modulo nivelatorio

CARRERA DE PILOTO DE PESCA - CARRERA CONDUCTOR DE MAQUINAS NAVALESMODULO NIVELATORIO

ESCUELA NACIONAL DE PESCA “Comandante Luis Piedra Buena”

DEPARTAMENTO ENSEÑANZA

MODULO NIVELATORIO

Consideraciones generales Los aspirantes que no tengan el nivel secundario completo deberán preparar los temas y desarrollar todos los ejercicios de este módulo que deberá entregar el primer día del curso de ingreso, con el objeto de asegurar una preparación adecuada para poder comprender y alcanzar los contenidos que se desarrollan en el módulo de ingreso.

Detalles Ante cualquier duda o consulta relacionada con los contenidos de este modulo dirigirse a [email protected].

Contenidos

MATEMATICA:

CONJUNTOS NUMERICOS: NATURALES, ENTEROS Y RACIONALES. SISTEMAS DE MEDIDAS: SIMELA Y SISTEMA INGLES PROPORCIONES: PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE Y

PORCENTAJE. ECUACIONES: DE PRIMER GRADO SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: METODOS DE RESOLUCION PERIMETRO Y AREA DE FIGURAS SIMPLES. TRIGONOMETRIA

FISICA:

ERRORES Y MEDICIONES: MAGNITUDES Y VECTORES FUERZAS: CONCURRENTES, COLINEALES Y PARALELAS MAQUINAS SIMPLES: MOMENTO DE UNA FUERZA, PALANCA, POLEAS,

APAREJOS Y PLANO INCLINADO. CINEMATICA: DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD, MOVIMIENTO

RECTILINEO UNIFORME, MOVIENTO VARIADO.

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mailto:[email protected]


MATEMÁTICA

CONJUNTOS NUMERICOS

A ) Calcule el M. C. D. de:

1 ) 12, 18 y 24 R: 62 ) 36, 48 y 60 R: 123 ) 28, 42 y 84 R: 144 ) 30, 45 y 60 R: 155 ) 90, 36 y 54 R: 18

B ) Calcule el M. C. M. de:

1 ) 2, 3 y 4 R: 122 ) 5, 6 y 15 R: 303 ) 4, 7 y 14 R: 284 ) 4, 6 y 9 R: 365 ) 5, 8 y 12 R: 120

C ) Calcule:

1 ) 6/4 + 3/8 + 1/2 R: 19/82 ) 2/5 + 4/3 + 3/15 R: 29/153 ) 8/9 – 4/5 R: 4/454 ) 5/3 – 1/2 R: 7/65 ) 4/5 + 1/2 – 7/8 R: 17/406 ) 1/6 – 5/9 + 3/2 R: 10/97 ) 4 + 2/5 R: 22/58 ) 5 – 7/8 R: 33/89 ) 3/4 – 1 R: –1/410 ) 4/5 × 2/3 R: 8/1511 ) –2/3 × 6/7 R: – 4/712 ) 6 × 2/9 R: 4/313 ) 5/8 × 4 R: 5/214 ) 3/8 ÷ 3/4 R: 1/215 ) 4 ÷ 1/3 R: 1216 ) 1/3 ÷ 4 R: 1/1217 ) 3/4 × ( 2/3 + 1/6 ) R: 5/818 ) ( 2/5 – 1/2 ) × 4/7 R: – 2/3519 ) ( 1/3 – 1/6 ) ÷ 1/2 R: 1/320 ) 1/6 ÷ ( 1/3 – 1/2 ) R: –1

D ) Ordene de mayor a menor:

1 ) 2/3 y 3/4 R: 3/4 > 2/32 ) 3/5 y 5/9 R: 3/5 > 5/93 ) 1/2, 4/7 y 3/8 R: 4/7 > 1/2 > 3/8

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E ) Ordene de menor a mayor:

1 ) 4/5 y 7/9 R: 7/9 < 4/52 ) 3/4 y 6/7 R: 3/4 < 6/73 ) 2/5, 4/9 y 3/7 R: 2/5 < 3/7 < 4/9

F ) Transforme a decimal:

1 ) 3/4 R: 0,752 ) 4/5 R: 0,83 ) 3/8 R: 0,3754 ) 2/3 R: 0,65 ) 5/6 R: 0,836 ) 8/5 R: 1,67 ) 21/9 R: 2,3

G ) Transforme a fracción:

1 ) 0,35 R: 7/202 ) 1,4 R: 7/53 ) 2,5 R: 5/24 ) 0,36 R: 4/115 ) 1,45 R: 16/116 ) 0,25 R: 23/907 ) 0,13 R: 2/158 ) 0,38 R: 7/18

H ) Calcule:

1 ) 0,04 + 0,2 R: 0,242 ) 0,31 + 2,2 R: 2,513 ) 6,057 + 4,125 R: 10,1824 ) 0,48 – 0,3 R: 0,185 ) 2,41 – 3,5 R: –1,096 ) – 0,26 + 0,18 R: – 0,087 ) – 3,45 – 8,74 R: –12,198 ) 5,03 + 2,58 – 4,9 R: 2,719 ) 3,6 – 9,05 + 5,71 R: 0,2610 ) 0,03 × 0,4 R: 0,01211 ) – 0,21 × 0,5 R: – 0,10512 ) 2,3 × ( –1,4 ) R: – 3,2213 ) – 0,006 × ( – 0,005 ) R: 0,0000314 ) 0,36 ÷ 0,6 R: 0,615 ) – 0,25 ÷ 0,05 R: – 516 ) 2 ÷ ( – 0,4 ) R: – 517 ) – 0,6 ÷ ( – 3 ) R: 0,218 ) 0,0625 ÷ 0,25 R: 0,2519 ) 0,196 ÷ ( –2,8 ) R: – 0,0720 ) – 25,6 ÷ 0,032 R: – 80021 ) 2,43 ÷ 0,027 R: 90

4


22 ) 0,5 × ( 0,08 + 0,21 ) R: 0,14523 ) ( 0,41 – 0,83 ) × ( – 0,6 ) R: 0,25224 ) ( 0,36 – 0,21 ) ÷ 1,5 R: 0,125 ) – ( 0,02 + 0,1 ) ÷ 0,0006 R: – 20026 ) ( 0,2 + 0,05 ) × ( 0,3 + 0,01 ) R: 0,077527 ) ( 0,3 + 0,01 ) ÷ ( 0,2 + 0,05 ) R: 1,2428 ) ( 1,4 – 2,3 ) × ( – 3,5 + 7,2 ) R: – 3,3329 ) ( 4,1 + 1,4 ) ÷ ( 6,2 – 6,25 ) R: – 11030 ) 0,25 + 1/4 R: 1/2 ( 0,5 )31 ) 0,75 – 1/2 R: 1/4 ( 0,25 )32 ) 0,1 × 1/6 R: 1/6033 ) – 2/5 × 0,8 R: – 8/25 ( – 0,32 )34 ) 2,25 ÷ 1/2 R: 9/2 ( 4,5 )35 ) 3/5 ÷ 0,1 R: 636 ) ( 3/4 + 1/2 ) × 0,5 R: 5/8 ( 0,625 )37 ) ( 0,26 – 0,66 ) × 3/4 R: – 3/10 ( – 0,3 )38 ) ( 0,36 – 0,2 ) ÷ 2/5 R: 2/5 ( 0,4 )39 ) 0,6 × ( 1/6 + 1/4 ) R: 1/4 ( 0,25 )40 ) 0,2 ÷ ( 1/5 – 2/15 ) R: 3

I ) Ordene de mayor a menor:

1 ) 0,03, 0,035 y 0,16 R: 0,16 > 0,035 > 0,032 ) 0,01, – 0,2 y 0,006 R: 0,01 > 0,006 > – 0,23 ) – 0,018, – 0,01 y – 0,009 R: – 0,009 > – 0,01 > – 0,0184 ) – 0,06, – 0,03 y 0,02 R: 0,02 > – 0,03 > – 0,065 ) 0,0508, 0,05082 y 0,05009 R: 0,05082 > 0,0508 > 0,05009

J ) Ordene de menor a mayor:

1 ) 0,06, 0,061 y 0,1 R: 0,06 < 0,061 < 0,12 ) 4,06, – 2,3 y 1,06 R: – 2,3 < 1,06 < 4,063 ) –1,25, – 2,79 y 6,45 R: – 2,79 < –1,25 < 6,454 ) 1,304, 1,3061 y 1,3009 R: 1,3009 < 1,304 < 1,30615 ) – 2,008, – 2,0009 y – 2,0076 R: – 2,008 < – 2,0076 < – 2,0009

SISTEMAS DE MEDIDA

MEDIDAS DE LONGITUD

Para medir distancias largas como una carrera por el parque usamos medidas más grandes que el metro, que se llaman múltiplos. Son éstos:

1 decámetro es igual a 10 metros: 1 dam = 10 m. 1 hectómetro es igual a 100 metros: 1 hm = 100 m. 1 kilómetro es igual a 1000 metros: 1 km = 1000 m. 1 miriámetro es igual a 10000 metros: 1 mam = 10000 m

5


Contesta a estas preguntas en metros:

3 hm =

8 dam =

7 km =

5 mam =

2 dam =

1 hm =

4 km =

6 mam =

3.- Submúltiplos del metro.

Para medir distancias pequeñas como el largo y ancho de una hoja de papel usamos unidades menores que el metro: son los submúltiplos. Son éstos:

1 decímetro es igual a 0,1 metro: 1 dm = 0,1 m. 1 metro tiene 10 decímetros. 1 centímetro es igual a 0,01 metro: 1 cm = 0,01 m. El metro tiene 100 centímetros. 1 milímetro es igual a 0,001 metro: 1 mm = 0,001 m. El metro tiene 1.000 milímetros.

Contesta en metros:

3 cm =

5 dm =

2 mm =

4 dm =

7 mm =

6 cm =

4. Cambio de una unidad a otra.

6


Cada unidad de longitud es 10 veces mayor que la inmediata inferior, y 10 veces menor que la inmediata superior.

Para pasar de hm a dam multiplicaremos o correremos la coma decimal un lugar a la derecha.

Ejemplos: 7 hm = 70 dam = 700 m ; 3 km = 30 hm = 300 dam = 3000 m . 7,35 m =73,5 dm = 735 cm = 7350 mm.

Contesta a estas preguntas en metros:

7,28 km =

8 hm =

6,3 dam =

5,12 mam =

3,2 m =

83 cm =

5. Cambio de una unidad a otra superior.

Para pasar de m a dam dividiremos la cantidad por 10 o correremos la coma un lugar a la izquierda.

Ejemplos: 70 m = 7 dam; 325 m = 32,5 dam = 3,25 hm = 0,325 km = 0,0325 mam. Contesta en metros:

637 cm =

38 mm =

471 m =

1.243 dam =

25 hm =

6. Problemas.

1. Roberto da un paseo en bicicleta y recorre 4,2 km. Cuántos m ha recorrido?

2. Una pieza de tela mide 3 dam y 7 m y se han vendido 2 dam y 3 m. ¿Cuántos dm de tela quedan por vender?

3. ¿Cuántos cm quedan de una tabla que mide 65 dm de largo si se corta un trozo de 257 cm?

4. Una calle mide 450 m de largo, ¿cuántos m se deben añadir para que mida 1 km de largo?

7


5. Un chico quiere recorrer 7 km. Si ha andado 2345 m, ¿cuántos m le faltan para llegar al final?

MEDIDAS DE CAPACIDAD

1. El litro.

Las medidas de capacidad son las que sirven para medir líquidos. La unidad es el litro que es la capacidad de un decímetro cúbico. En el dibujo vemos que el líquido de un recipiente de 1 litro cabe en una caja que tiene un decímetro por cada lado.

El litro se escribe abreviadamente l.

2. Múltiplos del litro.

Son éstos:

1 decalitro es igual a 10 litros: 1 dal = 10 l. 1 hectolitro es igual a 100 litros: 1 hl = 100 l. 1 kilolitro es igual a 1000 litros: 1 kl = 1000 l. 1 mirialitro es igual a 10000 litros: 1 mal = 10000 l.

Contesta a estas preguntas en litros:

7 dal =

6 kl =

4 mal =

2 dal =

9 hl =

3kl =

5 mal =

8


3.- Submúltiplos del litro.

Son éstos:

1 decilitro es igual a 0,1 litro: 1 dl = 0,1 l. 1 litro tiene 10 decilitros. 1 centilitro es igual a 0,01 litro: 1 cl = 0,01 l. El litro tiene 100 centilitros. 1 mililitro es igual a 0,001 litro: 1 ml = 0,001 l. El litro tiene 1.000 mililitros.

Contesta en litros:

4 dl =

1 ml =

3 dl =

6 ml =

5 cl =

3 cl =

4. Cambio de unidad.

Cada unidad de capacidad es 10 veces mayor que la inmediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior.

Para pasar de kl a hl multiplicaremos por 10 o correremos la coma un lugar a la derecha. Ejemplos: 18 kl = 180 hl: 17,35 hl =173,5 dal = 1735 l.

Para pasar un litro a decalitro dividiremos por 10 o correremos la coma un lugar a la izquierda. Ejemplos: 80 l = 8 dal; 1375,2 l = 137,52 dal = 13,752 hl = 1,3752 kl.

Contesta en litros:

7 dal =

8,5 hl =

1,35 kl =

250 dl =

3134 cl =

305 ml =

5. Números complejos e incomplejos.

La capacidad de una olla es 2 l, 7 dl y 5 cl. Este número, formado por distintas unidades se llama número complejo. Ahora bien si sumamos 2 l + (7 dl = 0,7 l ) + 5 cl = 0,05 l ) = 2,75 l. La capacidad de la olla es de 2, 75 litros. Esto es un número incomplejo, porque se expresa en una sola unidad de medida.

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Para convertir un complejo en incomplejo de orden inferior, se escriben de izquierda a derecha, y unas a continuación de otras, las cifras que representan las unidades de los diversos órdenes, comenzando por las de mayor orden. Si faltare algún orden se coloca un cero en el lugar correspondiente.

Ejemplo: 7 kl, 6 dal, 3 l y 2 dl puede escribirse: 70632 dl = 7063,2 l.

Contesta en litros:

4 l, 7 hl y 2 cl =

5 kl, 3 dal y 2 dl =

8 hl, 2 l, 3 dl y 7 cl =

3 dal, 4 l y 7 ml =

8 dl, 7 cl y 4 ml =

6. Conversión de incomplejo ( 75 l ) a complejo ( 7 dal y 5 l ).

Para convertir un incomplejo de capacidad en complejo, basta tener en cuenta que la cifra de las unidades es del mismo orden que el incomplejo, la de las decenas del orden inmediatamente superior, etc. Si hubiera cifras cero, se salta el orden que le corresponda.

Ejemplo: 5203,65 l puede escribirse: 5 kl, 2 hl, 3 l, 6 dl y 5 cl.

Contesta en número complejo:

7,08 l =

304 l =

80,9 hl =

0,65 kl =

602 dl =

MEDIDAS DE PESO (MASA)

1. El gramo.

Un litro de agua pesa 1 kilogramo o 1000 gramos. La unidad de medida de la masa (peso) es el gramo y se escribe g.

2. Múltiplos del gramo.

Son éstos:

10


1 decagramo es igual a 10 gramos: 1 dag = 10 g. 1 hectogramo es igual a 100 gramos: 1 hg = 100 g. 1 kilogramo es igual a 1000 gramos: 1 kg = 1000 g. 1 miriagramo es igual a 10000 gramos: 1 mag = 10000 g. 1 quintal métrico es igual a 100 kilogramos; 1 q = 100 kg. 1 tonelada es igual a 1000 kilogramos; 1 t = 1000 kg.

Contesta a estas preguntas en gramos:

3 hg =

7 kg =

6 dag =

3.- Submúltiplos del gramo.

Son éstos:

1 decigramo es igual a 0,1 gramo: 1 dg = 0,1 g. 1 gramo tiene 10 decigramos. 1 centigramo es igual a 0,01 gramo: 1 cg = 0,01 g. El gramo tiene 100 centigramos. 1 miligramo es igual a 0,001 gramo: 1 mg = 0,001 g. El gramo tiene 1.000 miligramos.

Contesta en gramos:

5 cg =

7 mg =

3 dg=


Cada unidad de masa (peso) es 10 veces mayor que la inmediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior.

Para pasar de hg a dag multiplicaremos por 10 o correremos la coma un lugar a la derecha. Ejemplos: 7 hg = 70 dag; 237,25 g = 2372,5 dg = 23725 cg.

Para pasar de g a dag dividiremos por 10 o correremos la coma decimal un lugar a la izquierda. Ejemplos: 60 g = 6 dag; 1468 g = 146,8 dag = 14,68 hg = 1,468 kg.

Contesta en gramos:

9 dag =

7,3 kg =

11


265 mg =

5. Conversión de complejo a incomplejo.

Para convertir un complejo en incomplejo de orden inferior, se escriben de izquierda a derecha, y unas a continuación de otras, las cifras que representan las unidades de los diversos órdenes, comenzando por las de mayor orden. Si faltare algún orden se coloca un cero en el lugar correspondiente.

Ejemplo: 4 kg, 6 dag y 7 g puede escribirse: 4067 g.

Contesta en litros:

17 hg, 3 g y 7 cg

4 kg, 2 dag y 4 mg =

9 mag, 3 g y 2 cg =

6. Conversión de incomplejo (74 g) a complejo (7 dag y 4 g).

Para convertir un incomplejo de capacidad en complejo, basta tener en cuenta que la cifra de las unidades es del mismo orden que el incomplejo, la de las decenas del orden inmediatamente superior, etc. Si hubiera cifras cero, se salta el orden que le corresponda.

Ejemplo: 10203,045 g = 1 mg, 2 hg, 3 g, 4 cg y 5 mg.

Contesta en número incomplejo:

3,07 g =

403 g =

80,7 g=

7. Problemas.

1. Si un paquete de caramelos pesa 125 g. ¿Cuántos paquetes del mismo peso puedo formar con 5 kg de caramelos?

2. Un señor vende 143 litros de vino de una cuba que contiene 300 litros. Se le derraman de la cuba 7 litros.¿Cuántos litros le quedan?

3. Halla la diferencia en metros de dos caminos, si uno mide 7 km, 5 dam y 3 m de largo y otro 26 hm y 6 m.

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4. Un bombón pesa 8 gramos ¿Cuántos hectogramos pesan 200 bombones?

5. Una tinaja contiene 4 hl de aceite y ha costado 1000 euros. ¿A cómo resulta el litro?

6. Se quiere arreglar un tramo de carretera que mide 30 km. Se han reparado ya 6321 m. ¿Cuántos metros quedan por reparar?

7. Una caja contiene 120 manzanas. Si el peso medio de una manzana es de 75 g. ¿Cuántos kg pesarán todas las manzanas?

8. Un vinatero compra 20 hl de vino. Primero vende 120 litros y el resto lo distribuye en 8 toneles iguales. ¿Cuántos litros ha echado en cada tonel?

9. El depósito de agua está a 3 km y 6 hm del pueblo. ¿Cuantos tubos de medio decímetro de largo se necesitan para traer el agua al pueblo?

10. Un barco transporta 2800 toneladas de mercancía. ¿Cuántos vagones harán falta para transportar esa mercancía si cada vagón carga 1400 kg?

MEDIDAS DE SUPERFICIE

1. El metro cuadrado.

El metro cuadrado es el área de un cuadrado que tiene un metro de lado. Se escribe así: m2.

2. Múltiplos del metro cuadrado.

Son éstos:

1 decámetro cuadrado es igual a 100 metros cuadrados: 1 dam2 = 100 m2 . 1 hectómetro cuadrado es igual a 100 00 metros cuadrados: 1 hm2 = 100 00 m2.1 kilómetro cuadrado es igual a 100 00 00 metros cuadrados: 1 km2 = 100 00 00 m2.1 miriámetro cuadrado es igual a 100 00 00 00 mts cuadrados: 1 mam2 = 100 00 00 00 m2.Se usan medidas agrarias para medir campos. Sus unidades son: 1 hectárea es igual al hm2: ha = hm2 = 100 00 m2. 1 área es igual al dam2: a = dam2 = 100 m2. 1 centiárea igual al m2: ca = m2 = 1 m2.

Las unidades de superficie aumentan y disminuyen de 100 en 100. La unidad superior vale 100 más que la inferior.

Contesta a estas preguntas en m2:

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2 dam2 =

7 km2 =

6 hm2 =

3.- Submúltiplos del metro cuadrado.

Son éstos:

1 decímetro cuadrado es igual a 0,01 metro cuadrado: 1 dm2 = 0,01 m2. 1 m2 tiene 100 dm2. 1 centímetro cuadrado es igual a 0,0001 metro cuadrado: 1 cm2 = 0,00 01 m2. El m2 tiene 100 00 cm2. 1 milímetro cuadrado es igual a 0,000001 metro cuadrado: 1 mm2 = 0,00 00 01 m2. El m2 tiene 100 00 00 m2.

Las unidades de superficie aumentan y disminuyen de 100 en 100. La unidad inferior vale 100 menos que la superior.

Contesta en metros cuadrados:

6 cm2 =

2 mm2 =

5 dm2 =


Cada unidad de superficie es 100 veces mayor que la inmediata inferior y 100 veces menor que la inmediata superior.

Para pasar de dam2 a m2 multiplicaremos por 100 o correremos la coma dos lugares a la derecha. Ejemplos: 7 dam2 = 700 m2; 73,25 7 hm2 = 73 25,7 dam2 = 73 25 70 m2.

Para pasar de m2 a dm2 dividiremos por 100 o correremos la coma decimal dos lugares a la izquierda. Ejemplos: 3 m2 = 0,03 dam2; 14 68 m2 = 14,68 dam2 = 0,14 68 hm2 = 0,00 14 68 km2.

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Contesta en m2:

8 dam2 =

6,3 km2 =

235 cm2 =


Para convertir un complejo de superficie en incomplejo de orden inferior, se escriben las cifras de los órdenes sucesivos, reservando dos lugares para cada orden y colocando ceros en los huecos que resulten.

Ejemplo: 5 hm2, 18 dam2 y 25 m2 puede escribirse: 5 18 25 m2

Contesta en metros cuadrados:

3 ha, 7 a y 2 ca =

8 km2, 17 dam2, y 3 dm2 =

41 hm2, 25 m2 y 7 cm2 =

6. Conversión de incomplejo ( 1 25 m2 ) a complejo ( 1 dam2 y 25 m2 ).

Para convertir incomplejos de superficie en complejos, se separan las cifras de dos en dos, a partir de la coma a uno y otro lado de ella, poniéndoles las denominaciones correspondientes a sus órdenes.

Por ejemplo, si el área de un campo es 6026,218 m2, o completando los órdenes 60 26,21 80 m2, puede escribirse: 60 dam2, 26 m2, 21 dm2 y 80 cm2.

Ejemplos:30 00,02 m2 = 30 dam2 y 2 dm273 00 00,00 00 31 m2 = 73 hm2 y 31 mm2.5,7 mam2 = 5 mam2 y 70 km2.

7. Problemas.

1. Si el m2 de terreno vale 2 euros, ¿cuántos euros vale comprar un campo de 7 ha ?

2. Una provincia tiene 14725 km2. ¿Cuántas áreas son?

3. Un campo de 12350 m2 se divide en cuatro partes

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iguales. ¿Cuántos dam2 mide cada parte?

4. El suelo de una habitación mide 15,598 m2 y contiene 55 baldosas. ¿Cuántos cm2 mide cada baldosa?

5. Un patio tiene 25 filas de baldosas con 37 baldosas cada una. El patio mide 1 dam2, 66 m2 y 50 dm2. ¿Cuántos dm2 mide cada baldosa?

6. ¿Cuántas personas caben de pie en un patio de 3 dam2 y 60 m2 si cada persona ocupa una superficie de 20 dm2 ?

7. De una finca de 125 ha se han vendido 2/5 a 0,33 euros el m2 y el resto a 30,1 euros el dam2. ¿Cuántos euros ha obtenido por la venta?

8. Un día de lluvia han caído 82 litros de agua en un metro cuadrado. ¿Cuántos hectolitros de agua han caído en un campo de 25 ha y 87 a ?

9. La superficie de la Tierra es de 5101000 mam2 y 3/4 están ocupados por los océanos. ¿Cuántos km2 ocupan los continentes?

10. La isla mayor de la Tierra es Groenlandia y mide 2180000 km2 y una de las más pequeñas es Cabrera, con 2000 ha. ¿Cuántas veces cabe Cabrera en Groenlandia?

MEDIDAS DE VOLUMEN

1. El metro cúbico.

El metro cúbico es el volumen de un cubo que tiene un metro de lado. Se escribe así: m3.

2. Múltiplos del metro cúbico.

Son éstos:

1 decámetro cúbico es igual a 1 000 metros cúbico: 1 dam3 = 1 000 m3 . 1 hectómetro cúbico es igual a 1 000 000 metros cúbico: 1 hm3 = 1 000 000 m3. 1 kilómetro cúbico es igual a 1 000 000 000 metros cúbico: 1 km3 = 1 000 000 000 m3. 1 miriámetro cúbico es igual a 1 000 000 000 000 metros cúbico: 1 mam3 = 1 000 000 000 000 m3.

Las unidades de volumen aumentan y disminuyen de 1000 en 1000. La unidad superior vale 1000 más que la inferior.

Contesta a estas preguntas en m3:

16


3 km3 =

7 dam3 =

8 hm3 =

3.- Submúltiplos del metro cúbico.

El dibujo representa un cubo que tiene 1 dm por cada lado. Su volumen es la unidad llamada decímetro cúbico ( dm3 ). Se puede dividir en 10 capas de 100 cm3 cada una. Luego 1 dm3 = 1000 cm3. Cada cm3 se puede dividir en 1000 partes o mm3.

Los submúltiplos son éstos:

1 decímetro cúbico es igual a 0,001 metro cúbico: 1 dm3 = 0,001 m3. 1 m3 tiene 1 000 dm3. 1 centímetro cúbico es igual a 0,000 001 metro cúbico: 1 cm3 = 0,000 001 m3. El m3 tiene 1 000 000 cm3. 1 milímetro cúbico = 0,000 000 001 metro cúbico: 1 mm3 = 0,000 000 001 m3. El m3 tiene 1 000 000 000 m3.

Las unidades de volumen aumentan y disminuyen de 1000 en 1000. La unidad inferior vale 1000 menos que la superior.

Contesta en metros cúbicos:

7 dm3 =

3 137 cm3 =

8 385 dm3 =


Cada unidad de volumen es 1000 veces mayor que la inmediata inferior y 1000 veces menor que la inmediata superior.

Para pasar de dam3 a m3 multiplicaremos por 1000 o correremos la coma tres lugares a la derecha. Ejemplos: 5 dam3 = 5000 m3; 25,324 hm3 = 25 324 dam3 = 25 324 000 m3.

Para pasar de m3 a dam3 dividiremos por 1000 o correremos la coma decimal tres lugares a la izquierda. Ejemplos: 2 m3 = 0,002 dam3; 1 468 m3 = 1,468 dam3 = 0,001 468 hm3 = 0,000 001 468 km3.

Contesta en m3:

7,32 dam3 =

17


18,457 hm3 =

0,0073 km3=


Para convertir un complejo de volumen en incomplejo del orden inferior, se escriben las cifras de los órdenes sucesivos, reservando tres lugares para cada orden y poniendo ceros en los huecos que resulten.

Ejemplo: 3 mam3, 735 hm3 y 5 cm3 puede escribirse: 3 000 735 000 000, 000 005 m3

Contesta en metros cúbicos:

3 km3, 741 dam3 y 31 m3 =

83 hm3 y 798 dm3 =

7 dam3, 8 dm3 y 3 cm2 =

6. Conversión de incomplejo ( 12 500 m3 ) a complejo ( 12 dam3 y 500 m3 ).

Para convertir incomplejos de volumen en complejos, se separan las cifras de tres en tres, a partir de la coma, y se les pone las denominaciones correspondientes a sus órdenes. La cifra de las unidades es del mismo orden que el incompleto.

Por ejemplo, 4 023 715,67 cm3, puede escribirse: 4 m3, 23 dm3, 715 cm3 y 670 mm3.

Ejemplos: 32 000 026 m3 = 32 hm3 y 26 m3

17,028 m3 = 17 m3 y 28 dm3. 5,6 mam3 = 5 mam3 y 600 km3.

7. Problemas.

Para hallar el volumen de un cubo se multiplica el largo por el ancho por el alto.

1. Un cubo tiene 4,5 cm de arista. ¿Cuántos cm3 tiene de volumen?

2. Un dado tiene 2 cm de arista. ¿Cuál es su volumen en cm3 ? 3. Los trozos cúbicos de jabón de 5 cm de arista se envían en cajas cúbicas de 60 cm de arista. ¿Cuántos trozos puede contener la caja?

4. En una caja de 0,696 dam3, ¿cuántos cubos de 12 m3 caben? 5. En una cuba hay 1,23 m3 de vino. ¿Cuántas botellas de 0,75 litros podremos llenar? ( 1 litro = 1 dm3)

18


6. Una tinaja que contiene 0,4 m3 de aceite ha costado 800 euros ¿a cuántos euros resulta el litro?

7. Un vinatero compra 3 m3 de vino .Primero vende 128 litros y el resto lo distribuye en 8 toneles iguales. ¿Cuántos dm3 ha echado en cada tonel?

8. Un barco transporta 75 dam3 de vino y se quiere envasar en cubas de 1,2 m3. ¿Cuantas cubas se necesitarán?

9. Una caja mide 3,5 m por cada lado. ¿Cuántos litros de agua caben?

10. Un caramelo tiene un volumen de 1,3 cm3. ¿Cuántos caramelos caben en una caja de 0,4498 dm3 ?

VOLUMEN, MASA Y CAPACIDAD

Si un recipiente con agua destilada de 1 l de capacidad (que ocupa 1 dm3) lo pesamos en una balanza, ésta se equilibraría exactamente con una pesa de 1 kg.

1 kilogramo es la masa que tiene 1 dm3 de agua destilada.

Si un recipiente con agua destilada de 1 ml de capacidad (que ocupa 1 cm3) lo pesamos en una balanza, ésta se equilibraría exactamente con una pesa de 1 g.

1 gramo es la masa que tiene 1 cm3 de agua destilada.

La siguiente tabla muestra las equivalencias entre las unidades de volumen, masa y capacidad para el agua destilada.

Unidades de volumen m3 dm3 cm3

Unidades de capacidad kl hl dal l dl cl ml

Unidades de masa t q mag kg hg dag g

1 l = 1 dm3 = 1 kgHay líquidos más pesados que el agua destilada, como el mercurio, y más ligeros, como el aceite. Así, un litro de mercurio pesa 13,6 kg, y un litro de aceite, 0,92 kg. Decimos que su densidad es 13,6 kg/dm3 y 0,92 kg/dm3, respectivamente.PASAJE DE UN SISTEMA A OTRO LONGITUD

Pulg (in) cm mm1 2,54 25,4

Pasar 2 cm a todas las unidades.

A pulgada

19


2,54 cm ----------------1 pulg. 2 cm ---------------- X

X= (2 cm x 1 pulg)/2,54 cm = 0.7874 pulg

Pasar los valores que están en negrita a las diferentes unidades.

pulg cm mm1

0,31756,35

0,95252

5,715127

MASA

lbm gr kg ton1 454 0,454 0,000454

Pasar 7,3 ton a las diferentes unidades de masa.

En libra masa

0,000454 ton ------------------------- 1lbm 7,3 ton ------------------------- X

X = (7,3 ton x 1 lbm)/ 0,0000454 ton = 16079,295 lbm.

A gramos

0,0000454 ton ------------------------ 454 gr 7,3 ton ------------------------ X

X = (7,3 ton x 454 gr)/ 0,000454 ton = 7300000 lbm


lbm gr kg Ton5

13620,908

0,000454227

0,04

20


CAPACIDAD

Para pasar de galones a litros.

gal L1 3,7853

Pasar 79000 cm3 a galones

1er. Paso es pasar a litros

1000000 cm3 ---------------------- 1000 L 79000 cm3 ----------------------- X

X = (79000 cm3 x 1000 L)/ 1000000 cm3 = 79 L

2do. Finalmente a galones

3,7853 L ------------------- 1gal 79 L ------------------- X

X = (79 L x 1gal)/ 3,7853 L = 20,87 gal


gal L m3 dm3 cm3

80001514,12

0,567795264,971

567800,0302824 30282

PRESIÓN

atm mmHg mbar bar Pa kPa mca lb/in2 (psi) kg/cm2

1 760 1013,25 1,01325 101325 101,325 10,33 14,7 1,033

Pasar 7,95 bar a:

Milímetros de mercurio

1,01325 bar ------------------ 760 mmHg 7,95 bar ------------------ X

X = 5962,99 mmHg

21


Metros de agua

1,01325 bar -------------------- 10,33 mca 7,95 bar -------------------- X

X = 81,05 mca

En Psi

1,01325 bar ---------------------- 14,7 psi 7,95 bar ---------------------- X

X = 115,77 psi


atm mmHg mbar bar Pa kPa mcalb/in2

(psi)kg/cm2

30091200

40 4053015,19875

30397550,6625

3,0991,47

PROPORCIONES

1. RAZONES Y PROPORCIONES

Razón entre dos números

Razón entre dos números a y b es el cociente

Por ejemplo la razón entre 10 y 2 es 5, ya que

Y la razón entre los números 0.15 y 0.3 es

Proporción numérica Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre cy d.

22


Es decir Se lee “a es a b como c es a d” Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.

Es decir

En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios.La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.

Así en la proporción anterior se cumple que el producto de los extremos nos da 2x20=40 y el producto de los medios nos da 5x8=40

EN GENERAL

2. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales. Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla:

Magnitud 1ª a b c d ...Magnitud 2ª a’ b’ c’ d’ ...

son directamente proporcionales si se cumple que:

Ejemplo Un saco de papas pesa 20 Kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?Un cargamento de papas pesa 520 Kg. ¿Cuántos sacos se podrán hacer? Número de sacos

1 2 3 ... 26 ...

Peso en kg 20 40 60 ... 520 ... Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20

23


Observa que Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.

3. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Ejemplo 1

En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar

contendrán 5200 gramos de sal?

Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales. Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla:

Litros de agua 50 xGramos de sal 1300 5200

Se verifica la proporción: Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos, resulta:50.5200=1300.x

Es decir En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa.

Ejemplo 2 Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 Km. Si quedan en el depósito 6 litros,

¿cuántos kilómetros podrá recorrer el coche?

Luego con 6 litros el coche recorrerá 120 Km.

24


4. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple...cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales. Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla:Magnitud 1ª a b c ...Magnitud 2ª a’ b’ c’ ...

son inversamente proporcionales si se verifica que:

a.a’ = b.b’ = c.c’ = ...

Ejemplo Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18

hombres para realizar el mismo trabajo?

En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto las magnitudes son inversamente proporcionales. Formamos la tabla: Hombres 3 6 9 ... 18Días 24 12 8 ... ? Vemos que los productos 3.24=6.12=9.8=72Por tanto 18.x=72O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo

5. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Ejemplo 1 Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos

días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?

Vemos que con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto son magnitudes inversamente proporcionales. x= número de días para el que tendrán comida las 450 vacas

Nº de vacas 220 450Nº de días 45 x

25


Se cumple que: 220.45=450.x, de donde En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Luego 450 vacas podrán comer 22 días Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple inversa.

Ejemplo 2 Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad

cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál

deberá ser la capacidad de esos toneles?

Pues la cantidad de vino=8.200=32.x Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de vino.

PARA RESOLVER:

Calcular el término desconocido de las siguientes proporciones:

26


A-Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?

B-Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días?

C-Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.

D-11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

E-Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

F-De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?

G-Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?H-Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

I-Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

J-Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta.

K- Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.

L-¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280 €, para perder el 12% sobre el precio de venta?

M-Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €

ECUACIONES

Ecuación es toda función algebraica igualada a 0 ó a otra igualdad algebraica. A la primera parte de la igualdad se la llama 1er término y a la segunda se la llama 2° término. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo resultado.

Hay distintos tipos de igualdades:

27


Una igualdad numérica: 2+5=4+3

Una igualdad algebraica: 2x+3x=6x

Una función: 3x+2=y

Una función es una expresión algebraica igualada a y.

Resolución de ecuacionesPara resolver una ecuación, hallaremos el valor de la incógnita, siendo la incógnita el

número desconocido, expresado normalmente por x.

Pasos para resolver una ecuación:

1°- Se quitan los paréntesis si los hubiere.

2°- Se quitan los denominadores si los hubiere.

3°- Se pasan todas las incógnitas al 1er miembro de la igualdad.

4°- Se reducen los términos semejantes.

5°- Hallamos el valor de la incógnita.

Ej: 5x-7=28+4x ; 5x-4x=28+7 ; x = 35

Ecuaciones con denominadores:

Quitamos los denominadores por el m.c.m. para ello:

1°- Hallamos el m.c.m. de los denominadores.

2°-Ese es el denominador común y lo sustituimos por los denominadores anteriores.

3°- Se divide el m.c.m. entre el denominador antiguo y se multiplica por el denominador.

Ej: x/2 - 4 = x/3 - 3 ; m.c.m.(2 y 3)=6 ; 3x-24 = 2x-18 ; 3x-2x = -18+24 ; x = 6

Resolver las ecuaciones de primer grado

1

2

3

4

5

6

7

8

28


9

10

11

SISTEMAS DE ECUACIONES

Si una expresión algebraica la igualamos a otra expresión algebraica y nos encontramos con dos incógnitas necesitamos otra igualdad de expresiones algebraicas para poderla resolver.

Una expresión algebraica con dos incógnitas es lo que llamamos sistema de ecuaciones.

Todo sistema de ecuaciones necesita tantas ecuaciones como incógnitas tenga.

Sistema de ecuaciones con dos incógnitas:

Para resolver un sistema de ecuaciones podemos utilizar cuatro métodos:

1) Método de reducción por suma o resta (o de eliminación).

2) Método de igualación.

3) Método de sustitución.

- Método de reducción por suma o resta (o de eliminación).

Ejemplo:

6.x - 7.y = 5

8.x - 9.y = 7

1er Paso: Multiplicamos las 2 ecuaciones por un "número" (resultado del m.c.m. entre ellos), para igualar el valor numérico de los coeficientes de la incógnita "x" en las 2 ecuaciones.

2do Paso: Restamos las 2 ecuaciones para eliminar las incógnitas "x" luego resolvemos la ecuación.

29


3er Paso: Reemplazamos la incógnita "y", en cualquiera de las 2 ecuaciones para obtener el valor de la incógnita "x" o bien se calcula está incógnita repitiendo los pasos anteriores.

6 x - 7 y = 5

6 x - 7 . (1) = 5

6 x - 7 = 5

6 x = 5 + 7

6 x = 12

x = 2

Por último; el conjunto solución es: (2 ; 1)

Ejercicios de aplicación.

2.x - 4.y = -7x + 8.y = -1

R: [-3; 1/4] 3.x - 5.y = 192.x + y = 4

R: [3; -2]

5.x + 4.y = 23.x - 2.y = -12

R: [-2; 3] -9.x - 12.y = 1430.x + 6.y = -58

R: [-2; 1/3]

2.x - 5.y/3 = 53.x - 4.y = 3

R: [5; 3] 2.x - 2.y = -54.x - 3.y = -9

R: [-3/2; 1]

x + y = 7x - y = -1

R: [3; 4] x - y/5 = 9/52.x + y/2 = 9/2

R: [2; 1]

-2.x - 4.y = 18x + 5.y = -36

R: [9; -9] 2.x/3 - 5.y = -55/33.x - y/2 = -33/2

R: [-5; 3]

3.x - 3.y = -149.x + 4.y = 23

R: [1/3; 5] 2.x - 5.y = -9x + 4.y = 8,5

R: [1/2; 2]

x - 5.y = -14,5 R: [1/2; 3] 5.x - 6.y = 34 R: [2; -4]

30


2.x + 3.y = 10 11.x + 9.y = -14

- Método de igualación.

Ejemplo:

x + 3.y = 10

2.x + 5.y/4 = 1

1er Paso: Se despeja la incógnita "x" de cada una de las ecuaciones dadas.

2do Paso: Igualamos las incógnitas "x" luego resolvemos la ecuación.

3er Paso: Reemplazamos la incógnita "y", en cualquiera de las 2 ecuaciones despejadas para obtener el valor de la incógnita "x".

Por último; el conjunto solución es: (- 2 ; 4).


31


5.x - y = 92.x + 4.y = 8

R: [2; 1] 5.x - y = 1/22.x + 3.y = -10

R: [-1/2; -3]

2.x - 4.y = -7x + 8.y = -1

R: [-3; 1/4] -3.x + 15.y = 593.x + 4.y = 17

R: [1/3; 4]

-3.x - 4.y = 5-x - 2.y = 2

R: [-1; -1/2] 3.x - 5.y = 192.x + y = 4

R: [3; -2]

x/5 - y/2 = 1,32.x - y = 1

R: [-1; -3] 3.x - y = -1/24.x/5 + 3.y = 6,4

R: [1/2; 2]

2.x - y/2 = -9,53.x/5 + y = -4

R: [-5; -1] x/3 - y = -3-4.x - y/2 = 11

R: [-3; 2]

3.x + 2.y = -102.x - 10.y = -1

R: [-3; -1/2] 3.x - 2.y = 5-3.x + 4.y = -9

R: [1/3; -2]

- Método de sustitución

Ejemplo:

x + 2.y = 9

3.x - y = 13

1er Paso: Se despeja la incógnita "x" de una de las ecuaciones dadas.

x + 2 y = 9

x = 9 - 2 y

2do Paso: Reemplazamos la incógnita "x", en la otra ecuación dada; para obtener el valor de la incógnita "y".

32


3er Paso: Reemplazamos la incógnita "y", en la 1ra expresión obtenida; para obtener el valor de la incógnita "x".

x = 9 - 2 y

x = 9 - 2 . (2)

x = 9 - 4

x = 5

Por último; el conjunto solución es: (5 ; 2).


2.x - 3.y = 53.x - 2.y = 5

R: [1; -1] x/5 - 2.y = 103.x - 3.y/2 = 36

R: [10; -4]

2.x + y = 31,5.x - 2.y = 5

R: [2; -1] x + 8.y = 33.x - y = -28,5

R: [-9; 3/2]

2.x - 5.y/3 = 53.x - 4.y = 3

R: [5; 3] 2.x - 4.y = 53.x + y = 5,75

R: [2; -1/4]

5.x + 6.y = 323.x - 2.y = -20

R: [-2; 7] x + 2.y = -123.x - y = -1

R: [-2; -5]

6.x + 3.y = 3,55.x - 2.y = 2/3

R: [1/3; 1/2] 3.x/2 + y = 82,5.x - 3.y/2 = 7

R: [4; 2]

5.x - 6.y = -93.x + 4.y = -13

R: [-3; -1] 4.x - 3.y = -416.x + 11.y = 47

R: [-5; 7

33


PERIMETRO Y AREA DE FIGURAS

Cuadrado

Perímetro:

Área:

Elementos:

a: lado.

1. Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de lado 3 cm.

2. El área de un cuadrado es 5,76 cm2. Calcula su perímetro.

Rectángulo

Perímetro:

Área:

Elementos:

b: base.

a: altura.

La base de un rectángulo es 5 m. y la altura la mitad de la base. Calcula el área y el perímetro.

34

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Imagen:Cuadrado.png

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Imagen:Rectangulo.png


Paralelogramo

Perímetro:

Área:

Elementos:

b: base.

a: altura.

c: lado

Nota:

El perímetro y el área

son iguales que en el

rectángulo.

La base de un paralelogramo es 5 cm, y su altura es 2,8 cm. ¿Cual es el área y el perímetro del paralelogramo?

Rombo

Perímetro:

Área:

Elementos:

a: lado.

D: diagonal mayor.

d: diagonal menor.

Nota:

Un rombo es un

paralelogramo con los

cuatro lados iguales.

1-La diagonal mayor de un rombo mide 5m, y la menor es la mitad. Calcula el área y el perímetro del rombo.

2-Calcula el área de un cuadrado de 4 m. de diagonal.

a) Utilizando el teorema de Pitágoras para determinar el lado.

b) Utilizando la fórmula del área del rombo.

35

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Imagen:Paralelogramo.png

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Imagen:Rombo.png


Triángulo

Perímetro:

Área:

Elementos:

b: base.

a: altura.

c, d: lados.

Nota:

Un triángulo es la

mitad de un

paralelogramo.

La base de un triángulo isósceles mide 5 cm. y los lados iguales miden 3,7 cm. Halla su área y su perímetro.

Trapecio

Perímetro:

Área:

Elementos:

B: base mayor.

b: base menor.

a: altura.

c, d: lados.

1. Halla el área y el perímetro de un trapecio de base mayor 5 cm., base menor 1,5 cm. y altura 2 cm.

2. Halla el área y el perímetro de un trapecio rectángulo de base mayor 4,5 cm., base menor 3 cm. y altura 1,2 cm.

3. Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles de base mayor 4 cm., base menor 2,4 cm. y lado L=2 cm.

36

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Imagen:Triangulo.png

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Imagen:Trapecio.png


Polígonos regulares

Perímetro:

Área:

Elementos:

b: lado.

a: apotema.

Nota:

n: número de lados.

1. Halla la apotema de un octógono regular de 1,61 cm. de lado y 2,11 cm. de radio. Halla también

su perímetro y su área.

2. Halla el área de un hexágono regular de 2 cm de lado. (Observa como son el radio y el lado en

un hexágono regular)

Círculo

Perímetro:

Área:

Elementos:

r: radio.

Nota:

: número Pi =

3,14159...

El perímetro es la longitud

de la circunferencia.

En un círculo de radio 1,71 cm, halla su área y la longitud de su circunferencia.

ANGULOS Y TRIGONOMETRIA

37

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Imagen:Poligono.png

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Imagen:Circulo.png


Unidades angulares

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más

utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más

utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló

como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en

construcción.

Radián : unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una

circunferencia completa hay 2π radianes.

Grado sexagesimal : unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.

Grado centesimal : unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados

centesimales.

Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno,

coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la

circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el

cateto opuesto sobre la hipotenusa,

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

38

http://es.wikipedia.org/wiki/Coseno

http://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusa

http://es.wikipedia.org/wiki/Cateto

http://es.wikipedia.org/wiki/Seno_(trigonometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n_geom%C3%A9trica

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_centesimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_sexagesimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_decimal

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Trigono_b00.svg


La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto

adyacente,

Razones trigonométricas recíprocas

Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones

recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso

multiplicativo:

La Secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso

multiplicativo:

La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su

inverso multiplicativo:

Funciones trigonométricas inversas

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es

el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad

expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:

y es igual al seno de x, la función inversa:

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

si:

y es igual al coseno de x, la función inversa:

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

si:

39

http://es.wikipedia.org/wiki/Arcocoseno

http://es.wikipedia.org/wiki/Arcoseno

http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Radianes

http://es.wikipedia.org/wiki/Cotangente

http://es.wikipedia.org/wiki/Secante_(Trigonometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Cosecante

http://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometr%C3%ADa)


y es igual al tangente de x, la función inversa:

x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.

Valor de las funciones trigonométricas

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

Circunferencia en radianes. Circunferencia en Grado sexagesimal.

RadianesGrados sexag.

seno coseno tangente cosecante secante cotangente

40






http://es.wikipedia.org/wiki/Arcotangente

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Radi%C3%A1nCircunferencia.svg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:SexaCircunferencia.svg


EJERCICIOS

1) ¿Qué ángulo describe el minutero del reloj?

a) 30 minutos.

b) 1 hora 10 minutos.

c) 3 horas.

d) 24 horas.

2) A qué cuadrante pertenece un ángulo de:

a) 500°

b) 1000°

c) 786°

d) -120°

3) A qué cuadrante pertenece la mitad de un ángulo de:

a) 450°

b) 800°

c) 650°

d) -200°

e) -500°

4) Expresar en radianes los siguientes ángulos:

a) 90°

b) 45°

c) 30°

d) 75°

e) 120°

f) 150°

g) 2 giros

h) 300°

5) Pasar al sistema sexagesimal los siguientes ángulos:

a) π

b) π /2

c) π /4

d) π /12

41


e) 3.π /4

f) 7.π /36

6) Aplicar a los siguientes ángulos todas las funciones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante:

a) 112° 40´

b) 205° 15´ 40"

c) 110° 49´ 20"

7) Resolver los siguientes triángulos rectángulos:

a - a = 27,6 mα = 40° 57´ 24"

c - b = 75 cmα = 30° 19´ 47"

b - a = 33,40 mc = 42,18 m

d - b = 4,20 cmc = 17,15 cm

FISICA

MAGNITUDES y ERRORES

1- La densidad del agua es igual a:

a) 1 Kg/ cm³

b) 1 Kg/ litro

c) 1 g/ cm³

d) 1 g/ dm³

e) 1 libra/ litro

Solución Se sabe ( se debe saber) que la densidad del agua vale d AGUA = 1 g/ dm³ y como 1 g= 10 –3 Kg y cm³ = 10-3 dm³ = 10 -3 litros

será

42


10-3 Kg

10-3 litros

por lo tanto la respuesta correcta es la b)

2- Una magnitud vectorial está perfectamente determinada cuando se conocen:

a) Su dirección y sentido

b) Su valor numérico y unidad de medida.

c) Su punto de aplicación, dirección y módulo o intensidad.

d) Su recta de acción, sentido, módulo y punto de aplicación.

e) Los elementos dados en a) y b)

Solución

Una magnitud vectorial está perfectamente determinada por un vector, el cual

consta de tres elementos: dirección, sentido e intensidad. La dirección y el sentido

están dados en el punto a y la intensidad queda determinada por un valor

numérico y unidad de medida, que están dadas en el punto b. Por lo tanto la

respuesta correcta es la e).

FUERZAS

3- Sobre un cuerpo actúan tres fuerzas colineales en dirección horizontal. La

fuerzas

F1= 5 Kg. y F2= 39,2 N hacia la derecha, y la fuerza F3 = 8.000.000 dinas hacia

la izquierda. La resultante del sistema es:

a) 0 N

b) 148,2 N hacia la derecha

c) 148,2 N hacia la izquierda

d) 28,2 N hacia la derecha

e) 28,2 N hacia la izquierda

Solución

La fuerzas F1 y F2 se suman, pues ambas tienen el mismo sentido hacia la

derecha

F1 + F2 = 5 Kg. + 39,2 N = 49N + 39,2 N = 88,2 N hacia la derecha puesto que

43

= 1 Kg/ litrod AGUA =


1 Kg. 9,8 N

La fuerza F3 se expresa en Newton teniendo en cuenta que

Así, pues F3 = 6.000.000 dinas ≡ 60 N hacia la

derecha.

Por lo tanto, la resultante del sistema es

R= (F1 + F2) – F3 = 88,2 N – 60 N = 28,2 N hacia la derecha y la opción correcta es

la d)

4- La Resultante de un sistema de dos fuerzas no nulas, no paralelas y

concurrentes a un punto, cuyas direcciones forman un ángulo agudo entre sí,

da por resultado:

a) Una fuerza cuyo módulo es la suma de los módulos de cada una.

b) Una fuerza cuyo módulo es la resta de los módulos de cada una.

c) Una fuerza cuyo módulo es cero.

d) Ninguna de las anteriores es válida.

e) a, b y c son válidas.

Solución

La única manera de que se puedan sumar y/o restar numéricamente los

módulos de un sistema de fuerzas para obtener el módulo de la fuerza resultante,

es que las fuerzas sean paralelas. Como éste no es el caso, la respuesta correcta

es la d).

5- Los componentes Fx y Fy de una fuerza F que forma un ángulo de 240º ( 3er

cuadrante) con el semieje positivo de las x, son:

a) Fx > 0 y Fy < 0

b) Fx < 0 y Fy < 0

c) Fx > 0 y Fy > 0

d) Fx = 0 y Fy < 0

e) Ninguna de las anteriores

Solución

Puesto que Fx = F. cos α y Fy = F. sen α, tenemos

Fx = F cos 240º = F. (- 0,5) = - 0,5 . F < 0

44

1N= 100.000 dinas


Fy = F sen 240º = F. (- 0,866) = - 0,866 . F < 0

6- Dos fuerzas concurrentes de 5 Kg. cada una forman entre sí un ángulo de

120º. La intensidad de su resultante vale:

a) 0

b) 9,8 N

c) 49 N

d) 98 N

e) 147 N

7- El orden correcto, de mayor a menor, de las siguientes fuerzas:

F1= 0,0025 Ton F2= 30 N F3 = 3 kg F4 = 2.400.000 dinas

Es:

a) F3 F1 F2 F4

c) F2 F1 F4 F3

b) F3 F2 F1 F4

d) F2 F3 F1 F4

e) F1 F3 F2 F4

8- La resultante R de un sistema de 2 fuerzas concurrentes es de 10 kg. Una

fuerza componente es F1 y la otra es F2 = 8 Kg. y forman entre sí un ángulo

recto. Entonces, el valor de F1 es:

a) 2 Kg.

b) 4 Kg.

c) 6 Kg.

d) 8 Kg.

e) 10 Kg.

MOMENTOS Y MÁQUINAS SIMPLES

1- El momento de la fuerza de la figura, con respecto al punto O, vale:

45


3 m

F= 10 N A B

5 m

O

a) 40 N.m

b) 30 N.m

c) 50 N.m

d) 0 N.m

e) 80 N.m

Solución

El brazo de la fuerza F respecto del punto O, es el segmento OB, y en su longitud viene dada por el Teorema de Pitágoras, puesto que el triángulo OBA es rectángulo.

d (O,B) ( 5 m) ² - (3 m) ²

d (O,B) = 4 m

Entonces: M F (o) = F . d (O,B)

M F (o) =10 N . 4 m

M F (o) = 40 N .m

Y la respuesta correcta es la a)

2- Se quiere levantar un peso de 1000 kg con un aparejo potencial de 4 poleas.

La fuerza que se debe aplicar es:

a) mayor de 200 kg.

46


b) Entre 150 Kg y 200 Kg

c) Entre 100 Kg y 150 Kg

d) Entre 50 Kg y 100 Kg

e) Menor de 50 Kg

Solución

Si el aparejo es potencial de 4 poleas, una es fija y las otras 3 móviles. Por lo

tanto la fuerza a aplicar (potencia) está relacionada con el peso a levantar

(resistencia) mediante

P = R/ 2ⁿ n : número de poleas móviles

Así

P = 1000 kg / 2³ = 1000 kg / 8 = 125 kg

Por lo tanto la respuesta correcta es la c)

3-El siguiente sistema puede girar en el punto O.

O A B

/ / / / /

2m 2m 2m 2m

4 N F2

8 N

F1 = 20 N

Para equilibrar el sistema se puede aplicar:

a) Una fuerza de 4 N, vertical hacia arriba en B

b) Una fuerza de 4 N, vertical hacia abajo en B

c) Una fuerza de 8 N, vertical hacia arriba en A

d) Una fuerza de 8 N, vertical hacia abajo en A

e) Ninguna fuerza, el sistema está en equilibrio.

47


4-La expresión correcta que vincula la Potencia, la Resistencia y el número de

poleas móviles en un aparejo factorial es:

a) P = R / 2ⁿ

b) R = P / 2ⁿ

c) R = P . 2n

d) R = P / 2n

e) P = R . 2n

5-Con una palanca de 3er género

a) Siempre se aumenta la potencia

b) Nunca se aumenta la potencia

c) A veces se aumenta la potencia

d) Siempre se aumenta la resistencia

e) A veces se aumenta la resistencia

PLANO INCLINADO

El plano inclinado es una máquina simple que permite subir objetos realizando

menos fuerza. Para calcular la tensión de la cuerda que equilibra el plano,

descomponemos las fuerzas y hacemos la sumatoria sobre cada eje. Es

recomendable girar el sistema de ejes de tal forma que uno de ellos quede

paralelo al plano. Con esto se simplifican las cuentas ya que la sumatoria de

fuerzas en X tiene el mismo ángulo que la tensión que lo equilibra.

Para resolverlo dibujamos los ejes y las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo.

Tenemos el peso, la normal y la tensión de la cuerda. En este caso no

consideramos el rozamiento.

48


Descomponemos el peso en X e Y

Sobre el eje Y sabemos que no hay desplazamiento, por lo tanto:

Sobre el eje X, si queremos equilibrar el sistema:

49


La fuerza que equilibra al plano es:

CINEMATICA

Un móvil está en la posición XA = - 200 m. Luego se mueve hacia la posición XB =

500 m y después a XC = 300 m. El desplazamiento total del móvil es:

a) 600 m

b) 1000 m

c) 400 m

d) 0 m

e) 500 m

Solución

El desplazamiento viene dado por las posiciones final e inicial. Así

XC - XA = 300 m – ( - 200 m ) = 500m

Y la respuesta correcta es la e)

El orden correcto, de mayor a menor, de las siguientes velocidades

v1 = 24 m/ seg v2 = 54 km/ h v3 = 2,4 km/ min v4 = 1800 m/ min

a) v1 v2 v3 v4

b) v4 v3 v2 v1

c) v3 v4 v2 v1

d) v3 v4 v1 v2

e) v2 v3 v4 v1

50


Para poder comparar las velocidades, deben estar expresadas en las mismas

unidades. Así pues, se pueden expresar, por ejemplo, en m / seg.

Así:

v1 = 24 m/ seg.

v2 = 54 Km. / h = 54000 m / 3600 seg. = 15 m / seg.

v3 = 2,4 km / min = 2400 / 60 seg = 40m / seg

v4 = 1800 m / min. = 1800 / 60 seg. = 30 m / seg.

Por lo tanto, la opción correcta es la d)

Un móvil parte del reposo con MRUV. Su aceleración es de 2 m / seg². Luego de

1 min y medio, el espacio recorrido será:

a) 1800 m

b) 8100 m

c) 3600 m

d) 360 m

e) 900 m

La ecuación de posición de un MRUV es

X= X0 + V0 . t + ½ a t²

X = 0 m + 0 m / seg . t + ½ . 2m/ seg². ( 90 seg)²

X= 8100 m y la respuesta correcta es la b)

EJERCICIOS

1- Si un móvil lleva una velocidad de 72 km/h cuando pasa por la posición x0 = 200m. Su

posición luego de 2 min de pasar por allí será:

a) 144 m

b) 344 m

c) 2400 m

d) 2600 m

e) 3000 m

2- Un móvil marcha a 72 km / h y se detiene en un trayecto de 50 m. Suponiendo en un

movimiento uniformemente desacelerado, su desaceleración vale:

51


a) 9,8 m / seg²

b) 4 m / seg²

c) 10 m / seg²

d) 4 m / seg²

e) 5 m / seg²

3- La representación gráfica de la velocidad en función del tiempo en el movimiento

rectilíneo uniforme es:

a) Una recta con pendiente positiva o negativa que pasa por el origen.

b) Una recta con pendiente positiva o negativa que no pasa por el origen

c) Una recta horizontal

d) Una parábola de ramas hacia arriba.

e) Una parábola de ramas hacia abajo.

RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

1) Se levanta un cuerpo de 200 kgf mediante un plano inclinado de 2,8 m de largo

y 1,5 m de altura. El extremo de la cuerda que sube el cuerpo, se adapta a un

torno, cuya manivela es de 0,8 m y el radio del torno es de 0,2 m. ¿Cuál es la

potencia aplicada al torno, para mantener el sistema en equilibrio?

Respuesta: 26,75 kgf

2) En un taller mecánico, se levanta el motor de un automóvil, cuyo peso es de

350 kgf, por medio de un aparejo diferencial. Si los radios de las poleas son R =

15 cm y r = 12 cm, ¿cuál es la fuerza que equilibra ese peso?

Respuesta: 35 kgf

3) Los radios de un aparejo diferencial son R = 20 cm y r = 15 cm. Si se aplica una

fuerza de 80 kgf, ¿cuál es el peso del cuerpo que la equilibra?

Respuesta: 640 kgf

4) Calcular la fuerza que equilibrará una palanca de 3 m de largo, apoyada a 2,4

m de la misma, si en el otro extremo se ha colocado un peso de 200 kgf.

P.bp = Q.bQ Þ P = Q.bQ/bp

52


l = 3 m

bp = 2,4 m

l = bp + bQ Þ bQ = 3 m - 2,4 m Þ bQ = 0,6 m

P = Q.bQ/bp Þ P = 200 kgf.0,6 m/2,4 m Þ P = 50 kgf

5) Calcular a que distancia de una potencia de 60 kgf estará apoyada una barra

rígida de hierro, para equilibrar un cajón de 300 kgf que está a 0,75 m del apoyo.

Respuesta: 3,75 m

6) Calcular la potencia que es necesario aplicar a una polea fija, para levantar un

peso de 80 kgf.

Respuesta: 80 kgf

7) ¿Qué potencia se aplicará para equilibrar una resistencia de 90 kgf, mediante

una polea móvil?

Respuesta: 45 kgf

8) Sobre un cilindro de 30 cm de diámetro (que puede girar en torno a un eje),

está arrollada una soga. Si se le aplica una fuerza de 1,8 kgf, ¿cuál es el valor del

momento que hace girar el cilindro?

Respuesta: 0,27 kgf

9) Calcular el peso de un cuerpo suspendido de la soga de un torno de 18 cm de

radio y una manivela de 45 cm de longitud, equilibrado mediante una fuerza de 60

kgf.

Respuesta: 24 kgf

10) ¿Cuál será la longitud de la manivela de un torno que, para equilibrar un peso

de 150 kgf, es necesario aplicar una fuerza de 40 kgf?. El radio del cilindro es de

20 cm.

Respuesta: 75 cm

53


54

modulo nivelatorio

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