notas de clase incompletas del curso md, prof. a. pecha..pdf

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“”Notas de clase incompletas del curso MD, Prof. A. Pecha. Solo para su usopersonal”” — 2012/8/6 — 16:20 — page 163 — #1 i

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Capıtulo 6

Series e integrales.

Las derivadas hacen que el calculo de los cambios del valor de una funcionsea facil, sin ellas la busqueda de optimos serıa un proceso largo y arduo, lomismo que el trazado de graficas. Las integrales juegan un papel importanteen la aproximacion a los procesos de suma, calculos de longitudes de curvas,areas de superficies y volumenes de solidos.

Criterios para serie no negativas, in-dex

6.1. Sumas y productos finitos.

Los signos de sumatoria∑

y de productoria∏

se usan respectivamente paraabreviar la suma y el producto de n numeros reales. La definicion recursiva deestas operaciones son respectivamente,

1∑t=1

a1 = a1,k∑

t=1

at =

(k−1∑t=1

at

)+ak y

1∏t=1

at = a1,k∏

t=1

at =

(k−1∏t=1

at

)ak,

y la asociatividad de la suma y el producto de numeros reales permite llevarlasa

n∑t=1

at = a1 + a2 + · · ·+ an yn∏

t=1

at = a1a2 · · · an.

Si todos los numeros son positivos en el producto, la funcion logarıtmo permiteconvertir el producto en suma

ln

(n∏

t=1

at

)=

n∑t=1

ln (at) = ln (a1) + ln (a2) + · · ·+ ln (an) .

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164 CAPITULO 6. SERIES E INTEGRALES.

Las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de la suma y la defini-cion permiten generan las siguientes propiedades para las sumatorias:

Independencia del ındicen∑

t=1

at =n∑

s=1

as =n∑

w=1

aw.

Traslacion del ındicen∑

t=1

at =n+N−1∑t=N

at−N+1.

Aditiva

n∑t=1

(at + bt) =

n∑t=1

at +

n∑t=1

bt.

Homogenean∑

t=1

(kat) = kn∑

t=1

at.

Telescopicasn∑

t=1

(at − at−1) = an − a0 yn∑

t=1

(at−1 − at) = ao − an.

Separacion

n∑t=1

at =

m∑t=1

at +

n∑t=m+1

at.

Las dos primeras de estas propiedades aseguran que el resultado de la sumasolo depende de los sumandos mas no de como se subındicen. Las siguientespermiten separar sumas y sacar constantes. La propiedad telescopica permitecancelar los terminos intermedios cuando se suman diferencias de terminossucesivos.

Despejando en la ultima propiedad

n∑t=m+1

at =n∑

t=1

at −m∑t=1

at

cuando 1 ≤ m ≤ n el sentido es el corriente: sumar hasta n es igual a sumarhasta m y luego de m + 1 a n o sumar de m + 1 a n equivale a sumar entre1 y n y restar la suma de 1 a m. Cuando m > n, para que la ecuacion tengasentido se debe aceptar que

n∑t=m+1

at = −m∑

t=n+1

at =

n∑t=1

at −m∑t=1

at,

al multiplicar por −1m∑

t=n+1

at =m∑t=1

at −n∑

t=1

at,

esto es, sumar entre n y m es igual a sumar entre 1 y m y a este resultadorestar la suma entre 1 y n.

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6.1. SUMAS Y PRODUCTOS FINITOS. 165

En forma analoga las propiedades de los productos son:

n∏t=1

at =

n∏s=1

as =

n∏w=1

aw.

n∏t=1

at =

n+N−1∏t=N

at−N+1.

n∏t=1

(atbt) =n∏

t=1

at

n∏t=1

bt

n∏t=1

(kat) = knn∑

t=1

at

n∏t=1

atat−1

=ana0

.

n∏t=1

at−1at

=a0an

n∏t=1

at =m∏t=1

at

n∏t=m

at.

Para productos de numeros positivos el logarıtmo y la propiedades de lassumas permiten deducir estas ultimas.

6.1.1. Algunas sumas

1. De la traslacion del ındice de la suma

m∑t=n

k = k

m−n+1∑t=1

1 = k(m− n + 1), (6.1)

para m ≥ n.

2. Puesto que (t + 1)2 − t2 = 2t + 1,

n∑t=0

(2t + 1) =n∑

t=0

[(t + 1)2 − t2

].

Usando la aditividad y homogeneidad en la primera y la ultima es te-lescopica,

2n∑

t=0

t +

n∑t=0

1 = (n + 1)2 − 0.

De donde, al usar la suma (1.1) y simplificar, resulta

n∑t=0

t =1

2

[(n + 1)2 −

n∑t=0

1

]=

1

2

[(n + 1)2 − (n + 1)

]=

n(n + 1)

2.

(6.2)La suma de una progresion aritmetica, donde cada termino se obtienedel anterior sumando la razon, se deduce de las sumas (1.1) y (1.2)

n∑t=0

(at + b) =an(n + 1)

2+ b(n + 1).

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3. De la misma forma de (t + 1)3 − t3 = 3t2 + 3t + 1 se deduce que

n∑t=0

(3t2 + 3t + 1) =n∑

t=0

[(t + 1)3 − t3

]= (n + 1)3;

al usar las propiedades, para separar y despejar en esta igualdad, y lassumas (1.1) y (1.2) se encuentra,

n∑t=0

t2 =1

3

[(n + 1)3 − 3

n∑t=0

t−n∑

t=0

1

]

=1

3

[(n + 1)3 − 3

n(n + 1)

2− (n + 1)

]=

n + 1

3

[(n + 1)2 − 3n

2− 1

]=

n + 1

3

(n2 + 2n− 3n

2

)=

n + 1

3

(n2 +

n

2

)=

n + 1

6

(2n2 + n

)=

n(n + 1)(2n + 1)

6.

Un proceso analogo permite calcular la suma∑n

t=0 t3,∑n

t=0 t4,... sin em-

bargo no es posible encontrar una sin el resultado de todas las anteriores.

4. Al multiplicar la igualdad

n∑t=0

xt = 1 + x + x2 + x3 + · · ·+ xn−1 + xn

por x y desarrollar solo a la derecha se obtiene

xn∑

t=0

xt = x + x2 + x3 + · · ·+ xn + xn+1.

La diferencia entre la primera y segunda de las sumas anteriores es

n∑t=0

xt − xn∑

t=0

xt = (1− x)n∑

t=0

xt = 1− xn+1,

al despejar la sumatoria, esto es, multiplicar por 11−x con x 6= 1, resulta

n∑t=0

xt =1− xn+1

1− x. (6.3)

Esta expresion es conocida como progresion geometrica. Cada terminose obtiene del anterior multiplicando por la razon, en este caso x.

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6.1. SUMAS Y PRODUCTOS FINITOS. 167

5. Al derivar y simplificar la ecuacion (1.3) con respecto a x,

n∑t=1

txt−1 =1 + (n + 1)xn − (n + 2)xn+1

(1− x)2.

multiplicando por x, se tiene que

n∑t=1

txt =x + (n + 1)xn+1 − (n + 2)xn+2

(1− x)2. (6.4)

A partir de la suma (1.4) se pueden deducir las de∑n

t=1 t2xt,

∑nt=1 t

3xt,...pero nuevamente es imposible calcular alguna sin el calculo de todas suspredecesoras.

6. El teorema del valor medio para derivadas aplicado a la funcion

f(x) = xk+1, k > 0

sobre el intervalo [t, t+ 1], con t ≥ 0, dice que existe c ∈ (t, t+ 1) tal que

f ′(c) = (k + 1)ck =f(t + 1)− f(t)

(t + 1)− t= (t + 1)k+1 − tk+1

como c ∈ (t, t + 1), entonces tk < ck < (t + 1)k, por lo tanto, de laecuacion anterior se deduce que

(k + 1)tk < (k + 1)ck = (t + 1)k+1 − tk+1 < (k + 1)(t + 1)k

sumando para t = 0, 1, 2, ..., n

(k+1)n∑

t=0

tk <n∑

t=0

[(t + 1)k+1 − tk+1

]< (k+1)

n∑t=0

(t+1)k = (k+1)n+1∑t=1

tk

por la propiedad telescopica aplicada a la segunda de estas sumas

(k + 1)

n∑t=1

tk < (n + 1)k+1 − 0 < (k + 1)

n+1∑t=1

tk

multiplicando por 1k+1 esta desigualdad equivale a

n∑t=1

tk <(n + 1)k+1

k + 1<

n+1∑t=1

tk. (6.5)

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Ejercicios.

1. ¿Cual es el valor de la suma de los multiplos de 3 que estan entre 1.000y 5.000?

2. ¿Cual es el valor de la suma de las potencias de 3 que estan entre 1.000y 5.000?

3. Usar el teorema del binomio para encontrar la suma∑n

t=0 t3.

4. Usar la ecuacion (1.4) para encontrar la suma∑n

t=1 t2xt.

5. Encontrar la suma de∑n

t=1 t(t + 1)xt.

6. Hacer la deduccion correspondiente a (1.5) cuando t ≥ 1, k < 0 y k 6= −1.

7. ¿Cual es el saldo total, despues de T periodos, de una cuenta de ahorroque paga tasa de interes del r% por periodo, si la cuenta se abre con $Iy en cada periodo se ahorran $A adicionales?

8. Se hace una inversion inicial de I0 y en cada periodo t el capital acumu-lado recibe un rendimiento de rt %, encontrar el capital final al momentoT .

6.2. Sucesiones

Los fenomenos cuyos estados solo pueden cambiar en momentos no continuosde tiempo, pero bien determinados, son modelados matematicamente por su-cesiones. Si se quiere, por ejemplo, modelar el precio del dolar por su tasarepresentativa, aunque se puede hacer por medio de una funcion continua atrozos sobre los reales, que en este caso representan el tiempo, podrıa consi-derarse el tiempo como numeros enteros y una sucesion que tome los valoresdiarios; esta es, tal vez, una manera mas acertada de modelar ese comporta-miento.

En general los procesos, como el ilustrado en el parrafo anterior, susceptiblesde cambiar solamente en momentos bien determinados del tiempo, conocidoscomo procesos discretos, son modelados matematicamente por sucesiones.

En matematicas una sucesion es una funcion con dominio el conjunto de losnumeros naturales salvo, tal vez, un subconjunto finito y valores en los numerosreales. Esto es,

f : (N−A)→ R

donde, A es un subconjunto finito de N. De esta forma a cada t ∈ (N − A)la funcion lo relaciona con f(t) que en adelante se nota ft para hacer enfasis

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6.2. SUCESIONES 169

en que se trata de un proceso dinamico discreto y diferenciarlo de f(t) querepresenta un proceso dinamico continuo, cuando t representa el tiempo.

La definicion anterior es susceptible de extenderse a conjuntos de la forma

{t ∈ Z | t ≥ T0},

donde, T0 ∈ Z podrıa ser negativo lo que permite que la sucesion tome en cuen-ta los valores historicos del proceso modelado, esto es, procesos con pasado,presente y futuro.

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Figura 6.1: Grafica de una sucesion.

De la misma forma que para referirse a una funcion se escribe f(x) = x2 + xcon lo que quedan sobrentendidos el dominio y los valores, por brevedad paraindicar la sucesion

{fT0 , fT0+1, fT0+2, . . . }

solo se escribe el valor de la sucesion para t entre corchetes, esto es,

{ft}

y si se quiere hacer enfasis en su dominio

{ft}∞k=T0.

Las sucesiones pueden ser vistas como la discretizacion de una funcion conti-nua, en otras palabras, como el muestreo de un fenomeno continuo en ciertosintervalos de tiempo, por lo tanto, cada funcion con dominio R+ determinauna sucesion y le hereda algunas de las propiedades. Pero no siempre es unproceso sencillo encontrar la funcion que al discretizarla genera una cierta su-cesion dada. Por ejemplo, la sucesion

{t2 + t

}es la discretizacion de la funcion

f(x) = x2 + x, pero no es facil determinar la funcion que se discretizo dandocomo resultado la sucesion

{t2 + (−1)tt

}.

La definicion de una sucesion puede hacerse de dos maneras: explıcitamente enla que se dan las instrucciones para el calculo del valor de la sucesion a partir

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del valor de t o recursivamente cuando se da una condicion de partida ovalor inicial y la dependencia entre los valores sucesivos de la sucesion, porejemplo:

f0 =1

2, ft+1 = ft (1− ft) para t ≥ 0.

6.2.1. Induccion matematica (IM)

La IM es una herramienta fundamental de prueba en toda la matematica, enparticular en las sucesiones. El principio de IM permite determinar si todoslos elementos de un conjunto de la forma {t ∈ Z | t ≥ T0} satisfacen unapropiedad; este principio dice que basta con que la propiedad sea satisfechapor el primer elemento del conjunto y que siempre que la cumpla alguno lacumpla el siguiente. Formalmente, si P (t) es una propiedad y se quiere probarque todos los elementos del conjunto {t ∈ Z | t ≥ T0} la satisfacen se debemostrar que:

P (T0) es cierta y

si P (t) es cierta, entonces P (t + 1) es cierta.

La IM se puede ilustrar como las condiciones mınimas para hacer caer todaslas fichas de domino paradas sobre un lado de menor area formando una fila.El principio de IM dice que todas las fichas de la fila caeran si la primera caey la fila esta hecha de forma que cada vez que alguna caiga la siguiente cae.

6.2.2. Clasificacion

Las sucesiones, ası como las funciones, pueden ser monotonas crecientescuando

ft ≤ ft+1

o monotonas decrecientes si

ft ≥ ft+1,

para todo t salvo un numero finito. Cuando

ft ≤ ft+1 y ft+1 ≥ ft+2, o ft ≥ ft+1 y ft+1 ≤ ft+2,

para todo t salvo un numero finito, la sucesion es oscilante termino atermino. Estas oscilaciones pueden ser amortiguadas cuando la distanciaentre terminos consecutivos es cada vez mas pequena,

|ft+1 − ft+2| ≤ |ft − ft+1|,

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6.2. SUCESIONES 171

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Figura 6.2: La sucesion graficada a la izquierda es creciente no acotaday la de la derecha es oscilante amortiguada acotada.

explosivas, si la distancia entre terminos consecutivos es cada vez mas gran-de,

|ft+1 − ft+2| ≥ |ft − ft+1|

o regulares si la distancia entre terminos consecutivos es igual,

|ft+1 − ft+2| = |ft − ft+1|.

Cuando las desigualdades son estrictas se agrega la palabra estricta a la cla-sificacion, ası la sucesion

{t2 + t

}es estrictamente creciente. Una sucesion es

acotada superiormente si y solo si existe M tal que

ft ≤M

para todo t, es acotada inferiormente si y solo si existe m tal que

m ≤ ft

y es acotada si lo es superior e inferiormente.

Ejemplos.

1. La sucesion{t2 + (−1)tt

}es una sucesion definida explıcitamente, basta

con el valor de t para calcular el valor de la sucesion. Es creciente ya que

ft+1 − ft = (t + 1)2 + (−1)t+1(t + 1)−(t2 + (−1)tt

)= t2 + 2t + 1− (−1)t(t + 1)− t2 − (−1)tt

= 2t(1− (−1)t

)+ 1− (−1)t =

{4t + 2, si t es impar

0, si t es par

lo que prueba que ft+1 − ft ≥ 0 que equivale a ft+1 ≥ ft para t > 0.

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2. Para probar que la sucesion definida recursivamente por

f0 = 2, ft+1 = f2t + 1

es creciente se debe probar que la propiedad

P (t) : ft+1 > ft

es cierta. Por IM

P (0) se cumple ya que f1 = 22 + 1 = 5 > 2 = f0 y

como ft+1 > ft equivale a que f2t + 1 > ft, elevando al cuadrado

(en los positivos esta funcion es creciente)(f2t + 1

)2> f2

t

sumando 1 a ambos miembros de la desigualdad(f2t + 1

)2+ 1 > f2

t + 1

lo que equivale segun la definicion de la sucesion a

(ft+1)2 + 1 > ft+1

oft+2 > ft+1

lo que prueba parcialmente la propiedad para todo t ≥ 0, ya que la IM seaplico bajo el supuesto, ft > 0 para todo t ≥ 0, dicho supuesto requierenuevamente IM; para darse por hecho.

f0 = 2 > 0 que satisface la propiedad para t = 0 y

si ft > 0, como ft+1 = f2t + 1 y el cuadrado de cualquier numero es

no negativo, entonces ft+1 > 0.

Lo que prueba totalmente que la sucesion es creciente.

6.2.3. Convergencia

La convergencia de sucesiones equivale al comportamiento de la estabilidaden el equilibrio del proceso que se esta representando. Los puntos o valoresde equilibrio, f , de una sucesion definida recursivamente son aquellos paralos cuales la sucesion es constante con esos valores como condiciones iniciales.Esto es, si f0 es dado, el valor de ft es definido recursivamente para todo t > 0y f es el valor de equilibrio, entonces ft = f para todo t > 0 cuando f0 = f .

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6.2. SUCESIONES 173

Por esta razon para encontrar el valor de equilibrio se hacen todos los terminosde la sucesion iguales a f .

Una sucesion converge si y solo si

lımt→∞

ft

existe como numero real. Si el lımite no existe o es ±∞ la sucesion diverge.Para sucesiones que provienen de discretizacion de funciones es posible usar losresultados usuales para el calculo de lımites, por ejemplo la regla de L’Hopital.Un resultado importante en convergencia de sucesiones es el

Teorema 6.1 (Bolzano). Una sucesion monotona acotada es convergente.

Ejemplos.

1. Para clasificar la sucesion {rt}∞t=0 basta con examinar la diferencia dedos terminos sucesivos

rt+1 − rt = rt(r − 1).

Del signo de este producto se deduce el comportamiento de la sucesion,pero este esta determinado por el de los factores rt y r − 1. Por tanto,la sucesion es:

a) Estrictamente creciente cuando rt > 0 y r − 1 > 0, esto es, r > 1.En este caso la sucesion diverge a ∞.

b) Estrictamente decreciente si y solo si los factores tienen signosopuestos, esto es, rt > 0 y r − 1 < 0 (el otro caso no se puededar) que equivale a 0 < r < 1. Como la sucesion, con estas condi-ciones, es monotona y acotada converge a cero.

c) Oscilante amortiguada cuando −1 < r < 0 ya que el signo de rt espositivo o negativo si t es par o impar, r− 1 es negativo y en valorabsoluto es una sucesion decreciente. De la desigualdad

−|rt| ≤ rt ≤ |rt|,

el caso anterior y el teorema del emparedado se concluye que lasucesion converge a cero.

d) Oscilante explosiva cuando r < −1. Es oscilante por las mismascondiciones del caso anterior y explosiva porque el valor de susterminos es una sucesion creciente. En este caso la sucesion divergepuesto que el lımite no existe.

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e) Oscilante regular cuando r = −1, los valores de la sucesion en estecaso son

{1,−1, 1,−1, ...}.

Como en el caso anterior el lımite no existe.

f ) Constante cuando r = 0 o r = 1.

2. La sucesion {(−2)t + (−3)t

(−2)t+1 + (−3)t+1

}∞t=0

es convergente ya que

lımt→∞

(−2)t + (−3)t

(−2)t+1 + (−3)t+1= lım

t→∞

(−2−3

)t+(−3−3

)t(−2)

(−2−3

)t+ (−3)

(−3−3

)t= lım

t→∞

(23

)t+ 1

(−2)(23

)t+ (−3)

= −1

3

ya que{(

23

)t}converge a cero.

3. Los puntos de equilibrio, candidatos a valores de convergencia, de unasucesion {gt} estan donde gt+1 = gt = g. Para la sucesion definida porla recursion

g0 = 0, gt+1 =√

2 + gt

satisfacen la ecuacion

g2 = 2 + g,

esto es, g = 2 y g = −1.

Si se calculan unos cuantos terminos, se nota que cada vez son mas gran-

des: 0,√

2,√

2 +√

2,

√2 +

√2 +√

2. Pero solo la IM puede comprobarque eso es ası para todos los terminos de la sucesion(ejercicio para ellector). Bajo el supuesto de que la sucesion es creciente, para que seaconvergente basta ver que es acotada superiormente. Pero la prueba deesto requiere de IM: el primer termino es menor a 2 (0 < 2) y si gt < 2,sumando 2, 2 + gt < 4 por lo que

gt+1 =√

2 + gt <√

4 = 2.

De donde, se concluye que todos los terminos de la sucesion son menoresa 2. Como la sucesion satisface las hipotesis del teorema de Bolzanoconverge y lo hace a 2, ya que los terminos son positivos.

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6.3. INTEGRALES DEFINIDAS. 175

Ejercicios.

1. Determinar si la sucesion{(−2)t + (−3)t

(−2)t+1 + (−3)t+1

}∞t=0

es monotona u oscilante y de que tipo.

2. Encontrar los valores de a y b para que

lımt→∞

b(2n + 3)

(a + 1) (3t + 1)a= 3.

3. Probar usando IM que la sucesion definida por la recursion

g0 = 0, gt+1 =√

2 + gt

es monotona creciente.

4. Analizar la convergencia de la sucesion definida por la recursion

h0 = 0, ht+1 =√

3 + ht.

5. ¿Es posible generalizar el resultado para la sucesion definida por la re-cursion

k0 = 0, kt+1 =√a + kt,

con a > 0?

6.3. Integrales definidas.

La integral definida de una funcion no negativa sobre un intervalo es el areade la region limitada a la izquierda y a la derecha por las rectas verticales quepasan por los lımites inferior y superior del intervalo, respectivamente; abajopor el eje horizontal y encima por la grafica de la funcion. Ası como la derivadaes un lımite que permite usarse para hacer cierto tipo de aproximaciones, laintegral que tambien es el lımite de sumas sirve para aproximar nociones queinvolucran sumas. Es por esto que el beneficio anual de un productor, que esla suma de los beneficios diarios, puede ser aproximado por la integral de susbeneficios en cada momento sobre un intervalo de un ano.

La forma de encontrar el area de una region del plano es aproximarla porregiones con areas conocidas y cuyo lımite sea el area a calcular. Cuando lafrontera de la region es poligonal (formada por segmentos de recta) se puede

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dividir la region en triangulos y de esta forma encontrar el area. Regionesmas generales se aproximan por regiones poligonales, tomando puntos sobrela frontera y conectandolos por segmentos de recta, calcular el area de lasaproximaciones y luego tomar el lımite cuando el numero de puntos tiende ainfinito (figura 1.3). Esta misma estrategia se usa cuando se quiere calcular la

Figura 6.3: El area de una region poligonal es la suma de las areas de lostriangulos en que se divide y la de una region no poligonal se aproxima

por una poligonal y luego se toma lımite.

longitud de una curva o el volumen de un solido.

Puesto que para una funcion f(x) no negativa sobre un intervalo I = [a, b] laregion limitada por las rectas x = a, x = b, y = 0 y la grafica y = f(x) tienetres lados rectos, dos de ellos paralelos y el tercero perpendicular a los otros, elarea se puede aproximar de dos formas simples: una por rectangulos y otra porparalelogramos. La primera de estas es la forma clasica de hacer la definicion deintegral definida, esto es, el area de la region, para esto inicialmente se definenparticiones, que determinan las bases de los rectangulos, y sumas superiores einferiores, que dan los valores que aproximan por encima y por debajo el valordel area.

Una particion de un intervalo I = [a, b] es un conjunto de puntos x0 = a, x1,..., xn = b tales que xi < xi+1, para i = 0, 1, 2, ..., n− 1

Pn(I) = {x0, x1, . . . , xn}.

Una particion P (I) es mas fina que otra Q(I) si y solo si Q(I) ⊂ P (I), porlo tanto una refinacion de P (I) es el resultado de agregar mas puntos a laparticion.

Las sumas superior e inferior de la funcion f(x) sobre el intervalo I deter-

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minada por la particion Pn(I) son respectivamente:

S(f)Pn(I) =

n∑t=1

f(x∗t )(xt − xt−1), donde, f(x∗t ) = max{f(x) | x ∈ [xt−1, xt]}

y

S(f)Pn(I) =

n∑t=1

f(x∗t)(xt − xt−1), donde, f(x∗t) = mın{f(x) | x ∈ [xt−1, xt]}.

f(x∗t )(xt − xt−1) es el area del rectangulo limitado por las rectas verticalesx = xt−1, x = xt y por las horizontales y = 0 y y = f(x∗t ), esta aproxima porencima el area bajo la curva y = f(x) en el intervalo [xt−1, xt] (figura 1.4 );de la misma forma lo hace por debajo f(x∗t)(xt− xt−1). La suma de las areasde estos rectangulos son una aproximacion por encima y otra por debajo delarea que se pretende calcular.

xt-1 xt

f Hxt*L

f Hx*tL

Figura 6.4: Aproximacion por encima y por debajo del areabajo la curva y = f(x) en el intervalo [xt−1, xt].

Puesto que, si [a, b] ⊆ [c, d],

max{f(x) | x ∈ [a, b]} ≤ max{f(x) | x ∈ [c, d]}

ymın{f(x) | x ∈ [c, d]} ≤ mın{f(x) | x ∈ [a, b]};

entonces para dos particiones Q(I) ⊆ P (I)

S(f)P (I) ≤ S(f)Q(I) y S(f)P (I) ≥ S(f)Q(I),

Por lo tanto, una sucesion de particiones, {Pn(I)}, del intervalo I cada unacon un punto adicional a la anterior genera una sucesion decreciente de sumassuperiores y otra sucesion creciente de sumas inferiores, cada una de las cua-les es convergente ya que las sumas superiores estan acotadas inferiormente

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por cualquier suma inferior y las suma inferiores lo estan por cualquier sumasuperior, esto es

lımn→∞

S(f)Pn(I) = S lımn→∞

S(f)Pn(I) = S.

Cuando S = S es posible calcular el area y su valor es el valor comun, que seconoce como la integral definida de la funcion f(x) en el intervalo [a, b] y senota ∫ b

af(x)dx = S = S,

a y b son llamados, respectivamente, lımite inferior y superior de la integral ydx dice que la integracion se hace con respecto a la variable x. Con esta nocioncualquiera de las siguientes notaciones son iguales:∫ b

af(x)dx =

∫ b

af(w)dw =

∫ b

af(z)dz,

la integral depende solo de la funcion y de los lımites de integracion.

a x3x2 bx1

Figura 6.5: El area bajo la curva esta por encima de la sumainferior, los rectangulos en gris, y bajo la suma superior, los

rectangulos en gris y en blanco.

Cuando una funcion es integrable sobre un intervalo, es posible comprobarque el valor de la integral es independiente del tipo de particion por lo quebasta con considerar la mas simple, dividir el intervalo en n partes iguales delongitud ∆x = b−a

n , esto es

Pn = {a, x1 = a + ∆x, x2 = a + 2∆x, ..., xt = a + t∆x, ..., a + n∆x = b.}

Con esta particion

S(f)IPn =

n∑t=1

f(x∗t )∆x, f(x∗t ) = max{f(x) | x ∈ [xt−1, xt]}

ii


i

ii

ii


y

S(f)IPn =

n∑t=1

f(x∗t)∆x, f(x∗t) = mın{f(x) | x ∈ [xt−1, xt]}.

Si, ademas, la funcion es monotona creciente,

max {f(x) | x ∈ [xt−1, xt]} = f(a + t∆x)

ymın {f(x) | x ∈ [xt−1, xt]} = f(a + (t− 1)∆x)

por lo que

S(f)IPn =n∑

t=1

f(a + t∆x)∆x

y

S(f)IPn =n∑

t=1

f(a + (t− 1)∆x)∆x =n−1∑t=0

f(a + t∆x)∆x.

Si la funcion f es monotona creciente y continua en el intervalo [a, b],

lımn→∞

(S(f)IPn − S(f)IPn

)= lım

n→∞

(n∑

t=1

f(a + t∆x)∆x−n−1∑t=0

f(a + t∆)∆x

)

= lımn→∞

(f(b)− f(a)) ∆x = (f(b)− f(a)) lımn→∞

b− a

n= 0.

Lo que prueba que f es integrable en [a, b]. De forma analoga se muestrael resultado para funciones monotonas decrecientes. La conjuncion de estosresultados prueba que toda funcion continua en un intervalo es integrable enel intervalo.

6.3.1. Ejemplos.

1. Al partir el intervalo [0, b] en m partes iguales se tiene ∆x = bm y la par-

ticion es {0, bm , 2 b

m , ...,m bm}. La suma superior de la funcion, monotona

creciente, F (x) = xk con k > 0 sobre el intervalo es

S(F )IPm =m∑t=1

F (t∆x)∆x =m∑t=1

(tb

m

)k b

m=

(b

m

)k+1 m∑t=1

tk.

Una deduccion similar muestra que la suma inferior para esta funcionsobre el intervalo es

SIPm=

(b

m

)k+1 m−1∑t=1

tk.

ii


i

ii

ii


De la desigualdad 1.5, haciendo n = m− 1, se concluye que

SIPm=

(b

m

)k+1 m−1∑t=1

tk ≤(

b

m

)k+1 mk+1

k + 1≤(

b

m

)k+1 m∑t=1

tk = S(F )IPm .

Simplificando el termino del medio

SIPm≤ bk+1

k + 1≤ S(F )IPm .

De esta forma ∫ b

0zkdz =

bk+1

k + 1.

2. A partir del ejemplo anterior∫ 5

0

3√w dw =

532+1

32 + 1

=5

52

52

= 25

52

5= 2

(5

32

).

6.3.2. Propiedades

A partir de la definicion, por medio de sumas inferiores y superiores, las inte-grales heredan algunas de las propiedades que poseen las sumatorias estas sonla propiedad aditiva∫ b

a(f(z) + g(z))dz =

∫ b

af(z)dz +

∫ b

ag(z)dz

y la propiedad de homogeneidad∫ b

acf(z)dz = c

∫ b

af(z)dz.

Estas dos propiedades permiten separar la integral cuando hay sumas o restas,y sacar las constantes de las integrales.

Otras propiedades se deducen a partir de la concepcion de integral como area∫ a

af(z)dz = 0

y del comportamiento de las graficas de las funciones: la traslacion horizontalde la grafica de la funcion no afecta al area∫ b

af(z + k)dz =

∫ b−k

a−kf(x)dx,

ii


i

ii

ii


pero los cambios de escala sobre la grafica sı, por lo que es necesario compensarla integral con el valor del factor de escala

k

∫ b

af(kz)dz =

∫ kb

kaf(x)dx.

Las operaciones en los lımites de integracion son inversas a los que se hacenen la variable, y la propiedad∫ b

af(z)dz = −

∫ a

bf(z)dz (6.6)

que es la generalizacion de la ultima propiedad de las sumas. Todas estaspueden ser probadas usando la definicion.

La propiedad ∫ b

af(z)dz =

∫ c

af(z)dz +

∫ b

cf(z)dz (6.7)

cuando c esta entre a y b dice que el area bajo la curva y = f(x) entre ay b coincide con la sumas del area antre a y c con el area entre c y b. Y lapropiedad (1.6) permite interpretarla como diferencia de areas cuando c noesta entre a y b. En el caso c > b∫ b

cf(z)dz =

∫ b

af(z)dz −

∫ c

af(z)dz

equivale a

−∫ c

bf(z)dz =

∫ b

af(z)dz −

∫ c

af(z)dz

multiplicando por −1∫ c

bf(z)dz =

∫ c

af(z)dz −

∫ b

af(z)dz.

El area bajo la curva y = f(x) entre b y c es el area entre a y c menos el areaentre a y b.

Estas propiedades parecen ser utiles para el calculo de integrales; sin embargo,como se vera mas adelante son redundantes cuando se conocen los teoremasfundamentales del calculo y los metodos de integracion.

Ejemplos

1. Con el uso de las propiedades se puede generalizar la formula encontradaen los ejemplos anteriores,∫ b

azkdz =

∫ 0

azkdz +

∫ b

0zkdz =

∫ b

0zkdz −

∫ a

0zkdz =

bk+1

k + 1− ak+1

k + 1.

ii


i

ii

ii


a b c

Figura 6.6: La propiedad (1.7) cuando c > b equivale a queel area bajo la curva y = f(x) entre b y c es el area entre a

y c menos el area entre a y b.

Este resultado se cumple para todo k 6= −1, para probarlo, para k < 0se usa la generalizacion de la desigualdad (1.5) propuesta como ejercicio6 en la seccion 1.1.1.

2. Para calcular la integral∫ 21 (3x + 4)10dx en este punto hay dos posibles

caminos: hacer el desarrollo de (3x + 4)10 separar las sumas, sacar lasconstantes y luego usar la formula del ejercicio anterior para calcularcada una, o

∫ 2

1(3x + 4)10dx =

∫ 2+ 43

1+ 43

(3(x− 4

3) + 4)10dx =

∫ 103

73

310x10dx

= 310∫ 10

3

73

x10dx = 310

((103

)1111

−(73

)1111

).

Ejercicios

Calcular las integrales:

1.∫ 21 (5x− 3)10dx. 2.

∫ 52

W 3+3W+5W−1 dW .

6.4. Series e integrales impropias

Una serie es la sucesion de sumas parciales de otra sucesion, esto es, la seriegenerada por la sucesion {ft}∞t=T0

esta definida recursivamente por,

ST0 = fT0 , St = St−1 + ft

ii


i

ii

ii

6.4. SERIES E INTEGRALES IMPROPIAS 183

que equivale a

St =t∑

k=T0

fk.

El estudio de las series no es otra cosa que el estudio de las sucesiones {St}o{∑t

k=T0fk}

resultado de sumar parcialmente los terminos de la sucesion{ft}∞t=T0

, por esta razon todos los resultados sobre sucesiones son aplicables aseries.

Cuando la sucesion es la discretizacion de una funcion, segun la definicion deintegral definida, el valor de St esta cerca al valor de la integral

∫ tT0

f(x)dxpor lo que para cierto tipo de funciones la convergencia de la serie, esto es laexistencia del

lımt→∞

St = lımt→∞

t∑k=T0

fk,

que se nota∞∑

t=T0

ft,

esta estrechamente ligada a la convergencia del lımite de la integral

lımT→∞

∫ T

T0

f(x)dx,

conocida como integral impropia y que se nota∫ ∞T0

f(x)dx.

El estudio de la convergencia de series se divide en tres casos: cuando las seriesson de terminos positivos, que equivale a negativos, cuando son oscilantestermino a termino y generales. Las condiciones de convergencia para seriesde terminos positivos tiene su contraparte en la convergencia de integralesimpropias.

Las condiciones de convergencia pueden ser de tres tipos:

Necesarias (CN): si la serie (integral impropia) converge, entonces secumple la condicion.

Suficientes (CS): si se cumple la condicion, entonces la serie (integralimpropia) converge.

Equivalentes (CE): se cumple la condicion si y solo si la serie (integralimpropia) converge.

ii


i

ii

ii


La primera se usa en la forma: si la condicion no se cumple, entonces la serie(integral impropia) no converge (diverge).

La relacion entre series e integrales impropias esta dada por el:

Teorema 6.2 (Criterio integral). Si la sucesion {ft} es la discretizacion dela funcion f(x) integrable, monotona decreciente, no negativa y definida paratodo x ≥ T0, esto es, f(t) = ft. Entonces

∞∑t=T0

ft,

converge si y solo si ∫ ∞T0

f(x)dx.

converge.

La prueba solo requiere aplicar las definiciones de suma superior e inferior a laparticion {T0, T0 + 1, T0 + 2, ..., t} del intervalo [T0, t], dado que f es monotonadecreciente deducir que

t∑t=T0+1

ft ≤∫ t

T0

f(x)dx ≤t−1∑t=T0

ft

y tomar lımite cuando t→∞.

Teorema 6.3. Si la serie∑∞

t=T0ft converge, entonces

lımt→∞

ft = 0.

Demostracion. Esto se deduce al despejar ft en la definicion recursiva y tomarlımite,

lımt→∞

(St − St−1) = lımt→∞

ft. (6.8)

Si la serie converge,

lımt→∞

St = lımt→∞

St−1 = S.

Al reemplazar en la ecuacion (1.8) se tiene el resultado.

La aplicacion de este teorema se hace en la forma si

lımt→∞

ft

no es cero, entonces la serie∑∞

t=T0ft diverge.

ii


i

ii

ii


Teorema 6.4 (Criterio de comparacion). Sean ft y gt dos sucesiones de termi-nos no negativos tales que ft ≤ gt para todo t. Entonces

1. si la serie∑∞

t=T0gt converge, entonces la serie

∑∞t=T0

ft converge y

2. si la serie∑∞

k=T0ft diverge, entonces la serie

∑∞t=T0

gt diverge.

Demostracion. Como los sumandos son terminos no negativos, las sumas par-ciales

{∑tk=a fk

}y{∑t

k=T0gk}

son sucesiones monotonas crecientes. Paraprobar la primera parte basta con aplicar el teorema de Bolzano a la sucesion{∑t

k=T0fk}

que es una sucesion monotona creciente acotada superiormentepor

∑∞k=T0

gt; por tanto, convergente.

Para probar la segunda parte basta con tomar lımite en la desigualdad,

t∑k=T0

fk ≤t∑

k=T0

gk,

de donde,

lımt→∞

t∑k=T0

fk ≤ lımt→∞

t∑k=T0

gk.

Como el menor de estos diverge a ∞ el mayor tambien.

Teorema 6.5 (Criterio de comparacion por paso al lımite). Sean ft y gt dossucesiones de terminos positivos,

lımt→∞

ftgt

= c

cuando:

1. 0 < c < ∞, entonces la serie∑∞

k=T0gt converge si y solo si la serie∑∞

k=T0ft converge,

2. c = 0, si la serie∑∞

k=T0gt converge, entonces la serie

∑∞k=T0

ft convergey

3. c = ∞, si la serie∑∞

k=T0ft converge, entonces la serie

∑∞k=T0

gt con-verge.

Demostracion. Si

lımt→∞

ftgt

= c

ii


i

ii

ii


con 0 < c <∞, por la definicion de lımite, existe T tal que para t ≥ T ,∣∣∣∣ftgt − c

∣∣∣∣ < c

2

lo que equivale sucesivamente a,

− c

2<

ftgt− c <

c

2

c

2<

ftgt

<3c

2

c

2gt < ft <

3c

2gt

para todo t ≥ T . Por el teorema 1.4, si alguna de las series∑∞

k=T0ft o

∑∞k=T0

gtconverge la otra tambien.

Si

lımt→∞

ftgt

= 0

existe T tal que para t ≥ T , ftgt

< 1. Esto es, para todo t ≥ T , ft < gt y por el

criterio de comparacion si∑∞

k=T0gt converge

∑∞k=T0

ft converge.

De la misma forma si

lımt→∞

ftgt

=∞

existe T tal que para t ≥ T , ftgt

> 1. Esto es, para todo t ≥ T , ft > gt deaquı por el criterio de comparacion se obtiene el ultimo resultado.

Una forma mnemotecnica de aplicar el teorema 1.5 cuando se quiere analizar laconvergencia de una serie desconocida

∑∞k=T0

Dt y se sabe el comportamientode una conocida

∑∞k=T0

Ct, se calcula

lımt→∞

Dt

Ct= c.

Si

1. 0 < c <∞, entonces la desconocida se comporta de la misma forma quela conocida,

2. c = 0 y la conocida converge, la desconocida converge y

3. c =∞ y la conocida diverge, la desconocida diverge.

ii


i

ii

ii


En los demas casos no se puede concluir nada acerca del comportamiento dela serie desconocida.

Los criterios de comparacion tienen su analogo para integrales impropias quese dejan como ejercicio al lector.

Teorema 6.6 (Criterios de raız y cociente). Sea ft una sucesion de terminospositivos si

lımt→∞

t√

ft = R

y

1. R < 1, entonces la serie∑∞

k=T0ft converge,

2. R > 1, entonces la serie∑∞

k=T0ft diverge y

3. R = 1, el criterio no decide.

Un resultado identico se tiene si

lımt→∞

ft+1

ft= R.

Las pruebas de los criterios de la raız y el cociente estan mas alla del alcancede este texto y aunque el criterio de la raız es mas fino que el del cociente1

al nivel de estas notas son iguales, ya que la prueba de la no equivalencia deestos criterios usa los conceptos de lımite superior e inferior, sin embargo enla aplicacion en algunos casos es mas sencillo aplicar uno al otro.

Ejemplos.

1. Las siguientes series divergen

∞∑t=2

t

ln t,

∞∑t=1

tet

t3 + ln t,

∞∑t=0

3t2 + 4t + 2

t2 + t + 1,

∞∑t=0

(1 +

1

t

)−tya que las sucesiones que las generan no convergen a cero.

2. Las siguientes integrales impropias divergen∫ ∞0

x2 + x + 2

x2 + 1dx,

∫ ∞0

sin (u + 2)

1 + cosudu,

∫ ∞0

cos

(1

w

)dw,

porque lımx→∞ f(x) 6= 0 para cada una de la funciones f que se estanintegrando.

1Existen series para las que el criterio del cociente no es decisorio pero el de la raız sı,vease por ejemplo Spivak[?]

ii


i

ii

ii


3. La serie∞∑t=2

tk

cuando k > 0 diverge, puesto que lımt→∞ tk =∞ 6= 0. El analisis cuandok < 0 (k 6= −1) se puede hacer por el criterio integral

lımT→∞

∫ T

1xk = lım

T→∞

(T k+1 − 1

k + 1

)=

{0, si k + 1 < 0

∞, si k + 1 > 0.

esto hace parte de la prueba que la serie

∞∑t=2

1

ts

converge si y solo si s < 1.

Ejercicios.

1. Probar el teorema analogo al 1.3 para integrales impropias.

2. Analizar la convergencia de la sucesion definida inductivamente por lasecuaciones

a1 =1

2, at+1 =

1

2 + at.

En caso de converger encontrar el lımite.

3. Probar que si∑∞

t=1 at converge, la cola de la serie,∑∞

k=t+1 ak convergea cero.

4. Si at > 0 para t ∈ Z++. Probar o refutar las proposiciones:

a) Si∑∞

t=1 at diverge, entonces∑∞

t=11a2t

converge.

b) Si∑∞

t=1 at converge, entonces∑∞

t=1att converge.

6.5. Integrales indefinidas.

Si una funcion f es integrable en un intervalo [a, b], las propiedades de la inte-grales permiten probar que para cada x en el intervalo la funcion es integrableen [a, x] y [x, b] al hacer cada uno de estos calculos se obtiene una respuestaque depende de x, esto es un par de funciones una de ellas es

R(x) =

∫ x

af(z)dz

ii


i

ii

ii

6.5. INTEGRALES INDEFINIDAS. 189

definida para todo x en [a, b]. El teorema fundamental del calculo relaciona lasfunciones involucradas en esta ecuacion (f y R) y permite generar procesos,las tecnicas de integracion, para encontrar una a partir de la otra.

Teorema 6.7 (Teorema fundamental del calculo (TFC)). Sean f(x) una fun-cion integrable en el intervalo [a, b] y R(x) definida para x ∈ [a, b] por

R(x) =

∫ x

af(z)dz.

Si f es continua en x ∈ (a, b), R es derivable en x y

R′(x) = f(x).

Demostracion. Sean x ∈ (a, b) y h > 0 de forma que x+h ∈ (a, b). Al usar laspropiedades se tiene que

R(x + h)−R(x)

h=

∫ x+ha f(z)dz −

∫ xa f(z)dz

h=

∫ x+ha f(z)dz +

∫ ax f(z)dz

h

=

∫ x+hx f(z)dz

h.

Sean f(x∗h) = max{f(x) | x ∈ [x, x+h]} y f(xh∗) = mın{f(x) | x ∈ [x, x+h]},f(xh∗) ≤ f(x) ≤ f(x∗h) por la definicion de integral,

hf(xh∗) ≤∫ x+h

xf(z)dz ≤ hf(x∗h)

multiplicando por 1h

f(xh∗) ≤R(x + h)−R(x)

h=

∫ x+hx f(z)dz

h≤ f(x∗h).

Si la funcion f es continua en x,

lımh→0

f(xh∗) = lımh→0

f(x∗h) = f(x).

Cuando h < 0 basta invertir las desigualdades para llegar a la misma conclu-sion. Esto prueba que

R′(x) = lımh→0

R(x + h)−R(x)

h=

∫ x+hx f(z)dz

h= f(x).

ii


i

ii

ii


Segun todas las construcciones realizadas hasta aquı, si f es una funcion inte-grable en un intervalo [a, b], x ∈ [a, b],

R(x) =

∫ x

af(z)dz

y c es una constante que esta en ese intervalo. Como el valor de∫ ca f(z)dz es

una constante la ecuacion anterior se puede transformar en

R(x) =

∫ c

af(z)dz +

∫ x

cf(z)dz

y al transponer la primera integral

R(x)−∫ c

af(z)dz =

∫ x

cf(z)dz.

Esto es, la integral de la misma funcion con distintos lımites inferiores deter-minan respuestas que difieren de una constante, por esta razon a∫ x

af(z)dz

se le llama integral indefinida y se le nota∫f(x)dx.

Con esto se hace enfasis que su valor depende de x y que el valor del lımiteinferior afecta su calculo en una constante.

El teorema fundamental del calculo, aplicado al calculo de integrales indefini-das, permite ver el proceso de integracion como el inverso de la derivacion, esdecir, la antiderivacion que se puede enunciar en los siguientes terminos: Si∫

f(x)dx = R(x)

y f es una funcion continua, entonces

R′(x) = f(x).

Esto es, si la respuesta de integrar f(x) es R(x), entonces al derivar R(x) sedebe obtener f(x). Esta es en esencia la forma de comprobar que la respuestade una integral esta bien: la derivada de la respuesta debe ser la funcion quese estaba integrando.

Ası, si la derivada de 3x2−8x es 6x−8, una integral de 6x−8 es 3x2−8x; comola derivada de 3x2 − 8x + 5 es 6x− 8, otra integral de 6x− 8 es 3x2 − 8x + 5

ii


i

ii

ii


y como en general toda funcion de la forma 3x2 − 8x + k, donde k es unaconstante, tienen como derivada 6x− 8, entonces se tiene la relacion:∫

(6x− 8) dx = 3x2 − 8x + k.

La vision del TFC como un proceso de antiderivacion producen las siguientesformulas de integracion:

F1.∫cdu = cu + k.

F2.∫undu = un+1

n+1 + k, n 6= −1.

F3.∫eudu = eu + k.

F4.∫

1udu = ln |u|+ k.

Estas formulas junto con las propiedades:

P1.∫

(f ± g) =∫f ±

∫g. P2.

∫cf = c

∫f .

Las sumas y restas se pueden separar y las constantes se pueden sacar de laintegral, son las herramientas basicas de integracion.

Ejemplos.

1.∫ (

2x3 − 5x2 + 10x− 1)dx

=∫

2x3dx−∫

5x2dx +∫

10xdx−∫

1dx (propiedad P1)= 2

∫x3dx− 5

∫x2dx + 10

∫xdx−

∫1dx (propiedad P2)

= 2x4

4 − 5x3

3 + 10x2

2 − x + k. (formulas F1 y F2)

2.∫

x3+3x2+3x−25x4 dx = 1

5

∫ (x3 + 3x2 + 3x− 2

)x−4dx (propiedad P2)

= 15

∫ (x−1 + 3x−2 + 3x−3 − 2x−4

)dx

= 15

(∫1xdx +

∫3x−2dx +

∫3x−3dx−

∫2x−4dx

)(propiedad P1)

= 15

(∫1xdx + 3

∫x−2dx + 3

∫x−3dx− 2

∫x−4dx

)(propiedad P2)

= 15

(ln |x|+ 3

(x−1

−1

)+ 3

(x−2

−2

)− 2

(x−3

−3

))+ k. (formulas F2 y F4)

Las formulas anteriores se deben aplicar a la forma de la integral para poderlacalcular y para esto algunas veces es necesario hacer una sustitucion. Estemetodo se usa en integrales que tienen la forma∫

f(g(x))g′(x)dx

y para las cuales es imposible aplicar directamente una de las formulas. Alhacer u = g(x), du

dx = g′(x) y despejar du = g′(x)dx la integral se convierte en∫f(g(x))g′(x)dx =

∫f(u)du,

ii


i

ii

ii


la sustitucion se hace reemplazando una funcion cuya derivada esta contenidaen la integral.

Ejemplos.

1. Para calcular∫

(4x + 6) ex2+3x+5dx se hace u = x2 + 3x + 5, de donde

du = (2x + 3)dx, ası∫(4x + 6) ex

2+3x+5dx =

∫eu2du = 2

∫eudu = 2eu+k = 2ex

2+3x+5+k

se usa la formula F3. y se sustituye nuevamente el valor de u.

2. En∫

2x−1x2−x+10

dx se hace u = x2 − x + 10, du = 2x− 1 y,∫2x− 1

x2 − x + 10dx =

∫1

udu = lnu + k = ln

(x2 − x + 10

)+ k.

3.∫ (

3x2 + 5x− 1)√

x + 1dx tomando u = x + 1, du = dx y x = u − 1.Ası,∫ (

3x2 + 5x− 1)√

x + 1dx =

∫ (3 (u− 1)2 + 5 (u− 1)− 1

)√udu

=

∫ (3(u2 − 2u + 1

)+ 5 (u− 1)− 1

)u1/2du

=

∫ (3u2 − u− 3

)u1/2du

=

∫ (3u5/2 − u3/2 − 3u1/2

)du

= 3u7/2

7/2− u5/2

5/2− 3

u3/2

3/2+ k

=6 (x + 1)7/2

7− 2 (x + 1)5/2

5− 6 (x + 1)3/2

3+ k.

Ejercicios.

Calcular las siguientes integrales

1.∫ (

1 + 5x− x2)dx.

2.∫

12+5x−x2−x4

3x4 dx.

3.∫ee

xexdx.

4.∫

2x+2x2+2x+2

dx.

5.∫

ex+e2x+e3xdxe4x

.

6.∫

x2+2x√x+1

dx.

ii


i

ii

ii


7.∫x√x + 3dx.

8.∫

x2+2x√x+1

dx.

9.∫ (2x+2)dx√

x2+2x+5.

Otra tecnica proviene de la regla de derivacion para el producto de dos fun-ciones,

d(uv) = udv + vdu,

al integrar termino a termino y usar el TFC se tiene,

u · v =

∫udv +

∫vdu,

despues de transponer se convierte en,∫udv = u · v −

∫vdu

Esta formula, llamada formula de integracion por partes, se usa paracalcular integrales que contienen productos y que no se pueden efectuar porsustitucion. Para aplicarla se debe dividir el integrando en dos partes, una quese debe integrar (dv) y otra que se debe derivar (u).

Ejemplos.

1. Para calcular∫x2e−xdx, se toma u = x2, du = 2xdx, dv = e−xdx y

v = −e−x. ∫x2e−xdx = x2

(−e−x

)−∫

2x(−e−x

)dx

La integral∫

2x (−e−x) dx se desarrolla por partes tomando u = 2x ydu = 2dx, dv = −e−xdx y v = e−x. El desarrollo queda∫

x2e−xdx = x2(−e−x

)−∫

2x(−e−x

)dx

= x2(−e−x

)−(

2x(e−x)−∫

2(e−x)dx.

)Despues de calcular la ultima integral (nuevamente por partes u = 2,du = 0, dv = e−xdx y v = −e−x) se tiene,∫

x2e−xdx = x2(−e−x

)−∫

2x(−e−x

)dx

= x2(−e−x

)−(

2x(e−x)−∫

2(e−x)dx

)=

∫x2e−xdx = x2

(−e−x

)− 2x

(e−x)− 2

(e−x)

+ k

ii


i

ii

ii


Si se examina cuidadosamente el resultado se nota que la funcion ufue sucesivamente derivada hasta que se convirtio en cero y la dv fueintegrada sucesivamente el mismo numero de veces

u = x2 2x 2 0

dv = e−xdx − e−x e−x − e−x

El resultado del proceso de integracion es el producto de las diagonalescon los signos intercalados. Este proceso aunque no se puede aplicar atodas las integrales simplifica los calculos cuando se puede aplicar.

2.∫ (

3x2 + 5x− 2)e2x+3dx =

(3x2+5x−2)e2x+3

2 + (6x+5)e2x+3

4 + 6e2x+3

8 + kya que,

u = 3x2 + 5x− 2 6x + 5 6 0

dv = e2x+3dx (1/2)e2x+3 (1/4)e2x+3 (1/8)e2x+3

Puesto que los metodos de integracion dan los valores de las integrales in-definidas lo que sigue es usarlos para encontrar los valores de las integralesdefinidas, esto es hecho por el

Teorema 6.8 (Segundo teorema fundamental del calculo). Si∫f(x)dx = R(x),

entoncesb∫

a

f(x)dx = R(x)|ba = R(b)−R(a).

Este resultado dice que si se conoce el resultado de la integracion indefinida,el valor de la integral definida es la diferencia entre el valor de la respuesta enel lımite superior y el valor de la respuesta en el lımite inferior. Puesto que elresultado de la integral definida es la diferencia de estos valores la constantede integracion no afecta el valor ya que se cancela en el proceso.

Ejemplos.

Usando los ejemplos resueltos anteriormente

1.1∫−1

(2x3 − 5x2 + 10x− 1

)dx = 2x4

4 − 5x3

3 + 10x2

2 − x∣∣∣1−1

=(

214

4 − 513

3 + 1012

2 − 1)−(

2 (−1)44 − 5 (−1)3

3 + 10 (−1)22 − (−1)

).

ii


i

ii

ii


2.2∫1

x3+3x2+3x−25x4 dx = 1

5

(ln |x|+ 3

(x−1

−1

)+ 3

(x−2

−2

)− 2

(x−3

−3

))∣∣∣21

= 15

(ln |2|+ 3

(2−1

−1

)+ 3

(2−2

−2

)− 2

(2−3

−3

))−1

5

(ln |1|+ 3

(1−1

−1

)+ 3

(1−2

−2

)− 2

(1−3

−3

)).

3.3∫0

(4x + 6) ex2+3x+5dx = 2ex

2+3x+5∣∣∣30

= 2(e23 − e5

).

4.5∫1

2x−1x2−x+10

dx = ln(x2 − x + 10

)∣∣51

= ln 30− ln 10 = ln 3.

5.3∫−1

(3x2 + 5x− 1

)√x + 1dx = 6(x+1)7/2

7 − 2(x+1)5/2

5 − 6(x+1)31/2

3

∣∣∣3−1

=(6(4)7/2

7 − 2(4)5/2

5 − 6(4)31/2

3

)−(6(0)7/2

7 − 2(0)5/2

5 − 6(0)31/2

3

).

Ejercicios.

1. Calcular las integrales:

a)4∫−3

(1 + 5x− x2

)dx.

b)2∫1

12+5x−x2−x4

3x4 dx.

c)1∫0

eexexdx.

d)1∫−1

2x+2x2+2x+2

dx.

2. Imagine un activo que rinde una tasa de interes r% anual capitalizadocontinuamente con un tiempo de maduracion de T anos a partir de t = 0.Si el capital inicial es c0, encontrar la expresion del capital final a valorpresente.

notas de clase incompletas del curso md, prof. a. pecha..pdf

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