icem solucionario ix onem f1 n2

ONG ICEM PERÚ: INSTITUTO DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA DEL PERÚ

INVITACIÓN AL 1° PRIMER CONCURSO DE MATEMÁTICA DE AREQUIPA 2012 - COMAT AQP Domingo 18 de Noviembre - INSCRIPCIONES en: www.icemperu.org

IX OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA

ONEM 2012

Primera Fase – Nivel 229 de Agosto de 2012

01.Las edades de un padre y su hijo son 35 y 11 respectivamente, dentro de cuántos años la edad del padre será el doble de la del hijo?

A) 11 B) 24 C) 12 D) 35 E) 13

RESOLUCIÓN

Del enunciado tenemos como datos las edades actuales del padre y del hijo. Piden encontrar cuántos años tienen que pasar para que la edad del padre sea el doble de la del hijo, luego tenemos que:

PRESENTE

FUTURO

PADRE

35

HIJO 11

Considerando que pasaron “x” años, se debe cumplir:

02.Si y , calcular .



A) 0 B) C) D) E)

RESOLUCIÓN

De la 1ra proporción:

De la 2da proporción:

Reemplazando en la expresión pedida:

03.En una tienda cada caramelo cuesta 10 céntimos y por la compra de cinco caramelos regalan un caramelo más. Si un niño recibió 32 caramelos, ¿Cuánto gastó en total?

A) S/. 2,5 B) S/. 2,7 C) S/. 3 D) S/. 3,2 E) S/. 3,8

RESOLUCIÓN Para realizar una regla de tres simple el total de caramelos

comprados debería ser , por lo tanto analizaremos cuando compró sólo 30 caramelos por ser el múltiplo más cercano, entonces tendremos:

CARAMELOS(Compra +

Regalo)

COSTO(Céntim

os)6 0,50

30 x

De donde para irse con 30 caramelos sólo gastaría S/. 2,50 a lo que debemos añadir el precio de los dos caramelos restantes, en total se ha gastado S/. 2,70.



04.En un salón de clase hay 10 niñas más que niños. Un día faltaron 3 niñas y 2 niños, y se contó en total 31 alumnos. ¿Cuántos niños asistieron ese día?

A) 10 B) 11 C) 13 D) 20 E) 23

RESOLUCIÓN Del enunciado tenemos la cantidad total de niños y niñas del

salón:

Como en cierto día faltaron 3 niñas y 2 niños, es decir:

Sumando los valores obtenidos calculamos el valor de “x”:

La cantidad de niños que asistieron ese día es:

05.Una encuesta realizada a un grupo de alumnos de cierto colegio sobre el tiempo dedicado a los videojuegos semanalmente estaba dividida en 4 categorías: 0 a 2 horas, 2 a 6 horas, 6 a 8 horas y más de 8 horas. Si el 50% juega de 0 a 2 horas, el 44% juega de 2 a 8 horas y el 9% juega de 6 horas a más, ¿qué porcentaje juega de 2 a 6 horas?

A) 41% B) 47% C) 44% D) 46% E) 40%

RESOLUCIÓN Vamos a ordenar los datos en una pequeña tabla:



50%

a%

b%

c%

Total 100%

Se observa que: Por datos del enunciado, el 9% juega de 6 horas a más:

Reemplazamos en la ecuación anterior:

Por lo tanto, el 41% juega de 2 a 6 horas.

06.El profesor le pidió a Pedrito escribir en la pizarra un número de tres dígitos que sea múltiplo de 3 pero no de 4, ¿cuál de los siguientes números pudo haber escrito Pedrito?

A) 216 B) 254 C) 228 D) 240 E) 222

RESOLUCIÓN

Para que un número de tres dígitos sea múltiplo de tres la

suma de sus cifras debe ser , con lo que descartamos el número 254.

Como no se quiere que el número sea , sus dos últimas cifras no deben formar un múltiplo de 4, y por lo tanto también se descartan los números 216, 228 y 240.



El único número que cumple con ambas condiciones es el 222.

07.En la figura ABCD es un cuadrado y las rectas L1 y L2 son perpendiculares. Halla la medida del ángulo x.

A) 40º B) 45º C) 50º D) 60º E) 70º

RESOLUCIÓN Primero agregamos los ángulos rectos (90º) que se generan

en la figura del cuadrado y en la intersección de las rectas perpendiculares.



A B

CD

L1

L2

40º

50º

50º

Xº

Se deduce en el gráfico el ángulo que falta en la recta L1

(50º) y completamos ángulos sea por complemento o por opuestos por el vértice hasta tener el valor pedido, como se

ve en la figura, por lo tanto la medida del ángulo

08.Se pinta de rojo las seis caras de un cubo de 3 cm de arista. Luego se recorta el cubo en pequeños cubos de arista 1 cm, tal como se muestra en la figura. ¿Cuántos de estos cubos de arista 1 cm tienen exactamente dos caras pintadas de rojo?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 24

RESOLUCIÓN Podemos considerar que los cubitos forman tres niveles luego

de haber cortado el cubo pintado de rojo, con 3 x 3 = 9 cubitos en cada nivel.



Por condiciones del problema vemos que los pequeños cubos que cumplen con tener dos caras pintadas de rojo son:

Luego, son 4 + 4 + 4 = 12 cubitos que tienen exactamente dos caras pintadas de rojo.

09.Decimos que un anagrama formado con las letras A, A, B, B, C, C es aceptable si la secuencia ABC aparece al menos una vez. Por ejemplo, el anagrama CBABCA es aceptable pero ACBACB no lo es. ¿Cuántos anagramas aceptables formados con dichas letras existen?

A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26

RESOLUCIÓN

Del enunciado un anagrama “aceptable” seria como muestra la figura:



Como debe aparecer esta secuenciala consideramos como un solo elemento

Entonces la forma de ordenar estos cuatro elementos sería:

Pero al efectuar este conteo, el anagrama lo habremos contado dos veces.

Entonces # de formas distintas = 24 -1 = 23

10.Si a,b,c,d son dígitos tales que , calcula el valor de

.

A) 14 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

RESOLUCIÓN Tenemos:

Analizando cifras terminales de “cubos perfectos” de tres cifras.



Con esto podemos deducir:

Por lo tanto: , , y

Piden el valor de:

11.María debe comprar pastelitos para 7 personas, dándole a cada uno la misma cantidad de pastelitos. En la tienda solo venden pastelitos en cajas de 8 ó 15 unidades. ¿Cuántas cajas debe comprar María como mínimo?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

RESOLUCIÓN

Los pastelitos comprados debe ser una cantidad para darles la misma cantidad a las 7 personas, luego como hay cajas de 8 y 15 unidades tendríamos:

Siendo “k” y “m” el número de cajas que compra de 8 y 15 unidades respectivamente.

Además tanto 8 como 15 al dividirlos entre 7 dejan residuo 1:

De la última expresión diremos que: Comprobando podría darse las siguientes situaciones:



12.Tengo una bolsa de canicas, cada una de ellas es de color azul, rojo o verde. Si hay al menos 10 canicas que no son azules, 20 canicas que no son rojas y 40 canicas que no son verdes, ¿Cuántas canicas como mínimo tengo en la bolsa?

A) 35 B) 42 C) 36 D) 41 E) 37

RESOLUCIÓN Analicemos las proposiciones y formemos desigualdades:

o Si hay al menos 10 canicas que no son azules, entonces mínimo hay 10 canicas que podrían ser rojas o verdes

.o 20 canicas que no son rojas, entonces mínimo hay 20

canicas que podrían ser azules o verdes

.o 40 canicas que no son verdes, entonces mínimo hay 40

canicas que podrían ser azules o rojas . De esta última desigualdad se puede suponer como cantidad

mínima para las bolas azules y rojas la de 40 a lo cual agregaremos una bola verde lo cual satisface todas las desigualdades.

Se tiene 41 bolas como mínimo en la bolsa.



13.La suma de los cuadrados de tres reales positivos es 160. Uno de esos números es igual a la suma de los otros dos. La diferencia entre los dos números menores es 4, ¿Cuál es la diferencia de los cubos de los dos números menores?

A) 320 B) 360 C) 400 D) 480 E) 640

RESOLUCIÓN

Sean los números a, b y c; se tiene que: ; del dato “uno de esos números es igual a la suma de los otros dos” tenemos:

Luego reemplazamos en la primera igualdad y desarrollamos:

Piden la diferencia de los cubos de los dos números menores

sabiendo que la diferencia de ellos es 4, .

14.¿Qué elemento se debe eliminar del conjunto para que el mínimo común múltiplo de los cuatro elementos restantes sea el mayor posible?



A) 42 B) 44 C) 45 D) 60 E) 80

RESOLUCIÓN

Dadas las descomposiciones canónicas de varios números el MCM de dichos números es el producto de sus divisores primos comunes y no comunes elevados cada uno a su mayor exponente.

Números

Descomposición

MCM de los restantes

42

44

45

60

80

El mayor MCM es y se logra eliminando el número 60.

15.Decimos que un numero de cuatro dígitos es apocalíptico si tiene al menos un 0, un 1 y un 2 entre sus dígitos. Por ejemplo el 2012 es apocalíptico. Determina cuantas de las siguientes proposiciones son verdaderas.

9210 es el mayor número apocalíptico. 1012 es el menor número apocalíptico. No existe número apocalíptico que sea múltiplo de 101. Ningún número apocalíptico se puede expresar como la

suma de dos números apocalípticos.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4



RESOLUCIÓN

El mayor número “apocalíptico” es el , por lo que la primera proposición es verdadera.

El menor número “apocalíptico” es el , por lo que la segunda proposición es falsa.

Los números “apocalípticos” múltiplos de 101 tienen la

forma: , en donde sólo encontramos dos cifras diferentes que no serían suficientes para obtener el número apocalíptico, por lo que la tercera proposición es verdadera.

La cuarta proposición es falsa, para lo cual mostramos el siguiente ejemplo:

Encontramos que hay dos proposiciones verdaderas.

16.Los números reales a,b,c,d, son no nulos y tienen suma 0, además

.

Halla .

A) 0 B) 1 C) – 1 D) 2 E) – 2

RESOLUCIÓN

Sean los números no nulos, entonces:

Tenemos:



Reemplazamos (I) en (II):

Que es precisamente lo que nos piden hallar.

17.Determina cuantos números de 4 dígitos son tales que al borrar cualquier dígito el número de 3 dígitos resultante sea un divisor del número original.

A) 14 B) 9 C) 13 D) 10 E) 15

RESOLUCIÓN

Sea el número de 4 dígitos , quien debe tener como

divisores a los números: . Por lo tanto debe existir al menos un entero “k” de modo

que:

esto sólo ocurre con ; , y entonces . También debe existir al menos un entero “q” de manera que:

esto sólo ocurre con ; , y entonces . Continuamos con el análisis, y decimos que también debe

existir al menos un entero “r” tal que:

Este último resultado nos permite asegurar que es múltiplo de “a”.

Finalmente también debe existir al menos un entero “s” tal que:



Y en este caso se puede decir que es múltiplo de “b”. Entonces para cumplir las dos últimas condiciones notamos

que:

Por lo tanto existen 14 números que cumplen la condición del problema.

18.En la figura mostrada se puede aplicar la siguiente operación: se eligen dos números adyacentes y se le suma la misma cantidad entera a ambos. ¿Cuántas operaciones se necesita como mínimo para que los siete números sean iguales?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

RESOLUCIÓN

Sea ; y representa una operación definida en el problema.

Como en el círculo se forma siete parejas de vecinos, y si hubiera más de una operación aplicada a una pareja de vecinos, se podrían agrupar en una sola; tenemos 7

operaciones: . Tomando en cuenta que al final los siete números deben ser

iguales, representamos con N a dicha cantidad, obtenemos:



En esta última expresión el mínimo valor que N puede tomar

es 10, y se dará cuando sea cero; es decir no se le aplique la operación a la pareja de vecinos formada por los números 6 y 7, y nos quedaremos únicamente con las otras seis operaciones que será la mínima cantidad necesaria para que los 7 números sean iguales.

Sólo nos quedaría determinar los valores de cada una de las 6 operaciones, haciendo los remplazos en las ecuaciones, obtenemos:

.

19.En un tablero de fueron pintadas N casillas de tal modo que

cada subtablero de contiene exactamente 2 casillas

pintadas y cada subtablero de contiene 4 ó 5 casillas pintadas. ¿Cuántos valores puede tomar N?



A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN Es probable que existan varias posibilidades de

colorear, pero que en conciso se logra el mismo número de valores de N.

Los valores diferentes de N se pueden dar en los siguientes casos:

Los valores de . N toma cuatro valores.

20.Halla el coeficiente de al desarrollar el siguiente producto:

.



A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 8

RESOLUCIÓN Tenemos:

Desarrollando los binomios al cuadrado:

Expresamos 2012 en base 3 y obtenemos: ; es decir:

Vamos a expresar los exponentes de “x” como potencias de 3:

Con la observación hecha anteriormente, seleccionamos los términos que al multiplicarse dejarán al final a la variable x con exponente 2012:

Dichos términos aislados son:

Por lo tanto el coeficiente pedido es 4.



01 E 11 E

02 C 12 D

03 B 13 A

04 B 14 D

05 A 15 C

06 E 16 C07 C 17 A08 C 18 D09 B 19 D10 B 20 D

Agradecemos la atención que se le brinde a este pequeño aporte

a la educación matemática.

"La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos,

todos sencillos y fáciles"

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