UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERA Y ARQUITECTURA UNIDAD DE CIENCIAS BSICAS

CICLO I / 2015

MTODOS EXPERIMENTALES

UNIDAD II: PROCESO DE MEDICIN CONTENIDOS:

2.1 Introduccin. 2.2 Magnitudes y unidades.

2.2.1 Clasificacin de las magnitudes 2.2.2 Unidad de medida.

2.2.2.1 Patrn 2.3 Sistemas de Magnitudes y Unidades de medida.

2.3.1 Sistemas Absolutos o Cientficos. 2.3.2 Sistemas Tcnicos o Gravitacionales. 2.3.3 El Sistema Internacional de Unidades (SI) 2.3.4 Mltiplos y submltiplos de una unidad de medida.

2.4 Anlisis dimensional. 2.5 Conversin de unidades. 2.6 Proceso de Medicin.

2.6.1 Valor de una medida. 2.6.2 Magnitudes de influencia. 2.6.3 Seal de medicin. 2.6.4 Resultado de una medicin.

2.7 Instrumentos de medicin y error de medicin. 2.7.1 Tipos de error.

2.8 Exactitud, precisin e incertidumbre de una medicin. 2.9 Formas de Expresar una medida.

2.9.1 Indicando el orden de magnitud 2.9.2 Limitando el nmero de cifras significativas (CS)

2.9.2.1 Redondeo de un numero 2.9.2.2 Operaciones con C.S.

2.9.3 Indicando la incertidumbre. 2.9.3.1 Formas de determinar la incertidumbre. 2.9.3.2 Tipos de incertidumbre.

2.10 Propagacin de la Incertidumbre. 2.10.1 Suma y resta. 2.10.2 Multiplicacin y divisin. 2.10.3 Potenciacin. 2.10.4 Operaciones combinadas. Ejemplos.

2

OBJETIVOS GENERALES

Que el estudiante:

1. Conozca las magnitudes fsicas, y sus unidades en los diferentes sistemas de unidades. 2. Utilice correctamente las tcnicas del anlisis dimensional. 3. Adquiera destreza en la conversin de unidades. 4. Conozca y disee el proceso de medicin considerando limitaciones. 5. Adquiera habilidad para usar algunos instrumentos y equipo de medicin. 6. Aplique los criterios establecidos sobre la propagacin de incertidumbre.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Al final de la unidad el estudiante estar capacitado para:

1. Definir lo que es una magnitud fsica. 2. Establecer las diferencias entre magnitudes fsicas de base y derivadas. 3. Diferenciar una unidad de medida de un patrn de medida. 4. Nombrar las magnitudes de base y las respectivas unidades de medida del Sistema

Internacional. 5. Reconocer los sistemas de unidades MKS, CGS y FPS. 6. Explicar la importancia de aplicar el Sistema Internacional de Unidades. 7. Aplicar los prefijos correspondientes a los mltiplos y submltiplos de unidades de

medida conocidos, para expresar el valor de una magnitud. 8. Verificar, mediante anlisis dimensional, si una ecuacin es dimensionalmente

correcta. 9. Determinar, mediante anlisis dimensional, los valores de los exponentes de las

magnitudes que aparecen en una ecuacin, cuando la constante de proporcionalidad no tiene dimensiones.

10. Encontrar, mediante anlisis dimensional, las unidades en el SI de la constante de proporcionalidad de una ecuacin, cuando se conocen el significado de los smbolos de las magnitudes, pudiendo ser dadas o no las unidades.

11. Convertir cantidades dadas en un sistema de unidades a otro, pudindose o no ser proporcionados los factores de conversin, segn el grado de dificultad del caso.

12. Explicar qu se entiende por proceso de medicin. 13. Explicar qu se entiende por valor verdadero, valor convencionalmente verdadero,

valor experimental y valor numrico de una magnitud. 14. Definir y dar ejemplos de magnitudes de influencia en un proceso de medicin. 15. Explicar y dar ejemplos de lo que es una seal de medicin. 16. Mencionar las limitaciones que se tienen al efectuar una medicin. 17. Sealar las diferencias entre un error sistemtico y un error aleatorio. 18. Explicar las diferencias entre los conceptos de exactitud, precisin e incertidumbre de

una medicin. 19. Estimar la incertidumbre de una medicin. 20. Determinar las magnitudes de influencia en una medicin particular. 21. Expresar el valor de una magnitud fsica aplicando el criterio de cercana e indicando

el orden de magnitud.

3

22. Calcular la incertidumbre de la medida de una magnitud fsica cuando se realizan varias mediciones de sta.

23. Escribir correctamente el resultado de una medicin aplicando los criterios sobre cifras significativas.

24. Explicar la diferencia entre un instrumento y un equipo de medicin. 25. Diferenciar entre un instrumento digital y uno analgico. 26. Identificar las partes principales que constituyen un equipo de medicin. 27. Usar correctamente los equipos de medicin disponibles en laboratorio. 28. Realizar mediciones de magnitudes fsicas de uso frecuente. 29. Aplicar los criterios sobre propagacin de incertidumbre en operaciones que

involucren medidas.

UNIDAD II: PROCESO DE MEDICIN 2.1 INTRODUCCIN

En el estudio de las ciencias experimentales, para la formulacin o comprobacin de leyes, hiptesis o teoras que explique los diversos fenmenos que ocurren en la naturaleza, es necesaria la medicin (cuantificacin) de magnitudes. Esa misma necesidad se tiene en los trabajos relacionados con la tecnologa, en el intercambio de de informacin industrial, en la fabricacin de repuestos para maquinas, etc. Por sta y otras razones todo estudiante de Ingeniera y Arquitectura, como parte de su formacin bsica, debe conocer las diversas reglas, normas y criterios que se aplican en el proceso de medicin; en la seleccin de los instrumentos, en las limitaciones de stos y en las tcnicas para registrar resultados. Es tambin importante que conozca los sistemas de magnitudes y unidades de medidas reconocidas, las tcnicas de anlisis dimensional, el uso de factores de conversin de unidades y los criterios para realizar operaciones con los resultados de las mediciones.

2.2 MAGNITUDES Y UNIDADES

Todas las personas en su vida cotidiana realizan mediciones, sean stas efectuadas en forma sistemtica o no, sin embargo algunas no saben cmo definir lo que miden. Se miden magnitudes, entendindose por magnitud todo atributo (o propiedad) de un fenmeno, cuerpo o sustancia que pueda ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente. El trmino puede referirse a una magnitud en forma general o a una magnitud de manera particular.

Ejemplos:

a) Magnitudes en forma general; longitud, tiempo, masa, temperatura, resistencia

elctrica, concentracin de una sustancia en otra, etc. b) Magnitudes particulares: La longitud de una varilla, la resistencia elctrica de una

plancha, la concentracin de cantidad de etanol en una muestra de vino, etc.

4

2.2.1 CLASIFICACIN DE LAS MAGNITUDES

Las magnitudes se clasifican en magnitudes de base y magnitudes derivadas. Magnitud de base o fundamental es aquella que, se acepta por convencin como funcionalmente independiente de otras. Ejemplo: Longitud, masa y tiempo son consideradas como magnitudes de base en algunos sistemas de magnitudes y unidades. Magnitud Derivada es la magnitud definida en un sistema de magnitudes, en funcin de las magnitudes de base de ese sistema. Ejemplo: En un sistema en el cual tenga como magnitudes de base a la longitud, masa y tiempo, la velocidad es una magnitud derivada, definida como: la longitud dividida por el tiempo. La densidad tambin es derivada ya que se define como la razn entre la masa y el volumen.

2.2.2 UNIDAD DE MEDIDA

Es aquella cantidad particular de una magnitud, definida y adoptada por convencin, con la cual se comparan las otras cantidades de la misma magnitud para expresar cuantitativamente su relacin con esta. Las unidades de medida tienen asignadas en forma convencional nombres y smbolos. Ejemplo: El metro es una unidad de medida de longitud y su smbolo es m, el ampere es una unidad de medida de corriente elctrica y su smbolo es A. 2.2.2.1 Patrn de medida

Medida materializada, instrumento de medida, material de referencia o sistema de medida destinado a definir, realizar, conservar o reproducir una unidad o uno o varios valores de una magnitud para que sirvan de referencia.

Ejemplos:

a. Patrn de masa de 1 kg

b. Resistencia patrn de 100 c. Ampermetro patrn d. Patrn de frecuencia de Cesio. e. Electrodo de referencia de Hidrgeno

Patrn colectivo

Conjunto de medidas materializadas o de instrumentos de medida similares que utilizados conjuntamente, constituyen un patrn.

5

Serie de patrones

Conjunto de patrones de valores elegidos que, individualmente o por combinacin, proporcionan una serie de valores de magnitudes de la misma naturaleza. Patrn Internacional.

Patrn reconocido por un acuerdo internacional para servir como referencia internacional para la asignacin de valores a otros patrones de la magnitud considerada. Patrn Nacional.

Patrn reconocido por una decisin nacional, en un pas, para servir como referencia para la asignacin de valores a otros patrones de la magnitud considerada.

Patrn Primario.

Patrn que es designado o ampliamente reconocido como poseedor de las ms altas cualidades metrolgicas y cuyo valor se acepta sin referirse a otros patrones de la misma magnitud. Nota: el concepto patrn primario es vlido tanto para las magnitudes bsicas como para las derivadas. Patrn Secundario. Patrn cuyo valor se establece como comparacin con un patrn primario de la misma magnitud.

2.3 SISTEMAS DE MAGNITUDES Y UNIDADES DE MEDIDA

Es el conjunto de las magnitudes y unidades de base y derivadas, que se definen de acuerdo con reglas determinadas. Ejemplos. Los sistemas cientficos o absolutos, los sistemas tcnicos o gravitacionales y el sistema internacional de unidades (SI),.

2.3.1 SISTEMAS ABSOLUTOS O CIENTFICOS.

Los sistemas absolutos adoptan como magnitudes de base la longitud, la masa y el tiempo. Entre ellos mencionaremos el Sistema M.K.S (metro, kilogramo, segundo), El Sistema C.G.S (centmetro, gramo, segundo) y el Sistema FPS. o Sistema Ingls (pie, libra, segundo).

2.3.2 SISTEMAS TCNICOS O GRAVITACIONALES.

Los sistemas que utilizan como magnitudes de base la longitud, la fuerza y el tiempo son conocidos como sistemas tcnicos o gravitacionales. Entre estos se tienen el M.K.S tcnico (metro, kilogramo fuerza, segundo), el C.G.S tcnico (centmetro, gramo fuerza, segundo) y el F.P.S tcnico (pie, libra fuerza, segundo)

6

2.3.3 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)

En 1948, la 9 Convencin General de Pesas y Medidas (CGPM) en su resolucin 6, encarg al CIPM (Comit Internacional de Pesas y Medidas) construir un sistema prctico de unidades de medida, susceptible de ser adoptado por todos los pases miembros de la "Convencin del Metro". En 1954 la 10 CGPM en su resolucin 6 y en 1971 la 14 CGPM en su resolucin 3 adopta como magnitudes de base las siguientes: Longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente elctrica, temperatura termodinmica, cantidad de materia e intensidad luminosa. En 1960 la 11. CGPM en la resolucin 12 cambia el nombre del sistema prctico de unidades por "Sistema Internacional de Unidades" y todo lo relacionado con su uso. En 1969, las unidades del sistema internacional son llamadas Unidades SI. El Sistema Internacional de Unidades esta formado por dos clases de unidades: las Unidades de Base y las Unidades Derivadas.

MAGNITUDES Y UNIDADES DE BASE DEL SISTEMA INTERNACIONAL

Son aquellas consideradas independientes desde el punto de vista dimensional.

MAGNITUD UNIDAD SMBOLO

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Corriente elctrica ampere A

Temperatura termodinmica kelvin K

Cantidad de materia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

En esta seccin se definen cada una de las unidades de base que constituyen el sistema internacional de unidades. EL METRO (Unidad de Longitud).

El metro es la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vaco, durante un intervalo de tiempo de 1/299792458 segundos.

EL KILOGRAMO (Unidad de Masa)

El kilogramo es la masa del prototipo internacional del kilogramo. El prototipo es un bloque de una aleacin de platino e iridio que se conserva al vaco en Francia.

7

EL SEGUNDO (Unidad de Tiempo)

El segundo es la duracin de 9192631770 perodos de la radiacin correspondientes a la transicin entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del tomo de Cesio 133. Hiperfinos son subniveles de energa que existe en un tomo. EL AMPERE (Unidad de Corriente Elctrica)

Es la intensidad de una corriente elctrica constante que, mantenida en dos conductores paralelos, rectilneos, de longitud infinita, de seccin circular despreciable y situados a una distancia de 1 metro entre s, en el vaco, produce entre los conductores una fuerza igual a 2 x 10- 7 newton por metro de longitud. EL KELVIN (Unidad de Temperatura) El kelvin, unidad de temperatura termodinmica, es la fraccin 1/273.16 de la temperatura termodinmica del punto triple del agua. MOL (Unidad de Cantidad de Materia)

El mol es la cantidad de materia de un sistema conteniendo tantas entidades elementales como tomos existen en 0.012 kilogramos de Carbono 12. CANDELA (Unidad de Intensidad Luminosa)

La candela es la intensidad luminosa, en una direccin determinada de una fuente que emita una radiacin de frecuencia 540 x 1012 Hertz que posee una potencia energtica en esa direccin es 1/683 watt por esterradin.

UNIDADES DERIVADAS DEL SISTEMA INTERNACIONAL

Son todas aquellas unidades que pueden ser formadas por la combinacin de unidades de base, siguiendo relaciones algebraicas que interrelacionan a las magnitudes correspondientes. Muchas de estas expresiones algebraicas, en funcin de las unidades de base, pueden ser sustituidas por nombres y smbolos especiales, lo que permite su utilizacin en la formacin de otras unidades derivadas.

2.3.4 MLTIPLOS Y SUBMLTIPLOS DE UNA UNIDAD DE MEDIDA

Un mltiplo de una unidad de medida es otra unidad de medida mayor que se forma a partir de la unidad dada de acuerdo a un escalonamiento convencional. Ejemplos.

UNIDAD MLTIPLO EQUIVALENCIA

metro kilmetro mil metros

watt megawatt un milln de watts

8

Un submltiplo de una unidad de medida es otra unidad de medida menor que se obtiene de la unidad dada, de acuerdo a un escalonamiento convencional. Ejemplos

UNIDAD SUBMLTIPLO EQUIVALENCIA

metro milmetro 10-3 metros

segundo microsegundo 10-6 segundos

Con frecuencia resulta que si se expresan algunas cantidades fsicas, tales como el radio de la tierra o el intervalo de tiempo entre dos eventos nucleares, en unidades del Sistema Internacional los nmeros correspondientes son muy grandes o muy pequeos. La XIV Conferencia General de Pesas y Medidas recomend, basndose en trabajos anteriores los prefijos mostrados en la tabla siguiente:

PREFIJOS SI

M L T I P L O S S U B- M L T I P L O S

FACTORES PREFIJO SMBOLO FACTORES PREFIJO SMBOLO

101 deca da 10-1 deci d

102 hecto h 10-2 centi c

103 kilo k 10-3 mili m

106 mega M 10-6 micro

109 giga G 10-9 nano n

1012 tera T 10-12 pico p

1015 peta P 10-15 femto f

1018 exa E 10-18 atto a

1021 zeta Z 10-21 zepto z

1024 yota Y 10-24 yocto y

2.4. Anlisis dimensional

La palabra dimensin tiene un significado especial en fsica. Denota la naturaleza

fsica de una cantidad o magnitud. Una distancia (d), un desplazamiento (x), una altura (h), el radio de un crculo (R) o el espesor de una lmina (e), son magnitudes de la misma naturaleza que se pueden medir en pies, metros, millas, u otras

9

unidades, pero cualquiera de ellas, representa una propiedad general del espacio o de los objetos, denominada longitud (L). Decimos entonces que las magnitudes mencionadas tienen como dimensin la longitud. Los smbolos para especificar las dimensiones de longitud, masa y tiempo son L, M y T, respectivamente. Las dimensiones de las cantidades o magnitudes, se simbolizan con letras maysculas como L, para la longitud, no cursivas. El smbolo de la cantidad o magnitud puede ser en cursivas como L o minscula l, para simbolizar la longitud de un objeto. El tiempo en general se simboliza con t; por ejemplo, para simbolizar el tiempo (t) que tarda un cuerpo en caer, pero, para ciertos tiempos particulares como el perodo de una onda o el perodo de oscilacin de un pndulo simple suele utilizarse T. Existen magnitudes que tienen las mismas dimensiones y cuyas unidades pueden tener los mismos nombres y smbolos an cuando las magnitudes no sean de la misma

naturaleza. Ejemplo: La energa cuyas dimensiones son 2 2ML T y el momento de una

fuerza cuyas dimensiones son 2 2ML T son magnitudes cuyas unidades son iguales

kg.m2s2 = (energa), kg m2s 2 = (momento de una fuerza). Pero son magnitudes de naturaleza diferente.

Para denotar las dimensiones de una cantidad fsica se utiliza el corchete [ ]. Por ejemplo, el smbolo para la rapidez es v, y sus dimensiones se escriben [v] = L/T. Las dimensiones de rea A son [A] = L2, las dimensiones de volumen V son [V] = L3. En la siguiente tabla se presentan estas magnitudes y las unidades respectivas en el sistema SI y el Sistema Ingls.

Tabla de magnitudes, dimensiones y unidades

Magnitud Dimensiones Unidades

SI S. Ingls

rea L2 m2 pie 2

Volumen L3 m3 pie 3

Rapidez L/T m/s pie/s

Aceleracin L/T2 m/s2 pie/s2

En numerosas situaciones, el estudiante tendr que deducir o verificar una ecuacin especfica y para esto puede utilizar el procedimiento denominado ANLISIS DIMENSIONAL. Este procedimiento se basa en que toda ecuacin debe ser dimensionalmente compatible, es decir, que las dimensiones en ambos lados del signo de igualdad deben ser las mismas. Todos los trminos de una ecuacin pueden sumarse o restarse slo si tienen las mismas dimensiones. Al seguir estas sencillas reglas, el estudiante puede usar el anlisis dimensional para determinar si una expresin tiene la forma correcta o no. Supngase que un estudiante quiere determinar la distancia x recorrida en un tiempo t por un objeto que arranca desde el reposo con una aceleracin a

10

constante, pero el estudiante no est seguro de la expresin correcta y duda entre

atx2

1 y 2

2

1atx

El estudiante puede hacer el anlisis dimensional a cada una de las expresiones. As:

Para atx2

1 : La dimensin de la distancia recorrida [x] = L, la dimensin de la

aceleracin [a] = 2T

L y el tiempo [t] = T, la forma dimensional de la ecuacin atx

2

1

es:

T

LT

T

LL

2

Esta primera ecuacin no es dimensionalmente compatible.

La segunda expresin 2

2

1atx dimensionalmente se plantea: LT

T

LL 2

2

Las dimensiones de tiempo al cuadrado se cancelan como se muestra, dejando la dimensin de longitud en el lado derecho. Un procedimiento ms general que usa anlisis dimensional, para establecer una expresin de la forma

x antm

Donde n y m son exponentes que deben ser determinados y el smbolo indica una proporcionalidad directa. Esta relacin es correcta slo si las dimensiones de ambos lados son iguales. Debido a que la dimensin del lado izquierdo es longitud, la dimensin del lado derecho tambin debe ser longitud. Esto es,

[antm ] = L = L1T0

Como las dimensiones de aceleracin son L/T2 y la dimensin de tiempo es T, tenemos

(L/T2)n Tm = L1T0

(LnTm-2n) = L1T0

Los exponentes de L y T deben ser iguales en ambos lados de la ecuacin. De los exponentes de L, vemos inmediatamente que n = 1. De los exponentes de T, vemos que m - 2n = 0, que, una vez sustituido por n, nos da m = 2. Regresando a nuestra

expresin original x a ntm, concluimos que x at2. Este resultado difiere en un factor de 2 de la expresin correcta, que es x = 1/2 at2

Ejemplo 1

Demuestre que la expresin v = at es dimensionalmente correcta, donde v representa

11

rapidez, a aceleracin, y t es un instante de tiempo. Solucin: Para el trmino de rapidez, tenemos

L

vT

Para la aceleracin [a] = 2

L

T ; por lo tanto las dimensiones de at son

2

L Lat T

T T

Entonces la expresin es dimensionalmente correcta. (Si la expresin fuera v = at2,

sta sera dimensionalmente incorrecta. (Vea por qu) Ejemplo 2 Suponga que la aceleracin a de una partcula que se mueve con rapidez uniforme v en un crculo de radio r es proporcional a alguna potencia de r, por ejemplo rn, y alguna potencia de v, como vm. Determine los valores de n y m y escriba la forma ms sencilla de una ecuacin para la aceleracin. Solucin: Tomemos a como

a = k rn vm

Donde k es una constante de proporcionalidad que no tiene dimensiones. Si conocemos las dimensiones de a, r y v, vemos que la ecuacin dimensional debe ser

2

m n mn

m

L L LL

T T T

Esta ecuacin dimensional se balancea bajo las condiciones:

n + m= 1 y m= 2

Por lo tanto, n = -1, y podemos escribir la expresin de aceleracin como

r

vkvrka

221

Cuando se estudia el movimiento circular uniforme, vemos que k = 1 si se usa un conjunto de unidades consistente. La constante k no sera igual a 1 si, por ejemplo, v fuera en km/h y buscramos a en m/s2.

2.5 Conversin de unidades

A veces es necesario convertir unidades de un sistema a otro, o convertir dentro de un sistema, por ejemplo de kilmetros a metros. Las igualdades entre el SI y el sistema ingls de ingeniera de unidades de longitud son como sigue: 1 mi = 1 609 m = 1.609 km

12

1 ft = 0.3048 m = 30.48 cm 1 m = 39.37 in = 3.281 ft 1 in = 0.0254 m = 2.54 cm

Ms adelante en este apartado se da una lista de algunos factores de conversin.

Las unidades se pueden tratar como cantidades algebraicas que se pueden cancelar entre s. Por ejemplo, suponga que deseamos convertir 15.0 in a centmetros. Como 1 pulgada se define que mide exactamente 2.54 centmetros, encontramos que

15.0 = (15.0 ) (2.54

1 ) = 38.1

Donde la razn del parntesis es igual a 1. Ntese que escogemos poner la unidad de una pulgada en el denominador y se cancela con la unidad de la cantidad original. La unidad restante es el centmetro, que es nuestro resultado deseado.

Recomendacin: Cuando realice clculos, incluya las unidades para toda cantidad y lleve las unidades en todo el clculo. Evite la tentacin de cancelar las unidades antes que sea oportuno, y luego poner las unidades esperadas una vez que tenga una respuesta. Al incluir las unidades en cada paso, es posible detectar errores si las unidades para la respuesta resultan ser incorrectas.

Ejemplo

a) En una carretera interestatal de una regin rural de Wyoming (USA), un auto

est viajando a una rapidez de 38.0 m/s. Est el auto excediendo el lmite de rapidez de 75.0 mi/h? Solucin: Primero convertimos metros a millas:

(38.0

) (

1

1609 ) = 2.36 102 mi/s

Ahora convertimos segundos a horas: 2.36 102mi

s

3600 s

1 h= 85.0 mi/h

Entonces, el auto est excediendo el lmite de rapidez y debe reducir su rapidez.

b) Cul es la rapidez del auto en km/h? Solucin: Podemos convertir nuestra respuesta final a las unidades apropiadas:

(85.0mi

h) (

1.609 km

1 mi) = 137 km/s

13

ALGUNOS FACTORES DE CONVERSIN LONGITUD

1m = 100 cm = 1000 mm 1m = 3.281 ft = 39.37 in 1 km = 1000 m 1 in = 2.540 cm 1 ft = 12 in = 30.48 cm 1 yd = 3 ft = 91.44 cm = 914.4 mm 1 mi = 5280 ft = 1.609 km = 1609 m 1 mi naut = 1.151 mi = 6076 ft = 1852 m 1 vara (espaola) = 0.836 m

REA

1 m2 = 104 cm2 = 10.76 ft2 1 in2 = 6.452 cm2 1 ft2 = 144 in2 1 mi2 = 2.788x107 ft2 = 640 acres 1 acre = 43560 ft2 1 ha = 104 m2 = 2.471 acres 1 manzana = 10000 varas cuadradas =6988.96 m2 = 0.698896 ha

VOLUMEN

1 l = 1000 cm3 = 61.024 in3 1 ft3 = 28.317 l = 7.4805 gal(USA lquido) 1 gal(USA lquido) = 231 in3 = 3.7854 l 1 m3 = 1000 l

MASA

1 kg = 103 g = 2.2046 lb 1 tonelada mtrica = 1000 kg 1 lb = 453.6 g = 0.4536 kg

FUERZA

1 N = 105 dinas = 0.2248 lbf 1 lbf = 4.448 N= 4.448x105 dinas 1 lbf = 16 onzas 1 ton = 2000 lbf 1 lbf = 453.6 gf

TIEMPO

1 ao = 365.25 das

14

1 da = 86400 s 1 h = 3600 s 1 min = 60 s

RAPIDEZ

1 m/s = 3.281 ft/s 1 km/h = 0.2778 m/s = 0.6214 mi/h 1 mi/h = 1.466 ft/s = 0.4470 m/s = 1.609 km/h 1 nudo (en ingls, knot) = 1 mi naut/h

DENSIDAD

1 g/cm3 = 1000 kg/m3 = 1 kg/l PRESIN

1 Pa = 1 N/m2 = 1.450x10-4 lb/in2 = 0.209lb/ft2 1 bar = 105 Pa 1 lb/in2 = 6895 Pa 1 atm = 1.013x105 Pa = 1.013 bar = 14.7 lb/in2 1 mm Hg = 1 torr = 133.3 Pa

ENERGA, TRABAJO, CALOR

1 Btu = 252.0 cal = 1055 J = 777.9 ftlb 1 cal = 4.186 J 1 kW/h = 3.600x106 J

POTENCIA

1 kW = 103 W = 1.431 hp 1 hp = 550 ft lb/s = 745.7 W 1 W = 1 J/s

2.6 PROCESO DE MEDICIN

Es un conjunto de operaciones que tiene por objeto determinar el valor de una magnitud. La magnitud particular sujeta a medicin se llama mensurando.

2.6.1 VALOR DE UNA MEDIDA

Es la expresin cuantitativa de una magnitud particular, expresada generalmente en la forma de una unidad de medicin multiplicada por un nmero. El nmero que multiplica a la unidad de medida en la expresin del valor de una magnitud se llama VALOR NUMRICO de una magnitud; por ejemplo:

a) Si el valor de la longitud de una varilla es de 5.34 m, el valor numrico es 5.34 y la

15

unidad es el metro b) Si el valor del la masa de un cuerpo es de 0.152 kg, el valor numrico es 0.152 y la

unidad es el kilogramo

Se distinguen tres tipos de valor de una magnitud, ellos son: Valor verdadero, Valor convencionalmente verdadero y Valor experimental.

El VALOR VERDADERO, es el valor consistente con la definicin de una determinada magnitud particular, este valor se obtendra con una medicin perfecta. Es imposible de conocer este valor a travs del proceso de medicin. El VALOR CONVENCIONALMENTE VERDADERO, es el valor atribuido a una magnitud particular, y aceptado, algunas veces por convencin, como un valor que tiene una incertidumbre apropiada para un propsito determinado. Por ejemplo el valor recomendado para la constante de Avogadro y la velocidad de la luz en el vacio son respectivamente: NA = 6.02214199 x 1023 mol-1 y c = 2.99792458 x 108 m/s

El valor convencionalmente verdadero es algunas veces llamado mejor valor, valor asignado, mejor valor estimado, valor convenido. El VALOR EXPERIMENTAL, es el valor estimado mediante el proceso de medicin.

2.6.2 MAGNITUDES DE INFLUENCIA

Es la magnitud que no es el mensurando pero que afecta el resultado de la medicin. Ejemplos.

a) La temperatura ambiente cuando se trata de la medida de una longitud con un micrmetro.

b) La frecuencia de la tensin de alimentacin (voltaje de corriente alterna) del medidor en la medicin de la amplitud de una seal elctrica.

2.6.3 SEAL DE MEDICIN

Seal que representa al mensurando con el cual est funcionalmente relacionado. Ejemplos.

a) La altura de la columna de mercurio de un tensimetro. b) La dilatacin de la columna de mercurio en un termmetro. c) La seal elctrica de salida de un transductor de presin

La seal de entrada a un sistema de medicin se llama el estmulo la seal de salida se llama la respuesta.

16

2.6.4 RESULTADO DE UNA MEDICIN:

Es el valor atribuido a un mensurando, obtenido por medicin. Cuando se proporciona un resultado, se debe aclarar si se refiere a:

a) La indicacin de un instrumento de medicin (Indicacin directa). b) Al resultado no corregido (resultado de una medicin antes de la correccin por

error sistemtico). c) Al resultado corregido (resultado de una medicin despus de la correccin por

error sistemtico). d) Si se trata de una medida obtenida a partir de varias mediciones.

Una expresin completa del resultado de una medicin incluye informacin acerca de la incertidumbre de la medicin, como se explica ms adelante.

2.7 INSTRUMENTOS DE MEDICIN Y ERROR DE MEDICIN

INSTRUMENTOS DE MEDICIN

Un instrumento de medicin es todo dispositivo diseado para ser utilizado en la medicin de una magnitud fsica. Entre los instrumentos de medicin se tienen las reglas y cintas graduadas para medir longitud, los termmetros para medir temperatura, los ampermetros para medir corriente elctrica, etc. Si para efectuar una medida especfica como es la conductividad elctrica de un material, el calor especfico de una sustancia, el coeficiente de dilatacin trmica para metales, etc., se requiere de varios instrumentos de medicin y otros dispositivos acoplados, se tiene entonces un SISTEMA DE MEDICIN. De acuerdo a la forma en que los instrumentos proporcionan el valor de una medida stos se dividen en dos tipos: INSTRUMENTOS DE MEDICIN ANALGICOS E INSTRUMENTOS DE MEDICIN DIGITALES. Los INSTRUMENTOS DE MEDICIN ANALGICOS son aquellos que proporcionan el valor de una medida por medio de una escala, los INSTRUMENTOS DE MEDICIN DIGITAL la proporcionan en forma numrica. La escala de un instrumento analgico es un conjunto de marcas ordenadas en lnea y asociadas a una numeracin particular. La parte de una escala comprendida entre dos marcas consecutivas se denomina DIVISIN DE LA ESCALA. La diferencia entre los valores correspondientes a dos marcas sucesivas se llama VALOR DE LA DIVISIN DE LA ESCALA Las escalas de los instrumentos de medicin pueden ser lineales y no lineales. Una escala lineal es aquella en la que la distancia entre dos marcas de la escala es directamente proporcional a la diferencia entre los valores correspondientes a dichas marcas. En una escala no lineal la distancia entre dos marcas se relaciona con la diferencia de sus valores mediante cualesquier otros tipos de relacin (exponencial, potencial y logartmica).

17

El valor numrico de una medida obtenido de la escala de un instrumento analgico est limitado en el nmero de cifras con que se debe expresar. Esto depende de la cantidad de cifras que la escala permite leer con razonable seguridad y de ciertos criterios que sobre lectura de escalas se deben aplicar. ERROR DE MEDICIN Por definicin, es la diferencia entre el valor verdadero de un mensurando y el valor obtenido de ste mediante el proceso de medicin (valor experimental). Puesto que el valor verdadero no puede ser determinado, en algunas ocasiones se estima el error a partir del valor convencionalmente aceptado. 2.7.1 TIPOS DE ERROR Atendiendo a la forma en que se manifiestan y a la forma en que pueden ser detectados los errores se clasifican en general en dos tipos: ERRORES SISTEMTICOS Y ERRORES ALEATORIOS. ERRORES SISTEMTICOS, son aquellos que se producen en la misma direccin con respecto al valor verdadero (o sea slo en exceso o slo en defecto) al repetir el proceso de medicin. Sus valores pueden ser grandes y sus causas son atribuidas generalmente a fallas instrumentales o fallas metodolgicas. Los errores sistemticos pueden ser detectados al repetir el proceso de medicin con otro instrumento de mayor confianza o aplicando otra metodologa. Al detectar el error sistemtico y conocida su causa, ste puede ser reducido a valores despreciables. ERRORES ALEATORIOS, conocidos tambin como casuales, accidentales o de azar, son producidos por causas que estn fuera de control en un proceso de medicin. No se puede predecir al repetir el proceso, en cuanto ni en que sentido afectarn el valor de una medida. Son inevitables pero por lo general son pequeos.

2.8 EXACTITUD, PRECISIN E INCERTIDUMBRE DE UNA MEDICIN

La EXACTITUD se refiere al grado de concordancia o proximidad entre el resultado de una medicin y el valor verdadero del mensurando. No se puede hablar de una exactitud absoluta puesto que no es posible eliminar los errores experimentales. En general se dice que una medida es tanto ms exacta cuanto menos es el error que la afecta. La PRECISIN de una medida est relacionada con el nmero de cifras con que sta puede expresarse. Una medida es ms precisa cuanto mayor sea el nmero de cifras (cifras significativas) conque se expresa. En general la precisin depende de la escala del instrumento empleado; un instrumento proporciona medidas con mayor precisin si su escala permite obtener un valor numrico con ms nmero de cifras que otro para la misma medida.

18

La INCERTIDUMBRE es un parmetro asociado al resultado de una medicin y que caracteriza a la dispersin de los valores que podran ser razonablemente atribuidos al mensurado. Se dice que la incertidumbre es la expresin de un intervalo que indica cunto puede estar alejado en un sentido o en otro, el verdadero valor del mensurado con relacin al obtenido experimentalmente o una estimacin que caracteriza el intervalo de valores dentro de los cuales se halla el valor verdadero de un mensurado.

2.9 FORMAS DE EXPRESAR UNA MEDIDA.

Existen tres formas de expresar una medida, atendiendo el grado de confianza que ofrece.

a) Orden de Magnitud b) Limitando el numero de cifras significativas c) Indicando el tamao de la incertidumbre 2.9.1 Indicando el orden de magnitud. Es la Potencia de Diez ms prxima a dicho nmero. Para establecer si un nmero est ms prximo a una potencia de diez, es necesario tomar un criterio de cercana. Ejemplo: De qu potencia de 10 est ms cerca 4?

Cuando se trabaja con Potencias de diez, el punto medio entre 100 y 101 es igual a 101/2 = 3.16 Criterio de Cercana: Todo nmero que se encuentra entre 100 y 101/2 estar ms cerca de 100, y aquellos que se encuentran entre 101/2 y 101 estarn ms cerca de 101. Por lo dicho anteriormente, se concluye que 4 est ms cerca de 101. En general, para encontrar el orden de magnitud de un nmero se procede as:

1. Escribir el nmero en notacin cientfica. Recordemos que un nmero al expresarlo en notacin cientfica toma la forma a x 10n

Ejemplo: i. 6500 = 6.5 x 103 a = 6.5 y n = 3 ii. 0.0025 = 2.5 x 10-3 a = 2.5 y n = - 3

2. Decidimos s el nmero a se encuentra ms cerca de 100 de 101.

19

i. 6.5 se encuentra ms cerca de 101 ii. 2.5 se encuentra ms cerca de 100

3. Se sustituye el nmero a por su orden de magnitud.

i. 6.5 x 103 101 x 103 = 104 ii. 2.5 x 10-3 100 x 10-3 = 10-3

4. La potencia que resulta de estas operaciones constituye el orden de

magnitud. Ejemplo: Encontrar el Orden de Magnitud de:

a) 1125 = 1.125 x 103 = 103 b) 53.2 = 5.32 x 101 = 102 c) 0.000015 = 1.5 x 10-5 = 10-5 d) 0.00075 = 7.5 x 10-4 = 10-3

2.9.2 LIMITANDO EL NMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Las cifras significativas son aquellas de las que estamos razonablemente seguros al realizar una medida. Cuando se expresa una medida en la forma de cifras significativas ella debe poseer en su ltima cifra una cifra dudosa. La cifra dudosa depende en mayor grado de la escala del instrumento y es aquella de la cual no estamos seguros porque resulta de una estimacin a criterio de quien efecta la lectura. En la determinacin del nmero de cifras significativas de una medida los ceros que figuran como primeras cifras de un nmero no son cifras significativas y slo sirven para indicar el lugar del punto decimal. Los ceros que figuran entre otras cifras diferentes de cero a la derecha son cifras significativas. Adems en las cantidades expresadas en notacin cientfica no cuenta las potencias de diez al establecer el nmero de cifras significativas. Ejemplos: Indicar el nmero de cifras significativas de las siguientes cantidades.

7384 posee 4 cifras significativas 800 posee 3 cifras significativas 0.035 posee 2 cifras significativas 8.0x103 posee 2 cifras significativas

20

2.9.2.1 REDONDEO DE UN NMERO. Se puede definir como el reducir el nmero de sus cifras significativas, de manera que el nuevo valor sea lo ms cercano posible a la cantidad original. REGLAS DEL REDONDEO DE UN NMERO

1. La ltima cifra que se conserva no cambia si la que sigue inmediatamente (primera

cifra descartada) es menor que 5. Por ejemplo, 234.315 se redondea a 234.3, si se desean cuatro cifras significativas, o bien, a 234 si slo se requieren tres.

2. La ltima cifra que se conserva aumenta en una unidad si la primera cifra descartada es mayor que cinco o es un cinco seguido de por lo menos un dgito diferente de cero. Por ejemplo, 14.6 y 14.501 se redondean ambos a 15.

3. La ltima cifra que se conserva no cambia si es nmero par y la primera cifra

descartada es exactamente 5 seguido slo por ceros. As, 1.45 y 1.450 se redondean a 1.4 si se desearan dos cifras significativas.

4. La ltima cifra que se conserva aumenta en una unidad si es nmero impar y la primera cifra descartada es exactamente un 5 seguido de ceros. Por tanto, 1.55 se redondea a 1.6 y 15.50 a 16.

2.9.2.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CONSIDERANDO CIFRAS SIGNIFICATIVAS

A - SUMA Y RESTA

Para sumar o restar cantidades considerando cifras significativas, las cantidades sumando deben aproximarse hasta el orden decimal (centsima, dcima, unidad, etc.) de la cantidad sumando cuya cifra dudosa sea la de menor precisin. Ejemplo 1: Sumar: 28.075 + 0.06 + 83.6457. Aplicando el criterio de aproximacin hasta las centsimas tenemos:

28.075 = 28.08 + 0.06 = 0.06 +

83.6457 = 83.65 . 111.79 Resultado

Ejemplo 2:

Restar 0.2 de 7.26 Aplicando el criterio de aproximacin a las dcimas tenemos:

7.26 = 7.3 -

0.2 = 0.2 . 7.1 Resultado

21

B - MULTIPLICACIN Y DIVISIN

Al multiplicar o dividir cantidades considerando las cifras significativas, el resultado debe expresarse con igual nmero de cifras significativas como el del factor (en la multiplicacin) o como el del dividendo o divisor (en la divisin) que contenga menos.

Ejemplos 1:

2.211 x 0.3 = 0.6633 0.7 resultado con una cifra significativa.

Ejemplo 2:

37500 25 = 1500 1.5 x 103 resultado con dos cifras significativas.

POTENCIACIN En la potenciacin el resultado se expresa con igual nmero de cifras significativas que la base. Ejemplo 1:

(12)2 = 144 1.4 x 102

Ejemplo 2:

(3.4x10-3) 2 = 1.156x10-5 1.2x10-5

2.9.3 INDICANDO EL TAMAO DE LA INCERTIDUMBRE DE LA MEDIDA En toda medida, como se explic anteriormente, la ltima cifra es dudosa. Al decir que la masa de un cuerpo es de 70.6 g, no se tiene seguridad en las dcimas de gramo. De lo que se puede estar razonablemente seguro es que la masa debe ser mayor que 70.0 g y menor que 71.0, pero qu tan alejado de 70.6 en un sentido o en otro estar el verdadero valor de la masa? Con el objeto de obtener una mayor confiabilidad en el valor de la medida se determina un intervalo dentro del cual debe encontrarse el verdadero valor de sta. Este intervalo constituye LA INCERTIDUMBRE DE LA

MEDIDA. Para el ejemplo dado, si la masa del cuerpo se expresa como (70.6 0.1) g quiere decir que razonablemente esperamos que el verdadero valor est entre 70.5 y 70.7 g.

En forma general el valor de una medida con su incertidumbre se expresa: x x.

Como se expuso en la seccin 2.8, la incertidumbre de la medida x, es el intervalo de los valores dentro de los cuales se halla el verdadero valor del mensurando.

22

2.9.3.1 FORMAS DE DETERMINAR LA INCERTIDUMBRE A- Para una medida no repetida

Si tomamos la incertidumbre de la medicin debida a la escala del instrumento, esta es estimada tomando de base la divisin de la escala y las condiciones en que se efecta la medida. No existen reglas fijas para determinar el tamao de la incertidumbre si no que en este caso, prevalecen la experiencia y criterios de quien efecta la medida.

Un mtodo consiste en leer la cantidad que seala el indicador de la escala y agregarle una fraccin del valor de la divisin. Nosotros leeremos la cantidad hasta el valor de la menor divisin. Si el indicador est entre dos marcas consecutivas, entonces se anotar el valor ms cercano. En la siguiente figura se presenta a las escalas de una balanza de triple brazo con un valor de divisin de 0.1 g en la escala de 0 a 10 g.

En este ejemplo la masa medida sera de 154.7 g (100+50+4.7) g. Ntese que el indicador ms pequeo est entre los 4 y 5 gramos, apuntando entre el sptimo y octavo trazo de dicha escala, pero ms prximo al sptimo. Si se desea escribir esta cantidad con incertidumbre lo podemos hacer tomando el valor de la divisin (0.1 g) como incertidumbre. De esta manera, la masa (M)

del cuerpo se expresa as: M = (154.7 0.1) g. De la manera aqu descrita procederemos tambin en el laboratorio. Por otra parte, si la parte central del cursor ms pequeo hubiera estado apuntando exactamente sobre el 4, leeramos as: 154.0 g (no 154 g) o con su incertidumbre:

M = (154.0 0.1) g

23

B- Para una medida repetida

Se sigue un tratamiento estadstico que puede consistir en el clculo de:

i. Desviacin media, ii. Desviacin estndar. i) Desviacin media

Cuando se repite una medida utilizando el mismo instrumento y la misma metodologa y los resultados son un tanto diferentes, el valor que se considera ms aceptable de la medida efectuada es la media aritmtica de todos los valores:

1

i

n

i

X

XN

La incertidumbre en su forma ms simple, estadsticamente hablando, se define

como la desviacin media x de los valores y se expresa como:

1

i

N

i

x x

XN

Ejemplo: Al medir seis veces por distintos estudiantes la longitud de una mesa se obtuvieron los siguientes valores:

No. xi (m) |xi x |

1 1.55 0.00

2 1.54 0.01

3 1.56 0.01

4 1.55 0.00

5 1.56 0.01

6 1.54 0.01

1 9.30

1.556

n

ii

x

X mN

24

2

iX X

N

2

1

iX X

N

1 0.04

0.0066 0.01m6

N

i

i

X x

XN

La longitud de la mesa con su incertidumbre es:

L = (1.55 0.01)m De manera general, para cualquier medida que se repite:

xxX

ii) Desviacin estndar.

Otra forma de expresar la incertidumbre es mediante la desviacin estndar la cual se define como:

a)

Cuando se dispone de un numero grande N de valores y

b)

Cuando el numero N de valores es relativamente pequeo. (N es menor que 20) En general una medida que se repita se expresa como:

xX Ejemplo:

Un grupo de estudiantes miden el tiempo de cada de un cuerpo soltndolo siempre de la misma altura y reportan los siguientes datos:

N t (s) N t (s)

1 0.78 6 0.75

2 0.75 7 0.78

3 0.77 8 0.76

4 0.76 9 0.77

5 0.78 10 0.77

25

7.670.767 0.77

10

tt s

N

N t (s) (ti-t)2 N t (s) (ti-t)2

1 0.78 0.0001 6 0.75 0.0004

2 0.75 0.0004 7 0.78 0.0001

3 0.77 0.0000 8 0.76 0.0001

4 0.76 0.0001 9 0.77 0.0000

5 0.78 0.0001 10 0.77 0.0000

2

0.00130.012 0.01

1 10 1

ix x

N

El tiempo de cada puede expresarse como: t = (0.77 0.01) s.

2.9.3.2 TIPOS DE INCERTIDUMBRE

Dependiendo de la forma en que se procedi para obtener el valor de una medida y su incertidumbre esta podr ser expresada como:

X = x x xxX xX __

A los trminos x, x se les denomina incertidumbre absoluta de la medida. La incertidumbre absoluta es entonces, la expresin que permite determinar el intervalo dentro del cual razonablemente esperamos que est el verdadero valor de una medida. Para saber que tan significativa es la incertidumbre de una medida se define la incertidumbre relativa unitaria (IRU) y la incertidumbre relativa porcentual (IRP) as:

=

=

=

=

IRP = IRU X 100

100 100 100X X

IRPX X X

26

2.10 PROPAGACIN DE LA INCERTIDUMBRE

Cuando se obtiene el valor de una medida efectuando clculos a partir de los valores de otras, es seguro que la incertidumbre de stas producir una incertidumbre en el valor final calculado. El valor de la incertidumbre de la medida calculada depende de las operaciones que tengan que realizar.

2.10.1 SUMA Y RESTA

a) Suma de dos o ms medidas.

La incertidumbre resultante al sumar dos o ms medidas con su respectiva incertidumbre es igual a la suma de las incertidumbres absolutas de las medidas sumando.

Sean A = a a, B = b b y C = c c Si S = A + B + C, entonces

S = (a a) + (b b) + (c c)

S = (a + b + c) (a + b + c)

Ejemplo:

Los lados de un tringulo son: L1 = (22.37 0.02) cm, L2 = (19.14 0.02) cm y

L3 = (27.06 0.02) cm. Determinar el permetro P del tringulo con su incertidumbre

P. P = L1 + L2 + L3

P = (22.37 0.02) + (19.14 0.02) + (27.06 0.02)

P = (68.57 0.06) cm

b) Resta de dos medidas.

Cuando dos medidas se restan, la incertidumbre resultante es igual a la suma de las incertidumbres absolutas de stas.

Si A = a a y B = b b y R = B - A, entonces

R = (b b) - (a a)

R = (b - a) (b + a) Ejemplo:

La longitud de un resorte no deformado es Lo = (27.35 0.02) cm y cuando se le

aplica cierta fuerza su longitud es L = (30.23 0.02) cm.

Hallar el valor de su deformacin (L = L - Lo)

L = L - Lo

27

L = (30.23 0.02) - (27.35 0.02)

L = (30.23 - 27.35) (0.02 + 0.02)

L = (2.88 0.04) cm

2.10.2 MULTIPLICACIN Y DIVISIN

a) Multiplicacin de dos o ms medidas

La incertidumbre relativa unitaria de un producto es igual a la suma de las incertidumbres relativas de los factores.

Sean A = a a, B = b b y C = c c

Si P = A B C = p p, donde p = abc, entonces c

c

b

b

a

a

p

p

Ejemplo:

Un escritorio tiene una longitud L = (142.45 0.15) cm y un ancho

B = (78.3 0.1) cm.

a) Cul es la incertidumbre absoluta en el rea calculada en la cubierta del escritorio?

b) cul es el valor resultante del rea A con su incertidumbre absoluta? c) En base a la respuesta del literal anterior, cul es el valor de la incertidumbre

relativa porcentual?

Solucin:

Sean: L = l l , B = b b , A = a a , y a = lb

a/a = l/l + b/b ; a = lb(l/l + b/b)

a = bl + lb = 78.3x0.15 + 142.4x0.1 = 25.99 26 cm2 (Respuesta de a)

a = lb = 142.45x78.3 = 11153.835 11154 cm2

A = (11154 26) cm2 (Respuesta de b)

Este valor es concordante con el resultado que se obtendra al calcular los valores mximo y mnimo del rea (Amax y Amin) a partir de Lmax x Bmax , y Lmin x Bmin , respectivamente. La incertidumbre relativa porcentual est dada por:

(a/a) x 100 = 26/11154) x 100 = 0.23 %. (Respuesta de c).

b) Divisin de una medida entre otra.

La incertidumbre relativa unitaria en el cociente de dos medidas es igual a la suma de las incertidumbres relativas unitarias del dividendo y divisor.

Si: A = a a y B = b b

28

y D = A/B = d d; entonces b

b

a

a

d

d

Ejemplo:

El voltaje a travs de un resistor es V = (15.4 0.1) V y la corriente es

I = (1.7 0.1) A Use la ecuacin R = V/I y d el valor resultante de la resistencia R con su incertidumbre absoluta.

Solucin:

R = V/I = r r ; r = v/i

r/r = v/v + i/i

r = r(v/v + i/i) = (15.4/1.7)x(0.1/15.4 + 0.1/1.7) = 0.59 0.6 ohm

r = v/i = 15.4/1.7 = 9.06 9.1 ohm

R = (9.1 0.6) ohm (Respuesta)

2.10.3 POTENCIACIN

La incertidumbre relativa unitaria de una medida elevada a una potencia n, es n veces la incertidumbre relativa unitaria de dicha medida.

Si Z = An = z z, siendo A = a a

Entonces a

an

z

z

; en donde n puede ser un nmero entero fraccionario.

Ejemplo:

El lado de un cubo se reporta como L = (6.55 0.03) cm. Hallar el volumen de ste sabiendo que V = L3 Solucin

La incertidumbre relativa unitaria viene dada por: v/v = n(l/l) ; aqu, n = 3 ; v = l3

v = l3 x n(l/l) = (6.55)3 x 3x(0.03/6.55) = 3.86 4 cm3 ,

v = (6.55)3 = 281.01 281 cm3

El volumen es V = (281 4) cm3

2.10.4 OPERACIONES COMBINADAS. EJEMPLOS.

1. Para la operacin DC

BAF , donde A = a a , B = b b , C = c c , D = d d .

Exprese una ecuacin para: a) la incertidumbre relativa unitaria del resultado de la

operacin, f

f

, siendo

abf

cd y b) la incertidumbre absoluta del resultado de la

29

operacin, f. Solucin

a) f/f = a/a + b/b + c/c + d/d

b) f = f (a/a + b/b +c/c + d/d)

f = (ab/cd) (a/a + b/b +c/c + d/d)

2. Para la operacin DC

BANE , donde N es un nmero sin incertidumbre, A, B, C, D y

E tienen el mismo significado del ejemplo anterior, exprese una ecuacin para: a) la

incertidumbre relativa unitaria del resultado de la operacin, e/e, siendo

e = N (ab/cd) y b) la incertidumbre absoluta del resultado de la operacin, e.

Solucin

a) e/e = a/a + b/b + c/c + d/d , o sea igual a la incertidumbre relativa unitaria del ejemplo anterior, por ser N un nmero sin incertidumbre.

b) e = e (a/a + b/b + c/c + d/d)

e = N (ab/cd) (a/a + b/b + c/c + d/d)

3. Un pndulo simple se usa para medir la aceleracin de la gravedad (G), usando la

relacin matemtica 2L

TG

. Al realizar un experimento se obtuvo;

T = (1.240.02) s y L = (0.381 0.002) m.

Determinar el valor de la gravedad con su incertidumbre absoluta. Nota: T es el perodo de oscilacin y L la longitud del pndulo simple. Solucin:

Usando la nomenclatura del tipo A = a a, hacemos:

G = g g T = t t L = l l.

Elevando al cuadrado la expresin 2L

TG

y despejando G, obtenemos:

G =42(L/T2)

Donde 42 no tiene incertidumbre por no ser resultado de una medicin. Entre parntesis tenemos un cociente, siendo el denominador una potenciacin. Resolviendo se tiene:

30

g/g = l/l + 2t/t ; y al despejar g = g(l/l + 2t/t)

g = 42(0.381/1.242) = 9.78 m/s2

g = g(l/l + 2t/t) = 9.78[(0.002/0.381) + 2(0.02/1.24)] = 0.37 m/s2. Haciendo aproximaciones hasta el final y no en las operaciones intermedias, resulta

que la gravedad es G = (9.78 0.37) m/s2

BIBLIOGRAFA

1. BAIRD, D. C. Experimentacin. Una introduccin a la teora de mediciones y al diseo de experimentos. Segunda edicin. Mxico, Prentice Hall, 1991.

2. BIPM. Vocabulario internacional de metrologa Conceptos fundamentales y

generales, y trminos asociados (VIM). 1a edicin en espaol, 2008. 3. CENAM. Gua para estimar la incertidumbre de la medicin. Revisin 1. Mxico abril

de 2004. 4. SERWAY, RAYMOND A. Y JEWETT Jr., JOHN W. Fsica para ciencias e

ingenieras. Sexta edicin. Volumen I. Mxico, THOMSON, 2005.