TemaVI:Ondas

1

2TemaVI:Ondas Introduccin

QU ESUNAONDA?

Propagacindeunaperturbacinovibracin

Porqu sonimportanteslasondas?

AparecenentodoslosdominiosdelaFsica:1.Ondastrmicas2.Ondassonoras3.Ondaselectromagnticas4.Etc.

EnIngenieraElectrnica:1.Ondasdecorriente/voltaje:Osciloscopio,lneadetransmisin1.Transmisoresdeinformacin:Radio,telefona,etc.

3TemaVI:Ondas Introduccin

TIPOSDEONDAS

Extensindelmediodepropagacin

Direccindelosdesplazamientos

Esfricas

Planas

Transversalesylongitudinales

Vientres

Crestas

Progresivasoviajeras Ondasestacionarias

Geometradelfrentedeondas

4TemaVI:Ondas Introduccin

VELOCIDADESENELMOVIMIENTOONDULATORIO

Velocidaddepartcula: velocidaddelmovimientooscilatoriodelaspartculasdelmedioentornoasusposicionesdeequilibrio

Velocidaddeondaodefase: velocidadconlaquelosfrentesdeondaprogresanatravsdelmedio

Lavelocidaddegrupo: conceptodegrupodeondas.Lavelocidaddefasesueleserunafuncindelafrecuencia(mediodispersivo).Lapropagacindelgrupovienedescritaporlavelocidaddegrupo:velocidadconlaquesepropagalaenergadelgrupodeondas.*

*Seminariosobregruposdeondasyvelocidaddegrupo

5TemaVI:Ondas Laecuacindeonda

Segmentodiferencialdecuerdadelongitudds dx,desplazadobajolaaccindeunaondatransversal.

ECUACINDEONDA

Lacuerdavibrante:ecuacindeonda1D

3D

2yx2 =

1

c22yt2 c =

T

2x2 +

2y2 +

2z2 =

1

c22t2

EmisorpuntualMediohomogneo

eistropo

EmisorpuntualMediohomogneo

eistropo

2 r( )r2 =

1

c22 r( )t2

Dimensionesdevelocidad:

velocidaddefase

OndasplanasOndasplanas2 ( )x2 =

1

c22 ( )t2

6TemaVI:Ondas Solucionesdelaecuacindeonda

2yx2 =

1

c22yt2

f(ctx)essolucin Solucingeneral:f(ctx)+g(ct+x)f y g dependendelafuenteydelmedio;

notienenporqueserarmnicas,nisiquieraperidicasg(ct+x)essolucin

f(ctx):sit fmantienesuformasidesplazamoslavistaendireccinpositiva delejex alavelocidadc

g(ct+x):sit gmantienesuformasidesplazamoslavistaendireccinnegativa delejex alavelocidadc

f(ctx):perturbacinquesepropagahaciaxcrecientes

f(ctx):perturbacinquesepropagahaciaxcrecientes

Interpretacindelasolucingeneral:superposicin

f(ctx)+g(ct+x)|t=0 t1 >0 t2 >t1 t3 >t2

f(ct3x)g(ct3+x)

7TemaVI:Ondas Solucionesdelaecuacindeonda

ONDASARMNICAS

f y g funcionesarmnicas SeriesdeFourier justificaneleccin

y = asen t ( ) = asen2 ct x( )

y = Aei tkx( )

a

y

: longituddeonda

Notacincompleja

= 2ck = 2

y

yt =c

yx

velocidaddepartcula

= arsen tkr( )Ondasesfricas

Cuerdacomoosciladorforzado,impulsadaenunextremomedianteunafuerzavertical

y = Aei tkx( )

8

TemaVI:Ondas Impedancia

IMPEDANCIADEUNACUERDA

Cualquiermedioatravsdelquesepropaganondassecomportacomounosciladorforzado,presentandounadeterminadaimpedanciahaciaesasondas*

= Fuerza transversalZvelocidad transversal

F0eit =Tsen

x=0 T tan

x=0=T yx

x=0

= ikTAeitBalancedefuerzasenelextremo:

ValordeValorde

yt

Impedanciacaractersticadelacuerdavibrante

Z = Tc= c

*Seminariosobreimpedanciademediosmateriales

9TemaVI:Ondas Energa,potenciaeintensidad

CUERDAVIBRANTE

OsciladorarmnicodemximaamplitudA E = 122A2

Promediodeladensidaddeenerga

Puestoquelaondaviajaconvelocidadc P = Ec = 122A2c = 1

2Z2A2

Potenciapromedio

DependenciaconA2 esgeneral

ONDASEN3D

I = PS

Intensidad

I = P04r2

ONDASAMORTIGUADAS

y = Aexei tkx( )

Ee2x

10

TemaVI:Ondas Reflexinytransmisindeondas

REFLEXINYTRANSMISINDEAMPLITUD

T

T

yi= A

1ei tk1x( )

yr=B

1ei t+k1x( ) y

t= A

2ei tk2x( )

CmoobtenemosB1yA2 enfuncindeA1?

Condicionesdecontorno

1. Continuidaddeldesplazamiento enladiscontinuidadentodomomento

yix = 0( )+ yr x = 0( ) = yt x = 0( )

2. Continuidaddelapendientedeldesplazamiento,oloqueeslomismocontinuidaddelafuerzatransversal, enladiscontinuidadentodomomento

Tx yi + yr( )

x=0=T x yt( )

x=0

Mismafrecuenciaenambosmedios

11

TemaVI:Ondas Reflexinytransmisindeondas

APARTIRDELASCONDICIONESDECONTORNOSEOBTIENE

RA= B1A1

= Z1 Z2Z1+ Z

2

Coeficientedereflexindeamplitudes

TA= A2A1

= 2Z1Z1+ Z

2

Coeficientedetransmisindeamplitudes

RA yTA dependennicamentedelasimpedanciasdelosmedios(independientesdelafrecuencia)

CASOSPARTICULARES

Z2 (x =0esunpuntofijo) RA =1;TA =0

Z2 =0(x =0esunextremolibre) RA =1;TA =2 Tx yi + yr( )

x=0= 0

12

TemaVI:Ondas Reflexinytransmisindeondas

REFLEXINYTRANSMISINDEPOTENCIA

RP=Coeficientedereflexindepotencia=(Potenciareflejada)/(Potenciaincidente)

Rp= Z1B1

2

Z1A12= B1

A1

2

=RA2 = Z1 Z2

Z1+ Z

2

2

Recordemos: P = 12Z2A2

TP=Coeficientedetransmisindepotencia=(Potenciatransmitida)/(Potenciaincidente)

TA= Z2A2

2

Z1A12= 4Z1Z2

Z1+ Z

2( )2RP +TP =1

Z1 =Z2 Nosereflejaenerga(impedanciasacopladas).Seproponelarealizacindeunseminariosobretransferenciadeenerga:acoplamientodeimpedancias.

Frecuenciaspermitidas(normalesopropias):

13

TemaVI:Ondas Ondasestacionarias

Mediodedimensionesfinitas y = aei tkx( ) +bei t+kx( )P.ej.cuerdadelongitudL,firmementesujetaenambosextremos

y x = 0( ) = 0y x = L( ) = 0 n = c

n

= nc2L

C.Contor

noa =b (reflexincompletaconcambiodefasede)

L= nn2

n=1(primerarmnicoofundamental)

n=2(segundoarmnico)

n=3(tercerarmnico)

n=4(cuartoarmnico)

14

TemaVI:Ondas

Volvamosa: n = cn

= nc2L

Cmoseexplicanlosnodos?

y = aei tkx( ) +bei t+kx( )

Condicionesdecontorno

yn= A

ncos

nt+B

nsen

nt( )sennx

c

nx = rL NODO r =0,n extremos;n 1nodosinteriores

Ondasestacionarias

Solucincompleta

y = yn

n

= An cosnt+Bn sennt( )sennxcn

Gasideal

15

TemaVI:Ondas Ondassonorasengases

ConsideremosunelementodevolumendegasqueapresinP0ocupaunvolumenV0 ytieneunadensidad0

Elementodevolumendegas,deseccinunidadyespesorx,desplazadoyexpandidobajolainfluenciadeunadiferenciadepresin

Lasondassonorasperturbaneseestadodeequilibrio:P0 P =P0 +p; pm representaelmximodepV0 V =V0 +v; =v/V00 =0 +d; s =d/0

Ondassonorasordinarias: ys 103 s ;pm =2 105 Nm2 ( =1000Hz)

Elasticidaddeungasmdulodecompresibilidad:B.Ondasonoratpica cambiosadiabticos:Ba =P.

Ba=V dP

dV= p

ps

2x2 =

1

c22t2

Aplicandola2 leydeNewtonalelementodevolumendegas

c2 =Ba0

c2 =RT M

16

TemaVI:Ondas Ondassonorasengases

SolucinEq.Ondas

(a) (b)

Relacionesdefaseentreeldesplazamientodeunelementodevolumen,,suvelocidad,elexcesodepresin,p,yloscambiosrelativosdedensidad,s,

ydevolumen,.(a)y(b)representanrespectivamenteondasquesepropaganenelsentidopositivoynegativodelejeOX.Enamboscasosel

desplazamientosetomaenelsentidopositivodelejeOX.

ENERGAEINTENSIDADEpot= E

cin= 120V02 E

pot= E

cin= 140V02

m2

I = 140c2

m2 = 1

2Z2

m2

17

TemaVI:Ondas Ondaslongitudinalesenslidos

VARILLASDELGADAS:tratamientoanlogoaldelasondassonorasengasessustituyendoelmdulodecompresibilidadporeldeYoung,Y.

2x2 =

1

c22t2 c

2 =Y 0

18

TemaVI:Ondas

Tablatomadade:H.J.Pain The Physics ofVibrations andWaves Wiley 2005