32

32

Hagamos el cálculo:

r r

l

rrE d B

td a

C S. .∫ ∫∫= −

∂∂

Es claro que el primer miembro de esta ecuación (para el caso en examen!) es nulo dado que rE es perpendicular a todos los tramos de la trayectoria, de manera que:

− = − =∫∫∂∂

∂∂

rrB

td a

Bt

dx dzy

S. . 0 (1.37)

en donde se ha tenido en cuenta que el vector d ar tiene módulo igual al área del cuadrado de

lados dx dz, y está dirigido en la dirección de las y positivas y el vector ∂∂

rBt

se ha

supuesto de módulo constante igual al calculado en el punto central del cuadrado, lo que

representa una buena aproximación si los lados del cuadrado son infinitésimos.

La (1.37) nos dice entonces que ∂∂Bty = 0 . Esto significa que si el campo magnético tiene

componente y , ésta es independiente del tiempo y por lo tanto no tiene interés alguno para la

perturbación e.m.

En conclusión una perturbación e.m. que se propaga a lo largo del eje x es una onda

transversal en el sentido que los campos eléctrico y magnético son perpendiculares a la dirección x de propagación; si hacemos coincidir el eje y con la dirección del campo

eléctrico rE , el campo magnético

rB contribuye a la perturbación únicamente con una

componente en la dirección z o sea que el campo eléctrico y el campo magnético asociados

a una onda electromagnética son mutuamente perpendiculares y ambos perpendiculares a la dirección de propagación.

33

33

1.8.3 Los campos

rE y

rB se propagan de acuerdo con la ecuación diferencial

de la onda. Apliquemos ahora la tercera de las ecuaciones de Maxwell (1.36) a una trayectoria de lados infinitésimos dx dy y a la superficie encerrada por esa trayectoria:

r r

l

rrE d B

td a

C S. .∫ ∫∫= −

∂∂

(1.38)

34

34

Teniendo en cuenta que el campo eléctrico solamente tiene componente y :

r rl

r r r rE d E j dx i E j dy j

Cy x y x dx. | . . | . .∫ = + +

( ) ( )+ − + −+E j dx i E j dy jy x dx y x| . . . | . .

r r r r

= − =+E dy E dyy x dx y x| . | .

=−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+E E

dxdx dyy x dx y x| |

Puede verse fácilmente que si dx es infinitésimo:

r r

lE dEx

dx dyC

y. .∫ =∂∂

(1.39)

Calculemos ahora el segundo miembro de la (1.38) teniendo en cuenta que el vector d ar

tiene módulo dx dy y dirección rk , o sea la misma del campo magnético que solamente tiene

35

35

componente z ; si la superficie es infinitésima podemos considerar el vector ∂∂Bt

kz .r

constante sobre toda la superficie de integración con módulo igual al que tiene en el punto central de la superficie, así que:

− = −∫∫∂∂

∂∂

rrB

td a

Bt

dx dyS

z. . (1.40)

Igualando la (1.39) y la (1.40) en virtud de la ecuación (1.38) se obtiene:

∂∂

∂∂

Ex

Bt

y z= − (1.41)

Utilicemos ahora una superficie cuadrada encerrada por lados infinitésimos dx dz , para

calcular las integrales

r r

l

rrlB d E

td

C S. .∫ ∫∫= µ ε ∂

∂0 0 (1.42)

correspondientes a la cuarta ecuación de Maxwell (1.36).

36

36

( ) ( )r rl

r r r r r rB d B k dx i B k dz k B k dx i

Cz x z x dx z x dx. | . . | . . | . . .∫ = + − + −+ + +B k dz kz x| . . .

r r

( )= − −+B B dzz x dx z x| | . ; de donde:

r r

lB dB B

dxdx dz

C

z x dx z x.| |

∫ = −−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+ = −

∂∂

Bx

dx dzz . (1.43)

Para el cálculo de la segunda integral que aparece en la ecuación (1.42) podemos tener en cuenta que el vector d ar tiene módulo dx dz y dirección

rj o sea la misma del campo

eléctrico y que si la superficie es infinitésima podemos considerar que ∂∂

rEt

tenga el mismo

módulo sobre toda la superficie, igual al que tiene en el punto central, de manera que:

∂∂

∂∂

rrE

td a

Et

dx dzS

y∫∫ = . (1.44)

Insertando las ecuaciones (1.43), (1.44) en la (1.42):

∂∂

µ ε∂∂

Bx

Et

z y= − 0 0 (1.45)

Derivemos ahora la (1.41) con respecto a x y la (1.45) con respecto a t :

∂

∂∂∂ ∂

∂∂ ∂

µ ε∂

∂

2

2

2 2

0 0

2

2

E

xB

x tB

x tE

ty z z y= − = −;

y teniendo en cuenta el teorema de Schwartz sobre la inversión del orden de las derivadas:

37

37

∂

∂µ ε

∂

∂

2

2 0 0

2

2

E

x

E

ty y= (1.46)

ecuación formalmente igual a la ecuación diferencial de la onda (1.44) si resultara que la

perturbación eléctrica se propagara a lo largo del eje x con velocidad v =1

0 0µ ε.

Si tenemos en cuenta que µ π0

7 24 10= −. N A y ε 012 2 28 85419 10= −. . .C N m , se

obtiene que esta velocidad de propagación resulta igual a la velocidad de la luz en el vacío, eso es c ≅ 3 108. m/s.

De forma similar si derivamos la (1.41) con respecto a t y la (1.45) con respecto a x ,

obtendríamos con el mismo procedimiento:

∂∂

µ ε∂∂

2

2 0 0

2

2Bx

Bt

z z=

lo que demuestra que el campo magnético también se propaga a lo largo del eje x con

velocidad igual a la velocidad de la luz en el vacío.

Para concluir podemos decir que una variación temporal en el campo eléctrico produce una

variación espacial en el campo magnético asociado de manera que rE y

rB resultan

perpendiculares entre sí; esta perturbación viaja en una dirección perpendicular a ambos

campos con una velocidad c .

Igualmente una variación temporal de rB produce una variación espacial de

rE de manera

que rE y

rB resultan perpendiculares entre sí; esta perturbación también se propaga con

velocidad c (en el vacío) en una dirección perpendicular a los dos campos.

Dado que los campos eléctrico y magnético asociados a una onda e.m. satisfacen la ecuación

diferencial de la onda, ellos tendrán la forma:

( ) ( )

( ) ( )

E x t E x c t

E x t E x c t

1 1

2 2

,

,

= −

= + (1.47)

38

38

( ) ( )

( ) ( )

B x t E x c t

B x t E x c t

1 1

2 2

,

,

= −

= + (1.48)

donde las ecuaciones (1.47) corresponden a las perturbaciones eléctricas progresiva y regresiva mientras las (1.48) corresponden a las perturbaciones magnéticas correspondientes;

todas estas perturbaciones viajan con velocidad c .

1.8.4 Onda electromagnética armónica.

Para establecer la relación entre las intensidades de las componentes eléctrica y magnética de

la onda e.m. consideremos el caso particular de una perturbación eléctrica armónica progresiva que viaja a lo largo del eje x :

( ) ( )[ ]E x t E k x c ty , sen= − +0 ϕ (1.49)

donde E0 es la amplitud, es decir la máxima intensidad del campo eléctrico.

Para calcular el campo magnético asociado podemos utilizar indiferentemente la (1.41) o la

(1.45); si derivamos la (1.49) con respecto a x , de acuerdo con la (1.41) obtenemos:

( )[ ]E k k x c tBtz

0 . cos − + = −ϕ∂∂

de manera que: ( ) ( )[ ]B x t E k k x c t dtz , . cos= − − +∫ 0 ϕ

o sea: ( ) ( )[ ]B x t E kkc

k x c t constz , . sen= − + +0 ϕ

La constante de integración es independiente del tiempo y, no teniendo interés para la onda,

puede suprimirse de modo que:

39

39

( ) ( )[ ]

( )[ ]

B x t Ec

k x c t

B k x c t

z , sen

sen .

= − +

= +

0

0

ϕ

ϕ (1.50)

Esta ecuación junto con la (1.49) muestra que el campo magnético y el campo eléctrico se

propagan como dos ondas armónicas idénticas, con la misma longitud de onda, la misma

frecuencia e igual fase; las dos perturbaciones solamente difieren por la amplitud, dado que la amplitud B0 de la perturbación magnética es igual a la amplitud de la perturbación eléctrica dividida por ( )c B E c0 0= .

1.9 SOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAL DE LA ONDA: Método

de separación de variables.

Hemos visto que fenómenos aparentemente diferentes como la propagación de una

perturbación en una cuerda o en un resorte o las ondas sonoras o una perturbación e.m. se rigen por la misma ecuación que hemos llamado ecuación diferencial de la onda; eso quiere

decir que, cualquiera que sea el fenómeno ondulatorio que se considere, su propagación puede

describirse a través de la solución general de la ecuación diferencial de la onda:

( ) ( ) ( )y x t A f x vt B g x vt, = − + +

la cual puede particularizarse al caso específico cuando se aclare la forma de las funciones arbitrarias f g, y la velocidad de propagación v que, como hemos dicho, es una

característica del medio de propagación.

Podemos entonces determinar ahora una solución de la ecuación diferencial de la onda, para

cualquiera de los casos anteriormente mencionados, con el "método de separación de variables" que consiste en suponer que la ecuación horaria de la onda pueda escribirse como el

producto de dos funciones una de la sola variable x y la otra de la sola variable t .

Sea entonces la ecuación diferencial de la onda de la forma

40

40

∂∂

∂∂

2

2 2

2

21y

xy

t=

v (1.51)

y tratemos de determinar la solución de esta ecuación suponiendo que pueda escribirse en la forma:

( ) ( ) ( )y x t f x g t, .= (1.52)

Si ésta es la solución de la ecuación (1.51) entonces debe satisfacerla. Si calculamos las derivadas segundas de la ( )y x t, :

( ) ( )∂∂

2

2y

xf x g t= '' .

( ) ( )∂∂

2

2y

tf x g t= . ''

y las remplazamos en la (1.51): ( ) ( ) ( ) ( )f x g t f x g t'' . . . ''=12v

.

Dividimos ahora los dos miembros de esta ecuación por ( ) ( )f x g t. :

( )( )

( )( )

f xf x

g tg t

''.

''=

12v

(1.53)

Obtenemos así una ecuación en la cual el primer miembro es una función de la sola x y el segundo miembro es una función de la sola variable t .

La ecuación (1.53) exige que la igualdad sea verdadera para todos los valores de x y de t ,

lo cual solamente puede ocurrir si los dos miembros de la ecuación son constantes:

( )( )

( )( )

f xf x

g tg t

const''

.''

= =12v

41

41

Pongamos esa constante igual a − p2 ( 1 ) , obteniendo entonces:

( ) ( )f x p f x'' = − 2 , es decir:

( ) ( )f x p f x'' + =2 0 (1.54)

( ) ( )g t p g t'' .= − 2 2v es decir:

( ) ( )g t p g t'' .+ =2 2 0v (1.55)

Hemos entonces transformado la ecuación (1.51), que es una ecuación diferencial de segundo

orden a las derivadas parciales, en dos ecuaciones [(1.54), (1.55)] diferenciales ordinarias

formalmente idénticas a la ecuación diferencial que rige el movimiento armónico simple; las

ecuaciones características asociadas son: m p2 2 0+ = para la (1.54)

l2 2 2 0+ =p v para la (1.55)

de donde m i p i p= ± = ±; l v , y por lo tanto:

( )

sen

cos

pxf x

px=

( ) v

v

sen

cos

p tg t

p t=

( 1 ) La constante − p2 se llama constante de separación, su forma es arbitraria; haberla

supuesto negativa nos conducirá a soluciones armónicas, si la hubiéramos supuesto positiva (p.e. p2 ) hubiéramos obtenido soluciones de la forma exponencial igualmente válidas.

42

42

Esto nos conduce a que la solución ( )y x t, que es el producto de ( )f x y ( )g t tendrá la

forma:

( ) ( ) ( )y x t f x g t a px p t, . sen sen= = v + +b px p tsen cos v

+ +c px p t d px p tcos sen cos cosv v (1.56)

en donde a b c d, , , son coeficientes de la combinación lineal de las cuatro soluciones

particulares.

La (1.56) es entonces la solución general de la ecuación; esta solución dará cuenta de los casos particulares cuando se determinen los coeficientes a b c d, , , y la constante de

separación para lo cual será necesario conocer algunas especificaciones del sistema

examinado, o sea imponer algunas condiciones.

Las condiciones que pueden imponerse al sistema, para el caso de una onda mecáanica, serán de dos clases:

a) Condiciones iniciales, que consisten en determinar la posición y/o la velocidad de todas

las partículas del sistema en un instante determinado.

b) Condiciones al contorno, que consisten en determinar la posición y/o la velocidad de

algunas partículas del sistema en todo momento.

Para aclarar lo anterior analicemos un problema concreto que consiste en determinar la ecuaciòn horaria del movimiento de la cuerda de longitud 2l con los extremos fijos en los

puntos x = ±l suponiendo que al tiempo t = 0 se encuentra tendida sobre el eje x y que

sus partículas están animadas con velocidad transversal l2 2− x .

Se trata entonces de encontrar la ( )y x t, , es decir la ecuación que nos permita determinar la

posición de cualquier partícula de la cuerda en cualquier momento, con base en:

a) Condiciones iniciales

43

43

( )

( )

y x

y x x

,

& ,

0 0

0 2 2

=

= −l ( 1 )

b) Condiciones al contorno

( )

( )

y t

y t

l

l

,

,

=

− =

0

0 extremos fijos

Escribamos la solución general :

( )y x t a px p t b px p t c px p t d px p t, sen sen sen cos cos sen cos cos= + + +v v v v

y determinemos los coeficientes a b c d, , , , p a través de las condiciones impuestas por

el problema.

La primera condición se refiere a la posición inicial de todas las partículas de la cuerda: ( )y x b px d px x, sen cos ,0 0= + = ∀ , condición que nos lleva inmediatamente a

que necesariamente sea b d= = 0 .

Entonces la aplicación de esta sola condición nos conduce a una simplificación importante de

la solución que asume ahora la forma:

( ) ( )y x t p t a px c px, sen sen cos= +v

Consideremos ahora la condición al contorno relativa a los extremos de la cuerda que están

fijos:

( ) ( )

( ) ( )

y t p t a p c pt

y t p t a p c p

l l l

l l l

, sen sen cos

, sen sen cos

= + =∀

− = − + =

v

v

0

0

( 1 ) Esta condición corresponde a la velocidad transversal de las partículas de la cuerda al

instante t = 0 ; esta velocidad con la que oscilan las partículas nada tiene que ver con la velocidad v de propagación de la perturbación.

44

44

y sumando estas dos ecuaciones obtenemos:

v

cc p t p t

p

== ∀ ⇒

=

02 0

0sen cos ;

cosl

l

mientras si restamos:

v en

aa p t p t

s p

== ∀ ⇒

=

02 0

0sen sen ;l

l

De las alternativas propuestas no es posible escoger a = 0 y c = 0 , porque si así lo hiciéramos obtendríamos ( )y x t, = 0 , o sea que no se propagaría perturbación a lo largo de

la cuerda, tampoco podríamos escoger la alternativa sen pl = 0 , cos pl = 0 , dado que esto llevaría a condiciones contradictorias para la constante p ; escogemos por lo tanto la

posibilidad a = 0 , cos pl = 0 . La ecuación horaria bajo estas condiciones será entonces:

( )y x t c px p t, cos sen= v

con cos pl = 0 , lo que implica ( )p n= +2 12πl

, con n = 0 1 2, , , ...., de manera que la

( )y x t, será una sumatoria de todas las funciones particulares que corresponden a los valores

de p :

( ) ( ) ( )y x t c n x n tn n, cos sen= + +∑ 2 1

22 1

2π πl l

v (1.57)

Solamente nos falta calcular los coeficientes cn de esta sumatoria, para lo cual podemos

utilizar todavía la condición inicial ( )& ,y x x0 2 2= −l .

Calculemos entonces ( )& ,y x 0 a partir de la (1.57):

( ) ( ) ( )& , | . cosy x yt

c n n x xt n n0 2 12

2 120

2 2= = ∑ + + = −=∂∂

π πvl l

l

45

45

esta ecuación nos permitirá calcular los coeficientes cn ; multiplicamos los dos miembros

de la ecuación por ( )cos 2 12

m x+

πl

(donde m es uno y uno solo de los valores de n ) e

integramos a lo largo de la cuerda:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

∑ + + + =

= − +

−

−

∫

∫

n nc n m x n x dx

x m x dx

. cos cos

cos

2 12

2 12

2 12

2 12

2 2

π π π

π

vl l l

ll

l

l

l

l

El cálculo de estas integrales conduce a:

( )( )

( )∑ + = −+

+n n nmc nm

m2 12

32

2 12 1

2

3

3 3π δ

π

πvl

ll. . sen (1.58)

donde δ nm es el llamado símbolo de Krönecker definido de manera que

si

si

0

1

n m

n mnm

≠=

=δ (1.59)

Esto quiere decir que la sumatoria del primer miembro de la (1.58) tiene todos los términos nulos excepto el término n m= y por lo tanto:

( )

( )cm

mm = −+

+64

2 12 1 2

3

4 4l

ππ

vsen

Podemos ahora iterar el procedimiento con otro valor de m y luego con otro y otro hasta recorrer todos los valores de n de manera que calcularíamos todos los coeficientes cn así:

( )( )

cn

nn= −

+1 64

2 1

3

4 4l

π v

Por lo tanto la forma explícita de la ecuación horaria de la perturbación en la cuerda es:

46

46

( ) ( )( )

( ) ( )y x tn

n x n tn

n, . . cos sen= ∑ −+

+ +1 64

2 12 1

22 1

2

3

4 4l

l lπ

π π

v

v

1.10 REFLEXION Y TRANSMISION DE ONDAS Analicemos ahora los fenómenos que se presentan cuando una perturbación cambia de medio

de propagación; consideremos el caso sencillo de dos cuerdas semi-infinitas de densidades lineales ρ ρ1 2, diferentes, unidas en un punto cuya posición de equilibrio tomaremos

como origen de un sistema de ejes xy . La experiencia nos dice que, cuando la onda llega al

punto de discontinuidad, una parte de la perturbación se propaga en el otro medio y, a partir de

ese punto, se genera una onda que se devuelve hacia el mismo medio; en otras palabras

cuando la onda incidente llega al punto de discontinuidad da lugar a una onda transmitida y a

una onda reflejada.

Supongamos que la onda incidente sea una onda armónica de la forma:

( ) ( )y x t a k x ti i, cos= −1 ω (1.60)

que viaja hacia el punto de unión de las dos cuerdas por el tramo de densidad ρ 1 ; de

acuerdo con lo anteriormente dicho, cuando la onda llega al punto x = 0 se producirá una

onda transmitida que tendrá la misma frecuencia de la onda incidente pero longitud de onda diferente, dado que la velocidad de propagación en el tramo de densidad ρ 2 será diferente;

esta onda transmitida tendrá entonces la forma:

( ) ( )y x t a k x tt t, cos= −2 ω (1.61)

Por otro lado la onda reflejada, que viaja por el tramo de densidad ρ 1 , tendrá la misma

longitud de onda de la perturbación incidente pero viaja en sentido opuesto y por lo tanto su

ecuación horaria será: ( ) ( )y x t a k x tr r, cos= +1 ω (1.62)

47

47

Entonces la perturbación resultante ( )y x t1 , en el tramo izquierdo de densidad ρ 1 será la

suma de las ondas incidente y reflejada:

( ) ( ) ( )y x t y x t y x ti r1 , , ,= +

mientras en el tramo derecho, de densidad ρ 2 , solamente habrá la onda transmitida, así que:

( ) ( )y x t y x tt2 , ,= .

Nos proponemos calcular las amplitudes de las ondas transmitida y reflejada suponiendo

conocer la ecuación horaria de la onda incidente; para tal fin vamos a imponer las condiciones

al contorno.

La primera de estas condiciones consiste en suponer que en el punto de unión de las dos

cuerdas los desplazamientos producidos por las perturbaciones que se propagan en el lado

48

48

izquierdo y por la perturbación que se propaga por el tramo derecho deben ser iguales, para

que no haya ruptura de la unión:

( ) ( )y x t y x t

x x1 0 2 0, | , |

= =− +=

o sea: ( ) ( )a t a t a ti r tcos cos cos− + = −ω ω ω , condición que se reduce a:

a a ai r t+ = (1.63)

Por otro lado en el mismo punto de unión debe ser:

( ) ( )∂

∂∂

∂y x t

xy x t

xx x1

02

0

,|

,|

= =− +=

porque si así no fuera la diferencia de pendiente, en un tramo infinitésimo alrededor del punto

de unión, supondría una diferencia de energía potencial y por lo tanto una fuerza finita actuaría sobre un tramo infinitésimo produciendo una aceleración infinita; esta segunda

condición se explicita así:

( ) ( )− − − = − −a k t a k t a k ti r t. sen . sen . sen1 1 2ω ω ω

es decir: a k a k a ki r t. . .1 1 2− = (1.64)

Dividamos las ecuaciones (1.63) y (1.64) por ai y hagamos sistema de las dos ecuaciones:

1

11 2

+ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

aa

aa

k aa

k aa

r

i

t

i

r

i

t

i

49

49

Resolviendo el sistema obtenemos:

aa

k kk k

r

i=

−+

1 2

1 2 (1.65)

aa

kk k

t

i=

+2 1

1 2 (1.66)

Recordemos ahora que k1 12= π λ y k2 22= π λ , siendo λ λ1 2, las longitudes de

onda de las perturbaciones que se propagan en el tramo de densidad ρ 1 y en el tramo de

densidad ρ 2 respectivamente.

Además si v1 y v2 son las velocidades de propagación en los dos tramos, evidentemente

v v11

1 22

2= = = =F Fρ λ ν ρ λ ν;

donde F es la tensión a la que está sometida toda la cuerda.

Teniendo en cuenta lo anterior, las ecuaciones (1.65), (1.66) pueden escribirse así:

aa

r

i=

−

+

ρ ρ

ρ ρ1 2

1 2

(1.67)

aa

t

i=

+

2 1

1 2

ρρ ρ

(1.68)

Estas relaciones nos dicen que a at i es siempre positivo mientras a ar i es negativo

cuando la densidad ρ 2 es mayor que la densidad ρ 1 del tramo izquierdo; dado que las

amplitudes son magnitudes positivas por definición, este hecho debe interpretarse teniendo en cuenta que inicialmente habíamos establecido una relación entre desplazamientos producidos

por las perturbaciones, por lo tanto cuando ocurre:

50

50

ρ ρ2 1> y por lo tanto aa

r

i< 0

esto significa que la onda reflejada produce desplazamientos opuestos a los producidos por la onda incidente o como más precisamente se dice: Si ρ ρ2 1> la onda reflejada presenta

un desfase π con respecto a la onda incidente.

Nótese que eso no ocurre cuando ρ ρ2 1> y nunca ocurre para la onda transmitida dado

que aa

t

i> 0 cualesquiera que sean los valores de ρ 1 y ρ 2 . Por lo tanto:

La onda transmitida siempre está en fase con la onda incidente; la onda reflejada está en fase con la onda incidente si ρ ρ2 1< , presenta desfase π con respecto a la onda

incidente si ρ ρ2 1> . La Figura 1.18 resume gráficamente estos resultados.( 1 )

Tengamos ahora en cuenta que, de acuerdo con la ecuación (1.32), la energía transportada por

la onda incidente y distribuida a lo largo de una longitud de onda está dada por:

( )E ai iλ ρ ω λ1 12 2

112

= .

igualmente la energía de las ondas reflejada y transmitida distribuida sobre una longitud de onda será:

( 1 ) Aunque este resultado haya sido obtenido solamente para las ondas mecánicas, para las

ondas luminosas o, en general, para las ondas e.m. ocurre algo similar. Cuando hacemos incidir un haz de luz sobre una superficie que separa dos medios de diferentes índices de refracción n n1 2, se presenta una onda transmitida y una onda reflejada que puede o no presentar desfase π con respecto a la onda incidente, según sea mayor o menor el índice de refracción del medio en el cual se propaga la onda transmitida con respecto al íñdice de refracción del medio en el cual se propagan las ondas incidente y reflejada.

Utilizaremos este resultado en el estudio de interferencia luminosa en películas delgadas.

51

51

52

52

( )E ar rλ ρ ω λ1 12 2

112

= .

( )E at tλ ρ ω λ2 22 2

212

= .

La relación entre la energía por unidad de longitud de la onda reflejada y de la onda incidente

que indicaremos con R y llamaremos coeficiente de reflexión, está dada por:

( )( )

( )( )

REE

aa

r

i

r

i= =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−

+

λλ

ρ ρ

ρ ρ

1

1

21 2

2

1 22 (1.69)

De la misma manera se define el coeficiente de transmisión τ mediante la relación entre las

energías por unidad de longitud de las ondas transmitida e incidente:

( )( ) ( )

τλλ

ρρ

ρ ρ

ρ ρ= =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

+

EE

aa

t

i

t

i

2

1

22

1

2 1

1 22

4. (1.70)

Naturalmente dado que la energía se conserva debe ser R + =τ 1 o lo que es lo mismo:

( ) ( ) ( )E E Er t iλ λ λ1 2 1+ = (1.71)

1.11 EFECTO DOPPLER

El efecto Doppler consiste en la variación de la frecuencia de una onda percibida por un

observador cuando la fuente de la perturbación y/o el observador están en movimiento.

Este efecto fue analizado por Christian Doppler (1803 - 1853) para dar explicación de la

variación en frecuencia de las ondas luminosas que provienen de cuerpos celestes, aunque el

fenómeno pueda observarse más fácilmente en las ondas sonoras.

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De hecho cotidianamente podemos observar como el sonido de un automóvil que se nos

acerca sea más agudo del que percibimos cuando se aleja.

Es importante no confundir la variación de la frecuencia, la cual solamente ocurre cuando hay

movimiento relativo entre fuente y observador, con la variación en intensidad que únicamente

depende de la distancia entre la fuente y el observador.

Con relación a las ondas sonoras (que tomaremos como ejemplo de las ondas mecánicas) el

efecto Doppler analiza unicamente la variación en frecuencia (sonido más agudo o más grave)

que se presenta cuando haya movimiento relativo entre fuente y observador.

Evidentemente pueden presentarse tres casos:

a) Fuente en movimiento y observador quieto.

b) Fuente quieta y observador en movimiento. c) Fuente y observador en movimiento.

Discutamos inicialmente el caso a); consideremos entonces el caso de una fuente de ondas

sonoras en movimiento con cierta velocidad u . La fuente F de ondas sonoras de frecuencia ν y longitud de onda λ emite ondas en todas

las direcciones, sin embargo el observador 0 solamente recibe las porciones de onda que se

propagan hacia él con una velocidad v que depende del medio de propagación (en el caso del aire v ≅ 330 m/s); tomamos como positivo el sentido de las velocidades concorde con el

sentido de la velocidad de propagación de la velocidad de propagación de la onda, es decir el sentido F → 0 .

Si la fuente estuviera quieta, después de cierto tiempo t , necesario para que el observador reciba la primera onda, la fuente habría emitido N t= ν ondas que ocuparían la distancia

F N0 = .λ .

Si, mientras se emiten las ondas, la fuente se mueve (hacia el observador) con velocidad u , entonces al tiempo t , el mismo número N de ondas debe ocupar un espacio F O FO' <

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dado que la fuente se ha desplazado una distancia FF u t' .= ; eso implica que si en un

espacio

.

menor debe distribuírse el mismo número N de ondas, la longitud de onda debe acortarse de manera que F O N' '= λ ; es evidente que: F FF F0 0= +' ' , o sea N u t N. . . 'λ λ= + .

Si recordamos que N t= ν . , obtenemos:

λ ν λ ν= +u ' . (1.72)

Teniendo en cuenta que la velocidad de propagación v de las ondas es independiente del

movimiento de la fuente, la variación de la longitud de onda implica una variación de la frecuencia de manera que v = =λ ν λ ν. ' ' , que reemplazadas en la (1.72) da lugar a:

v v= +u .'νν

de donde: ν ν' .=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

vv u

(1.73)

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Esta ecuación nos muestra que la frecuencia percibida por el observador aumenta si la fuente se acerca ( )u > 0 y disminuye si la fuente se aleja ( )u < 0 .

Mostremos ahora como los casos b) y c) pueden reducirse al caso a) escogiendo un sistema de

referencia con respecto al cual el observador esté quieto.

Caso b): Supongamos por ejemplo que la fuente esté quieta y el observador está en

movimiento con velocidad w con respecto al sistema de referencia S .

Escogemos un sistema de referencia S' en el cual el observador esté quieto.

En este nuevo sistema la fuente se mueve con velocidad −w mientras las ondas se propagan

con velocidad v − w .

Podemos remplazar estos valores en la (1.73) obteniendo: ( )ν ν' = −− − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

vv

ww w

, o sea:

ν ν' = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

vv

w (1.74)

Caso c): Supongamos que la fuente F se mueve con velocidad u y el observador 0 con velocidad w ; como en el caso anterior podemos escoger un sistema de referencia S' en el

cual el observador esté quieto.

En este sistema S' la fuente se moverá con velocidad u w− mientras las ondas se propagan con velocidad v − w ; si remplazamos en la (1.73) obtenemos:

( )ν ν' = −− − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

vv

ww u w

ν ν' = −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

vv

wu

(1.75)

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Esta es la fórmula más general que se reduce a la (1.74) si u = 0 (caso b) y a la (1.73) si

w = 0 (caso a). En esta relación (1.75) y en las anteriores u y w serán positivas o

negativas según sean concordes o discordes con v .

La aplicabilidad de la ecuación (1.75) está sometida a la condición v > w dado que si el

observador se mueve con velocidad superior a la velocidad de las ondas no sería alcanzado por la perturbación, además w > v implicaría valores negativos para ν , resultado que no

tendría sentido. Por la misma razón debe ser v > u dado que si la fuente se mueve más rápido que las ondas la ecuación (1.75) conduciría a frecuencias ν ' negativas.