métodos de subespacio para identificación de sistemas

ISIS - Métodos de Subespacio - 1 -

Métodos de Subespacio para Identificación de Sistemas Dinámicos

Juan Carlos Gómez

Departamento de Electrónica Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura

Universidad Nacional de Rosario Argentina

e-mail: [email protected]


Contenido

1. Introducción 2. Modelos en Espacio de Estados de Sistemas Lineales Estacionarios en Tiempo

Discreto 3. Revisión de algunos conceptos sistémicos 4. Métodos de Subespacio basados en Teoría de Realizaciones 5. Métodos Directos de Subespacio

5.1. Algoritmos puramente determinísticos 5.2. Algoritmos puramente estocásticos 5.3. Algoritmos combinados determinísticos – estocásticos

6. Ejemplos de Simulación 7. Conclusiones


1.Introducción Identificación Obtención de un modelo matemático a partir de mediciones

sobre el sistema.

Métodos de Subespacio para Identificación de Sistemas Dinámicos

4SID: Subspace-based State Space System IDentification Methods

• Herramientas de Teoría de Sistemas, Geometría y Algebra Lineal Numérica.


• Tienen su origen en la Teoría de Realizaciones en Espacio de Estados desarrollada en los años 60/70 (Ho & Kalman 66, Zeiger & McEwen 76, Kung 78) .

• Proveen confiables modelos en EE de sistemas multivariables directamente a partir de datos de entrada-salida.

• Modesta carga computacional comparada con la de métodos tradicionales tales como PEM, especialmente cuando el número de estados y de salidas es grande.

• Algoritmos eficientes basados en SVD. Incorporados en el System Identification Toolbox de Matlab.

• No requieren procedimientos de optimización iterativos. • No hay problemas de convergencia, inicialización, o de existencia de soluciones

locales, típicos de los métodos tradicionales. • No requieren una particular realización canónica del modelo en EE. • Utilizados con éxito en numerosas aplicaciones prácticas.


Métodos de Subespacio

• Los distintos métodos pueden clasificarse en • Métodos 4SID basados en teoría de realizaciones • Métodos 4SID directos

• Método 4SID Básico • Método 4SID con VI

• El primer paso en los métodos de subspacio es estimar el subespacio expandido por

las columnas de la matriz de observabilidad extendida, de allí el nombre.

• Las distintas técnicas difieren en la forma en que la matriz de observabilidad extendida es estimada y en cómo es usada para estimar las matrices del sistema.


2. Modelos en Espacio de Estados de Sistemas Lineales Estacionarios en TD

Modelo en EE Estocástico Modelo en EE Determinístico

kkkk

kkkk

DuCxyBuAxx

υω

++=++=+1

(1) kkk

kkk

DuCxyBuAxx

+=+=+1

(3)

[ ] ksT

Ts

Ts

k

k

RSSQ

E δυωυω

=

0≡= kk υω

Innovation Form

kkkk

kkkk

eDuCxyKeBuAxx

++=++=+1

(2)


xnkx ℜ∈ , m

ky ℜ∈ , n

ku ℜ∈ vectores de estado, salida y entrada xn

k ℜ∈ω vector de ruido de planta o ruido de proceso m

k ℜ∈υ ruido de medición o ruido de salida m

ke ℜ∈ proceso de innovación (temporalmente blanco) xx nnA ×ℜ∈ , nnxB ×ℜ∈ , xnmC ×ℜ∈ , nmD ×ℜ∈ matrices de evolución,

entrada, salida y transmisión directa

mnxK ×ℜ∈ matriz de ganancia de Kalman

ℜ∈ℜ∈ℜ∈

×

×

×

mm

mn

nn

RSQ

x

xx

matrices de covarianza


3.Algunos conceptos sistémicos • Notación: Introducimos los operadores desplazamiento temporal

q desplazamiento directo

1+= kk xqx 1−q desplazamiento inverso o retardo unitario

11

−− = kk xxq

• Definición: Una matriz transferencia )(qG tiene una realización ( )DCBA ,,, si

DBAqICqG +−= −1)()( (4)

• Definición: Matrices de Observabilidad y Controlabilidad

[ ]TTnTT xCACAC )(,,)(, 1−= !O (5)


[ ]BAABB xn 1,,, −= !C (6) • Definición: Matrices de Observabilidad y Controlabilidad Extendidas

[ ]TTiTT

i CACAC )(,,)(, 1−= !O (7)

[ ]BAABB jj

1,,, −= !C (8) con xnji >, . • Definición: Controlabilidad

El par ( )BA, se dice controlable si existe una secuencia de entradas { }ku que lleva

el estado del sistema desde un estado inicial 0x hasta un estado final arbitrario fx

en un número finito de pasos (k finito). La condición necesaria y suficiente para la controlabilidad del par ( )BA, es que la matriz de controlabilidad C tenga rango pleno xn .


• Definición: Observabilidad

El par ( )AC, se dice observable si para cualquier estado inicial 0x existe un

número finito de pasos " tal que 0x puede ser determinado a partir de las

secuencias kk yu , con "≤≤ k0 . Una condición necesaria y suficiente para la observabilidad del par ( )AC, es que la matriz de observabilidad O tenga rango pleno xn .

• Definición: Realización Mínima Una realización ( )DCBA ,,, es mínima si tiene dimensión mínima, es decir si no existe otra realización de dimensión menor. Una condición necesaria y suficiente para que una realización sea mínima es que el par ( )AC, sea observable y el par ( )BA, sea controlable.


• Matriz Hankel de Respuestas al impulso

Una realización mínima ( )DCBA ,,, define unívocamente las propiedades de entrada-salida del sistema a través de

∑∞

=−=

0""" kk uhy (9)

donde los coeficientes de Markov se calculan

>=

= − 0,0,

1 "

""" BCAD

h


=

−++

+

11

132

21

jiii

j

j

ij

hhh

hhhhhh

H

!

#$##

!

!

(10)

Matriz Hankel de respuestas al impulso

Factorización

jiijH CO= (11)


4.Métodos 4SID basados en Teoría de Realizaciones Problema de Identificación: Estimar el orden xn del modelo

kkkk

kkkk

DuCxyBuAxx

υω

++=++=+1

y las matrices ( )DCBA ,,, a partir de muestras de las entradas ku y salidas ky . • Los algoritmos consisten básicamente de los siguientes pasos

Algoritmo

• Estima de la matriz Hankel de respuesta al impulso a partir de datos de entrada – salida (medición directa, o análisis de correlación).

• Factorización de la estima de ijH para obtener estimas de las matrices de observabilidad y controlabilidad extendidas, y el orden del modelo (reducción de rango).

• Estima de las matrices ( )DCBA ,,, a partir de las estimas de ijH y la matriz de observabilidad extendida.


• Una estima de las matrices de controlabilidad y observabilidad extendidas puede

obtenerse a partir de cualquier factorización de rango pleno de ijH de la forma (4), i.e.

jiijH CO ˆˆ= (12)

• La SVD (Singular Value Decomposition) de ijH provee esta factorización

[ ]

Σ

Σ= T

T

ij VVUUH

2

1

2

121 0

0 (13)

donde [ ]21 UUU = y [ ]21 VVV = son matrices ortogonales ( IUU T = ), cuyas columnas son respectivamente los vectores singulares izquierdos y derechos de

ijH , y donde


Σ

Σ=Σ

2

1

00

es una matriz diagonal conteniendo los valores singulares de ijH en orden no

creciente, con 1Σ conteniendo los xn más grandes, y 2Σ los [ ]xnjimin −),( más chicos. • Para el caso sin ruido, ijH tiene rango xn , y 02 =Σ , y resulta

( )( )TTij VUVUH 1

21

12

1

11111 ΣΣ=Σ=

⇓

Tj

i

V

U

12

11

21

11

ˆ

ˆ

Σ=

Σ=

C

O (14)

• Para el caso con ruido ⇒ etapa de reducción de rango ⇒ decidir cuales son

los valores singulares significativos. Errores.


• Dadas ji CO ˆ,ˆ ⇒ C : 1ra. Fila de iO

B : 1ra. Columna de jC

• D : directamente de 0h

• A : usando la propiedad de corrimiento invariante de iO

Ai ˆˆˆiOO = (15)

donde iO se obtiene eliminando el primer bloque fila de iO , y iO se obtiene

eliminando el último bloque fila de iO .

Otra posibilidad de computar A es a partir de

jiij AH CO ˆˆˆ= (16) resolviendo en media cuadrática.


5. Métodos Directos de Subespacio

5.1 Algoritmos puramente determinísticos

Problema de Identificación: Estimar el orden xn del modelo

kkk

kkk

DuCxyBuAxx

+=+=+1

y las matrices ( )DCBA ,,, a partir de muestras de las entradas ku y salidas ky .

• Necesitamos más notación !!!! Definimos la matrix Hankel de entradas


UUU

UU

uuu

uuuuuuuuu

uuuuuu

Uf

pi

ji

ji

jiii

jiii

jiii

jiii

j

j

ji =

=

=

=

−+−

+++

−++

−+−

−

,

0,

22212

21

11

21

21

110

0,2

!

#!##

!

!

!

#!##

!

!

(17) donde

pU : entradas pasadas

fU : entradas futuras y similarmente las matrices Hankel de salida. La matriz de secuencias de estado se define como

[ ]1100 ,,, −= jj xxxX ! (18)


ijf

jp

XX

XX

=

= 0

La matriz Toeplitz triangular inferior iH se define

=

−−− DBCABCABCA

DCBCABDCB

D

H

iii

i

!

#$###

!

!

!

432

000000

(19)

Con estas definiciones, las observaciones pueden modelarse

fifif

pipip

UHXYUHXY

+=

+=

OO

(20)


UHXY ii 22 +=O (21)

Definimos TU⊥Π la Proyección Ortogonal en el espacio nulo de U

( ) UUUUI TT

U T1−⊥ −=Π (22)

Bajo ciertas condiciones de persistencia de excitación de la entrada, la inversa existe y

0=Π⊥ TUU

Luego, de (21) se obtiene

TT UiU XY ⊥⊥ Π=Π 2O (23)


Es decir que proyectando hemos eliminado la parte de la salida que no era generada por el estado X. Si TU

⊥Π tiene rango pleno, entonces el subespacio generado por las columnas de i2O puede recuperarse computando la SVD de TUY ⊥Π .

El algoritmo puede resumirse:

Algoritmo 4SID Determinístico • Computar la SVD de fU para obtener

⊥fU (la proyección ortogonal en el espacio

nulo de fU , también denotada como ∏⊥TU ).

• Computar

TT UiU XY ⊥⊥ Π=Π 2O • Computar la SVD de TUY ⊥Π


[ ]

Σ

Σ=Π ⊥

T

T

UVVUUY T

2

1

2

121 0

0

• En ausencia de ruido 02 =Σ , y resulta

( )( )TU VUY T

12

11

21

11 ΣΣ=Π ⊥

por lo que una estima de i2O puede obtenerse como

21

112ˆ Σ= UiO

• Las matrices ( )DCBA ,,, pueden calcularse a partir de la estima de i2O (uso de la

propiedad de corrimiento invariante de i2O , resolución de sistema de ecuaciones lineales)


Variante sobre el método Además de (20) y (21) se verifica la siguiente ecuación de estado que relaciona las secuencias de estado pasadas y futuras

prd

ipi

f UXAX C+=

donde rd

iC es la matriz de controlabilidad extendida (determinística) reversa

[ ]BABBABA iirdi ,,,, 21 !−−=C

fX puede escribirse en función de las entradas y salidas pasadas como

( )[ ] ppfp

pi

iii

irdif WL

YU

AHAX =

−= ++ OOC

Con estas definiciones el algoritmo puede resumirse


Algoritmo 4SID Determinístico • Computar la SVD de fU para obtener

⊥fU (la proyección ortogonal en el espacio

nulo de fU , también denotada como ∏⊥TU ).

• Luego

⊥⊥⊥ == fppfffff UWLUXUY ii OO

( )( ) pfpfffi

fpffpf

WUWUYXP

UWUYL+⊥⊥

+⊥⊥

==

=

i

i

O

O

iP se denomina proyección oblicua del espacio de filas de fY a lo largo del espacio de filas de fU sobre el espacio de filas de pW . (depende sólo de los datos)


• Computar la SVD de iP para obtener estimas de iO y fX , y el orden del modelo

xn . • Las matrices ( )DCBA ,,, pueden calcularse a partir de la estima de iO (uso de la

propiedad de corrimiento invariante de iO , resolución de sistema de ecuaciones

lineales), o a partir de la estima de fX (resolución de un sistema de ecuaciones lineales).

• Hipótesis sobre los datos

i. ku excitación persistente de orden i2 . ii. No hay intersección entre el espacio de filas de fU y el de pX .


5.2 Algoritmos puramente estocásticos

Problema de Identificación: Dado el modelo puramente estocástico

kkk

kkk

CxyAxx

υω

+=+=+1

[ ] ksT

Ts

Ts

k

k

RSSQ

E δυωυω

=

estimar el orden xn del modelo, las matrices CA, , y los momentos de segundo orden de los ruidos de proceso y medición dados por las matrices SRQ ,, , a partir de muestras de las entradas ku y salidas ky .


• Algunas hipótesis i. kk υω , ruido blanco, con media cero independiente de kx ii. kx es estacionario con

{ }{ } x

Tkk

k

xxE

xE

Σ=

= 0

• Más notación !!!!!!!!!!

• Definimos la matriz de covarianza de salida { }T

kiki yyE +=Λ y la matriz de cross-covarianza entre salidas y estados

{ }Tkk yxEG 1+=

• Matriz de controlabilidad extendida esto-cástica reversa

[ ]GAGGAGA iirsi ,,,, 21 !−−=C


• Matrices Toeplitz de covarianzas de salida

rsii

iii

ii

ii

iM CO=

ΛΛΛ

ΛΛΛΛΛΛ

=

−−

+

−

!

####

!

!

2212

21

11

ΛΛΛ

ΛΛΛΛΛΛ

=

−−

−

−−

021

201

110

!

####

!

!

ii

i

i

iN


• Se verifica

TTiTi

ii

Tx

Tx

CAGGCA

SCAGRCC

)( 1

1

0

−−

−

=Λ=Λ

+Σ=+Σ=Λ

• Se puede probar que una estima kx con Filtro de Kalman del estado kx se puede calcular como

[ ] pi

rsijiii

ij YNxxxX 1

11 ˆ,,ˆ,ˆˆ −−++ == C!

• El algoritmo se puede resumir como sigue


Algoritmo 4SID Estocástico • Computar la proyección ortogonal iP del espacio de filas de fY sobre el espacio

de filas de pY . Se puede probar que cuando el número de datos tiende a infinito, entonces

ijii XP ˆO≈

• Computar la SVD de iP para obtener el orden del modelo y estimas de iO y ijX .

• Cálculo de rsiC

Tpfii

rs YY+=OC • Cálculo de las matrices 0,,, ΛGCA .


5.3 Algoritmos combinados estoc./determ.

Problema de Identificación: Estimar el orden xn del modelo

kkkk

kkkk

DuCxyBuAxx

υω

++=++=+1

,

las matrices ( )DCBA ,,, , y las matrices covarianza SRQ ,, , a partir de muestras de las entradas ku y salidas ky .

• Es una combinación de los dos anteriores. El estado y la salida se consideran como

la superposición de una parte determinística y de una parte estocástica.


6. Ejemplos de simulación 6.1 Ejemplo "académico" • El sistema

++++

++++= −

−

)8.0)(4.0(32.0

)3.0)(7.0(21.0

)5.0)(2(1

)1.0)(1(1.0

)(

sse

ss

sssse

sGZOH s

s

• Entradas: ondas cuadradas de amplitud unitaria y frecuencia fundamental 0.02 Hz y

0.05 Hz. • Ruido de salida: blanco Gaussiano, varianza 0.001 • Número de muestras: N=2000 • Algoritmos:

PEM: Orden = 8 ; 1.42 x 108 flops N4SID: Orden = 6 ; 3.92 x 107 flops


Estimación con PEM


Estimación con N4SID


6.2 Columna de destilación • Descripción del sistema

La planta es una columna de destilación multicomponente del tipo batch que involucra una mezcla ternaria de ciclohexano, n-heptano y tolueno. La columna tiene 162 mm de diámetro, y está rellena con un material Sulzer Mellapack 250 Y. La altura de la columna es de 8 m, y consta de 20 platos incluyendo rebolier y condensador. La entrada al sistema es la denominada relación de reflujo, en tanto que las variables de salida son las composiciones, a la salida de la columna, de las tres componentes de la mezcla.

• Una dificultad que se presenta para la identificación de una columna de destilación es que usualmente la medición de las variables de interés (e.g., composiciones) es costosa y en general no puede realizarse on-line. Esto hace que la cantidad de datos disponibles para realizar la identificación sea en general escasa, lo que dificulta el uso de los métodos tradicionales de identificación. Se recurre entonces al empleo de algún paquete software (específico para procesos) que permita implementar un modelo riguroso de la columna, basado en principios físicos, y luego utilizar este modelo para generar (via simulación) suficientes datos para la identificación. Como resultado del proceso de identificación se obtiene entonces un modelo de orden reducido del proceso, que es apropiado para su uso en el diseño de controladores (en contraposición al modelo riguroso que es en general de un orden elevado). Los datos en este ejemplo fueron generados con el software HYSYS. El modelo en HYSYS fue ajustado usando datos experimentales . La figura muestra el ajuste del modelo a los datos experimentales.


0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0production periodstartup period

- - - - HYSYS

top

comp

ositio

n

time (hs.)

Datos de medición (símbolos) y ajuste del modelo computacional en HYSYS


• Resultados de simulación

Resultados de Identificación: En línea llena (roja) salidas medidas; línea de puntos (azul) salida estimada con N4SID; línea de trazo y punto (negra) salida con método de identificación no lineal

1

14

0

10

1

1 4

104

0

0

0 4

0

0

1

11 4

104

0

0

0 4

0

0

1

1 4

104

0

0 1

0

0

0 4

0

11


♦ Validación

Resultados de Validación: En línea llena (roja) salidas medidas; línea de trazo y punto (azul) salida generada con modelo N4SID; línea de trazos (negra) salida generada con modelo no lineal

1 4

104

0

10

1

1 4

104

0

0

0 4

0

0

1

1

1 4

104

0

0

0 4

0

0

1

1 4

104

0

0 1

0

0

0 4

0

11


A=

−−−−−

=

469609.1520637.4431355.5303601.1

eeee

B

−−−−−−−−−−−−−−

=

26175.610996.516222.421213.325198.419527.219104.223495.4

eeeeeeee

C T

( )TD 00=

−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−

12722.930509.645301.344269,623774.419355.947752.446754.217827.226076.219348.935578.3

28403.218664.239202.419634.9

eeeeeeeeeeee

eeee


7.Conclusiones

• Proveen confiables modelos en EE de sistemas multivariables directamente a partir de datos de entrada-salida.

• Modesta carga computacional comparada con la de métodos tradicionales tales como PEM, especialmente cuando el número de estados y de salidas es grande.

• Algoritmos eficientes basados en SVD. Incorporados en el System Identification Toolbox de Matlab.

• No requieren procedimientos de optimización iterativos. • No hay problemas de convergencia, inicialización, o de existencia de soluciones

locales, típicos de los métodos tradicionales. • No requieren una particular realización canónica del modelo en EE. • Han sido aplicados exitosamente en numerosos casos prácticos. • Las estimas son más precisas cuando el número de datos es grande. • Sólo hay resultados parciales respecto a la consistencia y los errores de

estimación.


• La notación es complicada (aunque si uno es sólo un usuario no necesita estar

familiarizado con la misma). • Es posible extender los métodos a algunas clases de sistemas no lineales

(bilineales y block-oriented).

métodos de subespacio para identificación de sistemas

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