos. Dado que hay que tomar un grado de polinomio de Legendre, hay que aceptar un cierto grado de error (asociado al grado del polinomio).

Error en la resolución del sistema de ecuaciones. Por errores de truncamiento en la representación interna del ordenador de los números reales, y por errores de redondeo.

1.4.5.1 ESTIMACIÓN DEL ERROR La forma exacta de determinar los errores asociados a la solución del problema, es conocer la solución exacta y restarle el valor obtenido. e

corrimientos=u

real-u

calculada (1.4.lla)

edeformaciones

=εreal

-εcalculada (1.4.llb)

etensiones

=σreal σ− calculada (1.4.llc)

Los estimadores de error que se emplean se basan en normas, que representan alguna cantidad escalar integral, para medir el error o la función misma. La norma que se suele emplear es la norma de energía, que viene dada por,

1/ 2( )·( )· 1.4.11real real calculadacalculadae dε ε σ σ

⎡ ⎤= − − Ω⎣ ⎦∫ expresión que guarda una relación directa con la energía de deformación del sistema, que viene dada por la expresión:

· ·TdU d dε σΩ

= Ω∫ La dificultad estriba en que nunca se conocen los valores reales. Por ello la única manera que se ha encontrado de evaluar la bondad de las soluciones es mediante estimadores de error que comparan la solución calculada obtenida respecto a una solución obtenida interpolando con funciones N del mismo tipo que las empleadas para representar el campo de corrimientos ucalculada. El resultado obtenido es un campo de tensiones “aplanado”. El error estimado es:

ˆ 1.4.12eσ σ σ= − Este valor eσ se puede introducir en la norma 1.4.12 para calcular el error de esta norma o cualquier otra (corrimientos, deformaciones, etc.).

32

1.4.6 PASOS A SEGUIR EN EL CÁLCULO MEF. FUNCIONAMIENTO DE UN PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS

Los programas para cálculo por elementos finitos disponen de tres módulos de trabajo:

Pre-procesador: Donde se prepara el modelo para el cálculo, en el se realizan las operaciones de:

Dibujo del modelo, o importación si se ha generado por medio de un sistema CAD que genere ficheros compatibles.

Selección del tipo de elemento o elementos a emplear. En función del tipo de cálculos a realizar estos programas suelen disponer de diferentes tipos de elementos que son especiales para cada aplicación. Por ejemplo, suelen tener elementos especiales para cálculos de tensiones planas, tensiones 3D, electrostática, magnetostática, elementos de contacto, etc.

Selección de los materiales a emplear, que pueden obtenerse por librerías, o ser definidos por el usuario. Esto último es común cuando se emplean materiales de propiedades no lineales o materiales anisotrópicos.

Asignación de elemento y propiedades de materiales a los diferentes componentes del modelo.

Mallado de los componentes del modelo. Aplicación de las cargas exteriores (puntuales, lineales o

superficiales). Aplicación de las condiciones de contorno del modelo.

Calculador: Es la parte del programa que realiza todo el cálculo del

MEF y genera las soluciones. Los pasos que sigue son los siguientes:

Selección del tipo de cálculo a realizar, por ejemplo si es un análisis transitorio, en régimen armónico, estático, etc.

Configuración de los parámetros de cálculo. Selección de intervalos de tiempo, norma de error, número de iteraciones, etc.

Inicio del cálculo: el programa empieza transfiriendo las cargas al modelo, genera las matrices de rigidez, realiza la triangulación de la matriz, resuelve el sistema de ecuaciones y genera la solución.

Post-procesador: es la herramienta que permite la representación gráfica de los resultados, así como resultados indirectos que se pueden obtener operando las soluciones del modelo.

33

Post-procesador: es la herramienta que permite la representación gráfica de los resultados, así como resultados indirectos que se pueden obtener las soluciones.

1.5 INDUSTRIA METALMECANICA

1.5.1 INTRODUCCIÓN Durante la década de los ochenta, en pleno proceso de desarrollo tecnológico intensivo, algunos centros de investigación dedicaron un importante número de publicaciones a la transformación que estaban sufriendo las Máquinas y Herramientas. Muchos de los informes sostenían que en el futuro, el progreso industrial y económico de los países se mediría en función del número de Máquina y Herramientas que estuvieran consumiendo de manera anual y por el grado de sofisticación de éstas. Hoy en día podemos afirmar que no solo era válido, sino que hoy más que nunca está vigente, es comprobable y marcará la tendencia de la evolución manufacturera en las próximas décadas en la mayoría de los sectores productivos del país. 1.5.2 PROCESOS DE MANUFACTURA La optimización en el proceso de fabricación de piezas en la industria es función de l a máquina-herramienta así como de la herramienta misma, por lo que a continuación se presentan las características más sobresalientes de cada una de ellas. Máquinas –Herramienta: Son aquellas máquinas que desarrollan su labor mediante un utensilio o herramienta de corte convenientemente perfilada y afilada que maquina y se pone en contacto con el material a trabajar produciendo en éste un cambio de forma y dimensiones deseadas mediante el arranque de partículas o bien por simple deformación La elección de la maquina-herramienta que satisfaga las exigencias tecnológicas, debe hacerse de acuerdo a los siguientes factores: l. Según el aspecto de la superficie que se desea obtener: En relación a la forma de las distintas superficies del elemento a maquinar, se deben deducir los movimientos de la herramienta y de la pieza, ya que cada máquina-herramienta posee sus características que la distinguen y resulta evidente su elección. 2. Según las dimensiones de la pieza a maquinar: Se debe observar si las dimensiones de los desplazamientos de trabajo de la maquina-herramienta son

34

suficientes para las necesidades de la pieza a maquinar. Además, se debe tomar en consideración la potencia que será necesaria durante el arranque de la viruta; la potencia estará en función de la profundidad de corte, la velocidad de avance y la velocidad de corte. 3. Según la cantidad de piezas a producir: Esta sugiere la elección más adecuada entre las máquinas de, tipo corriente, semiautomático y automático (en general, se emplean máquinas comunes para producciones pequeñas y máquinas automáticas para producciones grandes). 4. Según la precisión requerida: Con este factor se está en condiciones de elegir definitivamente la maquina-herramienta adecuada. 1.5.3 HERRAMIENTAS DE CORTE Por herramientas se entiende a aquel instrumento que por su forma especial y por su modo de empleo, modifica paulatinamente el aspecto de un cuerpo hasta conseguir el objeto deseado, empleando el mínimo de tiempo y gastando la mínima energía. 1.5.4 MATERIALES PARA LAS HERRAMIENTAS DE CORTE

La selección de material para la construcción de una herramienta depende de distintos factores de carácter técnico y económico, tales como:

1. Calidad del material a trabajar y su dureza. 2. Tipo de producción (pequeña, mediana y en serie). 3. Tipo de máquina a utilizar. 4. Velocidad de Corte. El objetivo principal en los Procesos de Manufactura es obtener piezas de configuración geométrica requerida y acabado deseado. La operación consiste en arrancar de la pieza bruta el excedente del metal por medio de herramientas de corte. Los conceptos principales que intervienen en el proceso son los siguientes:

• Metal sobrante. • Profundidad de corte. • Velocidad de avance y • Velocidad de corte.

Metal sobrante: Es la cantidad de material que debe ser arrancado de la pieza en bruto, hasta conseguir la configuración geométrica y dimensiones, precisión y acabados requeridos. La elaboración de piezas es importante, si se tiene una

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http://www.monografias.com/trabajos14/trmnpot/trmnpot.shtml

cantidad excesiva del material sobrante, originará un mayor tiempo de maquinado, un mayor desperdicio de material y como consecuencia aumentará el costo de fabricación. Profundidad de corte: Se denomina profundidad de corte a la profundidad de capa arrancada de la superficie de la pieza en una pasada de la herramienta. Velocidad de avance: Se entiende por avance al movimiento de la herramienta respecto a la pieza o de esta última respecto a la herramienta en un periodo de tiempo determinado. Velocidad de corte: Es la distancia que recorre el filo de corte de la herramienta al pasar en dirección del movimiento principal (movimiento de corte) respecto a la superficie que se trabaja. La velocidad de corte puede ser rotativa o alternativa. En el primer caso, la velocidad de corte corresponde a la velocidad tangencial en la zona que se esta efectuando el desprendimiento de la viruta, es decir, donde entran en contacto herramienta y pieza. En el segundo caso, la velocidad relativa en un instante dado es la misma en cualquier punto de la pieza o la herramienta.

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CAPITULO II

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MODELADO DE LOS ELEMENTOS MECANICOS

En este capitulo nos daremos a la tarea de crear los planos de la prensa de banco que se va a analizar y construir. Dicha tarea comienza por definir las dimensiones de dicha prensa, esto se hará mediante un plano patrón proporcionado por los asesores de seminario, de los cuales cambiaremos las medias de la prensa para hacerla de menor tamaño a la original y posteriormente analizarla, para ver su comportamiento al trabajar. Ahora definiremos la geometría de la prensa a construir, para ello nos ayudaremos del software Mechanical Desktop, con dicho software se harán los planos y también nos servirá para pasar la geometría al software de análisis numérico (en este caso Ansys), con lo cual también es posible exportar esta misma geometría en el programa de maquinado numérico (Mastercam). En este trabajo no se definirán los pasos a seguir para formar la geometría de la prensa pues no se considera de importancia, pero se muestran algunas imágenes del proceso que se realizó.

Figura 2.1 Modelado de la Maneral

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Figura 2.2 Modelado de la Mordaza Móvil

Figura 2.3 Modelado del Banco de Soporte

Figura 2.4 Modelado del tornillo sin fin.

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Figura 2.5 Modelado del Ensamble

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CAPITULO III

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CONSIDERACIONES TEORICAS DE DISEÑO 3.1 SISTEMA DE UNIDADES Y CONVENCIÓN DE SIGNOS

En el análisis que se hará a las diferentes piezas de la prensa, con el objeto de determinar su geometría, esfuerzos y deformaciones, se aplicará el “Sistema Internacional de Unidades” y su notación y simbología será la siguiente:

Propiedad Unidad Símbolo.

Básicas. Longitud Metro m. Masa Kilogramo Kg Tiempo Segundo s. Área Metro cuadrado m2Volumen Metro cúbico m3

Compuestas. Fuerza Newton 2s

mKN ⋅= N

Presión. Pascal 2m

NPa = Pa

Físicas y mecánicas. Momento de Inercia. Metros a la cuarta m4Esfuerzo Pascal σ Módulo de elasticidad Pascal E Módulo de elasticidad al corte Pascal G Relación de Poisson (nu) Adimensional ν

Tabla 3.1. Sistema internacional de medidas.

Así mismo, para facilitar el manejo de unidades en las operaciones que se han de realizar, se emplearán los múltiplos y submúltiplos del sistema internacional de unidades, con sus prefijos y símbolos.

Factor multiplicador Prefijo Símbolo

Factor multiplicador Prefijo Símbolo

10 12 Tera T 10 -2 centi C 10 9 Giga G 10 -3 mili M 10 6 Mega M 10 -6 micro μ 10 3 Kilo K 10 -9 nano N 10 2 Hector H 10 -12 pico P 10 Deca Da 10 -15 femto F

10 -1 Deci D 10 -18 ato A Tabla 3.2. Prefijos. (Notación científica)

De igual manera, para designar los sentidos de las fuerzas, momentos y desplazamientos, se tomarán como tales:

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Fuerza o carga positiva: Las fuerzas que actúen en dirección de los ejes coordenados del sistema global y con sentido opuesto a los mismos.

Par de torsión o momento positivo: El par de fuerzas aplicado con respecto

a los ejes coordenados de nuestro sistema y en sentido horario.

Desplazamientos positivos: Las distancias que se midan a partir de los ejes coordenados del sistema global y en su mismo sentido.

3.2 GEOMETRÍA DE LA PRENSA

La prensa que se analiza (ver figura 3.1) está integrada mediante el ensamble de catorce piezas individuales, el orden de las piezas en el ensamble se aprecia en el modelo completo, una mayor descripción de dimensiones y especificaciones de las piezas se hizo en el módulo de CAD descrito anteriormente:

Ensamble del modelo

Piezas del conjunto 1 Palanca o maneral 1 Tornillo sinfín 1 Banco de soporte 1 Mordaza móvil 1 Mordaza fija 2 Barras guía 2 Mordazas falsas 5 Tuercas con arandela

Fig. 3.1. Modelo de la prensa

3.2.1 PIEZAS QUE SE ANALIZAN DEL CONJUNTO En este trabajo únicamente se analizará el comportamiento y se obtendrán esfuerzos y deformaciones de cuatro de las catorce piezas, las cuales son:

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Piezas de análisis. Piezas de análisis 1 Maneral 1 Tornillo sin fin 1 Banco de soporte 1Mordaza movil

Fig. 3.2. Piezas a analizar. 3.3 SELECCIÓN DEL MATERIAL

El material empleado en la manufactura es una aleación de aluminio 6063-T5, que aunque no es la mejor opción para manufacturar herramientas, fue seleccionado bajo las premisas dadas en la justificación.

A continuación se hace una reseña de las generalidades, características, ventajas, clasificación y designaciones especificaciones de tratamiento térmico; así como las propiedades de la aleación 6063-T5.

3.3.1 CARACTERISTICAS DEL ALUMINIO Características clave del aluminio. El aluminio es un metal que reúne una serie de propiedades mecánicas excelentes dentro del grupo de los metales no férreos, de ahí su elevado uso en la industria. Dentro del ciclo vital del aluminio, su producción está estabilizada desde hace un par de décadas, aunque en la industria de la automoción su uso es cada vez mayor. Esta aparente contradicción se debe a que está siendo sustituido por nuevos materiales, como los polímeros o los materiales compuestos, en aplicaciones en las que hasta ahora se había utilizado el aluminio. Esto mismo ocurre en mayor medida con los metales ferrosos, donde su producción sí ha disminuido, al verse sustituidos por los nuevos materiales o por el propio aluminio, es el caso de los automóviles o motocicletas, donde cada día aparecen más motos con bastidores de aluminio y coches con suspensiones, partes del chasis y carrocería fabricados con aluminio.

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Cuando se habla de aluminio se tiene en cuenta todas sus aleaciones, satisface como ningún otro metal las actuales demandas que se piden a un material estructural como son:

• La ligereza. • La densidad del aluminio (2.70 g/cm) es realmente baja comparada con la

del hierro (7.90 g/cm). • La buena resistencia mecánica de algunas de sus aleaciones, incluso a

altas temperaturas, lo que hace que esté legando a sustituir a aleaciones de titanio en el mundo aeronáutico, donde la ligereza unido a la resistencia mecánica son factores importantísimos.

• Muy buena resistencia a la corrosión gracias a la película de alúmina, que se forma en su superficie de forma espontánea y lo protege de la corrosión.

• Una propiedad cada vez más en alza como es la reciclabilidad, donde el aluminio destaca especialmente, ya que si bien el aluminio es el metal más abundante en la corteza terrestre, el proceso de obtención del aluminio requiere una alta cantidad de energía en comparación con otros metales como puede ser el acero, pero esta cantidad de energía se reduce enormemente en el proceso de producción secundaria ( reciclaje) para el caso del aluminio, provocando que la industria lo tenga muy en cuenta a la hora de ahorrar dinero en forma de energía.

Como propiedades físicas del aluminio caben resaltar, su alta conductividad térmica y eléctrica, esta última le hace adecuado para muchas aplicaciones dentro de la industria eléctrica, su baja temperatura de fusión unido a su elevada temperatura de ebullición hacen al aluminio muy idóneo para la fundición. Aunque las propiedades mecánicas varían enormemente según sean los elementos aleantes y los tratamientos termomecánicos a los que se haya sometido el aluminio.

3.3.2 NORMAS PARA PRODUCTOS DE ALUMINIO Las normas que se utilizan para la producción de artículos hechos con aluminio se localizan en la norma NMX-W-SCFI-2004.

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3.3.3 PROPIEDADES DEL ALUMINIO 6063-T5

Propiedades de las aleaciones de los aluminios comúnmente utilizados.

Propiedades físicas. Métrico Ingles. Densidad 2.7 g/cc 0.0975 lb/in³ Dureza Brinnel 60 60 Dureza Vickers 70 70 Esfuerzo último a la tensión 186 MPa 27000 psi Esfuerzo de cedencia a la tensión 145 MPa 21000 psi Elongación al corte 12 % 12 % Módulo de elasticidad 68.9 GPa 10000 ksi Relación de Poisson 0.33 0.33 Esfuerzo a la fatiga 68.9 MPa 10000 psi Módulo cortante 25.8 GPa 3740 ksi Esfuerzo al corte 117 MPa 17000 psi

Tabla 3.3. Propiedades de las aleaciones de los aluminios

Tablas 3.4.a. Las propiedades del aluminio 6063-T5.1

1 Tablas extraídas de Aluminum Standard and Data The Aluminum Association Washington, DC, 2000

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Tabla 3.4.b.

Tabla 3.4.c.

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3.4 FACTOR DE SEGURIDAD Siempre existe un riesgo de que los esfuerzos de trabajo a los cuales está

sujeto un miembro excedan la resistencia de su material. El propósito de un factor de seguridad es minimizar este riesgo.

Los factores de seguridad pueden ser incorporados dentro de los cálculos de

diseño de muchas maneras. Para la mayoría de los cálculos es utilizada la siguiente ecuación:

fsm

admσ

σ = ………………………… (3.1)

Donde: Factor de seguridad. =fs =mσ Esfuerzo de cedencia del material en Pa. =admσ Esfuerzos de trabajo admisible en Pa. Ya que el factor de seguridad es mayor que uno, los esfuerzos de trabajos permisibles serán menores que la resistencia del material. En general mσ está basado sobre el esfuerzo de cedencia para los materiales dúctiles, último esfuerzo para materiales frágiles o quebradizos, y esfuerzo de fatiga para las partes sujetas a esfuerzos cíclicos. El factor de seguridad que se aplica para el diseño de maquinas y herramientas es de 1.5, por lo tanto este factor es el que emplearemos en el diseño y construcción de la prensa. Por consiguiente:

Si 5.1=fs , y uσ del aluminio es 145 MPa.

Sustituyendo en la ecuación (1). Los esfuerzos de trabajo permisibles para nuestra prensa son:

.

MPaMPaPaadm 9766.965.110145 6

≈=×

=σ

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3.5 CONSIDERACIONES DE DISEÑO 3.5.1 ANÁLISIS DE FUERZAS

El funcionamiento de la prensa se basa en aplicar una fuerza sobre el maneral, para lograr que la prensa sujete o comprima un cuerpo, dicho maneral actúa como brazo de palanca, para transmitir un momento de torsión sobre el tornillo sin fin. El tornillo sin fin convierte este momento de torsión en una fuerza axial para hacer que la mordaza móvil avance, y ya en contacto con el cuerpo a prensar, transmite esta fuerza a la mordaza falsa delantera. La mordaza falsa delantera aplica una fuerza de compresión sobre el material a sujetar. Las restricciones de movimiento de las barras guía, provocan que la mordaza fija ejerza la misma fuerza de compresión sobre la mordaza falsa trasera y esta aplique una fuerza de compresión de la misma magnitud al material comprimido. FUERZAS QUE ACTUAN.

Fuerza puntual aplicada.

Fig. 3.3. Fuerzas que actúan. 3.5.2. ANÁLISIS DE REACCIONES

La aplicación de la fuerza de compresión W, va a generar reacciones en el material de la misma magnitud y en sentido opuesto que se oponen a la compresión del mismo.

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REACCIONES QUE GENERAN.

Fig. 3.4 Fuerzas de reacción.

La fuerza que se aplica al maneral puede hacer que este se flexione o incluso se rompa, por consiguiente este es el elemento que delimita la cantidad de fuerza empleada en la prensa el trabajo de la prensa. Por otra parte el tornillo sin fin es el elemento que convierte la el momento aplicado en fuerza axial y esta trabajando a torsión, compresión y además a flexión debido a que la forma en que se coloca el cuerpo a prensar y la fuerza de reacción que es la que crea la compresión nos da una flexión en dicho tornillo si fin. Cabe mencionar que aunque nuestra prensa es un caso de análisis de esfuerzos y deformaciones en tres planos y debería resolverse como un sólido con carga excéntrica, si consideramos que la carga excéntrica se aplica en el centro de ambas barras, que la prensa es simétrica y que los momentos de flexión que tenderían a abrir las barras son opuestos y se anulan; podemos realizar el análisis como un caso de análisis de esfuerzos y deformaciones en el plano para obtener la fuerza de trabajo permisible en nuestra prensa. Tomando en cuenta las consideraciones hechas anteriormente, se procede a realizar el análisis correspondiente a cada uno de los elementos propuestos anteriormente.

3.6 ANÁLISIS DE LAS PIEZAS 3.6.1. MANIVELA La manivela e