Funciones

IntroducciónUna función en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x.

En 1964 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1929 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet, quien escribió:

“Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.

Dos variables X e Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función de X, La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido”.

Función

Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.

Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio.

Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contradominio o imagen.

Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contradominio.

Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio.

Diferencias entre función y relación

Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados, o cualquier correspondencia entre conjuntos y una función es la que da exactamente un valor a la variable dependiente (y) para cada valor de la variable independiente (x) en el dominio.

Una relación entre 2 conjuntos A y B es cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB, incluso el vacío. Una función de A en B debe cumplir que para todo elemento de A exista un único elemento de B (que se suele llamar f(a)) relacionado con él. Una forma de clasificar las relaciones es la siguiente: se dice que R es reflexiva si para todo elemento de A (a, a) está en la relación. Se

dice que es simétrica si cada vez que (a, b) está en la relación, (b, a) está en la relación, antisimétrica si cada vez que (a, b) y (b, a) están en la relación, a=b y transitiva si cada vez que (a, b) y (b, c) están en la relación, (a, c) está en la relación.

Si una relación es reflexiva, simétrica y transitiva, se dice que es de equivalencia. Si una relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva se dice que es de orden.

No se puede decir que una relación es creciente o decreciente, porque cada elemento puede estar relacionado con varios o con ningún elemento. De las funciones (si son de R en R) si se pueden decir si son crecientes o decrecientes (o ninguno de los 2 casos, como pasa con la función sen x).

En cuanto a la continuidad, hay que recordar que una función puede ser continua en un punto y no en otro.

La definición de función continua en un punto es la siguiente: para todo epsilon positivo existe un delta >0 de tal forma que para todo x /este a menos de delta de x0, la distancia de (f(x)a f(x0) es menor que epsilon y una función se dice continua a secas si es continua en todo a una función se dice discontinua si existe al menos un punto donde no es continua.

Dominio

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien.

Rango

Son todos los valores posibles de f(x) o sea de Y. Si tenemos f(X) = sen (X) El rango va de -1 a +1.

Si F(X) = una parábola cóncava en forma de U. El rango va del vértice dala parábola hacia arriba hasta + infinito.

¿Para qué se representa una gráfica?

Una gráfica es la representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que esos datos guardan entre sí. También se representan para plasmar coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno.

La representación gráfica también es una ayuda para el estudio de una función. Una función con una variable dependiente y otra independiente se puede representar gráficamente en un eje de ordenadas y abscisas correspondiendo el valor de cada variable a la posición en los ejes.

Tipos de funciones

Función Constante

Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:

F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

Y=F(x) entonces Y=adonde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

para valores de a iguales:Y=8Y=4,2Y=-3,6

La función constante como un polinomio en x es de la forma

Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le corresponde siempre el valor a.

El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a "Todos los Reales “Mientras que la imagen tan solo va hacer el valor de a.

Es una Función Continua.

¿Qué significa la recta representa por la función y=0?

Representa que la recta pasara por todo el eje X.

Función lineal

Es aquella que satisface las siguientes dos propiedades:

Propiedad aditiva (también llamada propiedad de superposición): Si existen f(x) y f(y), entonces f(x + y) = f(x) + f(y). Se dice que f es un grupo isomorfista con respecto a la adición.

Propiedad homogénea: f (ax) = af(x), para todo número real a. Esto hace que la homogeneidad siga a la propiedad aditiva en todos los casos donde a es racional. En el caso de que la función lineal sea continua, la homogeneidad no es un axioma adicional para establecer si la propiedad aditiva está establecida.

En esta definición x no es necesariamente un número real, pero es en general miembro de algún espacio vectorial.

Para comprobar la linealidad de una función no es necesario realizar la comprobación de las propiedades de homogeneidad y aditividad por separado, con mostrar

que la linealidad queda demostrada.

El concepto de linealidad puede ser extendido al operador lineal. Ejemplos importantes de operaciones lineales incluyen a la derivada considerada un operador diferencial y muchos construidos de él, tal como el Laplaciano. Cuando una ecuación diferencial puede ser expresada en forma lineal, es particularmente fácil de resolver al romper la ecuación en pequeñas piezas, resolviendo cada una de estas piezas y juntando las soluciones.

Las ecuaciones no lineales y las funciones no lineales son de interés en la física y matemáticas debido a que son difíciles de resolver y dan lugar a interesantes fenómenos como la teoría del caos.

Función Cuadrática

La función cuadrática responde a la fórmula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:

Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.

Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.

Eje de simetría: x = xv.

Intersección con el eje y.

Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.

Función Logarítmica

Se llama función logarítmica a la función real de variable real:

La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R :

La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos.

Los números negativos y el cero no tienen logaritmo

La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a.

Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2"718281...

Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la forma

Se hallan por medio de la fórmula :

Función Exponencial

La función exponencial (de base e) es una función real que tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo

natural. Esta función se denota equivalentemente como donde e es la base de los logaritmos naturales.

En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma

Siendo números reales, . Se observa en los gráficos que si la curva será creciente.

Cuadro comparativo entre las funciones

Función Ramificada

Es aquella que sirve para encontrar los puntos límites de los intervalos en los cuales se divide el dominio.

Ejemplo:

Respuesta:

Observemos que el dominio de esta función está dividido, y el punto de división es x = 1.

Relevancia de las funciones en el cálculo

Las funciones juegan un papel esencial en el desarrollo del cálculo, las funciones son generalmente del tipo:

En otras palabras, "x" es una variable, "y" es otra variable, y el valor que tome "y" depende del valor que esté tomando "x". Por ejemplo, en la función "2x = y", pues cuando "x" tome el valor de 5, "y" va a tomar el valor de 10 (porque 2*5 es 10).

Las funciones son importantes para realizar fórmulas simplificadas de las operaciones que se realizan comúnmente, como una sumatoria, un promedio, etc. Es decir, de manera más sencilla.

Diferencia y semejanza entre dominio y rango

DOMINIO RANGO

DIFERENCIAEstá formado por aquellos valores de x

Está formado por aquello valores de y

SEMEJANZA

Son números reales

Se requiere para representar una gráfica

Son números reales

Se requiere para representar una gráfica

Conclusión

Tras el estudio de las funciones matemáticas, se puede concluir en que son muy importantes, de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".

Además a través de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de ellos para realizar las gráficas lo cual va a depender de cada tipo de función.

Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que también esta monografía nos será útil en la práctica.

Función lineal

Función lineal.

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

f(x) = mx + b

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b = 0 de la forma:

f(x) = mx

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

f(x) = mx + b

cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b = 0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.

Ejemplo

Dos rectas y sus ecuaciones en coordenadas cartesianas.

Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:

y = mx + b

que se conoce como ecuación de la recta en el plano x, y.

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

y = 0,5x + 2

en esta recta el parámetro m es igual a 1/2 (correspondiente al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el puntoy = 2.

En la ecuación:

y = –x + 5

la pendiente de la recta es el parámetro m = –1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y = 5, dado que el valor de b = 5.

En una recta el valor de m se corresponde al ángulo θ de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

m = tanθ

Funciones lineales de varias variables

Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

f(x, y) = a1x + a2y

representa un plano y una función

f(x1, x2, ..., xn) = a1x1 + a2x2 + ... + anxn

representa una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (n + 1)-dimensional.

Función cuadráticaEn matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida por:

con  .1

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo").

El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida es una familia de funciones cúbicas.

Raíces

Véase también: Ecuación de segundo grado

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x,

para los cuales  . Son denotadas habitualmente como:   y  ,

dependiendo del valor del discriminante Δ definido como  .

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo,  :

Corta la parábola al eje X en dos puntos diferentes.

Una solución real(o solución doble) si el discriminante es cero,  :

La parábola es tangente al eje X.

La parábola no corta al eje X.

El único caso restante es que el discriminante sea negativo,  .

En tal caso, las raíces no son reales, sino que son dos números complejos conjugados:

Representación analítica

Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función, un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc.

Forma desarrollada o polinómica

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

con  .

Forma factorizada

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

Siendo a el coeficiente principal de la función, y   y   las raíces de  . En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces   por lo que la factorización adquiere la forma:

En este caso a   se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el discriminante es negativo, las soluciones son complejas, no cabe la factorización.2

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.

Representación gráfica

Intersección con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

lo que resulta:

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen, ya que se da en los términos.

Intersección con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función

es decir:

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

.

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).

Extremo

Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.

Dada la función en su forma desarrollada:  , la coordenada x del

vértice será simplemente:  . La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto.

Dada la forma canónica:  , las coordenadas explícitas del vértice son: (h,k)

la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:

calculamos su derivada respecto a x:

que si la igualamos a cero, tenemos:

donde x valdrá:

Para saber si es un máximo o un mínimo es necesario ver la derivada segunda de la función, veamos:

esto es: 2a será positivo cuando a sea positivo y negativo si a es negativo, por tanto, si la derivada segunda 2a es positiva la parábola es cóncava y el punto será un mínimo de la función, si a es negativa la parábola será convexa y sea un máximo.

Ejemplo 1

Dada la función:

Observación: Es indiferente notar "y" o notar "f(x)". Ambas expresiones hacen referencia a la imagen de x obtenida a través de la función trabajada.

Calculamos su derivada primera:

Esta derivada valdrá cero:

cuando:

esto es:

Esta función presenta un extremo relativo para  , veamos si es un máximo o un mínimo, calculando la derivada segunda:

Que es 6, dado que 6 es un valor positivo, la función es cóncava, y el extremo relativo que

presente para:  , es un mínimo.

Obs. Observando el signo de la constante "a" podemos saber de antemano si estamos ante un mínimo o un máximo. Entonces para a<0 tendremos un máximo y para a>0 un mínimo.

Ejemplo 2

Dada la función:

Para calcular sus extremos relativos calcularemos su derivada primera:

Esta derivada valdrá cero cuando:

esto es:

que resulta:

Para  , la función presenta un extremo relativo, como sabemos que el coeficiente de , es negativo es un máximo. Si realizamos el estudio de signo de la derivada primera, nos da que en   pasa de ser positivo a negativo, o sea la función cambia de ser creciente a decreciente, por lo que confirmamos que es un máximo. De otra forma; se puede calcular la derivada segunda en este punto, comprobando si la función es cóncava o convexa.

Otros procedimientos

Si es posible factorizar en la forma  , se halla el máximo del producto de los dos factores binómicos, teniendo en cuenta que

tal caso ocurre si los factores son iguales, luego haciendo   se

obtiene   o bien  .3 El signo de a determina si es mínimo o máximo.

La forma canónica se puede escribir como  , donde el segundo término conlleva un cuadrado, que es ≥ 0; pero en el segundo miembro si k/a es positivo, hay mínimo con x = h; si k/a es negativo, se obtiene un máximo si x = h. 4 Todo ello para la función g(x)= 1/af(x).

Presencia

En cinemática

en la ecuación del espacio en caso del movimiento uniforme acelerado:

, donde a aceleración,  , velocidad inicial,   espacio inicial y t, variable del tiempo.,5

En geometría

En el área total de un cilindro, como función del radio de la base; de l modo en el área total del cono, en función del radio.

En el área total de un prisma cuadrado, función del lado de la base, altura constante, lo mismo para la pirámide cuadrada.6

Presencia histórica

Arquímedes calculó el área de un sector parabólico, limitado por un rectángulo, en términos

modernos según la función  .7

Función polinómicaEn matemáticas, una función polinómica es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).

Formalmente, es una función:

donde   es un polinomio definido para todo número real  ; es decir, una suma finita de potencias de   multiplicados por coeficientes reales, de la forma:1

Otra definición

Si p(x) es un polinomio en la variable x entonces decimos que esta es una función polinomial p : R → R que asigna a cada punto x ∈ R el valor p(x) ∈ R.

Funciones polinómica básicas

Algunas funciones polinómica reciben un nombre especial según el grado del polinomio:

Grado

Nombre Expresión

0función constante

y = a

1función lineal

y = ax + b es un binomio del primer grado

2función cuadrática

y = ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado

3función cúbica

y = ax³ + bx² + cx + d es un cuatrinomio de tercer grado

Función racional

En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma:

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen sudominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.1 Obviamente esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinimios de varias variables.

Función racional de grado 2:

Función racional de grado 3:

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Ejemplos

Función homográfica:

si el denominador es distinto de cero, y si ad ≠ bc, la curva correspondiente es una hipérbola equilátera.2

Propiedades

Toda función racional es de clase   en un dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x).

Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).

Todas las funciones racionales cuyos coeficientes pertenecen a un cuerpo forman un cuerpo que incluye al cuerpo base como subcuerpo. El cuerpo de funciones racionales forma un subcuerpo del cuerpo de series de potencias formales.

Integración de funciones racionales

Dada una función racional:

Si el denominador es un polinómico mónico   con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:

Si   entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:

Por lo que la integral de la función   es una combinación lineal de funciones de la forma   :

Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la integración

Función exponencialLa función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

Definición formal

La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

o como el límite de la sucesión:

Propiedades

La función exponencial (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.

Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

Derivada

La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,

Es decir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:

La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.

La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.

La función es solución de la ecuación diferencial  .

Si la base de la función exponencial es cualquier número real a mayor que 0, entonces su derivada se puede generalizar así:

donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de a = e resulta que

ln(e) = 1 y por lo tanto  .

Función exponencial compleja

Gráfico de la parte real de una función exponencial en el campo de los complejos

Como en el caso real, la función exponencial puede ser definida como una función holomorfa en el plano complejo de diferentes maneras.1 Algunas de ellas son simples extensiones de las fórmulas que se utilizan para definirla en el dominio de los números reales. Específicamente, la forma más usual de definirla para el dominio de los números complejos es mediante la serie de potencias, donde el valor real x se sustituye por la variable compleja z:

para valores imaginarios puros se cumple la identidad

,

en el que un caso particular es la identidad de Euler, conocida también como la fórmula más importante del mundo.

Usando la identidad anterior, donde ahora z=x+yi, con x e y números reales, se obtiene una definición equivalente a la primera,

relación que demuestra que esta función, además de ser holomorfa, es periódica, con un periodo para la parte imaginaria de  .

FUNCIONES RADICALES

ENUNCIADO

Las funciones radicales son aquellas en las que la variable se encuentra bajo el

signo radical. En esta práctica estudiaremos las funciones del tipo y

también las que tienen como expresión general .

La gráfica de estas funciones es muy diferente a las de las anteriormente estudiadas.

En primer lugar, son funciones positivas, pues en la definición de la función se considera únicamente la raíz positiva del radicando.

(Si la expresión algebraica de la función fuera entonces serían funciones que sólo tomarían valores negativos)

En segundo lugar, si observas las gráficas representadas podrás ver que, en muchas ocasiones, sólo están definidas en un tramo de la recta real; en estos casos su dominio de definición no son todos los números reales ya que la raíz cuadrada sólo está definida para valores positivos del radicando.

Por último, su comportamiento respecto a la monotonía (crecimiento y decrecimiento) es bastante sencillo.

Valor absolutoEn matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Gráfica de la función valor absoluto.

Valor absoluto de un número real

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real   está definido por:2

La función se define de los números reales sobre los números reales positivos:

que se expresa:

La función identidad es igual a la función signo por el valor absoluto:

Por definición, el valor absoluto de   siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real   es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real.

La función valor absoluto una función continua definida por trozos.

Propiedades fundamentales

No negatividad

Definición positiva

Propiedad multiplicativa

Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

Otras propiedades

Simetría

Identidad de indiscernibles

Desigualdad triangular

(equivalente a la propiedad aditiva)

Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

Otras dos útiles inecuaciones son:

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

El conjunto de los reales con la norma definda por el valor absoluto   es un espacio de Banach

Valor absoluto de un número complejo

El valor absoluto de un número complejo   es la distancia   desde  al origen. Aquí vemos que   y tienen el mismo valor absoluto.

Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:

De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma

con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:

Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:

De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.

Propiedades

El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si

y

es el conjugado de z, entonces se verifica que:

Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección.

Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.

Función definida a trozos

Ejemplo de gráfica de una función definida a trozos.

En matemáticas, una función definida a trozos (también denominada función por partes, función seccionada o función definida por tramos) es una función cuya definición (la regla que define la dependencia), llamada regla de correspondencia, cambia dependiendo del valor de la variable independiente.

Formalmente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios).

La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier propiedad de una función definida a trozos que se cumple para cada trozo aunque podría no cumplirse para todo el dominio de f. Por ejemplo, una función es diferenciable a trozos si cada trozo es diferenciable a lo largo del dominio. En Análisis Convexo, la noción de la derivada puede ser reemplazada por la de subderivada para funciones definidas a trozos.

Definición

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera y f una función

definida entre ellos. Supongamos que A puede representarse como una unión de conjuntos disjuntos Ai

y que, para cada uno de los Ai, existe una función fi

Entonces

f es una función definida a trozos si  .

En otras palabras, f es definida a trozos si su regla de asignación es diferente para al menos dos valores de la variable independiente.

Notación e interpretación

Gráfica de la función valor absoluto, y = |x|.

Las funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a subconjuntos del dominio.

Por ejemplo, la función valor absoluto

puede definirse así

En este caso, el dominio fue dividido en los conjuntos

los cuales son disjuntos y cumplen

Para todos los valores de x menores que cero, la primera expresión matemática de la definición de abs(x) debe ser utilizada. Como esta expresión es –x, el signo del valor que asignamos a la variable independiente se invierte. De modo similar, para todos los valores de x mayores o iguales que cero, la segunda expresión matemática (la función x) es utilizada.

A continuación, se presenta una tabla con valores de abs(x), en algunos puntos x del dominio.

xabs(x)

Expresión utilizada

−3 3 −x

−0.1 0.1 −x

0 0 x

1/2 1/2 x

5 5 x

En general, para evaluar una función definida a trozos en un determinado valor del dominio, seleccionamos la expresión matemática cuyo subdominio contiene el valor a evaluar.

OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones

Sean f  y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

 

                                          

 

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

 

                                          

 

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

 

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

 

                                          

 

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

 

                                                

 

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

 

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

 

                                             

 

Bibliografía

http://www.monografias.com/trabajos75/funciones-matematicas/funciones-matematicas2.shtml

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_racional

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial

http://recursostic.educacion.es/eda/web/geogebra/materiales/eduardo_timon_p3/radicales/f_radicales.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_definida_a_trozos

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funoper.htm