1

R. Sancibrin, Ing. Mecnica

1

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Captulo II

Movimiento plano

R. Sancibrin, Ing. Mecnica

2

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Captulo IIMovimiento plano

II.1 Aspectos generales del movimiento plano.II.1 Aspectos generales del movimiento plano.II.1 Aspectos generales del movimiento plano.II.1 Aspectos generales del movimiento plano. Movimiento continuo de una figura plana en su plano.

Centro instantneo de rotacin (cir). Teorema de Aronhold-Kennedy. Aplicacin del cir al anlisis de velocidades y

aceleraciones. Base y ruleta. Aceleracin de un punto del plano mvil que coincide

con el cir.II.2 Teora de la curvatura.II.2 Teora de la curvatura.II.2 Teora de la curvatura.II.2 Teora de la curvatura.II.3 Estudio del mecanismo cuadriltero articulado.II.3 Estudio del mecanismo cuadriltero articulado.II.3 Estudio del mecanismo cuadriltero articulado.II.3 Estudio del mecanismo cuadriltero articulado.

2

R. Sancibrin, Ing. Mecnica

3

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Captulo II: Tema 1Movimiento Plano

1.1 Movimiento continuo de una figura plana en su plano. Centro instantneo de rotacin (cir). Introduccin. Centro instantneo de rotacin.

1.2 Teorema de Aronhold-Kennedy. Enunciado. Diagrama del crculo.

1.3 Aplicacin del cir al anlisis de velocidades y aceleraciones. Teorema de Mehncke. Teorema de Burmester. Imagen o campo de velocidades. Aplicaciones al anlisis de aceleraciones.

1.5 Base y ruleta.1.6 Aceleracin de un punto del plano mvil que coincide

con el cir.

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4

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Captulo II: Tema 1

1.1 Movimiento continuo de una figura plana en su plano. Centro instantneo de rotacin (cir).1. Introduccin.2. Centro instantneo de rotacin.

3

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Introduccin

La gran mayora de los mecanismos que aparecen en la prctica tienen movimiento plano. Muchas de las propiedades de estos mecanismos, los teoremas obtenidos, desarrollos matemticos, etc. pueden ser extrapolados al caso de movimiento tridimensional.

En este captulo se estudian estas propiedades del movimiento plano para poder abordar su anlisis y sntesis cinemtica y, posteriormente, su anlisis dinmico.

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6

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

IntroduccinDefinicin:Definicin:Definicin:Definicin: un mecanismo tiene movimiento plano cuando las velocidades de todos sus puntos son paralelas a un plano fijo.

1

2

Posicin 1Posicin 2 Posicin 3

S2

S1 S1S1

S2 S2

4

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7

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

IntroduccinMovimiento plano no quiere decir que el mecanismo este contenido en un plano, aunque as se puede idealizar su movimiento para el anlisis cinemtico.

Esta hiptesis no es vlida en el caso dinmico.

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8

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Centro instantneo de rotacin

Vamos a estudiar el movimiento de una figura plana en su plano. Para estudiar este movimiento basta con estudiar el movimiento de un segmento, A1B1, ya que el movimiento de cualquier otro punto, C1, queda definido por la condicin de que no varia su posicin relativa con respecto a A1 y B1.

A1

B1

S1

Posicin 1

C1

5

R. Sancibrin, Ing. Mecnica

9

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Centro instantneo de rotacin

A2A1

B1

B2S1

S2

Posicin 1

Posicin 2sb

sA

P12

El punto P12 es un punto que si se considera rgidamente unido al segmento AB su posicin inicial coincide con la final.

R. Sancibrin, Ing. Mecnica

10

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Centro instantneo de rotacin

A2A1

B1

B2

rrrrA

rrrrB

P12

S1

S2

Posicin 1

Posicin 2sb

sA

Dicho punto P12 se obtiene mediante la interseccin de las mediatrices de los segmentos A1A2 y B1B2

6

R. Sancibrin, Ing. Mecnica

11

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Centro instantneo de rotacin

A2A1

B1

B2

rrrrA

rrrrB

P12

S1

S2

Posicin 1

Posicin 2sb

sA

AB

Dicho punto P12 se denomina polo de rotacinpolo de rotacinpolo de rotacinpolo de rotacino centro de rotacincentro de rotacincentro de rotacincentro de rotacin entre las posiciones 1 y 2.Entonces, el movimiento entre las dos posiciones se puede considerar como una rotacin alrededor de dicho punto (esto es slo vlido cuando estudiemos las posiciones iniciales y finales).

R. Sancibrin, Ing. Mecnica

12

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Centro instantneo de rotacin

Posicin 1

B1

A1rrrrA

rrrrb

P11

B1

S1

A1

Posicin 1 Si la posicin 2 se acerca a la posicin 1 el segmento A1A2 tiende a la tangente a la trayectoria en el punto A, y lo mismo ocurre con el punto B.

As pues, el polo de rotacin en el movimiento infinitesimal se convierte en el centro centro centro centro instantaneoinstantaneoinstantaneoinstantaneo de rotacinde rotacinde rotacinde rotacin (cir), o simplemente polopolopolopolo del movimiento, y se obtiene trazando las tangentes a las trayectorias de dos puntos cualquiera del slido.

7

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Centro instantneo de rotacinPropiedades del cir

Puesto que en un dt su posicin no vara, la velocidad de este punto es cero.

La velocidad de todos los dems puntos del slido son perpendiculares al segmento que les une con el cir, y adems su magnitud es proporcional a la distancia.

La velocidad angular del slido es una relacin, constante para todos los puntos del slido, entre la velocidad de un punto y su distancia al cir.

A

B

cirtB

tA

tA

nBtB

nB

nA

nA

AB

C

P (cir)

VA VB

VC

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Centro instantneo de rotacin

Polos relativos

Elemento 1

Elemento 2

P12 cir del movimiento relativo de 1 con respecto a 2

Observador mvil

Observador fijo

2

)1( =

NNn

Nmero de polos relativos

Propiedades del cir

8

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Centro instantneo de rotacinLas propiedades de los cir permiten encontrar los denominados polos primarios de un mecanismo rpidamente siguiendo un conjunto de reglas fcilmente deducibles de todo lo anterior. A partir de ahora, se denominan polos primarios a aquellos polos de un mecanismo que pueden localizarse por simple inspeccin directa de ste siguiendo las siguientes reglas:

1. Todos los pares de rotacin (tipo R) que existen en un mecanismo.2. Puntos en el infinito cuando un elemento se traslada con respecto a

otro.3. Los puntos de contacto entre dos elementos donde existe rodadura

pura.4. Si en un elemento se conocen las trayectorias de dos de sus puntos

respecto de otro elemento, se obtiene el polo del movimiento relativo en el punto de corte de las dos normales a las respectivas trayectorias que pasan por dichos puntos.

Propiedades del cir

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Centro instantneo de rotacinDeterminacin del cir

Determinacin de los polos primarios.

P12

2

3 4P23

P34

n=6

P41()

P31

P41

n=6

P12

2

3

4P23

P34

P31

P41

23

4

P21

P32P34

()

9

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Captulo II: Tema 1

1.2 Teorema de Aronhold-Kennedy.1. Enunciado.2. Diagrama del crculo.

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Teorema de Aronhold-Kennedy. Enunciado

Los tres polos del movimiento relativo entre tres elementos con movimiento plano estn permanentemente alineados.

El Teorema de Aronhold-Kennedy se emplea para la localizacin de polos relativos entre los diferentes elementos que componen un mecanismo.

P10: Polo del movimiento relativo de 1 y 0.P20: Polo del movimiento relativo de 2 y 0.P12: Polo del movimiento relativo de 1 y 2.

1220212101 PPPP =

1

2

1220

1210

=

PP

PP

12

0

P20

P12

P10P12

V1p12V212

V112= V2p12

A

21

10

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Diagrama del crculoEl diagrama del crculo permite obtener fcilmente los polos delmovimiento relativo entre los elementos de un mecanismo. Para ello el mtodo emplea los conceptos vistos anteriormente y especialmente el Teorema de Aronhod-Kennedy. Para la localizacin de los polos del movimiento se seguirn los siguientes pasos:

1. Se toma una circunferencia y se divide en tantas partes iguales como elementos (N) tiene el mecanismo. A continuacin se numeran de 1 a N los puntos en que est dividida la circunferencia. Todas las posibles cuerdas que unen los puntos marcados representan los distintos polos del movimiento en el mecanismo.

2. Se dibujan con lneas continuas las cuerdas correspondientes a los polos primarios y a trazos los correspondientes a los desconocidos.

3. El resto de los polos ser obtenido utilizando el teorema de Aronhold-Kennedy, aplicndoselo a grupos de tres elementos en el mecanismo. Para ello se localizan en el crculo los tringulos que tengan en comn un lado dibujado a trazos y todos los dems lados continuos.

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Diagrama del crculo

n=6

P12

2

3

4P23

P34

P41P42

P312

3

4

1

P12

2

3 4P23

P34

n=6

P41()

P31

P24

1

2

3

4

11

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Diagrama del crculo

P41

23

4

P21

P32P34 ()

3

4 2

1

P13

P42

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Captulo II: Tema 1

1.3 Aplicacin del cir al anlisis de velocidades y aceleraciones.1. Teorema de Mehncke.2. Teorema de Burmester.3. Imagen o campo de velocidades.4. Aplicaciones al anlisis de aceleraciones.

12

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23

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Teorema de Mehncke

A

VAAv

B

P

VBBv

A

VAAv

B

P

VB

BvAv

Bv

==PA

AAvtan

==PB

BBvtan

PB

PA

BB

AA

v

v ='

'

====PB

BB

PA

AA

PB

BB

PA

AAvvvv

''

=

== 1''''

PA

AAPA

PA

PA

AB

BAVvvv

=== 1''''''

BC

CB

AC

CA

AB

BAvvvvvv

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24

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Teorema de Mehncke

=== 1''''''

BC

CB

AC

CA

AB

BAvvvvvv

Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de MehnckeMehnckeMehnckeMehncke::::La figura formada por los extremos de las velocidades ortogonales de un elemento rgido es proporcional figura original y tiene una relacin de semejanza (1-), siendo la velocidad angular del elemento.

Av

Cv

Bv

AAv

C Cv

B

Bv

P

13

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Teorema de Mehncke

A

B

C

VA

VBVC

Av

BvCv

Av

Bv

Cv

Este teorema permite realizar una interesante construccin grfica para la determinacin de la velocidad de un punto C de un plano mvil conocidas las velocidades de otros dos puntos, A y B, del mismo plano cuando el polo del movimiento cae fuera de los lmites del papel.

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Teorema de BurmesterTeorema de Teorema de Teorema de Teorema de BurmesterBurmesterBurmesterBurmester::::La figura formada por los extremos de las velocidades de un elemento rgido, es semejante a la figura original y la razn de semejanza es (1+)1/2, encontrndose girada un ngulo respecto de la figura original.

P

Bv

A

C

A

Av

C Cv

B

B

====PC

CC

PB

BB

PA

AA vvvtan

22222

1 +=

+

=

+=

PA

AA

PA

PA

PA

AAPA

PA

PA vvv

2

2

2

1

1

1

+=

+=

+=

PCPC

PBPB

PAPA

v

v

v

14

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27

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Teorema de BurmesterComo consecuencia especial del teorema de Burmester se puede decir que si tres puntos sobre el mismo plano mvil estn alineados los extremos de las velocidades de stos tambin estarn alineados

P

A

B

C

VA VCVB

Av

CvBv

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28

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Teorema de Burmester

AC

B

VAVC

VB

BA

VB

VA

P

AV

BVA

B

G

AV

BVA

B

15

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29

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Imagen o campo de velocidades

x

y

x'

y'

A

Bs

rA rB

rAB

SIS=0S

VVVVAVVVVAB

VVVVA

VVVVB

VVVVB ABABrrr +=

ABAABA

ABAB

Bdt

d

dt

d

dt

dVVrV

rrrV +=+=+==

VVVVAB es siempre perpendicular a la recta AB

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30

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Imagen o campo de velocidadesImagen o Campo de Velocidades:Imagen o Campo de Velocidades:Imagen o Campo de Velocidades:Imagen o Campo de Velocidades:Si se llevan a un origen comn los vectores velocidad de tres puntos de un mismo slido rgido y se unen los extremos de estos vectores se obtiene un tringulo ABC semejante al tringulos ABC. El tringulo ABC se denomina ImagenImagenImagenImagen o Campo de VelocidadesCampo de VelocidadesCampo de VelocidadesCampo de Velocidades. Esta propiedad se deduce por las caractersticas de las velocidades relativas. En la figura se muestra un slido y sus tres velocidades que al ser llevadas a un origen comn, O, generan el campo de velocidades ABC, donde se dice que los tres puntos A, B y C son homlogos de A, B y C, y el punto O es homlogo del cir en el cuerpo real.

Imagen de velocidades

VVVVA

VVVVB

VVVVC

VVVVA

VVVVB

VVVVCC

B

A

CB

A

cir

O

+=

+=

+=

CACA

BCBC

ABAB

VVV

VVV

VVV

16

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31

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Imagen o campo de velocidades

VA

VBA

B

C

VA

VB

VC

VC?

Determinacin de la velocidad del punto C del acoplador

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Imagen o campo de velocidades

VA

VB

A

B

C

Ao VA

VB

VC

VC

Anlisis de velocidades en un mecanismo biela-manivela

17

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Aplicacin al anlisis de aceleraciones

x

y

x'

y'

A

Bs

rA rB

rAB

SIS=0S

VVVVA

VVVVB

ABAB rrr +=

rVV += ABAB

TAB

NABA

ABABA

ABAB

A

ABABB

)(

dt

d

dt

d

dt

)(d

dt

d

dt

d

AAA

rrA

r

rA

rVVA

++

=++

=++=

=

+==

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34

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Aplicacin al anlisis de aceleraciones

TAB

NABAB AAAA ++=

NAB

TAB

A

Atan =

x

y

x'

y'

A

Bs

rAB

SIS=0S

AAAAA

AAAAAB

AAAAABN

AAAAABT

cteAB

AB

A

Atan

22NAB

TAB ====

18

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Aplicacin al anlisis de aceleraciones

AC

B

AAAAA

AAAAABNAAAAA AAAAABTAAAABAAAAAB

AAAABAAAAA

AAAAAB

AAAABAAAAA

AAAAAB

AAAAACAAAABC

C

O

AAAABAAAAA

AAAAAB

AAAAAC

AAAABC

C

O

AAAAC

Esta propiedad permite obtener la aceleracin de un punto C conocida la aceleracin de A y B en el mismo elemento

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36

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Captulo II: Tema 1

1.4 Base y ruleta.

19

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Base y ruletaPosicin 1

A1

B1

C1

P1

El cir, polo instantneo o simplemente polo es, como su propio nombre indica, una caracterstica propia de una determinada posicin (o instante) de la figura mvil en el plano mvil, que podemos suponer asociado a ella. Por tanto, a medida que el movimiento de dicha figura o plano mvil evolucione, el cirtambin se ver modificado pasando a ocupar otra posicin en los planos de movimiento.

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38

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Base y ruletaPosicin 1

Posicin 2A1

B1

C1

A2

B2

C2

P1

P112

P2P111

20

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39

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Base y ruletaPosicin 1

Posicin 2

Posicin 3

A1

B1

C1

A2

A3

B2B3

C2

C3

P1

P112

P113

P2

P212

P3

P111 P2

11

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40

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Base y ruleta

Base

Posicin 1

Posicin 2

Posicin 3

A1

B1

C1

A2

A3

B2B3

C2

C3

P1P111

P10

P112

P113

P20P2

P211P212

P30P3

P311

0

Base: es el lugar geomtrico de los puntos del plano fijo que han sido en un determinado instante centro instantneo de rotacin. Esta curva tambin se conoce con los nombres de Polodia o curva polar fija.

21

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Base y ruleta

Ruleta

Base

Posicin 3

A2

A3

B3

C3

P1P111

P10

P112

P113

P20P2

P211P212

P30P3

P311

0

1

Ruleta: es el lugar geomtrico de los puntos del plano mvil que en algn momento han tenido velocidad nula. Tambin se conoce con los nombres de Herpolodia o curva polar mvil.

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Base y ruleta

Ruleta

Base

Posicin 2

Posicin 3

A2

A3

B2B3

C2

C3

P1P111

P10

P112

P113

P20P2

P211P212

P30P3

P311

0

1

22

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43

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Base y ruleta

Ruleta

Base

Posicin 1

Posicin 2

Posicin 3

A1

B1

C1

A2

A3

B2B3

C2

C3

P1P111

P10

P112

P113

P20P2

P211P212

P30P3

P311

0

1

La curva Base representa la trayectoria del cir sobre el plano fijo mientras que la curva Ruleta representa la trayectoria del cir para el observador situado en el plano mvil.

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Base y ruleta

Ruleta

Base

Posicin 1

A1

B1

C1

P1P111

P10

0

1

23

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Base y ruleta

Ruleta

Base

Posicin 1

Posicin 2A1

B1

C1

A2

B2

C2

P1P111

P10

P112

P113

P20P2

P211

0

1

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Base y ruleta

Ruleta

Base

Posicin 1

Posicin 2

Posicin 3

A1

B1

C1

A2

A3

B2B3

C2

C3

P1P111

P10

P112

P113

P20P2

P211P212

P30P3

P311

0

1

24

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Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Base y ruleta

Posicin 3

Ruleta

Base

Posicin 1

Posicin 2A1

B1

C1

A2

A3

B2B3

C2

C3

P1P111

P10

P112P113

P20P2P211

P212

P30P3

P311

0

1

P0: Es el punto del plano fijo que coincide con el cir, es por tanto un punto fsico cuya velocidad es cero.

P1: Es el punto del plano mvil que coincide con el cir, es tambin un punto fsico y su velocidad es nula ya que no vara su posicin en un instante diferencial de tiempo.

P: Es un punto matemtico (no es un punto fsico), lo que significa que no pertenece ni al plano fijo ni al mvil. Representa la variacin de posicin del cir sobre el plano fijo y su trayectoria es la curva Base. Por tanto, este punto s puede tener velocidad distinta de cero y a esta velocidad se la denomina: Velocidad de Cambio de Polo.

Velocidad de cambio de polo:

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48

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Base y ruleta

De todo lo expuesto anteriormente se deduce que las curvas Base y Ruleta se encuentran en contacto permanente en el cir y no existe velocidad relativa en dicho punto de contacto. En otras palabras, el movimiento entre Base y Ruleta es un movimiento de rodadura pura. Este movimiento queda perfectamente definido si se conoce la geometra de la curva Base y Ruleta y la Velocidad de Cambio de Polo.

25

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49

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Captulo II: Tema 1

1.5 Aceleracin de un punto del plano mvil que coincide con el cir.

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50

Cinemtica y Dinmica de Mquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano

Aceleracin de un punto del plano mvil que coincide con el cir

PAV =A

)( OPOAV =A

( )PA

A

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

VVPA

OPOAPA

VAA

+

=

+==

( ) PPP 00 VVA =+=

=PA

Base

Ruleta

0

1

0

P

A VA

x

y

OP

OAPA

AAAAP