orientación universitaria 2009 parte ii · en que una cuerda divide ... los polígonos se...

Ministerio de Educación Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Rosario

Secretaría Académica – Área Ingreso

ORIENTACIÓN UNIVERSITARIA

Ing. Sandra Silvester Página 23

4. Geometría

4.1 Ángulos

ángulo recto = 90° ángulo agudo < 90° ángulo obtuso > 90°

ángulo convexo (< 180°)

ángulo cóncavo (> 180°) NOTA: Salvo indicación especial, al mencionar un ángulo nos referiremos al ángulo convexo.

ángulo llano = 180°

O α

P

Q O’β

T

M

Construir un ángulo igual a otro con el auxilio de un compás.

O

M

N

P

Trazado de la bisectriz de un ángulo utilizando compás.

y





Problema Nº 1: ¿Qué clase de ángulo son los suplementos de un ángulo agudo, un ángulo

recto y un ángulo obtuso?

Problema Nº 2: Hallar el complemento de los ángulos de 20º, 62º y 69º.

Problema Nº 3: Hallar el suplemento de los ángulos de 40º, 85º y 163º.

Problema Nº 4: El suplemento de un ángulo es el triplo de dicho ángulo, ¿Cuánto vale éste?

Problema Nº 5: ¿Cómo son los ángulos adyacentes de dos ángulo opuestos por el vértice?

Problema Nº 6: ¿Qué ángulo determinan las bisectrices de 2 ángulos adyacentes?

Problema Nº 7: ¿Qué ángulo determinan las bisectrices de 2 ángulos opuestos por el vértice?

Problema Nº 8: Un ángulo es igual al duplo de su adyacente. Calcular ése ángulo.

4.2 Rectas Perpendiculares y Paralelas

α β

90° 180°

α β

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

ángulo recto = 90° ángulo llano = 180°

α y γ β y δ α y β

β y γ

γ y δ

δ y α

Opuestos por el Vértice (son iguales)

Adyacentes (son suplementarios)

ÁNGULOS ADYACENTES Y

OPUESTOS POR EL VÉRTICE

α δ

β γ

P

a M N a

P

M N a

P

Trazar la perpendicular por un punto exterior a la recta (con escuadra y con compás)





4.3 Ángulos entre dos Paralelas y una Recta

Problema Nº 9: Una recta corta a dos paralelas formando un ángulo agudo α con las mismas.

Calcular los 6 ángulos restantes.

Problema Nº 10: Una recta, al cortar a dos paralelas, ha formado dos ángulos conjugados

externos tales que uno de ellos es la quinta parte del otro. Calcular, en grados, cada uno de

los 8 ángulos formados.

4.4 Triángulos

Trazado de rectas paralelas (con regla y escuadra y con regla y compás)

a

P

b

a

P

a

P b

α α’

α = α’ (ver cuadro siguiente)

δ α

β γ

δ’ α’

β’ γ’

a

b

c

α = α’ γ = γ’ β = β’ δ = δ’ β = α’ γ = δ’ δ = γ’ α = β’ β y δ’ γ y α’ δ y β’ α y γ’

ángulos correspondientes entre paralelas (son iguales)

ángulos alternos internos entre paralelas (son iguales)

ángulos alternos externos entre paralelas (son iguales)

ángulos conjugados internos entre paralelas (son suplementarios)

ángulos conjugados externos entre paralelas (son suplementarios)

Ángulos determinados

por dos rectas paralelas

cortadas por una tercera

EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO (3 lados iguales) (2 lados iguales) (3 lados desiguales)





ACUTÁNGULO OBTUSÁNGULO RECTÁNGULO (3 ángulos agudos) (1 ángulo obtuso) (1 ángulo recto)

ε

β

α δ γ

ϕ

“La suma de los ángulos interiores

de un triángulo es igual a 180°”

α + β + γ = 2 rectos

“La suma de los ángulos exteriores

de un triángulo es igual a 360°”

δ + ε + ϕ = 4 rectos

bisectrices a

b

c

O

“Las bisectrices de un triángulo concurren en un punto

que equidista de los lados del triángulo”

El punto O equidista de los lados a, b y c

“Las medianas de un triángulo concurren en un punto situado a una

distancia del vértice igual a 2/3 de la mediana correspondiente”

medianas

A

ma O

C

mb

mc

B

“Las mediatrices de los lados de un triángulo concurren en un punto que equidista de los vértices del mismo”

El punto O equidista de A, B y C

“Las rectas que pertenecen a las alturas de un triángulo

concurren en un punto”

mediatrices

O

A C

B

alturas

ha

hb

hc O





Problema Nº 11: Un triángulo tiene un ángulo de 55º y otro de 67º. Calcular el tercer ángulo.

Problema Nº 12: Un ángulo de un triángulo es de 48º. Calcular el ángulo exterior del mismo

vértice.

Problema Nº 13: ¿Porqué la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 4

rectos?

Problema Nº 14: El ángulo opuesto a la base de un triángulo isósceles es de 59º. Calcular los

otros dos ángulos.

Problema Nº 15: En un triángulo isósceles el ángulo exterior adyacente a uno de los ángulos

iguales es de 157º. Calcular los ángulos del triángulo.

Problema Nº 16: En el triángulo MNP las medianas se cortan en el punto O. Calcular el

segmento sabiendo que la mediana correspondiente al lado NP es de 18 cm.

Problema Nº 17: Dibujar el triángulo ABC, tal que el lado AB es de 5 cm, la mediana

correspondiente al lado BC es de 6 cm y la correspondiente al lado AC de 7,5 cm.

Problema Nº 18: Se tienen dos triángulos semejantes ABC y A’B’C’. En el primero a = 8 cm y

b = 5 cm; en el segundo a’ = 4 cm. Calcular el lado b’ del segundo triángulo.

Problema Nº 19: En el problema anterior, la altura correspondiente al lado a es de 3 cm.

Calcular la altura correspondiente al lado a’.

4.5 Circunferencias y Círculos

A’ C’

B’

a’ b’

c’

A

a

C

b

c

B TRIÁNGULOS SEMEJANTES

“Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos son respectivamente iguales y sus lados homólogos

proporcionales”

35°

58°

87° 2

r

r’

O

O’

Secantes

O

O’

r

r’

m n s t

Tangentes Comunes m y n exteriores

s y t interiores

T

O

O’r’

r

Tangentes Exteriores

T

O’

r

O

r’

Tangentes Interiores





α O

Ángulo Central “ángulo cuyo vértice es

el centro del círculo”

o

A

B M

*

Arco de Circunferencia *arco AB que contiene

al punto M

B

β α γ δ A

D

C

Arcos AB, BC, CD y DA: 1º, 2º, 3º y 4º cuadrantes α = β = γ = δ = 90º

m

P n

O Q

m radio OP m tg en P n radio OQ n tg en Q

“la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que

pasa por el punto de contacto”

A B

C

O

α

“todo ángulo inscripto en una semicircunferencia

es recto” α = 90º

P

R

ω Q

Ángulo Inscripto “el ángulo ω está inscripto en el arco PQR y abarca el arco PR que no contiene

al punto Q”

A

B

O

C

“todo triángulo se puede inscribir en una circunferencia”

“por tres puntos no pertenecientes a una

misma recta pasa siempre una circunferencia y sólo una”

α

β

O A

C

B

/2

“todo ángulo inscripto es igual a la mitad del

ángulo central que abarca el mismo arco”

B

α β

A

“todos los ángulos inscriptos en un mismo arco de circunferencia

son iguales” α = β

Segmento de Círculo “cada una de las dos partes en que una cuerda divide

al círculo”

A

B

C o

Cuerdas AB y AC “el diámetro es una cuerda

que pasa por el centro”

Sector Circular “figura formada por un

ángulo central y su arco”





Problema Nº 20: Un punto se encuentra a 5 cm de una circunferencia de 3 cm de radio.

Calcular la distancia entre dicho punto y el de la circunferencia que está más próximo a él y

entre dicho punto y el de la circunferencia que está más alejado de él.

Problema Nº 21: ¿A qué distancias deben estar los centros O y O’ de dos circunferencias

iguales de 4 cm de radio, para que resulten: a) tangentes exteriores; b) tangentes interiores;

c) secantes?

Problema Nº 22: ¿Cuál es el ángulo central correspondiente a una semicircunferencia?

Problema Nº 23: ¿Qué parte del círculo es el segmento circular determinado por un diámetro?

Problema Nº 24: Marcar tres puntos no alineados y construir la circunferencia que pasa por

ellos (ver al pie de la página 31).

Problema Nº 25: Calcular el ángulo inscripto que abarca un cuadrante.

Problema Nº 26: Calcular los ángulos centrales correspondientes a los siguientes ángulos

inscriptos: 47º, 18º, 96º, 107º y 33º.

Problema Nº 27: Si dos circunferencias son tangentes exteriores, ¿cuántas tangentes interiores

y exteriores tienen?

Problema Nº 28: Si dos circunferencias son tangentes interiores, ¿cuántas tangentes interiores

y exteriores tienen?

4.6 Polígonos

Los polígonos son figuras planas cuyo contorno está formado por trazos rectos. En todo

polígono hay por lo menos tres ángulos. Esto justifica el nombre de polígono, pues

etimológicamente la palabra está formada así: poli muchos; gonos ángulos, es decir,

muchos ángulos.

Los polígonos se clasifican en dos clases: convexos y cóncavos. Los cuatro primeros de la

figura anterior son polígonos convexos y los tres últimos polígonos cóncavos. Nosotros

veremos los polígonos convexos.

Los polígonos convexos reciben distintos nombres según el número de lados: triángulo (3

lados); cuadrilátero (4 lados); pentágono (5 lados); hexágono (6 lados); heptágono (7 lados);

octógono (8 lados); eneágono (9 lados); decágono (10 lados); undecágono (11 lados);

dodecágono (12 lados). Cuando el polígono tiene más de 12 lados, se llama polígono de n

lados.

“La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 2 rectos por el número de

lados menos dos”.

Suma ángulos interiores polígono n lados = 2 rectos (n − 2)





“La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 4 rectos”.

Suma ángulos exteriores polígono = 4 rectos

Polígono Regular: Un polígono convexo se dice regular cuando tiene todos sus lados y sus

ángulos respectivamente iguales. Son polígonos regulares los que aparecen en la figura

siguiente:

Paralelogramos: “Cuadriláteros que tienen los dos pares de lados opuestos paralelos”.

Son paralelogramos los tres cuadriláteros siguientes:

Propiedades de los paralelogramos: a) los lados opuestos son iguales; b) los ángulos opuestos

son iguales; c) las diagonales se cortan en partes iguales.

Rombo: “Paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales”.

Trapecio: “Cuadrilátero que tiene únicamente dos lados opuestos paralelos”.

Se clasifican según la figura siguiente:

Base media de un trapecio: Es el segmento determinado por los puntos medios de los lados no

paralelos. Es paralela a las bases e igual a la semisuma de las mismas”

base media = ½ (base mayor + base menor) Trapezoide: “Cuadrilátero que no tiene ningún lado igual a otro” Romboide: “Trapezoide que tiene dos lados consecutivos iguales

y los otros dos distintos a los anteriores pero iguales entre sí”

SUPERFICIE DE POLÍGONOS:

isósceles escaleno rectángulo





Paralelogramo = base x altura

Triángulo = ½ (base x altura)

Trapecio = ½ (base mayor + base menor) x altura

Rombo = Romboide = ½ (diagonal mayor x diagonal menor)

Polígono Regular = ½ (perímetro x apotema)

perímetro = longitud de un lado x nº de lados

apotema = distancia de un lado al centro del polígono

Problema Nº 29: Calcular la suma de los ángulos interiores: a) de un dodecágono; b) de un

hexágono; c) de un decágono; d) de un eneágono.

Problema Nº 30: Calcular un ángulo interior: a) de un pentágono regular; b) de un octógono

regular; c) de un decágono regular.

Problema Nº 31: Calcular un ángulo exterior de un heptágono regular.

Problema Nº 32: En el cuadrilátero ABCD se verifica que 114° y . Calcular el

ángulo exterior adyacente a D.

Problema Nº 33: Un ángulo de un paralelogramo es de 64º. Calcular los otro tres ángulos.

Problema Nº 34: Un ángulo exterior de un paralelogramo es de 108º. Calcular los cuatro

ángulos interiores del paralelogramo.

Problema Nº 35: Un rectángulo tiene un perímetro de 38 cm y la base es de 12 cm. Calcular

los otros tres lados.

Problema Nº 36: El perímetro de un rombo es de 18 cm. Calcular el lado.

Problema Nº 37: En el rombo ABCD, al trazar la diagonal el ángulo es de 29º.

Calcular los otros tres ángulos del rombo.

Problema Nº 38: En un trapecio isósceles, un ángulo de la base es de 42º. Calcular los otros

ángulos.

Problema Nº 39: La base mayor de un trapecio es de 8 cm y la base media de 5 cm. Calcular

la base menor.

Problema Nº 40: Construir un romboide cuya diagonal principal es de 12 cm y la otra de 5 cm.

La intersección de las diagonales se encuentra, de uno de los vértices extremos de la principal,

a una distancia igual a 1/3 de esta última.

Problema Nº 41: Hallar la superficie de un decágono regular que tiene 5 cm de lado y 8 cm de

apotema.

4.7 Temas varios

Trazar la mediatriz de un segmento: (con regla y compás)

El procedimiento sirve también para hallar el punto medio del segmento.

P

A B

P’

O





Dividir un segmento en partes proporcionales a otros dos segmentos dados: Segmento medio proporcional entre dos segmentos: Longitud de un arco de circunferencia:

Longitud arco AB = π

°

Superficie de un sector circular:

Superficie sector AOB = °

Teorema de Pitágoras: Problema Nº 42: Dibujar tres segmentos y dividir cada uno de ellos en partes proporcionales a

los otros dos.

Problema Nº 43: Hallar el segmento medio proporcional de dos segmentos de 7 cm y 4 cm,

respectivamente.

Problema Nº 44: Dada una circunferencia cuyo diámetro es de 10 cm, hallar la longitud del

arco correspondiente a α = 45º.

Problema Nº 45: Hallar la superficie del sector circular correspondiente a α = 55º, si el radio

del círculo es de 7 cm.

Problema Nº 46: Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 cm y

18 cm, respectivamente.

a

h

b

“En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es el segmento medio proporcional entre los segmentos que determina sobre dicha hipotenusa”.

h2 = a.b

Dados los segmentos a y b, dividir el segmento en dos segmentos x e y, tales que:

Por M se traza una semirrecta que forme un ángulo agudo con . A partir de M se determina = a y = b. Se une Q con N y por P se traza la paralela a que corta a en el punto R (que divide y establece x e y). R

Q

x

a

b

y N M

P

h a

b

“El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

h2 = a2 + b2





4.8 Funciones Trigonométricas

1 sec

1cos

1

ρ = 1 radio vector hipotenusa

sen α ordenada de P cateto opuesto

cos α abscisa de P cateto adyacente

sen2 α + cos2 α = 1

(+) N

M

ctg

tg

sen

cos O

ρ

(+)

(−)

α (−)

P

Q

P’

P

M’ M

α

β

O

Las funciones trigonométricas dependen del ángulo al que corresponden. Si se consideran ángulos distintos aunque se adopten para ellos radio vectores iguales, las abscisas y ordenadas resultan, respectivamente, diferentes.

En la figura: Pero es:

Al ser distintas las dos abscisas y las dos ordenadas, las funciones trigonométricas de estos ángulos son distintas.

Para un mismo ángulo, el valor de cada función trigonométrica es único, es decir, independiente del radio vector elegido. En la figura, los triángulos OPM, OP’M’ y OP’’M’’ son semejantes y por lo tanto sus lados homólogos son proporcionales. En consecuencia:

O α

P

P’’

P’

M M’ M’’





Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales:

360º = 2 π radianes

α °

°

Longitud arco de circunferencia = radio x α [radianes]

Resolución de triángulos rectángulos:

a) Conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo:

Datos: a = 10 cm ; 33°

Solución:

90° 90° 33° 57°

10 0,545 5,45

10 0,839 8,39

b) Conocemos un cateto y un ángulo agudo:

Datos: b = 5 cm ; 52°

Solución:

90° 90° 52° 38°

5 0,788

6,345

5 1,280

3,905

Triángulos oblicuángulos:

c a

b A

B

C

c b

a C B

A

2 . . .

2 . . .

2 . . .

Teorema del Coseno

Teorema del Seno





Valores de algunas funciones trigonométricas de ángulos importantes:

Problema Nº 47: Resolver el triángulo ABC, rectángulo en A, sabiendo que:

1) a = 15 cm ; = 30º

2) a = 20 cm ; = 42º

3) a = 14 cm ; = 65º

4) b = 8 cm ; = 35º

5) b = 12 cm ; = 42º

6) c = 17 cm ; = 60º

α 0º 90º 180º sen α 0 1 0 cos α 1 0 −1 tg α 0 ∞ 0

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