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1. Definicion de aplicacion lineal y propiedades.

Definicion. Sean V y W dos K-espacios vectoriales y f : V →W una aplicacion. Sedice que f es una aplicacion lineal si se verifica la siguiente condicion:

f(αv + βv′) = αf(v) + βf(v′), ∀α, β ∈ K, ∀v, v′ ∈ V.

Las aplicaciones lineales tambien suelen recibir el nombre de homomorfismos entreespacios vectoriales. Un monomorfismo entre los espacios vectoriales V y W es unaaplicacion lineal f : V → W inyectiva. Un epimorfismo entre los espacios vectoriales Vy W es una aplicacion lineal f : V →W sobreyectiva. Un isomorfismo entre los espaciosvectoriales V y W es una aplicacion lineal f : V → W biyectiva. Si V = W y f : V → Ves una aplicacion lineal, se dice que f es un endomorfismo del espacio vectorial V y siademas es biyectiva, se dice que es un automorfismo de V .

Ejemplos.

(1) La aplicacion f : R3 → R2 definida por f((x, y, z)) = (x+ y, y + 2z) es lineal.

(2) La aplicacion f : R3 → R2 definida por f((x, y, z)) = (x+ y + 1, y + 2z) no es lineal.

Las aplicaciones lineales f tienen diversas propiedades. Entre ellas destacan las si-guientes:

Proposicion 1.1. Sean V y W dos K-espacios vectoriales y f : V → W una apli-cacion lineal. Entonces,

(i) f(0V ) = 0W .

(ii) f(−v) = −f(v), ∀v ∈ V .

(iii) f(∑m

i=1 αivi) =∑m

i=1 αif(vi), ∀αi ∈ K, ∀vi ∈ V .

(iv) Si {v1, . . . vm} es un subconjunto ligado de V , entonces {f(v1), . . . f(vm)} es un sub-conjunto ligado de W .

(v) Si U es un subespacio de V , entonces f(U) = {f(u)|u ∈ U} es un subespacio de W .Ademas, si dim(U) = m, entonces dim(f(U)) ≤ m.

(vi) Si T es un subespacio de W , entonces f−1(T ) = {v ∈ V |f(v) ∈ T} es un subespaciode V .

Observamos que en el enunciado del teorema anterior no indicamos que sucede cuandose toman imagenes de subconjuntos libres. En general, esta caracterıstica no se mantiene.

Introduccion al Algebra Lineal. M.A. Garcıa Sanchez y T. Ramırez Alzola.

Proyecto OCW de la UPV/EHU.


2 Definicion de aplicacion lineal y propiedades

Esto es si S es un subconjunto libre de V y f : V →W es una aplicacion lineal, entonces nopodemos garantizar que f(S) sea un subconjunto libre deW . Como veremos mas adelante,sera necesario pedir que f sea ademas inyectiva para poder asegurar que subconjuntos libresde V tienen por imagen subconjuntos libres de W .

En el apartado (v) de la Proposicion 1.1, hemos visto que f(U) es un subespacio deW para cualquier subespacio U de V . En particular si tomamos U = V , obtenemos quef(V ) es un subespacio deW llamado K-subespacio imagen de V . Ademas, hemos vistoque dim(f(V )) ≤ dim(V ). A dim(f(V )) se le llama rango de f . f(V ) tambien se sueledenotar por Imf .




2. El espacio vectorial LK(V,W ).

Se considera el conjunto LK(V,W ) dado por

LK(V,W ) = {f : V →W | f es lineal},

donde V y W son dos K-espacios vectoriales. En este conjunto definimos las siguientesoperaciones:

∀f, g ∈ LK(V,W ),∀v ∈ V (f + g)(v) = f(v) + g(v)

y∀f ∈ LK(V,W ),∀v ∈ V, ∀α ∈ K (αf)(v) = αf(v)

Es facil ver que f + g es otra aplicacion lineal de V en W , luego + nos define una ley decomposicion interna sobre LK(V,W ). Ademas, (LK(V,W ),+) es un grupo abeliano, estoes que la suma de aplicaciones lineales de V en W es conmutativa, asociativa, existe unelemento neutro (que es la aplicacion nula f(v) = 0W , para todo v ∈ V ) y existe elementoinverso (dada f ∈ LK(V,W ), su elemento inverso es −f definida por ∀v ∈ V (−f)(v) =−f(v) y −f ∈ LK(V,W )). Por otro lado, αf es otra aplicacion lineal de v en W , sif ∈ LK(V,W ) y α ∈ K. Con la suma definida en LK(V,W ) y la multiplicacion por unescalar senalada, se demuestra que (LK(V,W ),+, .) tiene estructura deK-espacio vectorial.




3. El nucleo y la imagen de una aplicacion lineal.

De la definicion de aplicacion lineal, se deduce que si f es una aplicacion lineal entreV y W y BV = {v1, . . . , vn} es una base de V , entonces {f(v1), . . . , f(vn)} es un sistemagenerador de Imf . Es evidente que una aplicacion lineal f : V → W es sobreyectiva si ysolo si el subespacio imagen Imf tiene la misma dimension que W .

De forma analoga, en el apartado (vi) de la Proposicion 1.1, hemos demostrado quesi T es un subespacio de W , entonces f−1(T ) = {v ∈ V |f(v) ∈ T} es un subespacio de V .Si elegimos T = {0W }, tenemos que

f−1(0W ) = {v ∈ V |f(v) = 0W }

es un subespacio de V , llamado nucleo de la aplicacion lineal f y se suele denotar porkerf .

Ejemplo.

(1) El nucleo de la aplicacion lineal f : R3 → R2 definida por f((x, y, z)) = (x+ y, y+2z)es kerf = {(x,−x, x2 )|x ∈ R}.

Entre las dimensiones de estos subespacios y la del espacio vectorial V se tiene lasiguiente relacion:

Proposicion 3.1. Sean V y W dos K-espacios vectoriales, V de dimension finita, yf : V →W una aplicacion lineal. Entonces,

dim(V ) = dim(kerf) + dim(Imf).

Ademas, las aplicaciones lineales inyectivas se pueden caracterizar mediante el kerf :

Proposicion 3.2. Sean V y W dos K-espacios vectoriales y f : V → W una apli-cacion lineal. Entonces f es inyectiva si y solo si su nucleo, kerf , es el subespacio vectorial{0V }.

Como consecuencia de las dos ultimas proposiciones es facil demostrar:

Corolario 3.3. Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimension finita y f :V →W . Entonces, f es inyectiva si y solo si dimKV =dimKf(V ).

Tambien es facil probar:




2 El nucleo y la imagen de una aplicacion lineal

Proposicion 3.4. Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimension finita f :V → W una aplicacion lineal inyectiva. Si {v1, . . . , vr} ⊆ V es un subconjunto libre,entonces {f(v1), . . . , f(vr)} ⊆W es libre.




4. Isomorfismos entre espacios vectoriales.

En esta apartado estudiamos un tipo de aplicaciones lineales interesantes: los isomor-fismos entre espacios vectoriales. Cuando existe un isomorfismo entre V y W , diremos queV y W son espacios isomorfos.

En el siguiente teorema caracterizamos los espacios vectoriales isomorfos:

Teorema 4.1. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimension finita. Entonces,V y W son isomorfos si y solo si tienen la misma dimension.

Ejemplo.

1. Los R-espacios vectoriales R4 y P3(R) son isomorfos porque ambos tienen dimension 4.Por ejemplo, la aplicacion f : R4 → P3(R) definida por f((a, b, c, d)) = a+bx+cx2+dx3

es un isomorfismo entre ambos espacios vectoriales.




5. Matriz asociada a una aplicacion lineal (notacion por filas).

Si f : V → W es una aplicacion lineal, BV = {v1, . . . , vn} una base de V y BW ={w1, . . . , wm} una base de W , entonces dado un vector v ∈ V , podemos expresar v =∑n

i=1 αivi y

f(v) = f(n∑

i=1

αivi) =n∑

i=1

αif(vi) =n∑

i=1

αi

m∑j=1

aijwj ,

siendo f(vi) =∑m

j=1 aijwj . Por tanto, si empleamos la notacion por filas para expresarlas coordenadas de los vectores, podemos dar la siguiente expresion matricial de f(v):

f(v) = (α1 . . . αn)

a11 . . . a1m...

...an1 . . . anm

w1...wm

y a la matriz A = (aij) se le denomina matriz asociada a f respecto de las bases BV

y BW . Esto es,

f(v) = (coord. de v en BV )

coord. de f(v1) en BW

coord. de f(v2) en BW...

coord. de f(vn) en BW

w1

...wm

.

Ejemplo.

(1) Si tomamos la aplicacion lineal f : P2(R) → R2 definida por f(a0 + a1x + a2x2) =

(a0 + a1, a1 + 2a2) la matriz asociada a f tomando como bases BP2(R) = {1, x, x2} y

BR2 = {(1, 0), (0, 1)} viene dada por

1 01 10 2

.

Es obvio que si conocemos la matriz asociada a una aplicacion lineal con respecto ados bases BV y BW , podemos obtener f(v) para cualquier vector v de V , esto es, dada lamatriz asociada A, la aplicacion lineal f se encuentra totalmente determinada. Ademas,existe una relacion entre matrices asociadas a una misma aplicacion lineal cuando se tomanbases diferentes en V yW . En efecto, si A es la matriz asociada a f con respecto a las basesBV y BW y B es la matriz asociada a f con respecto de las bases B′

V y B′W , entonces

B =MB′V,BV

AMBW ,B′W.

Por otro lado, la matriz asociada a una aplicacion lineal nos permite dar una inter-pretacion en terminos de aplicaciones lineales de las matrices de cambio de base. Una




2 Matriz asociada a una aplicacion lineal (filas)

matriz de cambio de base se puede ver como la matriz asociada a la aplicacion lineal a laidentidad de un espacio vectorial cuando se toma en origen una base BV y en llegada B′

V .

El siguiente lema prueba la relacion existente entre matrices asociadas cuando suma-mos o multiplicamos por un escalar aplicaciones lineales:

Lema 5.1. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimension finita, f : V → Wy g : V → W dos aplicaciones lineales BV , BW bases de V y W y MBV ,BW

(f) y

MBV ,BW(g) las matrices asociadas a f y g respecto de las bases BV y BW . Entonces,

(i) MBV ,BW(f + g) =MBV ,BW

(f) +MBV ,BW(g).

(ii) MBV ,BW(λf) = λMBV ,BW

(f).

El lema anterior nos sirve para demostrar el siguiente resultado

Teorema 5.2. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimension finita n y m,respectivamente. Entonces,

(i) LK(V,W ) y Matn×m(K) son isomorfos.

(ii) dimK(LK(V,W )) = mn.

Hemos visto que existıa una relacion entre las matrices asociadas a la misma aplicacionlineal. Sin embargo, podemos interpretar de nuevo la relacion existente entre ellas, teniendoen cuenta el siguiente resultado:

Proposicion 5.3. Sean V , W y Z tres espacios vectoriales de dimension finita, f :V → W , g : W → Z dos aplicaciones lineales BV , BW , BZ bases de V , W y Z yMBV ,BW

(f) y MBW ,BZ(g) las respectivas matrices asociadas. Entonces, g ◦ f es una

aplicacion lineal cuya matriz asociada MBV ,BZ(g ◦ f) respecto de las bases BV y BZ

satisfaceMBV ,BZ

(g ◦ f) =MBV ,BW(f)MBW ,BZ

(g).

En vista del resultado anterior, la relaci ’on entre matrices asociadas a la misma aplicacionviene determinada como la matriz asociada a la composicion idW ◦f ◦idV donde idW (idV )es la aplicacion identidad de W (V ) tomando en origen la base BW (B′

V ) y en llegada labase B′

W (BV ).




6. Matriz asociada a una aplicacion lineal (notacion por columnas).


i=1 αivi y

f(v) = f(n∑

i=1

αivi) =n∑

i=1

αif(vi) =n∑

i=1

αi

m∑j=1

ajiwj ,

siendo f(vi) =∑m

j=1 ajiwj . Por tanto, si empleamos la notacion por columnas para darlas coordenadas de un vector, podemos dar la siguiente expresion matricial de f(v):

f(v) = (w1 · · · wm )

a11 . . . a1n...

...am1 . . . amn

α1...αn

y a la matriz A = (aij) se le denomina matriz asociada a f respecto de las basesBV y BW en notacion por columnas. Es obvio que si conocemos la matriz asociada auna aplicacion lineal con respecto a dos bases BV y BW , podemos obtener f(v) paracualquier vector v de V , esto es, dada la matriz asociada A, la aplicacion lineal f seencuentra totalmente determinada. Ademas, existe una relacion entre matrices asociadasa una misma aplicacion lineal cuando se toman bases diferentes en V y W . En efecto, siA es la matriz asociada a f con respecto a las bases BV y BW y B es la matriz asociadaa f con respecto de las bases B′


B =MBW ,B′WAMB′

V,BV

.

Por otro lado, la matriz asociada a una aplicacion lineal nos permite dar una interpretacionen terminos de aplicaciones lineales de las matrices de cambio de base. Una matriz decambio de base se puede ver como la matriz asociada a la aplicacion lineal a la identidadde un espacio vectorial cuando se toma en origen una base BV y en llegada B′

V .



(f) y

MBV ,BW(g) las matrices asociadas a f y g respecto de las bases BV y BW en notacion

por columnas. Entonces,


(f) +MBV ,BW(g).


(f).





2 Matriz asociada a una aplicacion lineal (columnas)


(i) LK(V,W ) y Matm×n(K) son isomorfos.




(f) y MBW ,BZ(g) las respectivas matrices asociadas en notacion por columnas.

Entonces,MBV ,BZ

(g ◦ f) =MBW ,BZ(g)MBV ,BW

(f),

siendo MBV ,BZ(g ◦ f) la matriz asociada a g ◦ f en notacion por columnas tomando

como bases de V y Z a BV y BZ . En vista del resultado anterior, la relaci ’on entrematrices asociadas a la misma aplicacion viene determinada como la matriz asociada a lacomposicion idW ◦ f ◦ idV donde idW (idV ) es la aplicacion identidad de W (V ) tomandoen origen la base BW (B′

V ) y en llegada la base B′W (BV ).




7. Matrices equivalentes.

Si A,B ∈ Matn×m(K), se dice que son matrices equivalentes si existen matricesinversibles P ∈ Matn×n(K) y Q ∈ Matm×m(K) tales que A = PBQ.

Por otro lado, teniendo en cuenta que dada una matriz A ∈ Matn×m(K) podemosinterpretarla como la matriz asociada a una aplicacion lineal y que las matrices inversiblesse interpretan como matrices de cambio de base, la relacion existente entre dos matricesequivalentes fuerza a que estas esten asociadas a la misma aplicacion lineal.

Es obvio que todas las matrices asociadas a una misma aplicacion lineal son matricesequivalentes. En efecto, para probarlo basta con tener en cuenta la relacion existente entrematrices asociadas a una misma aplicacion lineal, que permite escribir una en terminos deotra, empleando las matrices de cambio de base. Ademas, podemos construir una matrizasociada a una aplicacion lineal f : V →W con entradas de 0 y 1:

Teorema 7.1. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensiones n y m, respectiva-mente y f : V →W una aplicacion lineal con rango r (esto es, r = dim(f(V ))). Entonces,

existen bases de V y W tales que la matriz asociada a f respecto a ellas es

(Ir 00 0

).

Para demostrar el teorema anterior, basta con calcular el nucleo de la aplicacion linealf , determinar una base de ker(f) y completarla por delante hasta obtener una base de V .Tomando las imagenes de los vectores de esta base de V que no esten en el nucleo, seobtiene una base de Im(f). Esta base puede ser completada por detras hasta obtener unabase de W . Las bases de V y W construidas son las que se necesitan para que la matriz

asociada a f sea de la forma

(Ir 00 0

).

La utilidad de esta matriz es grande ya que a traves de ella podemos contestar a doscuestiones:

1. Dada una matriz A de orden adecuado, ¿es matriz asociada a la aplicacion f? Sitenemos en cuenta que todas las matrices asociadas a la misma aplicacion lineal sonequivalentes a la matriz que figura en el teorema anterior, para saber si A es asociada

o no a f , sera suficiente con probar si es equivalente a

(Ir 00 0

). Para ello, suponemos

que A es matriz asociada a f respecto de alguna base de V y W y trabajnado con lanueva expresion matricial de f , tomando A como matriz asociada a f . Si despues de

realizar los calculos con la nueva expresion matricial, obtenemos de nuevo

(Ir 00 0

),

entonces A es matriz asociada a f . En caso contrario, no lo es.

2. Dadas dos matrices del mismo orden, ¿son equivalentes? Basta con interpretarlas




2 Matrices equivalentes

como matrices asociadas a aplicaciones lineales y ver si ambas son equivalentes a la

misma matriz

(Ir 00 0

). Entonces, las matrices iniciales seran equivalentes si y solo

si ambas equivalen a la misma matriz

(Ir 00 0

).

Ejemplo.

1. Las matrices A =

(1 −1 00 1 1

)y B =

(−1 0 11 1 1

)son equivalentes porque ambas

equivalen a

(1 0 00 1 0

). En efecto, utilizando la notacion por filas, podemos inter-

pretar a A como la matriz asociada a f : V → W donde dimV = 2, dimW = 3 y sehan tomado como bases BV = {v1, v2} y BW = {w1, w2, w3}. Entonces, kerf = {0W }y tomando como bases BV = {v1, v2} y B′

W = {f(v1), f(v2), w3} = {w1 − w2, w2 +

w3, w3}, la matriz asociada a f es C =

(1 0 00 1 0

). Ademas, A = I2C

1 −1 00 1 10 0 1

por la relacion existente entre matrices asociadas a la misma aplicacion lineal. Porotro lado, utilizando de nuevo la notacion por filas, podemos interpretar a B comola matriz asociada a f : V → W donde dimV = 2, dimW = 3 y se han tomadocomo bases B′

V = {v′1, v′2} y B′′W = {w′

1, w′2, w

′3}. De nuevo, kerf = {0W } y tomando

como bases B′V = {v′1, v′2} y B′′′

W = {f(v′1), f(v′2), w′3 = {−w′

1 +w′3, w

′1 +w′

2 +w′3, w

′1}

obtenemos de nuevo C =

(1 0 00 1 0

). Pero, B = I2C

−1 0 11 1 11 0 0

, asi que

A = I2C

1 −1 00 1 10 0 1

B = I2C

−1 0 11 1 11 0 0

=⇒ B = I2A

1 −1 00 1 10 0 1

−1 −1 0 11 1 11 0 0

,

Pero

1 −1 00 1 10 0 1

−1 −1 0 11 1 11 0 0

=

−1 1 20 1 11 0 0

y, tomando P = I2 y Q =−1 1 20 1 11 0 0

se cumple B = PAQ, donde P y Q son inversibles. Consecuentemente,

A y B son equivalentes.




Tema 4: Sistemas de ecuaciones lineales.

1. Rango de una matriz.

Definicion. Sea A ∈ Matn×m(K). Se llama rango de filas de A, y se denota porrgf (A) la dimension del subespacio vectorial generado por las filas de la matriz A, esto es,

rgf (A) = dimk < A(1), . . . , A(n) >,

donde A(j) es la j-esima fila de A.

De la propia definicion se observa que el rango de filas de A ∈Matn×m(K) es menoro igual que n el numero de filas de A.

Definicion. Sea A ∈ Matn×m(K). Se llama rango de columnas de A, y se denotapor rgc(A), a la dimension del subespacio vectorial generado por las columnas de la matrizA, esto es,

rgc(A) = dimk < A(1), . . . , A(n) >,

siendo A(j) es la j-esima columna de A.

Observamos quergc(A) ≤ m,

donde m es el numero de columnas de A.

Nuestro objetivo es probar que para cualquier matriz A ∈Matn×m(K) se verifica que

rgf (A) = rgc(A).

Utilizaremos las aplicaciones lineales para demostrarlo.

Teorema 1.1. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimension n y m, respecti-vamente, f : V → W una aplicacion lineal BV , BW bases de V y W y MBV ,BW

(f) la

matriz asociada a f respecto de BV y BW . Entonces, rang(f) = rgf (MBV ,BW(f)).




2 Transformaciones elementales

Corolario 1.2. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimension n y m, respecti-vamente, f : V → W una aplicacion lineal. Entonces, todas las matrices asociadas a ftienen el mismo rango de filas.

Definicion. Sea A ∈ Matn×m(K). Se llama matriz traspuesta de A, y se denotapor At, a la matriz de orden m× n cuyas filas son las columnas de A.

Es obvio que el rango de filas de At coincide con el rango de columnas de A. Con ellodemostraremos:

Teorema 1.3. Sea A ∈ Matn×m(K). Entonces, rgf (A) = rgc(A).

La importancia de que rgf (A) = rgc(A) radica en que podemos definir el concepto derango de una matriz como el numero de filas o de columnas linealmente independientes.Lo denotaremos por rg(A).

Observamos que todas las matrices asociadas a una misma aplicacion lineal tienen elmismo rango y este coincide con el rango de la aplicacion lineal, esto es, con la dimensiondel espacio vectorial f(V ).

En el caso de matrices cuadradas, el rango nos permite caracterizar a las matricesinversibles, tal y como aparece en el siguiente resultado.

Proposicion 1.4. Sea A ∈ Matn×n(K). Entonces, A es inversible si y solo sirg(A) = n.

Para ello, si A es una matriz inversible construimos una aplicacion lineal cuya ma-triz asociada sea A y se comprueba que A es equivalente a In y, por tanto, rg(A) = n.Recıprocamente, si rg(A) = n la aplicacion lineal construida cuya matriz asociada es Averifica que In es otra matriz asociada luego A = PInQ, con P y Q inversibles, luego A esinversible.

2. Transformaciones elementales. Calculo del rango.

En esta apartado se da un metodo para calcular el rango de una matriz empleandotransformaciones elementales.

Definicion. Una transformacion elemental consiste en realizar una de las sigu-ientes acciones en la matriz A:

1. Intercambiar dos filas (o dos columnas) de posicion.

2. Cambiar una fila (o columna) por λ ella misma, siendo λ ∈ K − {0}.




Sistemas de ecuaciones lineales 3

3. Sustituir una fila (o columna) por ella misma mas una combinacion lineal del resto delas filas (o columnas).

Al aplicar cualquiera de las transformaciones elementales anteriores el rango de unamatriz A no varıa. Por tanto, podemos emplear estas transformaciones aplicadas a unamatriz A para calcular su rango, pasando de la matriz dada A a otra mas sencilla quetenga su mismo rango por haber realizado solo tranformaciones elementales. Se entenderapor matriz mas sencilla aquella que presente entradas 0 fuera de la diagonal principal o almenos por debajo o por encima de la misma.

Las matrices elementales que realizan en A las transformaciones elementales son:

Pij = (pkl) ∈Mats×s(K), pkl =

1 k = l, k = i, j0 k = l = i0 k = l = j0 k = l, (k, l) ∈ {(i, j), (j, i)}1 (k, l) ∈ {(i, j), (j, i)}

Tij(λ) = (tkl) ∈Mats×s(K), tkl =

1 k = l0 k = l y (k, l) = (i, j)λ (k, l) = (i, j)

Qi(λ) = Tii(λ) ∈Mats×s(K).

En el caso de Tij(λ) y de Qi(λ) se toma λ ∈ K − {0} para que la matriz resultante seainversible. Tomando el parametro s el valor adecuado para poder realizar el producto dematrices, es claro que

1. PijA intercambia en A las filas i y j.

2. APij intercambia en A las columnas i y j.

3. Tij(λ)A sustituye la fila i-esima de A por A(i) + λA(j).

4. ATji(λ) sustituye la columna i-esima de A por A(i) + λA(j).

5. Qi(λ)A sustituye la fila i-esima de A por λA(i).

6. AQi(λ) sustituye la columna i-esima de A por λA(i).

Se observa que al realizar transformaciones elementales en realidad estamos multi-plicando la matriz A por matrices inversibles, luego la matriz A y la obtenida tras lamultiplicacion son matrices equivalentes. Este hecho es el que garantiza que el rango de Ay de la matriz resultante coincide.




4 Sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo.

1. Sea A =

1 1 0 10 1 0 11 1 −1 1

∈ Mat3×4(R). Sabemos que rg(A) ≤ 3. Lo calculamos

empleando transformaciones elementales:

1 1 0 10 1 0 11 1 −1 1

∼T12(−1)A

1 0 0 00 1 0 11 1 −1 1

∼T32(−1)T12(−1)A

1 0 0 00 1 0 11 0 −1 0

∼

T31(−1)T32(−1)T12(−1)A

1 0 0 00 1 0 10 0 −1 0

∼

T31(−1)T32(−1)T12(−1)AT42(−1)

1 0 0 00 1 0 00 0 −1 0

∼

Q3(−1)T31(−1)T32(−1)T12(−1)AT42(−1)

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

Como se observa hemos ido anotando las transformaciones elementales que hemosido realizando para poder obtener de forma rapida las matrices P ∈ Mat4×4(R) y Q ∈Mat3×3(R) tales que PAQ = B. Tomamos P = Q3(−1)T31(−1)T32(−1)T12(−1) y Q =T42(−1). Observamos que P lleva las transformaciones por filas que hemos realizado y Qlleva las transformaciones elementales por columnas realizadas.

3. Sistemas de ecuaciones lineales.

Definicion. Una ecuacion lineal en las indeterminadas o variables x1, . . ., xm es unaexpresion del tipo

m∑j=1

aijxj = bi,

donde aij , bi ∈ K para todo j = 1, . . . ,m.

Definicion. Un sistema de ecuaciones lineales en las variables x1, . . ., xm es unconjunto de ecuaciones lineales en estas variables.

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden expresar matricialmente. Ası, si tenemos





el sistema de n ecuaciones lineales en las incognitas x1, . . ., xm dado por:a11x1 + . . .+ a1mxm = b1

...

an1x1 + . . .+ anmxm = b1n

podemos escribirlo matricialmente de la forma siguiente: a11 . . . a1m

......

an1 . . . anm

x1...xm

=

b1...bn

A la matriz A = (aij) ∈ Matn×m(K) se le llama matriz del sistema, a B = (bi) ∈Matn×1(K) se le denomina matriz de los terminos independientes y a matriz (A|B)se le llama matriz ampliada. A la expresion AX = B se le conoce como expresionmatricial del sistema de ecuaciones lineales.

Definicion. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogeneo si todoslos terminos independientes son 0K .

4. Resolucion de un sistema de ecuaciones lineales.

Sea AX = B un sistema de n ecuaciones lineales en las variables x1, . . ., xm. Se dice

que

λ1...λm

∈ Matm×1(K) es una solucion del sistema si se verifica A

λ1...λm

= B.

Resolver una sistema de ecuaciones lineales consiste en localizar todas las solucionesdel mismo, si es que existen. Cuando un sistema de ecuaciones lineales no tiene solucionse dice que es incompatible.

Si tiene al menos una solucion se dice que el sistema es compatible. Si en un sistemacompatible hay una unica solucion diremos que el sistema es determinado y si hay masde una solucion es indeterminado.

Los sistemas de ecuaciones lineales homogeneos son todos compatibles ya que ad-

miten al menos una solucion:

0K...0K

∈ Matm×1(K). A esta solucion se le conoce como

solucion trivial. Con el siguiente teorema podemos saber de forma rapida si un sistemade ecuaciones lineales no homogeneo es compatible o no:

Teorema 4.1.(Teorema de Rouche-Frobenius) Sea AX = B un sistema deecuaciones lineales. Entonces, es compatible si y solo si el rango de la matriz del sistema




6 Calculo de la matriz inversa

y el rango de la matriz ampliada coinciden, esto es,

rg(A) = rg(A|B).

Proposicion 4.2. Sea el sistema de ecuaciones lineales homogeneo AX = 0. En-tonces, las soluciones del sistema homogeneo forman el nucleo de la aplicacion lineal

ψ : Matm×1(K) −→ Kn λ1...λm

7−→ (a11λ1 + . . .+ a1mλm, . . . , an1λ1 + . . .+ anmλm).

Proposicion 4.3. Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales no homogeneo

compatible y

α1...αm

es una solucion del mismo. Entonces, todas las soluciones del sis-

tema vienen dadas por

α1...αm

+ Ker(ψ), donde ψ es la aplicacion lineal definida en la

proposicion anterior.

Una vez resuelto el saber cuando existe solucion y como son las soluciones una vezque se conoce una, queda pendiente localizar, precisamente, esta solucion particular paraluego poder construir todas las soluciones una vez calculado el nucleo de ψ.

Para los sistemas de ecuaciones lineales no homogeneos, una forma de localizar lasolucion particular es realizando tranasformaciones elementales en las filas de la matrizampliada, hasta conseguir otro sistema que tenga por matriz una triangular. De este modo,el nuevo sistema resultante tendra la misma solucion que el sistema de partida pero es massencillo de resolver.

5. Aplicacion de las transformaciones elementales al calculo de lamatriz inversa.

Si A ∈ Matn×n(K) inversible podemos interpretar la busqueda de su inversa de la

forma siguiente: si A−1 =

x11 . . . x1n...

...xn1 · · · xnn

, sabemos que

a11 . . . a1n...

...an1 · · · ann

x11 . . . x1n...

...xn1 · · · xnn

=

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 0...

......

...0 0 0 . . . 1

,





luego buscar A−1 es localizar la solucion de los sistemas de ecuaciones lineales

AX(i) = Ei, ∀i = 1, . . . , n,

siendo X(i) =

x1i...xni

y Ei =

0...010...0

, estando el 1 en la fila i-esima. Entonces, si partimos

de la matriz (A|In) y realizamos transformaciones elementales solo por filas hasta llegara (In|B), es evidente que A−1 = B.




1. Rango de una matriz.

Definicion. Sea A ∈ Matn×m(K). Se llama rango de filas de A, y se denota porrgf (A) la dimension del subespacio vectorial generado por las filas de la matriz A, esto es,

rgf (A) = dimk < A(1), . . . , A(n) >,

donde A(j) es la j-esima fila de A.

De la propia definicion se observa que el rango de filas de A ∈Matn×m(K) es menoro igual que n el numero de filas de A.

Definicion. Sea A ∈ Matn×m(K). Se llama rango de columnas de A, y se denotapor rgc(A), a la dimension del subespacio vectorial generado por las columnas de la matrizA, esto es,

rgc(A) = dimk < A(1), . . . , A(n) >,

siendo A(j) es la j-esima columna de A.

Observamos quergc(A) ≤ m,

donde m es el numero de columnas de A.

Nuestro objetivo es probar que para cualquier matriz A ∈Matn×m(K) se verifica que

rgf (A) = rgc(A).

Utilizaremos las aplicaciones lineales para demostrarlo.

Teorema 1.1. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimension n y m, respecti-vamente, f : V → W una aplicacion lineal BV , BW bases de V y W y MBV ,BW

(f) la

matriz asociada a f respecto de BV y BW . Entonces, rang(f) = rgf (MBV ,BW(f)).

Corolario 1.2. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimension n y m, respecti-vamente, f : V → W una aplicacion lineal. Entonces, todas las matrices asociadas a ftienen el mismo rango de filas.

Definicion. Sea A ∈ Matn×m(K). Se llama matriz traspuesta de A, y se denotapor At, a la matriz de orden m× n cuyas filas son las columnas de A.

Es obvio que el rango de filas de At coincide con el rango de columnas de A. Con ellodemostraremos:




2 Rango de una matriz

Teorema 1.3. Sea A ∈ Matn×m(K). Entonces, rgf (A) = rgc(A).

La importancia de que rgf (A) = rgc(A) radica en que podemos definir el concepto derango de una matriz como el numero de filas o de columnas linealmente independientes.Lo denotaremos por rg(A).

Observamos que todas las matrices asociadas a una misma aplicacion lineal tienen elmismo rango y este coincide con el rango de la aplicacion lineal, esto es, con la dimensiondel espacio vectorial f(V ).

En el caso de matrices cuadradas, el rango nos permite caracterizar a las matricesinversibles, tal y como aparece en el siguiente resultado.

Proposicion 1.4. Sea A ∈ Matn×n(K). Entonces, A es inversible si y solo sirg(A) = n.

Para ello, si A es una matriz inversible construimos una aplicacion lineal cuya ma-triz asociada sea A y se comprueba que A es equivalente a In y, por tanto, rg(A) = n.Recıprocamente, si rg(A) = n la aplicacion lineal construida cuya matriz asociada es Averifica que In es otra matriz asociada luego A = PInQ, con P y Q inversibles, luego A esinversible.




2. Transformaciones elementales. Calculo del rango.

En esta apartado se da un metodo para calcular el rango de una matriz empleandotransformaciones elementales.

Definicion. Una transformacion elemental consiste en realizar una de las sigu-ientes acciones en la matriz A:

1. Intercambiar dos filas (o dos columnas) de posicion.

2. Cambiar una fila (o columna) por λ ella misma, siendo λ ∈ K − {0}.

3. Sustituir una fila (o columna) por ella misma mas una combinacion lineal del resto delas filas (o columnas).

Al aplicar cualquiera de las transformaciones elementales anteriores el rango de unamatriz A no varıa. Por tanto, podemos emplear estas transformaciones aplicadas a unamatriz A para calcular su rango, pasando de la matriz dada A a otra mas sencilla quetenga su mismo rango por haber realizado solo tranformaciones elementales. Se entenderapor matriz mas sencilla aquella que presente entradas 0 fuera de la diagonal principal o almenos por debajo o por encima de la misma.

Las matrices elementales que realizan en A las transformaciones elementales son:

Pij = (pkl) ∈Mats×s(K), pkl =

1 k = l, k = i, j0 k = l = i0 k = l = j0 k = l, (k, l) ∈ {(i, j), (j, i)}1 (k, l) ∈ {(i, j), (j, i)}


1 k = l0 k = l y (k, l) = (i, j)λ (k, l) = (i, j)


En el caso de Tij(λ) y de Qi(λ) se toma λ ∈ K − {0} para que la matriz resultante seainversible. Tomando el parametro s el valor adecuado para poder realizar el producto dematrices, es claro que

1. PijA intercambia en A las filas i y j.

2. APij intercambia en A las columnas i y j.

3. Tij(λ)A sustituye la fila i-esima de A por A(i) + λA(j).

4. ATji(λ) sustituye la columna i-esima de A por A(i) + λA(j).




2 Transformaciones elementales

5. Qi(λ)A sustituye la fila i-esima de A por λA(i).

6. AQi(λ) sustituye la columna i-esima de A por λA(i).

Se observa que al realizar transformaciones elementales en realidad estamos multi-plicando la matriz A por matrices inversibles, luego la matriz A y la obtenida tras lamultiplicacion son matrices equivalentes. Este hecho es el que garantiza que el rango de Ay de la matriz resultante coincide.

Ejemplo.

1. Sea A =

1 1 0 10 1 0 11 1 −1 1

∈ Mat3×4(R). Sabemos que rg(A) ≤ 3. Lo calculamos

empleando transformaciones elementales:

1 1 0 10 1 0 11 1 −1 1

∼T12(−1)A

1 0 0 00 1 0 11 1 −1 1

∼T32(−1)T12(−1)A

1 0 0 00 1 0 11 0 −1 0

∼

T31(−1)T32(−1)T12(−1)A

1 0 0 00 1 0 10 0 −1 0

∼

T31(−1)T32(−1)T12(−1)AT42(−1)

1 0 0 00 1 0 00 0 −1 0

∼

Q3(−1)T31(−1)T32(−1)T12(−1)AT42(−1)

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

Como se observa hemos ido anotando las transformaciones elementales que hemosido realizando para poder obtener de forma rapida las matrices P ∈ Mat4×4(R) y Q ∈Mat3×3(R) tales que PAQ = B. Tomamos P = Q3(−1)T31(−1)T32(−1)T12(−1) y Q =T42(−1). Observamos que P lleva las transformaciones por filas que hemos realizado y Qlleva las transformaciones elementales por columnas realizadas.




3. Sistemas de ecuaciones lineales.

Definicion. Una ecuacion lineal en las indeterminadas o variables x1, . . ., xm es unaexpresion del tipo

m∑j=1

aijxj = bi,

donde aij , bi ∈ K para todo j = 1, . . . ,m.

Definicion. Un sistema de ecuaciones lineales en las variables x1, . . ., xm es unconjunto de ecuaciones lineales en estas variables.

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden expresar matricialmente. Ası, si tenemosel sistema de n ecuaciones lineales en las incognitas x1, . . ., xm dado por:

a11x1 + . . .+ a1mxm = b1

...

an1x1 + . . .+ anmxm = b1n

podemos escribirlo matricialmente de la forma siguiente: a11 . . . a1m

......

an1 . . . anm

x1...xm

=

b1...bn

A la matriz A = (aij) ∈ Matn×m(K) se le llama matriz del sistema, a B = (bi) ∈Matn×1(K) se le denomina matriz de los terminos independientes y a matriz (A|B)se le llama matriz ampliada. A la expresion AX = B se le conoce como expresionmatricial del sistema de ecuaciones lineales.

Definicion. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogeneo si todoslos terminos independientes son 0K .




4. Resolucion de un sistema de ecuaciones lineales.

Sea AX = B un sistema de n ecuaciones lineales en las variables x1, . . ., xm. Se dice

que

λ1...λm

∈ Matm×1(K) es una solucion del sistema si se verifica A

λ1...λm

= B.

Resolver una sistema de ecuaciones lineales consiste en localizar todas las solucionesdel mismo, si es que existen. Cuando un sistema de ecuaciones lineales no tiene solucionse dice que es incompatible.

Si tiene al menos una solucion se dice que el sistema es compatible. Si en un sistemacompatible hay una unica solucion diremos que el sistema es determinado y si hay masde una solucion es indeterminado.

Los sistemas de ecuaciones lineales homogeneos son todos compatibles ya que ad-

miten al menos una solucion:

0K...0K

∈ Matm×1(K). A esta solucion se le conoce como

solucion trivial. Con el siguiente teorema podemos saber de forma rapida si un sistemade ecuaciones lineales no homogeneo es compatible o no:

Teorema 4.1.(Teorema de Rouche-Frobenius) Sea AX = B un sistema deecuaciones lineales. Entonces, es compatible si y solo si el rango de la matriz del sistemay el rango de la matriz ampliada coinciden, esto es,

rg(A) = rg(A|B).

Proposicion 4.2. Sea el sistema de ecuaciones lineales homogeneo AX = 0. En-tonces, las soluciones del sistema homogeneo forman el nucleo de la aplicacion lineal

ψ : Matm×1(K) −→ Kn λ1...λm

7−→ (a11λ1 + . . .+ a1mλm, . . . , an1λ1 + . . .+ anmλm).

Proposicion 4.3. Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales no homogeneo

compatible y

α1...αm

es una solucion del mismo. Entonces, todas las soluciones del sis-




2 Resolucion de un sistema de ecuaciones lineales

tema vienen dadas por

α1...αm

+ Ker(ψ), donde ψ es la aplicacion lineal definida en la

proposicion anterior.

Una vez resuelto el saber cuando existe solucion y como son las soluciones una vezque se conoce una, queda pendiente localizar, precisamente, esta solucion particular paraluego poder construir todas las soluciones una vez calculado el nucleo de ψ.

Para los sistemas de ecuaciones lineales no homogeneos, una forma de localizar lasolucion particular es realizando tranasformaciones elementales en las filas de la matrizampliada, hasta conseguir otro sistema que tenga por matriz una triangular. De este modo,el nuevo sistema resultante tendra la misma solucion que el sistema de partida pero es massencillo de resolver.




5. Aplicacion de las transformaciones elementales al calculo de lamatriz inversa.

Si A ∈ Matn×n(K) inversible podemos interpretar la busqueda de su inversa de la

forma siguiente: si A−1 =

x11 . . . x1n...

...xn1 · · · xnn

, sabemos que

a11 . . . a1n...

...an1 · · · ann

x11 . . . x1n...

...xn1 · · · xnn

=

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 0...

......

...0 0 0 . . . 1

,

luego buscar A−1 es localizar la solucion de los sistemas de ecuaciones lineales

AX(i) = Ei, ∀i = 1, . . . , n,

siendo X(i) =

x1i...xni

y Ei =

0...010...0

, estando el 1 en la fila i-esima. Entonces, si partimos

de la matriz (A|In) y realizamos transformaciones elementales solo por filas hasta llegara (In|B), es evidente que A−1 = B.




Tema 5: Determinantes.

1. El grupo simetrico.

Definicion. Una permutacion del conjunto {1, . . . , n} es una aplicacion biyectivade {1, . . . , n} en si mismo.

Se define el conjunto

Σn = {f : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} | f es una permutacion }

En este conjunto definimos el producto de dos permutaciones f, g ∈ Σn mediante fg =g ◦ f , donde ◦ es composicion usual de aplicaciones.

Es facil ver que

Proposicion 1.1. (Σn, ·) es un grupo, llamado grupo simetrico de grado n.

Una notacion sencilla para denotar las permutaciones f ∈ Σn es la siguiente(1 2 3 · · · n

f(1) f(2) f(3) · · · f(n)

)En la primera fila se colocan los elementos de {1, 2, · · · , n} y debajo de cada elemento suimagen.

Ejemplo.

1. La permutacion f : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} definida por

f(1) = 3 f(2) = 7 f(3) = 2 f(4) = 5f(5) = 6 f(6) = 4 f(7) = 1 f(8) = 8




2 El grupo simetrico

se escribira (1 2 3 4 5 6 7 83 7 2 5 6 4 1 8

)

Definicion. Una trasposicion de (Σn, ·) es una permutacion f ∈ Σn que verificaque existen dos elementos distintos i, j ∈ {1, . . . , n}, tales que

f(i) = j, f(j) = i f(k) = k,∀k ∈ {1, . . . , n} − {i, j} (1)

Las trasposiciones se suelen denotar por (i j), donde i, j ∈ {1, . . . , n} verifican (1).

Ejemplo.

1. La trasposicion (2 7) ∈ Σ8 es la aplicacion biyectiva tal que f(i) = i, para i ∈{1, 3, 4, 5, 6, 8}, f(2) = 7 y f(7) = 2.

Definicion. Un ciclo de longitud r de Σn es una permutacion f de Σn para la queexisten {i1, . . . , ir} ⊆ {1, . . . , n}, donde ij = ik si j = k, tales que

f(ij) = ij+1, para j = 1, . . . , r − 1,

f(ir) = i1

f(k) = k, si k ∈ {1, . . . , n} − {i1, . . . , ir}

Los r-ciclos se suelen denotar por (i1 . . . ir).

Dos ciclos de Σn, (i1 . . . ir) y (j1 . . . js) se dice que son disjuntos si {i1, . . . , ir} ∩{j1, . . . , js} es el conjunto vacıo.

Ejemplo.

1. El ciclo (1 3 2 7) ∈ Σ8 es la aplicacion biyectiva tal que f(i) = i, para i ∈ {4, 5, 6, 8},f(1) = 3, f(3) = 2, f(2) = 7 y f(7) = 1.

2. Los ciclos (1 3 2 7), (6 4 5) ∈ Σ8 son disjuntos.

Los ciclos nos permiten expresar cualquier permutacion como producto de ciclos dis-juntos. En efecto,

Proposicion 1.2. Sea f ∈ Σn una permutacion. Entonces, f se expresa de formaunica como producto de ciclos disjuntos, salvo el orden de los factores.




Determinantes 3

Ejemplo.

1. Consideramos la aplicacion (1 2 3 4 5 6 7 83 7 2 5 6 4 1 8

)Para buscar su descomposicion en ciclos disjuntos procedemos de la siguiente manera:

(a) Buscamos el primer elemento tal que f(i) = i. En esta caso, i = 1.

(b) Realizamos las imagenes sucesivas de i, esto es, f(i), f(f(i)), f(f(f(i))), · · ·hasta que fk(i) = i. En este caso f(1) = 3, f(f(1)) = 2, f(f(f(1))) = 7f(f(f(f(1)))) = 1

(c) Se construye el ciclo (f(i) f(f(i)) · · · fk(i)). En este caso, (3 2 7 1).

(d) Se repiten los pasos (a), (b) y (c) con el resto de los valores de {1, 2, · · · , n} queno figuren el los ciclos construidos en pasos anteriores y hasta que los valores quenos queden verifiquen f(k) = k. En este caso, tomamos i = 4 y construimos elciclo (5 6 4).

(e) Entonces, la permutacion f sera el producto de los ciclos construidos. En nuestroejemplo, (3 2 7 1)(5 6 4). Como se observa, por la forma de construccion, losciclos que aparecen en el producto son disjuntos.

Proposicion 1.3. Sea (i1 . . . ir) ∈ Σn un ciclo de longitud r. Entonces, (i1 . . . ir) sedescompone como producto de trasposiciones.

Para demostrar la Proposicion anterior es suficiente con encontrar una descomposiciondel ciclo en trasposiciones. Ası, si tomamos (i1 . . . ir) ∈ Σn basta tomar el producto detrasposiciones (i1 ir)(ir ir−1)(ir−1 ir−2) · · · (i3 i2).

Ejemplo.

1. Tomamos el ciclo (1 3 2 7) ∈ Σ8. Entonces, un producto de trasposiciones que nos dael ciclo es: (1 7)(7 2)(2 3).

Utilizando que cada permutacion se escribe como producto de ciclos disjuntos y quecada ciclo es producto de trasposiciones, es facil demostrar:

Corolario 1.4. Cada permutacion de Σn se expresa como producto de trasposiciones.

Proposicion 1.5. Sea f una permutacion de Σn. Si se descompone como un numero




4 Determinante de una matriz

par (impar) de trasposiciones, entonces cualquier descomposicion de f en producto detrasposiciones tendra un numero par (impar) de trasposiones.

Definicion. Sea f una permutacion de Σn. Se llama signatura de f , y se denotapor ef , a

ef =

{1, si f se descompone como un producto de un numero par de trasposiciones;−1, si f se descompone en un producto de un numero impar de trasposiciones.

Ejemplo.

1. Tomamos el ciclo (1 3 2 7) ∈ Σ8. Sabemos que un producto de trasposiciones que nosda el ciclo es: (1 7)(7 2)(2 3). Entonces, la signatura del ciclo (1 3 2 7) ∈ Σ8 es -1 yaque cualquier producto de trasposiciones que de (1 3 2 7) tiene un numero impar detrasposiciones.

Se observa que la signatura de la permutacion f y la de f−1 son iguales.

2. Determinante de una matriz.

Definicion. Sea A = (aij) ∈ Matn×n(K). Se llama determinante de A, y se denotapor det(A), al escalar

det(A) = |A| =∑α∈Σn

eαaα(1)1 . . . aα(n)n.

Ejemplos

1. Si A ∈ Mat2×2(K), entonces det(A) =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21


∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 − a12a21a33 −

a13a31a22 − a32a23a11 + a12a23a31 +−a13a32a21.

3. Si A ∈ Matn×n(K) es una matriz triangular, entonces det(A) = a11a22 . . . ann.

Los determinantes tienen las siguientes propiedades:

1. Si A ∈ Matn×n(K) y At es su matriz traspuesta, entonces det(A) = det(At).

2. Si A ∈ Matn×n(K) tiene dos columnas (filas) iguales, entonces det(A) = 0.




Determinantes 5

3. Si en la matriz A ∈ Matn×n(K) se multiplica una columna (una fila) por el escalar λ,entonces el determinante de la matriz resultante es λdet(A).

4. El determinante de la matriz A no cambia si se sustituye la columnna (fila) i por ellamisma mas una combinacion lineal de las restantes columnas (filas).

5. Si A ∈ Matn×n(K) y a la columna A(i) ( fila A(i)) le anadimos B ∈ Matn×1(K) (B ∈ Mat1×n(K)), entonces el determinante de la matriz C resultante verifica det(C) =det(A) + det(D), donde D ∈ Matn×n(K) es la matriz que tiene por columnas (filas)las mismas que la matriz A salvo la i-esima que es B.

6. Si en la matriz A ∈ Matn×n(K) se intercambian de posicion dos columnas (o filas), eldeterminante de la matriz resultante B verifica det(B) = −det(A).

7. Si A,B ∈ Matn×n(K), entonces |AB| = |A||B|.

Las propiedades anteriores nos sirven para calcular determinantes de matrices. Porello, realizaremos operaciones en las matrices para conseguir determinantes de matricesque esten relacionados con el determinante de la matriz original y sean mas sencillos decalcular. Una estrategia buena puede ser ir haciendo ’0’ en la matriz para conseguiruna matriz triangular, cuyo determinante es el producto de los elementos de la diagonalprincipal.

Por otro lado, los determinantes nos sirven para caracterizar las matrices inversibles:

Proposicion 2.1. Una matriz A ∈ Matn×n(K) es inversible si y solo si |A| = 0.Ademas, si A es inversible, |A−1| = |A|−1.

3. Calculo de determinantes mediante desarrollos.

Definicion. Dada una matriz A ∈ Matn×n(K), se llama adjunto del elemento ij,donde 1 ≤ i, j ≤ n a (−1)i+j∆ij , siendo ∆ij el determinante de la matriz que se obtieneal eliminar la fila i y la columna j en A. A la matriz B ∈ Matn×n(K) tal que

bij = (−1)i+j∆ij

se le llama matriz adjunta de A.

Proposicion 3.1. Sea A ∈ Matn×n(K). Entonces,

det(A) =

n∑j=1

aij(−1)i+j∆ij .




6 Aplicaciones de los determinantes

A la expresion que aparece en la Proposicion anterior se le conoce como desarrollodel determinante de A por la fila i-esima.


det(A) =

n∑i=1

aij(−1)i+j∆ij .

A la expresion que aparece en la Proposicion anterior se le llama desarrollo deldeterminante de A por la columna j-esima.

La importancia de poder calcular determinantes de matrices cuadradas mediante de-sarrollos por filas o columnas estriba en que da un metodo para calcular determinantesbasado en el calculo de determinantes de matrices de orden inferior. Ası, si se desea calcu-lar el determinante de una matriz 4x4, bastara con calcular 4 determinantes de matricesde orden 3x3. Por ejemplo,∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣∣ =a11∣∣∣∣∣∣a22 a23 a24a32 a33 a34a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣∣∣a21 a23 a24a31 a33 a34a41 a43 a44

∣∣∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣∣∣a21 a22 a24a31 a32 a34a41 a42 a44

∣∣∣∣∣∣− a14

∣∣∣∣∣∣a21 a22 a23a31 a32 a33a41 a42 a43

∣∣∣∣∣∣ .

4. Aplicaciones de los determinantes.

Los determinantes presentan varias aplicaciones. Entre ellas, destacan las siguientes:

Proposicion 4.1.(Calculo de rangos) Sea A ∈ Matn×m(K). Entonces, el rangode A es r si y solo si existe una submatriz de A de orden r × r con determinante no nuloy todas las submatrices de A de orden (r + 1)× (r + 1) tienen determinante 0.

Tambien sirven los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales com-patibles determinados, mediante la llamada Regla de Cramer:

Proposicion 4.2.(Regla de Cramer) Sea AX = B, donde A ∈ Matn×n(K),X,B ∈ Matn×1(K) un sistema de ecuaciones lineal compatible determinado. Entonces, la




Determinantes 7

unica solucion del mismo viene dado por xj =|Cj ||A| , donde |Cj | es la matriz que se obtiene

a partir de A sustituyendo la columna j-esima de A por B, para j = 1, . . . , n.

Observar que al ser el sistema compatible determinado tenemos que rg(A) = n ydet(A) = 0.

Proposicion 4.3. Sea A ∈ Matn×n(K) una matriz inversible. Entonces, A−1 =adj(A)t|A|−1, donde adj(A) es la matriz adjunta de A.




1. El grupo simetrico.

Definicion. Una permutacion del conjunto {1, . . . , n} es una aplicacion biyectivade {1, . . . , n} en si mismo.

Se define el conjunto

Σn = {f : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} | f es una permutacion }

En este conjunto definimos el producto de dos permutaciones f, g ∈ Σn mediante fg =g ◦ f , donde ◦ es composicion usual de aplicaciones.

Es facil ver que

Proposicion 1.1. (Σn, ·) es un grupo, llamado grupo simetrico de grado n.

Una notacion sencilla para denotar las permutaciones f ∈ Σn es la siguiente(1 2 3 · · · n

f(1) f(2) f(3) · · · f(n)

)En la primera fila se colocan los elementos de {1, 2, · · · , n} y debajo de cada elemento suimagen.

Ejemplo.

1. La permutacion f : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} definida por

f(1) = 3 f(2) = 7 f(3) = 2 f(4) = 5f(5) = 6 f(6) = 4 f(7) = 1 f(8) = 8

se escribira (1 2 3 4 5 6 7 83 7 2 5 6 4 1 8

)

Definicion. Una trasposicion de (Σn, ·) es una permutacion f ∈ Σn que verificaque existen dos elementos distintos i, j ∈ {1, . . . , n}, tales que

f(i) = j, f(j) = i f(k) = k,∀k ∈ {1, . . . , n} − {i, j} (1)

Las trasposiciones se suelen denotar por (i j), donde i, j ∈ {1, . . . , n} verifican (1).





Ejemplo.

1. La trasposicion (2 7) ∈ Σ8 es la aplicacion biyectiva tal que f(i) = i, para i ∈{1, 3, 4, 5, 6, 8}, f(2) = 7 y f(7) = 2.

Definicion. Un ciclo de longitud r de Σn es una permutacion f de Σn para la queexisten {i1, . . . , ir} ⊆ {1, . . . , n}, donde ij = ik si j = k, tales que

f(ij) = ij+1, para j = 1, . . . , r − 1,

f(ir) = i1

f(k) = k, si k ∈ {1, . . . , n} − {i1, . . . , ir}

Los r-ciclos se suelen denotar por (i1 . . . ir).

Dos ciclos de Σn, (i1 . . . ir) y (j1 . . . js) se dice que son disjuntos si {i1, . . . , ir} ∩{j1, . . . , js} es el conjunto vacıo.

Ejemplo.

1. El ciclo (1 3 2 7) ∈ Σ8 es la aplicacion biyectiva tal que f(i) = i, para i ∈ {4, 5, 6, 8},f(1) = 3, f(3) = 2, f(2) = 7 y f(7) = 1.

2. Los ciclos (1 3 2 7), (6 4 5) ∈ Σ8 son disjuntos.

Los ciclos nos permiten expresar cualquier permutacion como producto de ciclos dis-juntos. En efecto,

Proposicion 1.2. Sea f ∈ Σn una permutacion. Entonces, f se expresa de formaunica como producto de ciclos disjuntos, salvo el orden de los factores.

Ejemplo.

1. Consideramos la aplicacion (1 2 3 4 5 6 7 83 7 2 5 6 4 1 8

)Para buscar su descomposicion en ciclos disjuntos procedemos de la siguiente manera:

(a) Buscamos el primer elemento tal que f(i) = i. En esta caso, i = 1.

(b) Realizamos las imagenes sucesivas de i, esto es, f(i), f(f(i)), f(f(f(i))), · · ·hasta que fk(i) = i. En este caso f(1) = 3, f(f(1)) = 2, f(f(f(1))) = 7f(f(f(f(1)))) = 1




Determinantes 3

(c) Se construye el ciclo (f(i) f(f(i)) · · · fk(i)). En este caso, (3 2 7 1).

(d) Se repiten los pasos (a), (b) y (c) con el resto de los valores de {1, 2, · · · , n} queno figuren el los ciclos construidos en pasos anteriores y hasta que los valores quenos queden verifiquen f(k) = k. En este caso, tomamos i = 4 y construimos elciclo (5 6 4).

(e) Entonces, la permutacion f sera el producto de los ciclos construidos. En nuestroejemplo, (3 2 7 1)(5 6 4). Como se observa, por la forma de construccion, losciclos que aparecen en el producto son disjuntos.

Proposicion 1.3. Sea (i1 . . . ir) ∈ Σn un ciclo de longitud r. Entonces, (i1 . . . ir) sedescompone como producto de trasposiciones.

Para demostrar la Proposicion anterior es suficiente con encontrar una descomposiciondel ciclo en trasposiciones. Ası, si tomamos (i1 . . . ir) ∈ Σn basta tomar el producto detrasposiciones (i1 ir)(ir ir−1)(ir−1 ir−2) · · · (i3 i2).

Ejemplo.

1. Tomamos el ciclo (1 3 2 7) ∈ Σ8. Entonces, un producto de trasposiciones que nos dael ciclo es: (1 7)(7 2)(2 3).

Utilizando que cada permutacion se escribe como producto de ciclos disjuntos y quecada ciclo es producto de trasposiciones, es facil demostrar:

Corolario 1.4. Cada permutacion de Σn se expresa como producto de trasposiciones.

Proposicion 1.5. Sea f una permutacion de Σn. Si se descompone como un numeropar (impar) de trasposiciones, entonces cualquier descomposicion de f en producto detrasposiciones tendra un numero par (impar) de trasposiones.

Definicion. Sea f una permutacion de Σn. Se llama signatura de f , y se denotapor ef , a

ef =

{1, si f se descompone como un producto de un numero par de trasposiciones;−1, si f se descompone en un producto de un numero impar de trasposiciones.

Ejemplo.

1. Tomamos el ciclo (1 3 2 7) ∈ Σ8. Sabemos que un producto de trasposiciones que nosda el ciclo es: (1 7)(7 2)(2 3). Entonces, la signatura del ciclo (1 3 2 7) ∈ Σ8 es -1 ya





que cualquier producto de trasposiciones que de (1 3 2 7) tiene un numero impar detrasposiciones.

Se observa que la signatura de la permutacion f y la de f−1 son iguales.




2. Determinante de una matriz.

Definicion. Sea A = (aij) ∈ Matn×n(K). Se llama determinante de A, y se denotapor det(A), al escalar

det(A) = |A| =∑α∈Σn

eαaα(1)1 . . . aα(n)n.

Ejemplos


∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21


∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 − a12a21a33 −

a13a31a22 − a32a23a11 + a12a23a31 +−a13a32a21.

3. Si A ∈ Matn×n(K) es una matriz triangular, entonces det(A) = a11a22 . . . ann.

Los determinantes tienen las siguientes propiedades:

1. Si A ∈ Matn×n(K) y At es su matriz traspuesta, entonces det(A) = det(At).

2. Si A ∈ Matn×n(K) tiene dos columnas (filas) iguales, entonces det(A) = 0.

3. Si en la matriz A ∈ Matn×n(K) se multiplica una columna (una fila) por el escalar λ,entonces el determinante de la matriz resultante es λdet(A).

4. El determinante de la matriz A no cambia si se sustituye la columnna (fila) i por ellamisma mas una combinacion lineal de las restantes columnas (filas).

5. Si A ∈ Matn×n(K) y a la columna A(i) ( fila A(i)) le anadimos B ∈ Matn×1(K) (B ∈ Mat1×n(K)), entonces el determinante de la matriz C resultante verifica det(C) =det(A) + det(D), donde D ∈ Matn×n(K) es la matriz que tiene por columnas (filas)las mismas que la matriz A salvo la i-esima que es B.

6. Si en la matriz A ∈ Matn×n(K) se intercambian de posicion dos columnas (o filas), eldeterminante de la matriz resultante B verifica det(B) = −det(A).

7. Si A,B ∈ Matn×n(K), entonces |AB| = |A||B|.

Las propiedades anteriores nos sirven para calcular determinantes de matrices. Porello, realizaremos operaciones en las matrices para conseguir determinantes de matricesque esten relacionados con el determinante de la matriz original y sean mas sencillos de




2 Determinante de una matriz

calcular. Una estrategia buena puede ser ir haciendo ’0’ en la matriz para conseguiruna matriz triangular, cuyo determinante es el producto de los elementos de la diagonalprincipal.

Por otro lado, los determinantes nos sirven para caracterizar las matrices inversibles:

Proposicion 2.1. Una matriz A ∈ Matn×n(K) es inversible si y solo si |A| = 0.Ademas, si A es inversible, |A−1| = |A|−1.




3. Calculo de determinantes mediante desarrollos.

Definicion. Dada una matriz A ∈ Matn×n(K), se llama adjunto del elemento ij,donde 1 ≤ i, j ≤ n a (−1)i+j∆ij , siendo ∆ij el determinante de la matriz que se obtieneal eliminar la fila i y la columna j en A. A la matriz B ∈ Matn×n(K) tal que

bij = (−1)i+j∆ij

se le llama matriz adjunta de A.


det(A) =n∑

j=1

aij(−1)i+j∆ij .

A la expresion que aparece en la Proposicion anterior se le conoce como desarrollodel determinante de A por la fila i-esima.


det(A) =n∑

i=1

aij(−1)i+j∆ij .

A la expresion que aparece en la Proposicion anterior se le llama desarrollo deldeterminante de A por la columna j-esima.

La importancia de poder calcular determinantes de matrices cuadradas mediante de-sarrollos por filas o columnas estriba en que da un metodo para calcular determinantesbasado en el calculo de determinantes de matrices de orden inferior. Ası, si se desea calcu-lar el determinante de una matriz 4x4, bastara con calcular 4 determinantes de matricesde orden 3x3. Por ejemplo,∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣∣ =a11∣∣∣∣∣∣a22 a23 a24a32 a33 a34a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣∣∣a21 a23 a24a31 a33 a34a41 a43 a44

∣∣∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣∣∣a21 a22 a24a31 a32 a34a41 a42 a44

∣∣∣∣∣∣− a14

∣∣∣∣∣∣a21 a22 a23a31 a32 a33a41 a42 a43

∣∣∣∣∣∣ .




4. Aplicaciones de los determinantes.

Los determinantes presentan varias aplicaciones. Entre ellas, destacan las siguientes:

Proposicion 4.1.(Calculo de rangos) Sea A ∈ Matn×m(K). Entonces, el rangode A es r si y solo si existe una submatriz de A de orden r × r con determinante no nuloy todas las submatrices de A de orden (r + 1)× (r + 1) tienen determinante 0.

Tambien sirven los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales com-patibles determinados, mediante la llamada Regla de Cramer:

Proposicion 4.2.(Regla de Cramer) Sea AX = B, donde A ∈ Matn×n(K),X,B ∈ Matn×1(K) un sistema de ecuaciones lineal compatible determinado. Entonces, la

unica solucion del mismo viene dado por xj =|Cj ||A| , donde |Cj | es la matriz que se obtiene

a partir de A sustituyendo la columna j-esima de A por B, para j = 1, . . . , n.

Observar que al ser el sistema compatible determinado tenemos que rg(A) = n ydet(A) = 0.

Proposicion 4.3. Sea A ∈ Matn×n(K) una matriz inversible. Entonces, A−1 =adj(A)t|A|−1, donde adj(A) es la matriz adjunta de A.




Tema 6: Diagonalizacion.

1. Planteamiento del problema.

En lo que sigue, trabajamos en un K-espacio vectorial de dimension finita, que deno-taremos por V . Dada B una base de V y f : V → V una aplicacion lineal denotaremos porMBV

(f) a la matriz asociada a f cuando se toma en V la base B.

El primer problema que nos planteamos en este tema es el siguiente:

Dado una aplicacion lineal f : V → V , esto es un endomorfismo de V , deseamossaber bajo que condiciones podemos garantizar la existencia de una base BV respecto de lacual la matriz asociada a f es diagonal. Cuando esto suceda, diremos que el endomorfismof es diagonalizable. Ademas, en tal caso, nos interesara dar un metodo constructivo quenos permita obtener una base respecto de la cual la matriz asociada a f sea diagonal.

Lo primero que debemos observar es que este problema presenta una dificultad: la baseque se toma en V la utilizamos en origen y llegada para calcular la matriz asociada a f .Por ello, es de esperar que no todos los endomorfismos sean diagonalizables. De hecho, severa que para que sean diagonalizables deberan cumplir dos condiciones.

El mismo problema se puede enunciar en terminos de matrices. Dada una matrizA ∈Matn×n(K) queremos saber bajo que condiciones existe una matriz inversible P y unamatriz diagonal D tales que A = PDP−1. Cuando esto sucede se dira que A es una matrizdiagonalizable.

Aunque al enunciar los dos problemas parezca que no hay ninguna relacion entre ellos,lo cierto es que ambos estan intimamente relacionados. En efecto, si nos dan una matrizA ∈ Matn×n(K) la podemos interpretar como la matriz asociada a cierto endomorfismo fde un espacio vectorial V de dimension n. Teniendo esto en cuenta, el ver si una matriz esdiagonalizable es equivalente a estudiar si el endomorfismo asociado es diagonalizable.

Introducimos dos conceptos que nos apareceran frecuentemente: el de matrices se-




2 Subespacios f-invariantes

mejantes y el de matriz de paso.

Definicion. Dos matrices A,B ∈ Matn×n(K) se dice que son semejantes si existeuna matriz inversible, P , llamada matriz de paso, tal que A = PBP−1.

Obviamente, las matrices asociadas a un mismo endomorfismo de un espacio vectorial

V son semejantes ya que si A = MBV (f) y B = MB′V(f), entonces A = M

B′V

BVBMBV

B′V,

donde MBV

B′V

es la matriz de cambio de base de B′V a BV .

Estas dos ultimas definiciones permiten dar otra definicion equivalente de matrices dia-gonalizables: una matriz es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. Ademas,si f es un endomorfismo diagonalizable, observamos que todas las matrices asociadas a elson diagonalizables ya que son semejantes a una matriz diagonal.

Por ultimo, para los endomorfismos diagonalizables nos plantearemos el siguiente pro-blema: saber si una matriz es asociada a el o no en alguna base y en caso de serlo, localizarla base.

Asimismo, la version matricial del problema anterior es saber si dos matrices diagona-lizables son o no semejantes y, en caso de serlo, localizar una matriz de paso.

2. Subespacios f-invariantes.

En este segundo apartado realizamos una primera aproximacion a la resolucion delproblema planteado mediante los subespacios f -invariantes.

Definicion. Dado un endomorfismo f : V → V de un K-espacio vectorial V , unsubespacio W de V se dice que es f-invariante si f(W ) ⊆W .

Una caracterıstica importante de los subespacios f -invariantes es que si W ⊆ V es unsubespacio f -invariante de V y f : V → V , entonces f |W :W →W es un endomorfismo deW .

Ejemplo

1. Se considera la aplicacion lineal f : R3 → R3 definida por f((x, y, z)) = (−2y+4z,−x−y + z, 3x− 3y + z) y el subespacio U = {(x, y, z) ∈ R3|x− y + z = 0}. Entonces, U esf -invariante ya que para todo (x, y, z) ∈ U , se cumple que y = x+ z, luego

f((x, x+z, z)) = (−2(x+z)+4z,−x−x−z+z, 3x−3x−3z+z) = (−2x+2z,−2x,−2z)

y el vector (−2x+ 2z,−2x,−2z) ∈ U .

Necesitamos una nueva definicion:




Diagonalizacion 3

Definicion. Sea A ∈ Matn×n(K). Se dice que A es una matriz diagonal porbloques si

A =

B1

B2

. . .

Bs

,

donde Bi ∈Matmi×mi(K), para i = 1, . . . , s.

Cuando V se expresa como suma directa de subespacios f -invariantes, esto es V =W1 ⊕ . . .⊕Wm, las matrices asociadas a f tienen una forma peculiar tal y como se indicaen las siguientes proposiciones:

Proposicion 2.1. Sea V un K-espacio vectorial, f : V → V un endomorfismo y W1,W2 dos subespacios de V . Entonces, son equivalentes las siguientes afirmaciones:

(i) V =W1 ⊕W2, con W1,W2 subespacios f-invariantes.

(ii) Existe una base de V , BV , respecto de la cual la matriz asociada MBV(f) es diagonal

por bloques de la forma: MBV(f) =

(B1 00 B2

).

Para localizar la base que figura en el apartado (ii) de la Porposicion anterior, essuficiente con tomar una base que este formada por la union de bases de W1 y W2.

Ejemplo.

1. Si tomamos la aplicacion lineal f : R3 → R3 definida por f((x, y, z)) = (−2y+4z,−x−y + z, 3x − 3y + z) y los subespacios W1 = {(x, y, z) ∈ R3|x − y + z = 0} y W2 ={(x, 0, x)|x ∈ x. Entonces, W1 y W2 son f -invariantes y R3 = W1 ⊕W2. Por tanto, sitomamos la base BR3 = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} la matriz asociada a f escrita ennotacion por filas viene dada por −2 0 0

2 −2 00 0 4

.

El resultado anterior se puede generalizar:

Proposicion 2.2. Sea V un K-espacio vectorial, f : V → V un endomorfismo yW1,W2, . . . ,Wt subespacios de V . Entonces, son equivalentes las siguientes afirmaciones:

(i) V =W1 ⊕W2 ⊕ . . .⊕Wt, con Wi, i = 1 . . . t, subespacios f-invariantes.




4 Valores y vectores propios de un endomorfismo


por bloques de la forma: MBV (f) =

B1

B2

. . .

Bt

.

Por ello, lo que se intentara ver en los siguientes apartados es bajo que condiciones sepuede garantizar la existencia de una descomposicion de V como suma directa de subespa-cios f -invariantes tales que los bloques asociados a cada uno de ellos sean matrices diago-nales.

3. Valores y vectores propios de un endomorfismo.

Los conceptos de valor y vector propio de un endomorfismo seran imprescindibles a lahora de resolver el problema de diagonalizacion que nos hemos planteado en este tema.

Definicion. Sea V un K-espacio vectorial y f : V → V un endomorfismo. Un escalarλ ∈ K se dice que es un valor propio de f si existe v ∈ V − {0V } tal que f(v) = λv. Siλ ∈ K es un valor propio de f y v ∈ V − {0V } verifica que f(v) = λv, se dice que V es unvector propio asociado a λ de f .

Ejemplo.

1. Se considera la aplicacion lineal f : R3 → R3 definida por f((x, y, z)) = (x+ y, y, y+ z)y sea λ = 1. Entonces, para cada (x, 0, z) ∈ R3−{(0, 0, 0)} se cumple que f((x, 0, z)) =(x, 0, z), luego λ = 1 es un valor propio de f y (x, 0, z) ∈ R3 − {(0, 0, 0)} vector propioasociado al valor propio 1.

Es facil demostrar el siguiente resultado:

Proposicion 3.1. Sea V un K-espacio vectorial, f : V → V un endomorfismo y λ unvalor propio del endomorfismo f . Entonces, el conjunto

V (λ) = {v ∈ v | f(v) = λv}

es un subespacio f-invariante no nulo, llamado subespacio fundamental asociado alvalor propio λ. Ademas, si dim(V (λ)) = s, entonces la matriz asociada a f |BV (λ)

es de laforma λIs.

La dimension de este subespacio, conocida como multiplicidad geometrica de λ,sera fundamental para poder determinar si un endomorfismo es diagonalizable o no.




Diagonalizacion 5

Ejemplo.

1. Se considera, de nuevo, la aplicacion lineal f : R3 → R3 definida por f((x, y, z)) =(x+ y, y, y + z) y sea λ = 1. Entonces,

V (1) = {(x, y, z)|f((x, y, z)) = (x, y, z)} = {(x, 0, z)|x, z ∈ R}.

Consecuentemente, la multiplicidad geometrica del valor propio 1 es 2.

Por ultimo, un resultado que emplearemos posteriormente es:

Proposicion 3.2. Sea V un K-espacio vectorial, f : V → V un endomorfismo yλ1 . . . λr r valores propios distintos dos a dos de f . Si vi ∈ V (λi) un vector propio asociadoal valor propio λi, para i = 1, . . . , r, entonces el conjunto {v1, . . . , vr} es un conjunto libre.

4. Valores y vectores propios de una matriz. Polinomio carac-terıstico.

Del mismo modo que en el apartado anterior se han definido los conceptos de valor yvector propio de un endomorfismo, en este apartado se dan los conceptos analogos para unamatriz cuadrada. Tanto para definir el concepto de valor propio de una matriz como el devector propio, se emplea el uso de la notacion por filas en las coordenadas de un vector.

Definicion. Dada una matriz A ∈ Matn×n(K) y un escalar λ ∈ K se dice que λ esun valor propio de A si existe (a1 . . . an) ∈Mat1×n(K)−{(0 . . . 0)} tal que (a1 . . . an)A =λ(a1 . . . an). A (a1 . . . an) se le denominara vector propio asociado al valor propio λ.

Si tenemos en cuenta que dada una matriz cuadrada A ∈ Matn×n(K) la podemosinterpretar como la matriz asociada a un endomorfismo f de un espacio vectorial V dedimension n fijada una base BV , entonces los vectores propios de A nos dan precisamentelas coordenadas de los vectores propios de f en la base BV , empleando la notacion por filas.En caso de usar la notacion por columnas, sera necesario definir los vectores propios como

vectores columna

a1...an

tales que A

a1...an

= λ

a1...an

para que se siga manteniendo la

interpretacion anterior.

Realizando un estudio paralelo al llevado a cabo en el apartado anterior, podemosconstruir un subespacio VA(λ) que estara formado por todos los vectores propios asociadosal valor propio λ y el vector (0 . . . 0), esto es

VA(λ) = {(a1 . . . an) ∈Mat1×n(K)|(a1 . . . an)A = λ(a1 . . . an)}.




6 Valores y vectores propios de una matriz. Polinomio caracterıstico

Este subespacio desempenara el mismo papel que V (λ) a la hora de analizar si unamatriz es diagonalizable o no.

Para poder obtener de forma sencilla los valores propios de una matriz tenemos elconcepto de polinomio caracterıstico de una matriz A ∈Matn×n(K), que es χA(x) =det(xIn −A), y el de ecuacion caracterıstica: χA(x) = 0.

Se observa que el polinomio caracterıstico de una matriz de orden n×n es de grado n.

En la siguiente Proposicion relacionamos los conceptos de polinomio caracterıstico deuna matriz y de valor propio:

Proposicion 4.1. Sea A ∈ Matn×n(K). Entonces, las raıces de χA(x) que estan enK son los valores propios de A.

Ejemplo.

1. El polinomio caracterıstico de la matriz A =

1 0 01 1 10 1 1

viene dado por

χA(x) = det(xIn −A) =

∣∣∣∣∣∣x− 1 0 0−1 x− 1 −10 0 x− 1

∣∣∣∣∣∣ = (x− 1)3.

Por tanto, el unico valor propio de A es 1.

Para poder calcular de forma sencilla los valores propios de un endomorfismo f : V → Vnecesitamos conocer si existe alguna relacion entre los polinomios caracterısticos de dosmatrices semejantes. Ahora, se verifica:

Proposicion 4.2. Sean A,B ∈ Matn×n(K) dos matrices semejantes. Entonces,χA(x) = χB(x).

De las dos ultimas proposiciones se deduce:

Corolario 4.3. Dos matrices semejantes tienen los mismos valores propios.

Por otro lado, como las matrices asociadas a un mismo endomorfismo son semejantes ylas matrices semejantes tienen el mismo polinomio caracterıstico, se puede definir el conceptode polinomio caraterıstico de un endomorfismo: sera el polinomio caracterıstico decualquier matriz asociada a el y se denotara por χf (x). Ademas, los valores propios delendomorfismo f son precisamente las raıces de su polinomio caraterıristico.




Diagonalizacion 7

Por ultimo, para finalizar este apartado introducimos el concepto de multiplicidadalgebraica de un valor propio: es la multiplicidad que presenta como raız del polinomiocaracterıstico. Se denotara por m(λ).

Existe una relacion entre la multiplicidad algebraica y la multiplicidad geometrica:

Lema 4.4. Sea λ un valor propio de un endomorfismo f : V → V . Entonces,

dim(V (λ)) ≤ m(λ).

Del mismo modo se tiene:

Lema 4.5. Sea λ un valor propio de A ∈Matn×n(K). Entonces,

dim(VA(λ)) ≤ m(λ).

5. Endomorfismos y matrices diagonalizables.

Despues de lo visto en los apartados precedentes, disponemos de las herramientasnecesarias para caracterizar los endomorfismos y matrices diagonalizables.

Teorema 5.1. (Caracterizacion de endomorfismos diagonalizables). Seaf : V → V un endomorfismo. Entonces, f es diagonalizable si y solo si se verifican las doscondiciones siguientes:

(i) Su polinomio caracterıstico se escinde sobre K, esto es, existen λ1, . . . , λn ∈ K, (nonecesariamente distintos) tales que χf (x) = (x− λ1) . . . (x− λn).

(ii) Para cada valor propio λ, se verifica dim(V (λ)) = m(λ).

De la demostracion del teorema anterior, se deduce que si f es un endomorfismo diago-nalizable, una base respecto de la cual la matriz asociada sea diagonal sera aquella que esteformada por vectores propios, tomandose para cada valor propio tantos vectores propioslinealmente independientes como nos indique su multiplicidad. Eligiendo esta base, se veque la matriz asociada a f es diagonal, presentando en su diagonal los valores propios de frepetidos tantas veces como nos indique su multiplicidad. A esta matriz se le denominaraforma diagonal de f y es unica, salvo el orden de los elementos de la diagonal.




8 Endomorfismos y matrices diagonalizables

Ejemplo.

1. Si tomamos la aplicacion lineal f : R3 → R3 definida por f((x, y, z)) = (x+ y, y, y+ z),es facil ver que la matriz asociada a f respecto de la base canonica de R3 escrita en

notacion por filas es: A =

1 0 01 1 10 1 1

y su polinomio caracterıstico viene dado por

χf (A) = χA(x) = det(xIn −A) =

∣∣∣∣∣∣x− 1 0 0−1 x− 1 −10 0 x− 1

∣∣∣∣∣∣ = (x− 1)3.

Por tanto, solo hay un valor propio λ = 1 con multiplicidad algebraica 3. PeroEntonces,


Consecuentemente, la multiplicidad geometrica del valor propio 1 es 2. Esto implicaque f no es diagonalizable.

Por otro lado, si f : V → V es un endomorfismo tal que tiene n = dim(V ) vectorespropios linealmente independientes, entonces f es diagonalizable. Ası que tenemos otracaracterizacion equivalente de endomorfismo diagonalizable:

Corolario 5.2. Sea V un espacio vectorial de dimension n y f : V → V un endomor-fismo. Entonces, f es diagonalizable si y solo si existe BV base de V formada por vectorespropios de f .

Un caso particular del resultado anterior es el siguiente:

Corolario 5.3. Sea V un espacio vectorial de dimension n y f : V → V un endomor-fismo que tiene n valores propios distintos dos a dos. Entonces, f es diagonalizable.

Del mismo modo podemos dar una caracterizacion para las matrices diagonalizables:

Teorema 5.4. (Caracterizacion de matrices diagonalizables). SeaA ∈ Matn×n(K). Entonces, A es diagonalizable si y solo si se verifican las dos condi-ciones siguientes:

(i) Su polinomio caracterıstico se escinde sobre K, esto es, existen λ1, . . . , λn ∈ K, (nonecesariamente distintos) tales que χA(x) = (x− λ1) . . . (x− λn).

(ii) Para cada valor propio λ, se verifica dim(VA(λ)) = m(λ).




Diagonalizacion 9

Cuando A ∈ Matn×n(K) es diagonalizable, empleando los vectores propios asociadosa cada valor propio, se puede construir una matriz de paso P y se puede calcular la llamadaforma diagonal de A, que es una matriz diagonal semejante a la matriz diagonalizable A.Esta matriz diagonal tendra en su diagonal los valores propios de A repetidos tantas vecescomo nos indique su multiplicidad y es unica salvo el orden de los elementos de la diagonal.

Tambien podemos enunciar dos corolarios:

Corolario 5.5. Sea A ∈Matn×n(K). Entonces, A es diagonalizable si y solo A tienen vectores propios linealmente independientes.


Corolario 5.6. Sea A ∈ Matn×n(K) que tiene n valores propios distintos dos a dos.Entonces, A es diagonalizable.

Por ultimo, damos respuesta al problema de saber si una matriz es matrz asociada aun endomorfismo diagonalizable en alguna base. Para que esto suceda, se demuestra queuna condicion necesaria es que el polinomio caracterıstico de la matriz y del endomorfismodeben coincidir. Una condicion necesaria y suficiente es que ambos tengan la misma formadiagonal. Trasladandolo a matrices, dada una matriz diagonalizable cuaquier otra matrizsera semejante a ella si posee su misma forma diagonal.




1. Planteamiento del problema.

En lo que sigue, trabajamos en un K-espacio vectorial de dimension finita, que deno-taremos por V . Dada B una base de V y f : V → V una aplicacion lineal denotaremospor MBV

(f) a la matriz asociada a f cuando se toma en V la base B.

El primer problema que nos planteamos en este tema es el siguiente:

Dado una aplicacion lineal f : V → V , esto es un endomorfismo de V , deseamossaber bajo que condiciones podemos garantizar la existencia de una base BV respecto de lacual la matriz asociada a f es diagonal. Cuando esto suceda, diremos que el endomorfismof es diagonalizable. Ademas, en tal caso, nos interesara dar un metodo constructivo quenos permita obtener una base respecto de la cual la matriz asociada a f sea diagonal.

Lo primero que debemos observar es que este problema presenta una dificultad: labase que se toma en V la utilizamos en origen y llegada para calcular la matriz asociada af . Por ello, es de esperar que no todos los endomorfismos sean diagonalizables. De hecho,se vera que para que sean diagonalizables deberan cumplir dos condiciones.

El mismo problema se puede enunciar en terminos de matrices. Dada una matrizA ∈ Matn×n(K) queremos saber bajo que condiciones existe una matriz inversible P yuna matriz diagonal D tales que A = PDP−1. Cuando esto sucede se dira que A es unamatriz diagonalizable.

Aunque al enunciar los dos problemas parezca que no hay ninguna relacion entre ellos,lo cierto es que ambos estan intimamente relacionados. En efecto, si nos dan una matrizA ∈ Matn×n(K) la podemos interpretar como la matriz asociada a cierto endomorfismof de un espacio vectorial V de dimension n. Teniendo esto en cuenta, el ver si una matrizes diagonalizable es equivalente a estudiar si el endomorfismo asociado es diagonalizable.

Introducimos dos conceptos que nos apareceran frecuentemente: el de matrices se-mejantes y el de matriz de paso.

Definicion. Dos matrices A,B ∈ Matn×n(K) se dice que son semejantes si existeuna matriz inversible, P , llamada matriz de paso, tal que A = PBP−1.

Obviamente, las matrices asociadas a un mismo endomorfismo de un espacio vectorial

V son semejantes ya que si A = MBV(f) y B = MB′

V(f), entonces A = M

B′V

BVBMBV

B′V,

donde MBV

B′V

es la matriz de cambio de base de B′V a BV .

Estas dos ultimas definiciones permiten dar otra definicion equivalente de matrices dia-gonalizables: una matriz es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. Ademas,si f es un endomorfismo diagonalizable, observamos que todas las matrices asociadas a elson diagonalizables ya que son semejantes a una matriz diagonal.




2 Planteamiento del problema

Por ultimo, para los endomorfismos diagonalizables nos plantearemos el siguiente pro-blema: saber si una matriz es asociada a el o no en alguna base y en caso de serlo, localizarla base.

Asimismo, la version matricial del problema anterior es saber si dos matrices diagona-lizables son o no semejantes y, en caso de serlo, localizar una matriz de paso.




2. Subespacios f-invariantes.

En este segundo apartado realizamos una primera aproximacion a la resolucion delproblema planteado mediante los subespacios f -invariantes.

Definicion. Dado un endomorfismo f : V → V de un K-espacio vectorial V , unsubespacio W de V se dice que es f-invariante si f(W ) ⊆W .

Una caracterıstica importante de los subespacios f -invariantes es que si W ⊆ V es unsubespacio f -invariante de V y f : V → V , entonces f |W : W → W es un endomorfismode W .

Ejemplo

1. Se considera la aplicacion lineal f : R3 → R3 definida por f((x, y, z)) = (−2y +4z,−x − y + z, 3x − 3y + z) y el subespacio U = {(x, y, z) ∈ R3|x − y + z = 0}.Entonces, U es f -invariante ya que para todo (x, y, z) ∈ U , se cumple que y = x+ z,luego

f((x, x+z, z)) = (−2(x+z)+4z,−x−x−z+z, 3x−3x−3z+z) = (−2x+2z,−2x,−2z)

y el vector (−2x+ 2z,−2x,−2z) ∈ U .

Necesitamos una nueva definicion:

Definicion. Sea A ∈ Matn×n(K). Se dice que A es una matriz diagonal porbloques si

A =

B1

B2

. . .

Bs

,

donde Bi ∈Matmi×mi(K), para i = 1, . . . , s.

Cuando V se expresa como suma directa de subespacios f -invariantes, esto es V =W1 ⊕ . . .⊕Wm, las matrices asociadas a f tienen una forma peculiar tal y como se indicaen las siguientes proposiciones:

Proposicion 2.1. Sea V un K-espacio vectorial, f : V → V un endomorfismo y W1,W2 dos subespacios de V . Entonces, son equivalentes las siguientes afirmaciones:

(i) V =W1 ⊕W2, con W1,W2 subespacios f-invariantes.


por bloques de la forma: MBV(f) =

(B1 00 B2

).




2 Subespacios f-invariantes

Para localizar la base que figura en el apartado (ii) de la Porposicion anterior, essuficiente con tomar una base que este formada por la union de bases de W1 y W2.

Ejemplo.

1. Si tomamos la aplicacion lineal f : R3 → R3 definida por f((x, y, z)) = (−2y +4z,−x − y + z, 3x − 3y + z) y los subespacios W1 = {(x, y, z) ∈ R3|x − y + z = 0} yW2 = {(x, 0, x)|x ∈ x. Entonces, W1 y W2 son f -invariantes y R3 = W1 ⊕W2. Portanto, si tomamos la base BR3 = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} la matriz asociada a fescrita en notacion por filas viene dada por−2 0 0

2 −2 00 0 4

.

El resultado anterior se puede generalizar:

Proposicion 2.2. Sea V un K-espacio vectorial, f : V → V un endomorfismo yW1,W2, . . . ,Wt subespacios de V . Entonces, son equivalentes las siguientes afirmaciones:

(i) V =W1 ⊕W2 ⊕ . . .⊕Wt, con Wi, i = 1 . . . t, subespacios f-invariantes.


por bloques de la forma: MBV (f) =

B1

B2

. . .

Bt

.

Por ello, lo que se intentara ver en los siguientes apartados es bajo que condiciones sepuede garantizar la existencia de una descomposicion de V como suma directa de subes-pacios f -invariantes tales que los bloques asociados a cada uno de ellos sean matricesdiagonales.




3. Valores y vectores propios de un endomorfismo.

Los conceptos de valor y vector propio de un endomorfismo seran imprescindibles a lahora de resolver el problema de diagonalizacion que nos hemos planteado en este tema.

Definicion. Sea V un K-espacio vectorial y f : V → V un endomorfismo. Un escalarλ ∈ K se dice que es un valor propio de f si existe v ∈ V − {0V } tal que f(v) = λv. Siλ ∈ K es un valor propio de f y v ∈ V − {0V } verifica que f(v) = λv, se dice que V es unvector propio asociado a λ de f .

Ejemplo.

1. Se considera la aplicacion lineal f : R3 → R3 definida por f((x, y, z)) = (x+y, y, y+z)y sea λ = 1. Entonces, para cada (x, 0, z) ∈ R3−{(0, 0, 0)} se cumple que f((x, 0, z)) =(x, 0, z), luego λ = 1 es un valor propio de f y (x, 0, z) ∈ R3−{(0, 0, 0)} vector propioasociado al valor propio 1.

Es facil demostrar el siguiente resultado:

Proposicion 3.1. Sea V un K-espacio vectorial, f : V → V un endomorfismo y λun valor propio del endomorfismo f . Entonces, el conjunto

V (λ) = {v ∈ v | f(v) = λv}

es un subespacio f-invariante no nulo, llamado subespacio fundamental asociado alvalor propio λ. Ademas, si dim(V (λ)) = s, entonces la matriz asociada a f |BV (λ)

es de laforma λIs.

La dimension de este subespacio, conocida como multiplicidad geometrica de λ,sera fundamental para poder determinar si un endomorfismo es diagonalizable o no.

Ejemplo.

1. Se considera, de nuevo, la aplicacion lineal f : R3 → R3 definida por f((x, y, z)) =(x+ y, y, y + z) y sea λ = 1. Entonces,


Consecuentemente, la multiplicidad geometrica del valor propio 1 es 2.

Por ultimo, un resultado que emplearemos posteriormente es:

Proposicion 3.2. Sea V un K-espacio vectorial, f : V → V un endomorfismo yλ1 . . . λr r valores propios distintos dos a dos de f . Si vi ∈ V (λi) un vector propio asociadoal valor propio λi, para i = 1, . . . , r, entonces el conjunto {v1, . . . , vr} es un conjunto libre.




4. Valores y vectores propios de una matriz. Polinomio carac-terıstico.

Del mismo modo que en el apartado anterior se han definido los conceptos de valory vector propio de un endomorfismo, en este apartado se dan los conceptos analogos parauna matriz cuadrada. Tanto para definir el concepto de valor propio de una matriz comoel de vector propio, se emplea el uso de la notacion por filas en las coordenadas de unvector.

Definicion. Dada una matriz A ∈ Matn×n(K) y un escalar λ ∈ K se dice que λ esun valor propio de A si existe (a1 . . . an) ∈Mat1×n(K)−{(0 . . . 0)} tal que (a1 . . . an)A =λ(a1 . . . an). A (a1 . . . an) se le denominara vector propio asociado al valor propio λ.

Si tenemos en cuenta que dada una matriz cuadrada A ∈ Matn×n(K) la podemosinterpretar como la matriz asociada a un endomorfismo f de un espacio vectorial V dedimension n fijada una base BV , entonces los vectores propios de A nos dan precisamentelas coordenadas de los vectores propios de f en la base ∥BV , empleando la notacion por filas.En caso de usar la notacion por columnas, sera necesario definir los vectores propios como

vectores columna

a1...an

tales que A

a1...an

= λ

a1...an

para que se siga manteniendo la

interpretacion anterior.

Realizando un estudio paralelo al llevado a cabo en el apartado anterior, podemosconstruir un subespacio VA(λ) que estara formado por todos los vectores propios asociadosal valor propio λ y el vector (0 . . . 0), esto es

VA(λ) = {(a1 . . . an) ∈Mat1×n(K)|(a1 . . . an)A = λ(a1 . . . an)}.

Este subespacio desempenara el mismo papel que V (λ) a la hora de analizar si unamatriz es diagonalizable o no.

Para poder obtener de forma sencilla los valores propios de una matriz tenemos elconcepto de polinomio caracterıstico de una matriz A ∈Matn×n(K), que es χA(x) =det(xIn −A), y el de ecuacion caracterıstica: χA(x) = 0.

Se observa que el polinomio caracterıstico de una matriz de orden n × n es de gradon.

Proposicion 4.1. Sea A ∈Matn×n(K). Entonces, las raıces de χA(x) que estan enK son los valores propios de A.

Ejemplo.




2 Valores y vectores propios de una matriz. Polinomio caracterıstico

1. El polinomio caracterıstico de la matriz A =

1 0 01 1 10 1 1

viene dado por

χA(x) = det(xIn −A) =

∣∣∣∣∣∣x− 1 0 0−1 x− 1 −10 0 x− 1

∣∣∣∣∣∣ = (x− 1)3.

Por tatno, el unico valor propio de A es 1.

Para poder calcular de forma sencilla los valores propios de un endomorfismo f : V →V necesitamos conocer si existe alguna relacion entre los polinomios caracterısticos de dosmatrices semejantes. Ahora, se verifica:

Proposicion 4.2. Sean A,B ∈ Matn×n(K) dos matrices semejantes. Entonces,χA(x) = χB(x).

De las dos ultimas proposiciones se deduce:

Corolario 4.3. Dos matrices semejantes tienen los mismos valores propios.

Por otro lado, como las matrices asociadas a un mismo endomorfismo son semejantesy las matrices semejantes tienen el mismo polinomio caracterıstico, se puede definir elconcepto de polinomio caraterıstico de un endomorfismo: sera el polinomio carac-terıstico de cualquier matriz asociada a el y se denotara por χf (x). Ademas, los valorespropios del endomorfismo f son precisamente las raıces de su polinomio caraterıristico.

Por ultimo, para finalizar este apartado introducimos el concepto de multiplicidadalgebraica de un valor propio: es la multiplicidad que presenta como raız del polinomiocaracterıstico. Se denotara por m(λ).

Existe una relacion entre la multiplicidad algebraica y la multiplicidad geometrica:

Lema 4.4. Sea λ un valor propio de un endomorfismo f : V → V . Entonces,

dim(V (λ)) ≤ m(λ).

Del mismo modo se tiene:

Lema 4.5. Sea λ un valor propio de A ∈Matn×n(K). Entonces,

dim(VA(λ)) ≤ m(λ).




5. Endomorfismos y matrices diagonalizables.

Despues de lo visto en los apartados precedentes, disponemos de las herramientasnecesarias para caracterizar los endomorfismos y matrices diagonalizables.

Teorema 5.1. (Caracterizacion de endomorfismos diagonalizables). Seaf : V → V un endomorfismo. Entonces, f es diagonalizable si y solo si se verificanlas dos condiciones siguientes:

(i) Su polinomio caracterıstico se escinde sobre K, esto es, existen λ1, . . . λn ∈ K, (nonecesariamente distintos) tales que χf (x) = (x− λ1) . . . (x− λn).

(ii) Para cada valor propio λ, se verifica dim(V (λ)) = m(λ).

De la demostracion del teorema anterior, se deduce que si f es un endomorfismodiagonalizable, una base respecto de la cual la matriz asociada sea diagonal sera aquellaque este formada por vectores propios, tomandose para cada valor propio tantos vectorespropios linealmente independientes como nos indique su multiplicidad. Eligiendo estabase, se ve que la matriz asociada a f es diagonal, presentando en su diagonal los valorespropios de f repetidos tantas veces como nos indique su multiplicidad. A esta matriz sele denominara forma diagonal de f y es unica, salvo el orden de los elementos de ladiagonal.

Ejemplo.

1. Si tomamos la aplicacion lineal f : R3 → R3 definida por f((x, y, z)) = (x+y, y, y+z),es facil ver que la matriz asociada a f respecto de la base canonica de R3 escrita en

notacion por filas es: A =

1 0 01 1 10 1 1

y su polinomio caracterıstico viene dado por

χf (A) = χA(x) = det(xIn −A) =

∣∣∣∣∣∣x− 1 0 0−1 x− 1 −10 0 x− 1

∣∣∣∣∣∣ = (x− 1)3.

Por tanto, solo hay un valor propio λ = 1 con multiplicidad algebraica 3. PeroEn-tonces,


Consecuentemente, la multiplicidad geometrica del valor propio 1 es 2. Esto implicaque f no es diagonalizable.

Por otro lado, si f : V → V es un endomorfismo tal que tiene n = dim(V ) vectorespropios linealmente independientes, entonces f es diagonalizable. Ası que tenemos otracaracterizacion equivalente de endomorfismo diagonalizable:




2 Endomorfismos y matrices diagonalizables

Corolario 5.2. Sea V un espacio vectorial de dimension n y f : V → V un endomor-fismo. Entonces, f es diagonalizable si y solo si existe BV base de V formada por vectorespropios de f .


Corolario 5.3. Sea V un espacio vectorial de dimension n y f : V → V un endomor-fismo que tiene n valores propios distintos dos a dos. Entonces, f es diagonalizable.

Del mismo modo podemos dar una caracterizacion para las matrices diagonalizables:

Teorema 5.4. (Caracterizacion de matrices diagonalizables). SeaA ∈ Matn×n(K). Entonces, A es diagonalizable si y solo si se verifican las dos condi-ciones siguientes:

(i) Su polinomio caracterıstico se escinde sobre K, esto es, existen λ1, . . . λn ∈ K, (nonecesariamente distintos) tales que χA(x) = (x− λ1) . . . (x− λn).

(ii) Para cada valor propio λ, se verifica dim(VA(λ)) = m(λ).

Cuando A ∈Matn×n(K) es diagonalizable, empleando los vectores propios asociadosa cada valor propio, se puede construir una matriz de paso P y se puede calcular la llamadaforma diagonal de A, que es una matriz diagonal semejante a la matriz diagonalizableA. Esta matriz diagonal tendra en su diagonal los valores propios de A repetidos tantasveces como nos indique su multiplicidad y es unica salvo el orden de los elementos de ladiagonal.

Tambien podemos enunciar dos corolarios:

Corolario 5.5. Sea A ∈Matn×n(K). Entonces, A es diagonalizable si y solo A tienen vectores propios linealmente independientes.


Corolario 5.6. Sea A ∈Matn×n(K) que tiene n valores propios distintos dos a dos.Entonces, A es diagonalizable.

Por ultimo, damos respuesta al problema de saber si una matriz es matrz asociada aun endomorfismo diagonalizable en alguna base. Para que esto suceda, se demuestra queuna condicion necesaria es que el polinomio caracterıstico de la matriz y del endomorfismodeben coincidir. Una condicion necesaria y suficiente es que ambos tengan la misma forma




Diagonalizacion 3

diagonal. Trasladandolo a matrices, dada una matriz diagonalizable cuaquier otra matrizsera semejante a ella si posee su misma forma diagonal.




Tema 3: Aplicaciones Lineales.

1. Definicion de aplicacion lineal y propiedades.

Definicion. Sean V y W dos K-espacios vectoriales y f : V →W una aplicacion. Sedice que f es una aplicacion lineal si se verifica la siguiente condicion:

f(αv + βv′) = αf(v) + βf(v′), ∀α, β ∈ K, ∀v, v′ ∈ V.

Las aplicaciones lineales tambien suelen recibir el nombre de homomorfismos entreespacios vectoriales. Un monomorfismo entre los espacios vectoriales V y W es unaaplicacion lineal f : V → W inyectiva. Un epimorfismo entre los espacios vectoriales Vy W es una aplicacion lineal f : V →W sobreyectiva. Un isomorfismo entre los espaciosvectoriales V y W es una aplicacion lineal f : V → W biyectiva. Si V = W y f : V → Ves una aplicacion lineal, se dice que f es un endomorfismo del espacio vectorial V y siademas es biyectiva, se dice que es un automorfismo de V .

Ejemplos.

(1) La aplicacion f : R3 → R2 definida por f((x, y, z)) = (x+ y, y + 2z) es lineal.

(2) La aplicacion f : R3 → R2 definida por f((x, y, z)) = (x+ y + 1, y + 2z) no es lineal.

Las aplicaciones lineales f tienen diversas propiedades. Entre ellas destacan las si-guientes:

Proposicion 1.1. Sean V y W dos K-espacios vectoriales y f : V → W una apli-cacion lineal. Entonces,

(i) f(0V ) = 0W .




2 El espacio vectorial LK(V,W )

(ii) f(−v) = −f(v), ∀v ∈ V .

(iii) f(∑m

i=1 αivi) =∑m

i=1 αif(vi), ∀αi ∈ K, ∀vi ∈ V .

(iv) Si {v1, . . . vm} es un subconjunto ligado de V , entonces {f(v1), . . . f(vm)} es un sub-conjunto ligado de W .

(v) Si U es un subespacio de V , entonces f(U) = {f(u)|u ∈ U} es un subespacio de W .Ademas, si dim(U) = m, entonces dim(f(U)) ≤ m.

(vi) Si T es un subespacio de W , entonces f−1(T ) = {v ∈ V |f(v) ∈ T} es un subespaciode V .

Observamos que en el enunciado del teorema anterior no indicamos que sucede cuandose toman imagenes de subconjuntos libres. En general, esta caracterıstica no se mantiene.Esto es si S es un subconjunto libre de V y f : V →W es una aplicacion lineal, entonces nopodemos garantizar que f(S) sea un subconjunto libre deW . Como veremos mas adelante,sera necesario pedir que f sea ademas inyectiva para poder asegurar que subconjuntos libresde V tienen por imagen subconjuntos libres de W .

En el apartado (v) de la Proposicion 1.1, hemos visto que f(U) es un subespacio deW para cualquier subespacio U de V . En particular si tomamos U = V , obtenemos quef(V ) es un subespacio deW llamado K-subespacio imagen de V . Ademas, hemos vistoque dim(f(V )) ≤ dim(V ). A dim(f(V )) se le llama rango de f . f(V ) tambien se sueledenotar por Imf .

De forma analoga, en el apartado (vi) de la Proposicion 1.1, hemos demostrado quesi T es un subespacio de W , entonces f−1(T ) = {v ∈ V |f(v) ∈ T} es un subespacio de V .Si elegimos T = {0W }, tenemos que

f−1(0W ) = {v ∈ V |f(v) = 0W }

es un subespacio de V , llamado nucleo de la aplicacion lineal f y se suele denotar porkerf .

Ejemplo.

(1) El nucleo de la aplicacion lineal f : R3 → R2 definida por f((x, y, z)) = (x+ y, y+2z)es kerf = {(x,−x, x2 )|x ∈ R}.

2. El espacio vectorial LK(V,W ).

Se considera el conjunto LK(V,W ) dado por

LK(V,W ) = {f : V →W | f es lineal},




Aplicaciones Lineales 3

donde V y W son dos K-espacios vectoriales. En este conjunto definimos las siguientesoperaciones:

∀f, g ∈ LK(V,W ),∀v ∈ V (f + g)(v) = f(v) + g(v)

y∀f ∈ LK(V,W ),∀v ∈ V, ∀α ∈ K (αf)(v) = αf(v)

Es facil ver que f + g es otra aplicacion lineal de V en W , luego + nos define una ley decomposicion interna sobre LK(V,W ). Ademas, (LK(V,W ),+) es un grupo abeliano, estoes que la suma de aplicaciones lineales de V en W es conmutativa, asociativa, existe unelemento neutro (que es la aplicacion nula f(v) = 0W , para todo v ∈ V ) y existe elementoinverso (dada f ∈ LK(V,W ), su elemento inverso es −f definida por ∀v ∈ V (−f)(v) =−f(v) y −f ∈ LK(V,W )). Por otro lado, αf es otra aplicacion lineal de v en W , sif ∈ LK(V,W ) y α ∈ K. Con la suma definida en LK(V,W ) y la multiplicacion por unescalar senalada, se demuestra que (LK(V,W ),+, .) tiene estructura deK-espacio vectorial.

3. El nucleo y la imagen de una aplicacion lineal.

Si f : V → W es una aplicacion lineal, hemos probado que el nucleo y la imagen sonsubespacios vectoriales en la Proposicion 1.1. Estos subespacios son muy utiles a la horade estudiar las aplicaciones lineales. Por ejemplo, es facil probar la relacion existente entrelas dimensiones del nucleo, de la imagen y la del espacio vectorial V :

Proposicion 3.1. Sean V y W dos K-espacios vectoriales, V de dimension finita, yf : V →W una aplicacion lineal. Entonces,

dim(V ) = dim(kerf) + dim(Imf).

Ademas, las aplicaciones lineales inyectivas y suprayectivas se pueden caracterizarmediante utilizando el espacio vectorial imagen y el kerf . En concreto, de la definicionde aplicacion lineal, se deduce que si f es una aplicacion lineal entre V y W y BV ={v1, . . . , vn} es una base de V , entonces {f(v1), . . . , f(vn)} es un sistema generador deImf . Es evidente que una aplicacion lineal f : V → W es sobreyectiva si y solo si elsubespacio imagen Imf tiene la misma dimension que W .

Respecto de la inyectividad, tenemos:

Proposicion 3.2. Sean V y W dos K-espacios vectoriales y f : V → W una apli-cacion lineal. Entonces f es inyectiva si y solo si su nucleo, kerf , es el subespacio vectorial{0V }.

Como consecuencia de proposiciones 3.1 y 3.2 es inmediato demostrar:




4 Matriz asociada a una aplicacion lineal (filas)

Corolario 3.3. Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimension finita y f :V →W . Entonces, f es inyectiva si y solo si dimKV =dimKf(V ).

Una ultima utilidad viene expresada en el siguiente resultado:

Proposicion 3.4. Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimension finita f :V → W una aplicacion lineal inyectiva. Si {v1, . . . , vr} ⊆ V es un subconjunto libre,entonces {f(v1), . . . , f(vr)} ⊆W es libre.

4. Isomorfismos entre espacios vectoriales.

En esta apartado estudiamos un tipo de aplicaciones lineales interesantes: los isomor-fismos entre espacios vectoriales. Cuando existe un isomorfismo entre V y W , diremos queV y W son espacios isomorfos.

En el siguiente teorema caracterizamos los espacios vectoriales isomorfos:

Teorema 4.1. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimension finita. Entonces,V y W son isomorfos si y solo si tienen la misma dimension.

Ejemplo.

1. Los R-espacios vectoriales R4 y P3(R) son isomorfos porque ambos tienen dimension 4.Por ejemplo, la aplicacion f : R4 → P3(R) definida por f((a, b, c, d)) = a+bx+cx2+dx3

es un isomorfismo entre ambos espacios vectoriales.

5. Matriz asociada a una aplicacion lineal (notacion por filas).


i=1 αivi y

f(v) = f(

n∑i=1

αivi) =

n∑i=1

αif(vi) =

n∑i=1

αi

m∑j=1

aijwj ,

siendo f(vi) =∑m

j=1 aijwj . Por tanto, si empleamos la notacion por filas para expresarlas coordenadas de los vectores, podemos dar la siguiente expresion matricial de f(v):

f(v) = (α1 . . . αn)

a11 . . . a1m...

...an1 . . . anm

w1...wm





y a la matriz A = (aij) se le denomina matriz asociada a f respecto de las bases BV

y BW . Esto es,

f(v) = (coord. de v en BV )

coord. de f(v1) en BW

coord. de f(v2) en BW...

coord. de f(vn) en BW

w1

...wm

.

Ejemplo.

(1) Si tomamos la aplicacion lineal f : P2(R) → R2 definida por f(a0 + a1x + a2x2) =

(a0 + a1, a1 + 2a2) la matriz asociada a f tomando como bases BP2(R) = {1, x, x2} y

BR2 = {(1, 0), (0, 1)} viene dada por

1 01 10 2

.

Es obvio que si conocemos la matriz asociada a una aplicacion lineal con respecto ados bases BV y BW , podemos obtener f(v) para cualquier vector v de V , esto es, dada lamatriz asociada A, la aplicacion lineal f se encuentra totalmente determinada. Ademas,existe una relacion entre matrices asociadas a una misma aplicacion lineal cuando se tomanbases diferentes en V yW . En efecto, si A es la matriz asociada a f con respecto a las basesBV y BW y B es la matriz asociada a f con respecto de las bases B′


B =MB′V,BV

AMBW ,B′W.

Por otro lado, la matriz asociada a una aplicacion lineal nos permite dar una inter-pretacion en terminos de aplicaciones lineales de las matrices de cambio de base. Unamatriz de cambio de base se puede ver como la matriz asociada a la aplicacion lineal a laidentidad de un espacio vectorial cuando se toma en origen una base BV y en llegada B′

V .



(f) y

MBV ,BW(g) las matrices asociadas a f y g respecto de las bases BV y BW . Entonces,


(f) +MBV ,BW(g).


(f).





6 Matriz asociada a una aplicacion lineal (columnas)


(i) LK(V,W ) y Matn×m(K) son isomorfos.




(f) y MBW ,BZ(g) las respectivas matrices asociadas. Entonces, g ◦ f es una

aplicacion lineal cuya matriz asociada MBV ,BZ(g ◦ f) respecto de las bases BV y BZ

satisfaceMBV ,BZ

(g ◦ f) =MBV ,BW(f)MBW ,BZ

(g).

En vista del resultado anterior, la relaci ’on entre matrices asociadas a la misma aplicacionviene determinada como la matriz asociada a la composicion idW ◦f ◦idV donde idW (idV )es la aplicacion identidad de W (V ) tomando en origen la base BW (B′

V ) y en llegada labase B′

W (BV ).

6. Matriz asociada a una aplicacion lineal (notacion por columnas).


i=1 αivi y

f(v) = f(n∑

i=1

αivi) =n∑

i=1

αif(vi) =n∑

i=1

αi

m∑j=1

ajiwj ,

siendo f(vi) =∑m

j=1 ajiwj . Por tanto, si empleamos la notacion por columnas para darlas coordenadas de un vector, podemos dar la siguiente expresion matricial de f(v):

f(v) = (w1 · · · wm )

a11 . . . a1n...

...am1 . . . amn

α1...αn

y a la matriz A = (aij) se le denomina matriz asociada a f respecto de las basesBV y BW en notacion por columnas. Es obvio que si conocemos la matriz asociada auna aplicacion lineal con respecto a dos bases BV y BW , podemos obtener f(v) paracualquier vector v de V , esto es, dada la matriz asociada A, la aplicacion lineal f seencuentra totalmente determinada. Ademas, existe una relacion entre matrices asociadas





a una misma aplicacion lineal cuando se toman bases diferentes en V y W . En efecto, siA es la matriz asociada a f con respecto a las bases BV y BW y B es la matriz asociadaa f con respecto de las bases B′


B =MBW ,B′WAMB′

V,BV

.

Por otro lado, la matriz asociada a una aplicacion lineal nos permite dar una interpretacionen terminos de aplicaciones lineales de las matrices de cambio de base. Una matriz decambio de base se puede ver como la matriz asociada a la aplicacion lineal a la identidadde un espacio vectorial cuando se toma en origen una base BV y en llegada B′

V .



(f) y

MBV ,BW(g) las matrices asociadas a f y g respecto de las bases BV y BW en notacion

por columnas. Entonces,


(f) +MBV ,BW(g).


(f).



(i) LK(V,W ) y Matm×n(K) son isomorfos.




(f) y MBW ,BZ(g) las respectivas matrices asociadas en notacion por columnas.

Entonces,MBV ,BZ

(g ◦ f) =MBW ,BZ(g)MBV ,BW

(f),

siendo MBV ,BZ(g ◦ f) la matriz asociada a g ◦ f en notacion por columnas tomando

como bases de V y Z a BV y BZ . En vista del resultado anterior, la relaci ’on entre





matrices asociadas a la misma aplicacion viene determinada como la matriz asociada a lacomposicion idW ◦ f ◦ idV donde idW (idV ) es la aplicacion identidad de W (V ) tomandoen origen la base BW (B′

V ) y en llegada la base B′W (BV ).

7. Matrices equivalentes.

Si A,B ∈ Matn×m(K), se dice que son matrices equivalentes si existen matricesinversibles P ∈ Matn×n(K) y Q ∈ Matm×m(K) tales que A = PBQ.

Por otro lado, teniendo en cuenta que dada una matriz A ∈ Matn×m(K) podemosinterpretarla como la matriz asociada a una aplicacion lineal y que las matrices inversiblesse interpretan como matrices de cambio de base, la relacion existente entre dos matricesequivalentes fuerza a que estas esten asociadas a la misma aplicacion lineal.

Es obvio que todas las matrices asociadas a una misma aplicacion lineal son matricesequivalentes. En efecto, para probarlo basta con tener en cuenta la relacion existente entrematrices asociadas a una misma aplicacion lineal, que permite escribir una en terminos deotra, empleando las matrices de cambio de base. Ademas, podemos construir una matrizasociada a una aplicacion lineal f : V →W con entradas de 0 y 1:

Teorema 7.1. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensiones n y m, respectiva-mente y f : V →W una aplicacion lineal con rango r (esto es, r = dim(f(V ))). Entonces,

existen bases de V y W tales que la matriz asociada a f respecto a ellas es

(Ir 00 0

).

Para demostrar el teorema anterior, basta con calcular el nucleo de la aplicacion linealf , determinar una base de ker(f) y completarla por delante hasta obtener una base de V .Tomando las imagenes de los vectores de esta base de V que no esten en el nucleo, seobtiene una base de Im(f). Esta base puede ser completada por detras hasta obtener unabase de W . Las bases de V y W construidas son las que se necesitan para que la matriz

asociada a f sea de la forma

(Ir 00 0

).

La utilidad de esta matriz es grande ya que a traves de ella podemos contestar a doscuestiones:

1. Dada una matriz A de orden adecuado, ¿es matriz asociada a la aplicacion f? Sitenemos en cuenta que todas las matrices asociadas a la misma aplicacion lineal sonequivalentes a la matriz que figura en el teorema anterior, para saber si A es asociada

o no a f , sera suficiente con probar si es equivalente a

(Ir 00 0

). Para ello, suponemos

que A es matriz asociada a f respecto de alguna base de V y W y trabajnado con lanueva expresion matricial de f , tomando A como matriz asociada a f . Si despues de





realizar los calculos con la nueva expresion matricial, obtenemos de nuevo

(Ir 00 0

),

entonces A es matriz asociada a f . En caso contrario, no lo es.

2. Dadas dos matrices del mismo orden, ¿son equivalentes? Basta con interpretarlascomo matrices asociadas a aplicaciones lineales y ver si ambas son equivalentes a la

misma matriz

(Ir 00 0

). Entonces, las matrices iniciales seran equivalentes si y solo

si ambas equivalen a la misma matriz

(Ir 00 0

).

Ejemplo.

1. Las matrices A =

(1 −1 00 1 1

)y B =

(−1 0 11 1 1

)son equivalentes porque ambas

equivalen a

(1 0 00 1 0

). En efecto, utilizando la notacion por filas, podemos inter-

pretar a A como la matriz asociada a f : V → W donde dimV = 2, dimW = 3 y sehan tomado como bases BV = {v1, v2} y BW = {w1, w2, w3}. Entonces, kerf = {0W }y tomando como bases BV = {v1, v2} y B′

W = {f(v1), f(v2), w3} = {w1 − w2, w2 +

w3, w3}, la matriz asociada a f es C =

(1 0 00 1 0

). Ademas, A = I2C

1 −1 00 1 10 0 1

por la relacion existente entre matrices asociadas a la misma aplicacion lineal. Porotro lado, utilizando de nuevo la notacion por filas, podemos interpretar a B comola matriz asociada a f : V → W donde dimV = 2, dimW = 3 y se han tomadocomo bases B′

V = {v′1, v′2} y B′′W = {w′

1, w′2, w

′3}. De nuevo, kerf = {0W } y tomando

como bases B′V = {v′1, v′2} y B′′′

W = {f(v′1), f(v′2), w′3 = {−w′

1 +w′3, w

′1 +w′

2 +w′3, w

′1}

obtenemos de nuevo C =

(1 0 00 1 0

). Pero, B = I2C

−1 0 11 1 11 0 0

, asi que

A = I2C

1 −1 00 1 10 0 1

B = I2C

−1 0 11 1 11 0 0

=⇒ B = I2A

1 −1 00 1 10 0 1

−1 −1 0 11 1 11 0 0

,

Pero

1 −1 00 1 10 0 1

−1 −1 0 11 1 11 0 0

=

−1 1 20 1 11 0 0

y, tomando P = I2 y Q =−1 1 20 1 11 0 0

se cumple B = PAQ, donde P y Q son inversibles. Consecuentemente,





A y B son equivalentes.




Problemas y Ejercicios Resueltos.

Tema 2: Espacios vectoriales.

Ejercicios

1.- Determinar el valor de x para que el vector (1, x, 5) ∈ R3 pertenezca al subespacio < (1, 2, 3), (1, 1, 1) >.

Solucion. (1, x, 5) pertenece al subespacio < (1, 2, 3), (1, 1, 1) > si y solo si (1, x, 5) es combinacionlineal de (1, 2, 3) y (1, 1, 1), o sea, si existen α, β ∈ R tales que

(1, x, 5) = α(1, 2, 3) + β(1, 1, 1),

Pero entonces,1 = α+ β

x = 2α+ β

5 = 3α+ β

y resolviendo el sistema anterior, tenemos α = 2, β = −1 y x = 3.

2.- Calcular bases de los subespacios de R4 S, T , S + T y S ∩ T , siendo S = {(x1, x2, x3, x4)|x1 − x2 = 0}y T =< (1, 1, 2, 1), (2, 3,−1, 1) >.

Solucion. Tenemos

S = {(x1, x2, x3, x4)|x1 − x2 = 0} = {(x1, x1, x3, x4)|x1, x2, x3 ∈ R} =< (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) >,

luego un sistema generador de S es {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. Ahora,

(0, 0, 0, 0) = α(1, 1, 0, 0) + β(0, 0, 1, 0) + γ(0, 0, 0, 1) ⇒ α = β = γ = 0,

o sea que es libre, resulta que BS = {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} es una base de S.

Un sistema generador de T es (1, 1, 2, 1), (2, 3,−1, 1). Pero es tambien libre, ya que

(0, 0, 0, 0) = λ(1, 1, 2, 1) + β(2, 3,−1, 1) →

0 = λ+ 2β0 = λ+ 3β0 = 2λ− β0 = λ+ β




2 Espacios vectoriales

y la unica solucion al sistema anterior es λ = β = 0. Por tanto, BT = {(1, 1, 2, 1), (2, 3,−1, 1)} es una basede T .

Por definicion,

S + T = {s+ t|s ∈ S y t ∈ T}= {(x1, x1, x2, x3) + (α+ 2β, α+ 3β, 2α− β, α+ β)|x1, x2, x3, α, β ∈ R}=< (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (1, 1, 2, 1), (2, 3,−1, 1) >

.

Por tanto, un sistema generador de S + T es {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (1, 1, 2, 1), (2, 3,−1, 1)}. Pero(1, 1, 2, 1) = (1, 1, 0, 0)+(0, 0, 1, 0)+(0, 0, 0, 1), luego {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (2, 3,−1, 1)} es sistemagenerador de S + T . Ademas, este sistema es libre luego es una base de S + T .

Por ultimo, sabemos que S ∩ T es un subespacio vectorial de dimension 1 porque

dim(S ∩ T ) = dim(S + T )− dim(S)− dim(T )

Ahora, (1, 1, 2, 1) ∈ S ∪ T , luego como dim(S ∩ T ) es 1, se tiene que < (1, 1, 2, 1) >= S ∩ T y una base deS ∩ T es BS∩T = {(1, 1, 2, 1)}.

3.- Encontrar una base y la dimension del subespacio vectorial

S =< (1, 2,−1, 3), (2, 1, 0,−2), (0, 1, 2, 1), (3, 4, 1, 2) > .

Solucion. Un sistema genereador de S es A = {(1, 2,−1, 3), (2, 1, 0,−2), (0, 1, 2, 1), (3, 4, 1, 2)}. Pero Ano es libre ya que

(0, 0, 0, 0) = α1(1, 2,−1, 3) + α2(2, 1, 0,−2) + α3(0, 1, 2, 1) + α4(3, 4, 1, 2) ⇒0 = α1 + 2α2 + 3α3 + 3α4

0 = 2α1 + α2 + α3 + 4α4

0 = −α1 + 2α3 + α4

0 = 3α2 − 2α2 + α3 + 2α4

y el sistema anterior tiene por solucion

α1 = α2 = α3 = −α4

Observamos que (3, 4, 1, 2) es combinacion lineal de los anteriores, luego A − {(3, 4, 1, 2)} ={(1, 2,−1, 3), (2, 1, 0,−2), (0, 1, 2, 1)} es tambien sistema generador de S. Pero

(0, 0, 0, 0) = β1(1, 2,−1, 3) + β2(2, 1, 0,−2) + β3(0, 1, 2, 1) ⇒0 = β1 + 2β2 + 3β30 = 2β1 + β2 + β30 = −β1 + 2β3

0 = 3β2 − 2β2 + β3

y el sistema anterior solo tiene por solucion a β1 = β2 = β3 = 0, es decir, {(1, 2,−1, 3), (2, 1, 0,−2), (0, 1, 2, 1)}es libre. Por consiguiente una base de S es {(1, 2,−1, 3), (2, 1, 0,−2), (0, 1, 2, 1)} y la dimension de S es 3.

4.- Sea V un Q-espacio vectorial de dimension 4 con base B = {u1, u2, u3, u4}. Se definen los vectores

v1 = 2u1 + u2 − u3 v2 = 2u1 + u3 + 2u4 v3 = u1 + u2 − u3 v4 = −u1 + 2u3 + 3u4




Espacios vectoriales 3

Probar que B′ = {v1, v2, v3, v4} es una base de V y calcular las coordenadas en la base B′ de un vectorv que tiene por coordenadas en B a (1 2 0 1).

Solucion. Como B′ es de cardinal 4 y V es de dimension 4, para demostrar que B′ es base de V , bastacon probar que B′ es libre. Ahora,

0V =

4∑i=1

αivi = (2α1 + 2α2 + α3 − α4)u1 + (α1 + α3)u2 + (−α1 + α2 − α3 + 2α4)u3 + (2α2 + 3α4)u4,

y al ser {u1, u2, u3, u4} un conjunto libre, se tiene que

0 = 2α1 + 2α2 + α3 − α4

0 = α1 + α3

0 = −α1 + α2 − α3 + 2α4

0 = 2α2 + 3α4

y la unica solucion del sistema anterior es

α1 = α2 = α3 = α4 = 0,

luego B′ es libre.

Por otro lado, si v tiene por coordenadas a (1 2 0 1) (esto es utilizamos la notacion por filas) en la baseB, significa que v = u1 + 2u2 + u4, asi que las coordenadas de v (β1 β2 β3 β4) en la base B′ deben cumplir

v = u1+2u2+u4 =4∑

i=1

βivi = (2β1+2β2+β3−β4)u1+(β1+β3)u2+(−β1+β2−β3+2β4)u3+(2β2+3β4)u4,

o sea,1 = 2β1 + 2β2 + β3 − β4

2 = β1 + β3

0 = −β1 + β2 − β3 + 2β4

1 = 2β2 + 3β4

y su solucion esβ1 = 10, β2 = −4, β3 = −8, β4 = 3.

Por consiguiente las coordenadas del vector v en la base B′ son (10 − 4 − 8 3).

Otra manera de calcular las coordenadas es mediante la matriz de cambio de base:

(β1 β2 β3 β4) = (1 2 0 1)MB,B′ ,

donde MB,B′ lleva las coordenadas de los vectores de la base B en la base B′. Por tanto,

MB,B′ =M−1

B′,B

=

2 1 −1 02 0 1 21 1 −1 0−1 0 2 3

−1

=

1 0 −1 07 −3 −6 28 −3 −8 2−5 2 5 −1

.

5.- Sea v un vector de un K-espacio vectorial V de dimension finita n ≥ 3 cuyas coordenadas en una basede V son (x1 . . . xn), siendo x2 = x3. ¿Existe alguna base de V en la cual las coordenadas de v sean(1 0 . . . 0)? ¿Por que?





Solucion. Como x2 = x3, el vector v no es el vector nulo. Entonces, en cualquier base que se obtengaal completar {v}, esto es, B = {v, u2, · · · , un}, las coordenadas de v seran (1 0 . . . 0).

6.- Si V es un espacio vectorial de dimension 1, ¿como son sus bases?

Solucion. Las bases de V constan de un unico vector no nulo.

7.- Si U,W ≤ V dos subespacios distintos de V y dim(V ) = n, dim(U) = dim(W ) = n− 1, ¿cuanto vale ladimension de U ∩W?

Solucion. Sabemos que

n− 1 = max{dim(U),dim(W )} ≤ dim(U +W ) ≤ dim(V ) = n.

Por tanto, dim(U + W ) = n, n − 1. Pero si dim(U + W ) = n − 1, al ser U,W ⊆ U + W , y coincidirlas dimensiones, se deduce que U = U +W = W , lo cual es falso, por ser U = W . Consecuentemente,dim(U +W ) = n y llevandolo a

dim(U +W ) = dim(U) + dim(W )− dim(U ∩W ),

deducimos que

dim(U ∩W ) = n− 1 + n− 1− n = n− 2.

Problemas

1.- Determinar los valores de a y b, si es que existen, para que

< (a, 1,−1, 2), (1, b, 0, 3) >=< (1,−1, 1,−2), (−2, 0, 0,−6) > .

Solucion. Para que los dos subespacios coincidan, debemos pedir que (a, 1,−1, 2) y (1, b, 0, 3) seescriban como combinacion lineal de (1,−1, 1,−2) y (−2, 0, 0,−6) y que ambos vectores sean linealmenteindependientes. Por tanto,

(a, 1,−1, 2) = α1(1,−1, 1,−2) + α2(−2, 0, 0,−6)(1, b, 0, 3) = β1(1,−1, 1,−2) + β2(−2, 0, 0,−6)

}⇒

a = α1 − 2α2

1 = −α1

−1 = α1

2 = −2α1 − 6α2

1 = β1 − 2β2

b = −β10 = β1

3 = −2β1 − 6β2





y la solucion al sistema anterior es: α1 = −1, α2 = 0, a = −1, β1 = 0, β2 = −12 y b = 0. Por tanto,

(a, 1,−1, 2) = (−1, 1,−1, 2) y (1, b, 0, 3) = (1, 0, 0, 3) y ambos vectores son linelamente independientes.

2.- Sean U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4|x1 = x2 = x4, x3 = 0}, V = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4|x1 = x2 = x3, x4 = 0}y W = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4|x2 = x1 + x3, 3x1 = x2 + x4}.

1. Demostrar que R4 = U ⊕ V ⊕W .

2. Descomponer el vector (1, 2, 3, 4) en la forma u+ v + w ∈ U + V +W .

Solucion. 1. Para ver que R4 = U ⊕ V ⊕ W , debemos comprobar que R4 = U + V + W y queU ∩ (V +W ) = V ∩ (U +W ) =W ∩ (U +V ) = {(0, 0, 0, 0)}. Esto equivale a demostrar que BU ∪BV ∪BW

es una base de R4. Ahora,BU = {(1, 1, 0, 1)}, BV = {(1, 1, 1, 0)} y BW = {(1, 0, 1, 3), (0, 1,−1,−1)} ya que

U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4|x1 = x2 = x4, x3 = 0} = {(x1, x1, 0, x1)|x1 ∈ R} =< (1, 1, 0, 1) >

V = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4|x1 = x2 = x3, x4 = 0} = {(x1, x1, x1, 0)|x1 ∈ R} =< (1, 1, 1, 0) >

W = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4|x2 = x1 + x3, 3x1 = x2 + x4} = {(x1, x2, x1 − x2, 3x1 − x2)|x1, x2 ∈ R}=< (1, 0, 1, 3), (0, 1,−1,−1) > .

Entonces,BU ∪BV ∪BW = {(1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 3), (0, 1,−1,−1)}

y como el cardinal de BU ∪BV ∪BW es 4 y coincide con la dimension de R4, para ver que BU ∪BV ∪BW

es base de R4 es suficiente con demostrar que BU ∪BV ∪BW es libre. Ahora,

(0, 0, 0, 0) = α1(1, 1, 0, 1) + α2(1, 1, 1, 0) + α3(1, 0, 1, 3) + α4(0, 1,−1,−1)

implica0 = α1 + α2 + α3

0 = α1 + α2 + α4

0 = α2 + α3 − α4

0 = α1 + 3α3 − α4

y la unica solucion al sistema anterior es αi = 0, para i = 1, 2, 3, 4, luego BU ∪BV ∪BW es libre.

2. El vector (1, 2, 3, 4) = β1(1, 1, 0, 1) + β2(1, 1, 1, 0) + β3(1, 0, 1, 3) + β4(0, 1,−1,−1) siendo β1 = −11,β2 = 4, β3 = 8 y β4 = 9, luego u = β1(1, 1, 0, 1) = (−11,−11, 0,−11), v = β2(1, 1, 1, 0) = (4, 4, 4, 0) yw = β3(1, 0, 1, 3) + β4(0, 1,−1,−1) = (8, 9,−1, 15).

3.- Sea U = {f : R → R|f(x) = f(−x),∀x ∈ R} y W = {f : R → R|f(x) = −f(−x),∀x ∈ R}. Probar queF(R,R) = {f : R → R|f es aplicacion} es suma directa de U y W .

Solucion. Por definicion, F(R,R) = U ⊕W si y solo si F(R,R) = U +W y U ∩W = {0F(R,R)}, donde0F(R,R) denota la aplicacion nula.

Comprobemos que F(R,R) = U +W :

⊆ Sea f ∈ F(R,R) y definimos g : R → R tal que g(x) = f(x)+f(−x)2 y h : R → R tal que h(x) = f(x)−f(−x)

2 .

Es claro que f = g + h. Ademas, g ∈ U ya que g(−x) = f(−x)+f(x)2 = f(x)+f(−x)

2 = g(x), para todo

x ∈ R y h ∈W porque h(−x) = f(−x)−f(x)2 = − f(x)−f(−x)

2 = −h(x),para todo x ∈ R.





⊇ Es inmediato porque U,W ⊆ F(R,R).

Por otro lado, si f ∈ U ∩W , se tiene que f ∈ U y f ∈ W , luego para todo x ∈ R, f(x) = f(−x), porser f ∈ U y f(x) = −f(−x) por ser f ∈W . Entonces,

f(x) = f(−x) = −f(x) ⇒ 2f(x) = 0 ⇒ f(x) = 0,

esto es f es la aplicacion nula.






Ejercicios



(1, x, 5) = α(1, 2, 3) + β(1, 1, 1),


x = 2α+ β

5 = 3α+ β



Solucion. Tenemos



(0, 0, 0, 0) = α(1, 1, 0, 0) + β(0, 0, 1, 0) + γ(0, 0, 0, 1) ⇒ α = β = γ = 0,



(0, 0, 0, 0) = λ(1, 1, 2, 1) + β(2, 3,−1, 1) →

0 = λ+ 2β0 = λ+ 3β0 = 2λ− β0 = λ+ β






Por definicion,


.






S =< (1, 2,−1, 3), (2, 1, 0,−2), (0, 1, 2, 1), (3, 4, 1, 2) > .


(0, 0, 0, 0) = α1(1, 2,−1, 3) + α2(2, 1, 0,−2) + α3(0, 1, 2, 1) + α4(3, 4, 1, 2) ⇒0 = α1 + 2α2 + 3α3 + 3α4

0 = 2α1 + α2 + α3 + 4α4

0 = −α1 + 2α3 + α4

0 = 3α2 − 2α2 + α3 + 2α4


α1 = α2 = α3 = −α4


(0, 0, 0, 0) = β1(1, 2,−1, 3) + β2(2, 1, 0,−2) + β3(0, 1, 2, 1) ⇒0 = β1 + 2β2 + 3β30 = 2β1 + β2 + β30 = −β1 + 2β3

0 = 3β2 − 2β2 + β3










0V =

4∑i=1



0 = 2α1 + 2α2 + α3 − α4

0 = α1 + α3

0 = −α1 + α2 − α3 + 2α4

0 = 2α2 + 3α4


α1 = α2 = α3 = α4 = 0,



v = u1+2u2+u4 =4∑

i=1


o sea,1 = 2β1 + 2β2 + β3 − β4

2 = β1 + β3

0 = −β1 + β2 − β3 + 2β4

1 = 2β2 + 3β4




(β1 β2 β3 β4) = (1 2 0 1)MB,B′ ,


MB,B′ =M−1

B′,B

=

2 1 −1 02 0 1 21 1 −1 0−1 0 2 3

−1

=

1 0 −1 07 −3 −6 28 −3 −8 2−5 2 5 −1

.














deducimos que

dim(U ∩W ) = n− 1 + n− 1− n = n− 2.

Problemas


< (a, 1,−1, 2), (1, b, 0, 3) >=< (1,−1, 1,−2), (−2, 0, 0,−6) > .


(a, 1,−1, 2) = α1(1,−1, 1,−2) + α2(−2, 0, 0,−6)(1, b, 0, 3) = β1(1,−1, 1,−2) + β2(−2, 0, 0,−6)

}⇒

a = α1 − 2α2

1 = −α1

−1 = α1

2 = −2α1 − 6α2

1 = β1 − 2β2

b = −β10 = β1

3 = −2β1 − 6β2















Entonces,BU ∪BV ∪BW = {(1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 3), (0, 1,−1,−1)}



(0, 0, 0, 0) = α1(1, 1, 0, 1) + α2(1, 1, 1, 0) + α3(1, 0, 1, 3) + α4(0, 1,−1,−1)


0 = α1 + α2 + α4

0 = α2 + α3 − α4

0 = α1 + 3α3 − α4







2 .


2 = g(x), para todo









f(x) = f(−x) = −f(x) ⇒ 2f(x) = 0 ⇒ f(x) = 0,





Problemas y Ejercicios Propuestos.


Ejercicios

1.- Calcular el productos de ciclos que aparecen en las siguiente expresion:

(1 3 6 5)(5 4 2 6).

2.- Sean f =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 104 3 2 1 9 10 7 5 6 8

)y g =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 3 5 6 7 8 1 9 10

)dos per-

mutaciones de Σ10. Obtener la descomposicion en ciclos disjuntos de:

(i) g y g(−1).

(ii) fg y (fg)−1.

3.- Demostrar, utilizando las propiedades de los determinantes, que

∣∣∣∣∣∣a2 (a+ 1)2 (a+ 2)2

b2 (b+ 1)2 (b+ 2)2

c2 (c+ 1)2 (c+ 2)2

∣∣∣∣∣∣ = 4(b−c)(b−

a)(c− a).

4.- Localizar, utilizando determinantes, el rango de A =

0 0 1 −3 −22 2 3 −1 63 3 5 −3 84 4 8 −8 86 6 11 −11 14

.

5.- Sea A ∈ Mat4×4(R) con columnas A(i) para i = 1, . . . , 4, tal que det(A) = 4, calcular razonadamentedet(B), siendo B = (2A(1) −A(3) A(4) 5A(3) A(2)).

Problemas

1.- Sea (i1 . . . ir) ∈ Σn un ciclo de longitud r. Demostrar que:

(i) (i1irir−1 . . . i2) es el elemento inverso de (i1 . . . ir) en Σn.




2 Determinantes

(ii) Calcular f (−1) para cualquier f ∈ Σn. (Pista: Escribir f como producto de ciclos disjuntos.)

(iii) ef = ef−1 para todo f ∈ Σn.

2.- Calcular el determinante de A ∈ Matn×n(R), siendo

(i) A =

1 1 . . . 1x1 x2 . . . xnx21 x22 . . . x2n...

......

xn−11 xn−1

2 . . . xn−1n

.

3.- Demostrar que el siguiente sistema de ecuaciones lineales es compatibles determinados y localizar lasolucion:

(i)

2 1 1 1 . . . 1 1−2 1 0 0 . . . 0 00 −2 1 0 . . . 0 0...

.........

......

0 0 0 0 . . . 1 00 0 0 0 . . . −2 1

x1x2x3...

xn−1

xn

=

100...00

.

4.- Hallar, si es que existe, por dos metodos distintos la matriz inversa de:

1 a 0 0 00 1 a 0 00 0 1 a 00 0 0 1 a0 0 0 0 1






1.- Sea f ∈ End V . Demostrar que la imagen de un subespacio f -invariante tambien es f -invariante.

2.- Sea A ∈Matn×n(K). Probar que A ∈ GLn(K) si y solo si el cero no es valor propio de A.

3.- Calcular los valores propios reales y los vectores propios de la matriz A =

1 0 −4 44 3 −4 8−4 −2 5 −8−4 −2 6 −9

. ¿Es

A diagonalizable?

4.- Se considera una matriz A tal que χa(x) = (x2 + 1)(x2 + x + 1)(x − 2) ¿Que se puede decir sobre ladiagonalizacion A en R y en C?

5.- Si λ ∈ C, probar que la matriz

(λ 10 λ

)no es diagonalizable. Generalizar a la matriz n× nλ 1 0 · · · 00 λ 1 · · · 0...

. . .. . .

...0 · · · · · · λ 10 · · · · · · · · · λ

.

Problemas

1.- Sea f ∈ End R4 cuya matriz asociada, empleando la notacion por filas, respecto a la base canonica es1 4 −4 −40 3 −2 −2

−4 −4 5 64 8 −8 −9

(i) Probar que el subespacio W = ⟨(1, 1, 3,−1), (0, 1, 5,−3)⟩ es f -invariante.

(ii) Calcular la matriz asociada a f|W respecto de la base BW = {(1, 1, 3,−1), (0, 1, 5,−3)}. Demostrarque f|W es diagonalizable y encontrar una base de W respecto de la cual su matriz asociada seadiagonal.




2 Diagonalizacion

(iii) Obtener un subespacio f -invariante W ′ tal que R4 = W ⊕W ′. (Ayuda. Elegir algun subespaciogenerado por vectores propios.)

2.- Estudiar si A es semejante a B, siendo A =

2 0 00 2 00 1 3

y B =

2 0 00 −1 −40 3 6

. En caso de que lo

sean, localizar una matriz de paso B = PAP−1.

3.- Sea f ∈ End (R3) el endomorfismo definido por f(x, y, z) = (2x− y + z, x+ z, x− y + 2z)

(i) Demostrar que f es diagonalizale y hallar una base B respecto de la cual la matriz asociada a f esdiagonal.

(ii) Calcular f10(1,−1, 1) y encontrar (x, y, z) ∈ R3 tal que f10(x, y, z) = (1,−1, 1).

(iii) Localizar g ∈ End (R3) tal que g2 = f .

4.- Se considera la matriz Aa =

0 a a2

1/a 0 a1/a2 1/a 0

, donde a ∈ R− {0}.

(i) Hallar sus valores y vectores propios.

(ii) Localizar los valores de a para los cuales Aa es diagonalizable sobre R? Cuando lo sea, hallar su formadiagonal y una matriz de paso.

5.- Sea V un R-espacio vectorial y f ∈ End V tal que f2 = 1V .

(i) Probar que los unicos valores propios posibles de f son 1 y −1.

(ii) Demostrar que f es diagonalizable. (Ayuda. Probar que V = V (1) ⊕ V (−1). Si v ∈ V , debemosencontrar u ∈ V (1) y w ∈ V (−1) tales que v = u + w. Si queremos saber como hay que tomar uy w, podemos suponer por un momento que ya se tiene v = u+ w. Aplicando f a esta expresion,se obtiene otra relacion entre u y w. De estas dos expresiones con u y w se pueden despejar susvalores.)

(iii) Si A ∈Matn×n(R), deducir que A2 = In si y solo si A es similar a una matriz diagonal con valores1 o −1 en la diagonal.






Ejercicios



(1, x, 5) = α(1, 2, 3) + β(1, 1, 1),


x = 2α+ β

5 = 3α+ β



Solucion. Tenemos



(0, 0, 0, 0) = α(1, 1, 0, 0) + β(0, 0, 1, 0) + γ(0, 0, 0, 1) ⇒ α = β = γ = 0,



(0, 0, 0, 0) = λ(1, 1, 2, 1) + β(2, 3,−1, 1) →

0 = λ+ 2β0 = λ+ 3β0 = 2λ− β0 = λ+ β






Por definicion,


.






S =< (1, 2,−1, 3), (2, 1, 0,−2), (0, 1, 2, 1), (3, 4, 1, 2) > .


(0, 0, 0, 0) = α1(1, 2,−1, 3) + α2(2, 1, 0,−2) + α3(0, 1, 2, 1) + α4(3, 4, 1, 2) ⇒0 = α1 + 2α2 + 3α3 + 3α4

0 = 2α1 + α2 + α3 + 4α4

0 = −α1 + 2α3 + α4

0 = 3α2 − 2α2 + α3 + 2α4


α1 = α2 = α3 = −α4


(0, 0, 0, 0) = β1(1, 2,−1, 3) + β2(2, 1, 0,−2) + β3(0, 1, 2, 1) ⇒0 = β1 + 2β2 + 3β30 = 2β1 + β2 + β30 = −β1 + 2β3

0 = 3β2 − 2β2 + β3










0V =

4∑i=1



0 = 2α1 + 2α2 + α3 − α4

0 = α1 + α3

0 = −α1 + α2 − α3 + 2α4

0 = 2α2 + 3α4


α1 = α2 = α3 = α4 = 0,



v = u1+2u2+u4 =4∑

i=1


o sea,1 = 2β1 + 2β2 + β3 − β4

2 = β1 + β3

0 = −β1 + β2 − β3 + 2β4

1 = 2β2 + 3β4




(β1 β2 β3 β4) = (1 2 0 1)MB,B′ ,


MB,B′ =M−1

B′,B

=

2 1 −1 02 0 1 21 1 −1 0−1 0 2 3

−1

=

1 0 −1 07 −3 −6 28 −3 −8 2−5 2 5 −1

.














deducimos que

dim(U ∩W ) = n− 1 + n− 1− n = n− 2.

Problemas


< (a, 1,−1, 2), (1, b, 0, 3) >=< (1,−1, 1,−2), (−2, 0, 0,−6) > .


(a, 1,−1, 2) = α1(1,−1, 1,−2) + α2(−2, 0, 0,−6)(1, b, 0, 3) = β1(1,−1, 1,−2) + β2(−2, 0, 0,−6)

}⇒

a = α1 − 2α2

1 = −α1

−1 = α1

2 = −2α1 − 6α2

1 = β1 − 2β2

b = −β10 = β1

3 = −2β1 − 6β2















Entonces,BU ∪BV ∪BW = {(1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 3), (0, 1,−1,−1)}



(0, 0, 0, 0) = α1(1, 1, 0, 1) + α2(1, 1, 1, 0) + α3(1, 0, 1, 3) + α4(0, 1,−1,−1)


0 = α1 + α2 + α4

0 = α2 + α3 − α4

0 = α1 + 3α3 − α4







2 .


2 = g(x), para todo









f(x) = f(−x) = −f(x) ⇒ 2f(x) = 0 ⇒ f(x) = 0,







Ejercicios

1.- Determinar cuales de las siguientes aplicaciones son lineales:

(i) f : R3 → R2 definida por f((x, y, z)) = (x− y, y + 2z).

(ii) f : R3 → R2 definida por f((x, y, z)) = (x− y2, y + 2z).

Solucion. (i) Es lineal ya que, para todo (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ R3 y para todo α, β ∈ R, se cumple

f((α(x1, y1, z1) + β(x2, y2, z2)) = f((αx1 + βx2, αy1 + βy2, αz1 + βz2)) =

= (αx1 + βx2 − αy1 − βy2, αy1 + βy2 + 2αz1 + 2βz2) =

= (αx1 − αy1, αy1 + 2αz1) + (βx2 − βy2, βy2 + 2βz2) =

= α(x1 − y1, y1 + 2z1) + β(x2 − y2, y2 + 2z2) =

= αf((x1, y1, z1)) + βf((x2, y2, z2))

(ii) No es lineal ya que

f((0, 1, 0) + (0, 2, 0)) = f((0, 3, 0)) = (−9, 3) = (−1, 1) + (−4, 2) = f((0, 1, 0)) + f((0, 2, 0)).

2.- Se considera f : R2 → R3 aplicacion lineal tal que f((1,−1)) = (−1,−2,−3) y f((−3, 2)) = (0, 5, 3).Determinar, si es posible, f((x, y)) donde (x, y) ∈ R2.

Solucion. Los vectores {(1,−1), (−3, 2)} forman un conjunto libre de R2 ya que

(0, 0) = α(1,−1) + β(−3, 2) = (α− 3β,−α+ 2β) ⇒{0 = α− 3β0 = −α+ 2β

}⇒ α = β = 0.

Ademas el cardinal de {(1,−1), (−3, 2)} es 2, que coincide con la dimension de R2, luego {(1,−1), (−3, 2)}es una base de R2 y podemos expresar (x, y) ∈ R2 como combinacion lineal de {(1,−1), (−3, 2)}. En efecto,

(x, y) = (−2x− 3y)(1,−1) + (−x− y)(−3, 2),




2 Aplicaciones Lineales

Entonces, como f es lineal, se cumple

f((x, y)) = (−2x− 3y)f((1,−1) + (−x− y)f((−3, 2)).

3.- Hallar una aplicacion lineal f : P2(R) → R4 tal que kerf = {a1x+ a1x2|a1 ∈ R}.

Solucion. Una base de kerf es Bkerf = {x+x2}. Podemos completar esta base hasta obtener una basede P2(R). Por ejemplo, {1, x, x + x2} es una base de P2(R). Entonces, si queremos definir una aplicacionlineal f : P2(R) → R4 tal que kerf = {a1x + a1x

2|a1 ∈ R} es obvio que f(x + x2) = (0, 0, 0, 0). Ademas,debemos definir f(1) y f(x) de forma que formen un conjunto libre. Por ejemplo, la aplicacion lineal queverifica f(x+ x2) = (0, 0, 0, 0), f(1) = (1, 0, 0, 0) y f(x) = (0, 1, 0, 0) verifica lo pedido en el enunciado.

4.- Hallar, si es posible, una aplicacin lineal f : R4 → R3 tal que kerf =< (0, 1,−1, 1), (0, 1, 0, 1) > eImf =< (1, 0, 1), (2, 1, 0) >.

Solucion. Si queremos definir una aplicacion lineal f : R4 → R3, debe cumplirse que dim(R4) =dim(kerf + dimImf y los subespacios indicados lo cumplen.

Por otro lado, para definir una aplicacion lineal, es suficiente con dar las imagenes de los elementos deuna base del espacio vectorial origen. Si queremos que kerf =< (0, 1,−1, 1), (0, 1, 0, 1) >, podemos tomaruna base que tenga a S = {(0, 1,−1, 1), (0, 1, 0, 1)} como dos de sus vectores. Esto es posible porque elconjunto S es libre. Completamos esta base con {(1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)} y definimos la aplicacion f en la base{(0, 1,−1, 1), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)} mediante

f((0, 1,−1, 1)) = (0, 0, 0), f((0, 1, 0, 1)) = (0, 0, 0), f((1, 0, 0, 0)) = (1, 0, 1), f((0, 0, 0, 1)) = (2, 1, 0).

Observar que al ser {(1, 0, 1), (2, 1, 0)} un conjunto libre garantizamos que kerf es el subespacio deseado.

5.- Calcular el nucleo y la imagen de la aplicacion lineal f : R4 → P2(x) cuya matriz asociada (empleando

notacion por filas) respecto de la base canonica de R4 y {1, x, x2} es

1 0 −12 −4 1−1 0 −12 −2 −2

.

Solucion. Si empleamos la expresi’on matricial de f , sabemos que

f((a, b, c, d)) = (a b c d)

1 0 −12 −4 1−1 0 −12 −2 −2

1xx2

= (a+ 2b− c+ 2d) + (−4b− 2d)x+ (−a+ b− c− 2d)x2.

Entonces,

kerf = {(a, b, c, d) ∈ R4|f((a, b, c, d)) = 0}= {(a, b, c, d) ∈ R4|(a+ 2b− c+ 2d) + (−4b− 2d)x+ (−a+ b− c− 2d)x2 = 0}= {(a, b, c, d) ∈ R4|a+ 2b− c+ 2d = −4b− 2d = −a+ b− c− 2d = 0}

= {(72b, b,

3

2b,−2b)|b ∈ R}





6.- Sean V y W dos espacios vectoriales, ambos con dimension finita n y f : V →W lineal. Demostrar quesi f es inyectiva, entonces f es biyectiva.

Solucion. Como f es inyectiva, se tiene que kerf = {0V }. Entonces, de dim(V ) = dim(kerf)+dim(Imf)deducimos que dim(V ) = dim(Imf) y como dim(V ) =dim(W ), deducimos que Imf = W , luego f essobreyectiva.

7.- Sea V un espacio vectorial de dimension finita n, tal que n es un numero impar y f : V → V lineal.Demostrar que: kerf =Imf .

Solucion. Supongamos, por reduccion al absurdo, que kerf =Imf . Entonces, dim(V ) = dim(kerf) +dim(Imf) = 2dim(kerf), o sea un numero par, lo que contradice la hipotesis del enunciado. Consecuente-mente, kerf =Imf .

8.- Se considera la aplicacion lineal f : R3 → R4 cuya matriz asociada, empleando notacion por filas,

respecto de las bases canonicas de R3 y R4 sea

−1 2 0 12 −4 −1 13 −6 −2 3

. Localizar bases de R3 y R4, BR3

y BR4 , para que la matriz asociada a f sea de la forma

(Ir 00 0

).

Solucion. Si denotamos por ei, i = 1 · · · , 4 los elementos de la base canonica de R4, la expresionmatricial de f viene dada por

f((x, y, z)) = (x y z)

−1 2 0 12 −4 −1 13 −6 −2 3

e1e2e3e4

= (−x+ 2y + 3z 2x− 4y − 6z − y − 2z x+ y + 3z)

e1e2e3e4

= (−x+ 2y + 3z, 2x− 4y − 6z,−y − 2z, x+ y + 3z)

Si queremos que la matriz asociada a f sea

(Ir 00 0

), observamos que los ultimos vectores de la base de R3

que buscamos deben pertenecer a kerf , ası que calculamos en primer lugar el nucleo de la aplicacion lineal:

kerf = {(x, y, z) ∈ R3|f((x, y, z)) = (0, 0, 0, 0)}= {(x, y, z) ∈ R3|(−x+ 2y + 3z, 2x− 4y − 6z,−y − 2z, x+ y + 3z) = (0, 0, 0, 0)}= {(x, 2x,−x)|x ∈ R}.

Por tanto, una base de kerf es Bkerf = {(1, 2,−1)}. Completamos Bkerf hasta obtener una base de R3:BR3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 2,−1)}.

Por otro lado, deseamos que las imagenes de los primeros vectores tengan por coordenadas en la baseR4 que buscamos sean (1 0 0 0) y (0 1 0 0). Esto significa que los dos primeros vectores de la base deR4 sean f((1, 0, 0)) = (−1, 2, 0, 1) y f((0, 1, 0)) = (2,−4,−1, 1). Necesitamos dos vectores mas linealmenteindependientes para completar la base buscada. Podemos tomar el sistema generador formado por losvectores de la base canonica de R4 y los dos vectores hallados colocados en las dos primeras posiciones.Estos seis vectores forman un sistema generador ligado y al ser el primero de ellos no nulo, significa que





hay uno de ellos que es R-combinacion lineal del resto. En efecto, (0, 0, 0, 1) es combinacion lineal de losotros cinco. Entonces, {(−1, 2, 0, 1), (2,−4,−1, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} es otro sistema generadorde R4. De nuevo, este sistema generador es ligado, por tener 5 vectores en lugar de 4, que es la dimensionde R4. Como se ha mencionado, existe uno que es combinacion lineal de los que le preceden. Ası, (0, 0, 1, 0)es combinacion lineal de los demas. Entonces, {(−1, 2, 0, 1), (2,−4,−1, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)} es la base deR4 buscada.

9.- Estudiar si las matrices A y B son equivalentes, siendo A =

1 1 0 01 0 0 10 1 0 1

y B =

1 0 −1 01 1 1 02 1 0 0

.

Solucion. Si A y B son equivalentes, las podemos ver como matrices asociadas a la misma aplicacionlineal. Empleando la notacion por filas, si interpretamos A como la matriz asociada a una aplicacion linealf : V → W entre un espacio vectorial V de dimension 3 y otro W de dimension 4 con respecto a las basesBV = {v1, v2, v3} y BW = {w1, w2, w3, w4}, observamos que

kerf = {3∑

i=1

αivi ∈ V |f(3∑

i=1

αivi) = 0W }

= {3∑

i=1

αivi ∈ V |(α1 + α2)w1 + (α1 + α3)w2 + (α2 + α3)w4 = 0W }

= {3∑

i=1

αivi ∈ V |α1 + α2 = α1 + α3 = α2 + α3 = 0} = {0V }.

Si realizamos lo mismo para B, suponiendo que las bases respecto a las cuales esta calculada seanBV = {v′1, v′2, v′3} y BW = {w′

1, w′2, w

′3, w

′4}, obtenemos que

kerf = {3∑

i=1

βiv′i ∈ V |f(

3∑i=1

βiv′i) = 0W }

= {3∑

i=1

βiv′i ∈ V |(β1 + β2 + 2β3)w

′1 + (β2 + β3)w

′2 + (−β1 + β2)w

′3 = 0W }

= {β1(v1 + v2 − v3)|β1 ∈ R}

Por tanto, A y B no pueden ser matrices asociadas a la misma aplicacion lineal, ya que los nucleos dan dedimensiones diferentes. Esto significa que A y B no son equivalentes.

Problemas

1.- Sea V un espacio vectorial de dimension finita n y f : V → V lineal. Demostrar que V =Imf⊕kerf siy solo si Imf =Imf2.

Solucion. ⇒ Supongamos que V =Imf⊕kerf . Sea v ∈ V . Entonces, existe f(v′) y v′′ ∈ kerf tal que

v = f(v′) + v′′.

Ahora,f(v) = f2(v′) + f(v′′) = f2(v′) ∈ Imf2.





Por tanto, Imf ⊆Imf2. Ademas, para cada v ∈ V , es inmediato que f(f(v)) ∈ Imf , luego Imf2 ⊆ Imf .

⇐ Sea v ∈ V . Como Imf =Imf2, sabemos que existe v′ tal que f(v)− f(f(v′)). Entonces, expresamosv = f(v′) + v − f(v′). Es claro que f(v′) ∈ Imf . Ademas, v − f((v′) ∈ kerf , ya que f(v − f(v′)) = f(v)−f(f(v′)) = 0V . Por tanto, V ⊆Imf+kerf . Pero Imf y kerf son subespacios de V , luego Imf + kerf ⊆ V .Consecuentemente, V = Imf + kerf.

Solo falta por ver que Imf ∩ kerf = 0V . Ahora, si tomamos la aplicacion lineal f|f(V ) de Imf =Imf2,deducimos que f|f(V ) es biyectiva y, por tanto, kerf2 = {0V }. Entonces, si u ∈ Imf ∩ kerf , tenemos quef(u) = 0V , por estar u ∈ kerf , y existe v ∈ V tal que f(v) = u. Luego, 0V = f(u) = f(f(v)), ası quev ∈ kerf2 = {0V }, y, consecuentemente, u = f(v) = f(0V ) = 0V .

2.- Sea la aplicacion lineal f : R3 → R3 definida por f((−1, 1, 3)) = (6,−4, 16), f((−2, 1, 1)) = (−2,−5, 1)y f((3, 2,−1)) = (1, 14,−12).

(i) Calcular la matriz asociada a f respecto de la base canonica de R3.

(ii) Sin probar la inyectividad y/o suprayectividad de f directamente, ¿podemos deducir si f es unautomorfismo?

Solucion. (i) Si tomamos la matriz asociada a f respecto de BR3 = {(−1, 1, 3), (−2, 1, 1), (3, 2,−1)}base en el espacio vectorial origen y la base canonica en el espacio vectorial de llegada, obtenemos

A =

6 −4 16−2 −5 11 14 −12

.

Si tenemos en cuenta la relacion existente entre matrices asociadas a una aplicacion lineal, se tiene que lamatriz asociada a f respecto de la base canonica es:

B =MBcBR3A =

317 − 7

17217

− 117

817

517

717 − 5

17 − 117

6 −4 16−2 −5 11 14 −12

=

2 3 1−1 2 −43 −1 7

(ii) Si, podemos calcular el nucleo de f . Si este es {(0, 0, 0)}, entonces f es inyectiva y por ser f : R3 →R3, deducimos que es biyectiva. Ahora,

kerf = {(x,−11

5x,−7

5x)|x ∈ R},

luego f no es inyectiva y, por tanto, tampoco es biyectiva.

3.- Sea f : R3 → R2 definida por f((x, y, z)) = (x− y, y + 2z).

(i) Demostrar que f es lineal.

(i) Calcular Kerf e Imf .

(ii) Calcular bases de R3 y R2 de forma que la matriz asociada respecto de ellas sea

(Ir 00 0

).

Solucion. (i) Empleando la definicion de nucleo de una aplicacion, es claro que

kerf = {(−2z,−2z, z)|z ∈ R}





Ademas, dedim(R3) = dim(kerf) + dim(Imf)

deducimos que dim(Imf) = 2, ası que Imf = R2.

(ii) El que las ultimas filas de la matriz tengan todas sus entradas 0, nos indica que los ultimos vectoresde la base de R3 deben ser vectores linealmente independientes de kerf . Pero, como kerf esun subespacio vectorial de dimension 1, solo podemos tomar un vector no nulo del kerf paraformar parte de la base buscada. Elegimos, por ejemplo, {(−2,−2, 1)}. Completamos este, hastaobtener una base de R3, BR3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (−2,−2, 1)}. Tomamos ahora como base de R2

a f((1, 0, 0)) y f((0, 1, 0)), esto es, BR2 = {(1, 0), (−1, 1)}. La matriz asocida a f respecto de BR3

y BR2 es

1 00 10 0

.

4.- Sea V = W1 ⊕ W2. Demostrar que existe un unico endomorfismo tal que f2 = f , kerf = W1 yImf =W2.

Solucion. Para definir un endomorfismo de un espacio vectorial, es suficiente con dar la imagen de unabase de BV . Consideramos una base de V que sea union de bases de W1 y W2, esto es, BV = BW1 ∪BW2 .Definimos la aplicacion lineal f : V → V definida por f(w1i) = 0V , siendo w1i ∈ BW1 y f(w2j) = w2j , paratodo w2j ∈ BW2 . Es evidente que la aplicacion f definida cumple lo solicitado.

Veamos ahora la unicidad. Supongamos que g : V → V es otra aplicacion lineal que satisface g2 = g,kerg = W1 y Img = W2. Entonces, g(w1i) = 0V = f(w1i), para cada w1i ∈ BW1 . Nos falta probar queg(w2j) = w2j , para todo w2j ∈ BW2 . En efecto, por ser g2 = g, se tiene g(g(w2j)) = g(w2j). Pero al serg lineal, la igualdad anterior implica g(g(w2j) − w2j) = 0V , ası que g(w2j) − w2j ∈ kerg = W1. Ahora,g(w2j)−w2j ∈W2 por ser diferencia de dos elementos de W2. Consecuentemente, g(w2j)−w2j ∈W1∩W2 ={0V }, ya que por hipotesis V =W1 ⊕W2. En definitiva, g(w2j) = w2j , para todo w2j ∈ BW2 .






Ejercicios

1.- Determinar el rango de la siguiente matriz:

2 2 0 −13 4 1 22 3 2 5

.

Solucion. 2 2 0 −13 4 1 22 3 2 5

∼AT12(−1)

2 0 0 −13 1 1 22 1 2 5

∼

AT12(−1)T14(12 )

2 0 0 03 1 1 7

22 1 2 6

∼

T21(− 32 )AT12(−1)T14(

12 )

2 0 0 00 1 1 7

22 1 2 6

∼T31(−1)T21(− 3

2 )AT12(−1)T14(12 )

2 0 0 00 1 1 7

20 1 2 6

∼T32(−1)T31(−1)T21(− 3

2 )AT12(−1)T14(12 )

2 0 0 00 1 1 7

20 0 1 −1

∼

T32(−1)T31(−1)T21(− 32 )AT12(−1)T14(

12 )T23(−1)

2 0 0 00 1 0 7

20 0 1 −1

∼

T32(−1)T31(−1)T21(− 32 )AT12(−1)T14(

12 )T23(−1)T24(− 7

2 )

2 0 0 00 1 0 00 0 1 −1

∼

Q1(12 )T32(−1)T31(−1)T21(− 3

2 )AT12(−1)T14(12 )T23(−1)T24(− 7

2 )T34(1)

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0





Luego el rango de la matriz A es 3.

2.- Hallar matrices de paso P y Q tales que A = P

(Ir 00 0

)Q, siendo r = rg(A) y A la matriz del ejercicio

anterior.

Solucion. Del ejercicio anterior, podemos deducir que

Q1(1

2)T32(−1)T31(−1)T21(−

3

2)AT12(−1)T14(

1

2)T23(−1)T24(−

7

2)T34(1) =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

,

luego P ∈ Mat3×3(R) es la matriz inversa de Q1(12 )T32(−1)T31(−1)T21(− 3

2 ) y Q ∈ Mat4×4(R) es la matrizinversa de T12(−1)T14(

12 )T23(−1)T24(− 7

2 )T34(1), siendo


1 k = l0 k = l y (k, l) = (i, j)λ (k, l) = (i, j)


3.- Estudiar si las matrices A =

1 1 0 01 0 0 10 1 0 1

y B =

1 2 1 42 1 −1 −11 0 −1 −2

son equivalentes.

Solucion. Es facil ver que rg(A) = 3 = 2 = rg(B), luego A y B no son equivalentes.

4.- Se considera la aplicacion lineal f : V → W cuya matriz asociada respecto de las bases BV y BW es

A =

1 2 3 42 3 7 90 1 0 0

¿Es la matriz B =

2 0 0 01 2 0 00 0 0 0

matriz asociada a f?

Solucion. Para que dos matrices sean asociadas a la misma aplicacion lineal es condicion necesariay suficiente que tengan el mismo orden y el mismo rango. Ahora, rg(A) = 3 = 2 = rg(B), luego B no esmatriz asociada a f .

5.- Hallar, si es que existe, la inversa de la matriz A mediante transformaciones elementales, siendo A =1 3 0 10 0 −1 1−1 2 0 −12 1 0 1

Solucion. Para calcular la matriz inversa de A, podemos realizar transformaciones elementales solo

por filas, hasta obtener la matriz identidad.





1 3 0 10 0 −1 1−1 2 0 −12 1 0 1

∼P2 3A

1 3 0 1−1 2 0 −10 0 −1 12 1 0 1

∼T21(1)P23A

1 3 0 10 5 0 00 0 −1 12 1 0 1

∼Q2(

15 )T21(1)P23A

1 3 0 10 1 0 00 0 −1 12 1 0 1

∼T12(−3)Q2(

15 )T21(1)P23A

1 0 0 10 1 0 00 0 −1 12 1 0 1

∼T41(−2)T12(−3)Q2(

15 )T21(1)P23A

1 0 0 10 1 0 00 0 −1 10 1 0 −1

∼T42(−1)T41(−2)T12(−3)Q2(

15 )T21(1)P23A

1 0 0 10 1 0 00 0 −1 10 0 0 −1

∼T14(1)T42(−1)T41(−2)T12(−3)Q2(

15 )T21(1)P23A

1 0 0 00 1 0 00 0 −1 10 0 0 −1

∼T34(1)T14(1)T42(−1)T41(−2)T12(−3)Q2(

15 )T21(1)P23A

1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

∼Q3(−1)T34(1)T14(1)T42(−1)T41(−2)T12(−3)Q2(

15 )T21(1)P23A

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

∼Q4(−1)Q3(−1)T34(1)T14(1)T42(−1)T41(−2)T12(−3)Q2(

15 )T21(1)P23A

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Por tanto, la matriz inversa de A es Q4(−1)Q3(−1)T34(1)T14(1)T42(−1)T41(−2)T12(−3)Q2(15 )T21(1)P23 =

−35 0 2

5 115 0 1

5 01 −1 −1 −11 0 −1 −1

.





6.- Resolver, si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones:

x1 − x2 + x3 − x4 = 0

2x1 − 2x2 + 2x3 + x4 = 0

x2 + x3 + x4 = 0

Solucion. El sistema anterior es un sistema homogeneo, por tanto es compatible. Ademas, el numerode incognitas es mayor que el numero de ecuaciones, ası que es un sistema compatible indeterminado. Secomprueba facilmente que su solucion viene dada por

x1 = −2x3, x2 = −x3, x4 = 0,

siendo x3 ∈ R.

Problemas

1.- Se considera la aplicacion lineal f : R4 → R3 definida por f((x, y, z, t)) = (x−y−z, y+z+t, 2x−y−z+t).

Demostrar que A =

1 1 00 0 10 0 01 1 1

es matriz asociada a f y localizar bases de R4 y R3 respecto de las

cuales lo sea.

Solucion. Empleando la notacion por filas, para que A sea matriz asociada a f debe cumplirse que surango debe coincidir con el rango de f y que sea de orden 4 × 3. El rango de f coincide con el rango decualquier matriz asociada a f . Por ejemplo, si tomamos las bases canonicas de R4 y R3, la matriz asociadaa f en notacion por filas viene dada por

B =

1 0 2−1 1 −1−1 1 −10 1 1

.





Entonces, rg(B) = 2 ya que

1 0 2−1 1 −1−1 1 −10 1 1

∼T32(−1)B

1 0 2−1 1 −10 0 00 1 1

∼T42(−1)T32(−1)B

1 0 2−1 1 −10 0 01 0 2

∼T41(−1)T42(−1)T32(−1)B

1 0 2−1 1 −10 0 00 0 0

∼T21(1)T41(−1)T42(−1)T32(−1)B

1 0 20 1 10 0 00 0 0

∼T21(1)T41(−1)T42(−1)T32(−1)BT23(−1)

1 0 20 1 00 0 00 0 0

∼T21(1)T41(−1)T42(−1)T32(−1)BT23(−1)T13(−2)

1 0 00 1 00 0 00 0 0

Entonces, si tomamos P1 = T21(1)T41(−1)T42(−1)T32(−1) =

1 0 0 01 1 0 00 −1 1 0−1 −1 0 1

y Q1 = T23(−1)T13(−2) =

1 0 −20 1 −10 0 1

, se cumple que

P1BQ1 =

1 0 00 1 00 0 00 0 0

. (1)





Por otro lado, si calculamos el rango de A mediante transformaciones elementales, se tiene1 1 00 0 10 0 01 1 1

∼P34A

1 1 00 0 11 1 10 0 0

∼T31(−1)P34A

1 1 00 0 10 0 10 0 0

∼T32(−1)T31(−1)P34A

1 1 00 0 10 0 00 0 0

∼T32(−1)T31(−1)P34AT12(−1)

1 0 00 0 10 0 00 0 0

∼T32(−1)T31(−1)P34AT12(−1)P32

1 0 00 1 00 0 00 0 0

Por tanto, si tomamos P2 = T32(−1)T31(−1)P34 =

1 0 0 00 1 0 0−1 −1 0 10 0 1 0

y Q2 = T12(−1)P32 =

1 0 −10 0 10 1 0

verifican que

P2AQ2 =

1 0 00 1 00 0 00 0 0

. (2)

Ası que, A es de rango 2 y, consecuentemente, matriz asociada a f .

Para calcular bases de R4 y R3, BR4 y BR3 , respectivamente, respecto de las cuales esta calculadaA, empleamos la relacion existente entre las matrices asociadas a la misma aplicacion lineal. De (1) y (2)deducimos que P2AQ2 = P1BQ1, luego

B = P−11 P2AQ2Q

−11 =

1 0 0 0−1 1 0 0−2 0 0 10 1 1 0

A

1 0 10 0 10 1 1

y

1 0 0 0−1 1 0 0−2 0 0 10 1 1 0

es la matriz de cambio de coordenadas de la base canonica a la base BR4 y

1 0 10 0 10 1 1

la matriz de cambio de coordenadas de la base BR3 a la base canonica. Consecuentemente, BR4 ={(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (−1,−1, 0, 1), (2, 0, 1, 0)} y BR3 = {(1, 0, 1), (0, 0, 1), (0, 1, 1)}.

2.- Calcular el rango de A =

a+ 2 1 1 a− 1a a− 1 1 a− 1

a+ 1 0 a+ 1 a− 1

segun los valores de a ∈ Q.





Solucion. Empleando transformaciones elementales obtenemos: a+ 2 1 1 a− 1a a− 1 1 a− 1

a+ 1 0 a+ 1 a− 1

∼T21(−1)A

1 a+ 2 1 a− 1−2 a− 2 0 00 a+ 1 a+ 1 a− 1

∼

P12T21(−1)A

−2 a− 2 0 01 a+ 2 1 a− 10 a+ 1 a+ 1 a− 1

∼

T32(−1)P12T21(−1)A

−2 a− 2 0 01 a+ 2 1 a− 1−1 −1 a 0

∼

T32(−1)P12T21(−1)AP42

−2 0 0 a− 2a+ 2 a− 1 1 1−1 0 a −1

Distinguimos dos casos:

(i) Si a = 1, podemos multiplicar la columna 2 por 1a−1 y obtenemos

a+ 2 1 1 a− 1a a− 1 1 a− 1

a+ 1 0 a+ 1 a− 1

∼T32(−1)P12T21(−1)AP42Q2(

1a−1 )

−2 0 0 a− 2a+ 2 1 1 1−1 0 a −1

∼

T32(−1)P12T21(−1)AP42Q2(1

a−1 )T21(−a−2)

−2 0 0 a− 20 1 1 1−1 0 a −1

∼

T32(−1)P12T21(−1)AP42Q2(1

a−1 )T21(−a−2)T23(−1)

−2 0 0 a− 20 1 0 1−1 0 a −1

Si a = 0, 1, entonces

−2 0 0 a− 20 1 0 1−1 0 a −1

es de rango 3 (por ser las tres filas linealmente indepen-

dientes) y A es equivalente a ella, luego es tambien de rango 3. Si a = 0, entonces A es equivalente a−2 0 0 −20 1 0 1−1 0 0 −1

que es de rango 2.

(ii) Si a = 1, entonces A es equivalente a

−2 0 0 −13 0 1 1−1 0 1 −1

que se comprueba facilmente que es de rango

2.

3.- Estudiar, y resolver cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones segun los valores del parametrom:

x1 −mx2 − x3 − 2mx4 = m

mx1 +mx2 −mx3 + 2mx4 = 1

x1 +mx2 − x3 + 2mx4 = −1

Solucion. Distinguimos dos casos:





(i) Si m = 0, entonces en el sistema anterior queda:

x1 − x3 = 0

0 = 1

x1 − x34 = −1

que claramente es incompatible.

(ii) Si m = 0, el sistema anterior se puede escribir

x1 −mx2 − x3 − 2mx4 = m

x1 + x2 − x3 + 2x4 =1

m

x1 +mx2 − x3 + 2mx4 = −1

La matriz del sistema viene dada por

A =

1 −m −1 −2m1 1 −1 21 m −1 2m

que equivale a 1 −m −1 −2m

1 1 −1 21 m −1 2m

∼T31(1)T21(−1)A

1 −m −1 −2m0 1 +m 0 2 + 2m2 0 −2 0

y si realizamos las mismas transformaciones elementales en la matriz ampliada B obtenemos lamatriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales que tiene la misma solucion: 1 −m −1 −2m | m

1 1 −1 2 | 1m

1 m −1 2m | −1

∼T31(1)T21(−1)A

1 −m −1 −2m | m

0 1 +m 0 2 + 2m | 1−m2

m2 0 −2 0 | −1 +m

De nuevo distinguimos dos casos:

(a) Si m = −1 la segunda ecuacion se convierte en una identidad y el sistema tiene por matriz ampliadaa 1 1 −1 2 | −1

0 0 0 0 | 02 0 −2 0 | −2

que es compatible indeterminado y su solucion es x3 = 1 + x1, x2 = −2x4.

(b) Si m = −1, 0 la segunda ecuacion equivale a x2 + 2x4 = 1−mm , o sea, la matriz ampliada de un

sistema equivalente al dado viene dada por 1 −m −1 −2m | m0 1 0 2 | 1−m

m2 0 −2 0 | −1 +m

Ahora, rg

1 −m −1 −2m0 1 0 22 0 −2 0

= 2 y

rg

1 −m −1 −2m | m0 1 0 2 | 1−m

m2 0 −2 0 | −1 +m

=

{2 si m = 3.3 si m = 0,−1, 3.





Por tanto, el sistema es incompatible para m = 0,−1, 3 y compatible indeterminado para m = 3.En este caso, la solucion viene dada por x3 = x1 − 1, x− 2 = −2x4 − 2

3 .

4.- Hallar a ∈ R para que el endomorfismo f de R3 definido por f((x, y, z)) = (ax+ y+ z, x+ay+ z, x+ y)tenga nucleo de la maxima dimension posible y localizar una base de dicho nucleo.

Solucion. Por definicion

kerf = {(x, y, z) ∈ R3|f((x, y, z)) = (0, 0, 0)} =

= {(x, y, z) ∈ R3|ax+ y + z = 0, x+ ay + z = 0, x+ y = 0}

Resolvamos el sistema de ecuaciones homogeneo{ ax+ y + z = 0x+ ay + z = 0x+ y = 0

La matriz del sistema viene dada por

A =

a 1 11 a 11 1 0

Es facil comprobar que rg(A) =

{3 si a = 12 si a = 1

. Por consiguiente, la dimension de kerf sera maxima para

a = 1 ykerf = {(x,−x, 0)|x ∈ R} =< (−1, 1, 0) >

y una base de kerf viene dada por {(−1, 1, 0)}.






Ejercicios

1.- Demostrar que si f = (i1 . . . ir) ∈ Σn, entonces ef = (−1)r−1.

Solucion. Sabemos que (i1 . . . ir) = (i1 ir)(ir ir−1)(ir−1 ir−2) · · · (i3 i2), esto es, f se expresa comoproducto de r − 1 trasposiciones. Por definicion de signatura, se tiene que ef = (−1)r−1.

2.- Calcular el productos de ciclos que aparecen en las siguiente expresion:

(1 2 3 4 5 6 7)(2 4 3 7 5 6).

Solucion. Al realizar el producto de ambos ciclos sale (1 2 3 4 5 6 7)(2 4 3 7 5 6) = (1 4 6 5 2 7).

3.- Obtener las descomposiciones en ciclos disjuntos de la siguiente permutacion de Σ10:

f =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 104 3 2 1 9 10 7 5 6 8

).

Solucion. Siguiendo el metodo explicado en el Apartado 1 del Tema 5, la descomposicion en ciclosdisjuntos es (1 4)(2 3)(5 9 6 10 8).

4.- Demostrar, utilizando las propiedades de los determinantes, que

∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3

∣∣∣∣∣∣∣ = 160.




2 Determinantes

Solucion.∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3

∣∣∣∣∣∣∣ =Sumamos todas las columnas a la primera

∣∣∣∣∣∣∣10 2 3 410 3 4 110 4 1 210 1 2 3

∣∣∣∣∣∣∣=

Sacamos 10 factor comun de la columna primera10

∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 41 3 4 11 4 1 21 1 2 3

∣∣∣∣∣∣∣=

Restamos la primera fila a las demas10

∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 1 −30 2 −2 −20 −1 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣=

Desarrollamos por la primera columna10

∣∣∣∣∣∣1 1 −32 −2 −2−1 −1 −1

∣∣∣∣∣∣ = 160.

5.- Sea A ∈ Mat4×4(R) con columnas A(i) para i = 1, . . . , 4, tal que det(A) = 4, calcular razonadamente:

(i) det(A−1).

(ii) det(2A).

Solucion. (i) det(A−1) = det(A)−1 =1

4.

(ii) det(2A) = 24det(A) = 26.

6.- Demostrar que si A ∈ Matn×n(K) tiene una fila (columna) en la que todas las entradas son 0K , entoncesdet(A) = 0. (Pista: usar las propiedades de los determinantes).

Solucion. Es suficiente con escribir los elementos de la fila (columna) i con todas las entradas son 0Kcomo 0K+0K y aplicar la propiedad 5 de los determinantes. Entonces, det(A) = 2det(A), luego det(A) = 0K .

Problemas

1.- Sea A =

a −b −c −db a d −cc −d a bd c −b a

.

(i) Demostrar que AAt = (a2 + b2 + c2 + d2)I4.

(ii) Empleando el apartado anterior, deducir cuanto vale |A|.

Solucion. Para demostrar (i) es suficiente con observar que

AAt =

a2 + b2 + c2 + d2 0 0 0

0 a2 + b2 + c2 + d2 0 00 0 a2 + b2 + c2 + d2 00 0 0 a2 + b2 + c2 + d2

.




Determinantes 3

(ii) De (i) deducimos que det(AAt) = det((a2+ b2+ c2+d2)I4) = (a2+ b2+ c2+d2)4. Pero det(AAt) =det(A)det(At) = det(A)2, ya que det(A) = det(At). Entonces, det(A) = ±(a2 + b2 + c2 + d2)2.

2.- Calcular el determinante de la matriz

ab b2 a2 abab a2 b2 aba2 ab ab b2

b2 ab ab a2

. Deducir cual es su rango, segun los difer-

entes valores de a y b.

Solucion. Es facil ver que

∣∣∣∣∣∣∣ab b2 a2 abab a2 b2 aba2 ab ab b2

b2 ab ab a2

∣∣∣∣∣∣∣ = −(a− b)4(a+ b)4.

Por tanto, si a = ±b, rgA = 4. Si a = b = 0, entonces rgA = 1. Si a = b = 0, rgA = 0. Por ultimo, sia = −b = 0, entonces

A =

−a2 a2 a2 −a2−a2 a2 a2 −a2a2 −a2 −a2 a2

a2 −a2 −a2 a2

,

que clarmente es de rango 1.

3.- Calcular el determinante de A ∈ Matn×n(R), siendo A =

1 n n . . . nn 2 n . . . nn n 3 . . . n...

......

...n n n . . . n

.

Solucion.

|A| =A(i)→A(i)−A(n),i=1,...,n−1

1− n 0 0 . . . 00 2− n 0 . . . 00 0 3− n . . . 0...

......

...n n n . . . n

= (1− n)(2− n) · · · (−3) · (−2) · (−1) · n = (−1)n−1n!.

4.- Hallar, si es que existe, por dos metodos distintos la matriz inversa de: A =

−1 0 1 01 −1 0 11 1 −1 01 1 1 −1

Solucion. Si calculamos ∣∣∣∣∣∣∣

−1 0 1 01 −1 0 11 1 −1 01 1 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣ = −3.




4 Determinantes

Por tanto, A es inversible. Podemos calcular su inversa mediante la formula A−1 = adj(A)t|A|−1, y obten-emos

A−1 =

−1

313 0 1

31 0 1 023

13 0 1

343

23 1 − 1

3

Tambien podemos obtener A−1 como la solucion a los sistemas de ecuaciones AX = Bi, i = 1, · · · , 4, dondeBi ∈ Mat4×1(R) es la matriz que tiene en todas las posiciones 0, excepto en la i-esima que es 1.






Ejercicios

1.- Sea f ∈ End V . Demostrar que la suma de subespacios f-invariantes es f-invariante.

Solucion. Sean U,W dos subespacios f -invariantes de V . Entonces, por definicion de f -invariantes, secumple

f(U) ⊆ U (1)

yf(W ) ⊆W. (2)

Ahora, U +W es subespacio de V , por ser suma de subespacios, y f(U +W ) = f(U) + f(W ), por ser flineal y de (1) y (2) concluimos:

f(U +W ) = f(U) + f(W ) ⊆ U +W,

o sea, U +W es tambien f -invariante.

2.- Calcular los valores propios reales λ y los subespacios fundamentales V (λ) para f ∈ End (R3) definidopor f((x, y, z)) = (−x− z,−7x+ 4y + 13z, x− 3z).

Solucion. Sabemos que los valores propios son las raıces del polinomio caracterıstico y este viene dadopor el polinomio caracterıstico de cualquier matriz asociada a f . Empleando la notacion por filas, si elegimosla matriz asociada a f respecto de la base canonica, esta viene dada por:

A =

−1 −7 10 4 0−1 13 −3

y el polinomio caracterıstico de esta matriz es

χA(x) =

∣∣∣∣∣∣x+ 1 7 −10 x− 4 01 −13 x+ 3

∣∣∣∣∣∣ = (x− 4)(x+ 2)2.

Por tanto, los valores propios de f son 4 y -2.




2 Diagonalizacion

Calculamos los subespacios fundamentales

V (4) = {(x, y, z) ∈ R3|f((x, y, z)) = 4(x, y, z)}= {(x, y, z) ∈ R3|(−x− z,−7x+ 4y + 13z, x− 3z) = 4(x, y, z)}= {(x, y, z) ∈ R3|5x+ z = 0,−7x+ 13z = 0, x− 7z = 0}= {(0, y, 0) ∈ R|y ∈ R}

V (−2) = {(x, y, z) ∈ R3|f((x, y, z)) = −2(x, y, z)}= {(x, y, z) ∈ R3|x− z = 0,−7x+ 6y + 13z = 0}= {(x,−x, x)|x ∈ R}

3.- Sea A una matriz diagonalizable con forma diagonal D y matriz de paso P . Demostrar que An esdiagonalizable con forma diagonal Dn. Deducir cuanto vale An.

Solucion. Si A es diagonalizable con forma diagonal D y matriz de paso P significa que A = PDP−1,luego An = PDnp−1 y, por tanto, An es diagonalizable con forma diagonal Dn.

4.- Probar que, si A es diagonalizable y A semejante a B, entonces B es tambien diagonalizable.

Solucion. Si A es diagonalizable, entonces existe D matriz diagonal y P matriz de paso tal que

A = PDP−1. (1)

Por otro lado, si A semejante a B, entonces existe Q matriz de paso tal que

A = QBQ−1. (2)

De (1) y (2) se sigueQBQ−1 = PDP−1 =⇒ B = Q−1PDP−1Q.

Pero T = Q−1P es una matriz inversible (por ser el producto de dos matrices inversibles) tal queB = TDT−1,asi que B es diagonalizable con forma diagonal D.

5.- Estudiar si A =

−1 −7 10 4 0−1 13 −3

y B =

1 −3 33 −5 36 −6 4

son diagonalizables sobre R. En caso

afirmativo, determinar su forma diagonal y una matriz de paso.

Solucion. Sabemos que A ∈ Matn×n(K) es diagonalizable si y solo si se verifican las dos condicionessiguientes:

(i) Existen λ1, . . . λn ∈ K, (no necesariamente distintos) tales que χA(x) = (x− λ1) . . . (x− λn).

(ii) Para cada valor propio λ, se verifica dim(VA(λ)) = m(λ). Para la matriz A =

−1 −7 10 4 0−1 13 −3

su

polinomio caracterıstico viene dado por

χA(x) =

∣∣∣∣∣∣x+ 1 7 −10 x− 4 01 −13 x+ 3

∣∣∣∣∣∣ = (x− 4)(x+ 2)2,




Diagonalizacion 3

luego se escinde sobre R y se cumple (i). Pero,

VA(−2) = {(x y z) ∈ R3|(x y z)A = −2(x y z)}= {(x y z) ∈ R3|x− z = 0,−7x+ 6y + 13z = 0}= {(x − x x)|x ∈ R}.

Ası que dim(VA(−2)) = 1 < 2 = m(−2) y A no es diagonalizable.

El polinomio caracterıstico de B es

χB(x) =

∣∣∣∣∣∣x− 1 3 −3−3 x+ 5 −3−6 6 x− 4

∣∣∣∣∣∣ = (x− 4)(x+ 2)2

Ahora,

VB(−2) = {(x y z) ∈ R3|(x y z)B = −2(x y z)}= {(x y z) ∈ R3|x+ y + 2z = 0}= {(x − x− 2z z) ∈ R3|x, z ∈ R} =< (1 − 1 0), (0 − 2 1) >=⇒ dim(VB(−2)) = 2 = m(−2).

VB(4) = {(x y z) ∈ R3|(x y z)B = 4(x y z)}= {(x y z) ∈ R3| − 3x+ 3y + 6z = 0,−3x− 9y − 6z = 0, 3x+ 3y = 0}= {(x − x x)|x ∈ R} =< (1 − 1 1) >=⇒ dim(VB(4)) = 1 = m(4).

Por tanto, B cumple tambien la condicion (ii) y es diagonalizable con forma diagonal D =

−2 0 00 −2 00 0 4

.

Para construir la matriz de paso debemos tomar de cada subespacio fundamental una base y se colocaranen la matriz P en el mismo orden que aparezcan los valores propios. Ası, para calcular la matriz de paso Pdebemos colocar en las dos primeras filas una base de VB(−2) y en la tercera fila una base de VB(4). Por

ejemplo, P =

1 −1 00 −2 11 −1 1

y se cumple D = PBP−1.

Nota: En la definicion de VA(λ) nos han fijado la notacion a emplear: es la notacion por filas. Estofuerza a que en la definicion de P empleemos tambien la notacion por filas. Si se hubiera definido VA(λ) =xyz

|A

xyz

= λ

xyz

estarıamos usando la notacion por columnas y en caso de ser A diagonalizable

P llevarıa en sus columnas bases de los subespacios fundamentales asociados a los valores propios.

Problemas

1.- Sea f : R3 → R3 el endomorfismo definido por f(x, y, z) = (3x− y + z,−2x+ 4y − 2z,−2x+ 2y).

(i) Demostrar que f es diagonalizable y encontrar una base de R3 respecto de la cual la matriz asociadaa f sea diagonal.

(ii) Estudiar si las siguientes matrices estan asociadas a f y, en caso afirmativo, hallar una base respecto

de la cual lo esten:

2 1 00 2 00 0 3

,

2 0 00 2 00 0 3

.




4 Diagonalizacion

Solucion. (i) Para probar que f es diagonalizable, empleamos la caracterizacion de endomorfismosdiagonalizables:

“f : V → V lineal es diagonalizable si y solo si se verifican las dos condiciones siguientes:

(i) Su polinomio caracterıstico se escinde sobre K, esto es, existen λ1, . . . λn ∈ K, (no necesariamentedistintos) tales que χf (x) = (x− λ1) . . . (x− λn).

(ii) Para cada valor propio λ, se verifica dim(V (λ)) = m(λ). ”

Para calcular supolinomio caracterıstico, debemos buscar una matriz A asociada a f y calcular elpolinomio caracterıstico de A. Por ejemplo, si tomamos la base canonica de R3, la matriz asociada a f ,

empleando notacion por filasm viene dada por A =

3 −2 −2−1 4 21 −2 0

, cuyo polinomio caracterıstico es

χ(x) = χA(x) =

∣∣∣∣∣∣x− 3 2 21 x− 4 −2−1 2 x

∣∣∣∣∣∣ = (x− 3)(x− 2)2,

Calculamos los subespacios fundamentales asociados a los valores propios:

V (2) = {(x, y, z) ∈ R3|f((x, y, z)) = 2(x, y, z)}= {(x, y,−x+ y)|x, y ∈ R}

V (3) = {(x, y, z) ∈ R3|f((x, y, z)) = 3(x, y, z)}= {(x,−2x,−2x)|x ∈ R}

Luego, f es diagonalizable y una base respecto de la cual la matriz asociada estara formada por vectoresporpios linelamente independientes. Por ejemplo, podemos tomar B = {(1, 0,−1), (0, 1, 1), (1,−2,−2)}.

(ii) Es facil ver que B =

2 1 00 2 00 0 3

no es diagonalizable porque VB(2) es de dimension 1 y C = 2 0 00 2 00 0 3

es precisamente la forma diagonal de f . Por tanto, C es matriz asociada a f y una base

respecto de la cual lo es viene dada por B = {(1, 0,−1), (0, 1, 1), (1,−2,−2)}.

2.- Estudiar si A es semejante a B, siendo A =

2 0 00 2 00 −1 −3

y B =

0 −2 − 53

2 4 53

−5 −5 −3

. En caso de

que lo sean, localizar una matriz de paso B = PAP−1.

Solucion. Sabemos que dos matrices diagonalizables A y B son semejantes si tienen el mismo polinomiocaracterıstico. Ası que vamos a estudiar si las matrices A y B son diagonalizables y si tienen el mismopolinomio caracterıstico.

χA(x) =

∣∣∣∣∣∣x− 2 0 00 x− 2 00 1 x+ 3

∣∣∣∣∣∣ = (x− 2)2(x+ 3).

χB(x) =

∣∣∣∣∣∣x 2 5

3−2 x− 4 −5

35 5 x+ 3

∣∣∣∣∣∣ = (x− 2)2(x+ 3).




Diagonalizacion 5

Por tanto, ambas matrices tienen el mismo polinomio caracterıstico. Veamos si son diagonalizables:

1. Para A tenemosVA(2) = {(x y z)|(x y z)A = 2(x y z)}

= {(x y z)|z = 0 = 5z}= {(x y 0)|x, y ∈ R} =< (1 0 0), (0 1 0) >

VA(−3) = {(x y z)|(x y z)A = −3(x y z)}= {(x y z)|5y − z = 0 = 5x}= {(0 y 5y)|y ∈ R} =< (0 1 5) > .

Por consiguiente, D =

2 0 00 2 00 0 −3

es la forma diagonal de A y D = P1AP−11 , siendo P1 = 1 0 0

0 1 00 1 5

.

2. Para B tenemosVB(2) = {(x y z)|(x y z)B = 2(x y z)}

= {(x y z)|2y − 5z − 2x = 0 = −5

3x+

5

3y − 5z}

= {(x x 0)|x, z ∈ R} =< (1 1 0) >

Por tanto, B no es diagonalizable, ya que dim(VB(2)) = 1 < 2 = m(2).

Por consiguiente, A no es semejante a B, porque como A es diagonalizable toda matriz semejante a Aes tambien diagonalizable con su misma forma diagonal.

3.- ¿Que debe verificar el parametro a ∈ R para que la matriz A =

1 a a−1 1 −11 0 2

sea diagonalizable sobre

R? Cuando lo sea, hallar su forma diagonal, una matriz de paso y An para cualquier numero natural n.

Solucion. Una condicion necesaria, aunque no suficiente, para que A sea diagonalizable es que seescinda su polinomio caracterıstico. Ahora,

χA(x) =

∣∣∣∣∣∣x− 1 −a −a1 x− 1 1−1 0 x− 2

∣∣∣∣∣∣ = (x− 1)2(x− 2)

Ademas, debemos pedir que dim(VA(1)) = 2 y dim(VA(2)) = 1. Pero, dim(VA(2)) = 1 se cumple ya que alser 2 valor propio sabemos que 1 ≤ dim(VA(2)) ≤ m(2) = 1. Por consiguiente solo queda calcular los valoresde a para los cuales dim(VA(1)) = 2. Ahora,

VA(1) = {(x y z)|(x y z)A = (x y z)}= {(x y z)| − y + z = 0 = ax = ax− y + z}

= {(x y z)| − y + z = 0 = ax} =

{{(x y y)|x, y ∈ R} si a = 0{(0 y y)|y ∈ R} si a = 0

Luego A es diagonalizable para a = 0.




6 Diagonalizacion

Si a = 0, A es diagonalizable con forma diagonal D =

1 0 00 1 00 0 2

y para calcular una matriz de paso

necesitamos hallar primero VA(2), que viene dado por:

VA(2) = {(x y z)|(x y z)A = 2(x y z)}= {(x y z)| − x− y + z = 0 = −y}= {(x 0 x)|x ∈ R}

Entonces, P sera la matriz que lleva en sus filas tres vectores propios linealmente independientes colocadosen el mismo orden que los valores propios a los que estan asociados en la forma diagonal. En concreto,

P =

1 0 00 1 11 0 1

y D = PAP−1. Entonces,

An = P−1DnP =

1 0 01 1 −1−1 0 1

1 0 00 1 00 0 2n

1 0 00 1 11 0 1

=

1 0 01− 2n 1 1− 2n

−1 + 2n 0 2n

.

4.- Se considera la familia de endomorfismos fa,b : R3 → R3, tal que fa,b(x, y, z) = (z, by, ax), dondea, b ∈ R.

(i) Determinar los valores de a y b para los que fa,b es diagonalizable.

(ii) Cuando fa,b sea diagonalizable, localizar su forma diagonal .

Solucion. Para que fa,b sea diagonalizable debe cumplir que su polinomio caracterıstico se escinday que para cada valor propio λ las multiplicidades algebraicas y geometricas sean iguales. Para calcularel polinomio caracterıstico de f necesitamos hallar una matriz asociada a f y determinar el polinomiocaracterıstico de esta. Por ejemplo, si tomamos la base canonica de R3 la matriz asociada a f , empleando

la notacion por filas, viene dada por A =

0 0 a0 b 01 0 0

cuyo polinomio caracterıstico es:

χA(x) =

∣∣∣∣∣∣x 0 −a0 x− b 0−1 0 x

∣∣∣∣∣∣ = (x− b)(x2 − a)

que se escinde sobre R si a ≥ 0. Distinguimos varios casos:

1. Si a > 0 y b = ±√a, entonces f es diagonalizable por tener tres valores propios diferentes. Entonces,

su forma diagonal es D =

√a 0 00 −

√a 0

0 0 b

.

2. Si a = b = 0, entonces 0 es valor propio de f con multiplicidad algebraica 3 y

Vf0,0(0) = {(x, y, 0)|x, y ∈ R},

luego f0,0 no es diagonalizable porque dimVf0,0(0) = 2 < 3 = m(0).

3. Si a = 0, b = 0, entonces f0,b tiene dos valores propios distintos: 0, con m(0) = 2 y b con m(b) = 1.Pero,

Vf0,b(0) = {(x, 0, 0)|x ∈ R}.




Diagonalizacion 7

Ası que f0,b no es diagonalizable ya que dimVf0,b(0) = 1 < 2 = m(0).

4. Si a > 0 y b =√a, entonces fa,

√a tiene dos valores propios distintos

√a, con m(

√a) = 2 y −

√a, con

m(−√a) = 1. Ahora, Vfa,

√a(√a) = {(x, y,

√ax)|x, y ∈ R}, luego dim(Vfa,

√a(√a)) = 2 = m(

√a). Por

consiguiente, fa,√a es diagonalizable y su forma diagonal es D =

√a 0 00

√a 0

0 0 −√a

.

5. Si a > 0 y b = −√a, entonces fa,−

√a tiene dos valores propios distintos

√a, con m(

√a) = 1 y −

√a,

con m(−√a) = 2. Ahora, Vfa,−

√a(−

√a) = {(x, y,−

√ax)|x, y ∈ R}, luego dim(Vfa,−

√a(−

√a)) = 2 =

m(−√a). Por consiguiente, fa,−

√a es diagonalizable con forma diagonal D =

√a 0 00 −

√a 0

0 0 −√a

.






Ejercicios

1.- Sean F , G y H tres subespacios vectoriales de un espacio vectorial V . Probar que (F ∩G) + (F ∩H) ⊆F ∩ (G+H). ¿Es cierto el recıproco?

2.- Calcular bases de S,T ,S + T y S ∩ T siendo S =< (1, 1, 1), (1, 0, 2), (1, 2, 0) > y T = {(x, y, z) ∈R3|x+ y − z = 0}.

3.- Sea C = {(1, 5, 1), (2, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}. Probar que C es un sistema generador de R3 y localizarun subconjunto de C que sea base de R3.

4.- Dada la base BR3 = {((1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} hallar la base B′R3 = {v′1, v′2, v′3} tal que la ecuacion

del cambio de coordenadas venga dada por (x1 x2 x3) = (y1−2y3 −y2+5y3 y1−3y3), siendo (x1 x2 x3)e (y1 y2 y3) las coordenadas de un vector arbitrario en la base BR3 y B′

R3 , respectivamente.

5.- Sea V un K-espacio vectorial de dimension 3 y {u1, u2, u3} una base de V . Demostrar que {u1, u1 −u2, u1 + u2 − u3} es otra base de V .

6.- Sea U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4|x1 = x2, x3 = 0} subespacio vectorial de R4. Hallar una base de U ylocalizar las coordenadas respecto a ella de (x1, x2, x3, x4) ∈ U .

Problemas

1.- Sea G = {(x, y, z) ∈ R3|y − z = 0} y H = {(x, y, z) ∈ R3|y = 0, x+ z = 0}. Demostrar que G y H sonsubespacios vectoriales de R3 (tomando en R3 la suma y la multiplicacion por un escalar estandar) yque R3 = G⊕H.

2.- En R5 se definen los subespacios vectoriales F =< (1, 0, 1, 0, 1), (1, 1, 0, 1, 0), (2, 1, 1, 1, 1) > y G ={(x1, . . . , x5) ∈ R5|x1 = x2 = x4, x3 + x5 = 0}.

(a) Hallar una base de F , de G, F +G y F ∩G.¿Cuales son sus dimensiones?

(b) Calcular las coordenadas del vector (0,−1, 1,−1, 1) ∈ F en la base hallada en el apartado anterior.





3.- Sea U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4|x1 = 2x2 = x4, x3 = 0}.

(a) Hallar W subespacio suplementario de U .

(b) Descomponer el vector (x, y, z, t) en la forma u+ w ∈ U +W .






Ejercicios

1.- Determinar cuales de las siguientes aplicaciones son lineales:

(i) f : Mat2×3(R) → P2(x) definida por f((aij)) = (a11 + a12) + (a22 + a21x+ (a23 + 2a13)x2.

(ii) f : Mat2×2(R) → R2 definida por f((aij)) = (a11 + a12, a222 + a21).

2.- Se considera f : R2 → R3 aplicacion lineal tal que f((−1,−1)) = (−1, 1, 0) y f((−3, 1)) = (2,−2, 3).Determinar, si es posible, f((x, y)) donde (x, y) ∈ R2.

3.- Hallar una aplicacion lineal f : R5 → R4 tal que Imf = {(a1, 0, a1, a4 + a1)|a1, a4 ∈ R}.

4.- Calcular el nucleo y la imagen de la aplicacion lineal f : R4 → P2(x) definida por f((a1, a2, a3, a4)) =(a2 + a4)x+ (a1 − a3)x

2.

5.- Hallar la matriz asociada a la aplicacion lineal f : V → W respecto de BV = {v1, v2, v3} y BW ={w1, w2, w3, w4} sabiendo que

f(v1 + 2v2 − 3v3) = w1 − w3 − w4 f(2v1 + v3) = 2w2 − w4 f(3v1 + v2) = w2 + 2w3.

6.- Se considera la aplicacion lineal f : R4 → P2(x) cuya matriz asociada (empleando notacion por filas) re-

specto de la base canonica de R4 y {1, x, x2} es

−1 2 0−2 0 43 6 −12 −2 −1

. Hallar la matriz asociada a f respecto

de las bases{(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)} y {1 + x, 1− x, 1 + x+ x2}.

7.- Sean V y W dos espacios vectoriales ambos con dimension finita n. y f : V → W lineal. Demostrarque si f es suprayectiva, entonces f es biyectiva.

8.- Sea V un espacio vectorial de dimension finita n, siendo n es un numero par y f : V → V lineal.Demostrar que kerf =Imf si y solo si f2 = 0 y rangf = n.





9.- Sea W =< (0, 1, 0, 0), (3, 1, 0, 0) >, y f :W →W la aplicacion lineal definida por f(x, y, z, t) = (x,−x−2y,−z − t, 2t). Calcular la matriz B asociada a f respecto de la base BW = {(3, 0, 0, 0), (6, 3, 0, 0)}.

10.- Sean las aplicaciones lineales f : R4 → R2 definida por f((x, y, z, t)) = (y + 3t, y + t) y g : R2 → R4

definida por g((x, y)) = (x + y, y + 2x,−y, 0) y BR4 = {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 1, 0)} y

BR2 = {(1,−1), (1, 1)}, bases de R4 y R2, respectivamente. CalcularMBR4BR4(g ◦f). ¿Existe alguna

relacion entre esta matriz y MBR4BR2(f) y MBR2BR4

(g)?

11.- Estudiar cuales de las siguientes matrices son equivalentes. Para las que lo sean, localizar P , Q inversiblestales que A = PBQ.

(i) A =

1 22 33 4

y B =

(2 3 41 2 3

). (ii) A =

1 1 0 01 0 0 10 1 0 1

y B =

1 0 1 01 1 1 01 0 −1 1

.

Problemas

1.- Se considera la aplicacion lineal f : Mat3×2(R) → P3(R) definida por f((aij)) = (a11 + a22) + (a31 +2a32)x− (a21 + a12)x

3.

(i) Calcular el nucleo y la imagen de f .

(ii) Hallar subespacios vectoriales U1 y W1 tales que Mat3×2(R) = U1⊕Ker(f) y P3(R) =W1⊕ Im(f).

(iii) Determinar bases de Mat3×2(R) y P3(R) para que la matriz asociada a f sea de la forma

(0 0Ir 0

),

donde r = dim(Im(f)).

2.- Sea V un espacio vectorial de dimension finita n y f : V → V lineal. Demostrar que son equivalentes:

(i) Imf∩Kerf = {0V }.

(ii) Si f(f(v)) = 0V , entonces f(v) = 0V .

(iii) rang(f) =rang(f2).

3.- Sea V un espacio vectorial de dimension finita n y f : V → V lineal. Demostrar que si f = f2, entoncesV =Imf⊕Kerf .

4.- Sean V y W dos espacios vectoriales tales que V = V1⊕V2 y W =W1⊕W2 y fi : Vi →Wi, con i = 1, 2,dos aplicaciones lineales. Se define g(v1 + v2) = f1(v1) + f2(v2), para cada vi ∈ Vi.

(i) Demostrar que g ∈ LK(V,W ) y que g|Vi= fi, para i = 1, 2.

(ii) Probar que si h ∈ LK(V,W ) verifica que h|Vi= fi, entonces h = g.

(iii) ¿Es cierto que Kerg =Kerf1⊕Kerf2?

5.- Se considera la aplicacion lineal f : R3 → R3 definida por f((1, 0, 0)) = (0,−1, senα), f((0, 1, 0)) =(1, 0, cosα) y f((0, 0, 1)) = (−senα, cosα, 0).





(i) Calcular la matriz asociada a f tomando como base la base canonica de R3.

(ii) Sin realizar la composicion, demostrar que f3((x, y, z)) = (0, 0, 0), para todo (x, y, z) elemento deR3.

(iii) Localizar bases de R3 BR3 y B′R3 para que la matriz asociada a f sea de la forma

(Ir 00 0

).

(iv) Localizar matrices de paso P y Q tales que A = PBQ, siendo A la matriz asociada a f calculadaen (i) y B la matriz asociada a f calculada en (iii).

6.- Se consideran los Q-espacios vectoriales Q2 y Q3 y la aplicacion lineal f : Q2 → Q3 cuya matriz asociada

respecto de las bases canonicas es A =

(2 1 23 2 1

).

(i) Determinar f((x, y)) para cualquier (x, y) ∈ Q2.

(ii) Hallar f−1((5, 3, 3)).

(iii) Sin emplear la definicion, demostrar que f no es suprayectiva y localizar (x, y, z) ∈ Q3 tal quef−1((x, y, z)) = ∅.

(ii) ¿Es f inyectiva?

7.- Encontrar un endomorfismo f : R4 → R4 tal que f2 = f , kerf = {(x, x, y, y)|x, y ∈ R} e Imf ={(x, y,−y, x)|x, y ∈ R}. ¿Es unico?






Ejercicios

1.- Determinar el rango de las siguientes matrices:

(i)

1 2 3 02 4 3 23 2 1 36 8 7 5

(ii)

0 2 3 42 3 5 44 8 13 12

2.- Hallar matrices de paso P y Q tales que A = P

(Ir 00 0

)Q, siendo r = rg(A) y A las matrices del

ejercicio anterior.

3.- Estudiar cuales de las siguientes matrices son equivalentes.

(i) A =

(1 2 52 4 6

)y B =

(2 3 41 2 3

).

(ii) A =

1 2 1 −12 1 3 −11 0 1 0

y B =

1 2 1 12 1 −1 01 0 −1 0

.

4.- Estudiar si la matriz

1 1 01 0 10 0 00 1 1

es matriz asociada a la aplicacion lineal f : R4 → R3 definida por

f((x, y, z, t)) = (x− y − z, y + z + t, 2x− y − z + t).

5.- Hallar, si es que existe, la inversa de la matriz A mediante transformaciones elementales, siendo A:

(i) A =

1 2 32 4 53 5 6

(ii)

1 3 31 4 31 3 4

.

6.- Resolver, si es posible, los siguientes sistemas de ecuaciones:





(i)

2x1 − x2 − x3 = 4

3x1 + 4x2 − 2x3 = 11

3x1 − 2x2 + 4x3 = 11

(ii)

x1 − x2 + x3 = 3

5x1 + 2x2 − x3 = 5

−3x1 − 4x2 + 3x3 = 1

.

Problemas

1.- Dos matrices A,B ∈ Matn×n(R) se dice que conmutan si AB = BA. Localizar las matrices B queconmutan con A siendo

(i) A =

(1 2−1 −1

). (ii) A =

1 0 00 1 03 1 3

.

2.- Calcular el rango de A segun los valores de a, b ∈ Q

(i)

a a b bb a a bb b a aa b b a

(ii)

2 a b a+ ba a 0 0b 0 b 0

a+ b 0 0 a+ b

.

3.- Estudiar, y resolver cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones segun los valores del parametrom:

(i) (ii)

mx1 + x2 + x3 = m2

x1 + x2 +mx3 = m

x1 + x2 + 2mx3 = 2

.

4.- Estudiar, y resolver cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones reales segun los valores de losparametros a y b:

(i)

ax+ by + 2z = 1

ax+ (2b− 1)y + 3z = 1

ax+ by + (b+ 3)z = 1

5.- Demostrar que las matrices A =

1 2 1 42 1 −1 −11 0 −1 −2

y B =

1 0 0 01 1 0 −10 −1 0 1

son equivalentes y

localizar matrices inversibles P y Q tales que A = PBQ.

6.- Si A ∈ Matn×n(R). Se llama traza de A a Tr(A) =∑n

i=1 aii. Demostrar que si A,B ∈ Matn×n(R),entonces

(i) Tr(A−B) = Tr(A)− Tr(B).

(ii) Tr(AB) = Tr(BA).

(iii) Tr(AB −BA) = 0.

(iv) AB −BA = In.




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