MAESTRIA EN FISICA CONTEMPORANEA

Ondas: Optica y Acustica

Prof.: Pablo Pisani – 2021

Solucion general de la ecuacion de onda

1. Demuestre que toda solucion de la ecuacion de onda

∂2xu(x, t)− 1

v2∂2t u(x, t) = 0 (1)

tiene la forma u(x, t) = f(x− vt) + g(x+ vt). Para ello, en lugar de las variables x, tconsidere las nuevas variables a, b,

a = x− vt b = x+ vt

y convenzase de que unas y otras son equivalentes porque se determinan mutuamente.El truco es escribir u como funcion de a, b y luego escribir a, b en terminos de x, t.Utilizando la regla de la cadena,

∂xu = ∂au · ∂xa+ ∂bu · ∂xb = ∂au+ ∂bu .

Aplique la regla de la cadena una vez mas para escribir ∂2xu en terminos de lasderivadas de u con respecto a a y b. Luego repita el procedimiento para ∂2t u. Sireemplaza lo obtenido en la ecuacion de onda (1) arribara a

∂b∂au = 0 .

Como la derivada de ∂au con respecto a b es cero, podemos decir que la funcion ∂ausolo depende de a. Eso significa que u es una funcion de a... ¡mas una funcion de b!(¿por que?). En conclusion,

u = f(a) + g(b) ,

que nos deja a un paso de lo que querıamos demostrar: toda solucion de la ecuacionde onda representa una funcion que se propaga con velocidad constante y sin defor-marse hacia la derecha, mas otra que lo hace hacia la izquierda; no hay otra posiblesoluciona.

aPor supuesto, f o g pueden ser cero, que corresponde al caso en que solo una de las dos ondas estapresente.

Solucion del problema de condiciones iniciales

2. Para resolver los siguientes problemas utilice la solucion general obtenida en el ejer-cicio anterior:

a) Una cuerda infinita de densidad 10 gr/cm y sometida a una tension de 10 kgse configura de modo que su perfil esta dado por la funcion (gaussiana)

u(x, 0) = a e−x2

L2 a = 10 cm L = 1 m .

Si se deja a la cuerda oscilar a partir de esa configuracion ¿como se propagala onda? (Realice el calculo en detalle y luego medite acerca del resultadoobtenido. ¿Que cosas llaman su atencion?).

Evalue la validez de la aproximacion de pequenas oscilaciones.

b) Al dıa siguiente, se coloca la misma cuerda —a la misma tension— comple-tamente horizontal. ¿Que sucede?. Ahora sı, mediante algun mecanismo, seimprime una velocidad (vertical) V a todos los puntos de un segmento delongitud A. Describa la propagacion de la onda. Estudie, en particular, elmovimiento del punto medio del segmento. ¿Nota algo peculiar?

(Este mismo problema volvera a resolverse con otro procedimiento en ocasiondel ejercicio 16.)

3. De acuerdo con Karl May, el cacique Winnetou podıa predecir el horario de llegadade los trenes. Para ello, Winnetou observaba las perturbaciones generadas por eltren en los rieles de acero y medıa el retraso de las transversales con respecto a laslongitudinales. ¿Cuanto tardarıa en llegar el tren si ese retraso fuera de 4 segundos?(El Union Pacific marchaba a unas 20mph.)

4. Un instrumento de viento, digamos una quena, esta afinada en cierta nota musicalde frecuencia ν. Un quenista bromista infla sus pulmones con helio: muestre que lanueva nota es casi tres veces mas aguda que la original.

5. Pedro superpone dos ondas planas de igual frecuencia pero con distintas amplitudesA1, A2 y una diferencia de fase δ. Muestre que la onda resultante tiene amplitud

A =√A2

1 +A22 + 2A1A2 cos δ .

Muestre que la amplitud se anula solo en el caso A1 = A2 y δ = π.

El experimento de Michelson-Morley

6. En 1887, en un sotano de la WRU (Cleveland, EEUU) Albert Michel-son y Edward Morley llevaron a cabo un experimento para verificar elmovimiento de la Tierra con respecto al eter. Para ello, construyeron uninterferometro giratorio con dos brazos, en forma de L.En cierto momento uno de los brazos estara en la direccion de movimientode la Tierra con respecto al eter, en tanto que el otro estara en la direccionperpendicular. En ese momento, desde el punto de union de ambos brazosse divide un rayo de luz en dos perpendiculares que recorren cada uno delos brazos y se reflejan en el extremo opuesto. Muestre que el rayo que sigueel brazo paralelo al movimiento de la Tierra regresa mas tarde que el querecorre el brazo perpendicular. La longitud (efectiva) de cada brazo erade 11m. Muestre que la diferencia de fase entre ambos rayos es de 0,44π(para calcular la velocidad de la Tierra en su orbita alrededor del Sol,recuerde que la distancia entre ambos es de 150 millones de kilometros).

El experimento del doble Armstrong

7. El siguiente es un experimento imaginario:

Dos copias exactamente iguales de LouisArmstrong tocan la misma nota La 440 enfase y con el mismo volumen. Ambos trom-petistas estan separados por una distanciad = 1m y se encuentran a L = 10m de losasientos de la primera fila.

El espectador que se encuentra en el cen-tro de la primera fila escuchara las no-tas interfiriendo constructivamente. Mues-tre que los espectadores situados a unoscinco asientos del asiento central no escu-charan nada en absoluto.

Ondas en tres dimensiones

8. La ecuacion de onda en tres dimensiones es(∂2x + ∂2y + ∂2z −

1

v2∂2t

)u(x, y, z, t) = 0

Demostraremos que la amplitud de una onda esferica decrece con 1/r.Consideraremos, por simplicidad, una perturbacion u(r, t) con simetrıaesferica, esto es, que solo depende de r (y del tiempo).Utilizando la regla de la cadena,

∂xu = ∂ru · ∂xr = ∂rux

r,

muestre que la ecuacion de onda resulta(∂2ru+

2

r∂ru−

1

v2∂2t

)u(x, y, z, t) = 0 .

Considere finalmente una onda esferica

u(r, t) = A(r) ei(kr−ωt) ,

con ω = k v, escriba la ecuacion para A(r), proponga una solucion de laforma ra y muestre que a = −1.

Ondas gravitacionales y agujeros negros

9. El 14 de septiembre de 2015 los observatorios LIGO de Hanford(WA, EEUU) y Livingston (LA, EEUU) realizaron la primeradeteccion de una onda gravitacional (GW150914). Las carac-terısticas de la senal —un aumento de frecuencia y amplituddesde los 0,30 seg que se interrumpe a los 0,45 seg— indican unafuente de dos objetos que se acercan en forma de espiral hastaque se funden en un unico objeto rotante.

Por cada giro del sistema binario la onda describe dos oscilacio-nes de modo que la senal corresponde a unas cuatro revolucionesantes del colapso. La variacion de la frecuencia con el tiempo per-mite estimar la masa de cada uno de los objetos en unas 35 masassolares.Observe que la frecuencia maxima de la senal (a los 0,42 seg) esde unos (0,005 seg)−1 ∼ 200 Hz de modo que podemos estimar lavelocidad angular del sistema antes de colapsar. Con esta veloci-dad angular y utilizando la ley de gravitacion de Newton muestreque la distancia entre los objetos antes de colapsar es de unospocos cientos de kilometros.Los unicos objetos de este tamano que pueden alcanzar masasdecenas de veces superiores a la solar son los agujeros negros.Calcule el radio de Schwarzschild y verifique que los agujerosnegros de la senal GW150914 tienen un radio de unos 100 km.

La amplitud de la onda gravitatoria esta dada por los valoresdel eje vertical. Suponiendo que la amplitud es del orden de launidad al ser generada, muestre que la senal recibida correspon-derıa a una fuente ubicada unos 1010 anos luz (estimaciones masprecisas indican una distancia 10 veces menor).

¿Cuales son las longitudes de onda emitidas por este sistema?

¿Como podrıa determinarse la zona del cielo desde donde pro-viene la onda?

Efecto Doppler

10. Una fresca tarde de invierno (10 C) usted descansa en su reposeraa cuando descubreun abejorro que vuela en torno a una flor batiendo sus alas a una frecuencia ν0.Como es alergico (usted) se aleja del insecto a velocidad v = 15 km/h. Muestre quela frecuencia ν1 que usted percibe del zumbido al correr esta dada por

ν1 =

(1− v

vsonido

)ν0 . (2)

Sin embargo, pronto cobra coraje y se detiene, lo que hace que ahora el abejorro sealeje a velocidad v (curiosamente, la misma con la que usted corrıa). Muestre queahora usted percibe su zumbido con frecuencia

ν2 =

(1 +

v

vsonido

)−1ν0 . (3)

Verifique que la diferencia entre uno y otro caso no supera el 0,02 %.

aSe recomienda complementar la resolucion de este ejercicio con esto.

Efecto Doppler relativista

11. Muestre que si el abejorro del ejercicio 9 se aleja a un cuarto de la velocidad de laluz sus franjas amarillas se veran de color rojo.

Expansion del universo

12. Un modelo de universo en expansion esta caracterizado por a(t), un factor de escalaque aumenta con el tiempo e indica como cambia la distancia entre puntos del espacio:si sus coordenadas difieren en ∆x, su distancia es a(t) ∆x.Supongamos que una galaxia situada en el origen de coordenadas emite una crestade luz en el instante t1 que arriba a nuestros ojos —en un punto de coordenadas X—en el instante T1. En el muy proximo instante t2 = t1 + λ(t2)/c emitira la siguientecresta, que recibiremos en T2 = T1+λ(T2)/c. Las cantidades λ(t2), λ(T2) representanlas longitudes de onda de la luz al ser emitida y recibida, respectivamente.En cada intervalo ∆t la onda recorre una distancia c∆t entre dos puntos sepa-rados por coordenadas ∆x = c∆t/a(t). Si sumamos las diferencias de coordena-das ∆x atravesadas por la primera cresta entre los puntos x = 0 (la galaxia)y x = X (nuestros ojos) y hacemos lo mismo para la segunda cresta obtenemosc (t2 − t1)/a(t1) = c (T2 − T1)/a(T1). Muestre entonces que la relacion entre la fre-cuencia emitida y la observada es igual a la relacion entre los factores de escala actualy al momento de la emision,

νemitida

νrecibida=

a(hoy)

a(antes).

El corrimiento al rojo de las galaxias lejanas indica entonces la expansion del uni-verso, predicha por G. Lemaıtre (1927) y observado por E. Hubble (1929).

13. La amplitud termica diaria en la Puna puedealcanzar los 30C.

La nota mas baja de una quena es de 392 Hz(Sol) en un dıa a 20C. Muestre que de noche, a−10C, la nota mas baja sera de 371 Hz (Fa]).

14.La primera columna de la tabla muestralas notas (al aire) de una guitarra.Un luthier utiliza para las cuerdas losparametros indicados en las siguientes co-lumnas; verifique si se reproducen las no-tas mencionadas.

ν (Hz) � (mm) ρ (gr/cm3) T (kg)

329.6 (Mi) 0.7 1.1 7.3

246.9 (Si) 0.8 1.1 5.4

196 (Sol) 1 1.1 5.4

146.8 (Re) 0.7 4.5 6.3

110 (La) 0.9 5.5 6.8

82.4 (Mi) 1.1 6 6.2

Explique por que los 19 trastes de una gui-tarra tienen las ubicaciones indicadas a laderecha.

Muestre que la quinta cuerda al aire(La110) tiene la misma frecuencia que lasexta cuerda en el quinto traste.Esto permite afinar la guitarra escuchandoel batido.

63.5 cm

59.9 cm

56.6 cm

53.4 cm

50.4 cm

47.6 cm

44.9 cm

42.4 cm

40. cm

37.8 cm

35.6 cm

33.6 cm

31.7 cm

30. cm

28.3 cm

26.7 cm

25.2 cm

23.8 cm

22.5 cm

21.2 cm

Energıa de una onda

15. Considere una onda armonica viajera (unidimen-sional) de amplitud A y frecuencia ω. Calcule ladensidad de energıa E y el flujo de energıa S: mues-tre que estan en fase (¿por que?) y que E se propagacon la misma velocidad que la onda. ¿Cuales son lospuntos en los que en un cierto instante E = S = 0?

Muestre que la energıa total contenida en unintervalo de media longitud de onda es constante(¿por que?).

Suponga que en una manguera infinita con una ten-sion de 10 kg se genera un pequeno pulso

u(x, t) = Ae−(x−vt)2

a2

de ancho a = 1 m y altura A = 5 cm. Verifique quela densidad de energıa se propaga con la mismavelocidad que el pulso. Muestre que el trabajo rea-lizado para generar esta perturbacion es de unos0,3 Joules.

Calcule la densidad de energıa de un modo normalen una cuerda con extremos fijos. Muestre que laenergıa total en la cuerda es constante y que, co-rrespondientemente, no hay flujo de energıa en losextremos.

16.Se genera en el aire una onda de presion unidi-mensional p(x, t) a partir de una explosion queocasiona una derivada de la presion en un inter-valo de 2 m de largo.Estas condiciones iniciales pueden modelarse dela siguiente manera:

p(x, 0) = 0

∂tp(x, 0) = 105 Pa/seg si |x| < 1 m

∂tp(x, 0) = 0 si |x| > 1 m

Muestre que la evolucion de la onda de presionesta dada por las figuras de la derecha, en las queel frente de onda se desplaza a la velocidad delsonido. Utilice el metodo de las transformadasde Fourier. Para ello, necesitara∫∞−∞ dk

sin (ak) sin (bk)k2

= π2 (|a+ b| − |a− b|) .

-1m 1m0

150 dB

-1m 1m0

150 dB

-1m 1m0

150 dB

-1m 1m0

150 dB

-1m 1m0

150 dB

-1m 1m0

150 dB

Dispersion

17. La respuesta de un medio dispersivo a una onda electromagnetica de frecuencia ωse representa con un modelo para ε(ω). En general, ε(ω) tiene una pequena parteimaginaria relacionada con las fuerzas disipativas sobre los electrones del material.Analice el efecto de Re ε(ω) y de un valor pequeno de Im ε(ω) sobre la propagacionde una onda monocromatica —en particular, sobre el numero de onda k— pararesponder las siguientes preguntas:

a) Existen modelos para los cuales Re ε(ω) < ε0 a ciertas frecuencias. Muestreque esto implica que la velocidad de fase es mayor que c y explique como seentiende este fenomeno.

b) Para valores de ω cercanos a las frecuencias de resonancia de los electronesen el material, ε(ω) sufre grandes variaciones y d

dωRe ε(ω) < 0 (dispersionanomala). Muestre que en este caso la velocidad de grupo es mayor que lavelocidad de fase y podrıa ser entonces mayor que c; explique como se entiendeeste fenomeno.

c) La figura representa la parte real y la parte imaginaria del ındice de refraccionn(λ) para el agua. Explique por que nuestros ojos perciben la luz visible.Calcule la longitud de penetracion de la luz visible y del infrarrojo en el agua.

Ondas de materia

18. Un electron esta confinado en una caja de10−10 m de lado. ¿Que tipo de radiacion emiteal decaer desde su primer estado excitado?

Guıa: Considere una onda estacionaria en tresdimensiones con dependencia temporal e−iωt.Teniendo en cuenta las condiciones de contorno,proponga para la dependencia espacial

sin k1x sin k2y sin k3z .

Utilice las condiciones de contorno para deter-minar k1, k2, k3 y la ecuacion de onda para de-terminar ω.