centros de gravedad momentos de inercia - ocw...
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Centros de gravedad
Momentos de inercia
AplicaciónAplicación
Resolución de integrales
Mª Victoria Carbonell
Curso 06/07
Las imágenes de la presentación han sido obtenidas del libro:
Physics for Scientists and EngineersPaul A. Tipler • Gene Mosca
Copyright © 2004 by W. H. Freeman & Company
CENTROS DE GRAVEDAD
LONGITUD
LxdlxL
dlx
L
dlx
dm
dmxx
LMdldm
GG
mkg
∫∫∫
∫∫ ====
==
;
;:;
λλ
λλλ
ÁREAÁREA
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫ ====
==
AxdAxA
dAx
dA
dAx
dm
dmxx
AMdAdm
GG
mkg
;
;:; 2
σσ
σσσ
CENTROS DE GRAVEDAD
VOLUMEN
VxdvxV
dvx
dv
dvx
dm
dmxx
VMdvdm
GG
mkg
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫ ====
==
;
;:; 3
ρ
ρ
ρρρ
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫ = Vydvy G
∫∫∫ = Vzdvz G
MOMENTOS DE INERCIA
0222 )( Idvzyx =++∫∫∫
Respecto: a un punto
∫∫∫ =+ ZIdvyx 022 )(a un eje ∫∫∫ =+ ZIdvyx 0)(a un eje
∫∫∫ = ZYIdvx 02
a un plano
MOMENTOS DE INERCIA
Respecto a los ejes
∫∫∫
∫∫∫=+
=+ X
Idvzx
Idvzy
22
022
)(
)(
∫∫∫
∫∫∫=+
=+
Z
Y
Idvyx
Idvzx
022
022
)(
)(
MOMENTOS DE INERCIA
Respecto a los planos
∫∫∫ = ZYIdvx 02
∫∫∫ = Idvy2∫∫∫ = ZXIdvy 0
2
∫∫∫ = YXIdvz 02
RELACIÓN ENTRE MOMENTOS DE INERCIA
)(2
10000 ZYX IIII ++=
ZYZXYX IIII 0000 ++= ZYZXYX IIII 0000 ++=
ZYX III 000 +=
ZXYXX III 000 +=
OZZYX III 000 +=
RELACIÓN ENTRE MOMENTOS DE INERCIA
OY
OX
OZZYYXY III 000 +=
RELACIÓN ENTRE MOMENTOS DE INERCIA
OY
OX
OZ
Área plana situada en el plano XOY
OY
OX
ZYX III 000 +=
00 =YXI
Área plana situada en el plano XOY
OY
G
O0YX
ZII 00 =OX
GZG II =
O
TEOREMAS DE STEINER respecto a un punto
20 MdII G +=
20 LdII G +=
20 dII G σ+=0 MdII G +=0 dII G σ+=
20 VdII G +=
2222 zyxd ++=
TEOREMAS DE STEINER respecto a un eje
20 MdII GXX +=
20 LdII GXX +=
20 dII GXX σ+=0 MdII GXX +=0 dII GXX σ+=
20 VdII GXX +=
222 zyd +=
TEOREMAS DE STEINER respecto a un punto
20 MdII XGYYX +=
20 LdII XGYYX +=
2dII σ+=0 MdII XGYYX +=0 dII XGYYX σ+=
20 VdII XGYYX +=
22 zd =
MOMENTOS DE INERCIA: longitud
∫ === LdmMdldm λλ ;
� Varilla homogénea de masa M y longitud L
O X
dxx
12
0
2
0 31
MLdmxI L =∫=
22
2
2
121
MLdmxIL
LG=∫= −
2
2
0
121
31
LLI
LLI
G⋅=
⋅=
MOMENTOS DE INERCIA: longitud
� Circunferencia homogénea de masa M y longitud L
dl
G GX
GY
GZ
L
GIMRdmrI ==∫= 2
0
2
2
121
MRIIGYGX
==2
2
21
RLII
IRLI
GYGX
GZG
⋅==
=⋅=
MOMENTOS DE INERCIA: área
AdmMdAdm σσ ∫∫ === ;
� Círculo homogéneo de masa M y radio R
GXG
GY
drdm πσ 2=
2
0
2
2
1MRdmrII
R
GZG === ∫
22
2
2
4
1MRdmrII
R
RGYGX === ∫−
2
2
4
12
1
RAII
RAII
GYGX
GZG
⋅==
⋅==
MOMENTOS DE INERCIA: área (superficie esférica)
MOMENTOS DE INERCIA: área
� Superficie esférica homogénea de área σ y radio R
rdrd
R
πσπσ4
4 2
==
∫∫ ∫∫ === 222 RdRdRIG σσσ
2
3
2RIII GZGYGX σ===
2
3
1RIII YGZXGZXGY σ===
MOMENTOS DE INERCIA: área
� Rectángulo homogéneo de lados a, b y área σ
ab
adyd
==
σσ
GX
GY
a
b
ydy
∫∫ ∫− === 2
2
322
12
1b
b abdyyadyIGX σ
2
12
1bIGX σ=
MOMENTOS DE INERCIA: área
� Rectángulo homogéneo de lados a, b y área σ
bdxd =σGX
GY
a
b
xdx
∫∫ ∫− === 2
2
322
12
1b
b badxxbdxIGY σ
)(12
1 22 baII GZG +== σ
2
12
1aIGY σ=
MOMENTOS DE INERCIA: volumen
� Esfera homogénea de radio R y volumen V
drrdV 24π=
2
0
42
5
34 VRdrrdvrI
R
G === ∫∫∫∫ π
2 2
5
2VRIII GZGYGX ===
2
5
1VRIII YGZXGZXGY ===
MOMENTOS DE INERCIA: volumen
� Cilindro de radio R y altura H
dzrdv 2π=2
0
222
12
12
2VHdzzRdvzI
H
HXGY =∫=∫∫∫= −π
rHdrdv π2=2
0
32
2
12 VRdrrHdvrI R
GZ =∫=∫∫∫= π
22
12
1
2
1VHVRIG +=