#18 operaciones con funciones

7/25/2019 #18 Operaciones Con Funciones

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OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funcionesSean f y gdos funciones reales de variable real definidas en un mismointervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f+ g, a la

funcin definida por

Resta de funcionesDel mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la restade dos funciones reales de variable real fy g, como la funcin

Para que esto sea posible es necesario que fy gestn definidas en un

mismo intervalo.Producto de funcionesSean fy gdos funciones reales de variable real, y definidas en un mismointervalo. Se llama funcin producto de fy ga la funcin definida por

Cociente de funcionesDadas dos funciones reales de variable real, fy g, y definidas en un mismointervalo, se llama funcin cociente de fy ga la funcin definida por

(La funcin f/gest definida en todos los puntos en los que la funcin gnose anula.!Producto de un nmero por una funcinDado un n"mero real ay una funcin f, el producto del n"mero por lafuncin es la funcin definida por

Ejercicio:Sean las funciones f(x! # $x+ %, y g(x! # &x' .Definir la funcin f + gy calcular las im)enes de los n"meros &, '$ y %*.


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Resolucin:

La funcin f + gse define como

(f + g! (x! # f(x! + g(x! #x+ % + &x' # x' $.

(f + g! (&! # & ' $ # -

(f + g! ('$! # ('$! ' $ # '%(f + g! (%*! # %* ' $ # '&/bsrvese que si se calculan las im)enes de fy gpor separado y sesuman, el resultado es el mismo.Por e0emplo, para la ima)en del &,

Dadas las funciones f (x! #x&' $, y g(x! #x+ $, definir la funcin (f - g!

(x!.1alcular las im)enes de %*$, '& y 2 mediante la funcin f - g.Resolucin:

1alculando las im)enes de los n"meros mediante las funciones fy gporseparado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

3esolucin4

1alculando las im)enes de los n"meros mediante las funciones fy gporseparado, y multiplicando despus, se obtienen los mismos resultados.


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Dadas las funciones f(x! # 'x' %, y g(x! # &x+ $, definir f/g.

Resolucin:

La funcin f/g est definida para todos los n"meros reales, salvo parax#'$*&, donde la funcin gse anula.

1alculando por separado las im)enes de los n"meros mediante lasfunciones fy g, y despus efectuando su cociente, se obtienen los mismosresultados.

/btener las im)enes de los n"meros &, % y 2 mediante la funcin $ f.

Resolucin:

Operaciones con funciones

Suma de funciones

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Dominio


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D(f + g) = D f D g

Ejemplo

D f= {2}D g = [0, )

D(f + g) = [0, 2) (2, )

Propiedades

Asociat iva:

f(x) + [g(x) + h(x)] = [f(x) + g(x)] + h(x)

Conmutat iva:

f(x) + g(x) = g(x) + f(x)

Elmnto nut!o:

La funcin constante: f (x) = 0.

Elmnto s im"t! ico:


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D(f + g) = [0, 2) (2, )

Propiedades

Asociat iva:

f (x) [g(x) h(x)] = [ f (x) g(x)] h(x)

Conmutat iva:

f (x) g(x) = g(x) f (x)

Elmnto nut!o:

La funcin constante: f (x) = 1.

Dist ! i#ut iva:

f(x) [g(x) + h(x)] = [ f (x) g(x)] + [ f (x) h(x)]

Divisin de funciones

(f / g)(x) = f(x) / g(x)


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Dominio

D(f + g) =(D f D g) x / g(x) = 0!

D f = {2}D g = [0, ) g($) % 0

D(f + g) = (0, 2) (2, )

Operaciones con Funciones

Objetivos

"# conc#ui$ esta #eccin% &e'e$s se$ capa &e:

Representar la suma, resta y multiplicacin de funcionescomo frmula, tabla o grca.

Representar la divisin de funciones como frmula o tabla .

Sumar, restar, multiplicar y dividir funciones.

Introduccin

&a oficina ' !sonal ' una comana cunta con stas 'os funcions:


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*

As, a!a !alia! l ago a los mla'os ncsitamos una nuva

funcin:h(x)=f(x)g(x)

Como sa#mos, la tasa ' imustos n a!tculos 'if!nts cam#ia- .o! /mlo,

la lc no tin imustos- &a ca/a ' una tin'a s concta a una comuta'o!a

1u tin 'os funcions:

*

.a!a in'ica! al clint cunto tin 1u aga! o! un a!tculo, c!amos una nuvafuncion :h(x)=f(x)+g(x)

Da'as 'os funcionsf*g,n acacions ncsitamos nuvas

funcions 1u consistn 'f + g,f - g,fgf/g


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Operaciones de Funciones mediante Frmulas

3an 'os funcionsf*g,la suma,la 'if!ncia, l !o'ucto * lcocinta!a to'os los valo!s 'xcomuns a am#os 'ominios, s

'finn' la siguint man!a:

Suma (f+g)(x)=f(x)+g(x)

Diferencia

(f-g)(x)=f(x) - g(x)

Product

o

(fg)(x)=f(x)g(x)

Cociente

fg f!"#g!" # , g!"#$%

*e,p#o

Hallar la suma, la diferencia, el producto y el cociente delas funcionesf(x)= x + 2yg(x)= x - 2.

4- f+g

(f+g)($)=f$+g$=($+2)+($52)=$+2+$52=2$

2- f-g

(f5g)($)=f$5g$=($+2)5($52)=$+25$+2=6

7- fg

(f8g)($)=f$8g$=($+2)($52)=$256

6- fg


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fg=($+2)($52)=$+2$52

Operaciones de Funciones representadas como &ablas

Consi'! la siguint ta#la ' valo!s 1u co!!son' a las funcionsf*g-

x '( ') % ) (

f(x) '( % ') ') )

g(x) ) ) % ( (

-sa$ #os a#o$es &efgen #a ta'#a ante$io$ pa$a o'tene$f + g%f - g,fgfg.

&a siguint ta#la must!a los !sulta'os ' fctua! las o!acions !1u!i'as-

.a!a o#tn! los valo!s a!a un valo! 'x, simlmnt alicamos la o!acion a

los valo!s 'a'os n la ta#la 'f(x)*g(x)-

x f(x) g(x)(f+g)

(x)(f-g)(x)

(fg)

(x)(f/g)(x)

'( '( ) ') '* '( '(

') % ) ) ') % %

% ') % ') ') %+odenido

) ') ( ) '* '( ')

( ) ( * ') ( )


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Operaciones de Funciones mediante rcas

Es osi#l !alia! o!acions con funcions utilian'o sus g!ficas- &o 1u

acmos s valua! am#as funcions n los untos co!!son'ints * alica! la

o!acin co!!son'int-

*e,p#o

-sa$ #as g$ficas &efgen #a siguiente figu$a pa$a o'tene$f + g%f - gfg.

En la sccin ant!io! ncont!amos la ta#la ' valo!s ' stas funcions-

.o'mos utilia! stos valo!s a!a g!afica! las funcions-


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f(x) g(x) (f+g)(x)

'( )

% )

') %

') (

) (

f(x) g(x)

'( )

% )

') %

') (

) (


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f(x) g(x)

'( )

% )

') %

') (

) (

-ominio y ampo de /alores

Cuan'o stu'iamos funcions a!n'imos a o#tn! l 'ominio * camo '

valo!s ' funcions- Como al com#ina! funcions o#tnmos nuvas funcions,

stas tam#i"n tn'!n su 'ominio * camo ' valo!s - 9co!'mos 1u a!a

com#ina! a!itm"ticamnt las funcions, stas '#n tn! un 'ominio comn-

El&o,inio' la funcin 1u !sulta ' com#ina! a!itm"ticamnt

'os funcionsf*g, 'n' 'l 'ominio 'f*g, como s must!a

n la siguint ta#la:

dominiode f+g

dominio comn a f y g.

dominio de f-g


dominiodefg


dominio de fgdominio comn a f y g, excluyendo


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los valores donde g(x)=0.

*e,p#o

Da&as #as siguientes funciones%f(x)= 2x,g(x)= x - 4, h=x. a##a$:

). f+g

(f+g)($)=f$+g$=2$+($56)=2$+$56=7$56

dominio de f Todos los nmero reales

dominio de g Todos los nmero reales

dominio de f+g Todos los nmero reales

campo devalores def

Todos los nmero reales

campo devalores deg


campo devalores def+g


(. f+h

(f+)($)=f$+$=2$+($)=2$+$

dominio de f Todos los nmero reales

dominio de hLos nmero reales positivos y elcero

dominio de f+h Los nmero reales positivos y el


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cero

campo de

valores def


campo devalores deh

Los nmero reales positivos y elcero

campo devalores def+h

Los nmero reales positivos y elcero

*. fg

fg=(2$)($56)=2$$56

dominiodef


dominiodeg


dominiodefg

Todos los nmerorealese"ceptox0

1n el tutorial de funciones racionales se cubre con detalle laforma de obtener el campo de valores de este tipo de funciones.

#18 operaciones con funciones

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