momentos de inercia

UNIVERSIDAD LIBRE SEDE EL BOSQUE FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS

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Momentos de Inercia de cuerpos sólidos:


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Observación:

Los momentos de inercia con respecto a ejes paralelos están relacionados por una relación muy simple. Sea un eje paralelo arbitrario que pasa por un punto P, paralelo al eje que pasan por el

centro de un cuerpo representado en la tabla anterior . Si es la separación entre los dos ejes, la siguiente relación, denominada Teorema de Steiner, tiene lugar:

PZ)( CZ d

, (5.18) 2MdII CP +=

donde e son los momentos de inercia del cuerpo con respecto a PI CI Z y , respectivamente, y

CZM es la masa del cuerpo.

CZPZ

P d

Ecuación de la dinámica de rotación La ecuación, la cual es equivalente Simplemente se ha transformado

αrr

IM = . Aquí la suma de los momde inercia I es análogo a la maslineal ar . Para un problema en dos dimensioes decir, sobre una misma línea. Lasegún una línea fija, sólo pueden tpodemos manejar estos vectores al Ejemplos: 1. Un cilindro macizo homogéne

angular constante se coloca rozamiento Cµ .

a. Haga un diagrama de todas las

C M

:

a la segu

r

M =

la segunentos M

r

a , y lm

nes, los s fuerzasener dosgebraica

o, de maen una

fuerzas q

nda ley de Newton en rotación es

αrI . (5.19)

da ley e Newton amF rr⋅= , a términos de rotación

es análoga a las suma de las fuerzas Fr

, el momento a aceleración angular αr es análoga a la aceleración

momentos están dirigidos según el eje fijo de rotación, y los momentos son vectores, pero cuando se dirigen sentidos. Tomando un sentido (+) y el otro como (-), mente y tratar sólo con sus magnitudes.

sa M2 y radio R2 que está girando con rapidez esquina, con cuya paredes tiene un coeficiente de

ue actúan sobre el cilindro,


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R2

M2

b. Determine la aceleración angular con que frena el cilindro. Solución: D.C.L. Cilindro:

2N

1cf

1N Mg2

2cf Puesto que el cilindro no se traslada: : 21 −∑ fNF cX

Evaluando el momento con respecto al ce

1 2: RfM cC ⋅∑ De (1) y (2) y reemplazando 1 Nf cc ⋅= µ

=αRg

,0= ∑

ntro d

2f c+

21 , f c

(⎜⎜⎝

⎛⋅

µµ c

02: 21 =−+ MgNfF cY . (1)

el cilindro, donde :21 2mrI C =

α2)2()2(212 RMR ⋅=⋅ . (2)

2Nc ⋅= µ se encuentra:

( )) .

11

2 ⎟⎟⎠

⎞

++µ c


95

gr

T

2. Determine el momento de inercia del carrete mostrado, respecto al punto de contacto P . El radio interno es r y externo R . La masa M sube con aceleración de magnitud .4g

Q

M2

R

P

Mg

Solución: i. D.C.L. Bloque M : Como tal bloque sube:

.4:// gMaMMgTFM

⋅=⋅=−∑ Es de

T

M

cir,

.45 Mg=
(1)


96

'Tii. D.C.L. Bloque M2 :

Mg2

2://∑ MF Por otro lado, como la aceleración conequivale a la tangencial del carrete en

rg 12=α . Como la aceleración tange

de masa 2M cae con dicha aceleración.

2' MgT −=

iii. Evaluando el momento en el carretLas fuerzas que realizan momentoperpendiculares a las distancias, partiesentido antihorario, es decir apunta hacel de 'T positivo. De este modo: 4: ⋅∑ P TrMReemplazando los valores de T , 'T y α I P Equilibrio: En general, el movimiento de una partíestá en reposo o en M.R.U., su aceleraes cero y se dice que la partícula está een general este presenta un movimi

g

q

n

R

2

e

nia

'−

=

ccn

e

(2) .2' 2⋅=− MaMT

ue sube el bloque de masa M es g/4 y esta aceleración el punto Q donde ,3raQ ⋅=α la aceleración angular es

cial del punto R es 3

412

4g

rr

graR =⋅=⋅=α , el bloque

eemplazando n ecuación (1) se encuentra:

.34

2 MgaM M =⋅ (3)

, con respecto al punto P: son solamenteT y 'T donde ambas fuerzas quedan

do desde el punto P. Como la aceleración angular va en fuera del plano del dibujo, el momento deT es negativo y

. (4) .3 α⋅=⋅ PITr encontramos:

.19 2Mr

ula, es un movimiento de traslación. Cuándo tal partícula ión es cero. Por lo tanto la resultante e todas sus fuerzas equilibrio MECANICO. Para el caso de un cuerpo rígido,

nto de rotación y traslación. Cuándo el cuerpo rígido


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permanece en reposo, o se mueve de manera tal que su velocidad lineal V

ry angularωr son

constantes, tanto su aceleración lineal ar y angular αr son cero. La resultante de todas las fuerzas y de todos sus momentos que obran sobre este cuerpo son cero, y se dice que el cuerpo rígido está en equilibrio MECANICO. Se dice que el equilibrio es estático si el cuerpo está en reposo. La rama de la mecánica que estudia el equilibrio estático de un cuerpo rígido, es decir, cuando este no se mueve, se llama estática de los cuerpos rígidos. De este modo, las ecuaciones que aseguran el equilibrio estático, fuera de la observación que este está en reposo son: ∑ = ,0

rrF (5.20)

∑ = .0

rrM (5.21)

La ecuación (5.20), llamada equilibrio de traslación, asegura que el cuerpo no se traslade linealmente y la ecuación (5.21), denominada equilibrio de rotación, asegura que el cuerpo no se mueva angularmente. Note que estas ecuaciones sólo aseguran que 0

rr =a y 0rr =α . Por lo tanto, si un cuerpo se traslada

uniformemente con velocidad constante y/o rota con velocidad angular constante, (5.20) y (5.21) siguen siendo válidas. En esta sección sólo se estudiará el equilibrio estático. Ejemplos: 1. Para mantener en equilibrio una barra de masa [ ]kgm 5= en la posición mostrada en la figura,

ha de aplicarse una sola fuerza. a. ¿Cuáles son las componentes y de la fuerza aplicada?. XF YF

[ ]mL 3=

b. ¿Dónde deberá aplicarse esta fuerza?.

gr

Solu i. D

º37

ción: T

.C.L. bloque [ ]kgM 10=

[ ]kgM 10=


98

Mg Como tal bloque está en reposo:

∑ =−= 0:0 MgTF , es decir, [ ].100 NMgT == ii. D.C.L. barra:

Fr

XF

A

Xmg

Fr

es la fuerza que se debe aplicar a la barra a la distancmantener el equilibrio. Evaluando las condiciones de equi Equilibrio de traslación: ∑ =− 0)º37sen(: XX FTF ∑ =−− )º37cos(: TmgFF YY

Equilibrio de rotación: )º37cos(2

: ⋅⋅+⋅∑ LTLmgM A

De ecuación (1): [ ],60)º37sen( NTFX == de ecuación

finalmente de ecuación (3), encontramos que 2Lmg

X⋅

=

)º37sen(T

)º37cos(T

YF

ia X del extlibrio, encon

.0

=⋅− XFY

(2), FY =

37cos(

F

T

Y

+

remo izquierdo (punto A) para tramos:

(1)

(2)

0 . (3)

[ ]NTmg 130)º37cos( =+ y

[ ].42,2)º

m= Por lo tanto la


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fuerza que mantiene el equilibrio es: Fr ( ) ( ) [ ]NF 18,14313060 22 =+= , la cual pasa a

del extremo izquierdo de la barra. [ ]m42,2 2. La figura muestra una barra homogénea de masa M la que se encuentra a punto de deslizar hacia abajo. Si en la pared y la barra existe roce, determine el ánguloθ de modo que el extremo inferior de la barra se encuentre a punto de deslizar.

θ

gr D.C.L. (barra): Condiciones de equilibr

Mg

T

N

ef

A

io:

,0: =−∑ TNFX

0: =−∑ MgfF eY

(1)

, (2)


100

∑ =⋅−⋅ .0)cos()sen(2

: θθ LTLMgM A (3)

Como Nf ee µ= , de ecuación (1) TN = y de ecuación (2) ,e

MgNµ

= reemplazando en (3) y al

despejarθ resulta:

( ) .2tgeµ

θ =

EJERCICIOS

1. Un cuerpo rígido de masa total M, consiste de dos discos homogéneos concéntricos que tienen enrolladas dos cuerdas ideales (inextensibles). Se tira de éstas cuerdas como se indica en la figura, con fuerzas de magnitud 3MgF = , de modo que el cuerpo rueda sin resbalar.

a. ¿En que sentido rota el cuerpo?. Justifique. b. Calcule la aceleración del centro del cuerpo.

F gr r

F

c. Calcule el mínimo coeficiente de roce estático para que el cuerpo no deslice. Datos: rRMRI 2,32

0 == . 2. Calcule el momento de inercia del carrete C, si la mas

4g .

R

a
cae con am2 celeración de magnitud


101

3. La figura muestra un carrete de masa M , conectado a dos bloques de masas y m , el

cual sube por un plano inclinado rotando sin deslizar. Si la tensión en la cuerda que conecta a es , encuentre:

m3

m3 [ ]N20a. La aceleración con que baja el bloque de masa , mb. El momento de inercia del carrete respecto a su centro. Considere: [ ] [ ] [ ] [ ]210,5,0,1,2 smgmRkgMkgm ==== .

4. El péndulo doble de la figura está articulado en A, y está compuesto por una varilla de masa

despreciable y dos masas puntuales2m y 3m. Si se corta el hilo C, calcule: a. La aceleración angular en el instante que se corta el hilo,

b b

m2m3 A

b. La fuerza en la articulación A, cuando el péndulo cruza la vertical.

C gr

5. El carrete mostrado en la figupolea fija, de masa despreverticalmente con aceleració

rR 2= , determine: a. La aceleración angular del cab. Su momento de inercia respe

R

º30

ra tiene enrollada una cciable y se conecta an de magnitud [ ]25 sm

rrete, cto su centro.

m r

inta delgada ligera. La un cuerpo de mas. Si la masa del car

gr

M

cinta paa 2 [kgrete es

sa por una ] que baja

[ ]kgm 1= y


102

6. La varilla con la pequeña pestaña de la figura es homogénea y está en equilibrio en la posición

mostrada. Encuentre los valores de las tensiones 321 ,, TTTrrr

si su peso es de . [ ]lb50

7. Con un elevador de horquilla de masa 2800 [kg] cuyo peso pasa por el punto G’ se levanta una

caja de 1500 [kg], cuyo peso pasa por el punto G. Determine las reacciones en cada una de las dos

a. ruedas delanteras A b. ruedas traseras B.

8. Un jardinero utiliza una carretilla de 12 [lb] para transportar una bolsa de fertilizante de 50 [lb]. ¿Qué fuerza deberá ejercer sobre cada manilla?.

9. Una carga de madera de peso w= 25000 [N] va a ser levantada con una grúa móvil. El peso de

la pluma ABC y el peso combinado del carro y del chofer son los indicados en la figura. Determine las reacciones en cada una de las dos


103

a. ruedas delanteras H b. ruedas traseras K

10. Refiérase al dibujo del problema anterior. Una carga de madera de peso w= 25000 [N] va a ser

levantado con una grúa móvil. Sabiendo que la tensión es de 25000 [N] en todas las partes del cable AEF y que el peso de la pluma ABC es de 3000 [N], determine:

a. la tensión en la barra CD, b. la reacción en el perno B. 11. Se usa una grúa montada en un camión para levantar un compresor de 750 [lb]. Los pesos de

la pluma AB y del camión son los indicados y el ángulo que forma la pluma con la horizontal es º40=α . Determine las reacciones en cada una de las dos

a. ruedas traseras C b. ruedas delanteras D.

12. Refiérase al dibujo del problema anterior. Determine el valor mínimo deα necesario para que

el camión no se vuelque al cargar un peso w=3000 [lb].

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