Captulo 3.Mecnica de los sistemas

de partculas.

Captulo 3.Mecnica de los sistemas

de partculas.

Cap 3 - 1

3.1. Sistema de partculas.3.1.1. Fuerzas internas y externas.3.1.2. Centro de masas. Movimiento del CdM.

3.2. Teoremas de conservacin en sistemas de partculas.3.2.1. Teorema de la conservacin de la cantidad de movimiento.3.2.2. Teorema de la conservacin del momento angular.3.2.3. Teorema de la conservacin de la energa.

3.3. Impulso. Introduccin a las percusiones y colisiones.

3.1. Sistemas de partculas.3.1. Sistemas de partculas.En este captulo veremos un mtodo que utiliza la Fsica Bsica para solucionar problemasrelacionados con el movimiento de dos o ms partculas que pueden interaccionar entre s.Este mtodo est principalmente basado en el principio de conservacin de la cantidad demovimiento, aunque tambin abordaremos los otros dos principios de conservacin.Como veremos, tiene especial inters en situaciones donde haya percusiones o colisionesentre partculas.

Consideremos un sistema formado por N partculas indis-tiguibles de masas m, = 1,2, ., N, que interaccionanentre s ejerciendo fuerzas interiores designadas por F, yque adems est sometida a un campo de fuerzas exteriorque provoca en cada partcula una fuerza F.

Cap 3 - 2

3.1.1. Fuerzas internas y externas.

De este modo, la ecuacin del movimiento de cada una delas partculas vendr dada por:

1

N

m a m r F F =

= = + r rr r&&1

3

2

F31F32

F3

F13

F12

F1

F23

F21F12

En la ecuacin anterior r es el vector de posicin de la partcula respecto al origen delsistema de coordenadas. Y r es la segunda derivada temporal de dicho vector.

Cap 3 - 3

3.1.2. Centro de masas. Movimiento del CdM.

..

1CMR m rM

= r r

Siendo M la masa total del sistema: M m

=El vector de posicin de una partcula respecto al centro de masas se expresa como (r*):

Cuando uno estudia un sistema compuesto por varias partculas o un objeto extenso comosuma de partculas puntuales de masa m (o dm), a menudo resulta muy til centrar la atencin en un punto muy especial del sistema denominado centro de masas (CdM).

Sistemas discretosm3

z

Sistemas continuoso extensos.

1CMR rdmM

= r

CdMR

r r* * CMr r R =

rr r

Cap 3 - 4

A continuacin vamos a demostrar que el movimiento del centro de masas se debe nica-mente a las fuerzas externas del sistema, jams a las internas.

Bajo la accin de la fuerza de la gravedad el centro de masasdescribe una parbola perfecta.

Si sumamos las ecuaciones del movimiento resultantes de aplicarla segunda ley de Newton para las N partculas tendremos:

2

21

Nd m r F Fdt =

= + r rrA la izquierda de la igualdad tenemos la aceleracindel CdM, pues segn la definicin del centro de masas queda: CMMR m r

=r r

Cero, por la3 ley Newton

Fr

Resultante de todaslas fuerzas exteriores

CM CMMa MR F= =r rr &&Nos queda, pues:

El CdM de un sistema de partculas se mueve como si se tratase de una sola partcula, cuyamasa fuese la masa total del sistema, sobre la que actuase una nica fuerza igual a la resul-tante de las fuerzas exteriores que actan sobre el sistema.

De la propia transparencia anterior se ve que si entonces el CdM no se acelera.Si estaba quieto, R no cambia.

3.2.1. Teorema de conservacin de la cantidad de movimiento.

3.2. Teoremas de conservacin en sistemas de partculas.3.2. Teoremas de conservacin en sistemas de partculas.

0extF F= =r r

La cantidad de movimiento de un sistema de partculas ser:

( )CM CM CMd dP m v m r m r MR MR MVdt dt

= = = = = = r r r rr r r &&Luego la cantidad de movimiento de un sistema de partculas de masa total M es igual que la de una partcula de masa M situada en el centro de masas y que se mueve con ste.

Si derivamos con respecto al tiempo la anterior expresin llegamos a la que vimos en la p-gina anterior.

CM CMdP P MR Ma Fdt

= = = =r r r rr& &&

La cantidad de movimiento de un sistema de partculas se conserva cuando se anula la re-sultante de las fuerzas exteriores que actan sobre el sistema.

De ah se deduce el teorema de conservacin de la cantidad de movimiento para un sistema dede partculas.

Cap 3 - 5

El momento angular de una partcula con respecto al origen de coordenadas es:

3.2.2. Teorema de conservacin del momento angular.

L r P = r rr

momento angular de un sistema de partculas como:

( )* * *CM CM CML r m v R m v L R P

= + = + r r r r rr r r

Sumando para todas las partculas se tiene el momento angular del sistema de partculascomo:

Cap 3 - 6

( )L L r P

= = r r rr Sabiendo que (ver pg 3), quedar el* CMr r R = + rr r

* CML L R P= + r r r r

Donde se ha llamado al momento angular del sistema de partculasrespecto al CdM.A eso se le llama momento angular intrnseco.

( )* * *L r m v

= r r r

As pues, el momento angular de un sistema de partculas es la suma del momento angularintrnseco y del momento angular del centro de masas respecto al origen de coordenadas.

Si el mdulo de dicha expresin lo multiplico y divido por r*: 2 ** ( *) *

*vL m r Ir

= =rr

( )

( )

Se puede demostrar que el cambio temporal del momento angular ( ) del sistema de partculasno viene influenciado por la accin de las fuerzas internas, sino que slo depende del mo-mento total de las fuerzas exteriores, es decir:

Cap 3 -7

En esta expresin tanto M como L se toman respecto al mismo origen de coordenadas O,que obligatoriamente debe ser un sistema de referencia inercial (SdRI) para que se cumpla lasegunda ley de Newton, la cual se aplica en la demostracin (no hecha) de la expresin anterior.

Si estudiamos ahora la derivada temporal del momento angular intrnseco ( ), se puede llegara:

Lr&

( ) dLM M r F L dt = = = = rr r r rr &

Cuando se anula el momento exterior neto sobre un sistema de partculas, el momento an-gular total del sistema permanece constante en el tiempo.

De dicha expresin se deriva el teorema de conservacin del momento angular para un sis-tema de partculas, pues si M = 0 entonces L = cte.

*Lr&

( ) ** * * * dLM M r F L dt = = = = rr r r rr &

Donde es el momento total de las fuerzas exteriores con respecto al CdM.*Mr

( )

( )

Ambas expresiones y son formalmente idnticas, pero en el fondo difieren en unaspecto fundamental. En la primera de ellas, el punto O debe ser de un SdRI, pues solo enese caso se cumple dicha ecuacin. Sin embargo, la segunda (con respecto al CdM) es ciertaindependientemente de si el CdM sea o no inercial. Da igual que el CdM est acelerado o no.

Cap 3 -8

Es decir, el momento neto de las fuerzas exteriores con respecto al CdM es igual al cambiotemporal del momento angular con respecto al CdM.

De aqu se saca un importante resultado para estudiar movimientos de rotacin, pues cuandose estudie los movimientos rotatorios de un sistema de partculas podemos ignorar el movi-miento del CdM y considerarlo como fijo.

( ) ( )

3.2.3. Teorema de conservacin de la energa.

1

NTF F F

== +r r rSi llamamos FT a la fuerza total que acta sobre la partcula .

Se puede demostrar que, segn el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo total que se realizasobre todo el sistema en su conjunto se invierte en modificar la energa cintica de todo elsistema, es decir, la suma total de las energas cinticas de las partculas que lo componen.

F T F I

C CIW F dr E E

= = r r siendo 212CE m v = la energa cinticatotal del sistema.

Cap 3 -9

Si las velocidad de cada partcula v con respecto a nuestro sistema de coordenadas deorigen O las redefinimos en funcin de la velocidad del CdM con respecto a dicho sistemade referencias (vCM) y de las velocidades relativas de cada partcula con respecto al CdM (v*).

* CMv v v = r r r

(similar a lo mostrado en la pgina 3 para r) * CMv v v = +r r r

Entonces tendremos: 2 21 1( *)2 2C CM

E m v Mv

= +La energa cintica total de un sistema de partculas es igual a la suma de la energa cinti-ca de una partcula de masa igual a la total del sistema (M) que se mueve con la velocidaddel CdM (vCM) lo que se llama energa cintica del CdM, ms la energa cintica de to-das las partculas respecto al centro de masas.

Es decir: *CMC C CE E E= +

Si todas las partculas rotasen en torno al CdM, EC* sera la energa cintica rotacional, cuya

expresin se ver en el prximo captulo.21*2C

E I=

Cap 3 -10

Si hicisemos un anlisis de la energa potencial total del sistema, se podra comprobar questa depende de la suma de la energa potencial derivada de la accin de las fuerzas conserva-tivas exteriores ms la suma de las energas potenciales derivadas de la accin de las fuerzasconservativas interiores, las que actan entre las partculas. Es decir:

P P PE E E 0, se tiene un choque parcialmente inelstico.

En las colisiones bidimensionales el coeficiente de restitucin se aplica a las componentesnormales de las velocidades, pero no a las tangenciales.

fBn fAn

iBn iAn

v ve

v v=