ondas y optica - universidad nacional de colombia · ondas y optica w alter sorce zizich profesor...
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ONDAS Y OPTICA
W ALTER SORCE ZIZICH Profesor Titular
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOrlBIA SEDE 11EDELLIN
FACULTAD DI~ CIENCIAS DEPAltTAlvtENTO DE FISICA
IVlctlcHiacuteIl julio dc 1996
11
-r-mRlU ttpJanb
W ap l~JOlUJW ul V
TABLA DE CONTENIDO
Paacuteg
l ONDAS
11 LA ECUACION DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
12 ONDAS ARMONICAS 5
13 LA ECUACION DIFERENCIAL DE LA ONDA 9
1 A ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CUERDA 11
15 Oh DAS LONGITUDINALES EN UN RESORTE 14
( 16 ONDAS SONORAS 17
17 L ~iexclU~GIA y POTENCIA DI UNA OND t1FCANICJ 2
18 (iexcl DAS ELECTI~OMAGNETICAS 27
1 X T ral IS rsalidaJ de In onda ClIl ~8
182 10lt 1 lllpOS SO II illllllllll Cnlc pcrpclldi culnrcs ~i()
shy183 los lampos E y B S~ propagan ue acutluo con la ecuacioacuten dilcrcmial
de la Olida 32
181 Olida de(lromagll~Iiexclca mnoacutenica 17
J9 SOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAl DE LA ONDA Meacutetodo
de sepLlraeioacuten de variables 38
110 REFI EXION y TRANSMISION DE ONDAS 45
1 11 EFECTO DOPPU2R 51
2 SlJfJERPOSlClON DE ONDAS 56
2 1 Sl ljFRPOSI(JON DE DOS ONDAS iexclIUvIONICiexclS PROGRISIVAS DE
LA MISMA FRECUENCIA 57
21 1 rvllStodo de rasores 63
22 SlW fI~PuumlSICION DE nos ONDAS ARMONIC AS PROGRESIVAS DE
FI~ITlJEN(IAS 1IGERAMENTr DIFFREN1TS r3ATIMIENTOS
2- _ I i Lmiddotmiddot ) c nl nE )OS ( )NDAS I f j( e S l IAIIS Qur SE
IIZUPAG middotJ umiddot~ SI~riexclTDOS OPU ESTOS OND ESTACIONARIA (l
111
3 OIYrtCA GEOMETRICA 80
8231 PRINCIPIO DE lERM Al
32 LEYES DE REFLEXJON Y REFRACCION 85
89
90 33 ESPEJOS ESlERICOS Y PLANOS
331 Propiedades focales
93332 loacutermula de Gauss
333 Construccioacuten graacutefica dc imaacutegenes 9S
96334 Aumento
- 34 SUPERlICJES REFRACTORAS ESFERICAS 97
341 Propiedades focales 98
34 2 Foacutermula ue Gauss para SRE 103
343 Construccioacuten graacutelica de imaacutegenes 106
107344 Aumento de una SRE
3 5 LtNTES DELGADAS 108
351 Propiedade5 fociiacutelcs 109
35 2 Foacutennllla dc Gall~s parr IClltes ddgauas 111
35 3 Construccioacuten graacutefila de imaacutegcnes 114
354 Aumento de Ina cnte - foacutennula de Nc1on 115
36 llRISMAS 116
36 1 Dispcrsioacuten de la luz 117
362 Desviacioacuten producida por UII plisma 118
363 Rcllexioacuten total - Prismas reiacutelcctorcs 121
4 OPTIC A lISICA 126
4 1 INTERfERENCIA PRODUCIDA POR DOS RENDIJAS 127
411 Superlicics lIoda-s y venlracs U3
4 12 Coherencia espacial y temporal 136
42 INTERfERENCIA EN PElJCULAS DELGADAS 138
43 ANILLOS DE NEWTON 142
44 DIFRACCION DE FRAUNIIOFER POR UNA RENDIJA 14~
45 mfRACCION PRODUCIDA POR DOS RENDIJAS 154
lt1 6 POI ARIZACION 160
47 DOnLE REFRACCION 1(gt2
IV
471 Ejes oacutepticos de los cristales lJilTefringclltcs 165
472 Dicroiacutesll1o ~ lcy de Malus 165
- 48 SUPERPOSICION DE ONDAS POLARIZADAS EN PLNOS
PERPENDICULARES 169
49 08TENClON DE Dlf-ERENTES ESTADOS DE POLARIZACION 175
410 LAMINAS CRISTALINAS ENTRE POLARIZDORES CRUZADOS 176
BIBLlOGRAflA 180
v
PRESENT ACION
Este texto ti Ondas y Oplica recoge los temas Cundamcntaks sobre movimiento ondulaIOlo
oacuteptica geomeacutetrica y oacuteptica fisica de conConnidad con los prognmms vi~clllcs para las carreras
de Ingenieriacutea de la Sede teniendo en cuenta lile la tinalidad Je texto es funuamcntallllente
didaacutectica el lTttuniento de los temas no pretende ser exhaustivo aUllque siacute lo sulicicntemente
ngurDso
La tarca no ha sido fkil el lulor ha tratado de aprovechar iexcljI maacuteximu SI larga experiencia
doctnte con miras a logrnr principalmente Ina e~posicioacuten clara y convincente de los
conceptos y un manejo en lo posihle seucillo del fonnalismo matemaacutetico
El autor espera asiacute que su esfuerzo sea c)mpensado con una buena acogida dd lexto de parte
de sus colegas y Je los estudieacutellltes de nuestTa Universidad
Mcdelliacutell julio de 1996
VI
CAPITULO 1
ONDAS
11 LA EClJACION DEL MOVI1IENTO ONDULATORIO
La cxpcriln~ia cotidialla de la perturbacioacuten que se genera cn un estanque de agua cUiacutemdo
dcjamos cacr IIna piedra pcnnitc decir lIlC todos tenemos una idea baslrH1te clara dc lo luc cs
una onda en el ca~o descrito podcmos ver lile a partir lid pUllto en el cual cayoacute la piedra
sobre la sllperlicie del agua se propaga IIna pel1111bacioacuten lC se ilTadia en todas las direcciollcs
Talllbiln podell1os oLscrvar como la mcmbrana dc un altoparlulItc vibra cuando encendernos
un equipo de ~onido y como esa ILgtrncioacuten se propaga ell el aire iexclJloulIcicndo JlIl sOIido
detectable por lIucstros oiacutedos
ror lltfll ladl) II01l1dl) 1111 cmisl)ra (1- r ldio ~ middotImiddotI CII rUIlCiOIlIIJliclllo (kspide en el espacIO IIl1a
onda ekctluacutelllilglleacutelica ljue lllego es captada por la antena lkl aplli1tll rcclptor y por eacuteste vllelta
a transfomlaf en una perturbacioacuten sonora
Todos los iexclInteriores son ejemplos dc ondas y tlldos exhibclI dos importall(e Ciacutelracleriacutesticas
a) Ilay IIlIa propagacioacutelI de cnergiacutea desdc las fuenles hacia el c-plcio
b) Elmcdio l1l d cmd se propaga la onda 110 participa dc la propagacioacuten
[so quicre Jccir por ejcmplo que cn el caso de la piedra luc cne en el estanque de agua las
parliacuteculas de agua no se prop1gan radialmelltc jllnlas con la peJ1urbaci6n sino qllc simplemelllc
oscilan alrededor de su posicioacuten Je cluilibrio en este caso en la dircccioacuten VCJ1iccIl
COllsidlrClIllh hllla ciiexclso sCllcil10 d- 1111 Plllso (lile sc propaga a lo Irgll dc IIna lucrJa ICIlSL
c~l ) p1 d 1 ~I i middot i U lI l IIlla ltII rd1 fija P~) il gttrC110 1 middot(1 1 iexcl)) ( OIlO CImiddotCI111) el
cxpcrilllcntuumlbr produce COII su 111 111 1111 movimiento mriba y abajo puJemos ver qllC en
eite caSll la Cllcrda tOllla la llllllla iexclepI csclllala cn la Figuriexcliexcl 1 1 a)
2
1gt o ~------------~~----~-----~~--------~ ~
0 VI
--------------------~
lb)
Figura 11 a) Pulso generado In un cxtremo de unn cuerda b) El mismo pulso en lUl inslU11e sucesi va
La pcrturbacioacuten que sc ha generado no pennanece quieta sino que se propaga a lo largo de la
cllerda de mancra quc si lomaramos falos sllcesivtls de la cuerda enconlrariacutetlmos que el pulso
viaja ti lo lilrgo de la cutrda mantcnicllJo inmutada su cOllfiguracioacuten (en ausencia de friccioacuten)
eomo se lI1ucstra en la figura 11 b)
La con figuracioacuten C]ut asume la cuada por efecto de la perturbacioacuten en un instante dellnninado
(ror ejemplo f = O) se define como perfil eJelll (JIua y tiene ecuacioacuten
y =J(x) ( 1 1)
en donde Ii variable y repreellta cl desplazamiento con respecto a su posicioacuten de equilibrio
de cualquicr partiacutecula de la cucnJa Dado que la perturbacioacutell viaja a lo lurgo ue la cuerdil la
posicioacuten de las pnrliacuteculas de la cuerda COII respecto a sus posiciones de equilibrio cambiaraacute con
el tiempo ue aCllerdo eon la ecuacioacuten
y = J (xt) ( 12)
3
Esta ecuacioacuten qlle permitc determinar las posIciones (11 toda~ las partiacutecillas del medio de
prop1gacioacutelI en cualquier momento se llama entonces Ixutlci(I Iwraria de la pcrlllrbacin o
ECUACION DE LA ONDA
podemos explicitar un poco mtls la eculcioacuten (1 2) tcnicnuo ell cuenta quesi la perturbacioacuten sc
propaga u lo lar~o de la cuerda tendida sobre el eje x su velocidad de propagacioacuten (que no
debe confundirse con la ve1ocid d CO1 la cual las PiUiiacuteculas dd medio dc propagacioacuten oscilan
alrededor de Sil posicioacuten de equilibrio) seraacute v = ll-jdt
Consi(lltremos hora una pulso que vi~ja a lo largo del ~Ie X propagUldo una pel1urbacioacuteII
que cespl za las pm1iacuteculas en 1 direccioacuten y en 111 sistema de rclcrencia O fijo y en UII
sistema de referencia O cuyo eje horizontal x coincida con X y que se mueve con respecto
u O con la vdocidad v igual () la velocidad de propagacioacuten de la pcrtllrbacioacutelI
yy
1~~~IO_--+-xxovl~
Xx ~
1gt o L-____________~~----~----~~----------xx
o iexclt-_-_-_-_-_-_-v~I~~iexcl(~~~(_)~_I====x===~ Figura t _2 Pulso que viaja a lo lar~o del eje X cn IIIl sistema tija O
y cn lIn si s tr111 a O que se InIHve con velocidad v
Al tiempo t = O installte cn el cual se produce 1 perturbacioacuten los Jos sistemas O V
coinciden de Illanera que
y = y= iexcl(x) =f(x)
Al tiacuteelllpl) 1 () ~Il el sl i lellla V el pulso se ha)riexcl de plazlclo por lo IaIlIO la eCllacioacuten qm
describe la posicioacutelI instltllltuacutenea de las partiacuteculas dd medio de propagacioacuten saaacute
1=(xl)
En el sistema O quc vuUacutea junto con la p(rturhaoacuteoacutelI el pulso Jpanceraacute inmovil de mallera
que
y= f(x)
Dc la Figura 12 cs faacutecil (kJucir qlle
x = x lmiddot vr x = x - (
y qlle por lo t1I110
y = f (x - VI)
Pero como y = y obtelldremos inmcJimiexcliexclmente
y = iexcl(X)== iexcl(X-VI) ( 13)
La (13) es la eCla~ioacutell de la onda viajcra pr(J~rcsivtl (la qne se propaga en el selltido de las x
~reciclltes) la liulIioacuten f C~ Ina fllllcioacuten arhitraria qll~ dcptlldc dc la Iigtnna del pulso pero 11
ltlrglllllcntu dI la funcioacuten solamcnte puede ser (x - VI) Y lIinguna otra combinacioacuten de las Jus
variables x I
Con proet(limicnto anaacutelogo podriiexclunos m)srar que la onda viajera rc~rciltI (que se propaga
ell el sentido ue las X decrecientes) comspuumlnde a la ecullcioacutelI
J = iexcl (x 1) = iexcl (x + VI) ( I 4 )
dUll1c iexcl es una hllli1I arbilraria u1 mp1I111(1I10 (x + VI)
5
La funcioacuten f dcpclld~ unicamcnlc de la fonna de la perturbacioacuten en otras palabras es 1J
funcioacuten mntcmiexcltiea qllc representa el peffil de la onda
12 ONDAS AltMONICAS
Supongamos allora qm el exlnlIlo libn de una cuerda tellsa semi-inflllita telldida a lo largo
del eje x se Illueva en la direccioacuten y de movimiento armoacutenico con oscilaciones repetidas en
este caso cada pulso (representado por una oscilacioacuten completa del extrcmo libre) se propaga 11
lo largo dc la cuerua seguido inllledialamcnte por otro igllal Resulta asiacute lile a lo largo de la
cucrda se propaga ulla serie de pulsos sinusoidales o sen UII tren de olidas
Se diraacute clltonccs que el cxtremo libre ue la cuerda es bjlclIle de la onda y de acuerdo con
nuestras hipoacutetesis Sil movilllienlo tendraacute ecuacioacuten hornria
y(O t) == 11 COl 27T V t ( 1 5)
en donde se lIa supucstuuml qle el cxtnIIO iexclore de la clIer ~stj localiZldo en el origen de bs
coordenadas (x =O) y que su 1l10villliento armoacutellico tenga amplitud (l y liccuelleia v
bull t
i~lIra 13 RCjrsciltac a lentrOI dd 1I0 illlicnto mnoacutenico
dc It partiacutecula fuente de la perturbacioacuten (x =-= O)
6
Como hemus viSlll en d aso del pulso la energiacutea del IllOvimielllo anlloacutenieo de la partiacutecula
fuente se propaga a lo lumiddotjo de la cuerda eon cicl1a velucidad v por lo tanto en tiempns
sucesivos lodas las partiacuteclllas uel medio de propagacioacuten ejcclltarflJl clmismo movimiento de la
pal1Iacutelula x = O de lIIalllnl ltJue cuando ~sta haya ercctuauo ci~rto niacutellllero de oscilaciones
las posiciones dc todas las partiacuteculas k la cuerda en un instante detcl111inado cOlTesponderaacuten a
las rcportadas en la Iigura 14
Figura lA Posicioacuten de todas las partiacuteculas de la cuerda cn la cllal se ha propagado la perlurbacioacuten introducida el el extrelllo libre La rcpresentacioacuten se relicre a lln instante t detelminado
Si el medio de propagacioacuten e5 llnidimensional y lit) dispcrsivo elltonces todas lIS partIacutellIlas
subre ILis cuales llega la perturbaci6n ejecutUl exactamente la mislIIa oscilacioacutelI de la palticnla
fUClItC CUlI la misma amplitud (1 y la misma frecuencia vlt I ) dc 1IIIIlCra quc despueacutes de
cierto niacutellllero de oscilacioncs de la partIacutecnla fucule en cualquicr insliexclulte [iexclay varias plIliacuteclllas
dd IIIcJio quc se encuentran cxactamcnte con el mismo desplazlllliento con rcspecto a la
posicioacuten de equilihrio y con la misma velocidad (Figura 14) es decir qll~ sc enCllelltrall ell el I
1lli~1II0 eslato de perlllrbl1ciciacutell
( 1) AUacuteII en los Illedios no disrcrsivos en los cuales no se disira energiacutea la amplitud de la Olida dislllilluye iacuteI IIHdida que la pertmuacioacuten ~c acja de la lilcllte cllando el mediu de propagacioacuten 110 cs IInidimellsional 111 los lIledios bidimcllsionalc~ (p c la sllperliacutecic de (111 eslallqlle) o tridillHlIsillJlaks (pc el espacio en d (ual se propaga ulla Olida sOlloril) dcbe tellersc ell Cllellta que r elicrgiacute1 transportada por la Olida se distrihu)t SOOI( flentcs de ondas slcnlprcs nluacutes extcnsos lo que lO OClIlTe para los IlIcllio IIl1idimellsionales ell los cllalc la cllergiacutea de la olldil siclllpre eS1 CUJICClllratla ell 1111
plllltO
7
El COlljilllO de In) partiacuteculas o de los plllltUacute ud cspacn a 1ls que Ikga simulluacutelleamcnte la
perturbacioacuten ondul3toria se lIamajrente dc lJIuJa
El frente dI onda pll~de ~er 1111 plinto IInn liacutenea O IIl1a slIperlicic segIacuteln la onda se propnglle en
1111 m~io IIl1i- hi- II triuilllensionnl por ejemplo cualldo d~jalllu$ caer una piedra en un
cstnnquc los frentes tk onda son ciacuterculos con celltro cn el punto de impacto
Ln menor distallcia entrc uos pnrtiacutecubs (jue pertenezcan a dilcrclllcs frcltes de onda y que se
cncllelllmn en el mismo csiacuteado dc pCl1urhacioacuten $C ddine como Ollgillld tic Olida l y
c(HTesponJe a la distamia recorrida por la perturhacioacutelI en un pcriacuteodll T (jlle cs cl tielllpo
durllltc el cual In partiacutecula filcntc ejeclltn una oscilacioacutelI completa
Es evidente qlle T = iacuteil y que por lo tanlo V
v lIT == iacutei l ( 16)
Con hase en eiexclIiexcliexcls obscrvlciones qllercmos ahora deterlllillllr la posicioacuten inslallluacutene1 d
cllalqllia paniacutecula ud medio en cl ctliexcl1 se estl prnplgaJlllo la pcrtmbacioacuten ondliltol ia~ la
ecuacioacuten (15) nos proporciona la informacioacuten relativa a la posicioacuten de In partiacutecula fuente de
la pertilrbneioacuten que slIponcmos situnda cn x == O sc trata entonces de cmontrar la eCllaeiuacuten
horaria de la perturbacioacuten o sea la fonlla expliacutecita ue la funcioacuten y (x )
Para resulver el problema propllcsto debemos tellcr en Cllcllta qlle l1 tiempo I(J hl posicioacuten de
la partiacutecula rllente cs de acuerdo con (15)
y(oIo) = fI COS 2 Jr l lo (1 7)
Lo anterior impliea que al tiempo t gt In habiendo refonido 11 perturbacioacuten 1I11a distancia
v(t-t()) la partiacutecula sitnllda n la distanci xv(t-t(l)uc la partiacutecula liJcnte ueberuacute
enconlrarse desplazada de Sil posilioacutelI d equilibrio tk In misma Iorllla como se cncontraha la
partiacutelllla () al lielllp) 1 c- dccir
JI (x 1) = y (() 1(J ) = n (os 2 7l 11(J
Pero liado Cluc IIJ t - xv oblencmos
y(x) = 11 COS 2 J[ V(-XV)
de dOlluc
r (X 1) = a cos 2 Ir~ (x - v t ) ( 18) v
Esln iacutedlillln clualioacuten dCIIIII~slra quc la perturbncioacuten lIIaliiada es ulla onua iiexcl~icra progrcsiva
uc la fOllna J (x _ VI) para la cual CII este caso la lilllcioacuten J licne la forma dc 1111 coseno
Ias pel1urbaciollcs pnra las cuales la funcioacuten J liclI la fonua de scno o coseno se llaman
muJa armoacuteniclli
Is usual uefinir (1) = 2 re v Irexllllrcicl ulgulur dc la onda (k mancra quc la t IH) pmdc
adquirir f0I111il IIn pocu maacutes sellcilla
y (x 1) = COl (O (x - 1) v
Por olra parte ltnicndo cn cuenla que = iacute v se obliclle tambieacuten
y (x 1) = a cos 2Ir (x - VI) = =a COi (2 x - 2le v 1J iacute A
y tklilliclldo d nlIacutemero dc onda k tic manera lile k =2 Ir iacute oblenemos
y(xt) = Il COl (kx - uacuteJ 1) ( 19)
EII gcmral IIl1a onua lrlll~lIIica se escrihiiacute cllOnces
y (X) = ti se (kx plusmn lO 1 +1) (110)
cn Jonde el signo positivo cOITeSpollJe la olida rcgresivl y el mgativo a la progresiva El
argumento de la funcioacuten seno se Jcine comoJasc de la mrttl
qgt (X 1) = k x plusmn (J 1+ 1
y su valor en x O el tielllpo 1 =O es lp (00) = t = Juse ilidul de la onda De acuerdo
con esta definicioacutelI es faacutecil calcular la diferencia tic Jouc () entre dos partiacuteclllns xI X 2 dd
fIIcdio de propagacioacuten al tielllJl-1 1
(1 I 1)
De 111 misma IIHIIICnt podeltlos calcular la di irelloacutea de flsl qtle se presenta en tina partiacuteeult
X entn los instantes 1J 12
) == rp (x 1] ) - (P (x - 1 )= uacuteJ (1 - 1 I ) (112)
los ejemplos lIllcriltTs dell1t1cstr~1II que la tse illli t iquest plede rlcilmelltc hacerse Illh
cambiando la eSCIla de IDs tiempos Illedtatl~ tIlia l ~a ICIllt de~ ni gen de las coordenadas a
lo largo dd eje x
13 LA EClJACION DIFERENCIAL DE LA ONOA
lientos visto ya lile la ccuaei6n IlOraria de IIlla pCrll1I bcioacutelI lllHlttlalllri que se pllliexcllaga con
velocidad v es dc la Imllla
I(XI)== r(xplusmn VI)
donde J es IIl1a funcioacuten arbitraria que (n clIcntl de la foacutenna de la perturbacioacuten es decir tic
perfil tic a onda el sigilO positivlJ o negativo ittuie si se trata d( 1I1~ onua que se propaga en
el sntiJo ti las x decrciclltl~s n crecientes
--------- -- - ------
lO
ConsiderclIlos ahora lA cCllaciuacuten nomria dc ulla onda progresiva
y(xt)= iexcl(X-VI) (113)
E obvio qUl si In fllncioacuten iexcl tuviera In forma seno o lOSCIIO la ecuacioacuten (1 11) podriacutea
reducirsc a la (1 10) CJue es la ecuacioacuten ele una onda annuacuteica mlnlcllgmllos sin embargo la
arbitmrieuad en la lonna dc la fUllcioacuten y calculemos las derivada5 segundas lk la y (x JI)
con respecto a Ins varinhhs X l Se oht ielle innlcdiatalllenle
)
c7-y == iexcl(X-V)
rJx 2
la comparacioacuten de IllS uns drivadas nos pennite concluir que
tJ2y 1 o]) ( l 11)
Ih-2 --2--J 1
Ia cculJcioacutelI ( 1 14) es ulla ecuHcioacuten d i rerencial lineul a las deri vadas parc iales homogeacutenea dd
slgulldo orden de la ellal podemos (lblclle la pusicioacuten la vcooacutedad y la ucderacioacuteu de
cnulCJllier partiacutecula dd mcdio en el cllill se cSln rrllpagalldo una onda mccuacutenica cllando se
CUIIOClJl las condiciollcs iniciales del s istcma por csta razoacuten la (1 14) se CUIIllce cOIno (1
(middottllIduacutell tlijCllldlll de OIltlII( I l
111 los proacutex iUlos parngrafos cSlueliIfemos entonces el com]gtortnmiellto de di rerelltes sistelllils
fisicos (cllerda resOIte colulllna de aire elc ) en los cuales se introduce una pertlllbaciuacutelI )
( I COII proccdilllicllto silllilll pudemos ver ltiexcltiC la ccllncioacuten horaria de la onda viajera
regresiva ) (x 1) = g(x -1- VI) dOlldc g es una funciuacuten arbitraria tamhieacuten obedece a
In ecuacioacuten dillnnciiexcliexcl1 de la linda (11 1) lo que IlOS pCllllile concluir CJIIC la solucioacutell gencral de la cClloacutelcioacuten dilerllIlit1 IHIltd~ escribi r ClllllU IIna COlllhinacioacutelI lincal tic las dos lindas vioacuteljcras ell la 101111
y(xt) = middottiexcl(x middot-) I Ug(x ~ VI)
1 I
verelllos corno el comportamiento dc estos sistemas pucde describirse a traveacutes de la eCllacioacuten
diferencial de la onda
14 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CllEfiDA
Nos proponemos ahora ultLemlinar la ecuacioacuten del movimiellto de lodas las partiacuteculas de una
cllerda inliacutenita cllalldo en alguacuten plinto de la misma se introdutca IIna perturbacioacuten
Considcnlllos una cucrda infinita no sometida a la gravedad e inlroduzcalllo$ wla perturhacioacutelI
bastante peqllentildea parn qlle podamos Sllponer la tensioacuten uni tafllle y constante SupollgalllDs
que en condiciones de eqlilibrio al tiempo 1 =O la cuerda esteacute lendida sobre el ej~ X y cn
eas comli~illlles detennillCllIOS IIn tramo infiniteacutesimo de longitud tlmiddot comprendido entre los
plllltos )0 y Q) (uyas ilhseisas son X X +IL-c cualldo se introdllcc la pcrturumiuacutelI d
tramito se desplazaraacute verticalmente de manera que todas las partiacuteclllas qlle inieialmellte
estaban onlenidas en el elemcnto de longitud p()Q() = iexcll~ se cncolltrar]1I ahora cOlltenidas
en el tramo PQ deformado de longitud ds
Calcuklllos las lueriquestas que aetIacutelan sohre el tramo PQ cuando la cuerda vibra
las fllerls son simplemente las tcnsiones F tangentes a la cuerda cn los plllltos P Q COIIO
sc Illllestrn cn la Figura 15
P - dx o
Q
y
Fi~Url 15 Cuerda inrlllila sometida a 1I11 pcrurbcioacutell
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
11
-r-mRlU ttpJanb
W ap l~JOlUJW ul V
TABLA DE CONTENIDO
Paacuteg
l ONDAS
11 LA ECUACION DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
12 ONDAS ARMONICAS 5
13 LA ECUACION DIFERENCIAL DE LA ONDA 9
1 A ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CUERDA 11
15 Oh DAS LONGITUDINALES EN UN RESORTE 14
( 16 ONDAS SONORAS 17
17 L ~iexclU~GIA y POTENCIA DI UNA OND t1FCANICJ 2
18 (iexcl DAS ELECTI~OMAGNETICAS 27
1 X T ral IS rsalidaJ de In onda ClIl ~8
182 10lt 1 lllpOS SO II illllllllll Cnlc pcrpclldi culnrcs ~i()
shy183 los lampos E y B S~ propagan ue acutluo con la ecuacioacuten dilcrcmial
de la Olida 32
181 Olida de(lromagll~Iiexclca mnoacutenica 17
J9 SOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAl DE LA ONDA Meacutetodo
de sepLlraeioacuten de variables 38
110 REFI EXION y TRANSMISION DE ONDAS 45
1 11 EFECTO DOPPU2R 51
2 SlJfJERPOSlClON DE ONDAS 56
2 1 Sl ljFRPOSI(JON DE DOS ONDAS iexclIUvIONICiexclS PROGRISIVAS DE
LA MISMA FRECUENCIA 57
21 1 rvllStodo de rasores 63
22 SlW fI~PuumlSICION DE nos ONDAS ARMONIC AS PROGRESIVAS DE
FI~ITlJEN(IAS 1IGERAMENTr DIFFREN1TS r3ATIMIENTOS
2- _ I i Lmiddotmiddot ) c nl nE )OS ( )NDAS I f j( e S l IAIIS Qur SE
IIZUPAG middotJ umiddot~ SI~riexclTDOS OPU ESTOS OND ESTACIONARIA (l
111
3 OIYrtCA GEOMETRICA 80
8231 PRINCIPIO DE lERM Al
32 LEYES DE REFLEXJON Y REFRACCION 85
89
90 33 ESPEJOS ESlERICOS Y PLANOS
331 Propiedades focales
93332 loacutermula de Gauss
333 Construccioacuten graacutefica dc imaacutegenes 9S
96334 Aumento
- 34 SUPERlICJES REFRACTORAS ESFERICAS 97
341 Propiedades focales 98
34 2 Foacutermula ue Gauss para SRE 103
343 Construccioacuten graacutelica de imaacutegenes 106
107344 Aumento de una SRE
3 5 LtNTES DELGADAS 108
351 Propiedade5 fociiacutelcs 109
35 2 Foacutennllla dc Gall~s parr IClltes ddgauas 111
35 3 Construccioacuten graacutefila de imaacutegcnes 114
354 Aumento de Ina cnte - foacutennula de Nc1on 115
36 llRISMAS 116
36 1 Dispcrsioacuten de la luz 117
362 Desviacioacuten producida por UII plisma 118
363 Rcllexioacuten total - Prismas reiacutelcctorcs 121
4 OPTIC A lISICA 126
4 1 INTERfERENCIA PRODUCIDA POR DOS RENDIJAS 127
411 Superlicics lIoda-s y venlracs U3
4 12 Coherencia espacial y temporal 136
42 INTERfERENCIA EN PElJCULAS DELGADAS 138
43 ANILLOS DE NEWTON 142
44 DIFRACCION DE FRAUNIIOFER POR UNA RENDIJA 14~
45 mfRACCION PRODUCIDA POR DOS RENDIJAS 154
lt1 6 POI ARIZACION 160
47 DOnLE REFRACCION 1(gt2
IV
471 Ejes oacutepticos de los cristales lJilTefringclltcs 165
472 Dicroiacutesll1o ~ lcy de Malus 165
- 48 SUPERPOSICION DE ONDAS POLARIZADAS EN PLNOS
PERPENDICULARES 169
49 08TENClON DE Dlf-ERENTES ESTADOS DE POLARIZACION 175
410 LAMINAS CRISTALINAS ENTRE POLARIZDORES CRUZADOS 176
BIBLlOGRAflA 180
v
PRESENT ACION
Este texto ti Ondas y Oplica recoge los temas Cundamcntaks sobre movimiento ondulaIOlo
oacuteptica geomeacutetrica y oacuteptica fisica de conConnidad con los prognmms vi~clllcs para las carreras
de Ingenieriacutea de la Sede teniendo en cuenta lile la tinalidad Je texto es funuamcntallllente
didaacutectica el lTttuniento de los temas no pretende ser exhaustivo aUllque siacute lo sulicicntemente
ngurDso
La tarca no ha sido fkil el lulor ha tratado de aprovechar iexcljI maacuteximu SI larga experiencia
doctnte con miras a logrnr principalmente Ina e~posicioacuten clara y convincente de los
conceptos y un manejo en lo posihle seucillo del fonnalismo matemaacutetico
El autor espera asiacute que su esfuerzo sea c)mpensado con una buena acogida dd lexto de parte
de sus colegas y Je los estudieacutellltes de nuestTa Universidad
Mcdelliacutell julio de 1996
VI
CAPITULO 1
ONDAS
11 LA EClJACION DEL MOVI1IENTO ONDULATORIO
La cxpcriln~ia cotidialla de la perturbacioacuten que se genera cn un estanque de agua cUiacutemdo
dcjamos cacr IIna piedra pcnnitc decir lIlC todos tenemos una idea baslrH1te clara dc lo luc cs
una onda en el ca~o descrito podcmos ver lile a partir lid pUllto en el cual cayoacute la piedra
sobre la sllperlicie del agua se propaga IIna pel1111bacioacuten lC se ilTadia en todas las direcciollcs
Talllbiln podell1os oLscrvar como la mcmbrana dc un altoparlulItc vibra cuando encendernos
un equipo de ~onido y como esa ILgtrncioacuten se propaga ell el aire iexclJloulIcicndo JlIl sOIido
detectable por lIucstros oiacutedos
ror lltfll ladl) II01l1dl) 1111 cmisl)ra (1- r ldio ~ middotImiddotI CII rUIlCiOIlIIJliclllo (kspide en el espacIO IIl1a
onda ekctluacutelllilglleacutelica ljue lllego es captada por la antena lkl aplli1tll rcclptor y por eacuteste vllelta
a transfomlaf en una perturbacioacuten sonora
Todos los iexclInteriores son ejemplos dc ondas y tlldos exhibclI dos importall(e Ciacutelracleriacutesticas
a) Ilay IIlIa propagacioacutelI de cnergiacutea desdc las fuenles hacia el c-plcio
b) Elmcdio l1l d cmd se propaga la onda 110 participa dc la propagacioacuten
[so quicre Jccir por ejcmplo que cn el caso de la piedra luc cne en el estanque de agua las
parliacuteculas de agua no se prop1gan radialmelltc jllnlas con la peJ1urbaci6n sino qllc simplemelllc
oscilan alrededor de su posicioacuten Je cluilibrio en este caso en la dircccioacuten VCJ1iccIl
COllsidlrClIllh hllla ciiexclso sCllcil10 d- 1111 Plllso (lile sc propaga a lo Irgll dc IIna lucrJa ICIlSL
c~l ) p1 d 1 ~I i middot i U lI l IIlla ltII rd1 fija P~) il gttrC110 1 middot(1 1 iexcl)) ( OIlO CImiddotCI111) el
cxpcrilllcntuumlbr produce COII su 111 111 1111 movimiento mriba y abajo puJemos ver qllC en
eite caSll la Cllcrda tOllla la llllllla iexclepI csclllala cn la Figuriexcliexcl 1 1 a)
2
1gt o ~------------~~----~-----~~--------~ ~
0 VI
--------------------~
lb)
Figura 11 a) Pulso generado In un cxtremo de unn cuerda b) El mismo pulso en lUl inslU11e sucesi va
La pcrturbacioacuten que sc ha generado no pennanece quieta sino que se propaga a lo largo de la
cllerda de mancra quc si lomaramos falos sllcesivtls de la cuerda enconlrariacutetlmos que el pulso
viaja ti lo lilrgo de la cutrda mantcnicllJo inmutada su cOllfiguracioacuten (en ausencia de friccioacuten)
eomo se lI1ucstra en la figura 11 b)
La con figuracioacuten C]ut asume la cuada por efecto de la perturbacioacuten en un instante dellnninado
(ror ejemplo f = O) se define como perfil eJelll (JIua y tiene ecuacioacuten
y =J(x) ( 1 1)
en donde Ii variable y repreellta cl desplazamiento con respecto a su posicioacuten de equilibrio
de cualquicr partiacutecula de la cucnJa Dado que la perturbacioacutell viaja a lo lurgo ue la cuerdil la
posicioacuten de las pnrliacuteculas de la cuerda COII respecto a sus posiciones de equilibrio cambiaraacute con
el tiempo ue aCllerdo eon la ecuacioacuten
y = J (xt) ( 12)
3
Esta ecuacioacuten qlle permitc determinar las posIciones (11 toda~ las partiacutecillas del medio de
prop1gacioacutelI en cualquier momento se llama entonces Ixutlci(I Iwraria de la pcrlllrbacin o
ECUACION DE LA ONDA
podemos explicitar un poco mtls la eculcioacuten (1 2) tcnicnuo ell cuenta quesi la perturbacioacuten sc
propaga u lo lar~o de la cuerda tendida sobre el eje x su velocidad de propagacioacuten (que no
debe confundirse con la ve1ocid d CO1 la cual las PiUiiacuteculas dd medio dc propagacioacuten oscilan
alrededor de Sil posicioacuten de equilibrio) seraacute v = ll-jdt
Consi(lltremos hora una pulso que vi~ja a lo largo del ~Ie X propagUldo una pel1urbacioacuteII
que cespl za las pm1iacuteculas en 1 direccioacuten y en 111 sistema de rclcrencia O fijo y en UII
sistema de referencia O cuyo eje horizontal x coincida con X y que se mueve con respecto
u O con la vdocidad v igual () la velocidad de propagacioacuten de la pcrtllrbacioacutelI
yy
1~~~IO_--+-xxovl~
Xx ~
1gt o L-____________~~----~----~~----------xx
o iexclt-_-_-_-_-_-_-v~I~~iexcl(~~~(_)~_I====x===~ Figura t _2 Pulso que viaja a lo lar~o del eje X cn IIIl sistema tija O
y cn lIn si s tr111 a O que se InIHve con velocidad v
Al tiempo t = O installte cn el cual se produce 1 perturbacioacuten los Jos sistemas O V
coinciden de Illanera que
y = y= iexcl(x) =f(x)
Al tiacuteelllpl) 1 () ~Il el sl i lellla V el pulso se ha)riexcl de plazlclo por lo IaIlIO la eCllacioacuten qm
describe la posicioacutelI instltllltuacutenea de las partiacuteculas dd medio de propagacioacuten saaacute
1=(xl)
En el sistema O quc vuUacutea junto con la p(rturhaoacuteoacutelI el pulso Jpanceraacute inmovil de mallera
que
y= f(x)
Dc la Figura 12 cs faacutecil (kJucir qlle
x = x lmiddot vr x = x - (
y qlle por lo t1I110
y = f (x - VI)
Pero como y = y obtelldremos inmcJimiexcliexclmente
y = iexcl(X)== iexcl(X-VI) ( 13)
La (13) es la eCla~ioacutell de la onda viajcra pr(J~rcsivtl (la qne se propaga en el selltido de las x
~reciclltes) la liulIioacuten f C~ Ina fllllcioacuten arhitraria qll~ dcptlldc dc la Iigtnna del pulso pero 11
ltlrglllllcntu dI la funcioacuten solamcnte puede ser (x - VI) Y lIinguna otra combinacioacuten de las Jus
variables x I
Con proet(limicnto anaacutelogo podriiexclunos m)srar que la onda viajera rc~rciltI (que se propaga
ell el sentido ue las X decrecientes) comspuumlnde a la ecullcioacutelI
J = iexcl (x 1) = iexcl (x + VI) ( I 4 )
dUll1c iexcl es una hllli1I arbilraria u1 mp1I111(1I10 (x + VI)
5
La funcioacuten f dcpclld~ unicamcnlc de la fonna de la perturbacioacuten en otras palabras es 1J
funcioacuten mntcmiexcltiea qllc representa el peffil de la onda
12 ONDAS AltMONICAS
Supongamos allora qm el exlnlIlo libn de una cuerda tellsa semi-inflllita telldida a lo largo
del eje x se Illueva en la direccioacuten y de movimiento armoacutenico con oscilaciones repetidas en
este caso cada pulso (representado por una oscilacioacuten completa del extrcmo libre) se propaga 11
lo largo dc la cuerua seguido inllledialamcnte por otro igllal Resulta asiacute lile a lo largo de la
cucrda se propaga ulla serie de pulsos sinusoidales o sen UII tren de olidas
Se diraacute clltonccs que el cxtremo libre ue la cuerda es bjlclIle de la onda y de acuerdo con
nuestras hipoacutetesis Sil movilllienlo tendraacute ecuacioacuten hornria
y(O t) == 11 COl 27T V t ( 1 5)
en donde se lIa supucstuuml qle el cxtnIIO iexclore de la clIer ~stj localiZldo en el origen de bs
coordenadas (x =O) y que su 1l10villliento armoacutellico tenga amplitud (l y liccuelleia v
bull t
i~lIra 13 RCjrsciltac a lentrOI dd 1I0 illlicnto mnoacutenico
dc It partiacutecula fuente de la perturbacioacuten (x =-= O)
6
Como hemus viSlll en d aso del pulso la energiacutea del IllOvimielllo anlloacutenieo de la partiacutecula
fuente se propaga a lo lumiddotjo de la cuerda eon cicl1a velucidad v por lo tanto en tiempns
sucesivos lodas las partiacuteclllas uel medio de propagacioacuten ejcclltarflJl clmismo movimiento de la
pal1Iacutelula x = O de lIIalllnl ltJue cuando ~sta haya ercctuauo ci~rto niacutellllero de oscilaciones
las posiciones dc todas las partiacuteculas k la cuerda en un instante detcl111inado cOlTesponderaacuten a
las rcportadas en la Iigura 14
Figura lA Posicioacuten de todas las partiacuteculas de la cuerda cn la cllal se ha propagado la perlurbacioacuten introducida el el extrelllo libre La rcpresentacioacuten se relicre a lln instante t detelminado
Si el medio de propagacioacuten e5 llnidimensional y lit) dispcrsivo elltonces todas lIS partIacutellIlas
subre ILis cuales llega la perturbaci6n ejecutUl exactamente la mislIIa oscilacioacutelI de la palticnla
fUClItC CUlI la misma amplitud (1 y la misma frecuencia vlt I ) dc 1IIIIlCra quc despueacutes de
cierto niacutellllero de oscilacioncs de la partIacutecnla fucule en cualquicr insliexclulte [iexclay varias plIliacuteclllas
dd IIIcJio quc se encuentran cxactamcnte con el mismo desplazlllliento con rcspecto a la
posicioacuten de equilihrio y con la misma velocidad (Figura 14) es decir qll~ sc enCllelltrall ell el I
1lli~1II0 eslato de perlllrbl1ciciacutell
( 1) AUacuteII en los Illedios no disrcrsivos en los cuales no se disira energiacutea la amplitud de la Olida dislllilluye iacuteI IIHdida que la pertmuacioacuten ~c acja de la lilcllte cllando el mediu de propagacioacuten 110 cs IInidimellsional 111 los lIledios bidimcllsionalc~ (p c la sllperliacutecic de (111 eslallqlle) o tridillHlIsillJlaks (pc el espacio en d (ual se propaga ulla Olida sOlloril) dcbe tellersc ell Cllellta que r elicrgiacute1 transportada por la Olida se distrihu)t SOOI( flentcs de ondas slcnlprcs nluacutes extcnsos lo que lO OClIlTe para los IlIcllio IIl1idimellsionales ell los cllalc la cllergiacutea de la olldil siclllpre eS1 CUJICClllratla ell 1111
plllltO
7
El COlljilllO de In) partiacuteculas o de los plllltUacute ud cspacn a 1ls que Ikga simulluacutelleamcnte la
perturbacioacuten ondul3toria se lIamajrente dc lJIuJa
El frente dI onda pll~de ~er 1111 plinto IInn liacutenea O IIl1a slIperlicic segIacuteln la onda se propnglle en
1111 m~io IIl1i- hi- II triuilllensionnl por ejemplo cualldo d~jalllu$ caer una piedra en un
cstnnquc los frentes tk onda son ciacuterculos con celltro cn el punto de impacto
Ln menor distallcia entrc uos pnrtiacutecubs (jue pertenezcan a dilcrclllcs frcltes de onda y que se
cncllelllmn en el mismo csiacuteado dc pCl1urhacioacuten $C ddine como Ollgillld tic Olida l y
c(HTesponJe a la distamia recorrida por la perturhacioacutelI en un pcriacuteodll T (jlle cs cl tielllpo
durllltc el cual In partiacutecula filcntc ejeclltn una oscilacioacutelI completa
Es evidente qlle T = iacuteil y que por lo tanlo V
v lIT == iacutei l ( 16)
Con hase en eiexclIiexcliexcls obscrvlciones qllercmos ahora deterlllillllr la posicioacuten inslallluacutene1 d
cllalqllia paniacutecula ud medio en cl ctliexcl1 se estl prnplgaJlllo la pcrtmbacioacuten ondliltol ia~ la
ecuacioacuten (15) nos proporciona la informacioacuten relativa a la posicioacuten de In partiacutecula fuente de
la pertilrbneioacuten que slIponcmos situnda cn x == O sc trata entonces de cmontrar la eCllaeiuacuten
horaria de la perturbacioacuten o sea la fonlla expliacutecita ue la funcioacuten y (x )
Para resulver el problema propllcsto debemos tellcr en Cllcllta qlle l1 tiempo I(J hl posicioacuten de
la partiacutecula rllente cs de acuerdo con (15)
y(oIo) = fI COS 2 Jr l lo (1 7)
Lo anterior impliea que al tiempo t gt In habiendo refonido 11 perturbacioacuten 1I11a distancia
v(t-t()) la partiacutecula sitnllda n la distanci xv(t-t(l)uc la partiacutecula liJcnte ueberuacute
enconlrarse desplazada de Sil posilioacutelI d equilibrio tk In misma Iorllla como se cncontraha la
partiacutelllla () al lielllp) 1 c- dccir
JI (x 1) = y (() 1(J ) = n (os 2 7l 11(J
Pero liado Cluc IIJ t - xv oblencmos
y(x) = 11 COS 2 J[ V(-XV)
de dOlluc
r (X 1) = a cos 2 Ir~ (x - v t ) ( 18) v
Esln iacutedlillln clualioacuten dCIIIII~slra quc la perturbncioacuten lIIaliiada es ulla onua iiexcl~icra progrcsiva
uc la fOllna J (x _ VI) para la cual CII este caso la lilllcioacuten J licne la forma dc 1111 coseno
Ias pel1urbaciollcs pnra las cuales la funcioacuten J liclI la fonua de scno o coseno se llaman
muJa armoacuteniclli
Is usual uefinir (1) = 2 re v Irexllllrcicl ulgulur dc la onda (k mancra quc la t IH) pmdc
adquirir f0I111il IIn pocu maacutes sellcilla
y (x 1) = COl (O (x - 1) v
Por olra parte ltnicndo cn cuenla que = iacute v se obliclle tambieacuten
y (x 1) = a cos 2Ir (x - VI) = =a COi (2 x - 2le v 1J iacute A
y tklilliclldo d nlIacutemero dc onda k tic manera lile k =2 Ir iacute oblenemos
y(xt) = Il COl (kx - uacuteJ 1) ( 19)
EII gcmral IIl1a onua lrlll~lIIica se escrihiiacute cllOnces
y (X) = ti se (kx plusmn lO 1 +1) (110)
cn Jonde el signo positivo cOITeSpollJe la olida rcgresivl y el mgativo a la progresiva El
argumento de la funcioacuten seno se Jcine comoJasc de la mrttl
qgt (X 1) = k x plusmn (J 1+ 1
y su valor en x O el tielllpo 1 =O es lp (00) = t = Juse ilidul de la onda De acuerdo
con esta definicioacutelI es faacutecil calcular la diferencia tic Jouc () entre dos partiacuteclllns xI X 2 dd
fIIcdio de propagacioacuten al tielllJl-1 1
(1 I 1)
De 111 misma IIHIIICnt podeltlos calcular la di irelloacutea de flsl qtle se presenta en tina partiacuteeult
X entn los instantes 1J 12
) == rp (x 1] ) - (P (x - 1 )= uacuteJ (1 - 1 I ) (112)
los ejemplos lIllcriltTs dell1t1cstr~1II que la tse illli t iquest plede rlcilmelltc hacerse Illh
cambiando la eSCIla de IDs tiempos Illedtatl~ tIlia l ~a ICIllt de~ ni gen de las coordenadas a
lo largo dd eje x
13 LA EClJACION DIFERENCIAL DE LA ONOA
lientos visto ya lile la ccuaei6n IlOraria de IIlla pCrll1I bcioacutelI lllHlttlalllri que se pllliexcllaga con
velocidad v es dc la Imllla
I(XI)== r(xplusmn VI)
donde J es IIl1a funcioacuten arbitraria que (n clIcntl de la foacutenna de la perturbacioacuten es decir tic
perfil tic a onda el sigilO positivlJ o negativo ittuie si se trata d( 1I1~ onua que se propaga en
el sntiJo ti las x decrciclltl~s n crecientes
--------- -- - ------
lO
ConsiderclIlos ahora lA cCllaciuacuten nomria dc ulla onda progresiva
y(xt)= iexcl(X-VI) (113)
E obvio qUl si In fllncioacuten iexcl tuviera In forma seno o lOSCIIO la ecuacioacuten (1 11) podriacutea
reducirsc a la (1 10) CJue es la ecuacioacuten ele una onda annuacuteica mlnlcllgmllos sin embargo la
arbitmrieuad en la lonna dc la fUllcioacuten y calculemos las derivada5 segundas lk la y (x JI)
con respecto a Ins varinhhs X l Se oht ielle innlcdiatalllenle
)
c7-y == iexcl(X-V)
rJx 2
la comparacioacuten de IllS uns drivadas nos pennite concluir que
tJ2y 1 o]) ( l 11)
Ih-2 --2--J 1
Ia cculJcioacutelI ( 1 14) es ulla ecuHcioacuten d i rerencial lineul a las deri vadas parc iales homogeacutenea dd
slgulldo orden de la ellal podemos (lblclle la pusicioacuten la vcooacutedad y la ucderacioacuteu de
cnulCJllier partiacutecula dd mcdio en el cllill se cSln rrllpagalldo una onda mccuacutenica cllando se
CUIIOClJl las condiciollcs iniciales del s istcma por csta razoacuten la (1 14) se CUIIllce cOIno (1
(middottllIduacutell tlijCllldlll de OIltlII( I l
111 los proacutex iUlos parngrafos cSlueliIfemos entonces el com]gtortnmiellto de di rerelltes sistelllils
fisicos (cllerda resOIte colulllna de aire elc ) en los cuales se introduce una pertlllbaciuacutelI )
( I COII proccdilllicllto silllilll pudemos ver ltiexcltiC la ccllncioacuten horaria de la onda viajera
regresiva ) (x 1) = g(x -1- VI) dOlldc g es una funciuacuten arbitraria tamhieacuten obedece a
In ecuacioacuten dillnnciiexcliexcl1 de la linda (11 1) lo que IlOS pCllllile concluir CJIIC la solucioacutell gencral de la cClloacutelcioacuten dilerllIlit1 IHIltd~ escribi r ClllllU IIna COlllhinacioacutelI lincal tic las dos lindas vioacuteljcras ell la 101111
y(xt) = middottiexcl(x middot-) I Ug(x ~ VI)
1 I
verelllos corno el comportamiento dc estos sistemas pucde describirse a traveacutes de la eCllacioacuten
diferencial de la onda
14 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CllEfiDA
Nos proponemos ahora ultLemlinar la ecuacioacuten del movimiellto de lodas las partiacuteculas de una
cllerda inliacutenita cllalldo en alguacuten plinto de la misma se introdutca IIna perturbacioacuten
Considcnlllos una cucrda infinita no sometida a la gravedad e inlroduzcalllo$ wla perturhacioacutelI
bastante peqllentildea parn qlle podamos Sllponer la tensioacuten uni tafllle y constante SupollgalllDs
que en condiciones de eqlilibrio al tiempo 1 =O la cuerda esteacute lendida sobre el ej~ X y cn
eas comli~illlles detennillCllIOS IIn tramo infiniteacutesimo de longitud tlmiddot comprendido entre los
plllltos )0 y Q) (uyas ilhseisas son X X +IL-c cualldo se introdllcc la pcrturumiuacutelI d
tramito se desplazaraacute verticalmente de manera que todas las partiacuteclllas qlle inieialmellte
estaban onlenidas en el elemcnto de longitud p()Q() = iexcll~ se cncolltrar]1I ahora cOlltenidas
en el tramo PQ deformado de longitud ds
Calcuklllos las lueriquestas que aetIacutelan sohre el tramo PQ cuando la cuerda vibra
las fllerls son simplemente las tcnsiones F tangentes a la cuerda cn los plllltos P Q COIIO
sc Illllestrn cn la Figura 15
P - dx o
Q
y
Fi~Url 15 Cuerda inrlllila sometida a 1I11 pcrurbcioacutell
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
TABLA DE CONTENIDO
Paacuteg
l ONDAS
11 LA ECUACION DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
12 ONDAS ARMONICAS 5
13 LA ECUACION DIFERENCIAL DE LA ONDA 9
1 A ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CUERDA 11
15 Oh DAS LONGITUDINALES EN UN RESORTE 14
( 16 ONDAS SONORAS 17
17 L ~iexclU~GIA y POTENCIA DI UNA OND t1FCANICJ 2
18 (iexcl DAS ELECTI~OMAGNETICAS 27
1 X T ral IS rsalidaJ de In onda ClIl ~8
182 10lt 1 lllpOS SO II illllllllll Cnlc pcrpclldi culnrcs ~i()
shy183 los lampos E y B S~ propagan ue acutluo con la ecuacioacuten dilcrcmial
de la Olida 32
181 Olida de(lromagll~Iiexclca mnoacutenica 17
J9 SOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAl DE LA ONDA Meacutetodo
de sepLlraeioacuten de variables 38
110 REFI EXION y TRANSMISION DE ONDAS 45
1 11 EFECTO DOPPU2R 51
2 SlJfJERPOSlClON DE ONDAS 56
2 1 Sl ljFRPOSI(JON DE DOS ONDAS iexclIUvIONICiexclS PROGRISIVAS DE
LA MISMA FRECUENCIA 57
21 1 rvllStodo de rasores 63
22 SlW fI~PuumlSICION DE nos ONDAS ARMONIC AS PROGRESIVAS DE
FI~ITlJEN(IAS 1IGERAMENTr DIFFREN1TS r3ATIMIENTOS
2- _ I i Lmiddotmiddot ) c nl nE )OS ( )NDAS I f j( e S l IAIIS Qur SE
IIZUPAG middotJ umiddot~ SI~riexclTDOS OPU ESTOS OND ESTACIONARIA (l
111
3 OIYrtCA GEOMETRICA 80
8231 PRINCIPIO DE lERM Al
32 LEYES DE REFLEXJON Y REFRACCION 85
89
90 33 ESPEJOS ESlERICOS Y PLANOS
331 Propiedades focales
93332 loacutermula de Gauss
333 Construccioacuten graacutefica dc imaacutegenes 9S
96334 Aumento
- 34 SUPERlICJES REFRACTORAS ESFERICAS 97
341 Propiedades focales 98
34 2 Foacutermula ue Gauss para SRE 103
343 Construccioacuten graacutelica de imaacutegenes 106
107344 Aumento de una SRE
3 5 LtNTES DELGADAS 108
351 Propiedade5 fociiacutelcs 109
35 2 Foacutennllla dc Gall~s parr IClltes ddgauas 111
35 3 Construccioacuten graacutefila de imaacutegcnes 114
354 Aumento de Ina cnte - foacutennula de Nc1on 115
36 llRISMAS 116
36 1 Dispcrsioacuten de la luz 117
362 Desviacioacuten producida por UII plisma 118
363 Rcllexioacuten total - Prismas reiacutelcctorcs 121
4 OPTIC A lISICA 126
4 1 INTERfERENCIA PRODUCIDA POR DOS RENDIJAS 127
411 Superlicics lIoda-s y venlracs U3
4 12 Coherencia espacial y temporal 136
42 INTERfERENCIA EN PElJCULAS DELGADAS 138
43 ANILLOS DE NEWTON 142
44 DIFRACCION DE FRAUNIIOFER POR UNA RENDIJA 14~
45 mfRACCION PRODUCIDA POR DOS RENDIJAS 154
lt1 6 POI ARIZACION 160
47 DOnLE REFRACCION 1(gt2
IV
471 Ejes oacutepticos de los cristales lJilTefringclltcs 165
472 Dicroiacutesll1o ~ lcy de Malus 165
- 48 SUPERPOSICION DE ONDAS POLARIZADAS EN PLNOS
PERPENDICULARES 169
49 08TENClON DE Dlf-ERENTES ESTADOS DE POLARIZACION 175
410 LAMINAS CRISTALINAS ENTRE POLARIZDORES CRUZADOS 176
BIBLlOGRAflA 180
v
PRESENT ACION
Este texto ti Ondas y Oplica recoge los temas Cundamcntaks sobre movimiento ondulaIOlo
oacuteptica geomeacutetrica y oacuteptica fisica de conConnidad con los prognmms vi~clllcs para las carreras
de Ingenieriacutea de la Sede teniendo en cuenta lile la tinalidad Je texto es funuamcntallllente
didaacutectica el lTttuniento de los temas no pretende ser exhaustivo aUllque siacute lo sulicicntemente
ngurDso
La tarca no ha sido fkil el lulor ha tratado de aprovechar iexcljI maacuteximu SI larga experiencia
doctnte con miras a logrnr principalmente Ina e~posicioacuten clara y convincente de los
conceptos y un manejo en lo posihle seucillo del fonnalismo matemaacutetico
El autor espera asiacute que su esfuerzo sea c)mpensado con una buena acogida dd lexto de parte
de sus colegas y Je los estudieacutellltes de nuestTa Universidad
Mcdelliacutell julio de 1996
VI
CAPITULO 1
ONDAS
11 LA EClJACION DEL MOVI1IENTO ONDULATORIO
La cxpcriln~ia cotidialla de la perturbacioacuten que se genera cn un estanque de agua cUiacutemdo
dcjamos cacr IIna piedra pcnnitc decir lIlC todos tenemos una idea baslrH1te clara dc lo luc cs
una onda en el ca~o descrito podcmos ver lile a partir lid pUllto en el cual cayoacute la piedra
sobre la sllperlicie del agua se propaga IIna pel1111bacioacuten lC se ilTadia en todas las direcciollcs
Talllbiln podell1os oLscrvar como la mcmbrana dc un altoparlulItc vibra cuando encendernos
un equipo de ~onido y como esa ILgtrncioacuten se propaga ell el aire iexclJloulIcicndo JlIl sOIido
detectable por lIucstros oiacutedos
ror lltfll ladl) II01l1dl) 1111 cmisl)ra (1- r ldio ~ middotImiddotI CII rUIlCiOIlIIJliclllo (kspide en el espacIO IIl1a
onda ekctluacutelllilglleacutelica ljue lllego es captada por la antena lkl aplli1tll rcclptor y por eacuteste vllelta
a transfomlaf en una perturbacioacuten sonora
Todos los iexclInteriores son ejemplos dc ondas y tlldos exhibclI dos importall(e Ciacutelracleriacutesticas
a) Ilay IIlIa propagacioacutelI de cnergiacutea desdc las fuenles hacia el c-plcio
b) Elmcdio l1l d cmd se propaga la onda 110 participa dc la propagacioacuten
[so quicre Jccir por ejcmplo que cn el caso de la piedra luc cne en el estanque de agua las
parliacuteculas de agua no se prop1gan radialmelltc jllnlas con la peJ1urbaci6n sino qllc simplemelllc
oscilan alrededor de su posicioacuten Je cluilibrio en este caso en la dircccioacuten VCJ1iccIl
COllsidlrClIllh hllla ciiexclso sCllcil10 d- 1111 Plllso (lile sc propaga a lo Irgll dc IIna lucrJa ICIlSL
c~l ) p1 d 1 ~I i middot i U lI l IIlla ltII rd1 fija P~) il gttrC110 1 middot(1 1 iexcl)) ( OIlO CImiddotCI111) el
cxpcrilllcntuumlbr produce COII su 111 111 1111 movimiento mriba y abajo puJemos ver qllC en
eite caSll la Cllcrda tOllla la llllllla iexclepI csclllala cn la Figuriexcliexcl 1 1 a)
2
1gt o ~------------~~----~-----~~--------~ ~
0 VI
--------------------~
lb)
Figura 11 a) Pulso generado In un cxtremo de unn cuerda b) El mismo pulso en lUl inslU11e sucesi va
La pcrturbacioacuten que sc ha generado no pennanece quieta sino que se propaga a lo largo de la
cllerda de mancra quc si lomaramos falos sllcesivtls de la cuerda enconlrariacutetlmos que el pulso
viaja ti lo lilrgo de la cutrda mantcnicllJo inmutada su cOllfiguracioacuten (en ausencia de friccioacuten)
eomo se lI1ucstra en la figura 11 b)
La con figuracioacuten C]ut asume la cuada por efecto de la perturbacioacuten en un instante dellnninado
(ror ejemplo f = O) se define como perfil eJelll (JIua y tiene ecuacioacuten
y =J(x) ( 1 1)
en donde Ii variable y repreellta cl desplazamiento con respecto a su posicioacuten de equilibrio
de cualquicr partiacutecula de la cucnJa Dado que la perturbacioacutell viaja a lo lurgo ue la cuerdil la
posicioacuten de las pnrliacuteculas de la cuerda COII respecto a sus posiciones de equilibrio cambiaraacute con
el tiempo ue aCllerdo eon la ecuacioacuten
y = J (xt) ( 12)
3
Esta ecuacioacuten qlle permitc determinar las posIciones (11 toda~ las partiacutecillas del medio de
prop1gacioacutelI en cualquier momento se llama entonces Ixutlci(I Iwraria de la pcrlllrbacin o
ECUACION DE LA ONDA
podemos explicitar un poco mtls la eculcioacuten (1 2) tcnicnuo ell cuenta quesi la perturbacioacuten sc
propaga u lo lar~o de la cuerda tendida sobre el eje x su velocidad de propagacioacuten (que no
debe confundirse con la ve1ocid d CO1 la cual las PiUiiacuteculas dd medio dc propagacioacuten oscilan
alrededor de Sil posicioacuten de equilibrio) seraacute v = ll-jdt
Consi(lltremos hora una pulso que vi~ja a lo largo del ~Ie X propagUldo una pel1urbacioacuteII
que cespl za las pm1iacuteculas en 1 direccioacuten y en 111 sistema de rclcrencia O fijo y en UII
sistema de referencia O cuyo eje horizontal x coincida con X y que se mueve con respecto
u O con la vdocidad v igual () la velocidad de propagacioacuten de la pcrtllrbacioacutelI
yy
1~~~IO_--+-xxovl~
Xx ~
1gt o L-____________~~----~----~~----------xx
o iexclt-_-_-_-_-_-_-v~I~~iexcl(~~~(_)~_I====x===~ Figura t _2 Pulso que viaja a lo lar~o del eje X cn IIIl sistema tija O
y cn lIn si s tr111 a O que se InIHve con velocidad v
Al tiempo t = O installte cn el cual se produce 1 perturbacioacuten los Jos sistemas O V
coinciden de Illanera que
y = y= iexcl(x) =f(x)
Al tiacuteelllpl) 1 () ~Il el sl i lellla V el pulso se ha)riexcl de plazlclo por lo IaIlIO la eCllacioacuten qm
describe la posicioacutelI instltllltuacutenea de las partiacuteculas dd medio de propagacioacuten saaacute
1=(xl)
En el sistema O quc vuUacutea junto con la p(rturhaoacuteoacutelI el pulso Jpanceraacute inmovil de mallera
que
y= f(x)
Dc la Figura 12 cs faacutecil (kJucir qlle
x = x lmiddot vr x = x - (
y qlle por lo t1I110
y = f (x - VI)
Pero como y = y obtelldremos inmcJimiexcliexclmente
y = iexcl(X)== iexcl(X-VI) ( 13)
La (13) es la eCla~ioacutell de la onda viajcra pr(J~rcsivtl (la qne se propaga en el selltido de las x
~reciclltes) la liulIioacuten f C~ Ina fllllcioacuten arhitraria qll~ dcptlldc dc la Iigtnna del pulso pero 11
ltlrglllllcntu dI la funcioacuten solamcnte puede ser (x - VI) Y lIinguna otra combinacioacuten de las Jus
variables x I
Con proet(limicnto anaacutelogo podriiexclunos m)srar que la onda viajera rc~rciltI (que se propaga
ell el sentido ue las X decrecientes) comspuumlnde a la ecullcioacutelI
J = iexcl (x 1) = iexcl (x + VI) ( I 4 )
dUll1c iexcl es una hllli1I arbilraria u1 mp1I111(1I10 (x + VI)
5
La funcioacuten f dcpclld~ unicamcnlc de la fonna de la perturbacioacuten en otras palabras es 1J
funcioacuten mntcmiexcltiea qllc representa el peffil de la onda
12 ONDAS AltMONICAS
Supongamos allora qm el exlnlIlo libn de una cuerda tellsa semi-inflllita telldida a lo largo
del eje x se Illueva en la direccioacuten y de movimiento armoacutenico con oscilaciones repetidas en
este caso cada pulso (representado por una oscilacioacuten completa del extrcmo libre) se propaga 11
lo largo dc la cuerua seguido inllledialamcnte por otro igllal Resulta asiacute lile a lo largo de la
cucrda se propaga ulla serie de pulsos sinusoidales o sen UII tren de olidas
Se diraacute clltonccs que el cxtremo libre ue la cuerda es bjlclIle de la onda y de acuerdo con
nuestras hipoacutetesis Sil movilllienlo tendraacute ecuacioacuten hornria
y(O t) == 11 COl 27T V t ( 1 5)
en donde se lIa supucstuuml qle el cxtnIIO iexclore de la clIer ~stj localiZldo en el origen de bs
coordenadas (x =O) y que su 1l10villliento armoacutellico tenga amplitud (l y liccuelleia v
bull t
i~lIra 13 RCjrsciltac a lentrOI dd 1I0 illlicnto mnoacutenico
dc It partiacutecula fuente de la perturbacioacuten (x =-= O)
6
Como hemus viSlll en d aso del pulso la energiacutea del IllOvimielllo anlloacutenieo de la partiacutecula
fuente se propaga a lo lumiddotjo de la cuerda eon cicl1a velucidad v por lo tanto en tiempns
sucesivos lodas las partiacuteclllas uel medio de propagacioacuten ejcclltarflJl clmismo movimiento de la
pal1Iacutelula x = O de lIIalllnl ltJue cuando ~sta haya ercctuauo ci~rto niacutellllero de oscilaciones
las posiciones dc todas las partiacuteculas k la cuerda en un instante detcl111inado cOlTesponderaacuten a
las rcportadas en la Iigura 14
Figura lA Posicioacuten de todas las partiacuteculas de la cuerda cn la cllal se ha propagado la perlurbacioacuten introducida el el extrelllo libre La rcpresentacioacuten se relicre a lln instante t detelminado
Si el medio de propagacioacuten e5 llnidimensional y lit) dispcrsivo elltonces todas lIS partIacutellIlas
subre ILis cuales llega la perturbaci6n ejecutUl exactamente la mislIIa oscilacioacutelI de la palticnla
fUClItC CUlI la misma amplitud (1 y la misma frecuencia vlt I ) dc 1IIIIlCra quc despueacutes de
cierto niacutellllero de oscilacioncs de la partIacutecnla fucule en cualquicr insliexclulte [iexclay varias plIliacuteclllas
dd IIIcJio quc se encuentran cxactamcnte con el mismo desplazlllliento con rcspecto a la
posicioacuten de equilihrio y con la misma velocidad (Figura 14) es decir qll~ sc enCllelltrall ell el I
1lli~1II0 eslato de perlllrbl1ciciacutell
( 1) AUacuteII en los Illedios no disrcrsivos en los cuales no se disira energiacutea la amplitud de la Olida dislllilluye iacuteI IIHdida que la pertmuacioacuten ~c acja de la lilcllte cllando el mediu de propagacioacuten 110 cs IInidimellsional 111 los lIledios bidimcllsionalc~ (p c la sllperliacutecic de (111 eslallqlle) o tridillHlIsillJlaks (pc el espacio en d (ual se propaga ulla Olida sOlloril) dcbe tellersc ell Cllellta que r elicrgiacute1 transportada por la Olida se distrihu)t SOOI( flentcs de ondas slcnlprcs nluacutes extcnsos lo que lO OClIlTe para los IlIcllio IIl1idimellsionales ell los cllalc la cllergiacutea de la olldil siclllpre eS1 CUJICClllratla ell 1111
plllltO
7
El COlljilllO de In) partiacuteculas o de los plllltUacute ud cspacn a 1ls que Ikga simulluacutelleamcnte la
perturbacioacuten ondul3toria se lIamajrente dc lJIuJa
El frente dI onda pll~de ~er 1111 plinto IInn liacutenea O IIl1a slIperlicic segIacuteln la onda se propnglle en
1111 m~io IIl1i- hi- II triuilllensionnl por ejemplo cualldo d~jalllu$ caer una piedra en un
cstnnquc los frentes tk onda son ciacuterculos con celltro cn el punto de impacto
Ln menor distallcia entrc uos pnrtiacutecubs (jue pertenezcan a dilcrclllcs frcltes de onda y que se
cncllelllmn en el mismo csiacuteado dc pCl1urhacioacuten $C ddine como Ollgillld tic Olida l y
c(HTesponJe a la distamia recorrida por la perturhacioacutelI en un pcriacuteodll T (jlle cs cl tielllpo
durllltc el cual In partiacutecula filcntc ejeclltn una oscilacioacutelI completa
Es evidente qlle T = iacuteil y que por lo tanlo V
v lIT == iacutei l ( 16)
Con hase en eiexclIiexcliexcls obscrvlciones qllercmos ahora deterlllillllr la posicioacuten inslallluacutene1 d
cllalqllia paniacutecula ud medio en cl ctliexcl1 se estl prnplgaJlllo la pcrtmbacioacuten ondliltol ia~ la
ecuacioacuten (15) nos proporciona la informacioacuten relativa a la posicioacuten de In partiacutecula fuente de
la pertilrbneioacuten que slIponcmos situnda cn x == O sc trata entonces de cmontrar la eCllaeiuacuten
horaria de la perturbacioacuten o sea la fonlla expliacutecita ue la funcioacuten y (x )
Para resulver el problema propllcsto debemos tellcr en Cllcllta qlle l1 tiempo I(J hl posicioacuten de
la partiacutecula rllente cs de acuerdo con (15)
y(oIo) = fI COS 2 Jr l lo (1 7)
Lo anterior impliea que al tiempo t gt In habiendo refonido 11 perturbacioacuten 1I11a distancia
v(t-t()) la partiacutecula sitnllda n la distanci xv(t-t(l)uc la partiacutecula liJcnte ueberuacute
enconlrarse desplazada de Sil posilioacutelI d equilibrio tk In misma Iorllla como se cncontraha la
partiacutelllla () al lielllp) 1 c- dccir
JI (x 1) = y (() 1(J ) = n (os 2 7l 11(J
Pero liado Cluc IIJ t - xv oblencmos
y(x) = 11 COS 2 J[ V(-XV)
de dOlluc
r (X 1) = a cos 2 Ir~ (x - v t ) ( 18) v
Esln iacutedlillln clualioacuten dCIIIII~slra quc la perturbncioacuten lIIaliiada es ulla onua iiexcl~icra progrcsiva
uc la fOllna J (x _ VI) para la cual CII este caso la lilllcioacuten J licne la forma dc 1111 coseno
Ias pel1urbaciollcs pnra las cuales la funcioacuten J liclI la fonua de scno o coseno se llaman
muJa armoacuteniclli
Is usual uefinir (1) = 2 re v Irexllllrcicl ulgulur dc la onda (k mancra quc la t IH) pmdc
adquirir f0I111il IIn pocu maacutes sellcilla
y (x 1) = COl (O (x - 1) v
Por olra parte ltnicndo cn cuenla que = iacute v se obliclle tambieacuten
y (x 1) = a cos 2Ir (x - VI) = =a COi (2 x - 2le v 1J iacute A
y tklilliclldo d nlIacutemero dc onda k tic manera lile k =2 Ir iacute oblenemos
y(xt) = Il COl (kx - uacuteJ 1) ( 19)
EII gcmral IIl1a onua lrlll~lIIica se escrihiiacute cllOnces
y (X) = ti se (kx plusmn lO 1 +1) (110)
cn Jonde el signo positivo cOITeSpollJe la olida rcgresivl y el mgativo a la progresiva El
argumento de la funcioacuten seno se Jcine comoJasc de la mrttl
qgt (X 1) = k x plusmn (J 1+ 1
y su valor en x O el tielllpo 1 =O es lp (00) = t = Juse ilidul de la onda De acuerdo
con esta definicioacutelI es faacutecil calcular la diferencia tic Jouc () entre dos partiacuteclllns xI X 2 dd
fIIcdio de propagacioacuten al tielllJl-1 1
(1 I 1)
De 111 misma IIHIIICnt podeltlos calcular la di irelloacutea de flsl qtle se presenta en tina partiacuteeult
X entn los instantes 1J 12
) == rp (x 1] ) - (P (x - 1 )= uacuteJ (1 - 1 I ) (112)
los ejemplos lIllcriltTs dell1t1cstr~1II que la tse illli t iquest plede rlcilmelltc hacerse Illh
cambiando la eSCIla de IDs tiempos Illedtatl~ tIlia l ~a ICIllt de~ ni gen de las coordenadas a
lo largo dd eje x
13 LA EClJACION DIFERENCIAL DE LA ONOA
lientos visto ya lile la ccuaei6n IlOraria de IIlla pCrll1I bcioacutelI lllHlttlalllri que se pllliexcllaga con
velocidad v es dc la Imllla
I(XI)== r(xplusmn VI)
donde J es IIl1a funcioacuten arbitraria que (n clIcntl de la foacutenna de la perturbacioacuten es decir tic
perfil tic a onda el sigilO positivlJ o negativo ittuie si se trata d( 1I1~ onua que se propaga en
el sntiJo ti las x decrciclltl~s n crecientes
--------- -- - ------
lO
ConsiderclIlos ahora lA cCllaciuacuten nomria dc ulla onda progresiva
y(xt)= iexcl(X-VI) (113)
E obvio qUl si In fllncioacuten iexcl tuviera In forma seno o lOSCIIO la ecuacioacuten (1 11) podriacutea
reducirsc a la (1 10) CJue es la ecuacioacuten ele una onda annuacuteica mlnlcllgmllos sin embargo la
arbitmrieuad en la lonna dc la fUllcioacuten y calculemos las derivada5 segundas lk la y (x JI)
con respecto a Ins varinhhs X l Se oht ielle innlcdiatalllenle
)
c7-y == iexcl(X-V)
rJx 2
la comparacioacuten de IllS uns drivadas nos pennite concluir que
tJ2y 1 o]) ( l 11)
Ih-2 --2--J 1
Ia cculJcioacutelI ( 1 14) es ulla ecuHcioacuten d i rerencial lineul a las deri vadas parc iales homogeacutenea dd
slgulldo orden de la ellal podemos (lblclle la pusicioacuten la vcooacutedad y la ucderacioacuteu de
cnulCJllier partiacutecula dd mcdio en el cllill se cSln rrllpagalldo una onda mccuacutenica cllando se
CUIIOClJl las condiciollcs iniciales del s istcma por csta razoacuten la (1 14) se CUIIllce cOIno (1
(middottllIduacutell tlijCllldlll de OIltlII( I l
111 los proacutex iUlos parngrafos cSlueliIfemos entonces el com]gtortnmiellto de di rerelltes sistelllils
fisicos (cllerda resOIte colulllna de aire elc ) en los cuales se introduce una pertlllbaciuacutelI )
( I COII proccdilllicllto silllilll pudemos ver ltiexcltiC la ccllncioacuten horaria de la onda viajera
regresiva ) (x 1) = g(x -1- VI) dOlldc g es una funciuacuten arbitraria tamhieacuten obedece a
In ecuacioacuten dillnnciiexcliexcl1 de la linda (11 1) lo que IlOS pCllllile concluir CJIIC la solucioacutell gencral de la cClloacutelcioacuten dilerllIlit1 IHIltd~ escribi r ClllllU IIna COlllhinacioacutelI lincal tic las dos lindas vioacuteljcras ell la 101111
y(xt) = middottiexcl(x middot-) I Ug(x ~ VI)
1 I
verelllos corno el comportamiento dc estos sistemas pucde describirse a traveacutes de la eCllacioacuten
diferencial de la onda
14 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CllEfiDA
Nos proponemos ahora ultLemlinar la ecuacioacuten del movimiellto de lodas las partiacuteculas de una
cllerda inliacutenita cllalldo en alguacuten plinto de la misma se introdutca IIna perturbacioacuten
Considcnlllos una cucrda infinita no sometida a la gravedad e inlroduzcalllo$ wla perturhacioacutelI
bastante peqllentildea parn qlle podamos Sllponer la tensioacuten uni tafllle y constante SupollgalllDs
que en condiciones de eqlilibrio al tiempo 1 =O la cuerda esteacute lendida sobre el ej~ X y cn
eas comli~illlles detennillCllIOS IIn tramo infiniteacutesimo de longitud tlmiddot comprendido entre los
plllltos )0 y Q) (uyas ilhseisas son X X +IL-c cualldo se introdllcc la pcrturumiuacutelI d
tramito se desplazaraacute verticalmente de manera que todas las partiacuteclllas qlle inieialmellte
estaban onlenidas en el elemcnto de longitud p()Q() = iexcll~ se cncolltrar]1I ahora cOlltenidas
en el tramo PQ deformado de longitud ds
Calcuklllos las lueriquestas que aetIacutelan sohre el tramo PQ cuando la cuerda vibra
las fllerls son simplemente las tcnsiones F tangentes a la cuerda cn los plllltos P Q COIIO
sc Illllestrn cn la Figura 15
P - dx o
Q
y
Fi~Url 15 Cuerda inrlllila sometida a 1I11 pcrurbcioacutell
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
3 OIYrtCA GEOMETRICA 80
8231 PRINCIPIO DE lERM Al
32 LEYES DE REFLEXJON Y REFRACCION 85
89
90 33 ESPEJOS ESlERICOS Y PLANOS
331 Propiedades focales
93332 loacutermula de Gauss
333 Construccioacuten graacutefica dc imaacutegenes 9S
96334 Aumento
- 34 SUPERlICJES REFRACTORAS ESFERICAS 97
341 Propiedades focales 98
34 2 Foacutermula ue Gauss para SRE 103
343 Construccioacuten graacutelica de imaacutegenes 106
107344 Aumento de una SRE
3 5 LtNTES DELGADAS 108
351 Propiedade5 fociiacutelcs 109
35 2 Foacutennllla dc Gall~s parr IClltes ddgauas 111
35 3 Construccioacuten graacutefila de imaacutegcnes 114
354 Aumento de Ina cnte - foacutennula de Nc1on 115
36 llRISMAS 116
36 1 Dispcrsioacuten de la luz 117
362 Desviacioacuten producida por UII plisma 118
363 Rcllexioacuten total - Prismas reiacutelcctorcs 121
4 OPTIC A lISICA 126
4 1 INTERfERENCIA PRODUCIDA POR DOS RENDIJAS 127
411 Superlicics lIoda-s y venlracs U3
4 12 Coherencia espacial y temporal 136
42 INTERfERENCIA EN PElJCULAS DELGADAS 138
43 ANILLOS DE NEWTON 142
44 DIFRACCION DE FRAUNIIOFER POR UNA RENDIJA 14~
45 mfRACCION PRODUCIDA POR DOS RENDIJAS 154
lt1 6 POI ARIZACION 160
47 DOnLE REFRACCION 1(gt2
IV
471 Ejes oacutepticos de los cristales lJilTefringclltcs 165
472 Dicroiacutesll1o ~ lcy de Malus 165
- 48 SUPERPOSICION DE ONDAS POLARIZADAS EN PLNOS
PERPENDICULARES 169
49 08TENClON DE Dlf-ERENTES ESTADOS DE POLARIZACION 175
410 LAMINAS CRISTALINAS ENTRE POLARIZDORES CRUZADOS 176
BIBLlOGRAflA 180
v
PRESENT ACION
Este texto ti Ondas y Oplica recoge los temas Cundamcntaks sobre movimiento ondulaIOlo
oacuteptica geomeacutetrica y oacuteptica fisica de conConnidad con los prognmms vi~clllcs para las carreras
de Ingenieriacutea de la Sede teniendo en cuenta lile la tinalidad Je texto es funuamcntallllente
didaacutectica el lTttuniento de los temas no pretende ser exhaustivo aUllque siacute lo sulicicntemente
ngurDso
La tarca no ha sido fkil el lulor ha tratado de aprovechar iexcljI maacuteximu SI larga experiencia
doctnte con miras a logrnr principalmente Ina e~posicioacuten clara y convincente de los
conceptos y un manejo en lo posihle seucillo del fonnalismo matemaacutetico
El autor espera asiacute que su esfuerzo sea c)mpensado con una buena acogida dd lexto de parte
de sus colegas y Je los estudieacutellltes de nuestTa Universidad
Mcdelliacutell julio de 1996
VI
CAPITULO 1
ONDAS
11 LA EClJACION DEL MOVI1IENTO ONDULATORIO
La cxpcriln~ia cotidialla de la perturbacioacuten que se genera cn un estanque de agua cUiacutemdo
dcjamos cacr IIna piedra pcnnitc decir lIlC todos tenemos una idea baslrH1te clara dc lo luc cs
una onda en el ca~o descrito podcmos ver lile a partir lid pUllto en el cual cayoacute la piedra
sobre la sllperlicie del agua se propaga IIna pel1111bacioacuten lC se ilTadia en todas las direcciollcs
Talllbiln podell1os oLscrvar como la mcmbrana dc un altoparlulItc vibra cuando encendernos
un equipo de ~onido y como esa ILgtrncioacuten se propaga ell el aire iexclJloulIcicndo JlIl sOIido
detectable por lIucstros oiacutedos
ror lltfll ladl) II01l1dl) 1111 cmisl)ra (1- r ldio ~ middotImiddotI CII rUIlCiOIlIIJliclllo (kspide en el espacIO IIl1a
onda ekctluacutelllilglleacutelica ljue lllego es captada por la antena lkl aplli1tll rcclptor y por eacuteste vllelta
a transfomlaf en una perturbacioacuten sonora
Todos los iexclInteriores son ejemplos dc ondas y tlldos exhibclI dos importall(e Ciacutelracleriacutesticas
a) Ilay IIlIa propagacioacutelI de cnergiacutea desdc las fuenles hacia el c-plcio
b) Elmcdio l1l d cmd se propaga la onda 110 participa dc la propagacioacuten
[so quicre Jccir por ejcmplo que cn el caso de la piedra luc cne en el estanque de agua las
parliacuteculas de agua no se prop1gan radialmelltc jllnlas con la peJ1urbaci6n sino qllc simplemelllc
oscilan alrededor de su posicioacuten Je cluilibrio en este caso en la dircccioacuten VCJ1iccIl
COllsidlrClIllh hllla ciiexclso sCllcil10 d- 1111 Plllso (lile sc propaga a lo Irgll dc IIna lucrJa ICIlSL
c~l ) p1 d 1 ~I i middot i U lI l IIlla ltII rd1 fija P~) il gttrC110 1 middot(1 1 iexcl)) ( OIlO CImiddotCI111) el
cxpcrilllcntuumlbr produce COII su 111 111 1111 movimiento mriba y abajo puJemos ver qllC en
eite caSll la Cllcrda tOllla la llllllla iexclepI csclllala cn la Figuriexcliexcl 1 1 a)
2
1gt o ~------------~~----~-----~~--------~ ~
0 VI
--------------------~
lb)
Figura 11 a) Pulso generado In un cxtremo de unn cuerda b) El mismo pulso en lUl inslU11e sucesi va
La pcrturbacioacuten que sc ha generado no pennanece quieta sino que se propaga a lo largo de la
cllerda de mancra quc si lomaramos falos sllcesivtls de la cuerda enconlrariacutetlmos que el pulso
viaja ti lo lilrgo de la cutrda mantcnicllJo inmutada su cOllfiguracioacuten (en ausencia de friccioacuten)
eomo se lI1ucstra en la figura 11 b)
La con figuracioacuten C]ut asume la cuada por efecto de la perturbacioacuten en un instante dellnninado
(ror ejemplo f = O) se define como perfil eJelll (JIua y tiene ecuacioacuten
y =J(x) ( 1 1)
en donde Ii variable y repreellta cl desplazamiento con respecto a su posicioacuten de equilibrio
de cualquicr partiacutecula de la cucnJa Dado que la perturbacioacutell viaja a lo lurgo ue la cuerdil la
posicioacuten de las pnrliacuteculas de la cuerda COII respecto a sus posiciones de equilibrio cambiaraacute con
el tiempo ue aCllerdo eon la ecuacioacuten
y = J (xt) ( 12)
3
Esta ecuacioacuten qlle permitc determinar las posIciones (11 toda~ las partiacutecillas del medio de
prop1gacioacutelI en cualquier momento se llama entonces Ixutlci(I Iwraria de la pcrlllrbacin o
ECUACION DE LA ONDA
podemos explicitar un poco mtls la eculcioacuten (1 2) tcnicnuo ell cuenta quesi la perturbacioacuten sc
propaga u lo lar~o de la cuerda tendida sobre el eje x su velocidad de propagacioacuten (que no
debe confundirse con la ve1ocid d CO1 la cual las PiUiiacuteculas dd medio dc propagacioacuten oscilan
alrededor de Sil posicioacuten de equilibrio) seraacute v = ll-jdt
Consi(lltremos hora una pulso que vi~ja a lo largo del ~Ie X propagUldo una pel1urbacioacuteII
que cespl za las pm1iacuteculas en 1 direccioacuten y en 111 sistema de rclcrencia O fijo y en UII
sistema de referencia O cuyo eje horizontal x coincida con X y que se mueve con respecto
u O con la vdocidad v igual () la velocidad de propagacioacuten de la pcrtllrbacioacutelI
yy
1~~~IO_--+-xxovl~
Xx ~
1gt o L-____________~~----~----~~----------xx
o iexclt-_-_-_-_-_-_-v~I~~iexcl(~~~(_)~_I====x===~ Figura t _2 Pulso que viaja a lo lar~o del eje X cn IIIl sistema tija O
y cn lIn si s tr111 a O que se InIHve con velocidad v
Al tiempo t = O installte cn el cual se produce 1 perturbacioacuten los Jos sistemas O V
coinciden de Illanera que
y = y= iexcl(x) =f(x)
Al tiacuteelllpl) 1 () ~Il el sl i lellla V el pulso se ha)riexcl de plazlclo por lo IaIlIO la eCllacioacuten qm
describe la posicioacutelI instltllltuacutenea de las partiacuteculas dd medio de propagacioacuten saaacute
1=(xl)
En el sistema O quc vuUacutea junto con la p(rturhaoacuteoacutelI el pulso Jpanceraacute inmovil de mallera
que
y= f(x)
Dc la Figura 12 cs faacutecil (kJucir qlle
x = x lmiddot vr x = x - (
y qlle por lo t1I110
y = f (x - VI)
Pero como y = y obtelldremos inmcJimiexcliexclmente
y = iexcl(X)== iexcl(X-VI) ( 13)
La (13) es la eCla~ioacutell de la onda viajcra pr(J~rcsivtl (la qne se propaga en el selltido de las x
~reciclltes) la liulIioacuten f C~ Ina fllllcioacuten arhitraria qll~ dcptlldc dc la Iigtnna del pulso pero 11
ltlrglllllcntu dI la funcioacuten solamcnte puede ser (x - VI) Y lIinguna otra combinacioacuten de las Jus
variables x I
Con proet(limicnto anaacutelogo podriiexclunos m)srar que la onda viajera rc~rciltI (que se propaga
ell el sentido ue las X decrecientes) comspuumlnde a la ecullcioacutelI
J = iexcl (x 1) = iexcl (x + VI) ( I 4 )
dUll1c iexcl es una hllli1I arbilraria u1 mp1I111(1I10 (x + VI)
5
La funcioacuten f dcpclld~ unicamcnlc de la fonna de la perturbacioacuten en otras palabras es 1J
funcioacuten mntcmiexcltiea qllc representa el peffil de la onda
12 ONDAS AltMONICAS
Supongamos allora qm el exlnlIlo libn de una cuerda tellsa semi-inflllita telldida a lo largo
del eje x se Illueva en la direccioacuten y de movimiento armoacutenico con oscilaciones repetidas en
este caso cada pulso (representado por una oscilacioacuten completa del extrcmo libre) se propaga 11
lo largo dc la cuerua seguido inllledialamcnte por otro igllal Resulta asiacute lile a lo largo de la
cucrda se propaga ulla serie de pulsos sinusoidales o sen UII tren de olidas
Se diraacute clltonccs que el cxtremo libre ue la cuerda es bjlclIle de la onda y de acuerdo con
nuestras hipoacutetesis Sil movilllienlo tendraacute ecuacioacuten hornria
y(O t) == 11 COl 27T V t ( 1 5)
en donde se lIa supucstuuml qle el cxtnIIO iexclore de la clIer ~stj localiZldo en el origen de bs
coordenadas (x =O) y que su 1l10villliento armoacutellico tenga amplitud (l y liccuelleia v
bull t
i~lIra 13 RCjrsciltac a lentrOI dd 1I0 illlicnto mnoacutenico
dc It partiacutecula fuente de la perturbacioacuten (x =-= O)
6
Como hemus viSlll en d aso del pulso la energiacutea del IllOvimielllo anlloacutenieo de la partiacutecula
fuente se propaga a lo lumiddotjo de la cuerda eon cicl1a velucidad v por lo tanto en tiempns
sucesivos lodas las partiacuteclllas uel medio de propagacioacuten ejcclltarflJl clmismo movimiento de la
pal1Iacutelula x = O de lIIalllnl ltJue cuando ~sta haya ercctuauo ci~rto niacutellllero de oscilaciones
las posiciones dc todas las partiacuteculas k la cuerda en un instante detcl111inado cOlTesponderaacuten a
las rcportadas en la Iigura 14
Figura lA Posicioacuten de todas las partiacuteculas de la cuerda cn la cllal se ha propagado la perlurbacioacuten introducida el el extrelllo libre La rcpresentacioacuten se relicre a lln instante t detelminado
Si el medio de propagacioacuten e5 llnidimensional y lit) dispcrsivo elltonces todas lIS partIacutellIlas
subre ILis cuales llega la perturbaci6n ejecutUl exactamente la mislIIa oscilacioacutelI de la palticnla
fUClItC CUlI la misma amplitud (1 y la misma frecuencia vlt I ) dc 1IIIIlCra quc despueacutes de
cierto niacutellllero de oscilacioncs de la partIacutecnla fucule en cualquicr insliexclulte [iexclay varias plIliacuteclllas
dd IIIcJio quc se encuentran cxactamcnte con el mismo desplazlllliento con rcspecto a la
posicioacuten de equilihrio y con la misma velocidad (Figura 14) es decir qll~ sc enCllelltrall ell el I
1lli~1II0 eslato de perlllrbl1ciciacutell
( 1) AUacuteII en los Illedios no disrcrsivos en los cuales no se disira energiacutea la amplitud de la Olida dislllilluye iacuteI IIHdida que la pertmuacioacuten ~c acja de la lilcllte cllando el mediu de propagacioacuten 110 cs IInidimellsional 111 los lIledios bidimcllsionalc~ (p c la sllperliacutecic de (111 eslallqlle) o tridillHlIsillJlaks (pc el espacio en d (ual se propaga ulla Olida sOlloril) dcbe tellersc ell Cllellta que r elicrgiacute1 transportada por la Olida se distrihu)t SOOI( flentcs de ondas slcnlprcs nluacutes extcnsos lo que lO OClIlTe para los IlIcllio IIl1idimellsionales ell los cllalc la cllergiacutea de la olldil siclllpre eS1 CUJICClllratla ell 1111
plllltO
7
El COlljilllO de In) partiacuteculas o de los plllltUacute ud cspacn a 1ls que Ikga simulluacutelleamcnte la
perturbacioacuten ondul3toria se lIamajrente dc lJIuJa
El frente dI onda pll~de ~er 1111 plinto IInn liacutenea O IIl1a slIperlicic segIacuteln la onda se propnglle en
1111 m~io IIl1i- hi- II triuilllensionnl por ejemplo cualldo d~jalllu$ caer una piedra en un
cstnnquc los frentes tk onda son ciacuterculos con celltro cn el punto de impacto
Ln menor distallcia entrc uos pnrtiacutecubs (jue pertenezcan a dilcrclllcs frcltes de onda y que se
cncllelllmn en el mismo csiacuteado dc pCl1urhacioacuten $C ddine como Ollgillld tic Olida l y
c(HTesponJe a la distamia recorrida por la perturhacioacutelI en un pcriacuteodll T (jlle cs cl tielllpo
durllltc el cual In partiacutecula filcntc ejeclltn una oscilacioacutelI completa
Es evidente qlle T = iacuteil y que por lo tanlo V
v lIT == iacutei l ( 16)
Con hase en eiexclIiexcliexcls obscrvlciones qllercmos ahora deterlllillllr la posicioacuten inslallluacutene1 d
cllalqllia paniacutecula ud medio en cl ctliexcl1 se estl prnplgaJlllo la pcrtmbacioacuten ondliltol ia~ la
ecuacioacuten (15) nos proporciona la informacioacuten relativa a la posicioacuten de In partiacutecula fuente de
la pertilrbneioacuten que slIponcmos situnda cn x == O sc trata entonces de cmontrar la eCllaeiuacuten
horaria de la perturbacioacuten o sea la fonlla expliacutecita ue la funcioacuten y (x )
Para resulver el problema propllcsto debemos tellcr en Cllcllta qlle l1 tiempo I(J hl posicioacuten de
la partiacutecula rllente cs de acuerdo con (15)
y(oIo) = fI COS 2 Jr l lo (1 7)
Lo anterior impliea que al tiempo t gt In habiendo refonido 11 perturbacioacuten 1I11a distancia
v(t-t()) la partiacutecula sitnllda n la distanci xv(t-t(l)uc la partiacutecula liJcnte ueberuacute
enconlrarse desplazada de Sil posilioacutelI d equilibrio tk In misma Iorllla como se cncontraha la
partiacutelllla () al lielllp) 1 c- dccir
JI (x 1) = y (() 1(J ) = n (os 2 7l 11(J
Pero liado Cluc IIJ t - xv oblencmos
y(x) = 11 COS 2 J[ V(-XV)
de dOlluc
r (X 1) = a cos 2 Ir~ (x - v t ) ( 18) v
Esln iacutedlillln clualioacuten dCIIIII~slra quc la perturbncioacuten lIIaliiada es ulla onua iiexcl~icra progrcsiva
uc la fOllna J (x _ VI) para la cual CII este caso la lilllcioacuten J licne la forma dc 1111 coseno
Ias pel1urbaciollcs pnra las cuales la funcioacuten J liclI la fonua de scno o coseno se llaman
muJa armoacuteniclli
Is usual uefinir (1) = 2 re v Irexllllrcicl ulgulur dc la onda (k mancra quc la t IH) pmdc
adquirir f0I111il IIn pocu maacutes sellcilla
y (x 1) = COl (O (x - 1) v
Por olra parte ltnicndo cn cuenla que = iacute v se obliclle tambieacuten
y (x 1) = a cos 2Ir (x - VI) = =a COi (2 x - 2le v 1J iacute A
y tklilliclldo d nlIacutemero dc onda k tic manera lile k =2 Ir iacute oblenemos
y(xt) = Il COl (kx - uacuteJ 1) ( 19)
EII gcmral IIl1a onua lrlll~lIIica se escrihiiacute cllOnces
y (X) = ti se (kx plusmn lO 1 +1) (110)
cn Jonde el signo positivo cOITeSpollJe la olida rcgresivl y el mgativo a la progresiva El
argumento de la funcioacuten seno se Jcine comoJasc de la mrttl
qgt (X 1) = k x plusmn (J 1+ 1
y su valor en x O el tielllpo 1 =O es lp (00) = t = Juse ilidul de la onda De acuerdo
con esta definicioacutelI es faacutecil calcular la diferencia tic Jouc () entre dos partiacuteclllns xI X 2 dd
fIIcdio de propagacioacuten al tielllJl-1 1
(1 I 1)
De 111 misma IIHIIICnt podeltlos calcular la di irelloacutea de flsl qtle se presenta en tina partiacuteeult
X entn los instantes 1J 12
) == rp (x 1] ) - (P (x - 1 )= uacuteJ (1 - 1 I ) (112)
los ejemplos lIllcriltTs dell1t1cstr~1II que la tse illli t iquest plede rlcilmelltc hacerse Illh
cambiando la eSCIla de IDs tiempos Illedtatl~ tIlia l ~a ICIllt de~ ni gen de las coordenadas a
lo largo dd eje x
13 LA EClJACION DIFERENCIAL DE LA ONOA
lientos visto ya lile la ccuaei6n IlOraria de IIlla pCrll1I bcioacutelI lllHlttlalllri que se pllliexcllaga con
velocidad v es dc la Imllla
I(XI)== r(xplusmn VI)
donde J es IIl1a funcioacuten arbitraria que (n clIcntl de la foacutenna de la perturbacioacuten es decir tic
perfil tic a onda el sigilO positivlJ o negativo ittuie si se trata d( 1I1~ onua que se propaga en
el sntiJo ti las x decrciclltl~s n crecientes
--------- -- - ------
lO
ConsiderclIlos ahora lA cCllaciuacuten nomria dc ulla onda progresiva
y(xt)= iexcl(X-VI) (113)
E obvio qUl si In fllncioacuten iexcl tuviera In forma seno o lOSCIIO la ecuacioacuten (1 11) podriacutea
reducirsc a la (1 10) CJue es la ecuacioacuten ele una onda annuacuteica mlnlcllgmllos sin embargo la
arbitmrieuad en la lonna dc la fUllcioacuten y calculemos las derivada5 segundas lk la y (x JI)
con respecto a Ins varinhhs X l Se oht ielle innlcdiatalllenle
)
c7-y == iexcl(X-V)
rJx 2
la comparacioacuten de IllS uns drivadas nos pennite concluir que
tJ2y 1 o]) ( l 11)
Ih-2 --2--J 1
Ia cculJcioacutelI ( 1 14) es ulla ecuHcioacuten d i rerencial lineul a las deri vadas parc iales homogeacutenea dd
slgulldo orden de la ellal podemos (lblclle la pusicioacuten la vcooacutedad y la ucderacioacuteu de
cnulCJllier partiacutecula dd mcdio en el cllill se cSln rrllpagalldo una onda mccuacutenica cllando se
CUIIOClJl las condiciollcs iniciales del s istcma por csta razoacuten la (1 14) se CUIIllce cOIno (1
(middottllIduacutell tlijCllldlll de OIltlII( I l
111 los proacutex iUlos parngrafos cSlueliIfemos entonces el com]gtortnmiellto de di rerelltes sistelllils
fisicos (cllerda resOIte colulllna de aire elc ) en los cuales se introduce una pertlllbaciuacutelI )
( I COII proccdilllicllto silllilll pudemos ver ltiexcltiC la ccllncioacuten horaria de la onda viajera
regresiva ) (x 1) = g(x -1- VI) dOlldc g es una funciuacuten arbitraria tamhieacuten obedece a
In ecuacioacuten dillnnciiexcliexcl1 de la linda (11 1) lo que IlOS pCllllile concluir CJIIC la solucioacutell gencral de la cClloacutelcioacuten dilerllIlit1 IHIltd~ escribi r ClllllU IIna COlllhinacioacutelI lincal tic las dos lindas vioacuteljcras ell la 101111
y(xt) = middottiexcl(x middot-) I Ug(x ~ VI)
1 I
verelllos corno el comportamiento dc estos sistemas pucde describirse a traveacutes de la eCllacioacuten
diferencial de la onda
14 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CllEfiDA
Nos proponemos ahora ultLemlinar la ecuacioacuten del movimiellto de lodas las partiacuteculas de una
cllerda inliacutenita cllalldo en alguacuten plinto de la misma se introdutca IIna perturbacioacuten
Considcnlllos una cucrda infinita no sometida a la gravedad e inlroduzcalllo$ wla perturhacioacutelI
bastante peqllentildea parn qlle podamos Sllponer la tensioacuten uni tafllle y constante SupollgalllDs
que en condiciones de eqlilibrio al tiempo 1 =O la cuerda esteacute lendida sobre el ej~ X y cn
eas comli~illlles detennillCllIOS IIn tramo infiniteacutesimo de longitud tlmiddot comprendido entre los
plllltos )0 y Q) (uyas ilhseisas son X X +IL-c cualldo se introdllcc la pcrturumiuacutelI d
tramito se desplazaraacute verticalmente de manera que todas las partiacuteclllas qlle inieialmellte
estaban onlenidas en el elemcnto de longitud p()Q() = iexcll~ se cncolltrar]1I ahora cOlltenidas
en el tramo PQ deformado de longitud ds
Calcuklllos las lueriquestas que aetIacutelan sohre el tramo PQ cuando la cuerda vibra
las fllerls son simplemente las tcnsiones F tangentes a la cuerda cn los plllltos P Q COIIO
sc Illllestrn cn la Figura 15
P - dx o
Q
y
Fi~Url 15 Cuerda inrlllila sometida a 1I11 pcrurbcioacutell
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
471 Ejes oacutepticos de los cristales lJilTefringclltcs 165
472 Dicroiacutesll1o ~ lcy de Malus 165
- 48 SUPERPOSICION DE ONDAS POLARIZADAS EN PLNOS
PERPENDICULARES 169
49 08TENClON DE Dlf-ERENTES ESTADOS DE POLARIZACION 175
410 LAMINAS CRISTALINAS ENTRE POLARIZDORES CRUZADOS 176
BIBLlOGRAflA 180
v
PRESENT ACION
Este texto ti Ondas y Oplica recoge los temas Cundamcntaks sobre movimiento ondulaIOlo
oacuteptica geomeacutetrica y oacuteptica fisica de conConnidad con los prognmms vi~clllcs para las carreras
de Ingenieriacutea de la Sede teniendo en cuenta lile la tinalidad Je texto es funuamcntallllente
didaacutectica el lTttuniento de los temas no pretende ser exhaustivo aUllque siacute lo sulicicntemente
ngurDso
La tarca no ha sido fkil el lulor ha tratado de aprovechar iexcljI maacuteximu SI larga experiencia
doctnte con miras a logrnr principalmente Ina e~posicioacuten clara y convincente de los
conceptos y un manejo en lo posihle seucillo del fonnalismo matemaacutetico
El autor espera asiacute que su esfuerzo sea c)mpensado con una buena acogida dd lexto de parte
de sus colegas y Je los estudieacutellltes de nuestTa Universidad
Mcdelliacutell julio de 1996
VI
CAPITULO 1
ONDAS
11 LA EClJACION DEL MOVI1IENTO ONDULATORIO
La cxpcriln~ia cotidialla de la perturbacioacuten que se genera cn un estanque de agua cUiacutemdo
dcjamos cacr IIna piedra pcnnitc decir lIlC todos tenemos una idea baslrH1te clara dc lo luc cs
una onda en el ca~o descrito podcmos ver lile a partir lid pUllto en el cual cayoacute la piedra
sobre la sllperlicie del agua se propaga IIna pel1111bacioacuten lC se ilTadia en todas las direcciollcs
Talllbiln podell1os oLscrvar como la mcmbrana dc un altoparlulItc vibra cuando encendernos
un equipo de ~onido y como esa ILgtrncioacuten se propaga ell el aire iexclJloulIcicndo JlIl sOIido
detectable por lIucstros oiacutedos
ror lltfll ladl) II01l1dl) 1111 cmisl)ra (1- r ldio ~ middotImiddotI CII rUIlCiOIlIIJliclllo (kspide en el espacIO IIl1a
onda ekctluacutelllilglleacutelica ljue lllego es captada por la antena lkl aplli1tll rcclptor y por eacuteste vllelta
a transfomlaf en una perturbacioacuten sonora
Todos los iexclInteriores son ejemplos dc ondas y tlldos exhibclI dos importall(e Ciacutelracleriacutesticas
a) Ilay IIlIa propagacioacutelI de cnergiacutea desdc las fuenles hacia el c-plcio
b) Elmcdio l1l d cmd se propaga la onda 110 participa dc la propagacioacuten
[so quicre Jccir por ejcmplo que cn el caso de la piedra luc cne en el estanque de agua las
parliacuteculas de agua no se prop1gan radialmelltc jllnlas con la peJ1urbaci6n sino qllc simplemelllc
oscilan alrededor de su posicioacuten Je cluilibrio en este caso en la dircccioacuten VCJ1iccIl
COllsidlrClIllh hllla ciiexclso sCllcil10 d- 1111 Plllso (lile sc propaga a lo Irgll dc IIna lucrJa ICIlSL
c~l ) p1 d 1 ~I i middot i U lI l IIlla ltII rd1 fija P~) il gttrC110 1 middot(1 1 iexcl)) ( OIlO CImiddotCI111) el
cxpcrilllcntuumlbr produce COII su 111 111 1111 movimiento mriba y abajo puJemos ver qllC en
eite caSll la Cllcrda tOllla la llllllla iexclepI csclllala cn la Figuriexcliexcl 1 1 a)
2
1gt o ~------------~~----~-----~~--------~ ~
0 VI
--------------------~
lb)
Figura 11 a) Pulso generado In un cxtremo de unn cuerda b) El mismo pulso en lUl inslU11e sucesi va
La pcrturbacioacuten que sc ha generado no pennanece quieta sino que se propaga a lo largo de la
cllerda de mancra quc si lomaramos falos sllcesivtls de la cuerda enconlrariacutetlmos que el pulso
viaja ti lo lilrgo de la cutrda mantcnicllJo inmutada su cOllfiguracioacuten (en ausencia de friccioacuten)
eomo se lI1ucstra en la figura 11 b)
La con figuracioacuten C]ut asume la cuada por efecto de la perturbacioacuten en un instante dellnninado
(ror ejemplo f = O) se define como perfil eJelll (JIua y tiene ecuacioacuten
y =J(x) ( 1 1)
en donde Ii variable y repreellta cl desplazamiento con respecto a su posicioacuten de equilibrio
de cualquicr partiacutecula de la cucnJa Dado que la perturbacioacutell viaja a lo lurgo ue la cuerdil la
posicioacuten de las pnrliacuteculas de la cuerda COII respecto a sus posiciones de equilibrio cambiaraacute con
el tiempo ue aCllerdo eon la ecuacioacuten
y = J (xt) ( 12)
3
Esta ecuacioacuten qlle permitc determinar las posIciones (11 toda~ las partiacutecillas del medio de
prop1gacioacutelI en cualquier momento se llama entonces Ixutlci(I Iwraria de la pcrlllrbacin o
ECUACION DE LA ONDA
podemos explicitar un poco mtls la eculcioacuten (1 2) tcnicnuo ell cuenta quesi la perturbacioacuten sc
propaga u lo lar~o de la cuerda tendida sobre el eje x su velocidad de propagacioacuten (que no
debe confundirse con la ve1ocid d CO1 la cual las PiUiiacuteculas dd medio dc propagacioacuten oscilan
alrededor de Sil posicioacuten de equilibrio) seraacute v = ll-jdt
Consi(lltremos hora una pulso que vi~ja a lo largo del ~Ie X propagUldo una pel1urbacioacuteII
que cespl za las pm1iacuteculas en 1 direccioacuten y en 111 sistema de rclcrencia O fijo y en UII
sistema de referencia O cuyo eje horizontal x coincida con X y que se mueve con respecto
u O con la vdocidad v igual () la velocidad de propagacioacuten de la pcrtllrbacioacutelI
yy
1~~~IO_--+-xxovl~
Xx ~
1gt o L-____________~~----~----~~----------xx
o iexclt-_-_-_-_-_-_-v~I~~iexcl(~~~(_)~_I====x===~ Figura t _2 Pulso que viaja a lo lar~o del eje X cn IIIl sistema tija O
y cn lIn si s tr111 a O que se InIHve con velocidad v
Al tiempo t = O installte cn el cual se produce 1 perturbacioacuten los Jos sistemas O V
coinciden de Illanera que
y = y= iexcl(x) =f(x)
Al tiacuteelllpl) 1 () ~Il el sl i lellla V el pulso se ha)riexcl de plazlclo por lo IaIlIO la eCllacioacuten qm
describe la posicioacutelI instltllltuacutenea de las partiacuteculas dd medio de propagacioacuten saaacute
1=(xl)
En el sistema O quc vuUacutea junto con la p(rturhaoacuteoacutelI el pulso Jpanceraacute inmovil de mallera
que
y= f(x)
Dc la Figura 12 cs faacutecil (kJucir qlle
x = x lmiddot vr x = x - (
y qlle por lo t1I110
y = f (x - VI)
Pero como y = y obtelldremos inmcJimiexcliexclmente
y = iexcl(X)== iexcl(X-VI) ( 13)
La (13) es la eCla~ioacutell de la onda viajcra pr(J~rcsivtl (la qne se propaga en el selltido de las x
~reciclltes) la liulIioacuten f C~ Ina fllllcioacuten arhitraria qll~ dcptlldc dc la Iigtnna del pulso pero 11
ltlrglllllcntu dI la funcioacuten solamcnte puede ser (x - VI) Y lIinguna otra combinacioacuten de las Jus
variables x I
Con proet(limicnto anaacutelogo podriiexclunos m)srar que la onda viajera rc~rciltI (que se propaga
ell el sentido ue las X decrecientes) comspuumlnde a la ecullcioacutelI
J = iexcl (x 1) = iexcl (x + VI) ( I 4 )
dUll1c iexcl es una hllli1I arbilraria u1 mp1I111(1I10 (x + VI)
5
La funcioacuten f dcpclld~ unicamcnlc de la fonna de la perturbacioacuten en otras palabras es 1J
funcioacuten mntcmiexcltiea qllc representa el peffil de la onda
12 ONDAS AltMONICAS
Supongamos allora qm el exlnlIlo libn de una cuerda tellsa semi-inflllita telldida a lo largo
del eje x se Illueva en la direccioacuten y de movimiento armoacutenico con oscilaciones repetidas en
este caso cada pulso (representado por una oscilacioacuten completa del extrcmo libre) se propaga 11
lo largo dc la cuerua seguido inllledialamcnte por otro igllal Resulta asiacute lile a lo largo de la
cucrda se propaga ulla serie de pulsos sinusoidales o sen UII tren de olidas
Se diraacute clltonccs que el cxtremo libre ue la cuerda es bjlclIle de la onda y de acuerdo con
nuestras hipoacutetesis Sil movilllienlo tendraacute ecuacioacuten hornria
y(O t) == 11 COl 27T V t ( 1 5)
en donde se lIa supucstuuml qle el cxtnIIO iexclore de la clIer ~stj localiZldo en el origen de bs
coordenadas (x =O) y que su 1l10villliento armoacutellico tenga amplitud (l y liccuelleia v
bull t
i~lIra 13 RCjrsciltac a lentrOI dd 1I0 illlicnto mnoacutenico
dc It partiacutecula fuente de la perturbacioacuten (x =-= O)
6
Como hemus viSlll en d aso del pulso la energiacutea del IllOvimielllo anlloacutenieo de la partiacutecula
fuente se propaga a lo lumiddotjo de la cuerda eon cicl1a velucidad v por lo tanto en tiempns
sucesivos lodas las partiacuteclllas uel medio de propagacioacuten ejcclltarflJl clmismo movimiento de la
pal1Iacutelula x = O de lIIalllnl ltJue cuando ~sta haya ercctuauo ci~rto niacutellllero de oscilaciones
las posiciones dc todas las partiacuteculas k la cuerda en un instante detcl111inado cOlTesponderaacuten a
las rcportadas en la Iigura 14
Figura lA Posicioacuten de todas las partiacuteculas de la cuerda cn la cllal se ha propagado la perlurbacioacuten introducida el el extrelllo libre La rcpresentacioacuten se relicre a lln instante t detelminado
Si el medio de propagacioacuten e5 llnidimensional y lit) dispcrsivo elltonces todas lIS partIacutellIlas
subre ILis cuales llega la perturbaci6n ejecutUl exactamente la mislIIa oscilacioacutelI de la palticnla
fUClItC CUlI la misma amplitud (1 y la misma frecuencia vlt I ) dc 1IIIIlCra quc despueacutes de
cierto niacutellllero de oscilacioncs de la partIacutecnla fucule en cualquicr insliexclulte [iexclay varias plIliacuteclllas
dd IIIcJio quc se encuentran cxactamcnte con el mismo desplazlllliento con rcspecto a la
posicioacuten de equilihrio y con la misma velocidad (Figura 14) es decir qll~ sc enCllelltrall ell el I
1lli~1II0 eslato de perlllrbl1ciciacutell
( 1) AUacuteII en los Illedios no disrcrsivos en los cuales no se disira energiacutea la amplitud de la Olida dislllilluye iacuteI IIHdida que la pertmuacioacuten ~c acja de la lilcllte cllando el mediu de propagacioacuten 110 cs IInidimellsional 111 los lIledios bidimcllsionalc~ (p c la sllperliacutecic de (111 eslallqlle) o tridillHlIsillJlaks (pc el espacio en d (ual se propaga ulla Olida sOlloril) dcbe tellersc ell Cllellta que r elicrgiacute1 transportada por la Olida se distrihu)t SOOI( flentcs de ondas slcnlprcs nluacutes extcnsos lo que lO OClIlTe para los IlIcllio IIl1idimellsionales ell los cllalc la cllergiacutea de la olldil siclllpre eS1 CUJICClllratla ell 1111
plllltO
7
El COlljilllO de In) partiacuteculas o de los plllltUacute ud cspacn a 1ls que Ikga simulluacutelleamcnte la
perturbacioacuten ondul3toria se lIamajrente dc lJIuJa
El frente dI onda pll~de ~er 1111 plinto IInn liacutenea O IIl1a slIperlicic segIacuteln la onda se propnglle en
1111 m~io IIl1i- hi- II triuilllensionnl por ejemplo cualldo d~jalllu$ caer una piedra en un
cstnnquc los frentes tk onda son ciacuterculos con celltro cn el punto de impacto
Ln menor distallcia entrc uos pnrtiacutecubs (jue pertenezcan a dilcrclllcs frcltes de onda y que se
cncllelllmn en el mismo csiacuteado dc pCl1urhacioacuten $C ddine como Ollgillld tic Olida l y
c(HTesponJe a la distamia recorrida por la perturhacioacutelI en un pcriacuteodll T (jlle cs cl tielllpo
durllltc el cual In partiacutecula filcntc ejeclltn una oscilacioacutelI completa
Es evidente qlle T = iacuteil y que por lo tanlo V
v lIT == iacutei l ( 16)
Con hase en eiexclIiexcliexcls obscrvlciones qllercmos ahora deterlllillllr la posicioacuten inslallluacutene1 d
cllalqllia paniacutecula ud medio en cl ctliexcl1 se estl prnplgaJlllo la pcrtmbacioacuten ondliltol ia~ la
ecuacioacuten (15) nos proporciona la informacioacuten relativa a la posicioacuten de In partiacutecula fuente de
la pertilrbneioacuten que slIponcmos situnda cn x == O sc trata entonces de cmontrar la eCllaeiuacuten
horaria de la perturbacioacuten o sea la fonlla expliacutecita ue la funcioacuten y (x )
Para resulver el problema propllcsto debemos tellcr en Cllcllta qlle l1 tiempo I(J hl posicioacuten de
la partiacutecula rllente cs de acuerdo con (15)
y(oIo) = fI COS 2 Jr l lo (1 7)
Lo anterior impliea que al tiempo t gt In habiendo refonido 11 perturbacioacuten 1I11a distancia
v(t-t()) la partiacutecula sitnllda n la distanci xv(t-t(l)uc la partiacutecula liJcnte ueberuacute
enconlrarse desplazada de Sil posilioacutelI d equilibrio tk In misma Iorllla como se cncontraha la
partiacutelllla () al lielllp) 1 c- dccir
JI (x 1) = y (() 1(J ) = n (os 2 7l 11(J
Pero liado Cluc IIJ t - xv oblencmos
y(x) = 11 COS 2 J[ V(-XV)
de dOlluc
r (X 1) = a cos 2 Ir~ (x - v t ) ( 18) v
Esln iacutedlillln clualioacuten dCIIIII~slra quc la perturbncioacuten lIIaliiada es ulla onua iiexcl~icra progrcsiva
uc la fOllna J (x _ VI) para la cual CII este caso la lilllcioacuten J licne la forma dc 1111 coseno
Ias pel1urbaciollcs pnra las cuales la funcioacuten J liclI la fonua de scno o coseno se llaman
muJa armoacuteniclli
Is usual uefinir (1) = 2 re v Irexllllrcicl ulgulur dc la onda (k mancra quc la t IH) pmdc
adquirir f0I111il IIn pocu maacutes sellcilla
y (x 1) = COl (O (x - 1) v
Por olra parte ltnicndo cn cuenla que = iacute v se obliclle tambieacuten
y (x 1) = a cos 2Ir (x - VI) = =a COi (2 x - 2le v 1J iacute A
y tklilliclldo d nlIacutemero dc onda k tic manera lile k =2 Ir iacute oblenemos
y(xt) = Il COl (kx - uacuteJ 1) ( 19)
EII gcmral IIl1a onua lrlll~lIIica se escrihiiacute cllOnces
y (X) = ti se (kx plusmn lO 1 +1) (110)
cn Jonde el signo positivo cOITeSpollJe la olida rcgresivl y el mgativo a la progresiva El
argumento de la funcioacuten seno se Jcine comoJasc de la mrttl
qgt (X 1) = k x plusmn (J 1+ 1
y su valor en x O el tielllpo 1 =O es lp (00) = t = Juse ilidul de la onda De acuerdo
con esta definicioacutelI es faacutecil calcular la diferencia tic Jouc () entre dos partiacuteclllns xI X 2 dd
fIIcdio de propagacioacuten al tielllJl-1 1
(1 I 1)
De 111 misma IIHIIICnt podeltlos calcular la di irelloacutea de flsl qtle se presenta en tina partiacuteeult
X entn los instantes 1J 12
) == rp (x 1] ) - (P (x - 1 )= uacuteJ (1 - 1 I ) (112)
los ejemplos lIllcriltTs dell1t1cstr~1II que la tse illli t iquest plede rlcilmelltc hacerse Illh
cambiando la eSCIla de IDs tiempos Illedtatl~ tIlia l ~a ICIllt de~ ni gen de las coordenadas a
lo largo dd eje x
13 LA EClJACION DIFERENCIAL DE LA ONOA
lientos visto ya lile la ccuaei6n IlOraria de IIlla pCrll1I bcioacutelI lllHlttlalllri que se pllliexcllaga con
velocidad v es dc la Imllla
I(XI)== r(xplusmn VI)
donde J es IIl1a funcioacuten arbitraria que (n clIcntl de la foacutenna de la perturbacioacuten es decir tic
perfil tic a onda el sigilO positivlJ o negativo ittuie si se trata d( 1I1~ onua que se propaga en
el sntiJo ti las x decrciclltl~s n crecientes
--------- -- - ------
lO
ConsiderclIlos ahora lA cCllaciuacuten nomria dc ulla onda progresiva
y(xt)= iexcl(X-VI) (113)
E obvio qUl si In fllncioacuten iexcl tuviera In forma seno o lOSCIIO la ecuacioacuten (1 11) podriacutea
reducirsc a la (1 10) CJue es la ecuacioacuten ele una onda annuacuteica mlnlcllgmllos sin embargo la
arbitmrieuad en la lonna dc la fUllcioacuten y calculemos las derivada5 segundas lk la y (x JI)
con respecto a Ins varinhhs X l Se oht ielle innlcdiatalllenle
)
c7-y == iexcl(X-V)
rJx 2
la comparacioacuten de IllS uns drivadas nos pennite concluir que
tJ2y 1 o]) ( l 11)
Ih-2 --2--J 1
Ia cculJcioacutelI ( 1 14) es ulla ecuHcioacuten d i rerencial lineul a las deri vadas parc iales homogeacutenea dd
slgulldo orden de la ellal podemos (lblclle la pusicioacuten la vcooacutedad y la ucderacioacuteu de
cnulCJllier partiacutecula dd mcdio en el cllill se cSln rrllpagalldo una onda mccuacutenica cllando se
CUIIOClJl las condiciollcs iniciales del s istcma por csta razoacuten la (1 14) se CUIIllce cOIno (1
(middottllIduacutell tlijCllldlll de OIltlII( I l
111 los proacutex iUlos parngrafos cSlueliIfemos entonces el com]gtortnmiellto de di rerelltes sistelllils
fisicos (cllerda resOIte colulllna de aire elc ) en los cuales se introduce una pertlllbaciuacutelI )
( I COII proccdilllicllto silllilll pudemos ver ltiexcltiC la ccllncioacuten horaria de la onda viajera
regresiva ) (x 1) = g(x -1- VI) dOlldc g es una funciuacuten arbitraria tamhieacuten obedece a
In ecuacioacuten dillnnciiexcliexcl1 de la linda (11 1) lo que IlOS pCllllile concluir CJIIC la solucioacutell gencral de la cClloacutelcioacuten dilerllIlit1 IHIltd~ escribi r ClllllU IIna COlllhinacioacutelI lincal tic las dos lindas vioacuteljcras ell la 101111
y(xt) = middottiexcl(x middot-) I Ug(x ~ VI)
1 I
verelllos corno el comportamiento dc estos sistemas pucde describirse a traveacutes de la eCllacioacuten
diferencial de la onda
14 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CllEfiDA
Nos proponemos ahora ultLemlinar la ecuacioacuten del movimiellto de lodas las partiacuteculas de una
cllerda inliacutenita cllalldo en alguacuten plinto de la misma se introdutca IIna perturbacioacuten
Considcnlllos una cucrda infinita no sometida a la gravedad e inlroduzcalllo$ wla perturhacioacutelI
bastante peqllentildea parn qlle podamos Sllponer la tensioacuten uni tafllle y constante SupollgalllDs
que en condiciones de eqlilibrio al tiempo 1 =O la cuerda esteacute lendida sobre el ej~ X y cn
eas comli~illlles detennillCllIOS IIn tramo infiniteacutesimo de longitud tlmiddot comprendido entre los
plllltos )0 y Q) (uyas ilhseisas son X X +IL-c cualldo se introdllcc la pcrturumiuacutelI d
tramito se desplazaraacute verticalmente de manera que todas las partiacuteclllas qlle inieialmellte
estaban onlenidas en el elemcnto de longitud p()Q() = iexcll~ se cncolltrar]1I ahora cOlltenidas
en el tramo PQ deformado de longitud ds
Calcuklllos las lueriquestas que aetIacutelan sohre el tramo PQ cuando la cuerda vibra
las fllerls son simplemente las tcnsiones F tangentes a la cuerda cn los plllltos P Q COIIO
sc Illllestrn cn la Figura 15
P - dx o
Q
y
Fi~Url 15 Cuerda inrlllila sometida a 1I11 pcrurbcioacutell
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
PRESENT ACION
Este texto ti Ondas y Oplica recoge los temas Cundamcntaks sobre movimiento ondulaIOlo
oacuteptica geomeacutetrica y oacuteptica fisica de conConnidad con los prognmms vi~clllcs para las carreras
de Ingenieriacutea de la Sede teniendo en cuenta lile la tinalidad Je texto es funuamcntallllente
didaacutectica el lTttuniento de los temas no pretende ser exhaustivo aUllque siacute lo sulicicntemente
ngurDso
La tarca no ha sido fkil el lulor ha tratado de aprovechar iexcljI maacuteximu SI larga experiencia
doctnte con miras a logrnr principalmente Ina e~posicioacuten clara y convincente de los
conceptos y un manejo en lo posihle seucillo del fonnalismo matemaacutetico
El autor espera asiacute que su esfuerzo sea c)mpensado con una buena acogida dd lexto de parte
de sus colegas y Je los estudieacutellltes de nuestTa Universidad
Mcdelliacutell julio de 1996
VI
CAPITULO 1
ONDAS
11 LA EClJACION DEL MOVI1IENTO ONDULATORIO
La cxpcriln~ia cotidialla de la perturbacioacuten que se genera cn un estanque de agua cUiacutemdo
dcjamos cacr IIna piedra pcnnitc decir lIlC todos tenemos una idea baslrH1te clara dc lo luc cs
una onda en el ca~o descrito podcmos ver lile a partir lid pUllto en el cual cayoacute la piedra
sobre la sllperlicie del agua se propaga IIna pel1111bacioacuten lC se ilTadia en todas las direcciollcs
Talllbiln podell1os oLscrvar como la mcmbrana dc un altoparlulItc vibra cuando encendernos
un equipo de ~onido y como esa ILgtrncioacuten se propaga ell el aire iexclJloulIcicndo JlIl sOIido
detectable por lIucstros oiacutedos
ror lltfll ladl) II01l1dl) 1111 cmisl)ra (1- r ldio ~ middotImiddotI CII rUIlCiOIlIIJliclllo (kspide en el espacIO IIl1a
onda ekctluacutelllilglleacutelica ljue lllego es captada por la antena lkl aplli1tll rcclptor y por eacuteste vllelta
a transfomlaf en una perturbacioacuten sonora
Todos los iexclInteriores son ejemplos dc ondas y tlldos exhibclI dos importall(e Ciacutelracleriacutesticas
a) Ilay IIlIa propagacioacutelI de cnergiacutea desdc las fuenles hacia el c-plcio
b) Elmcdio l1l d cmd se propaga la onda 110 participa dc la propagacioacuten
[so quicre Jccir por ejcmplo que cn el caso de la piedra luc cne en el estanque de agua las
parliacuteculas de agua no se prop1gan radialmelltc jllnlas con la peJ1urbaci6n sino qllc simplemelllc
oscilan alrededor de su posicioacuten Je cluilibrio en este caso en la dircccioacuten VCJ1iccIl
COllsidlrClIllh hllla ciiexclso sCllcil10 d- 1111 Plllso (lile sc propaga a lo Irgll dc IIna lucrJa ICIlSL
c~l ) p1 d 1 ~I i middot i U lI l IIlla ltII rd1 fija P~) il gttrC110 1 middot(1 1 iexcl)) ( OIlO CImiddotCI111) el
cxpcrilllcntuumlbr produce COII su 111 111 1111 movimiento mriba y abajo puJemos ver qllC en
eite caSll la Cllcrda tOllla la llllllla iexclepI csclllala cn la Figuriexcliexcl 1 1 a)
2
1gt o ~------------~~----~-----~~--------~ ~
0 VI
--------------------~
lb)
Figura 11 a) Pulso generado In un cxtremo de unn cuerda b) El mismo pulso en lUl inslU11e sucesi va
La pcrturbacioacuten que sc ha generado no pennanece quieta sino que se propaga a lo largo de la
cllerda de mancra quc si lomaramos falos sllcesivtls de la cuerda enconlrariacutetlmos que el pulso
viaja ti lo lilrgo de la cutrda mantcnicllJo inmutada su cOllfiguracioacuten (en ausencia de friccioacuten)
eomo se lI1ucstra en la figura 11 b)
La con figuracioacuten C]ut asume la cuada por efecto de la perturbacioacuten en un instante dellnninado
(ror ejemplo f = O) se define como perfil eJelll (JIua y tiene ecuacioacuten
y =J(x) ( 1 1)
en donde Ii variable y repreellta cl desplazamiento con respecto a su posicioacuten de equilibrio
de cualquicr partiacutecula de la cucnJa Dado que la perturbacioacutell viaja a lo lurgo ue la cuerdil la
posicioacuten de las pnrliacuteculas de la cuerda COII respecto a sus posiciones de equilibrio cambiaraacute con
el tiempo ue aCllerdo eon la ecuacioacuten
y = J (xt) ( 12)
3
Esta ecuacioacuten qlle permitc determinar las posIciones (11 toda~ las partiacutecillas del medio de
prop1gacioacutelI en cualquier momento se llama entonces Ixutlci(I Iwraria de la pcrlllrbacin o
ECUACION DE LA ONDA
podemos explicitar un poco mtls la eculcioacuten (1 2) tcnicnuo ell cuenta quesi la perturbacioacuten sc
propaga u lo lar~o de la cuerda tendida sobre el eje x su velocidad de propagacioacuten (que no
debe confundirse con la ve1ocid d CO1 la cual las PiUiiacuteculas dd medio dc propagacioacuten oscilan
alrededor de Sil posicioacuten de equilibrio) seraacute v = ll-jdt
Consi(lltremos hora una pulso que vi~ja a lo largo del ~Ie X propagUldo una pel1urbacioacuteII
que cespl za las pm1iacuteculas en 1 direccioacuten y en 111 sistema de rclcrencia O fijo y en UII
sistema de referencia O cuyo eje horizontal x coincida con X y que se mueve con respecto
u O con la vdocidad v igual () la velocidad de propagacioacuten de la pcrtllrbacioacutelI
yy
1~~~IO_--+-xxovl~
Xx ~
1gt o L-____________~~----~----~~----------xx
o iexclt-_-_-_-_-_-_-v~I~~iexcl(~~~(_)~_I====x===~ Figura t _2 Pulso que viaja a lo lar~o del eje X cn IIIl sistema tija O
y cn lIn si s tr111 a O que se InIHve con velocidad v
Al tiempo t = O installte cn el cual se produce 1 perturbacioacuten los Jos sistemas O V
coinciden de Illanera que
y = y= iexcl(x) =f(x)
Al tiacuteelllpl) 1 () ~Il el sl i lellla V el pulso se ha)riexcl de plazlclo por lo IaIlIO la eCllacioacuten qm
describe la posicioacutelI instltllltuacutenea de las partiacuteculas dd medio de propagacioacuten saaacute
1=(xl)
En el sistema O quc vuUacutea junto con la p(rturhaoacuteoacutelI el pulso Jpanceraacute inmovil de mallera
que
y= f(x)
Dc la Figura 12 cs faacutecil (kJucir qlle
x = x lmiddot vr x = x - (
y qlle por lo t1I110
y = f (x - VI)
Pero como y = y obtelldremos inmcJimiexcliexclmente
y = iexcl(X)== iexcl(X-VI) ( 13)
La (13) es la eCla~ioacutell de la onda viajcra pr(J~rcsivtl (la qne se propaga en el selltido de las x
~reciclltes) la liulIioacuten f C~ Ina fllllcioacuten arhitraria qll~ dcptlldc dc la Iigtnna del pulso pero 11
ltlrglllllcntu dI la funcioacuten solamcnte puede ser (x - VI) Y lIinguna otra combinacioacuten de las Jus
variables x I
Con proet(limicnto anaacutelogo podriiexclunos m)srar que la onda viajera rc~rciltI (que se propaga
ell el sentido ue las X decrecientes) comspuumlnde a la ecullcioacutelI
J = iexcl (x 1) = iexcl (x + VI) ( I 4 )
dUll1c iexcl es una hllli1I arbilraria u1 mp1I111(1I10 (x + VI)
5
La funcioacuten f dcpclld~ unicamcnlc de la fonna de la perturbacioacuten en otras palabras es 1J
funcioacuten mntcmiexcltiea qllc representa el peffil de la onda
12 ONDAS AltMONICAS
Supongamos allora qm el exlnlIlo libn de una cuerda tellsa semi-inflllita telldida a lo largo
del eje x se Illueva en la direccioacuten y de movimiento armoacutenico con oscilaciones repetidas en
este caso cada pulso (representado por una oscilacioacuten completa del extrcmo libre) se propaga 11
lo largo dc la cuerua seguido inllledialamcnte por otro igllal Resulta asiacute lile a lo largo de la
cucrda se propaga ulla serie de pulsos sinusoidales o sen UII tren de olidas
Se diraacute clltonccs que el cxtremo libre ue la cuerda es bjlclIle de la onda y de acuerdo con
nuestras hipoacutetesis Sil movilllienlo tendraacute ecuacioacuten hornria
y(O t) == 11 COl 27T V t ( 1 5)
en donde se lIa supucstuuml qle el cxtnIIO iexclore de la clIer ~stj localiZldo en el origen de bs
coordenadas (x =O) y que su 1l10villliento armoacutellico tenga amplitud (l y liccuelleia v
bull t
i~lIra 13 RCjrsciltac a lentrOI dd 1I0 illlicnto mnoacutenico
dc It partiacutecula fuente de la perturbacioacuten (x =-= O)
6
Como hemus viSlll en d aso del pulso la energiacutea del IllOvimielllo anlloacutenieo de la partiacutecula
fuente se propaga a lo lumiddotjo de la cuerda eon cicl1a velucidad v por lo tanto en tiempns
sucesivos lodas las partiacuteclllas uel medio de propagacioacuten ejcclltarflJl clmismo movimiento de la
pal1Iacutelula x = O de lIIalllnl ltJue cuando ~sta haya ercctuauo ci~rto niacutellllero de oscilaciones
las posiciones dc todas las partiacuteculas k la cuerda en un instante detcl111inado cOlTesponderaacuten a
las rcportadas en la Iigura 14
Figura lA Posicioacuten de todas las partiacuteculas de la cuerda cn la cllal se ha propagado la perlurbacioacuten introducida el el extrelllo libre La rcpresentacioacuten se relicre a lln instante t detelminado
Si el medio de propagacioacuten e5 llnidimensional y lit) dispcrsivo elltonces todas lIS partIacutellIlas
subre ILis cuales llega la perturbaci6n ejecutUl exactamente la mislIIa oscilacioacutelI de la palticnla
fUClItC CUlI la misma amplitud (1 y la misma frecuencia vlt I ) dc 1IIIIlCra quc despueacutes de
cierto niacutellllero de oscilacioncs de la partIacutecnla fucule en cualquicr insliexclulte [iexclay varias plIliacuteclllas
dd IIIcJio quc se encuentran cxactamcnte con el mismo desplazlllliento con rcspecto a la
posicioacuten de equilihrio y con la misma velocidad (Figura 14) es decir qll~ sc enCllelltrall ell el I
1lli~1II0 eslato de perlllrbl1ciciacutell
( 1) AUacuteII en los Illedios no disrcrsivos en los cuales no se disira energiacutea la amplitud de la Olida dislllilluye iacuteI IIHdida que la pertmuacioacuten ~c acja de la lilcllte cllando el mediu de propagacioacuten 110 cs IInidimellsional 111 los lIledios bidimcllsionalc~ (p c la sllperliacutecic de (111 eslallqlle) o tridillHlIsillJlaks (pc el espacio en d (ual se propaga ulla Olida sOlloril) dcbe tellersc ell Cllellta que r elicrgiacute1 transportada por la Olida se distrihu)t SOOI( flentcs de ondas slcnlprcs nluacutes extcnsos lo que lO OClIlTe para los IlIcllio IIl1idimellsionales ell los cllalc la cllergiacutea de la olldil siclllpre eS1 CUJICClllratla ell 1111
plllltO
7
El COlljilllO de In) partiacuteculas o de los plllltUacute ud cspacn a 1ls que Ikga simulluacutelleamcnte la
perturbacioacuten ondul3toria se lIamajrente dc lJIuJa
El frente dI onda pll~de ~er 1111 plinto IInn liacutenea O IIl1a slIperlicic segIacuteln la onda se propnglle en
1111 m~io IIl1i- hi- II triuilllensionnl por ejemplo cualldo d~jalllu$ caer una piedra en un
cstnnquc los frentes tk onda son ciacuterculos con celltro cn el punto de impacto
Ln menor distallcia entrc uos pnrtiacutecubs (jue pertenezcan a dilcrclllcs frcltes de onda y que se
cncllelllmn en el mismo csiacuteado dc pCl1urhacioacuten $C ddine como Ollgillld tic Olida l y
c(HTesponJe a la distamia recorrida por la perturhacioacutelI en un pcriacuteodll T (jlle cs cl tielllpo
durllltc el cual In partiacutecula filcntc ejeclltn una oscilacioacutelI completa
Es evidente qlle T = iacuteil y que por lo tanlo V
v lIT == iacutei l ( 16)
Con hase en eiexclIiexcliexcls obscrvlciones qllercmos ahora deterlllillllr la posicioacuten inslallluacutene1 d
cllalqllia paniacutecula ud medio en cl ctliexcl1 se estl prnplgaJlllo la pcrtmbacioacuten ondliltol ia~ la
ecuacioacuten (15) nos proporciona la informacioacuten relativa a la posicioacuten de In partiacutecula fuente de
la pertilrbneioacuten que slIponcmos situnda cn x == O sc trata entonces de cmontrar la eCllaeiuacuten
horaria de la perturbacioacuten o sea la fonlla expliacutecita ue la funcioacuten y (x )
Para resulver el problema propllcsto debemos tellcr en Cllcllta qlle l1 tiempo I(J hl posicioacuten de
la partiacutecula rllente cs de acuerdo con (15)
y(oIo) = fI COS 2 Jr l lo (1 7)
Lo anterior impliea que al tiempo t gt In habiendo refonido 11 perturbacioacuten 1I11a distancia
v(t-t()) la partiacutecula sitnllda n la distanci xv(t-t(l)uc la partiacutecula liJcnte ueberuacute
enconlrarse desplazada de Sil posilioacutelI d equilibrio tk In misma Iorllla como se cncontraha la
partiacutelllla () al lielllp) 1 c- dccir
JI (x 1) = y (() 1(J ) = n (os 2 7l 11(J
Pero liado Cluc IIJ t - xv oblencmos
y(x) = 11 COS 2 J[ V(-XV)
de dOlluc
r (X 1) = a cos 2 Ir~ (x - v t ) ( 18) v
Esln iacutedlillln clualioacuten dCIIIII~slra quc la perturbncioacuten lIIaliiada es ulla onua iiexcl~icra progrcsiva
uc la fOllna J (x _ VI) para la cual CII este caso la lilllcioacuten J licne la forma dc 1111 coseno
Ias pel1urbaciollcs pnra las cuales la funcioacuten J liclI la fonua de scno o coseno se llaman
muJa armoacuteniclli
Is usual uefinir (1) = 2 re v Irexllllrcicl ulgulur dc la onda (k mancra quc la t IH) pmdc
adquirir f0I111il IIn pocu maacutes sellcilla
y (x 1) = COl (O (x - 1) v
Por olra parte ltnicndo cn cuenla que = iacute v se obliclle tambieacuten
y (x 1) = a cos 2Ir (x - VI) = =a COi (2 x - 2le v 1J iacute A
y tklilliclldo d nlIacutemero dc onda k tic manera lile k =2 Ir iacute oblenemos
y(xt) = Il COl (kx - uacuteJ 1) ( 19)
EII gcmral IIl1a onua lrlll~lIIica se escrihiiacute cllOnces
y (X) = ti se (kx plusmn lO 1 +1) (110)
cn Jonde el signo positivo cOITeSpollJe la olida rcgresivl y el mgativo a la progresiva El
argumento de la funcioacuten seno se Jcine comoJasc de la mrttl
qgt (X 1) = k x plusmn (J 1+ 1
y su valor en x O el tielllpo 1 =O es lp (00) = t = Juse ilidul de la onda De acuerdo
con esta definicioacutelI es faacutecil calcular la diferencia tic Jouc () entre dos partiacuteclllns xI X 2 dd
fIIcdio de propagacioacuten al tielllJl-1 1
(1 I 1)
De 111 misma IIHIIICnt podeltlos calcular la di irelloacutea de flsl qtle se presenta en tina partiacuteeult
X entn los instantes 1J 12
) == rp (x 1] ) - (P (x - 1 )= uacuteJ (1 - 1 I ) (112)
los ejemplos lIllcriltTs dell1t1cstr~1II que la tse illli t iquest plede rlcilmelltc hacerse Illh
cambiando la eSCIla de IDs tiempos Illedtatl~ tIlia l ~a ICIllt de~ ni gen de las coordenadas a
lo largo dd eje x
13 LA EClJACION DIFERENCIAL DE LA ONOA
lientos visto ya lile la ccuaei6n IlOraria de IIlla pCrll1I bcioacutelI lllHlttlalllri que se pllliexcllaga con
velocidad v es dc la Imllla
I(XI)== r(xplusmn VI)
donde J es IIl1a funcioacuten arbitraria que (n clIcntl de la foacutenna de la perturbacioacuten es decir tic
perfil tic a onda el sigilO positivlJ o negativo ittuie si se trata d( 1I1~ onua que se propaga en
el sntiJo ti las x decrciclltl~s n crecientes
--------- -- - ------
lO
ConsiderclIlos ahora lA cCllaciuacuten nomria dc ulla onda progresiva
y(xt)= iexcl(X-VI) (113)
E obvio qUl si In fllncioacuten iexcl tuviera In forma seno o lOSCIIO la ecuacioacuten (1 11) podriacutea
reducirsc a la (1 10) CJue es la ecuacioacuten ele una onda annuacuteica mlnlcllgmllos sin embargo la
arbitmrieuad en la lonna dc la fUllcioacuten y calculemos las derivada5 segundas lk la y (x JI)
con respecto a Ins varinhhs X l Se oht ielle innlcdiatalllenle
)
c7-y == iexcl(X-V)
rJx 2
la comparacioacuten de IllS uns drivadas nos pennite concluir que
tJ2y 1 o]) ( l 11)
Ih-2 --2--J 1
Ia cculJcioacutelI ( 1 14) es ulla ecuHcioacuten d i rerencial lineul a las deri vadas parc iales homogeacutenea dd
slgulldo orden de la ellal podemos (lblclle la pusicioacuten la vcooacutedad y la ucderacioacuteu de
cnulCJllier partiacutecula dd mcdio en el cllill se cSln rrllpagalldo una onda mccuacutenica cllando se
CUIIOClJl las condiciollcs iniciales del s istcma por csta razoacuten la (1 14) se CUIIllce cOIno (1
(middottllIduacutell tlijCllldlll de OIltlII( I l
111 los proacutex iUlos parngrafos cSlueliIfemos entonces el com]gtortnmiellto de di rerelltes sistelllils
fisicos (cllerda resOIte colulllna de aire elc ) en los cuales se introduce una pertlllbaciuacutelI )
( I COII proccdilllicllto silllilll pudemos ver ltiexcltiC la ccllncioacuten horaria de la onda viajera
regresiva ) (x 1) = g(x -1- VI) dOlldc g es una funciuacuten arbitraria tamhieacuten obedece a
In ecuacioacuten dillnnciiexcliexcl1 de la linda (11 1) lo que IlOS pCllllile concluir CJIIC la solucioacutell gencral de la cClloacutelcioacuten dilerllIlit1 IHIltd~ escribi r ClllllU IIna COlllhinacioacutelI lincal tic las dos lindas vioacuteljcras ell la 101111
y(xt) = middottiexcl(x middot-) I Ug(x ~ VI)
1 I
verelllos corno el comportamiento dc estos sistemas pucde describirse a traveacutes de la eCllacioacuten
diferencial de la onda
14 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CllEfiDA
Nos proponemos ahora ultLemlinar la ecuacioacuten del movimiellto de lodas las partiacuteculas de una
cllerda inliacutenita cllalldo en alguacuten plinto de la misma se introdutca IIna perturbacioacuten
Considcnlllos una cucrda infinita no sometida a la gravedad e inlroduzcalllo$ wla perturhacioacutelI
bastante peqllentildea parn qlle podamos Sllponer la tensioacuten uni tafllle y constante SupollgalllDs
que en condiciones de eqlilibrio al tiempo 1 =O la cuerda esteacute lendida sobre el ej~ X y cn
eas comli~illlles detennillCllIOS IIn tramo infiniteacutesimo de longitud tlmiddot comprendido entre los
plllltos )0 y Q) (uyas ilhseisas son X X +IL-c cualldo se introdllcc la pcrturumiuacutelI d
tramito se desplazaraacute verticalmente de manera que todas las partiacuteclllas qlle inieialmellte
estaban onlenidas en el elemcnto de longitud p()Q() = iexcll~ se cncolltrar]1I ahora cOlltenidas
en el tramo PQ deformado de longitud ds
Calcuklllos las lueriquestas que aetIacutelan sohre el tramo PQ cuando la cuerda vibra
las fllerls son simplemente las tcnsiones F tangentes a la cuerda cn los plllltos P Q COIIO
sc Illllestrn cn la Figura 15
P - dx o
Q
y
Fi~Url 15 Cuerda inrlllila sometida a 1I11 pcrurbcioacutell
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
CAPITULO 1
ONDAS
11 LA EClJACION DEL MOVI1IENTO ONDULATORIO
La cxpcriln~ia cotidialla de la perturbacioacuten que se genera cn un estanque de agua cUiacutemdo
dcjamos cacr IIna piedra pcnnitc decir lIlC todos tenemos una idea baslrH1te clara dc lo luc cs
una onda en el ca~o descrito podcmos ver lile a partir lid pUllto en el cual cayoacute la piedra
sobre la sllperlicie del agua se propaga IIna pel1111bacioacuten lC se ilTadia en todas las direcciollcs
Talllbiln podell1os oLscrvar como la mcmbrana dc un altoparlulItc vibra cuando encendernos
un equipo de ~onido y como esa ILgtrncioacuten se propaga ell el aire iexclJloulIcicndo JlIl sOIido
detectable por lIucstros oiacutedos
ror lltfll ladl) II01l1dl) 1111 cmisl)ra (1- r ldio ~ middotImiddotI CII rUIlCiOIlIIJliclllo (kspide en el espacIO IIl1a
onda ekctluacutelllilglleacutelica ljue lllego es captada por la antena lkl aplli1tll rcclptor y por eacuteste vllelta
a transfomlaf en una perturbacioacuten sonora
Todos los iexclInteriores son ejemplos dc ondas y tlldos exhibclI dos importall(e Ciacutelracleriacutesticas
a) Ilay IIlIa propagacioacutelI de cnergiacutea desdc las fuenles hacia el c-plcio
b) Elmcdio l1l d cmd se propaga la onda 110 participa dc la propagacioacuten
[so quicre Jccir por ejcmplo que cn el caso de la piedra luc cne en el estanque de agua las
parliacuteculas de agua no se prop1gan radialmelltc jllnlas con la peJ1urbaci6n sino qllc simplemelllc
oscilan alrededor de su posicioacuten Je cluilibrio en este caso en la dircccioacuten VCJ1iccIl
COllsidlrClIllh hllla ciiexclso sCllcil10 d- 1111 Plllso (lile sc propaga a lo Irgll dc IIna lucrJa ICIlSL
c~l ) p1 d 1 ~I i middot i U lI l IIlla ltII rd1 fija P~) il gttrC110 1 middot(1 1 iexcl)) ( OIlO CImiddotCI111) el
cxpcrilllcntuumlbr produce COII su 111 111 1111 movimiento mriba y abajo puJemos ver qllC en
eite caSll la Cllcrda tOllla la llllllla iexclepI csclllala cn la Figuriexcliexcl 1 1 a)
2
1gt o ~------------~~----~-----~~--------~ ~
0 VI
--------------------~
lb)
Figura 11 a) Pulso generado In un cxtremo de unn cuerda b) El mismo pulso en lUl inslU11e sucesi va
La pcrturbacioacuten que sc ha generado no pennanece quieta sino que se propaga a lo largo de la
cllerda de mancra quc si lomaramos falos sllcesivtls de la cuerda enconlrariacutetlmos que el pulso
viaja ti lo lilrgo de la cutrda mantcnicllJo inmutada su cOllfiguracioacuten (en ausencia de friccioacuten)
eomo se lI1ucstra en la figura 11 b)
La con figuracioacuten C]ut asume la cuada por efecto de la perturbacioacuten en un instante dellnninado
(ror ejemplo f = O) se define como perfil eJelll (JIua y tiene ecuacioacuten
y =J(x) ( 1 1)
en donde Ii variable y repreellta cl desplazamiento con respecto a su posicioacuten de equilibrio
de cualquicr partiacutecula de la cucnJa Dado que la perturbacioacutell viaja a lo lurgo ue la cuerdil la
posicioacuten de las pnrliacuteculas de la cuerda COII respecto a sus posiciones de equilibrio cambiaraacute con
el tiempo ue aCllerdo eon la ecuacioacuten
y = J (xt) ( 12)
3
Esta ecuacioacuten qlle permitc determinar las posIciones (11 toda~ las partiacutecillas del medio de
prop1gacioacutelI en cualquier momento se llama entonces Ixutlci(I Iwraria de la pcrlllrbacin o
ECUACION DE LA ONDA
podemos explicitar un poco mtls la eculcioacuten (1 2) tcnicnuo ell cuenta quesi la perturbacioacuten sc
propaga u lo lar~o de la cuerda tendida sobre el eje x su velocidad de propagacioacuten (que no
debe confundirse con la ve1ocid d CO1 la cual las PiUiiacuteculas dd medio dc propagacioacuten oscilan
alrededor de Sil posicioacuten de equilibrio) seraacute v = ll-jdt
Consi(lltremos hora una pulso que vi~ja a lo largo del ~Ie X propagUldo una pel1urbacioacuteII
que cespl za las pm1iacuteculas en 1 direccioacuten y en 111 sistema de rclcrencia O fijo y en UII
sistema de referencia O cuyo eje horizontal x coincida con X y que se mueve con respecto
u O con la vdocidad v igual () la velocidad de propagacioacuten de la pcrtllrbacioacutelI
yy
1~~~IO_--+-xxovl~
Xx ~
1gt o L-____________~~----~----~~----------xx
o iexclt-_-_-_-_-_-_-v~I~~iexcl(~~~(_)~_I====x===~ Figura t _2 Pulso que viaja a lo lar~o del eje X cn IIIl sistema tija O
y cn lIn si s tr111 a O que se InIHve con velocidad v
Al tiempo t = O installte cn el cual se produce 1 perturbacioacuten los Jos sistemas O V
coinciden de Illanera que
y = y= iexcl(x) =f(x)
Al tiacuteelllpl) 1 () ~Il el sl i lellla V el pulso se ha)riexcl de plazlclo por lo IaIlIO la eCllacioacuten qm
describe la posicioacutelI instltllltuacutenea de las partiacuteculas dd medio de propagacioacuten saaacute
1=(xl)
En el sistema O quc vuUacutea junto con la p(rturhaoacuteoacutelI el pulso Jpanceraacute inmovil de mallera
que
y= f(x)
Dc la Figura 12 cs faacutecil (kJucir qlle
x = x lmiddot vr x = x - (
y qlle por lo t1I110
y = f (x - VI)
Pero como y = y obtelldremos inmcJimiexcliexclmente
y = iexcl(X)== iexcl(X-VI) ( 13)
La (13) es la eCla~ioacutell de la onda viajcra pr(J~rcsivtl (la qne se propaga en el selltido de las x
~reciclltes) la liulIioacuten f C~ Ina fllllcioacuten arhitraria qll~ dcptlldc dc la Iigtnna del pulso pero 11
ltlrglllllcntu dI la funcioacuten solamcnte puede ser (x - VI) Y lIinguna otra combinacioacuten de las Jus
variables x I
Con proet(limicnto anaacutelogo podriiexclunos m)srar que la onda viajera rc~rciltI (que se propaga
ell el sentido ue las X decrecientes) comspuumlnde a la ecullcioacutelI
J = iexcl (x 1) = iexcl (x + VI) ( I 4 )
dUll1c iexcl es una hllli1I arbilraria u1 mp1I111(1I10 (x + VI)
5
La funcioacuten f dcpclld~ unicamcnlc de la fonna de la perturbacioacuten en otras palabras es 1J
funcioacuten mntcmiexcltiea qllc representa el peffil de la onda
12 ONDAS AltMONICAS
Supongamos allora qm el exlnlIlo libn de una cuerda tellsa semi-inflllita telldida a lo largo
del eje x se Illueva en la direccioacuten y de movimiento armoacutenico con oscilaciones repetidas en
este caso cada pulso (representado por una oscilacioacuten completa del extrcmo libre) se propaga 11
lo largo dc la cuerua seguido inllledialamcnte por otro igllal Resulta asiacute lile a lo largo de la
cucrda se propaga ulla serie de pulsos sinusoidales o sen UII tren de olidas
Se diraacute clltonccs que el cxtremo libre ue la cuerda es bjlclIle de la onda y de acuerdo con
nuestras hipoacutetesis Sil movilllienlo tendraacute ecuacioacuten hornria
y(O t) == 11 COl 27T V t ( 1 5)
en donde se lIa supucstuuml qle el cxtnIIO iexclore de la clIer ~stj localiZldo en el origen de bs
coordenadas (x =O) y que su 1l10villliento armoacutellico tenga amplitud (l y liccuelleia v
bull t
i~lIra 13 RCjrsciltac a lentrOI dd 1I0 illlicnto mnoacutenico
dc It partiacutecula fuente de la perturbacioacuten (x =-= O)
6
Como hemus viSlll en d aso del pulso la energiacutea del IllOvimielllo anlloacutenieo de la partiacutecula
fuente se propaga a lo lumiddotjo de la cuerda eon cicl1a velucidad v por lo tanto en tiempns
sucesivos lodas las partiacuteclllas uel medio de propagacioacuten ejcclltarflJl clmismo movimiento de la
pal1Iacutelula x = O de lIIalllnl ltJue cuando ~sta haya ercctuauo ci~rto niacutellllero de oscilaciones
las posiciones dc todas las partiacuteculas k la cuerda en un instante detcl111inado cOlTesponderaacuten a
las rcportadas en la Iigura 14
Figura lA Posicioacuten de todas las partiacuteculas de la cuerda cn la cllal se ha propagado la perlurbacioacuten introducida el el extrelllo libre La rcpresentacioacuten se relicre a lln instante t detelminado
Si el medio de propagacioacuten e5 llnidimensional y lit) dispcrsivo elltonces todas lIS partIacutellIlas
subre ILis cuales llega la perturbaci6n ejecutUl exactamente la mislIIa oscilacioacutelI de la palticnla
fUClItC CUlI la misma amplitud (1 y la misma frecuencia vlt I ) dc 1IIIIlCra quc despueacutes de
cierto niacutellllero de oscilacioncs de la partIacutecnla fucule en cualquicr insliexclulte [iexclay varias plIliacuteclllas
dd IIIcJio quc se encuentran cxactamcnte con el mismo desplazlllliento con rcspecto a la
posicioacuten de equilihrio y con la misma velocidad (Figura 14) es decir qll~ sc enCllelltrall ell el I
1lli~1II0 eslato de perlllrbl1ciciacutell
( 1) AUacuteII en los Illedios no disrcrsivos en los cuales no se disira energiacutea la amplitud de la Olida dislllilluye iacuteI IIHdida que la pertmuacioacuten ~c acja de la lilcllte cllando el mediu de propagacioacuten 110 cs IInidimellsional 111 los lIledios bidimcllsionalc~ (p c la sllperliacutecic de (111 eslallqlle) o tridillHlIsillJlaks (pc el espacio en d (ual se propaga ulla Olida sOlloril) dcbe tellersc ell Cllellta que r elicrgiacute1 transportada por la Olida se distrihu)t SOOI( flentcs de ondas slcnlprcs nluacutes extcnsos lo que lO OClIlTe para los IlIcllio IIl1idimellsionales ell los cllalc la cllergiacutea de la olldil siclllpre eS1 CUJICClllratla ell 1111
plllltO
7
El COlljilllO de In) partiacuteculas o de los plllltUacute ud cspacn a 1ls que Ikga simulluacutelleamcnte la
perturbacioacuten ondul3toria se lIamajrente dc lJIuJa
El frente dI onda pll~de ~er 1111 plinto IInn liacutenea O IIl1a slIperlicic segIacuteln la onda se propnglle en
1111 m~io IIl1i- hi- II triuilllensionnl por ejemplo cualldo d~jalllu$ caer una piedra en un
cstnnquc los frentes tk onda son ciacuterculos con celltro cn el punto de impacto
Ln menor distallcia entrc uos pnrtiacutecubs (jue pertenezcan a dilcrclllcs frcltes de onda y que se
cncllelllmn en el mismo csiacuteado dc pCl1urhacioacuten $C ddine como Ollgillld tic Olida l y
c(HTesponJe a la distamia recorrida por la perturhacioacutelI en un pcriacuteodll T (jlle cs cl tielllpo
durllltc el cual In partiacutecula filcntc ejeclltn una oscilacioacutelI completa
Es evidente qlle T = iacuteil y que por lo tanlo V
v lIT == iacutei l ( 16)
Con hase en eiexclIiexcliexcls obscrvlciones qllercmos ahora deterlllillllr la posicioacuten inslallluacutene1 d
cllalqllia paniacutecula ud medio en cl ctliexcl1 se estl prnplgaJlllo la pcrtmbacioacuten ondliltol ia~ la
ecuacioacuten (15) nos proporciona la informacioacuten relativa a la posicioacuten de In partiacutecula fuente de
la pertilrbneioacuten que slIponcmos situnda cn x == O sc trata entonces de cmontrar la eCllaeiuacuten
horaria de la perturbacioacuten o sea la fonlla expliacutecita ue la funcioacuten y (x )
Para resulver el problema propllcsto debemos tellcr en Cllcllta qlle l1 tiempo I(J hl posicioacuten de
la partiacutecula rllente cs de acuerdo con (15)
y(oIo) = fI COS 2 Jr l lo (1 7)
Lo anterior impliea que al tiempo t gt In habiendo refonido 11 perturbacioacuten 1I11a distancia
v(t-t()) la partiacutecula sitnllda n la distanci xv(t-t(l)uc la partiacutecula liJcnte ueberuacute
enconlrarse desplazada de Sil posilioacutelI d equilibrio tk In misma Iorllla como se cncontraha la
partiacutelllla () al lielllp) 1 c- dccir
JI (x 1) = y (() 1(J ) = n (os 2 7l 11(J
Pero liado Cluc IIJ t - xv oblencmos
y(x) = 11 COS 2 J[ V(-XV)
de dOlluc
r (X 1) = a cos 2 Ir~ (x - v t ) ( 18) v
Esln iacutedlillln clualioacuten dCIIIII~slra quc la perturbncioacuten lIIaliiada es ulla onua iiexcl~icra progrcsiva
uc la fOllna J (x _ VI) para la cual CII este caso la lilllcioacuten J licne la forma dc 1111 coseno
Ias pel1urbaciollcs pnra las cuales la funcioacuten J liclI la fonua de scno o coseno se llaman
muJa armoacuteniclli
Is usual uefinir (1) = 2 re v Irexllllrcicl ulgulur dc la onda (k mancra quc la t IH) pmdc
adquirir f0I111il IIn pocu maacutes sellcilla
y (x 1) = COl (O (x - 1) v
Por olra parte ltnicndo cn cuenla que = iacute v se obliclle tambieacuten
y (x 1) = a cos 2Ir (x - VI) = =a COi (2 x - 2le v 1J iacute A
y tklilliclldo d nlIacutemero dc onda k tic manera lile k =2 Ir iacute oblenemos
y(xt) = Il COl (kx - uacuteJ 1) ( 19)
EII gcmral IIl1a onua lrlll~lIIica se escrihiiacute cllOnces
y (X) = ti se (kx plusmn lO 1 +1) (110)
cn Jonde el signo positivo cOITeSpollJe la olida rcgresivl y el mgativo a la progresiva El
argumento de la funcioacuten seno se Jcine comoJasc de la mrttl
qgt (X 1) = k x plusmn (J 1+ 1
y su valor en x O el tielllpo 1 =O es lp (00) = t = Juse ilidul de la onda De acuerdo
con esta definicioacutelI es faacutecil calcular la diferencia tic Jouc () entre dos partiacuteclllns xI X 2 dd
fIIcdio de propagacioacuten al tielllJl-1 1
(1 I 1)
De 111 misma IIHIIICnt podeltlos calcular la di irelloacutea de flsl qtle se presenta en tina partiacuteeult
X entn los instantes 1J 12
) == rp (x 1] ) - (P (x - 1 )= uacuteJ (1 - 1 I ) (112)
los ejemplos lIllcriltTs dell1t1cstr~1II que la tse illli t iquest plede rlcilmelltc hacerse Illh
cambiando la eSCIla de IDs tiempos Illedtatl~ tIlia l ~a ICIllt de~ ni gen de las coordenadas a
lo largo dd eje x
13 LA EClJACION DIFERENCIAL DE LA ONOA
lientos visto ya lile la ccuaei6n IlOraria de IIlla pCrll1I bcioacutelI lllHlttlalllri que se pllliexcllaga con
velocidad v es dc la Imllla
I(XI)== r(xplusmn VI)
donde J es IIl1a funcioacuten arbitraria que (n clIcntl de la foacutenna de la perturbacioacuten es decir tic
perfil tic a onda el sigilO positivlJ o negativo ittuie si se trata d( 1I1~ onua que se propaga en
el sntiJo ti las x decrciclltl~s n crecientes
--------- -- - ------
lO
ConsiderclIlos ahora lA cCllaciuacuten nomria dc ulla onda progresiva
y(xt)= iexcl(X-VI) (113)
E obvio qUl si In fllncioacuten iexcl tuviera In forma seno o lOSCIIO la ecuacioacuten (1 11) podriacutea
reducirsc a la (1 10) CJue es la ecuacioacuten ele una onda annuacuteica mlnlcllgmllos sin embargo la
arbitmrieuad en la lonna dc la fUllcioacuten y calculemos las derivada5 segundas lk la y (x JI)
con respecto a Ins varinhhs X l Se oht ielle innlcdiatalllenle
)
c7-y == iexcl(X-V)
rJx 2
la comparacioacuten de IllS uns drivadas nos pennite concluir que
tJ2y 1 o]) ( l 11)
Ih-2 --2--J 1
Ia cculJcioacutelI ( 1 14) es ulla ecuHcioacuten d i rerencial lineul a las deri vadas parc iales homogeacutenea dd
slgulldo orden de la ellal podemos (lblclle la pusicioacuten la vcooacutedad y la ucderacioacuteu de
cnulCJllier partiacutecula dd mcdio en el cllill se cSln rrllpagalldo una onda mccuacutenica cllando se
CUIIOClJl las condiciollcs iniciales del s istcma por csta razoacuten la (1 14) se CUIIllce cOIno (1
(middottllIduacutell tlijCllldlll de OIltlII( I l
111 los proacutex iUlos parngrafos cSlueliIfemos entonces el com]gtortnmiellto de di rerelltes sistelllils
fisicos (cllerda resOIte colulllna de aire elc ) en los cuales se introduce una pertlllbaciuacutelI )
( I COII proccdilllicllto silllilll pudemos ver ltiexcltiC la ccllncioacuten horaria de la onda viajera
regresiva ) (x 1) = g(x -1- VI) dOlldc g es una funciuacuten arbitraria tamhieacuten obedece a
In ecuacioacuten dillnnciiexcliexcl1 de la linda (11 1) lo que IlOS pCllllile concluir CJIIC la solucioacutell gencral de la cClloacutelcioacuten dilerllIlit1 IHIltd~ escribi r ClllllU IIna COlllhinacioacutelI lincal tic las dos lindas vioacuteljcras ell la 101111
y(xt) = middottiexcl(x middot-) I Ug(x ~ VI)
1 I
verelllos corno el comportamiento dc estos sistemas pucde describirse a traveacutes de la eCllacioacuten
diferencial de la onda
14 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CllEfiDA
Nos proponemos ahora ultLemlinar la ecuacioacuten del movimiellto de lodas las partiacuteculas de una
cllerda inliacutenita cllalldo en alguacuten plinto de la misma se introdutca IIna perturbacioacuten
Considcnlllos una cucrda infinita no sometida a la gravedad e inlroduzcalllo$ wla perturhacioacutelI
bastante peqllentildea parn qlle podamos Sllponer la tensioacuten uni tafllle y constante SupollgalllDs
que en condiciones de eqlilibrio al tiempo 1 =O la cuerda esteacute lendida sobre el ej~ X y cn
eas comli~illlles detennillCllIOS IIn tramo infiniteacutesimo de longitud tlmiddot comprendido entre los
plllltos )0 y Q) (uyas ilhseisas son X X +IL-c cualldo se introdllcc la pcrturumiuacutelI d
tramito se desplazaraacute verticalmente de manera que todas las partiacuteclllas qlle inieialmellte
estaban onlenidas en el elemcnto de longitud p()Q() = iexcll~ se cncolltrar]1I ahora cOlltenidas
en el tramo PQ deformado de longitud ds
Calcuklllos las lueriquestas que aetIacutelan sohre el tramo PQ cuando la cuerda vibra
las fllerls son simplemente las tcnsiones F tangentes a la cuerda cn los plllltos P Q COIIO
sc Illllestrn cn la Figura 15
P - dx o
Q
y
Fi~Url 15 Cuerda inrlllila sometida a 1I11 pcrurbcioacutell
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
2
1gt o ~------------~~----~-----~~--------~ ~
0 VI
--------------------~
lb)
Figura 11 a) Pulso generado In un cxtremo de unn cuerda b) El mismo pulso en lUl inslU11e sucesi va
La pcrturbacioacuten que sc ha generado no pennanece quieta sino que se propaga a lo largo de la
cllerda de mancra quc si lomaramos falos sllcesivtls de la cuerda enconlrariacutetlmos que el pulso
viaja ti lo lilrgo de la cutrda mantcnicllJo inmutada su cOllfiguracioacuten (en ausencia de friccioacuten)
eomo se lI1ucstra en la figura 11 b)
La con figuracioacuten C]ut asume la cuada por efecto de la perturbacioacuten en un instante dellnninado
(ror ejemplo f = O) se define como perfil eJelll (JIua y tiene ecuacioacuten
y =J(x) ( 1 1)
en donde Ii variable y repreellta cl desplazamiento con respecto a su posicioacuten de equilibrio
de cualquicr partiacutecula de la cucnJa Dado que la perturbacioacutell viaja a lo lurgo ue la cuerdil la
posicioacuten de las pnrliacuteculas de la cuerda COII respecto a sus posiciones de equilibrio cambiaraacute con
el tiempo ue aCllerdo eon la ecuacioacuten
y = J (xt) ( 12)
3
Esta ecuacioacuten qlle permitc determinar las posIciones (11 toda~ las partiacutecillas del medio de
prop1gacioacutelI en cualquier momento se llama entonces Ixutlci(I Iwraria de la pcrlllrbacin o
ECUACION DE LA ONDA
podemos explicitar un poco mtls la eculcioacuten (1 2) tcnicnuo ell cuenta quesi la perturbacioacuten sc
propaga u lo lar~o de la cuerda tendida sobre el eje x su velocidad de propagacioacuten (que no
debe confundirse con la ve1ocid d CO1 la cual las PiUiiacuteculas dd medio dc propagacioacuten oscilan
alrededor de Sil posicioacuten de equilibrio) seraacute v = ll-jdt
Consi(lltremos hora una pulso que vi~ja a lo largo del ~Ie X propagUldo una pel1urbacioacuteII
que cespl za las pm1iacuteculas en 1 direccioacuten y en 111 sistema de rclcrencia O fijo y en UII
sistema de referencia O cuyo eje horizontal x coincida con X y que se mueve con respecto
u O con la vdocidad v igual () la velocidad de propagacioacuten de la pcrtllrbacioacutelI
yy
1~~~IO_--+-xxovl~
Xx ~
1gt o L-____________~~----~----~~----------xx
o iexclt-_-_-_-_-_-_-v~I~~iexcl(~~~(_)~_I====x===~ Figura t _2 Pulso que viaja a lo lar~o del eje X cn IIIl sistema tija O
y cn lIn si s tr111 a O que se InIHve con velocidad v
Al tiempo t = O installte cn el cual se produce 1 perturbacioacuten los Jos sistemas O V
coinciden de Illanera que
y = y= iexcl(x) =f(x)
Al tiacuteelllpl) 1 () ~Il el sl i lellla V el pulso se ha)riexcl de plazlclo por lo IaIlIO la eCllacioacuten qm
describe la posicioacutelI instltllltuacutenea de las partiacuteculas dd medio de propagacioacuten saaacute
1=(xl)
En el sistema O quc vuUacutea junto con la p(rturhaoacuteoacutelI el pulso Jpanceraacute inmovil de mallera
que
y= f(x)
Dc la Figura 12 cs faacutecil (kJucir qlle
x = x lmiddot vr x = x - (
y qlle por lo t1I110
y = f (x - VI)
Pero como y = y obtelldremos inmcJimiexcliexclmente
y = iexcl(X)== iexcl(X-VI) ( 13)
La (13) es la eCla~ioacutell de la onda viajcra pr(J~rcsivtl (la qne se propaga en el selltido de las x
~reciclltes) la liulIioacuten f C~ Ina fllllcioacuten arhitraria qll~ dcptlldc dc la Iigtnna del pulso pero 11
ltlrglllllcntu dI la funcioacuten solamcnte puede ser (x - VI) Y lIinguna otra combinacioacuten de las Jus
variables x I
Con proet(limicnto anaacutelogo podriiexclunos m)srar que la onda viajera rc~rciltI (que se propaga
ell el sentido ue las X decrecientes) comspuumlnde a la ecullcioacutelI
J = iexcl (x 1) = iexcl (x + VI) ( I 4 )
dUll1c iexcl es una hllli1I arbilraria u1 mp1I111(1I10 (x + VI)
5
La funcioacuten f dcpclld~ unicamcnlc de la fonna de la perturbacioacuten en otras palabras es 1J
funcioacuten mntcmiexcltiea qllc representa el peffil de la onda
12 ONDAS AltMONICAS
Supongamos allora qm el exlnlIlo libn de una cuerda tellsa semi-inflllita telldida a lo largo
del eje x se Illueva en la direccioacuten y de movimiento armoacutenico con oscilaciones repetidas en
este caso cada pulso (representado por una oscilacioacuten completa del extrcmo libre) se propaga 11
lo largo dc la cuerua seguido inllledialamcnte por otro igllal Resulta asiacute lile a lo largo de la
cucrda se propaga ulla serie de pulsos sinusoidales o sen UII tren de olidas
Se diraacute clltonccs que el cxtremo libre ue la cuerda es bjlclIle de la onda y de acuerdo con
nuestras hipoacutetesis Sil movilllienlo tendraacute ecuacioacuten hornria
y(O t) == 11 COl 27T V t ( 1 5)
en donde se lIa supucstuuml qle el cxtnIIO iexclore de la clIer ~stj localiZldo en el origen de bs
coordenadas (x =O) y que su 1l10villliento armoacutellico tenga amplitud (l y liccuelleia v
bull t
i~lIra 13 RCjrsciltac a lentrOI dd 1I0 illlicnto mnoacutenico
dc It partiacutecula fuente de la perturbacioacuten (x =-= O)
6
Como hemus viSlll en d aso del pulso la energiacutea del IllOvimielllo anlloacutenieo de la partiacutecula
fuente se propaga a lo lumiddotjo de la cuerda eon cicl1a velucidad v por lo tanto en tiempns
sucesivos lodas las partiacuteclllas uel medio de propagacioacuten ejcclltarflJl clmismo movimiento de la
pal1Iacutelula x = O de lIIalllnl ltJue cuando ~sta haya ercctuauo ci~rto niacutellllero de oscilaciones
las posiciones dc todas las partiacuteculas k la cuerda en un instante detcl111inado cOlTesponderaacuten a
las rcportadas en la Iigura 14
Figura lA Posicioacuten de todas las partiacuteculas de la cuerda cn la cllal se ha propagado la perlurbacioacuten introducida el el extrelllo libre La rcpresentacioacuten se relicre a lln instante t detelminado
Si el medio de propagacioacuten e5 llnidimensional y lit) dispcrsivo elltonces todas lIS partIacutellIlas
subre ILis cuales llega la perturbaci6n ejecutUl exactamente la mislIIa oscilacioacutelI de la palticnla
fUClItC CUlI la misma amplitud (1 y la misma frecuencia vlt I ) dc 1IIIIlCra quc despueacutes de
cierto niacutellllero de oscilacioncs de la partIacutecnla fucule en cualquicr insliexclulte [iexclay varias plIliacuteclllas
dd IIIcJio quc se encuentran cxactamcnte con el mismo desplazlllliento con rcspecto a la
posicioacuten de equilihrio y con la misma velocidad (Figura 14) es decir qll~ sc enCllelltrall ell el I
1lli~1II0 eslato de perlllrbl1ciciacutell
( 1) AUacuteII en los Illedios no disrcrsivos en los cuales no se disira energiacutea la amplitud de la Olida dislllilluye iacuteI IIHdida que la pertmuacioacuten ~c acja de la lilcllte cllando el mediu de propagacioacuten 110 cs IInidimellsional 111 los lIledios bidimcllsionalc~ (p c la sllperliacutecic de (111 eslallqlle) o tridillHlIsillJlaks (pc el espacio en d (ual se propaga ulla Olida sOlloril) dcbe tellersc ell Cllellta que r elicrgiacute1 transportada por la Olida se distrihu)t SOOI( flentcs de ondas slcnlprcs nluacutes extcnsos lo que lO OClIlTe para los IlIcllio IIl1idimellsionales ell los cllalc la cllergiacutea de la olldil siclllpre eS1 CUJICClllratla ell 1111
plllltO
7
El COlljilllO de In) partiacuteculas o de los plllltUacute ud cspacn a 1ls que Ikga simulluacutelleamcnte la
perturbacioacuten ondul3toria se lIamajrente dc lJIuJa
El frente dI onda pll~de ~er 1111 plinto IInn liacutenea O IIl1a slIperlicic segIacuteln la onda se propnglle en
1111 m~io IIl1i- hi- II triuilllensionnl por ejemplo cualldo d~jalllu$ caer una piedra en un
cstnnquc los frentes tk onda son ciacuterculos con celltro cn el punto de impacto
Ln menor distallcia entrc uos pnrtiacutecubs (jue pertenezcan a dilcrclllcs frcltes de onda y que se
cncllelllmn en el mismo csiacuteado dc pCl1urhacioacuten $C ddine como Ollgillld tic Olida l y
c(HTesponJe a la distamia recorrida por la perturhacioacutelI en un pcriacuteodll T (jlle cs cl tielllpo
durllltc el cual In partiacutecula filcntc ejeclltn una oscilacioacutelI completa
Es evidente qlle T = iacuteil y que por lo tanlo V
v lIT == iacutei l ( 16)
Con hase en eiexclIiexcliexcls obscrvlciones qllercmos ahora deterlllillllr la posicioacuten inslallluacutene1 d
cllalqllia paniacutecula ud medio en cl ctliexcl1 se estl prnplgaJlllo la pcrtmbacioacuten ondliltol ia~ la
ecuacioacuten (15) nos proporciona la informacioacuten relativa a la posicioacuten de In partiacutecula fuente de
la pertilrbneioacuten que slIponcmos situnda cn x == O sc trata entonces de cmontrar la eCllaeiuacuten
horaria de la perturbacioacuten o sea la fonlla expliacutecita ue la funcioacuten y (x )
Para resulver el problema propllcsto debemos tellcr en Cllcllta qlle l1 tiempo I(J hl posicioacuten de
la partiacutecula rllente cs de acuerdo con (15)
y(oIo) = fI COS 2 Jr l lo (1 7)
Lo anterior impliea que al tiempo t gt In habiendo refonido 11 perturbacioacuten 1I11a distancia
v(t-t()) la partiacutecula sitnllda n la distanci xv(t-t(l)uc la partiacutecula liJcnte ueberuacute
enconlrarse desplazada de Sil posilioacutelI d equilibrio tk In misma Iorllla como se cncontraha la
partiacutelllla () al lielllp) 1 c- dccir
JI (x 1) = y (() 1(J ) = n (os 2 7l 11(J
Pero liado Cluc IIJ t - xv oblencmos
y(x) = 11 COS 2 J[ V(-XV)
de dOlluc
r (X 1) = a cos 2 Ir~ (x - v t ) ( 18) v
Esln iacutedlillln clualioacuten dCIIIII~slra quc la perturbncioacuten lIIaliiada es ulla onua iiexcl~icra progrcsiva
uc la fOllna J (x _ VI) para la cual CII este caso la lilllcioacuten J licne la forma dc 1111 coseno
Ias pel1urbaciollcs pnra las cuales la funcioacuten J liclI la fonua de scno o coseno se llaman
muJa armoacuteniclli
Is usual uefinir (1) = 2 re v Irexllllrcicl ulgulur dc la onda (k mancra quc la t IH) pmdc
adquirir f0I111il IIn pocu maacutes sellcilla
y (x 1) = COl (O (x - 1) v
Por olra parte ltnicndo cn cuenla que = iacute v se obliclle tambieacuten
y (x 1) = a cos 2Ir (x - VI) = =a COi (2 x - 2le v 1J iacute A
y tklilliclldo d nlIacutemero dc onda k tic manera lile k =2 Ir iacute oblenemos
y(xt) = Il COl (kx - uacuteJ 1) ( 19)
EII gcmral IIl1a onua lrlll~lIIica se escrihiiacute cllOnces
y (X) = ti se (kx plusmn lO 1 +1) (110)
cn Jonde el signo positivo cOITeSpollJe la olida rcgresivl y el mgativo a la progresiva El
argumento de la funcioacuten seno se Jcine comoJasc de la mrttl
qgt (X 1) = k x plusmn (J 1+ 1
y su valor en x O el tielllpo 1 =O es lp (00) = t = Juse ilidul de la onda De acuerdo
con esta definicioacutelI es faacutecil calcular la diferencia tic Jouc () entre dos partiacuteclllns xI X 2 dd
fIIcdio de propagacioacuten al tielllJl-1 1
(1 I 1)
De 111 misma IIHIIICnt podeltlos calcular la di irelloacutea de flsl qtle se presenta en tina partiacuteeult
X entn los instantes 1J 12
) == rp (x 1] ) - (P (x - 1 )= uacuteJ (1 - 1 I ) (112)
los ejemplos lIllcriltTs dell1t1cstr~1II que la tse illli t iquest plede rlcilmelltc hacerse Illh
cambiando la eSCIla de IDs tiempos Illedtatl~ tIlia l ~a ICIllt de~ ni gen de las coordenadas a
lo largo dd eje x
13 LA EClJACION DIFERENCIAL DE LA ONOA
lientos visto ya lile la ccuaei6n IlOraria de IIlla pCrll1I bcioacutelI lllHlttlalllri que se pllliexcllaga con
velocidad v es dc la Imllla
I(XI)== r(xplusmn VI)
donde J es IIl1a funcioacuten arbitraria que (n clIcntl de la foacutenna de la perturbacioacuten es decir tic
perfil tic a onda el sigilO positivlJ o negativo ittuie si se trata d( 1I1~ onua que se propaga en
el sntiJo ti las x decrciclltl~s n crecientes
--------- -- - ------
lO
ConsiderclIlos ahora lA cCllaciuacuten nomria dc ulla onda progresiva
y(xt)= iexcl(X-VI) (113)
E obvio qUl si In fllncioacuten iexcl tuviera In forma seno o lOSCIIO la ecuacioacuten (1 11) podriacutea
reducirsc a la (1 10) CJue es la ecuacioacuten ele una onda annuacuteica mlnlcllgmllos sin embargo la
arbitmrieuad en la lonna dc la fUllcioacuten y calculemos las derivada5 segundas lk la y (x JI)
con respecto a Ins varinhhs X l Se oht ielle innlcdiatalllenle
)
c7-y == iexcl(X-V)
rJx 2
la comparacioacuten de IllS uns drivadas nos pennite concluir que
tJ2y 1 o]) ( l 11)
Ih-2 --2--J 1
Ia cculJcioacutelI ( 1 14) es ulla ecuHcioacuten d i rerencial lineul a las deri vadas parc iales homogeacutenea dd
slgulldo orden de la ellal podemos (lblclle la pusicioacuten la vcooacutedad y la ucderacioacuteu de
cnulCJllier partiacutecula dd mcdio en el cllill se cSln rrllpagalldo una onda mccuacutenica cllando se
CUIIOClJl las condiciollcs iniciales del s istcma por csta razoacuten la (1 14) se CUIIllce cOIno (1
(middottllIduacutell tlijCllldlll de OIltlII( I l
111 los proacutex iUlos parngrafos cSlueliIfemos entonces el com]gtortnmiellto de di rerelltes sistelllils
fisicos (cllerda resOIte colulllna de aire elc ) en los cuales se introduce una pertlllbaciuacutelI )
( I COII proccdilllicllto silllilll pudemos ver ltiexcltiC la ccllncioacuten horaria de la onda viajera
regresiva ) (x 1) = g(x -1- VI) dOlldc g es una funciuacuten arbitraria tamhieacuten obedece a
In ecuacioacuten dillnnciiexcliexcl1 de la linda (11 1) lo que IlOS pCllllile concluir CJIIC la solucioacutell gencral de la cClloacutelcioacuten dilerllIlit1 IHIltd~ escribi r ClllllU IIna COlllhinacioacutelI lincal tic las dos lindas vioacuteljcras ell la 101111
y(xt) = middottiexcl(x middot-) I Ug(x ~ VI)
1 I
verelllos corno el comportamiento dc estos sistemas pucde describirse a traveacutes de la eCllacioacuten
diferencial de la onda
14 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CllEfiDA
Nos proponemos ahora ultLemlinar la ecuacioacuten del movimiellto de lodas las partiacuteculas de una
cllerda inliacutenita cllalldo en alguacuten plinto de la misma se introdutca IIna perturbacioacuten
Considcnlllos una cucrda infinita no sometida a la gravedad e inlroduzcalllo$ wla perturhacioacutelI
bastante peqllentildea parn qlle podamos Sllponer la tensioacuten uni tafllle y constante SupollgalllDs
que en condiciones de eqlilibrio al tiempo 1 =O la cuerda esteacute lendida sobre el ej~ X y cn
eas comli~illlles detennillCllIOS IIn tramo infiniteacutesimo de longitud tlmiddot comprendido entre los
plllltos )0 y Q) (uyas ilhseisas son X X +IL-c cualldo se introdllcc la pcrturumiuacutelI d
tramito se desplazaraacute verticalmente de manera que todas las partiacuteclllas qlle inieialmellte
estaban onlenidas en el elemcnto de longitud p()Q() = iexcll~ se cncolltrar]1I ahora cOlltenidas
en el tramo PQ deformado de longitud ds
Calcuklllos las lueriquestas que aetIacutelan sohre el tramo PQ cuando la cuerda vibra
las fllerls son simplemente las tcnsiones F tangentes a la cuerda cn los plllltos P Q COIIO
sc Illllestrn cn la Figura 15
P - dx o
Q
y
Fi~Url 15 Cuerda inrlllila sometida a 1I11 pcrurbcioacutell
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
3
Esta ecuacioacuten qlle permitc determinar las posIciones (11 toda~ las partiacutecillas del medio de
prop1gacioacutelI en cualquier momento se llama entonces Ixutlci(I Iwraria de la pcrlllrbacin o
ECUACION DE LA ONDA
podemos explicitar un poco mtls la eculcioacuten (1 2) tcnicnuo ell cuenta quesi la perturbacioacuten sc
propaga u lo lar~o de la cuerda tendida sobre el eje x su velocidad de propagacioacuten (que no
debe confundirse con la ve1ocid d CO1 la cual las PiUiiacuteculas dd medio dc propagacioacuten oscilan
alrededor de Sil posicioacuten de equilibrio) seraacute v = ll-jdt
Consi(lltremos hora una pulso que vi~ja a lo largo del ~Ie X propagUldo una pel1urbacioacuteII
que cespl za las pm1iacuteculas en 1 direccioacuten y en 111 sistema de rclcrencia O fijo y en UII
sistema de referencia O cuyo eje horizontal x coincida con X y que se mueve con respecto
u O con la vdocidad v igual () la velocidad de propagacioacuten de la pcrtllrbacioacutelI
yy
1~~~IO_--+-xxovl~
Xx ~
1gt o L-____________~~----~----~~----------xx
o iexclt-_-_-_-_-_-_-v~I~~iexcl(~~~(_)~_I====x===~ Figura t _2 Pulso que viaja a lo lar~o del eje X cn IIIl sistema tija O
y cn lIn si s tr111 a O que se InIHve con velocidad v
Al tiempo t = O installte cn el cual se produce 1 perturbacioacuten los Jos sistemas O V
coinciden de Illanera que
y = y= iexcl(x) =f(x)
Al tiacuteelllpl) 1 () ~Il el sl i lellla V el pulso se ha)riexcl de plazlclo por lo IaIlIO la eCllacioacuten qm
describe la posicioacutelI instltllltuacutenea de las partiacuteculas dd medio de propagacioacuten saaacute
1=(xl)
En el sistema O quc vuUacutea junto con la p(rturhaoacuteoacutelI el pulso Jpanceraacute inmovil de mallera
que
y= f(x)
Dc la Figura 12 cs faacutecil (kJucir qlle
x = x lmiddot vr x = x - (
y qlle por lo t1I110
y = f (x - VI)
Pero como y = y obtelldremos inmcJimiexcliexclmente
y = iexcl(X)== iexcl(X-VI) ( 13)
La (13) es la eCla~ioacutell de la onda viajcra pr(J~rcsivtl (la qne se propaga en el selltido de las x
~reciclltes) la liulIioacuten f C~ Ina fllllcioacuten arhitraria qll~ dcptlldc dc la Iigtnna del pulso pero 11
ltlrglllllcntu dI la funcioacuten solamcnte puede ser (x - VI) Y lIinguna otra combinacioacuten de las Jus
variables x I
Con proet(limicnto anaacutelogo podriiexclunos m)srar que la onda viajera rc~rciltI (que se propaga
ell el sentido ue las X decrecientes) comspuumlnde a la ecullcioacutelI
J = iexcl (x 1) = iexcl (x + VI) ( I 4 )
dUll1c iexcl es una hllli1I arbilraria u1 mp1I111(1I10 (x + VI)
5
La funcioacuten f dcpclld~ unicamcnlc de la fonna de la perturbacioacuten en otras palabras es 1J
funcioacuten mntcmiexcltiea qllc representa el peffil de la onda
12 ONDAS AltMONICAS
Supongamos allora qm el exlnlIlo libn de una cuerda tellsa semi-inflllita telldida a lo largo
del eje x se Illueva en la direccioacuten y de movimiento armoacutenico con oscilaciones repetidas en
este caso cada pulso (representado por una oscilacioacuten completa del extrcmo libre) se propaga 11
lo largo dc la cuerua seguido inllledialamcnte por otro igllal Resulta asiacute lile a lo largo de la
cucrda se propaga ulla serie de pulsos sinusoidales o sen UII tren de olidas
Se diraacute clltonccs que el cxtremo libre ue la cuerda es bjlclIle de la onda y de acuerdo con
nuestras hipoacutetesis Sil movilllienlo tendraacute ecuacioacuten hornria
y(O t) == 11 COl 27T V t ( 1 5)
en donde se lIa supucstuuml qle el cxtnIIO iexclore de la clIer ~stj localiZldo en el origen de bs
coordenadas (x =O) y que su 1l10villliento armoacutellico tenga amplitud (l y liccuelleia v
bull t
i~lIra 13 RCjrsciltac a lentrOI dd 1I0 illlicnto mnoacutenico
dc It partiacutecula fuente de la perturbacioacuten (x =-= O)
6
Como hemus viSlll en d aso del pulso la energiacutea del IllOvimielllo anlloacutenieo de la partiacutecula
fuente se propaga a lo lumiddotjo de la cuerda eon cicl1a velucidad v por lo tanto en tiempns
sucesivos lodas las partiacuteclllas uel medio de propagacioacuten ejcclltarflJl clmismo movimiento de la
pal1Iacutelula x = O de lIIalllnl ltJue cuando ~sta haya ercctuauo ci~rto niacutellllero de oscilaciones
las posiciones dc todas las partiacuteculas k la cuerda en un instante detcl111inado cOlTesponderaacuten a
las rcportadas en la Iigura 14
Figura lA Posicioacuten de todas las partiacuteculas de la cuerda cn la cllal se ha propagado la perlurbacioacuten introducida el el extrelllo libre La rcpresentacioacuten se relicre a lln instante t detelminado
Si el medio de propagacioacuten e5 llnidimensional y lit) dispcrsivo elltonces todas lIS partIacutellIlas
subre ILis cuales llega la perturbaci6n ejecutUl exactamente la mislIIa oscilacioacutelI de la palticnla
fUClItC CUlI la misma amplitud (1 y la misma frecuencia vlt I ) dc 1IIIIlCra quc despueacutes de
cierto niacutellllero de oscilacioncs de la partIacutecnla fucule en cualquicr insliexclulte [iexclay varias plIliacuteclllas
dd IIIcJio quc se encuentran cxactamcnte con el mismo desplazlllliento con rcspecto a la
posicioacuten de equilihrio y con la misma velocidad (Figura 14) es decir qll~ sc enCllelltrall ell el I
1lli~1II0 eslato de perlllrbl1ciciacutell
( 1) AUacuteII en los Illedios no disrcrsivos en los cuales no se disira energiacutea la amplitud de la Olida dislllilluye iacuteI IIHdida que la pertmuacioacuten ~c acja de la lilcllte cllando el mediu de propagacioacuten 110 cs IInidimellsional 111 los lIledios bidimcllsionalc~ (p c la sllperliacutecic de (111 eslallqlle) o tridillHlIsillJlaks (pc el espacio en d (ual se propaga ulla Olida sOlloril) dcbe tellersc ell Cllellta que r elicrgiacute1 transportada por la Olida se distrihu)t SOOI( flentcs de ondas slcnlprcs nluacutes extcnsos lo que lO OClIlTe para los IlIcllio IIl1idimellsionales ell los cllalc la cllergiacutea de la olldil siclllpre eS1 CUJICClllratla ell 1111
plllltO
7
El COlljilllO de In) partiacuteculas o de los plllltUacute ud cspacn a 1ls que Ikga simulluacutelleamcnte la
perturbacioacuten ondul3toria se lIamajrente dc lJIuJa
El frente dI onda pll~de ~er 1111 plinto IInn liacutenea O IIl1a slIperlicic segIacuteln la onda se propnglle en
1111 m~io IIl1i- hi- II triuilllensionnl por ejemplo cualldo d~jalllu$ caer una piedra en un
cstnnquc los frentes tk onda son ciacuterculos con celltro cn el punto de impacto
Ln menor distallcia entrc uos pnrtiacutecubs (jue pertenezcan a dilcrclllcs frcltes de onda y que se
cncllelllmn en el mismo csiacuteado dc pCl1urhacioacuten $C ddine como Ollgillld tic Olida l y
c(HTesponJe a la distamia recorrida por la perturhacioacutelI en un pcriacuteodll T (jlle cs cl tielllpo
durllltc el cual In partiacutecula filcntc ejeclltn una oscilacioacutelI completa
Es evidente qlle T = iacuteil y que por lo tanlo V
v lIT == iacutei l ( 16)
Con hase en eiexclIiexcliexcls obscrvlciones qllercmos ahora deterlllillllr la posicioacuten inslallluacutene1 d
cllalqllia paniacutecula ud medio en cl ctliexcl1 se estl prnplgaJlllo la pcrtmbacioacuten ondliltol ia~ la
ecuacioacuten (15) nos proporciona la informacioacuten relativa a la posicioacuten de In partiacutecula fuente de
la pertilrbneioacuten que slIponcmos situnda cn x == O sc trata entonces de cmontrar la eCllaeiuacuten
horaria de la perturbacioacuten o sea la fonlla expliacutecita ue la funcioacuten y (x )
Para resulver el problema propllcsto debemos tellcr en Cllcllta qlle l1 tiempo I(J hl posicioacuten de
la partiacutecula rllente cs de acuerdo con (15)
y(oIo) = fI COS 2 Jr l lo (1 7)
Lo anterior impliea que al tiempo t gt In habiendo refonido 11 perturbacioacuten 1I11a distancia
v(t-t()) la partiacutecula sitnllda n la distanci xv(t-t(l)uc la partiacutecula liJcnte ueberuacute
enconlrarse desplazada de Sil posilioacutelI d equilibrio tk In misma Iorllla como se cncontraha la
partiacutelllla () al lielllp) 1 c- dccir
JI (x 1) = y (() 1(J ) = n (os 2 7l 11(J
Pero liado Cluc IIJ t - xv oblencmos
y(x) = 11 COS 2 J[ V(-XV)
de dOlluc
r (X 1) = a cos 2 Ir~ (x - v t ) ( 18) v
Esln iacutedlillln clualioacuten dCIIIII~slra quc la perturbncioacuten lIIaliiada es ulla onua iiexcl~icra progrcsiva
uc la fOllna J (x _ VI) para la cual CII este caso la lilllcioacuten J licne la forma dc 1111 coseno
Ias pel1urbaciollcs pnra las cuales la funcioacuten J liclI la fonua de scno o coseno se llaman
muJa armoacuteniclli
Is usual uefinir (1) = 2 re v Irexllllrcicl ulgulur dc la onda (k mancra quc la t IH) pmdc
adquirir f0I111il IIn pocu maacutes sellcilla
y (x 1) = COl (O (x - 1) v
Por olra parte ltnicndo cn cuenla que = iacute v se obliclle tambieacuten
y (x 1) = a cos 2Ir (x - VI) = =a COi (2 x - 2le v 1J iacute A
y tklilliclldo d nlIacutemero dc onda k tic manera lile k =2 Ir iacute oblenemos
y(xt) = Il COl (kx - uacuteJ 1) ( 19)
EII gcmral IIl1a onua lrlll~lIIica se escrihiiacute cllOnces
y (X) = ti se (kx plusmn lO 1 +1) (110)
cn Jonde el signo positivo cOITeSpollJe la olida rcgresivl y el mgativo a la progresiva El
argumento de la funcioacuten seno se Jcine comoJasc de la mrttl
qgt (X 1) = k x plusmn (J 1+ 1
y su valor en x O el tielllpo 1 =O es lp (00) = t = Juse ilidul de la onda De acuerdo
con esta definicioacutelI es faacutecil calcular la diferencia tic Jouc () entre dos partiacuteclllns xI X 2 dd
fIIcdio de propagacioacuten al tielllJl-1 1
(1 I 1)
De 111 misma IIHIIICnt podeltlos calcular la di irelloacutea de flsl qtle se presenta en tina partiacuteeult
X entn los instantes 1J 12
) == rp (x 1] ) - (P (x - 1 )= uacuteJ (1 - 1 I ) (112)
los ejemplos lIllcriltTs dell1t1cstr~1II que la tse illli t iquest plede rlcilmelltc hacerse Illh
cambiando la eSCIla de IDs tiempos Illedtatl~ tIlia l ~a ICIllt de~ ni gen de las coordenadas a
lo largo dd eje x
13 LA EClJACION DIFERENCIAL DE LA ONOA
lientos visto ya lile la ccuaei6n IlOraria de IIlla pCrll1I bcioacutelI lllHlttlalllri que se pllliexcllaga con
velocidad v es dc la Imllla
I(XI)== r(xplusmn VI)
donde J es IIl1a funcioacuten arbitraria que (n clIcntl de la foacutenna de la perturbacioacuten es decir tic
perfil tic a onda el sigilO positivlJ o negativo ittuie si se trata d( 1I1~ onua que se propaga en
el sntiJo ti las x decrciclltl~s n crecientes
--------- -- - ------
lO
ConsiderclIlos ahora lA cCllaciuacuten nomria dc ulla onda progresiva
y(xt)= iexcl(X-VI) (113)
E obvio qUl si In fllncioacuten iexcl tuviera In forma seno o lOSCIIO la ecuacioacuten (1 11) podriacutea
reducirsc a la (1 10) CJue es la ecuacioacuten ele una onda annuacuteica mlnlcllgmllos sin embargo la
arbitmrieuad en la lonna dc la fUllcioacuten y calculemos las derivada5 segundas lk la y (x JI)
con respecto a Ins varinhhs X l Se oht ielle innlcdiatalllenle
)
c7-y == iexcl(X-V)
rJx 2
la comparacioacuten de IllS uns drivadas nos pennite concluir que
tJ2y 1 o]) ( l 11)
Ih-2 --2--J 1
Ia cculJcioacutelI ( 1 14) es ulla ecuHcioacuten d i rerencial lineul a las deri vadas parc iales homogeacutenea dd
slgulldo orden de la ellal podemos (lblclle la pusicioacuten la vcooacutedad y la ucderacioacuteu de
cnulCJllier partiacutecula dd mcdio en el cllill se cSln rrllpagalldo una onda mccuacutenica cllando se
CUIIOClJl las condiciollcs iniciales del s istcma por csta razoacuten la (1 14) se CUIIllce cOIno (1
(middottllIduacutell tlijCllldlll de OIltlII( I l
111 los proacutex iUlos parngrafos cSlueliIfemos entonces el com]gtortnmiellto de di rerelltes sistelllils
fisicos (cllerda resOIte colulllna de aire elc ) en los cuales se introduce una pertlllbaciuacutelI )
( I COII proccdilllicllto silllilll pudemos ver ltiexcltiC la ccllncioacuten horaria de la onda viajera
regresiva ) (x 1) = g(x -1- VI) dOlldc g es una funciuacuten arbitraria tamhieacuten obedece a
In ecuacioacuten dillnnciiexcliexcl1 de la linda (11 1) lo que IlOS pCllllile concluir CJIIC la solucioacutell gencral de la cClloacutelcioacuten dilerllIlit1 IHIltd~ escribi r ClllllU IIna COlllhinacioacutelI lincal tic las dos lindas vioacuteljcras ell la 101111
y(xt) = middottiexcl(x middot-) I Ug(x ~ VI)
1 I
verelllos corno el comportamiento dc estos sistemas pucde describirse a traveacutes de la eCllacioacuten
diferencial de la onda
14 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CllEfiDA
Nos proponemos ahora ultLemlinar la ecuacioacuten del movimiellto de lodas las partiacuteculas de una
cllerda inliacutenita cllalldo en alguacuten plinto de la misma se introdutca IIna perturbacioacuten
Considcnlllos una cucrda infinita no sometida a la gravedad e inlroduzcalllo$ wla perturhacioacutelI
bastante peqllentildea parn qlle podamos Sllponer la tensioacuten uni tafllle y constante SupollgalllDs
que en condiciones de eqlilibrio al tiempo 1 =O la cuerda esteacute lendida sobre el ej~ X y cn
eas comli~illlles detennillCllIOS IIn tramo infiniteacutesimo de longitud tlmiddot comprendido entre los
plllltos )0 y Q) (uyas ilhseisas son X X +IL-c cualldo se introdllcc la pcrturumiuacutelI d
tramito se desplazaraacute verticalmente de manera que todas las partiacuteclllas qlle inieialmellte
estaban onlenidas en el elemcnto de longitud p()Q() = iexcll~ se cncolltrar]1I ahora cOlltenidas
en el tramo PQ deformado de longitud ds
Calcuklllos las lueriquestas que aetIacutelan sohre el tramo PQ cuando la cuerda vibra
las fllerls son simplemente las tcnsiones F tangentes a la cuerda cn los plllltos P Q COIIO
sc Illllestrn cn la Figura 15
P - dx o
Q
y
Fi~Url 15 Cuerda inrlllila sometida a 1I11 pcrurbcioacutell
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
1=(xl)
En el sistema O quc vuUacutea junto con la p(rturhaoacuteoacutelI el pulso Jpanceraacute inmovil de mallera
que
y= f(x)
Dc la Figura 12 cs faacutecil (kJucir qlle
x = x lmiddot vr x = x - (
y qlle por lo t1I110
y = f (x - VI)
Pero como y = y obtelldremos inmcJimiexcliexclmente
y = iexcl(X)== iexcl(X-VI) ( 13)
La (13) es la eCla~ioacutell de la onda viajcra pr(J~rcsivtl (la qne se propaga en el selltido de las x
~reciclltes) la liulIioacuten f C~ Ina fllllcioacuten arhitraria qll~ dcptlldc dc la Iigtnna del pulso pero 11
ltlrglllllcntu dI la funcioacuten solamcnte puede ser (x - VI) Y lIinguna otra combinacioacuten de las Jus
variables x I
Con proet(limicnto anaacutelogo podriiexclunos m)srar que la onda viajera rc~rciltI (que se propaga
ell el sentido ue las X decrecientes) comspuumlnde a la ecullcioacutelI
J = iexcl (x 1) = iexcl (x + VI) ( I 4 )
dUll1c iexcl es una hllli1I arbilraria u1 mp1I111(1I10 (x + VI)
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La funcioacuten f dcpclld~ unicamcnlc de la fonna de la perturbacioacuten en otras palabras es 1J
funcioacuten mntcmiexcltiea qllc representa el peffil de la onda
12 ONDAS AltMONICAS
Supongamos allora qm el exlnlIlo libn de una cuerda tellsa semi-inflllita telldida a lo largo
del eje x se Illueva en la direccioacuten y de movimiento armoacutenico con oscilaciones repetidas en
este caso cada pulso (representado por una oscilacioacuten completa del extrcmo libre) se propaga 11
lo largo dc la cuerua seguido inllledialamcnte por otro igllal Resulta asiacute lile a lo largo de la
cucrda se propaga ulla serie de pulsos sinusoidales o sen UII tren de olidas
Se diraacute clltonccs que el cxtremo libre ue la cuerda es bjlclIle de la onda y de acuerdo con
nuestras hipoacutetesis Sil movilllienlo tendraacute ecuacioacuten hornria
y(O t) == 11 COl 27T V t ( 1 5)
en donde se lIa supucstuuml qle el cxtnIIO iexclore de la clIer ~stj localiZldo en el origen de bs
coordenadas (x =O) y que su 1l10villliento armoacutellico tenga amplitud (l y liccuelleia v
bull t
i~lIra 13 RCjrsciltac a lentrOI dd 1I0 illlicnto mnoacutenico
dc It partiacutecula fuente de la perturbacioacuten (x =-= O)
6
Como hemus viSlll en d aso del pulso la energiacutea del IllOvimielllo anlloacutenieo de la partiacutecula
fuente se propaga a lo lumiddotjo de la cuerda eon cicl1a velucidad v por lo tanto en tiempns
sucesivos lodas las partiacuteclllas uel medio de propagacioacuten ejcclltarflJl clmismo movimiento de la
pal1Iacutelula x = O de lIIalllnl ltJue cuando ~sta haya ercctuauo ci~rto niacutellllero de oscilaciones
las posiciones dc todas las partiacuteculas k la cuerda en un instante detcl111inado cOlTesponderaacuten a
las rcportadas en la Iigura 14
Figura lA Posicioacuten de todas las partiacuteculas de la cuerda cn la cllal se ha propagado la perlurbacioacuten introducida el el extrelllo libre La rcpresentacioacuten se relicre a lln instante t detelminado
Si el medio de propagacioacuten e5 llnidimensional y lit) dispcrsivo elltonces todas lIS partIacutellIlas
subre ILis cuales llega la perturbaci6n ejecutUl exactamente la mislIIa oscilacioacutelI de la palticnla
fUClItC CUlI la misma amplitud (1 y la misma frecuencia vlt I ) dc 1IIIIlCra quc despueacutes de
cierto niacutellllero de oscilacioncs de la partIacutecnla fucule en cualquicr insliexclulte [iexclay varias plIliacuteclllas
dd IIIcJio quc se encuentran cxactamcnte con el mismo desplazlllliento con rcspecto a la
posicioacuten de equilihrio y con la misma velocidad (Figura 14) es decir qll~ sc enCllelltrall ell el I
1lli~1II0 eslato de perlllrbl1ciciacutell
( 1) AUacuteII en los Illedios no disrcrsivos en los cuales no se disira energiacutea la amplitud de la Olida dislllilluye iacuteI IIHdida que la pertmuacioacuten ~c acja de la lilcllte cllando el mediu de propagacioacuten 110 cs IInidimellsional 111 los lIledios bidimcllsionalc~ (p c la sllperliacutecic de (111 eslallqlle) o tridillHlIsillJlaks (pc el espacio en d (ual se propaga ulla Olida sOlloril) dcbe tellersc ell Cllellta que r elicrgiacute1 transportada por la Olida se distrihu)t SOOI( flentcs de ondas slcnlprcs nluacutes extcnsos lo que lO OClIlTe para los IlIcllio IIl1idimellsionales ell los cllalc la cllergiacutea de la olldil siclllpre eS1 CUJICClllratla ell 1111
plllltO
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El COlljilllO de In) partiacuteculas o de los plllltUacute ud cspacn a 1ls que Ikga simulluacutelleamcnte la
perturbacioacuten ondul3toria se lIamajrente dc lJIuJa
El frente dI onda pll~de ~er 1111 plinto IInn liacutenea O IIl1a slIperlicic segIacuteln la onda se propnglle en
1111 m~io IIl1i- hi- II triuilllensionnl por ejemplo cualldo d~jalllu$ caer una piedra en un
cstnnquc los frentes tk onda son ciacuterculos con celltro cn el punto de impacto
Ln menor distallcia entrc uos pnrtiacutecubs (jue pertenezcan a dilcrclllcs frcltes de onda y que se
cncllelllmn en el mismo csiacuteado dc pCl1urhacioacuten $C ddine como Ollgillld tic Olida l y
c(HTesponJe a la distamia recorrida por la perturhacioacutelI en un pcriacuteodll T (jlle cs cl tielllpo
durllltc el cual In partiacutecula filcntc ejeclltn una oscilacioacutelI completa
Es evidente qlle T = iacuteil y que por lo tanlo V
v lIT == iacutei l ( 16)
Con hase en eiexclIiexcliexcls obscrvlciones qllercmos ahora deterlllillllr la posicioacuten inslallluacutene1 d
cllalqllia paniacutecula ud medio en cl ctliexcl1 se estl prnplgaJlllo la pcrtmbacioacuten ondliltol ia~ la
ecuacioacuten (15) nos proporciona la informacioacuten relativa a la posicioacuten de In partiacutecula fuente de
la pertilrbneioacuten que slIponcmos situnda cn x == O sc trata entonces de cmontrar la eCllaeiuacuten
horaria de la perturbacioacuten o sea la fonlla expliacutecita ue la funcioacuten y (x )
Para resulver el problema propllcsto debemos tellcr en Cllcllta qlle l1 tiempo I(J hl posicioacuten de
la partiacutecula rllente cs de acuerdo con (15)
y(oIo) = fI COS 2 Jr l lo (1 7)
Lo anterior impliea que al tiempo t gt In habiendo refonido 11 perturbacioacuten 1I11a distancia
v(t-t()) la partiacutecula sitnllda n la distanci xv(t-t(l)uc la partiacutecula liJcnte ueberuacute
enconlrarse desplazada de Sil posilioacutelI d equilibrio tk In misma Iorllla como se cncontraha la
partiacutelllla () al lielllp) 1 c- dccir
JI (x 1) = y (() 1(J ) = n (os 2 7l 11(J
Pero liado Cluc IIJ t - xv oblencmos
y(x) = 11 COS 2 J[ V(-XV)
de dOlluc
r (X 1) = a cos 2 Ir~ (x - v t ) ( 18) v
Esln iacutedlillln clualioacuten dCIIIII~slra quc la perturbncioacuten lIIaliiada es ulla onua iiexcl~icra progrcsiva
uc la fOllna J (x _ VI) para la cual CII este caso la lilllcioacuten J licne la forma dc 1111 coseno
Ias pel1urbaciollcs pnra las cuales la funcioacuten J liclI la fonua de scno o coseno se llaman
muJa armoacuteniclli
Is usual uefinir (1) = 2 re v Irexllllrcicl ulgulur dc la onda (k mancra quc la t IH) pmdc
adquirir f0I111il IIn pocu maacutes sellcilla
y (x 1) = COl (O (x - 1) v
Por olra parte ltnicndo cn cuenla que = iacute v se obliclle tambieacuten
y (x 1) = a cos 2Ir (x - VI) = =a COi (2 x - 2le v 1J iacute A
y tklilliclldo d nlIacutemero dc onda k tic manera lile k =2 Ir iacute oblenemos
y(xt) = Il COl (kx - uacuteJ 1) ( 19)
EII gcmral IIl1a onua lrlll~lIIica se escrihiiacute cllOnces
y (X) = ti se (kx plusmn lO 1 +1) (110)
cn Jonde el signo positivo cOITeSpollJe la olida rcgresivl y el mgativo a la progresiva El
argumento de la funcioacuten seno se Jcine comoJasc de la mrttl
qgt (X 1) = k x plusmn (J 1+ 1
y su valor en x O el tielllpo 1 =O es lp (00) = t = Juse ilidul de la onda De acuerdo
con esta definicioacutelI es faacutecil calcular la diferencia tic Jouc () entre dos partiacuteclllns xI X 2 dd
fIIcdio de propagacioacuten al tielllJl-1 1
(1 I 1)
De 111 misma IIHIIICnt podeltlos calcular la di irelloacutea de flsl qtle se presenta en tina partiacuteeult
X entn los instantes 1J 12
) == rp (x 1] ) - (P (x - 1 )= uacuteJ (1 - 1 I ) (112)
los ejemplos lIllcriltTs dell1t1cstr~1II que la tse illli t iquest plede rlcilmelltc hacerse Illh
cambiando la eSCIla de IDs tiempos Illedtatl~ tIlia l ~a ICIllt de~ ni gen de las coordenadas a
lo largo dd eje x
13 LA EClJACION DIFERENCIAL DE LA ONOA
lientos visto ya lile la ccuaei6n IlOraria de IIlla pCrll1I bcioacutelI lllHlttlalllri que se pllliexcllaga con
velocidad v es dc la Imllla
I(XI)== r(xplusmn VI)
donde J es IIl1a funcioacuten arbitraria que (n clIcntl de la foacutenna de la perturbacioacuten es decir tic
perfil tic a onda el sigilO positivlJ o negativo ittuie si se trata d( 1I1~ onua que se propaga en
el sntiJo ti las x decrciclltl~s n crecientes
--------- -- - ------
lO
ConsiderclIlos ahora lA cCllaciuacuten nomria dc ulla onda progresiva
y(xt)= iexcl(X-VI) (113)
E obvio qUl si In fllncioacuten iexcl tuviera In forma seno o lOSCIIO la ecuacioacuten (1 11) podriacutea
reducirsc a la (1 10) CJue es la ecuacioacuten ele una onda annuacuteica mlnlcllgmllos sin embargo la
arbitmrieuad en la lonna dc la fUllcioacuten y calculemos las derivada5 segundas lk la y (x JI)
con respecto a Ins varinhhs X l Se oht ielle innlcdiatalllenle
)
c7-y == iexcl(X-V)
rJx 2
la comparacioacuten de IllS uns drivadas nos pennite concluir que
tJ2y 1 o]) ( l 11)
Ih-2 --2--J 1
Ia cculJcioacutelI ( 1 14) es ulla ecuHcioacuten d i rerencial lineul a las deri vadas parc iales homogeacutenea dd
slgulldo orden de la ellal podemos (lblclle la pusicioacuten la vcooacutedad y la ucderacioacuteu de
cnulCJllier partiacutecula dd mcdio en el cllill se cSln rrllpagalldo una onda mccuacutenica cllando se
CUIIOClJl las condiciollcs iniciales del s istcma por csta razoacuten la (1 14) se CUIIllce cOIno (1
(middottllIduacutell tlijCllldlll de OIltlII( I l
111 los proacutex iUlos parngrafos cSlueliIfemos entonces el com]gtortnmiellto de di rerelltes sistelllils
fisicos (cllerda resOIte colulllna de aire elc ) en los cuales se introduce una pertlllbaciuacutelI )
( I COII proccdilllicllto silllilll pudemos ver ltiexcltiC la ccllncioacuten horaria de la onda viajera
regresiva ) (x 1) = g(x -1- VI) dOlldc g es una funciuacuten arbitraria tamhieacuten obedece a
In ecuacioacuten dillnnciiexcliexcl1 de la linda (11 1) lo que IlOS pCllllile concluir CJIIC la solucioacutell gencral de la cClloacutelcioacuten dilerllIlit1 IHIltd~ escribi r ClllllU IIna COlllhinacioacutelI lincal tic las dos lindas vioacuteljcras ell la 101111
y(xt) = middottiexcl(x middot-) I Ug(x ~ VI)
1 I
verelllos corno el comportamiento dc estos sistemas pucde describirse a traveacutes de la eCllacioacuten
diferencial de la onda
14 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CllEfiDA
Nos proponemos ahora ultLemlinar la ecuacioacuten del movimiellto de lodas las partiacuteculas de una
cllerda inliacutenita cllalldo en alguacuten plinto de la misma se introdutca IIna perturbacioacuten
Considcnlllos una cucrda infinita no sometida a la gravedad e inlroduzcalllo$ wla perturhacioacutelI
bastante peqllentildea parn qlle podamos Sllponer la tensioacuten uni tafllle y constante SupollgalllDs
que en condiciones de eqlilibrio al tiempo 1 =O la cuerda esteacute lendida sobre el ej~ X y cn
eas comli~illlles detennillCllIOS IIn tramo infiniteacutesimo de longitud tlmiddot comprendido entre los
plllltos )0 y Q) (uyas ilhseisas son X X +IL-c cualldo se introdllcc la pcrturumiuacutelI d
tramito se desplazaraacute verticalmente de manera que todas las partiacuteclllas qlle inieialmellte
estaban onlenidas en el elemcnto de longitud p()Q() = iexcll~ se cncolltrar]1I ahora cOlltenidas
en el tramo PQ deformado de longitud ds
Calcuklllos las lueriquestas que aetIacutelan sohre el tramo PQ cuando la cuerda vibra
las fllerls son simplemente las tcnsiones F tangentes a la cuerda cn los plllltos P Q COIIO
sc Illllestrn cn la Figura 15
P - dx o
Q
y
Fi~Url 15 Cuerda inrlllila sometida a 1I11 pcrurbcioacutell
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
5
La funcioacuten f dcpclld~ unicamcnlc de la fonna de la perturbacioacuten en otras palabras es 1J
funcioacuten mntcmiexcltiea qllc representa el peffil de la onda
12 ONDAS AltMONICAS
Supongamos allora qm el exlnlIlo libn de una cuerda tellsa semi-inflllita telldida a lo largo
del eje x se Illueva en la direccioacuten y de movimiento armoacutenico con oscilaciones repetidas en
este caso cada pulso (representado por una oscilacioacuten completa del extrcmo libre) se propaga 11
lo largo dc la cuerua seguido inllledialamcnte por otro igllal Resulta asiacute lile a lo largo de la
cucrda se propaga ulla serie de pulsos sinusoidales o sen UII tren de olidas
Se diraacute clltonccs que el cxtremo libre ue la cuerda es bjlclIle de la onda y de acuerdo con
nuestras hipoacutetesis Sil movilllienlo tendraacute ecuacioacuten hornria
y(O t) == 11 COl 27T V t ( 1 5)
en donde se lIa supucstuuml qle el cxtnIIO iexclore de la clIer ~stj localiZldo en el origen de bs
coordenadas (x =O) y que su 1l10villliento armoacutellico tenga amplitud (l y liccuelleia v
bull t
i~lIra 13 RCjrsciltac a lentrOI dd 1I0 illlicnto mnoacutenico
dc It partiacutecula fuente de la perturbacioacuten (x =-= O)
6
Como hemus viSlll en d aso del pulso la energiacutea del IllOvimielllo anlloacutenieo de la partiacutecula
fuente se propaga a lo lumiddotjo de la cuerda eon cicl1a velucidad v por lo tanto en tiempns
sucesivos lodas las partiacuteclllas uel medio de propagacioacuten ejcclltarflJl clmismo movimiento de la
pal1Iacutelula x = O de lIIalllnl ltJue cuando ~sta haya ercctuauo ci~rto niacutellllero de oscilaciones
las posiciones dc todas las partiacuteculas k la cuerda en un instante detcl111inado cOlTesponderaacuten a
las rcportadas en la Iigura 14
Figura lA Posicioacuten de todas las partiacuteculas de la cuerda cn la cllal se ha propagado la perlurbacioacuten introducida el el extrelllo libre La rcpresentacioacuten se relicre a lln instante t detelminado
Si el medio de propagacioacuten e5 llnidimensional y lit) dispcrsivo elltonces todas lIS partIacutellIlas
subre ILis cuales llega la perturbaci6n ejecutUl exactamente la mislIIa oscilacioacutelI de la palticnla
fUClItC CUlI la misma amplitud (1 y la misma frecuencia vlt I ) dc 1IIIIlCra quc despueacutes de
cierto niacutellllero de oscilacioncs de la partIacutecnla fucule en cualquicr insliexclulte [iexclay varias plIliacuteclllas
dd IIIcJio quc se encuentran cxactamcnte con el mismo desplazlllliento con rcspecto a la
posicioacuten de equilihrio y con la misma velocidad (Figura 14) es decir qll~ sc enCllelltrall ell el I
1lli~1II0 eslato de perlllrbl1ciciacutell
( 1) AUacuteII en los Illedios no disrcrsivos en los cuales no se disira energiacutea la amplitud de la Olida dislllilluye iacuteI IIHdida que la pertmuacioacuten ~c acja de la lilcllte cllando el mediu de propagacioacuten 110 cs IInidimellsional 111 los lIledios bidimcllsionalc~ (p c la sllperliacutecic de (111 eslallqlle) o tridillHlIsillJlaks (pc el espacio en d (ual se propaga ulla Olida sOlloril) dcbe tellersc ell Cllellta que r elicrgiacute1 transportada por la Olida se distrihu)t SOOI( flentcs de ondas slcnlprcs nluacutes extcnsos lo que lO OClIlTe para los IlIcllio IIl1idimellsionales ell los cllalc la cllergiacutea de la olldil siclllpre eS1 CUJICClllratla ell 1111
plllltO
7
El COlljilllO de In) partiacuteculas o de los plllltUacute ud cspacn a 1ls que Ikga simulluacutelleamcnte la
perturbacioacuten ondul3toria se lIamajrente dc lJIuJa
El frente dI onda pll~de ~er 1111 plinto IInn liacutenea O IIl1a slIperlicic segIacuteln la onda se propnglle en
1111 m~io IIl1i- hi- II triuilllensionnl por ejemplo cualldo d~jalllu$ caer una piedra en un
cstnnquc los frentes tk onda son ciacuterculos con celltro cn el punto de impacto
Ln menor distallcia entrc uos pnrtiacutecubs (jue pertenezcan a dilcrclllcs frcltes de onda y que se
cncllelllmn en el mismo csiacuteado dc pCl1urhacioacuten $C ddine como Ollgillld tic Olida l y
c(HTesponJe a la distamia recorrida por la perturhacioacutelI en un pcriacuteodll T (jlle cs cl tielllpo
durllltc el cual In partiacutecula filcntc ejeclltn una oscilacioacutelI completa
Es evidente qlle T = iacuteil y que por lo tanlo V
v lIT == iacutei l ( 16)
Con hase en eiexclIiexcliexcls obscrvlciones qllercmos ahora deterlllillllr la posicioacuten inslallluacutene1 d
cllalqllia paniacutecula ud medio en cl ctliexcl1 se estl prnplgaJlllo la pcrtmbacioacuten ondliltol ia~ la
ecuacioacuten (15) nos proporciona la informacioacuten relativa a la posicioacuten de In partiacutecula fuente de
la pertilrbneioacuten que slIponcmos situnda cn x == O sc trata entonces de cmontrar la eCllaeiuacuten
horaria de la perturbacioacuten o sea la fonlla expliacutecita ue la funcioacuten y (x )
Para resulver el problema propllcsto debemos tellcr en Cllcllta qlle l1 tiempo I(J hl posicioacuten de
la partiacutecula rllente cs de acuerdo con (15)
y(oIo) = fI COS 2 Jr l lo (1 7)
Lo anterior impliea que al tiempo t gt In habiendo refonido 11 perturbacioacuten 1I11a distancia
v(t-t()) la partiacutecula sitnllda n la distanci xv(t-t(l)uc la partiacutecula liJcnte ueberuacute
enconlrarse desplazada de Sil posilioacutelI d equilibrio tk In misma Iorllla como se cncontraha la
partiacutelllla () al lielllp) 1 c- dccir
JI (x 1) = y (() 1(J ) = n (os 2 7l 11(J
Pero liado Cluc IIJ t - xv oblencmos
y(x) = 11 COS 2 J[ V(-XV)
de dOlluc
r (X 1) = a cos 2 Ir~ (x - v t ) ( 18) v
Esln iacutedlillln clualioacuten dCIIIII~slra quc la perturbncioacuten lIIaliiada es ulla onua iiexcl~icra progrcsiva
uc la fOllna J (x _ VI) para la cual CII este caso la lilllcioacuten J licne la forma dc 1111 coseno
Ias pel1urbaciollcs pnra las cuales la funcioacuten J liclI la fonua de scno o coseno se llaman
muJa armoacuteniclli
Is usual uefinir (1) = 2 re v Irexllllrcicl ulgulur dc la onda (k mancra quc la t IH) pmdc
adquirir f0I111il IIn pocu maacutes sellcilla
y (x 1) = COl (O (x - 1) v
Por olra parte ltnicndo cn cuenla que = iacute v se obliclle tambieacuten
y (x 1) = a cos 2Ir (x - VI) = =a COi (2 x - 2le v 1J iacute A
y tklilliclldo d nlIacutemero dc onda k tic manera lile k =2 Ir iacute oblenemos
y(xt) = Il COl (kx - uacuteJ 1) ( 19)
EII gcmral IIl1a onua lrlll~lIIica se escrihiiacute cllOnces
y (X) = ti se (kx plusmn lO 1 +1) (110)
cn Jonde el signo positivo cOITeSpollJe la olida rcgresivl y el mgativo a la progresiva El
argumento de la funcioacuten seno se Jcine comoJasc de la mrttl
qgt (X 1) = k x plusmn (J 1+ 1
y su valor en x O el tielllpo 1 =O es lp (00) = t = Juse ilidul de la onda De acuerdo
con esta definicioacutelI es faacutecil calcular la diferencia tic Jouc () entre dos partiacuteclllns xI X 2 dd
fIIcdio de propagacioacuten al tielllJl-1 1
(1 I 1)
De 111 misma IIHIIICnt podeltlos calcular la di irelloacutea de flsl qtle se presenta en tina partiacuteeult
X entn los instantes 1J 12
) == rp (x 1] ) - (P (x - 1 )= uacuteJ (1 - 1 I ) (112)
los ejemplos lIllcriltTs dell1t1cstr~1II que la tse illli t iquest plede rlcilmelltc hacerse Illh
cambiando la eSCIla de IDs tiempos Illedtatl~ tIlia l ~a ICIllt de~ ni gen de las coordenadas a
lo largo dd eje x
13 LA EClJACION DIFERENCIAL DE LA ONOA
lientos visto ya lile la ccuaei6n IlOraria de IIlla pCrll1I bcioacutelI lllHlttlalllri que se pllliexcllaga con
velocidad v es dc la Imllla
I(XI)== r(xplusmn VI)
donde J es IIl1a funcioacuten arbitraria que (n clIcntl de la foacutenna de la perturbacioacuten es decir tic
perfil tic a onda el sigilO positivlJ o negativo ittuie si se trata d( 1I1~ onua que se propaga en
el sntiJo ti las x decrciclltl~s n crecientes
--------- -- - ------
lO
ConsiderclIlos ahora lA cCllaciuacuten nomria dc ulla onda progresiva
y(xt)= iexcl(X-VI) (113)
E obvio qUl si In fllncioacuten iexcl tuviera In forma seno o lOSCIIO la ecuacioacuten (1 11) podriacutea
reducirsc a la (1 10) CJue es la ecuacioacuten ele una onda annuacuteica mlnlcllgmllos sin embargo la
arbitmrieuad en la lonna dc la fUllcioacuten y calculemos las derivada5 segundas lk la y (x JI)
con respecto a Ins varinhhs X l Se oht ielle innlcdiatalllenle
)
c7-y == iexcl(X-V)
rJx 2
la comparacioacuten de IllS uns drivadas nos pennite concluir que
tJ2y 1 o]) ( l 11)
Ih-2 --2--J 1
Ia cculJcioacutelI ( 1 14) es ulla ecuHcioacuten d i rerencial lineul a las deri vadas parc iales homogeacutenea dd
slgulldo orden de la ellal podemos (lblclle la pusicioacuten la vcooacutedad y la ucderacioacuteu de
cnulCJllier partiacutecula dd mcdio en el cllill se cSln rrllpagalldo una onda mccuacutenica cllando se
CUIIOClJl las condiciollcs iniciales del s istcma por csta razoacuten la (1 14) se CUIIllce cOIno (1
(middottllIduacutell tlijCllldlll de OIltlII( I l
111 los proacutex iUlos parngrafos cSlueliIfemos entonces el com]gtortnmiellto de di rerelltes sistelllils
fisicos (cllerda resOIte colulllna de aire elc ) en los cuales se introduce una pertlllbaciuacutelI )
( I COII proccdilllicllto silllilll pudemos ver ltiexcltiC la ccllncioacuten horaria de la onda viajera
regresiva ) (x 1) = g(x -1- VI) dOlldc g es una funciuacuten arbitraria tamhieacuten obedece a
In ecuacioacuten dillnnciiexcliexcl1 de la linda (11 1) lo que IlOS pCllllile concluir CJIIC la solucioacutell gencral de la cClloacutelcioacuten dilerllIlit1 IHIltd~ escribi r ClllllU IIna COlllhinacioacutelI lincal tic las dos lindas vioacuteljcras ell la 101111
y(xt) = middottiexcl(x middot-) I Ug(x ~ VI)
1 I
verelllos corno el comportamiento dc estos sistemas pucde describirse a traveacutes de la eCllacioacuten
diferencial de la onda
14 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CllEfiDA
Nos proponemos ahora ultLemlinar la ecuacioacuten del movimiellto de lodas las partiacuteculas de una
cllerda inliacutenita cllalldo en alguacuten plinto de la misma se introdutca IIna perturbacioacuten
Considcnlllos una cucrda infinita no sometida a la gravedad e inlroduzcalllo$ wla perturhacioacutelI
bastante peqllentildea parn qlle podamos Sllponer la tensioacuten uni tafllle y constante SupollgalllDs
que en condiciones de eqlilibrio al tiempo 1 =O la cuerda esteacute lendida sobre el ej~ X y cn
eas comli~illlles detennillCllIOS IIn tramo infiniteacutesimo de longitud tlmiddot comprendido entre los
plllltos )0 y Q) (uyas ilhseisas son X X +IL-c cualldo se introdllcc la pcrturumiuacutelI d
tramito se desplazaraacute verticalmente de manera que todas las partiacuteclllas qlle inieialmellte
estaban onlenidas en el elemcnto de longitud p()Q() = iexcll~ se cncolltrar]1I ahora cOlltenidas
en el tramo PQ deformado de longitud ds
Calcuklllos las lueriquestas que aetIacutelan sohre el tramo PQ cuando la cuerda vibra
las fllerls son simplemente las tcnsiones F tangentes a la cuerda cn los plllltos P Q COIIO
sc Illllestrn cn la Figura 15
P - dx o
Q
y
Fi~Url 15 Cuerda inrlllila sometida a 1I11 pcrurbcioacutell
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
6
Como hemus viSlll en d aso del pulso la energiacutea del IllOvimielllo anlloacutenieo de la partiacutecula
fuente se propaga a lo lumiddotjo de la cuerda eon cicl1a velucidad v por lo tanto en tiempns
sucesivos lodas las partiacuteclllas uel medio de propagacioacuten ejcclltarflJl clmismo movimiento de la
pal1Iacutelula x = O de lIIalllnl ltJue cuando ~sta haya ercctuauo ci~rto niacutellllero de oscilaciones
las posiciones dc todas las partiacuteculas k la cuerda en un instante detcl111inado cOlTesponderaacuten a
las rcportadas en la Iigura 14
Figura lA Posicioacuten de todas las partiacuteculas de la cuerda cn la cllal se ha propagado la perlurbacioacuten introducida el el extrelllo libre La rcpresentacioacuten se relicre a lln instante t detelminado
Si el medio de propagacioacuten e5 llnidimensional y lit) dispcrsivo elltonces todas lIS partIacutellIlas
subre ILis cuales llega la perturbaci6n ejecutUl exactamente la mislIIa oscilacioacutelI de la palticnla
fUClItC CUlI la misma amplitud (1 y la misma frecuencia vlt I ) dc 1IIIIlCra quc despueacutes de
cierto niacutellllero de oscilacioncs de la partIacutecnla fucule en cualquicr insliexclulte [iexclay varias plIliacuteclllas
dd IIIcJio quc se encuentran cxactamcnte con el mismo desplazlllliento con rcspecto a la
posicioacuten de equilihrio y con la misma velocidad (Figura 14) es decir qll~ sc enCllelltrall ell el I
1lli~1II0 eslato de perlllrbl1ciciacutell
( 1) AUacuteII en los Illedios no disrcrsivos en los cuales no se disira energiacutea la amplitud de la Olida dislllilluye iacuteI IIHdida que la pertmuacioacuten ~c acja de la lilcllte cllando el mediu de propagacioacuten 110 cs IInidimellsional 111 los lIledios bidimcllsionalc~ (p c la sllperliacutecic de (111 eslallqlle) o tridillHlIsillJlaks (pc el espacio en d (ual se propaga ulla Olida sOlloril) dcbe tellersc ell Cllellta que r elicrgiacute1 transportada por la Olida se distrihu)t SOOI( flentcs de ondas slcnlprcs nluacutes extcnsos lo que lO OClIlTe para los IlIcllio IIl1idimellsionales ell los cllalc la cllergiacutea de la olldil siclllpre eS1 CUJICClllratla ell 1111
plllltO
7
El COlljilllO de In) partiacuteculas o de los plllltUacute ud cspacn a 1ls que Ikga simulluacutelleamcnte la
perturbacioacuten ondul3toria se lIamajrente dc lJIuJa
El frente dI onda pll~de ~er 1111 plinto IInn liacutenea O IIl1a slIperlicic segIacuteln la onda se propnglle en
1111 m~io IIl1i- hi- II triuilllensionnl por ejemplo cualldo d~jalllu$ caer una piedra en un
cstnnquc los frentes tk onda son ciacuterculos con celltro cn el punto de impacto
Ln menor distallcia entrc uos pnrtiacutecubs (jue pertenezcan a dilcrclllcs frcltes de onda y que se
cncllelllmn en el mismo csiacuteado dc pCl1urhacioacuten $C ddine como Ollgillld tic Olida l y
c(HTesponJe a la distamia recorrida por la perturhacioacutelI en un pcriacuteodll T (jlle cs cl tielllpo
durllltc el cual In partiacutecula filcntc ejeclltn una oscilacioacutelI completa
Es evidente qlle T = iacuteil y que por lo tanlo V
v lIT == iacutei l ( 16)
Con hase en eiexclIiexcliexcls obscrvlciones qllercmos ahora deterlllillllr la posicioacuten inslallluacutene1 d
cllalqllia paniacutecula ud medio en cl ctliexcl1 se estl prnplgaJlllo la pcrtmbacioacuten ondliltol ia~ la
ecuacioacuten (15) nos proporciona la informacioacuten relativa a la posicioacuten de In partiacutecula fuente de
la pertilrbneioacuten que slIponcmos situnda cn x == O sc trata entonces de cmontrar la eCllaeiuacuten
horaria de la perturbacioacuten o sea la fonlla expliacutecita ue la funcioacuten y (x )
Para resulver el problema propllcsto debemos tellcr en Cllcllta qlle l1 tiempo I(J hl posicioacuten de
la partiacutecula rllente cs de acuerdo con (15)
y(oIo) = fI COS 2 Jr l lo (1 7)
Lo anterior impliea que al tiempo t gt In habiendo refonido 11 perturbacioacuten 1I11a distancia
v(t-t()) la partiacutecula sitnllda n la distanci xv(t-t(l)uc la partiacutecula liJcnte ueberuacute
enconlrarse desplazada de Sil posilioacutelI d equilibrio tk In misma Iorllla como se cncontraha la
partiacutelllla () al lielllp) 1 c- dccir
JI (x 1) = y (() 1(J ) = n (os 2 7l 11(J
Pero liado Cluc IIJ t - xv oblencmos
y(x) = 11 COS 2 J[ V(-XV)
de dOlluc
r (X 1) = a cos 2 Ir~ (x - v t ) ( 18) v
Esln iacutedlillln clualioacuten dCIIIII~slra quc la perturbncioacuten lIIaliiada es ulla onua iiexcl~icra progrcsiva
uc la fOllna J (x _ VI) para la cual CII este caso la lilllcioacuten J licne la forma dc 1111 coseno
Ias pel1urbaciollcs pnra las cuales la funcioacuten J liclI la fonua de scno o coseno se llaman
muJa armoacuteniclli
Is usual uefinir (1) = 2 re v Irexllllrcicl ulgulur dc la onda (k mancra quc la t IH) pmdc
adquirir f0I111il IIn pocu maacutes sellcilla
y (x 1) = COl (O (x - 1) v
Por olra parte ltnicndo cn cuenla que = iacute v se obliclle tambieacuten
y (x 1) = a cos 2Ir (x - VI) = =a COi (2 x - 2le v 1J iacute A
y tklilliclldo d nlIacutemero dc onda k tic manera lile k =2 Ir iacute oblenemos
y(xt) = Il COl (kx - uacuteJ 1) ( 19)
EII gcmral IIl1a onua lrlll~lIIica se escrihiiacute cllOnces
y (X) = ti se (kx plusmn lO 1 +1) (110)
cn Jonde el signo positivo cOITeSpollJe la olida rcgresivl y el mgativo a la progresiva El
argumento de la funcioacuten seno se Jcine comoJasc de la mrttl
qgt (X 1) = k x plusmn (J 1+ 1
y su valor en x O el tielllpo 1 =O es lp (00) = t = Juse ilidul de la onda De acuerdo
con esta definicioacutelI es faacutecil calcular la diferencia tic Jouc () entre dos partiacuteclllns xI X 2 dd
fIIcdio de propagacioacuten al tielllJl-1 1
(1 I 1)
De 111 misma IIHIIICnt podeltlos calcular la di irelloacutea de flsl qtle se presenta en tina partiacuteeult
X entn los instantes 1J 12
) == rp (x 1] ) - (P (x - 1 )= uacuteJ (1 - 1 I ) (112)
los ejemplos lIllcriltTs dell1t1cstr~1II que la tse illli t iquest plede rlcilmelltc hacerse Illh
cambiando la eSCIla de IDs tiempos Illedtatl~ tIlia l ~a ICIllt de~ ni gen de las coordenadas a
lo largo dd eje x
13 LA EClJACION DIFERENCIAL DE LA ONOA
lientos visto ya lile la ccuaei6n IlOraria de IIlla pCrll1I bcioacutelI lllHlttlalllri que se pllliexcllaga con
velocidad v es dc la Imllla
I(XI)== r(xplusmn VI)
donde J es IIl1a funcioacuten arbitraria que (n clIcntl de la foacutenna de la perturbacioacuten es decir tic
perfil tic a onda el sigilO positivlJ o negativo ittuie si se trata d( 1I1~ onua que se propaga en
el sntiJo ti las x decrciclltl~s n crecientes
--------- -- - ------
lO
ConsiderclIlos ahora lA cCllaciuacuten nomria dc ulla onda progresiva
y(xt)= iexcl(X-VI) (113)
E obvio qUl si In fllncioacuten iexcl tuviera In forma seno o lOSCIIO la ecuacioacuten (1 11) podriacutea
reducirsc a la (1 10) CJue es la ecuacioacuten ele una onda annuacuteica mlnlcllgmllos sin embargo la
arbitmrieuad en la lonna dc la fUllcioacuten y calculemos las derivada5 segundas lk la y (x JI)
con respecto a Ins varinhhs X l Se oht ielle innlcdiatalllenle
)
c7-y == iexcl(X-V)
rJx 2
la comparacioacuten de IllS uns drivadas nos pennite concluir que
tJ2y 1 o]) ( l 11)
Ih-2 --2--J 1
Ia cculJcioacutelI ( 1 14) es ulla ecuHcioacuten d i rerencial lineul a las deri vadas parc iales homogeacutenea dd
slgulldo orden de la ellal podemos (lblclle la pusicioacuten la vcooacutedad y la ucderacioacuteu de
cnulCJllier partiacutecula dd mcdio en el cllill se cSln rrllpagalldo una onda mccuacutenica cllando se
CUIIOClJl las condiciollcs iniciales del s istcma por csta razoacuten la (1 14) se CUIIllce cOIno (1
(middottllIduacutell tlijCllldlll de OIltlII( I l
111 los proacutex iUlos parngrafos cSlueliIfemos entonces el com]gtortnmiellto de di rerelltes sistelllils
fisicos (cllerda resOIte colulllna de aire elc ) en los cuales se introduce una pertlllbaciuacutelI )
( I COII proccdilllicllto silllilll pudemos ver ltiexcltiC la ccllncioacuten horaria de la onda viajera
regresiva ) (x 1) = g(x -1- VI) dOlldc g es una funciuacuten arbitraria tamhieacuten obedece a
In ecuacioacuten dillnnciiexcliexcl1 de la linda (11 1) lo que IlOS pCllllile concluir CJIIC la solucioacutell gencral de la cClloacutelcioacuten dilerllIlit1 IHIltd~ escribi r ClllllU IIna COlllhinacioacutelI lincal tic las dos lindas vioacuteljcras ell la 101111
y(xt) = middottiexcl(x middot-) I Ug(x ~ VI)
1 I
verelllos corno el comportamiento dc estos sistemas pucde describirse a traveacutes de la eCllacioacuten
diferencial de la onda
14 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CllEfiDA
Nos proponemos ahora ultLemlinar la ecuacioacuten del movimiellto de lodas las partiacuteculas de una
cllerda inliacutenita cllalldo en alguacuten plinto de la misma se introdutca IIna perturbacioacuten
Considcnlllos una cucrda infinita no sometida a la gravedad e inlroduzcalllo$ wla perturhacioacutelI
bastante peqllentildea parn qlle podamos Sllponer la tensioacuten uni tafllle y constante SupollgalllDs
que en condiciones de eqlilibrio al tiempo 1 =O la cuerda esteacute lendida sobre el ej~ X y cn
eas comli~illlles detennillCllIOS IIn tramo infiniteacutesimo de longitud tlmiddot comprendido entre los
plllltos )0 y Q) (uyas ilhseisas son X X +IL-c cualldo se introdllcc la pcrturumiuacutelI d
tramito se desplazaraacute verticalmente de manera que todas las partiacuteclllas qlle inieialmellte
estaban onlenidas en el elemcnto de longitud p()Q() = iexcll~ se cncolltrar]1I ahora cOlltenidas
en el tramo PQ deformado de longitud ds
Calcuklllos las lueriquestas que aetIacutelan sohre el tramo PQ cuando la cuerda vibra
las fllerls son simplemente las tcnsiones F tangentes a la cuerda cn los plllltos P Q COIIO
sc Illllestrn cn la Figura 15
P - dx o
Q
y
Fi~Url 15 Cuerda inrlllila sometida a 1I11 pcrurbcioacutell
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
7
El COlljilllO de In) partiacuteculas o de los plllltUacute ud cspacn a 1ls que Ikga simulluacutelleamcnte la
perturbacioacuten ondul3toria se lIamajrente dc lJIuJa
El frente dI onda pll~de ~er 1111 plinto IInn liacutenea O IIl1a slIperlicic segIacuteln la onda se propnglle en
1111 m~io IIl1i- hi- II triuilllensionnl por ejemplo cualldo d~jalllu$ caer una piedra en un
cstnnquc los frentes tk onda son ciacuterculos con celltro cn el punto de impacto
Ln menor distallcia entrc uos pnrtiacutecubs (jue pertenezcan a dilcrclllcs frcltes de onda y que se
cncllelllmn en el mismo csiacuteado dc pCl1urhacioacuten $C ddine como Ollgillld tic Olida l y
c(HTesponJe a la distamia recorrida por la perturhacioacutelI en un pcriacuteodll T (jlle cs cl tielllpo
durllltc el cual In partiacutecula filcntc ejeclltn una oscilacioacutelI completa
Es evidente qlle T = iacuteil y que por lo tanlo V
v lIT == iacutei l ( 16)
Con hase en eiexclIiexcliexcls obscrvlciones qllercmos ahora deterlllillllr la posicioacuten inslallluacutene1 d
cllalqllia paniacutecula ud medio en cl ctliexcl1 se estl prnplgaJlllo la pcrtmbacioacuten ondliltol ia~ la
ecuacioacuten (15) nos proporciona la informacioacuten relativa a la posicioacuten de In partiacutecula fuente de
la pertilrbneioacuten que slIponcmos situnda cn x == O sc trata entonces de cmontrar la eCllaeiuacuten
horaria de la perturbacioacuten o sea la fonlla expliacutecita ue la funcioacuten y (x )
Para resulver el problema propllcsto debemos tellcr en Cllcllta qlle l1 tiempo I(J hl posicioacuten de
la partiacutecula rllente cs de acuerdo con (15)
y(oIo) = fI COS 2 Jr l lo (1 7)
Lo anterior impliea que al tiempo t gt In habiendo refonido 11 perturbacioacuten 1I11a distancia
v(t-t()) la partiacutecula sitnllda n la distanci xv(t-t(l)uc la partiacutecula liJcnte ueberuacute
enconlrarse desplazada de Sil posilioacutelI d equilibrio tk In misma Iorllla como se cncontraha la
partiacutelllla () al lielllp) 1 c- dccir
JI (x 1) = y (() 1(J ) = n (os 2 7l 11(J
Pero liado Cluc IIJ t - xv oblencmos
y(x) = 11 COS 2 J[ V(-XV)
de dOlluc
r (X 1) = a cos 2 Ir~ (x - v t ) ( 18) v
Esln iacutedlillln clualioacuten dCIIIII~slra quc la perturbncioacuten lIIaliiada es ulla onua iiexcl~icra progrcsiva
uc la fOllna J (x _ VI) para la cual CII este caso la lilllcioacuten J licne la forma dc 1111 coseno
Ias pel1urbaciollcs pnra las cuales la funcioacuten J liclI la fonua de scno o coseno se llaman
muJa armoacuteniclli
Is usual uefinir (1) = 2 re v Irexllllrcicl ulgulur dc la onda (k mancra quc la t IH) pmdc
adquirir f0I111il IIn pocu maacutes sellcilla
y (x 1) = COl (O (x - 1) v
Por olra parte ltnicndo cn cuenla que = iacute v se obliclle tambieacuten
y (x 1) = a cos 2Ir (x - VI) = =a COi (2 x - 2le v 1J iacute A
y tklilliclldo d nlIacutemero dc onda k tic manera lile k =2 Ir iacute oblenemos
y(xt) = Il COl (kx - uacuteJ 1) ( 19)
EII gcmral IIl1a onua lrlll~lIIica se escrihiiacute cllOnces
y (X) = ti se (kx plusmn lO 1 +1) (110)
cn Jonde el signo positivo cOITeSpollJe la olida rcgresivl y el mgativo a la progresiva El
argumento de la funcioacuten seno se Jcine comoJasc de la mrttl
qgt (X 1) = k x plusmn (J 1+ 1
y su valor en x O el tielllpo 1 =O es lp (00) = t = Juse ilidul de la onda De acuerdo
con esta definicioacutelI es faacutecil calcular la diferencia tic Jouc () entre dos partiacuteclllns xI X 2 dd
fIIcdio de propagacioacuten al tielllJl-1 1
(1 I 1)
De 111 misma IIHIIICnt podeltlos calcular la di irelloacutea de flsl qtle se presenta en tina partiacuteeult
X entn los instantes 1J 12
) == rp (x 1] ) - (P (x - 1 )= uacuteJ (1 - 1 I ) (112)
los ejemplos lIllcriltTs dell1t1cstr~1II que la tse illli t iquest plede rlcilmelltc hacerse Illh
cambiando la eSCIla de IDs tiempos Illedtatl~ tIlia l ~a ICIllt de~ ni gen de las coordenadas a
lo largo dd eje x
13 LA EClJACION DIFERENCIAL DE LA ONOA
lientos visto ya lile la ccuaei6n IlOraria de IIlla pCrll1I bcioacutelI lllHlttlalllri que se pllliexcllaga con
velocidad v es dc la Imllla
I(XI)== r(xplusmn VI)
donde J es IIl1a funcioacuten arbitraria que (n clIcntl de la foacutenna de la perturbacioacuten es decir tic
perfil tic a onda el sigilO positivlJ o negativo ittuie si se trata d( 1I1~ onua que se propaga en
el sntiJo ti las x decrciclltl~s n crecientes
--------- -- - ------
lO
ConsiderclIlos ahora lA cCllaciuacuten nomria dc ulla onda progresiva
y(xt)= iexcl(X-VI) (113)
E obvio qUl si In fllncioacuten iexcl tuviera In forma seno o lOSCIIO la ecuacioacuten (1 11) podriacutea
reducirsc a la (1 10) CJue es la ecuacioacuten ele una onda annuacuteica mlnlcllgmllos sin embargo la
arbitmrieuad en la lonna dc la fUllcioacuten y calculemos las derivada5 segundas lk la y (x JI)
con respecto a Ins varinhhs X l Se oht ielle innlcdiatalllenle
)
c7-y == iexcl(X-V)
rJx 2
la comparacioacuten de IllS uns drivadas nos pennite concluir que
tJ2y 1 o]) ( l 11)
Ih-2 --2--J 1
Ia cculJcioacutelI ( 1 14) es ulla ecuHcioacuten d i rerencial lineul a las deri vadas parc iales homogeacutenea dd
slgulldo orden de la ellal podemos (lblclle la pusicioacuten la vcooacutedad y la ucderacioacuteu de
cnulCJllier partiacutecula dd mcdio en el cllill se cSln rrllpagalldo una onda mccuacutenica cllando se
CUIIOClJl las condiciollcs iniciales del s istcma por csta razoacuten la (1 14) se CUIIllce cOIno (1
(middottllIduacutell tlijCllldlll de OIltlII( I l
111 los proacutex iUlos parngrafos cSlueliIfemos entonces el com]gtortnmiellto de di rerelltes sistelllils
fisicos (cllerda resOIte colulllna de aire elc ) en los cuales se introduce una pertlllbaciuacutelI )
( I COII proccdilllicllto silllilll pudemos ver ltiexcltiC la ccllncioacuten horaria de la onda viajera
regresiva ) (x 1) = g(x -1- VI) dOlldc g es una funciuacuten arbitraria tamhieacuten obedece a
In ecuacioacuten dillnnciiexcliexcl1 de la linda (11 1) lo que IlOS pCllllile concluir CJIIC la solucioacutell gencral de la cClloacutelcioacuten dilerllIlit1 IHIltd~ escribi r ClllllU IIna COlllhinacioacutelI lincal tic las dos lindas vioacuteljcras ell la 101111
y(xt) = middottiexcl(x middot-) I Ug(x ~ VI)
1 I
verelllos corno el comportamiento dc estos sistemas pucde describirse a traveacutes de la eCllacioacuten
diferencial de la onda
14 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CllEfiDA
Nos proponemos ahora ultLemlinar la ecuacioacuten del movimiellto de lodas las partiacuteculas de una
cllerda inliacutenita cllalldo en alguacuten plinto de la misma se introdutca IIna perturbacioacuten
Considcnlllos una cucrda infinita no sometida a la gravedad e inlroduzcalllo$ wla perturhacioacutelI
bastante peqllentildea parn qlle podamos Sllponer la tensioacuten uni tafllle y constante SupollgalllDs
que en condiciones de eqlilibrio al tiempo 1 =O la cuerda esteacute lendida sobre el ej~ X y cn
eas comli~illlles detennillCllIOS IIn tramo infiniteacutesimo de longitud tlmiddot comprendido entre los
plllltos )0 y Q) (uyas ilhseisas son X X +IL-c cualldo se introdllcc la pcrturumiuacutelI d
tramito se desplazaraacute verticalmente de manera que todas las partiacuteclllas qlle inieialmellte
estaban onlenidas en el elemcnto de longitud p()Q() = iexcll~ se cncolltrar]1I ahora cOlltenidas
en el tramo PQ deformado de longitud ds
Calcuklllos las lueriquestas que aetIacutelan sohre el tramo PQ cuando la cuerda vibra
las fllerls son simplemente las tcnsiones F tangentes a la cuerda cn los plllltos P Q COIIO
sc Illllestrn cn la Figura 15
P - dx o
Q
y
Fi~Url 15 Cuerda inrlllila sometida a 1I11 pcrurbcioacutell
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
Pero liado Cluc IIJ t - xv oblencmos
y(x) = 11 COS 2 J[ V(-XV)
de dOlluc
r (X 1) = a cos 2 Ir~ (x - v t ) ( 18) v
Esln iacutedlillln clualioacuten dCIIIII~slra quc la perturbncioacuten lIIaliiada es ulla onua iiexcl~icra progrcsiva
uc la fOllna J (x _ VI) para la cual CII este caso la lilllcioacuten J licne la forma dc 1111 coseno
Ias pel1urbaciollcs pnra las cuales la funcioacuten J liclI la fonua de scno o coseno se llaman
muJa armoacuteniclli
Is usual uefinir (1) = 2 re v Irexllllrcicl ulgulur dc la onda (k mancra quc la t IH) pmdc
adquirir f0I111il IIn pocu maacutes sellcilla
y (x 1) = COl (O (x - 1) v
Por olra parte ltnicndo cn cuenla que = iacute v se obliclle tambieacuten
y (x 1) = a cos 2Ir (x - VI) = =a COi (2 x - 2le v 1J iacute A
y tklilliclldo d nlIacutemero dc onda k tic manera lile k =2 Ir iacute oblenemos
y(xt) = Il COl (kx - uacuteJ 1) ( 19)
EII gcmral IIl1a onua lrlll~lIIica se escrihiiacute cllOnces
y (X) = ti se (kx plusmn lO 1 +1) (110)
cn Jonde el signo positivo cOITeSpollJe la olida rcgresivl y el mgativo a la progresiva El
argumento de la funcioacuten seno se Jcine comoJasc de la mrttl
qgt (X 1) = k x plusmn (J 1+ 1
y su valor en x O el tielllpo 1 =O es lp (00) = t = Juse ilidul de la onda De acuerdo
con esta definicioacutelI es faacutecil calcular la diferencia tic Jouc () entre dos partiacuteclllns xI X 2 dd
fIIcdio de propagacioacuten al tielllJl-1 1
(1 I 1)
De 111 misma IIHIIICnt podeltlos calcular la di irelloacutea de flsl qtle se presenta en tina partiacuteeult
X entn los instantes 1J 12
) == rp (x 1] ) - (P (x - 1 )= uacuteJ (1 - 1 I ) (112)
los ejemplos lIllcriltTs dell1t1cstr~1II que la tse illli t iquest plede rlcilmelltc hacerse Illh
cambiando la eSCIla de IDs tiempos Illedtatl~ tIlia l ~a ICIllt de~ ni gen de las coordenadas a
lo largo dd eje x
13 LA EClJACION DIFERENCIAL DE LA ONOA
lientos visto ya lile la ccuaei6n IlOraria de IIlla pCrll1I bcioacutelI lllHlttlalllri que se pllliexcllaga con
velocidad v es dc la Imllla
I(XI)== r(xplusmn VI)
donde J es IIl1a funcioacuten arbitraria que (n clIcntl de la foacutenna de la perturbacioacuten es decir tic
perfil tic a onda el sigilO positivlJ o negativo ittuie si se trata d( 1I1~ onua que se propaga en
el sntiJo ti las x decrciclltl~s n crecientes
--------- -- - ------
lO
ConsiderclIlos ahora lA cCllaciuacuten nomria dc ulla onda progresiva
y(xt)= iexcl(X-VI) (113)
E obvio qUl si In fllncioacuten iexcl tuviera In forma seno o lOSCIIO la ecuacioacuten (1 11) podriacutea
reducirsc a la (1 10) CJue es la ecuacioacuten ele una onda annuacuteica mlnlcllgmllos sin embargo la
arbitmrieuad en la lonna dc la fUllcioacuten y calculemos las derivada5 segundas lk la y (x JI)
con respecto a Ins varinhhs X l Se oht ielle innlcdiatalllenle
)
c7-y == iexcl(X-V)
rJx 2
la comparacioacuten de IllS uns drivadas nos pennite concluir que
tJ2y 1 o]) ( l 11)
Ih-2 --2--J 1
Ia cculJcioacutelI ( 1 14) es ulla ecuHcioacuten d i rerencial lineul a las deri vadas parc iales homogeacutenea dd
slgulldo orden de la ellal podemos (lblclle la pusicioacuten la vcooacutedad y la ucderacioacuteu de
cnulCJllier partiacutecula dd mcdio en el cllill se cSln rrllpagalldo una onda mccuacutenica cllando se
CUIIOClJl las condiciollcs iniciales del s istcma por csta razoacuten la (1 14) se CUIIllce cOIno (1
(middottllIduacutell tlijCllldlll de OIltlII( I l
111 los proacutex iUlos parngrafos cSlueliIfemos entonces el com]gtortnmiellto de di rerelltes sistelllils
fisicos (cllerda resOIte colulllna de aire elc ) en los cuales se introduce una pertlllbaciuacutelI )
( I COII proccdilllicllto silllilll pudemos ver ltiexcltiC la ccllncioacuten horaria de la onda viajera
regresiva ) (x 1) = g(x -1- VI) dOlldc g es una funciuacuten arbitraria tamhieacuten obedece a
In ecuacioacuten dillnnciiexcliexcl1 de la linda (11 1) lo que IlOS pCllllile concluir CJIIC la solucioacutell gencral de la cClloacutelcioacuten dilerllIlit1 IHIltd~ escribi r ClllllU IIna COlllhinacioacutelI lincal tic las dos lindas vioacuteljcras ell la 101111
y(xt) = middottiexcl(x middot-) I Ug(x ~ VI)
1 I
verelllos corno el comportamiento dc estos sistemas pucde describirse a traveacutes de la eCllacioacuten
diferencial de la onda
14 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CllEfiDA
Nos proponemos ahora ultLemlinar la ecuacioacuten del movimiellto de lodas las partiacuteculas de una
cllerda inliacutenita cllalldo en alguacuten plinto de la misma se introdutca IIna perturbacioacuten
Considcnlllos una cucrda infinita no sometida a la gravedad e inlroduzcalllo$ wla perturhacioacutelI
bastante peqllentildea parn qlle podamos Sllponer la tensioacuten uni tafllle y constante SupollgalllDs
que en condiciones de eqlilibrio al tiempo 1 =O la cuerda esteacute lendida sobre el ej~ X y cn
eas comli~illlles detennillCllIOS IIn tramo infiniteacutesimo de longitud tlmiddot comprendido entre los
plllltos )0 y Q) (uyas ilhseisas son X X +IL-c cualldo se introdllcc la pcrturumiuacutelI d
tramito se desplazaraacute verticalmente de manera que todas las partiacuteclllas qlle inieialmellte
estaban onlenidas en el elemcnto de longitud p()Q() = iexcll~ se cncolltrar]1I ahora cOlltenidas
en el tramo PQ deformado de longitud ds
Calcuklllos las lueriquestas que aetIacutelan sohre el tramo PQ cuando la cuerda vibra
las fllerls son simplemente las tcnsiones F tangentes a la cuerda cn los plllltos P Q COIIO
sc Illllestrn cn la Figura 15
P - dx o
Q
y
Fi~Url 15 Cuerda inrlllila sometida a 1I11 pcrurbcioacutell
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
cn Jonde el signo positivo cOITeSpollJe la olida rcgresivl y el mgativo a la progresiva El
argumento de la funcioacuten seno se Jcine comoJasc de la mrttl
qgt (X 1) = k x plusmn (J 1+ 1
y su valor en x O el tielllpo 1 =O es lp (00) = t = Juse ilidul de la onda De acuerdo
con esta definicioacutelI es faacutecil calcular la diferencia tic Jouc () entre dos partiacuteclllns xI X 2 dd
fIIcdio de propagacioacuten al tielllJl-1 1
(1 I 1)
De 111 misma IIHIIICnt podeltlos calcular la di irelloacutea de flsl qtle se presenta en tina partiacuteeult
X entn los instantes 1J 12
) == rp (x 1] ) - (P (x - 1 )= uacuteJ (1 - 1 I ) (112)
los ejemplos lIllcriltTs dell1t1cstr~1II que la tse illli t iquest plede rlcilmelltc hacerse Illh
cambiando la eSCIla de IDs tiempos Illedtatl~ tIlia l ~a ICIllt de~ ni gen de las coordenadas a
lo largo dd eje x
13 LA EClJACION DIFERENCIAL DE LA ONOA
lientos visto ya lile la ccuaei6n IlOraria de IIlla pCrll1I bcioacutelI lllHlttlalllri que se pllliexcllaga con
velocidad v es dc la Imllla
I(XI)== r(xplusmn VI)
donde J es IIl1a funcioacuten arbitraria que (n clIcntl de la foacutenna de la perturbacioacuten es decir tic
perfil tic a onda el sigilO positivlJ o negativo ittuie si se trata d( 1I1~ onua que se propaga en
el sntiJo ti las x decrciclltl~s n crecientes
--------- -- - ------
lO
ConsiderclIlos ahora lA cCllaciuacuten nomria dc ulla onda progresiva
y(xt)= iexcl(X-VI) (113)
E obvio qUl si In fllncioacuten iexcl tuviera In forma seno o lOSCIIO la ecuacioacuten (1 11) podriacutea
reducirsc a la (1 10) CJue es la ecuacioacuten ele una onda annuacuteica mlnlcllgmllos sin embargo la
arbitmrieuad en la lonna dc la fUllcioacuten y calculemos las derivada5 segundas lk la y (x JI)
con respecto a Ins varinhhs X l Se oht ielle innlcdiatalllenle
)
c7-y == iexcl(X-V)
rJx 2
la comparacioacuten de IllS uns drivadas nos pennite concluir que
tJ2y 1 o]) ( l 11)
Ih-2 --2--J 1
Ia cculJcioacutelI ( 1 14) es ulla ecuHcioacuten d i rerencial lineul a las deri vadas parc iales homogeacutenea dd
slgulldo orden de la ellal podemos (lblclle la pusicioacuten la vcooacutedad y la ucderacioacuteu de
cnulCJllier partiacutecula dd mcdio en el cllill se cSln rrllpagalldo una onda mccuacutenica cllando se
CUIIOClJl las condiciollcs iniciales del s istcma por csta razoacuten la (1 14) se CUIIllce cOIno (1
(middottllIduacutell tlijCllldlll de OIltlII( I l
111 los proacutex iUlos parngrafos cSlueliIfemos entonces el com]gtortnmiellto de di rerelltes sistelllils
fisicos (cllerda resOIte colulllna de aire elc ) en los cuales se introduce una pertlllbaciuacutelI )
( I COII proccdilllicllto silllilll pudemos ver ltiexcltiC la ccllncioacuten horaria de la onda viajera
regresiva ) (x 1) = g(x -1- VI) dOlldc g es una funciuacuten arbitraria tamhieacuten obedece a
In ecuacioacuten dillnnciiexcliexcl1 de la linda (11 1) lo que IlOS pCllllile concluir CJIIC la solucioacutell gencral de la cClloacutelcioacuten dilerllIlit1 IHIltd~ escribi r ClllllU IIna COlllhinacioacutelI lincal tic las dos lindas vioacuteljcras ell la 101111
y(xt) = middottiexcl(x middot-) I Ug(x ~ VI)
1 I
verelllos corno el comportamiento dc estos sistemas pucde describirse a traveacutes de la eCllacioacuten
diferencial de la onda
14 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CllEfiDA
Nos proponemos ahora ultLemlinar la ecuacioacuten del movimiellto de lodas las partiacuteculas de una
cllerda inliacutenita cllalldo en alguacuten plinto de la misma se introdutca IIna perturbacioacuten
Considcnlllos una cucrda infinita no sometida a la gravedad e inlroduzcalllo$ wla perturhacioacutelI
bastante peqllentildea parn qlle podamos Sllponer la tensioacuten uni tafllle y constante SupollgalllDs
que en condiciones de eqlilibrio al tiempo 1 =O la cuerda esteacute lendida sobre el ej~ X y cn
eas comli~illlles detennillCllIOS IIn tramo infiniteacutesimo de longitud tlmiddot comprendido entre los
plllltos )0 y Q) (uyas ilhseisas son X X +IL-c cualldo se introdllcc la pcrturumiuacutelI d
tramito se desplazaraacute verticalmente de manera que todas las partiacuteclllas qlle inieialmellte
estaban onlenidas en el elemcnto de longitud p()Q() = iexcll~ se cncolltrar]1I ahora cOlltenidas
en el tramo PQ deformado de longitud ds
Calcuklllos las lueriquestas que aetIacutelan sohre el tramo PQ cuando la cuerda vibra
las fllerls son simplemente las tcnsiones F tangentes a la cuerda cn los plllltos P Q COIIO
sc Illllestrn cn la Figura 15
P - dx o
Q
y
Fi~Url 15 Cuerda inrlllila sometida a 1I11 pcrurbcioacutell
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
--------- -- - ------
lO
ConsiderclIlos ahora lA cCllaciuacuten nomria dc ulla onda progresiva
y(xt)= iexcl(X-VI) (113)
E obvio qUl si In fllncioacuten iexcl tuviera In forma seno o lOSCIIO la ecuacioacuten (1 11) podriacutea
reducirsc a la (1 10) CJue es la ecuacioacuten ele una onda annuacuteica mlnlcllgmllos sin embargo la
arbitmrieuad en la lonna dc la fUllcioacuten y calculemos las derivada5 segundas lk la y (x JI)
con respecto a Ins varinhhs X l Se oht ielle innlcdiatalllenle
)
c7-y == iexcl(X-V)
rJx 2
la comparacioacuten de IllS uns drivadas nos pennite concluir que
tJ2y 1 o]) ( l 11)
Ih-2 --2--J 1
Ia cculJcioacutelI ( 1 14) es ulla ecuHcioacuten d i rerencial lineul a las deri vadas parc iales homogeacutenea dd
slgulldo orden de la ellal podemos (lblclle la pusicioacuten la vcooacutedad y la ucderacioacuteu de
cnulCJllier partiacutecula dd mcdio en el cllill se cSln rrllpagalldo una onda mccuacutenica cllando se
CUIIOClJl las condiciollcs iniciales del s istcma por csta razoacuten la (1 14) se CUIIllce cOIno (1
(middottllIduacutell tlijCllldlll de OIltlII( I l
111 los proacutex iUlos parngrafos cSlueliIfemos entonces el com]gtortnmiellto de di rerelltes sistelllils
fisicos (cllerda resOIte colulllna de aire elc ) en los cuales se introduce una pertlllbaciuacutelI )
( I COII proccdilllicllto silllilll pudemos ver ltiexcltiC la ccllncioacuten horaria de la onda viajera
regresiva ) (x 1) = g(x -1- VI) dOlldc g es una funciuacuten arbitraria tamhieacuten obedece a
In ecuacioacuten dillnnciiexcliexcl1 de la linda (11 1) lo que IlOS pCllllile concluir CJIIC la solucioacutell gencral de la cClloacutelcioacuten dilerllIlit1 IHIltd~ escribi r ClllllU IIna COlllhinacioacutelI lincal tic las dos lindas vioacuteljcras ell la 101111
y(xt) = middottiexcl(x middot-) I Ug(x ~ VI)
1 I
verelllos corno el comportamiento dc estos sistemas pucde describirse a traveacutes de la eCllacioacuten
diferencial de la onda
14 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CllEfiDA
Nos proponemos ahora ultLemlinar la ecuacioacuten del movimiellto de lodas las partiacuteculas de una
cllerda inliacutenita cllalldo en alguacuten plinto de la misma se introdutca IIna perturbacioacuten
Considcnlllos una cucrda infinita no sometida a la gravedad e inlroduzcalllo$ wla perturhacioacutelI
bastante peqllentildea parn qlle podamos Sllponer la tensioacuten uni tafllle y constante SupollgalllDs
que en condiciones de eqlilibrio al tiempo 1 =O la cuerda esteacute lendida sobre el ej~ X y cn
eas comli~illlles detennillCllIOS IIn tramo infiniteacutesimo de longitud tlmiddot comprendido entre los
plllltos )0 y Q) (uyas ilhseisas son X X +IL-c cualldo se introdllcc la pcrturumiuacutelI d
tramito se desplazaraacute verticalmente de manera que todas las partiacuteclllas qlle inieialmellte
estaban onlenidas en el elemcnto de longitud p()Q() = iexcll~ se cncolltrar]1I ahora cOlltenidas
en el tramo PQ deformado de longitud ds
Calcuklllos las lueriquestas que aetIacutelan sohre el tramo PQ cuando la cuerda vibra
las fllerls son simplemente las tcnsiones F tangentes a la cuerda cn los plllltos P Q COIIO
sc Illllestrn cn la Figura 15
P - dx o
Q
y
Fi~Url 15 Cuerda inrlllila sometida a 1I11 pcrurbcioacutell
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
1 I
verelllos corno el comportamiento dc estos sistemas pucde describirse a traveacutes de la eCllacioacuten
diferencial de la onda
14 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CllEfiDA
Nos proponemos ahora ultLemlinar la ecuacioacuten del movimiellto de lodas las partiacuteculas de una
cllerda inliacutenita cllalldo en alguacuten plinto de la misma se introdutca IIna perturbacioacuten
Considcnlllos una cucrda infinita no sometida a la gravedad e inlroduzcalllo$ wla perturhacioacutelI
bastante peqllentildea parn qlle podamos Sllponer la tensioacuten uni tafllle y constante SupollgalllDs
que en condiciones de eqlilibrio al tiempo 1 =O la cuerda esteacute lendida sobre el ej~ X y cn
eas comli~illlles detennillCllIOS IIn tramo infiniteacutesimo de longitud tlmiddot comprendido entre los
plllltos )0 y Q) (uyas ilhseisas son X X +IL-c cualldo se introdllcc la pcrturumiuacutelI d
tramito se desplazaraacute verticalmente de manera que todas las partiacuteclllas qlle inieialmellte
estaban onlenidas en el elemcnto de longitud p()Q() = iexcll~ se cncolltrar]1I ahora cOlltenidas
en el tramo PQ deformado de longitud ds
Calcuklllos las lueriquestas que aetIacutelan sohre el tramo PQ cuando la cuerda vibra
las fllerls son simplemente las tcnsiones F tangentes a la cuerda cn los plllltos P Q COIIO
sc Illllestrn cn la Figura 15
P - dx o
Q
y
Fi~Url 15 Cuerda inrlllila sometida a 1I11 pcrurbcioacutell
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
12
Sean (p tp -1- dtp Jos mglllos que estas hnsiones ronTllm con el ejl x podemos entonces
alcular ruacutecihmnh las componcnhs horizolltal y vCl1iClt11 de la rUlr7U resllhalltes asiacute
Fuerza licia horizontal -- f = Feo ((p +tp) - Feos ip
FUerL1 ncla vertical = 11 = Fsen (lp + dlp) - ~se tp
La fu l rziexcl1 n~ta horizontal pucde cOllsiderarse nula dado qll si asiacute 110 luera la cuerda SI
lthslizada a lo largo del eje X miclltfeacutels nos illteresa analiZltlr ti moimiellto lt1 las rartiacuteclllas
de la ClIlrda en slllIido vCI1ical
Podcmos ahora igllalar la fuclJAacutel 1I1ta veliical cou el prodlcto dl la masa dd tramito PQ por
la aceleracioacuten vertical a obteniendo
I~ = F[ell( tp + (lrp) - se fP ] = (PQ) (1 (115)
Si la dellsidad lineal de la clIlrda es p la masa del tramo PQ es la misma masa del tr-II]O
ill1pellUlbaJo ~((I Jiexcldo que todas las par1iacuteculas CJue inicialmente rel1eneciacutean al halllo
J~)ordm (J se IroacuteljlaJan 1 traillo PQ cualldo se propaga la pCrlllrbaioacuten
111 ( PQ) =m(P()Qo) = ptlr
Por otra parte la aceleracioacuten v~riacute~al IS cvidclltcllIlllle igllal a la derivada segunda de la y COII
respecto a de nlUnera qlle 1 ( l I 5) pUldc escribirse
2
Fy = r[sell (rp -- (~)) - sell (p] ~ pd(~ middot~ ( 116) iJr
Si la pcrllllbaciuacuten es pequentildea COI1lIl hlIlos supueso los iacutenglllos rp -1- dqgt qgt son
suficilntcmcnte pClucntildeos para que pildiexclUlloS decir CJUC 11I1l(fgt+drp)=sell(qgt+tlqraquo y
lall qgt se lp aproximaciones ltlue remplazadas t1I la (1 I oacute) dan lugar n
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
13
)
1 = F[tllll (qJ +- dcp) - (all rp] =p(l~~ ( 1 17) dl-
Teniendo cn cucnl d ~ignj licado geuumlm~lrico Je la dcrivaJn SI obtiene
y iJ V iJ-)
JI fo F --lxltb---lx =pll(--2[ ]~ ax ax dI
y CUeacutellldlgt la longirlld Jcl tramito de cuerdn es infiniteacutesilllo (Ih - O)
J 2 2 v y _ oy
f ---p -shy x 2 bull el t 2
a 2) de doude = (11 X)
oxmiddot
Comparando esta uacuteltilla ccuacioacuten con la (1 14) encontr1I110~ que la eCllacioacuten del movimiento
consecuencia importante de c~ta comparacioacuten es que la vdociJad con la qlle se propnga la
perturbacioacuten reSlllla ser
v = (I 19)rI7Vp
lo qlle dllllllcstra quc la velocidaJ lk propagacioacutelI de tina pertmbacioacuten ondulatonn es IIl1a
caraclerblica dellllcdio y 110 del agcnh rerLmbaJor en cste caso Jepelldc de la tensioacuten y de la
densidad lill dc Ll cmrda
Estn cllndllsioacutelI cOllraJice aparenleI1Hnll In ecuacioacuten (16) qlle cslabkce la proporcional idad
entre la vclocidad ltk la pcrlmbacioacutell y SIl rreclleacutellcia la rrecllcllcia de IIna Olida dcpende
vdll iexclvl1l11cllle dd lgclllc perturhdllr ~ ill cll~blrgo 11111 C1 el agellle patilrbador genera IIna
caractcriacute ~ li de L 11111 Je IllUlleriexcl lile
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
14
V=A I=~
15 ONDAS LONGITUDINALES EN UN HESORTE
lIemos visto hnsta ahora perturbaciones que se propaiexclall a lo largo elc ulla cuerda lthUldo IlIgar
a vibraciones de las )Jilrtiacuteculns dcl mcdio cn direccioacuten pcrpcmlicular a la direltcioacuten oc
propagacioacuten de la pcrturbacioacuten cllando eso ocurrc se dir fllIC se estaacute propagando Ina olda
lrutlversal
Ilay mcdios oc propngacioacuten Sin emblrgo en los cuales pueJ~ propagarse tambieacuten o
unicllllcntc olla clasc oe pcr1l1rbaciollcs el caso tiacutepico es el lt11 111 resorte largo en el cual
pueoe propagarsc IIna onda transvcrsal como en lIna cuerda u otTa perturbacioacuten que se gcncra
comprillliemlo lIn extremo dd resot1e en la dircccioacuten de su longituo Est pcrturbacioacuten
tambieacuteu SI propaga a lo largo ocl resortc oc manera lile la zona de compresioacuten prodllce UII
movimlcnto oe las espiras cn la misma oireccioacuten en la que viaja In perturbacioacuten cn cste uacuteltimo
caso se oiraacute fluC se cstaacute propaganoo una onda longiJltililltll (Figura 16)
Jii~lIla 1( Representacioacuten de una onda IUllgitlldind en 111 resorte
15
Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
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superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
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Como prum1 ~ns() dl ordas luugltudilliles COllsidlrcmos Ull nsor(c de longitud ey masa III
(por lo talllu eOIl dcnsidad lilllal p = 111e) que cuelga por un cxtrclllo lijo y que en el otro
extremo cst cargado con una masa tU
Podemos considerar el resorte en lrcs estados
a) Suspendido y somcliLlo uacutellienmenle a la rUcrl3 peso
b) EII equilibrio culndo se le huya colgado la masa ~f
c) EII vibracioacutell debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado
8 r
x
P --shyt --shy
P clx -----__
-_-shy
X~X
~-------- __ - J)(~ vX A
M 8
01C
lJ) b) e)
Figura 17 Tres estados de un resorte
COllsidlrcl1los UII elclllenlO PP dd resorte sin pCI1111bucioacutell de IOllgilud b localizado aUlla
distancia X dd eXITcmo superior cuando se emlga la lIlasa lJ y se establece el cquilibrio el
ckmClllo pp IIJlJr iIacute la configuracioacuten QQ ell donde P se ha despluumlluumldo una distancia X
Finalmente cuando se
inlmduce la plrlurbaeioacutell LOdas las pilrliacuteCIII~IS del c1elllclllo PP se ellconlraraacuten ell el
lrulllo R R dI IOllgihlJ tL + dXI tiS dOlllk R Csll n la L1islamia X + X -1- S del extremo
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superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO
16
superior naturalmente la masa del elemento deformado UR es la llIisma del elemento PI
es decir p tl
Ohtengamos ~ntollces la ~cllacioacuten dcl movimicnto del elemento Illl tcniendo en cuenta que
las fuerzas que actuacutean sun el peso y las tensiOllcs en R y l a traveacutes dc la Ley de I-looke
podemos decir que la tensioacuten en R calculada cuando tlx ~ O estaacute dada por
r _ (Ox o~)lIR- n --+- (1 20)ox 0
mientras que la tensioacuten en R es
iquestJFln = FR + -- (tlr + tlX -+ tlo)ox
por lo tanto la fuerza lleta es
iJF Fu - Fu = - (tLr + (E( + dO)ox
recordando la (120) pan tb ~ O y tenicndo en cuenta que tlX tU~ son infinileacutesimus de
orden superiur
Incluyendo la fllcl-La peso c igualando la fuerza neta total con el producto de la miexclJsa por In
aceleracioacuten podemos escrihir pariexcl el demento de rcsortc
E~tiexcliexcl uacuteltima ecuacioacuten debe sllti sfacersl para O = () dado ltiexclII( esta condicioacuten corresponde al
estado b) y por lo mIO