notas de clase - algebra lineal b sica · 2017. 9. 7. · ij = 0 para i6= j y a ii = α. ejem i n:=...

Matriz

DEF: Una matriz es un arreglo rectangular de numeros reales, llamadoscomponentes o elementos de la matriz, de la forma

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

La i-esima fila y la j-esima columna de la matriz A

(ai1 ai2 · · · ain

)y

a1ja2j...

amj

Algebra lineal Basica

Matriz

DEF: Una matriz es un arreglo rectangular de numeros reales, llamadoscomponentes o elementos de la matriz, de la forma

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

La i-esima fila y la j-esima columna de la matriz A

(ai1 ai2 · · · ain

)y

a1ja2j...

amj

Notacion: La matriz A la podemos denotar por[a1 a2 · · · an

]o tambien

por (aij), donde aij es la componente (i , j) de la matriz A, y es unnumero real.


Propiedades Importantes

La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;




La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.





La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.






La matriz escalar esta formada por matrices An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α.






La matriz escalar esta formada por matrices An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],







A =

1 0 0 05 2 0 0−2 0 1 0

︸︷︷︸

matriz triang inf.

B =

1/3 −1 4 10 −1 4 00 0 0 10 0 0 40 0 0 0

︸︷︷︸

matriz triang sup.

C =

0 0 00 −3 00 0 1

︸︷︷︸

matriz triang inf y sup







D =

−3 0 00 −3 00 0 −3

E =

1 0 00 1 00 0 1

︸︷︷︸

matrices escalares







Dos matrices son iguales, cuando todas sus componentes respectivas soniguales, y por tanto sus tamanos deben ser iguales.







Dos matrices son iguales, cuando todas sus componentes respectivas soniguales, y por tanto sus tamanos deben ser iguales.

PREG: las siguientes matrices son iguales

C =(−1 3 5

)y

−135


Suma y Producto por escalar de Matrices

SUMA Sean

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

y B =

b11 b12 · · · b1nb21 b22 · · · b2n...

.... . .

...bm1 bm2 · · · bmn

A+ B =

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n

......

. . ....

am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn



PRODUCTO POR ESCALAR Sea λ ∈ R y

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

. Entonces λA =

λa11 λa12 · · · λa1nλa21 λa22 · · · λa2n...

.... . .

...λam1 λam2 · · · λamn



EJEM Calcule A+ B y −2A si

A =

(1 2 −5−1 −3 0

)

B =

(−3 2 10 1 −2

)




A =

(1 2 −5−1 −3 0

)

B =

(−3 2 10 1 −2

)

PROPIEDADES (Ejer. 4 Taller3): Sean A,B y C matrices de tamanom × n y α, β ∈ R. Entonces

1) A+ B = B + A 2) (A+ B) + C = A+ (B + C )

3) α(A+ B) = αA+ αB 4) (α+ β)A = αA+ βA

5) ∃O : O + A = A+ O = A 6) ∃Z : A+ Z = Z + A = O (Z = −A)

7) (αβ)A = α(βA) = β(αA) 8) αA = O ⇔ α = 0 o A = O

9) 1A = A 10) 0A = O.




A =

(1 2 −5−1 −3 0

)

B =

(−3 2 10 1 −2

)

EJER Determine la matriz X tal que 3X − 2A+ B = 4B , donde

A =

0 −63 0−1 3

B =

−2 34 10 −1

Aquı X =

−2 −16 1

−2/3 1


Producto de Matrices

Dadas las matrices Am×n, y Bn×k , se define la matriz producto

AB = A[b1 b2 · · · bk ] = [Ab1 Ab2 · · ·Abk ]

la cual tiene orden m × k .



EJEM Dadas las matrices A =

1 −23 0−1 5

y B =

(−2 34 1

)

calculemos

AB = [Ab1 Ab2]



EJEM Sean J y N las matrices que resumen la informacion de las ventasrealizadas por Juliana y Natalia durante 1 mes.

Producto

abc

Juliana

17 3 10 04 5 8 225 15 30 10

Natalia

40 13 17 238 2 5 03 5 0 6

y la comision por articulo vendido esta dada porSemana

1234

Efectivo

12,52027,59,5

Especie

2315

a) Halle el total de las ventas realizadas.b) Si Juliana repite su esquema de ventas por 6 meses, el total de ventasde Juliana por ese periodo.c) La comision devengada por Natalia durante 1 mes.



OBS: componente (i , j) del producto AB es el producto escalar de lai-fila de la matriz A y la j-columna de la matriz B .

PROPIEDADES (Ejer. 14 y 16 Taller 3)1) (AB)C = A(BC ). 2) A(B + C ) = AB + AC

3) (A+ B)C = AC + BC 4) α(AB) = (αA)B = A(αB)Si A y B son matrices cuadradas y r , s ∈ Z

+

5) ArAs = Ar+s , 6)(Ar )s = Ars

7)(AB)r = ArB r , Si (AB = BA).


COSAS MUY IMPORTANTES DE MATRICES

En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutan



En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutanEJEM

AB =

(1 10 0

)(1 0−1 0

)

=

(0 00 0

)

BA =

(1 0−1 0

)(1 10 0

)

=

(1 1−1 −1

)




AB = O no implica que A o B sean la matriz O.EJEM

AB =

(1 10 0

)(1 0−1 0

)

=

(0 00 0

)




AB = O no implica que A o B sean la matriz O.

CA = CB (o AC = BC ) no implica que A = B .EJEM

(1 10 0

)(1 0−1 0

)

=

(0 00 0

)

=

(1 10 0

)(0 −20 2

)




AB = O no implica que A o B sean la matriz O.

CA = CB (o AC = BC ) no implica que A = B .

A2 = I no implica que A = ±I .EJEM (

2 1−3 −2

)(2 1−3 −2

)

=

(1 00 1

)


Matrices invertibles

No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .




EJEM si A =

(1 −10 0

)

no existe una matriz B =

(a b

c d

)

tal que

AB = I .(1 −10 0

)(a b

c d

)

=

(a− c b − d

0 0

)

6=

(1 00 1

)




EJEM si A =

(1 −10 0

)


(a b

c d

)

tal que

AB = I .(1 −10 0

)(a b

c d

)

=

(a− c b − d

0 0

)

6=

(1 00 1

)

DEF Se dice que la matriz A de tamano n × n es invertible, si y solo si,existe una matriz B tal que

AB = BA = I .

A esta matriz B , la llamamos inversa de A y la denotamos por B := A−1

PREG Es la matriz inversa unica?




EJEM si A =

(1 −10 0

)


(a b

c d

)

tal que

AB = I .(1 −10 0

)(a b

c d

)

=

(a− c b − d

0 0

)

6=

(1 00 1

)


AB = BA = I .


PREG Es la matriz inversa unica? Como determinar que una matriz esinvertible?




EJEM si A =

(1 −10 0

)


(a b

c d

)

tal que

AB = I .(1 −10 0

)(a b

c d

)

=

(a− c b − d

0 0

)

6=

(1 00 1

)


AB = BA = I .


PREG Es la matriz inversa unica? Como determinar que una matriz esinvertible? es necesario encontrar explıcitamente una inversa?




EJEM si A =

(1 −10 0

)


(a b

c d

)

tal que

AB = I .(1 −10 0

)(a b

c d

)

=

(a− c b − d

0 0

)

6=

(1 00 1

)


AB = BA = I .


PREG Es la matriz inversa unica? Como determinar que una matriz esinvertible? es necesario encontrar explıcitamente una inversa? Comocalcular una inversa de una matriz?


Unicidad de la inversa

TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.




DEM Sean B y C matrices inversas de A. Ası que

AB = BA = I , AC = CA = I






Ahora, observe que

C (AB) = CI






Ahora, observe que

C (AB) = CI

(CA)B = C






Ahora, observe que

C (AB) = CI

(CA)B = C

IB = C






Ahora, observe que

C (AB) = CI

(CA)B = C

IB = C

B = C .




Como determinar si una matriz es invertible?.




Como determinar si una matriz es invertible?. Si existe una matrizB = [b1 b2 . . . bn], tal que

AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].





AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].

En otras palabras, tenemos que determinar si los sistemas de ecuacioneslineales

Ab1 = e1, Ab2 = e2, . . . , Abn = en

tienen solucion.





AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].


Ab1 = e1, Ab2 = e2, . . . , Abn = en

tienen solucion. Para esto, podemos escalonar las matrices

[A : e1], [A : e2], . . . , [A : en]

y encontrar n pivotes.





AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].


Ab1 = e1, Ab2 = e2, . . . , Abn = en

tienen solucion. Para esto, podemos escalonar las matrices

[A : e1], [A : e2], . . . , [A : en]

y encontrar n pivotes. De ser necesario calcular A−1, aplicamosAlgoritmo Eliminacion de Gauss + Sustitucion hacia atras a la matrizaumentada conjunta

[A : e1 e2 · · · en] = [A : I ]


Propiedades algebraicas de A−1

TEO (Ejer. 18 Taller 3 probar la igualdad que falta en cada item): SeanA y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N, entonces

1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.





DEM Para demostrar que A−1 es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que A−1C = I .





DEM Para demostrar que A−1 es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que A−1C = I . Si tomamos C = A, tenemos

A−1A = I .

Ası que A−1 es invertible y su inversa (que es unica) es A. En otraspalabras, (A−1)−1 := C = A.





2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.






DEM Para demostrar que λA es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que

(λA)C = I .






DEM Para demostrar que λA es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que

(λA)C = I . Si tomamos C = 1

λA−1 entonces

C (λA) =( 1

λA−1

)

(λA) =( 1

λλ)

(A−1A) = I

Ası que λA es invertible y (λA)−1 := C = 1λA−1






3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1







DEM Para demostrar que AB es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (AB)C = I .







DEM Para demostrar que AB es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (AB)C = I . Si tomamos C = B−1A−1

entonces

(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I .

Ası que AB es invertible y (AB)−1 := C = B−1A−1







4 Am tambien es invertible y (Am)−1 = (A−1)m.








DEM Para demostrar que Am es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (Am)C = I .








DEM Para demostrar que Am es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (Am)C = I . Si tomamos C = (A−1)m

entonces(Am)(A−1)m = (AA−1)m = Im = I .

Ası que Am es invertible y (Am)−1 := C = (A−1)m


Equivalencia de la invertibilidad

TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes

1 La matriz A es invertible.

2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.

3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.

4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).

5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.




1 La matriz A es invertible.2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.

DEM (1) ⇒ (2) Veamos primero que x = A−1b es solucion del sistemaAx = b y luego, que esta solucion es la unica.






A(A−1b) = (AA−1)b = Ib = b.






A(A−1b) = (AA−1)b = Ib = b.

Ahora, supongamos que y es otra solucion de Ax = b. Ası, Ay = b y

A−1(Ay) = A−1b

(A−1A)y = A−1b

Iy = x ⇒ y = x









DEM (2) ⇒ (3) Teniendo en cuenta que si h es solucion del sistemahomogeneo Ax = 0 y x = A−1b es solucion del sistema Ax = b, entoncesx+ h es tambien solucion de Ax = b,









DEM (2) ⇒ (3) Teniendo en cuenta que si h es solucion del sistemahomogeneo Ax = 0 y x = A−1b es solucion del sistema Ax = b, entoncesx+ h es tambien solucion de Ax = b, como la solucion es unica, entoncesx = x+ h; por lo tanto, h = 0; es decir, el vector 0 es la unica solucionde Ax = 0.









DEM (3) ⇒ (4) Si Ax = 0 tiene solucion unica, entonces las columnas dela matriz A son l .i . (Pues, recuerde queAx = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan = 0 y aquı xi = 0 )









DEM (4) ⇒ (5) si las columnas de la matriz A son l .i . entonces todaforma escalonada de A tiene n pivotes.









DEM (5) ⇒ (1) Si una forma escalonada equivalente a A tiene n pivotes,todas sus filas tienen pivotes; por lo tanto,el sistema Ax = b tienesolucion para cualquier b;









DEM (5) ⇒ (1) Si una forma escalonada equivalente a A tiene n pivotes,todas sus filas tienen pivotes; por lo tanto,el sistema Ax = b tienesolucion para cualquier b; en particular, los sistemas

Ax1 = e1, Ax1 = e2, Ax3 = e3, Axn = en

tienen solucion. Pero, por definicion, la matriz inversaA−1 = [x1 x2 · · · xn], ası que la inversa de A existe, por tanto A esinvertible.









CORO Si la matriz AB es invertible y las matrices A y B son cuadradas,entonces las matrices A y B son invertibles.










DEM (contradiccion) Supongamos que la matriz B no es invertible, luegoexiste x 6= 0 tal que Bx = 0,










DEM (contradiccion) Supongamos que la matriz B no es invertible, luegoexiste x 6= 0 tal que Bx = 0, por lo tanto, existe x 6= 0 tal que ABx = 0,es decir AB no es invertible lo cual no es posible.










DEM (contradiccion) si la matriz B es invertible y la matriz A no,entonces existe y 6= 0 tal que Ay = 0. Sea x = B−1y, como y 6= 0,entonces x 6= 0. Ademas, ABx = AB(B−1y) = Ay = 0 entonces AB noes invertible, lo cual no es posible.


Transposicion de Matrices



DEF La transpuesta de una matriz A, de tamano m× n, es la matriz AT ,de tamano n ×m, que se obtiene tomando la i-esima columna de AT

como la i-esima fila de A; es decir, si A = (aij), entonces AT = (aji ).





EJEM Encontremos las transpuestas de las siguientes matrices

A =

(1 3 −1

−2 0 5

)

, B =

(1 −2 3

3 0 −1

−1 5 7

)

, C =

(2

3

−5

)

, D = (3 −1 0)






A =

(1 3 −1

−2 0 5

)

, B =

(1 −2 3

3 0 −1

−1 5 7

)

, C =

(2

3

−5

)

, D = (3 −1 0)

OBS:

u · v =

u1u2...un

·

v1v2...vn

= u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

=(u1 u2 · · · un

)

v1v2...vn

= uTv






A =

(1 3 −1

−2 0 5

)

, B =

(1 −2 3

3 0 −1

−1 5 7

)

, C =

(2

3

−5

)

, D = (3 −1 0)

OBS: eTi Aej = aij . Ejer. 21 Taller 3


TEO: (Ejer 24 Taller 3) Sean A y B matrices tales que las operacionesindicadas estan bien definidas y λ es un numero real (escalar). Entonces,

1 (AT )T = A.

2 (A+ B)T = AT + BT .

3 (λA)T = λAT .

4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)

5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .



1 (AT )T = A.

2 (A+ B)T = AT + BT .

3 (λA)T = λAT .



DEM (4)



1 (AT )T = A.

2 (A+ B)T = AT + BT .

3 (λA)T = λAT .



DEM (4) Si Am×n, Bn×p entonces (AB)m×p.



1 (AT )T = A.

2 (A+ B)T = AT + BT .

3 (λA)T = λAT .



DEM (4) Si Am×n, Bn×p entonces (AB)m×p. Ası, (BT )p×n y (AT )n×m,

de tal forma que el producto (BTAT )p×m, al igual que (AB)T .



1 (AT )T = A.

2 (A+ B)T = AT + BT .

3 (λA)T = λAT .



DEM (4) Si Am×n, Bn×p entonces (AB)m×p. Ası, (BT )p×n y (AT )n×m,

de tal forma que el producto (BTAT )p×m, al igual que (AB)T .

((AB)T )ij = (AB)ji

= Filaj(A) · Columi (B) = Columj(AT ) · Filai (B

T )

= Filai (BT ) · Columj(A

T )

= (BTAT )ij .



1 (AT )T = A.

2 (A+ B)T = AT + BT .

3 (λA)T = λAT .



DEM (5) Puesto que A es invertible, existe A−1, tal que A−1A = I .



1 (AT )T = A.

2 (A+ B)T = AT + BT .

3 (λA)T = λAT .



DEM (5) Puesto que A es invertible, existe A−1, tal que A−1A = I .Ahora, por la Propiedad 4,

AT (A−1)T = (A−1A)T = IT = I .



1 (AT )T = A.

2 (A+ B)T = AT + BT .

3 (λA)T = λAT .



DEM (5) Puesto que A es invertible, existe A−1, tal que A−1A = I .Ahora, por la Propiedad 4,

AT (A−1)T = (A−1A)T = IT = I .

Ası, que AT es invertible y su inversa es (AT )−1 = (A−1)T .


DEF Una Matriz A de tamano n × n es simetrica, si y solo si, es igual asu transpuesta; es decir, si y solo si,

A = AT



A = AT

EJEM Determine cuales son matrices simetricas

(1 −3

−3 0

)

,

(1 0 0

0 1/2 0

0 0 −7

)

,

(0 1 4

−1 1 −2

−4 2 5

)

,

(0 −1 4 −7

−1 1 −2 0

−4 −2 5 0, 5

)



A = AT


(1 −3

−3 0

)

,

(1 0 0

0 1/2 0

0 0 −7

)

,

(0 1 4

−1 1 −2

−4 2 5

)

,

(0 −1 4 −7

−1 1 −2 0

−4 −2 5 0, 5

)

PREG Si Am×n, entonces AAT es una matriz simetrica?.



A = AT


(1 −3

−3 0

)

,

(1 0 0

0 1/2 0

0 0 −7

)

,

(0 1 4

−1 1 −2

−4 2 5

)

,

(0 −1 4 −7

−1 1 −2 0

−4 −2 5 0, 5

)

PREG Si Am×n, entonces AAT es una matriz simetrica?. SI, pues

(AAT )T = (AT )TAT = AAT

.


Matrices Elementales

¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.




Escalonamiento Eliminacion Permutacion

cF2 → F2 F2 + cF1 → F2 F1 ↔ F3

Veremos que aplicar una operacion elemental a una matriz A esequivalente a pre-multiplicar A por una matriz llamada elemental.





cF2 → F2 F2 + cF1 → F2 F1 ↔ F3


DEF Llamamos matriz elemental, a la matriz que se obtiene de aplicaruna operacion elemental entre filas a la matriz identidad I .





cF2 → F2 F2 + cF1 → F2 F1 ↔ F3


DEF Llamamos matriz elemental, a la matriz que se obtiene de aplicaruna operacion elemental entre filas a la matriz identidad I .

EJEM

E1 =

(1 0 0

0 5 0

0 0 1

)

, E2 =

(1 0

−3 1

)

, E3 =

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1


Propiedades de las matrices

Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.




EJEM Sea

A =

(0 0 2

3 −1 0

)

, F1 ↔ F2 A1 =

(3 −1 0

0 0 2

)




EJEM Sea

A =

(0 0 2

3 −1 0

)

, F1 ↔ F2 A1 =

(3 −1 0

0 0 2

)

Pre-multipliquemos la matriz A por E1

E1 =

(0 1

1 0

)




EJEM Sea

A =

(0 0 2

3 −1 0

)

, F1 ↔ F2 A1 =

(3 −1 0

0 0 2

)


E1A =

(0 1

1 0

)(0 0 2

3 −1 0

)

=

(3 −1 0

0 0 2

)

= A1




EJEM Sea

A =

(0 0 2

3 −1 0

)

, F1 ↔ F2 A1 =

(3 −1 0

0 0 2

)


E1A =

(0 1

1 0

)(0 0 2

3 −1 0

)

=

(3 −1 0

0 0 2

)

= A1

B =

(1 2 −1

0 −1 1

0 2 5

)

, F3 + 2F2 → F3 B1 =

(1 2 −1

0 −1 1

0 0 7

)




EJEM Sea

A =

(0 0 2

3 −1 0

)

, F1 ↔ F2 A1 =

(3 −1 0

0 0 2

)


E1A =

(0 1

1 0

)(0 0 2

3 −1 0

)

=

(3 −1 0

0 0 2

)

= A1

B =

(1 2 −1

0 −1 1

0 2 5

)

, F3 + 2F2 → F3 B1 =

(1 2 −1

0 −1 1

0 0 7

)

Pre-multipliquemos la matriz B por E1

E2 =

(1 0 0

0 1 0

0 2 1

)




EJEM Sea

A =

(0 0 2

3 −1 0

)

, F1 ↔ F2 A1 =

(3 −1 0

0 0 2

)


E1A =

(0 1

1 0

)(0 0 2

3 −1 0

)

=

(3 −1 0

0 0 2

)

= A1

B =

(1 2 −1

0 −1 1

0 2 5

)

, F3 + 2F2 → F3 B1 =

(1 2 −1

0 −1 1

0 0 7

)

Pre-multipliquemos la matriz B por E1

E2A =

(1 0 0

0 1 0

0 2 1

)(1 2 −1

0 −1 1

0 2 5

)

=

(1 2 −1

0 −1 1

0 0 7

)

= B1


Inversas de matrices elementales





E1 =

(1 0

−3 1

)

, E2 =

(1 0 0

0 5 0

0 0 1

)

, E3 =

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1




E1 =

(1 0

−3 1

)

, E2 =

(1 0 0

0 5 0

0 0 1

)

, E3 =

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

E−11 =

(1 0

3 1

)

, E−12 =

(1 0 0

0 1/5 0

0 0 1

)

, E−13 =

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

= E3




E1 =

(1 0

−3 1

)

, E2 =

(1 0 0

0 5 0

0 0 1

)

, E3 =

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

E−11 =

(1 0

3 1

)

, E−12 =

(1 0 0

0 1/5 0

0 0 1

)

, E−13 =

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

= E3

Ejer. 29 Taller 3


E cFi → Fi Fi + cFj → Fi Fi ↔ Fj

E−1 1cFi → Fi Fi − cFj → Fi Fj ↔ Fi




E1 =

(1 0

−3 1

)

, E2 =

(1 0 0

0 5 0

0 0 1

)

, E3 =

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

E−11 =

(1 0

3 1

)

, E−12 =

(1 0 0

0 1/5 0

0 0 1

)

, E−13 =

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

= E3

OBS: En general el producto de matrices elementales no esconmutativo. Pero si multiplico matrices elementales de tipo eliminacionsi se cumple la propiedad conmutativa.


Escalonar con matrices elementales

EJEM Calculemos una matriz U de forma escalonada equivalente a A, ylas matrices elementales E1, . . . ,Ek , tales que

Ek . . .E1 A = U.




Ek . . .E1 A = U.

A =

(1 −1 2 3

1 2 −1 −3

0 2 −2 1

)

,F2 − F1 → F2

F3 −2

3F2 → F3

U =

(1 −1 2 3

0 3 −3 −6

0 0 0 5

)




Ek . . .E1 A = U.

A =

(1 −1 2 3

1 2 −1 −3

0 2 −2 1

)

,F2 − F1 → F2

F3 −2

3F2 → F3

U =

(1 −1 2 3

0 3 −3 −6

0 0 0 5

)

Ası que, la matriz A cuando aplicamos eliminacion de Gauss esequivalente

1 0 0

0 1 0

0 −23

1

︸︷︷︸

E2

1 0 0

−1 1 0

0 0 1

︸︷︷︸

E1

1 −1 2 3

1 2 −1 −3

0 2 −2 1

︸︷︷︸

A

=

1 −1 2 3

0 3 −3 −6

0 0 0 5

︸︷︷︸

U




Ek . . .E1 A = U.

A =

(1 −1 2 3

1 2 −1 −3

0 2 −2 1

)

,F2 − F1 → F2

F3 −2

3F2 → F3

U =

(1 −1 2 3

0 3 −3 −6

0 0 0 5

)

y si aplicamos eliminacion Gauss-Jordan la matriz A (no invertible) esequivalente

(E7E6E5E4)(E3E2E1)A =

1 0 1 00 1 −1 00 0 0 1

a una matriz U cuyas columnas pivotales (primera, segunda y cuarta) sonprecisamente e1, e2 y e3.Ejer: Halle explıcitamente E4,E5,E6,E7


Caracterizacion de la inversa en termino de matrices

elementales

TEO Una matriz An×n es invertible, si y solo si, la matriz A es elproducto de matrices elementales.



elementales


DEM ⇒ Si la matriz A es invertible, entonces aplicando (Eliminacion deGauss+Jordan)=matriz I , es decir, existen matrices elementalesE1,E2, . . . ,Ek , tales que

Ek · · ·E2E1A = I ⇔ A = E−11 E−1

2 · · ·E−1k I



elementales


DEM ⇒ Si la matriz A es invertible, entonces aplicando (Eliminacion deGauss+Jordan)=matriz I , es decir, existen matrices elementalesE1,E2, . . . ,Ek , tales que

Ek · · ·E2E1A = I ⇔ A = E−11 E−1

2 · · ·E−1k I

⇐ si A = E1E2 · · ·Er entonces A es invertible pues el producto dematrices invertibles


Factorizacion LU y su utilidad

Aplicando Eliminacion de Gauss con solo operaciones elementales de tipoeliminacion a una matriz A logramos encontrar matrices elementales Ei

tal que

Ek · · ·E1A = U ⇒ A = E−11 E−1

2 · · ·E−1k

︸︷︷︸

L

U = LU,

donde U es una matriz triangular superior y L = E−11 · · ·E−1

k es unamatriz triangular inferior, cuadrada e invertible, con unos en la diagonal.




tal que

Ek · · ·E1A = U ⇒ A = E−11 E−1

2 · · ·E−1k

︸︷︷︸

L

U = LU,


k es unamatriz triangular inferior, cuadrada e invertible, con unos en la diagonal.

Si A = LU, el sistema Ax = b se convierte en

b = Ax = LUx = L(Ux) = Ly,

donde Ux = y por lo tanto, para calcular x, primero resolvemos Ly = b ya continuacion resolvemos Ux = y.




tal que

Ek · · ·E1A = U ⇒ A = E−11 E−1

2 · · ·E−1k

︸︷︷︸

L

U = LU,


k es unamatriz triangular inferior, cuadrada e invertible, con unos en la diagonal.OBS1: L no requiere calculos adicionales como parece hacer ver laformula que la define. L es muy facil de obtener ya que el producto dematrices elementales de tipo eliminacion es una superposicion deescalares sobre una matriz identidad.




tal que

Ek · · ·E1A = U ⇒ A = E−11 E−1

2 · · ·E−1k

︸︷︷︸

L

U = LU,


k es unamatriz triangular inferior, cuadrada e invertible, con unos en la diagonal.OBS1: L no requiere calculos adicionales como parece hacer ver laformula que la define. L es muy facil de obtener ya que el producto dematrices elementales de tipo eliminacion es una superposicion deescalares sobre una matriz identidad.OBS2: si en la eliminacion de Gauss se utilizan operaciones de tipopermutacion se obtiene otro tipo de factorizacion conocida como PLU

esto es, PA = LU, donde P es una matriz permutacion, L una matriztriangular inferior y U es una triangular superior.


Utilidad de LU

EJEM Sea A =

6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3

y b =

−88−5

Encontremos la

factorizacion LU de A y luego calculemos las soluciones de Ax = b.


Utilidad de LU

EJEM Sea A =

6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3

y b =

−88−5

Encontremos la


SOL Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales

F2 + F1 → F2

F3 −23F1 → F3

F3 +34F2 → F3

U =

(6 −3 0 3

0 0 8 0

0 0 0 1

)


Utilidad de LU

EJEM Sea A =

6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3

y b =

−88−5

Encontremos la



F2 + F1 → F2

F3 −23F1 → F3

F3 +34F2 → F3

U =

(6 −3 0 3

0 0 8 0

0 0 0 1

)

Las matrices elementales utilizadas, en su orden, son

E1 =

(1 0 0

1 1 0

0 0 1

)

E2 =

(1 0 0

0 1 0

−2/3 0 1

)

E3 =

(1 0 0

0 1 0

0 3/4 1

)


Utilidad de LU

EJEM Sea A =

6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3

y b =

−88−5

Encontremos la



F2 + F1 → F2

F3 −23F1 → F3

F3 +34F2 → F3

U =

(6 −3 0 3

0 0 8 0

0 0 0 1

)


E1 =

(1 0 0

1 1 0

0 0 1

)

E2 =

(1 0 0

0 1 0

−2/3 0 1

)

E3 =

(1 0 0

0 1 0

0 3/4 1

)

Por tanto L = E−11 E−1

2 E−13 , es decir,

L =

(1 0 0

−1 1 0

0 0 1

)(1 0 0

0 1 0

2/3 0 1

)(1 0 0

0 1 0

0 −3/4 1

)

=

(1 0 0

−1 1 0

2/3 −3/4 1

)


Utilidad de LU

EJEM Sea A =

6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3

y b =

−88−5

Encontremos la



F2 + F1 → F2

F3 −23F1 → F3

F3 +34F2 → F3

U =

(6 −3 0 3

0 0 8 0

0 0 0 1

)


E1 =

(1 0 0

1 1 0

0 0 1

)

E2 =

(1 0 0

0 1 0

−2/3 0 1

)

E3 =

(1 0 0

0 1 0

0 3/4 1

)

Por tanto L = E−11 E−1

2 E−13 , es decir,

L =

(1 0 0

−1 1 0

0 0 1

)(1 0 0

0 1 0

2/3 0 1

)(1 0 0

0 1 0

0 −3/4 1

)

=

(1 0 0

−1 1 0

2/3 −3/4 1

)

Ahora, resolvemos Ly = b mediante sustitucion hacia adelanteAlgebra lineal Basica

Utilidad LU

Luego, la solucion de Ly = b es y = (−8 0 1/3)T .


Utilidad LU

Luego, la solucion de Ly = b es y = (−8 0 1/3)T . Continuamosresolviendo el sistema Ux = y usando sustitucion hacia atras.

6 −3 0 3 −80 0 8 0 00 0 0 1 1/3

Sol =

− 32 + 1

2 t

t

013


Utilidad LU


6 −3 0 3 −80 0 8 0 00 0 0 1 1/3

Sol =

− 32 + 1

2 t

t

013

OBS: La ventaja de la factorizacion LU no la apreciamos hasta quenecesitamos resolver un sistema de ecuaciones lineales despues de haberresuelto otro que esta relacionado con el. Por ejemplo, el metodo simplexque se utiliza para resolver problemas de programacion a veces necesitaresolver primero Ax = b y despues ATx = b. En el siguiente ejerciciopodremos visualizar la ventaja de la descomposicion LU.


Utilidad LU


6 −3 0 3 −80 0 8 0 00 0 0 1 1/3

Sol =

− 32 + 1

2 t

t

013

EJEM Encontremos dos vectores x e z de R4 tales que Ax = b y

zTA = cT , donde

A =

2 −1 3 0−2 4 −3 50 9 −1 184 −5 1 8

, b =

−5102113

, c =

2−415

Observe que zTA = cT equivale a AT z = c, Luego tenemos que resolverdos sistemas, Ax = b y AT z = c


Utilidad LU


Utilidad LU

(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales

F2 + F1 → F2

F4 − 2F1 → F4

F3 − 3F2 → F3

F4 + F2 → F4

F4 − 5F3 → F4

[U|y ] =

2 −1 3 0 −5

0 3 0 5 5

0 0 −1 3 6

0 0 0 −2 −2


Utilidad LU


F2 + F1 → F2

F4 − 2F1 → F4

F3 − 3F2 → F3

F4 + F2 → F4

F4 − 5F3 → F4

[U|y ] =

2 −1 3 0 −5

0 3 0 5 5

0 0 −1 3 6

0 0 0 −2 −2

x =

20−31


Utilidad LU


F2 + F1 → F2

F4 − 2F1 → F4

F3 − 3F2 → F3

F4 + F2 → F4

F4 − 5F3 → F4

[U|y ] =

2 −1 3 0 −5

0 3 0 5 5

0 0 −1 3 6

0 0 0 −2 −2

x =

20−31

(AT z = c) Escalonamos la matriz AT usando operaciones elementales

F2 +1

2F1 → F2

F3 −3

2F1 → F3

F4 −5

3F2 → F4

F4 + 3F3 → F4

[V |r ] =

2 −2 0 4 2

0 3 9 −3 −3

0 0 −1 −5 −2

0 0 0 −2 4


Utilidad LU


F2 + F1 → F2

F4 − 2F1 → F4

F3 − 3F2 → F3

F4 + F2 → F4

F4 − 5F3 → F4

[U|y ] =

2 −1 3 0 −5

0 3 0 5 5

0 0 −1 3 6

0 0 0 −2 −2

x =

20−31

(AT z = c) Escalonamos la matriz AT usando operaciones elementales

F2 +1

2F1 → F2

F3 −3

2F1 → F3

F4 −5

3F2 → F4

F4 + 3F3 → F4

[V |r ] =

2 −2 0 4 2

0 3 9 −3 −3

0 0 −1 −5 −2

0 0 0 −2 4

z =

−34−3912−2


Utilidad LU


F2 + F1 → F2

F4 − 2F1 → F4

F3 − 3F2 → F3

F4 + F2 → F4

F4 − 5F3 → F4

[U|y ] =

2 −1 3 0 −5

0 3 0 5 5

0 0 −1 3 6

0 0 0 −2 −2

x =

20−31

A partir de las matrices elementales asociadas encontramos que

L = E−11 E−1

2 E−13 E−1

4 E−15 =


Utilidad LU


F2 + F1 → F2

F4 − 2F1 → F4

F3 − 3F2 → F3

F4 + F2 → F4

F4 − 5F3 → F4

[U|y ] =

2 −1 3 0 −5

0 3 0 5 5

0 0 −1 3 6

0 0 0 −2 −2

x =

20−31


L = E−11 E−1

2 E−13 E−1

4 E−15 =

1 0 0 0

−1 1 0 0

0 3 1 0

2 −1 5 1


Utilidad LU


F2 + F1 → F2

F4 − 2F1 → F4

F3 − 3F2 → F3

F4 + F2 → F4

F4 − 5F3 → F4

[U|y ] =

2 −1 3 0 −5

0 3 0 5 5

0 0 −1 3 6

0 0 0 −2 −2

x =

20−31


L = E−11 E−1

2 E−13 E−1

4 E−15 =

1 0 0 0

−1 1 0 0

0 3 1 0

2 −1 5 1

Como A = LU, entonces Ax = L(Ux) = Ly = b usando Sust Adeltenemos y = (−5 5 6 − 2)T y, mediante Sust Atras, el sistema Ux = y,para obtener que x = (2 0 − 3 1)T .


Utilidad LU


F2 + F1 → F2

F4 − 2F1 → F4

F3 − 3F2 → F3

F4 + F2 → F4

F4 − 5F3 → F4

[U|y ] =

2 −1 3 0 −5

0 3 0 5 5

0 0 −1 3 6

0 0 0 −2 −2

x =

20−31


L = E−11 E−1

2 E−13 E−1

4 E−15 =

1 0 0 0

−1 1 0 0

0 3 1 0

2 −1 5 1

Como A = LU, entonces Ax = L(Ux) = Ly = b usando Sust Adeltenemos y = (−5 5 6 − 2)T y, mediante Sust Atras, el sistema Ux = y,para obtener que x = (2 0 − 3 1)T .

Como AT = UTLT , entonces AT z = UT (LT z) = UTw = c usando SustAdel tenemos w = (1 − 1 2 − 2)T y, mediante Sust Atras, el sistemaLT z = w, para obtener que z = (−34 − 39 12 − 2)T .


Determinantes

DEF Dada una matriz An×n, definimos (Mij)n−1×n−1 sub-matriz queresulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. Mij es llamadamenor (i , j) de A.

EJEM Encuentre los menores M23 y M32 de la matriz

A =

1 1 12 3 11 −1 −2

,


Determinantes



A =

1 1 12 3 11 −1 −2

, SOL M23 =

(1 11 −1

)

M32 =

(1 12 1

)


Determinantes



A =

1 1 12 3 11 −1 −2

, SOL M23 =

(1 11 −1

)

M32 =

(1 12 1

)

DEF Dada una matriz An×n, definimos Aij , el cofactor (i , j) de A, como

Aij = (−1)i+jdetMij .


Determinantes



A =

1 1 12 3 11 −1 −2

, SOL M23 =

(1 11 −1

)

M32 =

(1 12 1

)

DEF Dada una matriz An×n, definimos Aij , el cofactor (i , j) de A, como

Aij = (−1)i+jdetMij .

DEF Sea An×n = (aij). Definimos el determinante de una matriz A como

det (A) = a11detM11 − a12detM12 + · · ·+ (−1)1+na1ndetM1n

= a11A11 + a12A12 + · · ·+ (−1)1+na1nA1n


Determinantes

Desarrollo o Expansion de Laplace

TEO Dada A = (aij) una matriz n × n,

detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin Usando Fila i

detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj Usando Columna j


Determinantes





CORO Dada A, una matriz n × n, detA = detAT


Determinantes





CORO Dada A, una matriz n × n, detA = detAT

EJEM Calculemos el determinante de

A =

1 1 12 3 11 −1 −2

y B =

1 0 0 02 3 0 01 −1 −2 07 1/2 4 −1


Propiedades importantes

TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.




DEM: Por induccion sobre el tamano de n.




DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2, se cumple

detA(2) =a 0c d

= ad − 0c = ad .





detA(2) =a 0c d

= ad − 0c = ad .

(H. Ind) Supongamos que el resultado es valido para An−1. Es decir,

detAn−1 =

a11 0 · · · 0

a21 a22 · · · 0

.

.

....

. . ....

an−1 1 an−1 2 · · · an−1 n−1

= a11a22 · · · an−1 n−1.

Veamos es cierto para A(n).





detA(2) =a 0c d

= ad − 0c = ad .

(H. Ind) Supongamos que el resultado es valido para An−1. Es decir,

detAn−1 =

a11 0 · · · 0

a21 a22 · · · 0

.

.

....

. . ....

an−1 1 an−1 2 · · · an−1 n−1

= a11a22 · · · an−1 n−1.

Veamos es cierto para A(n).

detA(n) =

a11 0 · · · 0

a21 a22 · · · 0

.

.

....

. . ....

an1 an2 · · · ann

= a11

a21 0 · · · 0

a31 a32 · · · 0

.

.

....

. . ....

an1 an2 · · · ann

= a11(a22 · · · ann)


TEO Dada A, una matriz n × n,

1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.

DEM: Sea la Fi = (0, 0, . . . , 0), Calculemos el detA usando la Fi

detA = 0Ai1 + 0Ai2 + · · ·+ 0Ain = 0




2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.





DEM: Por induccion sobre el tamano de n.





DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2 se cumple

det (A(2)) =a b

c d= ad − bc det (B(2)) =

c d

a b= −(ad − bc)






det (A(2)) =a b


c d

a b= −(ad − bc)

(H. Ind.) Supongamos que el resultado es valido para A(n−1).Veamos es cierto para tamano A(n).






det (A(2)) =a b


c d

a b= −(ad − bc)


Sea Filai (A) = Filaj(B) y Filaj(A) = Filai (B). Tomemos r 6= i , j ⇒Filar (A) = Filar (B)






det (A(2)) =a b


c d

a b= −(ad − bc)


Sea Filai (A) = Filaj(B) y Filaj(A) = Filai (B). Tomemos r 6= i , j ⇒Filar (A) = Filar (B)

detA = ar1Ar1 + ar2Ar2 + · · ·+ arnArn

= br1(−Br1) + br2(−Br2) + · · ·+ brn(−Brn)

= −[br1Br1 + br2Br2 + · · ·+ brnBrn]

= −detB ,





3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.






DEM: Supongamos que las filas i y j son iguales. Sea B la matriz A

con las filas i y j intercambiadas Entonces,

detA = −detB = −detA, ⇒ 2detA = 0






4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.







DEM: Sea B la matriz que se obtiene de multiplicar la Filai (A) porλ.







DEM: Sea B la matriz que se obtiene de multiplicar la Filai (A) porλ. Ahora, calculamos el detA usando la Filai

detB = bi1Bi1 + bi2Bi2 + · · ·+ binBin

= λai1Ai1 + λai2Ai2 + · · ·+ λainAin

= λ(ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin)

= λdetA.







5 Si A, B y C son matrices iguales excepto en la i-esima fila de talforma que la i-esima fila (o columna) de C es la suma de lascorrespondientes i-esimas filas (o columnas) de A y B , entoncesdetC = detA+ detB .








detC = ci1Ci1 + ci2Ci2 + · · ·+ cinCin

= (ai1 + bi1)Ci1 + (ai2 + bi2)Ci2 + · · ·+ (ain + bin)Cin

= ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin + bi1Ci1 + bi2Ci2 + · · ·+ binCin

= ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin + bi1Bi1 + bi2Bi2 + · · ·+ binBin

= detA+ detB








6 Si la matriz B se obtiene de A al sumar un multiplo de una fila (ocolumna) a otra fila (o columna), entonces detB = detA.








6 Si la matriz B se obtiene de A al sumar un multiplo de una fila (ocolumna) a otra fila (o columna), entonces detB = detA.

detB = bi1Bi1 + bi2Bi2 + · · ·+ binBin

= (ai1 + λaj1)Bi1 + (ai2 + λaj2)Bi2 + · · ·+ (ain + λajn)Bin

= ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin + λ(aj1Ai1 + aj2Ai2 + · · ·+ ajnAin)

= detA+ λ0 = detA



CORO Sea E una matriz elemental n × n.

Si E es de Tipo Permutacion, entonces detE = −1.Si E es de Tipo Escalamiento (mult. una fila de I por c), entoncesdetE = c .Si E es de Tipo Eliminacion, entonces detE = 1.



CORO Sea E una matriz elemental n × n.

Si E es de Tipo Permutacion, entonces detE = −1.Si E es de Tipo Escalamiento (mult. una fila de I por c), entoncesdetE = c .Si E es de Tipo Eliminacion, entonces detE = 1.

CORO Sean E y A matrices de igual tamano, donde E es una matrizelemental. Entonces

det (EA) = (detE )(detA).



TEO Dada An×n, y sea U = (uij) la matriz obtenida por Eliminacion deGauss utilizando solo operaciones elementales de tipo eliminacion ypermutacion. Entonces,

detA = (−1)pu11u22 . . . unn,

donde p es el numero de operaciones elementales Tipo Permutacionutilizadas para obtener la matriz U a partir de la matriz A.




detA = (−1)pu11u22 . . . unn,


DEM: Sean E1,E2, . . . ,Ek las matrices elementales aplicadas a A paraobtener U. Entonces,

U = Ek . . .E2E1A,

⇒ detU = (detEk) . . . (detE2)(detE1)(detA) = (−1)p(detA)




detA = (−1)pu11u22 . . . unn,



U = Ek . . .E2E1A,


detEi = −1 para las p matrices elementales Tipo Permutacion ydetEi = 1 para el resto de matrices elementales.




detA = (−1)pu11u22 . . . unn,



U = Ek . . .E2E1A,


detEi = −1 para las p matrices elementales Tipo Permutacion ydetEi = 1 para el resto de matrices elementales. Como U es una matriztriangular superior

detA = (−1)pdetU = (−1)pu11u22 . . . unn.


Propiedades importantesEJEM

A =

0 6 −1 −5

−3 2 3 0

−6 −5 3 8

−6 4 0 2

F1 ↔ F4

F2 −12F1 → F2

F3 − F1 → F3

F2 ↔ F3

F4 +23F2 → F4

F4 −13F3 → F4

U =

−6 4 0 2

0 −9 3 6

0 0 3 −1

0 0 0 −2/3


Propiedades importantesEJEM

A =

0 6 −1 −5

−3 2 3 0

−6 −5 3 8

−6 4 0 2

F1 ↔ F4

F2 −12F1 → F2

F3 − F1 → F3

F2 ↔ F3

F4 +23F2 → F4

F4 −13F3 → F4

U =

−6 4 0 2

0 −9 3 6

0 0 3 −1

0 0 0 −2/3

Por lo tanto, detA = (−1)2detU = (−6)(−9)3(−2/3) = −108



CORO Sea An×n. La matriz A es invertible, si y solo si, detA 6= 0.




DEM: Como detA = (−1)pdetU = (−1)pu11u22 . . . unn. EntoncesdetA 6= 0, si y solo si, uii 6= 0 para todo i , lo cual ocurre, si y solo si, Utiene n pivotes, esto es equivalente a que A es invertible.




TEO Si A y B son matrices n× n y α un numero real (escalar), entonces

1 det (αA) = αndetA.2 det (AB) = detA detB .3 det (Am) = (detA)m, m ∈ N.






DEM: (2) Caso A no invertible. Entonces AB no es invertible por endedetA = 0 y detAB = 0 ası que det (AB) = detA detB .Caso A invertible. Existen matrices elementales E1,E2, · · · ,Ek tales que

Ek · · ·E2E1 = A,

por tanto, det (AB) = det ((Ek · · ·E2E1)B) = det (Ek(· · · (E2(E1B)))) =(detEk) · · · (detE2)(detB) = detAdetB






DEM: (3) Induccion sobre m. Caso particular m = 2,

det (A2) = det (AA) = detA detA = (detA)2.

Suponemos que el resultado es valido para m − 1,

det (Am−1) = (detA)m−1.

Entonces

det (Am)=det (AAm−1)=detAdet (Am−1)=detA(detA)m−1=(detA)m.






OBS: Aunque AB 6= BA tenemos det (AB) = det (BA). Perodet (A+ B) 6= detA+ detB .


Adjunta de A

CORO: Si A es una matriz invertible, entonces det (A−1) =1

detA


Adjunta de A


detA

AA−1 = I entonces det (A)det (A−1) = 1


Adjunta de A


detA

EJEM: Dadas las matrices A =

−1 0 10 2 13 0 0

y B =

2 0 01 0 −20 3 1

calcule detA , detB , det (2A), det (AB), det (A+ B).


Adjunta de A


detA

EJEM: Dadas las matrices A =

−1 0 10 2 13 0 0

y B =

2 0 01 0 −20 3 1

calcule detA , detB , det (2A), det (AB), det (A+ B).

DEF: Dada A(n), definimos la matriz de cofactores de A como la matrizcuya componente (i , j) es el cofactor Aij y definimos adj(A), la matrizadjunta de A, como la transpuesta de la matriz de cofactores.

Cof (A) =

A11 A12 · · · A1n

A21 A22 · · · A2n

.

.

....

. . ....

An1 An2 · · · Ann

adj(A) =

A11 A21 · · · An1

A12 A22 · · · An2

.

.

....

. . ....

A1n A2n · · · Ann


Propiedades de la Adjunta

TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces

A adj(A) = (detA)I = adj(A)A





DEM:

A adj(A) =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

A11 A21 · · · An1

A12 A22 · · · An2

......

. . ....

A1n A2n · · · Ann

La componente (i , j) es

Cij = Filai (A)Columj (adj(A)) = (ai1 ai2 · · · ain)

Aj1

Aj2

...Ajn

. Este producto

es el desarrollo por cofactores del determinante de la matriz A′ que seobtiene de A al reemplazar la fila j por la fila i . Cuando i 6= j , A′ tienedos filas iguales entonces det (A′) = 0 por tanto Cij = 0. Cuando i = j ,Cij = det (A′) = det (A).





CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces

A−1 =1

(detA)adj(A)

DEM: Si A es una matriz invertible, detA 6= 0; por lo tanto, usando laspropiedades del producto de matrices y el teorema anterior, tenemos

A( 1

detAadj(A)

)

=1

detA(A adj(A)) =

1

detA(detA)I = I .






A−1 =1

(detA)adj(A)

EJER: Calculemos la componente (3, 2) de la inversa de la matriz

A =

−2 0 1 00 −1 0 −24 0 −7 −10 3 0 1






A−1 =1

(detA)adj(A)

EJER: Calculemos la componente (3, 2) de la inversa de la matriz

A =

−2 0 1 00 −1 0 −24 0 −7 −10 3 0 1

SOL: Sea A−1 = (αij), entonces α32 =A23

|A|=






A−1 =1

(detA)adj(A)






A−1 =1

(detA)adj(A)

CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces det(adj(A)

)= (detA)n−1






A−1 =1

(detA)adj(A)


)= (detA)n−1

DEM: Observe que

A adj(A) = (detA)I , ⇒ det (A) det[adj(A)

]= (detA)n.

Si det (A) 6= 0 es claro que det(adj(A)

)= (detA)n−1 y si det (A) = 0

entonces Adj(A) no es invertible.Ejer. 48 Taller 3






A−1 =1

(detA)adj(A)


)= (detA)n−1

EJER: Calcule det (adj(A)) donde A =

−2 0 1 0

0 −1 0 −2

4 0 −7 −1

0 3 0 1






A−1 =1

(detA)adj(A)


)= (detA)n−1

EJER: Calcule det (adj(A)) donde A =

−2 0 1 0

0 −1 0 −2

4 0 −7 −1

0 3 0 1

Como

detA = 50 y A4×4 ⇒ det (adj(A)) = 503


notas de clase - algebra lineal b sica · 2017. 9. 7. · ij = 0 para i6= j y a ii = α. ejem i n:=...

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