onem examnes resueltos

7/25/2019 Onem Examnes Resueltos

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PRESENTACIN

La Olimpiada Nacional Escolar de Matemtica (ONEM)es organizada

cada ao por el Ministerio de Educacin desde el ao 2004 y es una

competencia abierta a todos los estudiantes de Educacin Secundaria de

Instituciones Educativas Estatales y Particulares de todo el Per.

En este ao 2012 se ha puesto de manifiesto un grave problema con

respecto a la continuidad de la ONEM, y es por eso que a todos aquellos que

estamos involucrados y comprometidos con el desarrollo de esta Olimpiada

nos corresponde velar por su vigencia, porque estamos seguros que nuestros

jvenes estudiantes merecen un espacio en el que puedan poner a prueba su

talento e ingenio.

El Instituto de Ciencias y Educacin Matemtica (ICEM) rene a un

grupo de docentes en el rea de Matemtica y desde el ao 2009, aporta

proponiendo soluciones a las preguntas de la ONEM, claro que, como

siempre cualquier crtica o sugerencia es bienvenida escribiendo al correo

electrnico: [email protected] . Es importante manifestar que ao tras

ao se van sumando ms docentes en esta causa cuyo inters es la difusin

de la Matemtica y el apoyo a los estudiantes.

Tambin queremos invitarlos al I Concurso de Matemtica de

Arequipa (I COMAT AQP), evento a llevarse a cabo el 18 de Noviembre y

del cual obtendrn mayor informacin en la siguiente direccin:

www.icemperu.org, dicho concurso tiene como meta brindar a los

estudiantesproblemas interesantes que despierten el placer de razonar.

EQUIPO DIRECTIVO
mailto:[email protected]:[email protected]://www.icemperu.org/http://www.icemperu.org/http://www.icemperu.org/mailto:[email protected]


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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMTICAIX ONEM 2012

PRIMERA FASE NIVEL 2

SOLUCIONARIO

Elaborado por un equipo de docentes en el rea de Matemticaintegrantes del Instituto de Ciencias y Educacin Matemtica delPer. (ICEM PER)

Responsables:

Jos Choque Rivera [email protected] Mamani Cayani [email protected] Quispe Ccallisaya [email protected]

Este material se puede copiar, distribuir y comunicar libremente,pero no puede utilizarse con fines comerciales.
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ONG ICEM PER: INSTITUTO DE CIENCIAS Y EDUCACIN MATEMTICA DEL PER

INVITACIN AL 1 PRIMER CONCURSO DE MATEMTICA DE AREQUIPA 2012 - COMAT AQP

Domingo 18 de Noviembre - INSCRIPCIONES en: www.icemperu.org

IX OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMTICA

ONEM 2012

Primera Fase Nivel 229 de Agosto de 2012

01. Las edades de un padre y su hijo son 35 y 11 respectivamente, dentro decuntos aos la edad del padre ser el doble de la del hijo?

A) 11 B) 24 C) 12 D) 35 E) 13

RESOLUCIN

Del enunciado tenemos como datos las edades actuales del padre ydel hijo. Piden encontrar cuntos aos tienen que pasar para que laedad del padre sea el doble de la del hijo, luego tenemos que:

PRESENTE FUTURO

PADRE 35 35 x HIJO 11 11 x

Considerando que pasaron x aos, se debe cumplir:

35 2 11x x

35 22 2x x 13 x

EClave

02. Si1

2

a

b y

1

4

b

c , calcular

a b

b c

.

A) 0 B)1

3 C)

1

6 D)

1

4 E)

1

2


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RESOLUCIN

De la 1ra proporcin:1

22

ab a

b

De la 2da proporcin: 1 4 4(2 ) 84

b c b c a ac

Reemplazando en la expresin pedida:2 1

2 8 6 6

a b a a a

b c a a a

CClave

03.

En una tienda cada caramelo cuesta 10 cntimos y por la compra de cincocaramelos regalan un caramelo ms. Si un nio recibi 32 caramelos,

Cunto gast en total?

A) S/. 2,5 B) S/. 2,7 C) S/. 3 D) S/. 3,2 E) S/. 3,8

RESOLUCIN Para realizar una regla de tres simple el total de caramelos comprados

debera sero

6 , por lo tanto analizaremos cuando compr slo 30caramelos por ser el mltiplo ms cercano, entonces tendremos:

CARAMELOS(Compra + Regalo)

COSTO(Cntimos)

6 0,5030 x

30 0,502,506x

De donde para irse con 30 caramelos slo gastara S/. 2,50 a lo quedebemos aadir el precio de los dos caramelos restantes, en total se hagastado S/. 2,70.

BClave


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04.

En un saln de clase hay 10 nias ms que nios. Un da faltaron 3 nias y

2 nios, y se cont en total 31 alumnos. Cuntos nios asistieron ese da?

A) 10 B) 11 C) 13 D) 20 E) 23

RESOLUCIN Del enunciado tenemos la cantidad total de nios y nias del saln:

#Nios x # 10Nias x

Como en cierto da faltaron 3 nias y 2 nios, es decir:# 2Nios x # 7Nias x

Sumando los valores obtenidos calculamos el valor de x:

2 7 31x x

13x La cantidad de nios que asistieron ese da es: 2 13 2 11x

BClave

05.

Una encuesta realizada a un grupo de alumnos de cierto colegio sobre el

tiempo dedicado a los videojuegos semanalmente estaba dividida en 4

categoras: 0 a 2 horas, 2 a 6 horas, 6 a 8 horas y ms de 8 horas. Si el 50%

juega de 0 a 2 horas, el 44% juega de 2 a 8 horas y el 9% juega de 6 horas a

ms, qu porcentaje juega de 2 a 6 horas?

A)41% B) 47% C) 44% D) 46% E) 40%

RESOLUCIN Vamos a ordenar los datos en una pequea tabla:

0 2 50%

2 6 a%

6 8 b%

8 a ms c%

Total 100%


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Se observa que: % % % 50%a b c

Por datos del enunciado, el 9% juega de 6 horas a ms:% % 9%b c

Reemplazamos en la ecuacin anterior:

9%

% % % 50%a b c

41%a

Por lo tanto, el 41% juega de 2 a 6 horas.

AClave

06.

El profesor le pidi a Pedrito escribir en la pizarra un nmero de tres

dgitos que sea mltiplo de 3 pero no de 4, cul de los siguientes

nmeros pudo haber escrito Pedrito?

A) 216 B) 254 C) 228 D) 240 E) 222

RESOLUCIN

Para que un nmero de tres dgitos sea mltiplo de tres la suma de

sus cifras debe sero

3 , con lo que descartamos el nmero 254.

Como no se quiere que el nmero sea

o

4, sus dos ltimas cifras nodeben formar un mltiplo de 4, y por lo tanto tambin se descartan los

nmeros 216, 228 y 240.

El nico nmero que cumple con ambas condiciones es el 222.

EClave


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07.

En la figuraABCDes un cuadrado y las rectas L1y L2son perpendiculares.

Halla la medida del ngulox.

A) 40 B) 45 C) 50 D) 60 E) 70

RESOLUCIN Primero agregamos los ngulos rectos (90) que se generan en la

figura del cuadrado y en la interseccin de las rectas perpendiculares.

Se deduce en el grfico el ngulo que falta en la recta L1 (50) ycompletamos ngulos sea por complemento o por opuestos por elvrtice hasta tener el valor pedido, como se ve en la figura, por lotanto la medida del ngulo 50x

CClave

A B

C

L1

L2

40

50

50

X


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08.

Se pinta de rojo las seis caras de un cubo de 3 cm de arista. Luego se

recorta el cubo en pequeos cubos de arista 1 cm, tal como se muestra en

la figura. Cuntos de estos cubos de arista 1 cm tienen exactamente dos

caras pintadas de rojo?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 24

RESOLUCIN Podemos considerar que los cubitos forman tres niveles luego de

haber cortado el cubo pintado de rojo, con 3 x 3 = 9 cubitos en cadanivel.

Por condiciones del problema vemos que los pequeos cubos que

cumplen con tener dos caras pintadas de rojo son:


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Luego, son 4 + 4 + 4 = 12 cubitos que tienen exactamente dos caraspintadas de rojo.

CClave

09. Decimos que un anagrama formado con las letras A, A, B, B, C, C esaceptable si la secuencia ABC aparece al menos una vez. Por ejemplo, el

anagrama CBABCA es aceptable pero ACBACB no lo es. Cuntos

anagramas aceptables formados con dichas letras existen?

A)22 B)23 C)24 D)25 E)26

RESOLUCIN

Del enunciado un anagrama aceptable seria como muestrala figura:

Entonces la forma de ordenar estos cuatro elementos sera:4

4 44! 4 3 2 1 24P P

Pero al efectuar este conteo, el anagrama A B C A B C lo habremos

contado dos veces.

Entonces # de formas distintas = 24 -1 = 23

BClave

Como debe aparecer esta secuenciala consideramos como un solo elemento


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10. Si a,b,c,dson dgitos tales que 2 3

2ab cd , calcula el valor de a b c d

.

A)14 B)16 C)17 D)18 E) 19

RESOLUCIN Tenemos:

2 3

2ab cd

32ab cd

Analizando cifras terminales de cubos perfectos de tres cifras.3

5 ...5 3

6 ...6 3

7 ...3 3

8 ...2 3

9 ...9 Con esto podemos deducir:

3 32 512 64ab cd

Por lo tanto: 5a , 1b , 6c y 4d Piden el valor de: 5 1 6 4 16a b c d

BClave

11.

Mara debe comprar pastelitos para 7 personas, dndole a cada unola

misma cantidad de pastelitos. En la tienda solovenden pastelitos en cajas

de 8 15 unidades. Cuntas cajas debe comprar Mara como mnimo?

A)3 B)4 C)5 D)6 E) 7


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RESOLUCIN

Los pastelitos comprados debe ser una cantidado

7 para darles lamisma cantidad a las 7 personas, luego como hay cajas de 8 y 15unidades tendramos:

o

8 15 7k m Siendo k y m el nmero de cajas que compra de 8 y 15 unidadesrespectivamente.

Adems tanto 8 como 15 al dividirlos entre 7 dejan residuo 1:o o o

7 1 7 1 7k m

o o o7 7 7k m o

7k m

De la ltima expresin diremos que: 7mn

k m

Comprobando podra darse las siguientes situaciones:

0

8 15 7

8 6 15 1 63

8 5 15 2 70

8 4 15 3 77

8 3 15 4 84

8 2 15 5 91

8 1 15 6 98

k m

EClave

12. Tengo una bolsa de canicas, cada una de ellas es de color azul,rojo overde. Si hay almenos 10 canicas que no son azules, 20 canicas que no son

rojasy 40 canicas que no son verdes, Cuntas canicas como mnimo tengo

en la bolsa?

A)35 B)42 C)36 D)41 E)37


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RESOLUCIN Analicemos las proposiciones y formemos desigualdades:

o

Si hay al menos 10 canicas que no son azules, entonces mnimo hay

10 canicas que podran ser rojas o verdes 10Rojas Verdes .o 20 canicas que no son rojas, entonces mnimo hay 20 canicas que

podran ser azules o verdes 20Azules Verdes .o

40 canicas que no son verdes, entonces mnimo hay 40 canicas que

podran ser azules o rojas 40Azules Rojas .

De esta ltima desigualdad se puede suponer como cantidad mnimapara las bolas azules y rojas la de 40 a lo cual agregaremos una bolaverde lo cual satisface todas las desigualdades.

Se tiene 41 bolas como mnimo en la bolsa.

DClave

13. La suma de los cuadrados de tres reales positivos es 160. Uno de esosnmeros es igual a la suma de los otros dos. La diferencia entre los dos

nmeros menores es 4, Cul es la diferencia de los cubos de los dos

nmeros menores?

A) 320 B)360 C)400 D)480 E) 640

RESOLUCIN Sean los nmeros a, b y c; se tiene que: 2 2 2 160a b c ; del dato

uno de esos nmeros es igual a la suma de los otros dos tenemos:

menores mayor

a b c

Luego reemplazamos en la primera igualdad y desarrollamos:2 2 2 160a b c

22 2 160a b a b

2 2 2 22 160a b a ab b 2 22 2 2 160a ab b

2 2 80a ab b


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Piden la diferencia de los cubos de los dos nmeros menores sabiendoque la diferencia de ellos es 4, 4a b .

3 3 2 2

4 80a b a b a ab b

3 3 4 80a b 3 3 320a b

AClave

14.

Qu elemento se debe eliminar del conjunto 42,44,45,60,80 para que

el mnimo comn mltiplo de los cuatro elementos restantes sea el mayor

posible?

A)42 B)44 C)45 D)60 E)80

RESOLUCIN

Dadas las descomposiciones cannicas de varios nmeros el MCM dedichos nmeros es el producto de sus divisores primos comunes y nocomunes elevados cada uno a su mayor exponente.

Nmeros Descomposicin MCM de los restantes42 2 3 7 4 22 3 5 11 44 22 11 4 22 3 5 7 45 23 5

42 3 5 7 11

602

2 3 5 4 2

2 3 5 7 11 80 42 5 2 22 3 5 7 11

El mayor MCM es 4 22 3 5 7 11 y se logra eliminando el nmero60.

DClave


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15.

Decimos que un numero de cuatro dgitoses apocalpticosi tiene al menos

un 0, un 1 y un 2 entre sus dgitos. Por ejemplo el 2012 es apocalptico.

Determina cuantas de las siguientes proposiciones son verdaderas.

9210 es el mayor nmero apocalptico.

1012 es el menor nmero apocalptico.

No existe nmero apocalpticoque sea mltiplo de 101.

Ningn nmero apocalpticose puede expresar como la suma de

dos nmeros apocalpticos.

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

RESOLUCIN

El mayor nmero apocalptico es el 9210 , por lo que la primeraproposicin es verdadera.

El menor nmero apocalptico es el 1002 , por lo que la segunda

proposicin esfalsa. Los nmeros apocalpticos mltiplos de 101 tienen la forma:

101 ab abab , en donde slo encontramos dos cifras diferentes queno seran suficientes para obtener el nmero apocalptico, por lo quela tercera proposicin es verdadera.

La cuarta proposicin es falsa, para lo cual mostramos el siguienteejemplo:

1082

1022

2104

Encontramos que hay dos proposiciones verdaderas.

CClave


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16.

Los nmeros reales a,b,c,d, son no nulos y tienen suma 0, adems

1 1 1 1 10

a b c d abcd .

Halla ab cd c d .

A)0 B)1 C) 1 D)2 E) 2

RESOLUCIN

Sean los nmeros , , ya b c d no nulos, entonces:

0 (I)a b c d a b c d

Tenemos:

1 1 1 1 10

a b c d abcd

1 0bcd acd abd abc

1 (II)cd a b ab c d

Reemplazamos (I) en (II):

1cd c d ab c d 1c d ab cd

Que es precisamente lo que nos piden hallar.

CClave

17. Determina cuantos nmeros de 4 dgitos son tales que al borrar cualquierdgito el nmero de 3 dgitos resultante sea un divisor del nmero

original.

A)14 B)9 C)13 D)10 E) 15

RESOLUCIN

Sea el nmero de 4 dgitos N abcd , quien debe tener como divisores

a los nmeros: , , yabc abd acd bcd .


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Por lo tanto debe existir al menos un entero k de modo que:

10abcd abc k abc d abc k

esto slo ocurre con 10k

; 0d

, y entonces 0N abc

. Tambin debe existir al menos un entero q de manera que:

0 0 10abc ab q abc ab q ab c ab q

esto slo ocurre con 10q ; 0c , y entonces 00N ab .

Continuamos con el anlisis, y decimos que tambin debe existir almenos un entero r tal que:

00 00ab a r ab ar

Este ltimo resultado nos permite asegurar queab

es mltiplo de a.

Finalmente tambin debe existir al menos un entero s tal que:

00 00ab b s ab bs

Y en este caso se puede decir que ab es mltiplo de b.

Entonces para cumplir las dos ltimas condiciones notamos que:

11;22;33;44;55;66;77;88;99;12;15;24;36;48ab

Por lo tanto existen 14 nmeros que cumplen la condicin delproblema.

AClave

18.

En la figura mostrada se puede aplicar la siguiente operacin: se eligen

dos nmeros adyacentes y se le suma la misma cantidad entera a ambos.

Cuntas operaciones se necesita como mnimo para que los siete

nmeros sean iguales?

A)3 B)4 C)5 D)6 E) 7


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RESOLUCIN

Sea : la cantidad que se suma a los vecinosija i y j ; y representauna operacin definida en el problema.

Como en el crculo se forma siete parejas de vecinos, y si hubiera msde una operacin aplicada a una pareja de vecinos, se podran agruparen una sola; tenemos 7 operaciones: 12 23 34 45 56 67 71; ; ; ; ; ;a a a a a a a .

Tomando en cuenta que al final los siete nmeros deben ser iguales,representamos con N a dicha cantidad, obtenemos:

71 12 71 12

12 23 12 23

23 34 23 34

34 45 34 45

45 56 45 56

56 67 56 67

67 71 67 71

1 1

2 2

3 3

4 4cambiando los signos

5 5

6 6

7 7

a a N a a N

a a N a a N

a a N a a N

a a N a a N

a a N a a N

a a N a a N

a a N a a N

67 10 2 = Na

En esta ltima expresin el mnimo valor que N puede tomar es 10, y se

dar cuando 67a sea cero;es decir no se le aplique la operacin a la

pareja de vecinos formada por los nmeros 6 y 7, y nos quedaremosnicamente con las otras seis operaciones que ser la mnima cantidadnecesaria para que los 7 nmeros sean iguales.

Slo nos quedara determinar los valores de cada una de las 6operaciones, haciendo los remplazos en las ecuaciones, obtenemos:

71 12 23 34 45 563; 6; 2; 5; 1; 4a a a a a a .

D Clave


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19.

En un tablero de 5 5 fueron pintadas N casillas de tal modo que cada

subtablero de 2 2 contiene exactamente 2 casillas pintadas y cada

subtablero de 3 3 contiene 4 5 casillas pintadas. Cuntos valores

puede tomar N?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIN Vamos a dividir convenientemente el tablero, y considerar dos casos:

1er Caso: Cuando la casilla central est pintadaSe indica en cada caso lamnima y mxima cantidad

de casillas pintadas,cumpliendo las condicionesdel problema.

Notndose que N puede tomar los valores de 11 y 13.

2do Caso: Cuando la casilla central noest pintadaTambin se indica en cadagrfico la mnima y mximacantidad de casillaspintadas, cumpliendo lascondiciones del problema.

Notndose que N puede tomar los valores de 12 y 14.


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Slo nos quedara mostrar ejemplos en los cuales N toma los valoresindicados:

Por lo tanto N toma cuatro valores.

D Clave

20.

Halla el coeficiente de 2012x al desarrollar el siguiente producto:

2 2 2 2 2 22 3 9 27 81 243 7291 1 1 1 1 1 1x x x x x x x .

A)0 B)1 C)2 D)4 E) 8

RESOLUCIN

Tenemos:

2 2 2 2 2 22 3 9 27 81 243 7291 1 1 1 1 1 1x x x x x x x

Desarrollando los binomios al cuadrado:

2 3 6 9 18 27 541 2 1 2 1 2 1 2 ..x x x x x x x x

81 162 243 486 729 1458.. 1 2 1 2 1 2x x x x x x

Expresamos 2012 en base 3 y obtenemos: 32012 2202112 ; es decir:2 3 5 62 1 12012 2 23 3 3 323

Vamos a expresar los exponentes de x como potencias de 3:


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2 2 3 32 3 2 3 3 2 3 3 2 31 2 1 2 1 2 1 2 ..x x x x x x x x

4 4 5 5 6 63 2 3 3 2 3 3 2 3

.. 1 2 1 2 1 2x x x x x x

Con la observacin hecha anteriormente, seleccionamos los trminosque al multiplicarse dejarn al final a la variable x con exponente 2012:

2 32 32 1 13 3 22 3 2 3 3 31 2 1 2 1 2 1 2 ..x x x x x x x x

4 4 5 5 663 2 3 3 323 32.. 1 2 1 2 1 2x x x x x x

Dichos trminos aislados son:

2 3 5 62 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 20122 2 4x x x x x x x

Por lo tanto el coeficiente pedido es 4.

DClave


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INVITACIN AL 1 PRIMER CONCURSO DE MATEMTICA DE AREQUIPA 2012 COMAT AQP

01 E 11 E

02 C 12 D

03 B 13 A

04 B 14 D

05 A 15 C

06 E 16 C

07 C 17 A08 C 18 D09 B 19 D

10 B 20 D

Agradecemos la atencin que se le brinde a este pequeo aporte

a la educacin matemtica.

La matemtica es la ciencia del orden y la medida, de bellas

cadenas de razonamientos, todos sencillos y fciles

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