curso nivelatorio matematicas blog de la nacho universidad distrital

Una de las reas evaluadas en el examen de admisin que aplica la Universidad Nacional de Colombia para ingreso a programas acadmicos de pregrado es la de matemticas. Esta rea se evala a travs de los siguientes cuatro componentes: Pensamiento numrico Pensamiento espacial y mtrico Pensamiento aleatorio Pensamiento variacional

El propsito de este curso de nivelacin de matemticas es contextualizar conceptualmente al aspirante en las principales temticas del rea de matemticas que se evalan transversalmente en los componentes antes enunciados, aunque est diseado para nivelar en el rea de matemticas a cualquier estudiante que inicia sus estudios universitarios a nivel tecnolgico y profesional. Este material fue desarrollado por los siguientes docentes de Ciencias Bsicas vinculados a la Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas, a quienes les pertenece la propiedad intelectual del siguiente documento: Jorge Adelmo Hernndez Pardo Juan N. Zambrano Caviedes Rodrigo Rincn Zarta Pablo Andrs Acosta Solarte Ivn Daro Zuluaga Carmen Leonor Pulido Segura

Este material tiene propsitos exclusivamente acadmicos y por ningn motivo puede ser utilizado con fines comerciales. Blog de la Nacho http://www.pasaralaunacional.comCompilado por Felipe Calvo Cepeda [2012]

Indice generalIntroduccin o 1. Conjuntos Numricos e 1.1. N meros Naturales . u 1.2. N meros enteros . . u 1.3. N meros Racionales. u 1.4. N meros Reales . . . u 1.5. Ejercicios . . . . . .VII

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1 1 6 6 10 10 15 15 19 21 24 27 27 28 28 29 31 31 31 33 34 35 36 37

2. Radicales y Logaritmos 2.1. Potenciacin y Radicacin o o 2.2. Ejercicios . . . . . . . . . 2.3. Logaritmos: . . . . . . . . 2.4. Ejercicios: . . . . . . . . .

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3. Factorizacin o 3.1. Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Multiplicacin de monomios . . . . . . . . . . . . . . o 3.1.2. Multiplicacin de un monomio por un binomio . . . . o 3.2. Nocin de Factor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.3. Factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.4. Casos de Factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.4.1. Factor comn en los trminos de un polinomio . . . . u e 3.4.2. Factor comn por agrupacin de trminos . . . . . . u o e 3.4.3. Trinomio cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4. Diferencia de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5. Trinomio cuadrado perfecto por adicin y sustraccin o o 2 3.4.6. Trinomio de la forma x bx + c . . . . . . . . . . . iii

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iv

INDICE GENERAL 3.4.7. Trinomio de la forma ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . 39 3.4.8. Diferencia de cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4.9. Suma de cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4. Fracciones algebraicas 43 4.1. Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2. Suma de fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5. Ecuaciones 5.1. Algunos tipos de ecuaciones . . . . . . . . . 5.1.1. Ecuacin Lineal . . . . . . . . . . . . o 5.1.2. Ecuacin lineal con una incognita . . o 5.1.3. Ecuacin Cuadratica . . . . . . . . . o 5.1.4. Qu es la solucin de una ecuacin? e o o 5.1.5. Cmo resolver una ecuacin con una o o 5.1.6. Sistemas de ecuaciones 22 . . . . . 5.1.7. Solucin de un sistema de ecuaciones o 5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Ecuaciones de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . incgnita? o . . . . . . 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 47 47 47 48 48 49 50 51 54 56 59 59 60 65 69 71

6. Solucin de problemas o 6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.2. Estrategia para resolver problemas . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Matemtica Recreativa a Bibliograf a

Cap tulo 1 Conjuntos Numricos e1.1. N meros Naturales uN es aquel que nos sirve para contar. N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Propiedades de los nmeros naturales. u 1. Todo n mero natural n tiene un siguiente n + 1 u 2. El n mero natural cero 0 no es siguiente de ning n otro. u u El conjunto de los n meros naturales tiene dos subconjuntos propios u 1. Los n meros pares P son aquellos n meros naturales que tienen la u u forma 2n, P = {2n|n N} = {0, 2, 4, 6, ....} 2. Los n meros impares I son aquellos n meros naturales que tienen la u u forma 2n + 1,o, 2n 1, I = {2n + 1 : n N} = {1, 3, 5, 7, ...} I = {2n 1 : n N {0}} = {1, 3, 5, 7, ...} Ejercicio 1.1. Pruebe cada una de las siguientes observaciones. 1. La suma de dos n meros pares es un n mero par u u 1

El conjunto de n meros naturales u

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CAP ITULO 1. CONJUNTOS NUMERICOS 2. La suma de dos n meros impares es un nmero par u u 3. La suma de un nmero par con un n mero impar es un n mero impar u u u 4. El producto de dos n meros pares es un n mero par u u 5. El producto de dos n meros impares es un nmero impar u u 6. El producto de un nmero par con un n mero impar es un n mero par u u u 7. Decida si cada una de las siguientes armaciones es falsa o verdadera a) Si a2 es par, entonces a es par b) Si b2 es impar, entonces b es impar c) n(n + 1) es par d ) n(n + 1)(n + 2) es par

Divisibilidad Si a y b son dos n meros naturales y a no es cero (a = 0), armamos u que a divide a b o que b es divisible por a y se escribe a | b, si existe un n mero natural c de tal forma que b = a c. Si a divide a b se puede armar u tambin que b es un m ltiplo de a o que a es un factor de b e u Ejemplo 1.1. 2 divide a 6, (2 | 6), puesto que 6 = 235 divide a 30, (5 | 30), puesto que 30 = 5 6 Ejercicio 1.2. Decida si cada una de las siguientes armaciones es falsa o verdadera. 1. n(n + 1)(n + 2) es divisible por 3 2. n(n + 1)(n + 2)es m ltiplo de 6 u 3. n(n + 1)(n + 2)(n + 3) es m ltiplo de 4 u 4. Si n es divisible por 6 entonces n es divisible por 2. 5. Si m es divisible por 2 entonces, m es divisible por 4. 6. Usando vasijas de 4 litros y de 5 litros, explique cmo podr llenar una o a vasija de 32 litros, una de 52 litros y una de 74 litros.

1.1. NUMEROS NATURALES 7. Demuestre que 4 es un factor de n4 n2 + 4 8. Demuestre que 2 es un factor de n2 + n + 6 9. Demuestre que 6 es un factor de 7n 1 Denicin 1.1. Nmeros primos o u

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Un n mero natural p mayor que el n mero 1 es un n mero primo si sus u u u unicos divisores son 1 y el mismo numero p. Los primeros 20 n meros primos u son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, y 71 Ejercicio 1.3. Use un mtodo apropiado para calcular los siguientes 10 e nmeros primos u Teorema 1.1. Teorema fundamental de la aritmtica e Todo nmero natural n es primo o se puede descomponer como producto u de factores primos Ejercicio 1.4. Descomponer en factores primos cada uno de los siguientes nmeros naturales: u 34, 246, 215, 425, 625, 1248 y 2310 Denicin 1.2. Mximo Comn DivisorEl mximo comn Divisor de o a u a u los nmeros naturales a y b que se escribe M.C.D(a, b) es, como su nombre lo u indica, el divisor comn de a y b ms grande, es decir, que si diva representa u a los divisores de a y divb representa los divisores de b entonces M.C.D(a, b) = max(diva divb) Ejemplo 1.2. Calcular M.C.D (20, 28) div20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} , div28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28} y div20 div28 = {1, 2, 4} , por tanto, max {1, 2, 4} = 4 Otra forma de calcular el MCD de dos o ms n meros es descomponer en a u factores primos cada uno de los n meros dados y a continuacin seleccionar u o los factores comunes (repetidos) con su menor exponente.

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CAP ITULO 1. CONJUNTOS NUMERICOS

Ejemplo 1.3. Calcular el MCD(16, 24, 56)

16 = 24 24 = 23 3 56 = 23 7 luego MCD(16, 24, 56) = 23 = 8 Ejercicio 1.5. Calcule el MCD de cada lista de nmeros naturales u 1. 24, 56 y 30 2. 12, 24 y 36 3. 15, 17, 24 y 45 5. 24, 48, 72, 96 y 120 4. 23, 18, 35, 12 y 52

Otra forma de calcular el MCD de dos n meros es por divisiones sucesivas u (por el algoritmo de Euclides o algoritmo de la divisin) que dice: o Si n y m son n meros naturales con m < n (m menor que n)(para este cau so n ser dividendo y m ser divisor), existen n meros naturales k (cociente) a a u y r (residuo) tales que: n = km + r, 0 r < m El algoritmo de clculo es el siguiente: a Se divide el n mero mayor entre el n mero menor para obtener un u u cociente k y un residuo r Si el residuo r es igual a cero entonces el MCD es el menor de los dos n meros u

Si el residuo r no es cero se divide el divisor entre el residuo para obtener un cociente k1 y un residuo r1 Si el residuo r1 es igual a cero el MCD de los dos n meros es el u cociente k. Si el residuo r1 no es cero se divide el cociente k1 entre el residuo r1 para obtener un cociente k2 y un residuo r2

1.1. NUMEROS NATURALES Si el residuo r2 es cero entonces el MCDes el cociente k1

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si el residuo r2 no es cero se continua este proceso hasta obtener un residuo rn igual a cero esto siempre ser posible ( justif a quelo) y en este caso el MCD es el pen ltimo residuo es decir rn1 u Ejemplo 1.4. Use divisiones sucesivas para calcular MCD (56, 35) 56 = 35 1 + 11 35 = 11 3 + 2 11 = 2 5 + 1 2=12+0 luego MCD (56, 35) = 1 Ejercicio 1.6. Encuentre por divisiones sucesivas el MCD de cada par de nmeros en cada caso. u 1. 36 y 48 2. 24 y 36 3. 56 y 72 4. 50 y 108 5. 64 y 128

Denicin 1.3. M o nimo Comn MltiploEl m u u nimo comn Mltiplo u u (mcm )de dos o ms nmeros es, como su nombre lo indica, el mltiplo a u u comn ms peque o. u a n Ejemplo 1.5. El mcm(12, 16) = m n(mul12 mul16) mul12 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, ...} mul16 = {16, 32, 48, 64, 80, 96, ...} mul12 mul16 = {48, 96, ....} min {48, 96, ....} = 48 Otra forma de calcular el mcm de dos o ms n meros es descomponer en a u factores primos cada uno de los n meros dados y a continuacin seleccionar u o los factores comunes (repetidos) y no comunes con su mayor exponente. Ejemplo 1.6. Calcular el mcm(16, 24, 56) 16 = 24 24 = 23 356 = 23 7 luego mcm(16, 24, 56) = 24 3 7 = 336 Existe una relacin muy estrecha entre el mcm y el MCD y es la siguo iente: ab (a, b) = MCD(a, b)

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1.2.

N meros enteros u

La ecuacin n + 8 = 6 no tiene solucin en los n meros naturales, es o o u decir, no existe un nmero natural n que sumado con 8 nos de como resultado u el n mero 6, para solucionar ecuaciones de este tipo debemos extender el u conjunto de n meros naturales. u Los numeros enteros, Z, estn denidos como los nmeros naturales junto a u con sus opuestos, es decir Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} El opuesto de un n mero entero n es el numero entero n, el opuesto del u opuesto de un numero entero es el n mero entero inicial es decir (n) = n. u Ejemplo 1.7. El opuesto de 2 es (2) = 2, el opuesto de 8 es 8, el opuesto de 12 es 12. Ejercicio 1.7. Si a=-2, de cada expresin. o 1. 3a 2b + d 2. (a + b)(c d) 3. (a + b)2 4. a2 + 2ab + b2 b=3, c= -5 d=4. Calcular el valor nmerico u 9. (a b)(d + c) 10. (a + b + c + d)2 11. a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd.

5. (a d)(a + d) 6. a2 d2 7. a3 + c3 8. (a+c)(a2 ac+c2 )

1.3.

N meros Racionales. u

Consideremos las siguientes situaciones: La ecuacin 5q = 18 no tiene solucin en los n meros enteros es o o u decir no existe un n mero entero q de tal forma que multiplicado por u 5 nos de como resultado el nmero entero -18. u Tres de cada siete estudiantes nuevos de la Facultad Tecnolgica no o conoc las instalaciones de nuestra facultad. Si para el semestre 2009an III entraron 700 nuevos estudiantes Cuntos de nuestros nuevos coma pa eros conoc las instalaciones de nuestra facultad?. n an

1.3. NUMEROS RACIONALES.

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El 32 % de los profesores que trabajan en nuestra facultad son profesores de planta. Si en la actualidad hay 128 profesores de planta. Cuntos a profesores hay en la actualidad ? En una granja agr cola tres de cada 5 hectreas estn cultivadas en a a fresa, de la parte restante, dos de cada tres hectreas estn cultivadas a a en tomate de rbol. Cuntas hectreas estn cultivadas en tomate de a a a a a rbol si la granja tiene una extensin total de 20 hectreas?. o a Cada una de estas situaciones nos obligan a considerar un conjunto numrie co mucho ms amplio que el de los nmeros enteros. El conjunto numrico a u e que nos permitir modelar y solucionar estas situaciones es el conjunto de a n meros racionales, que denotamos con Q, cuya denicin es la siguiente. u o Q= p | p, q Z; q = 0, MCD(a, b) = 1 q

Oservemos que cada uno de los siguientes n meros es racional: u 3 2 3 3 3 5 , , , = , = 5, 4 5 7 5 5 1 de la ultima igualdad podemos armar que todo nmero entero es racional u pues cualquier n mero entero n se puede escribir como f racn1 (n = n ). u 1 Propiedades de los nmeros racionales u 1. Entre dos n meros racionales, hay al menos un n mero racional (basta u u considerar el promedio). 2. Entre dos n meros racionales hay innitos n meros racionales. u u 3. Dado cualquier n mero racional, no existe el nmero racional que est a u u e continuacin o Nmeros decimales u Los n meros decimales son aquellos racionales cuyo denominador es una u potencia de diez es decir de la forma 10n , n N. Ejemplo 1.8. Los siguientes son nmeros decimales: u 2 = 0,2, 10 325 = 0,00325 100000

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Todo n mero racional se puede aproximar por medio de un nmero deciu u mal. Ejercicio 1.8. Encuentre una aproximacin decimal de cada uno de los sio guientes nmeros racionales y ordene de menor a mayor u 7 3 7 13 23 5 7 20 52 45 , , , , , , , , y . 2 8 18 56 2 3 17 35 12 9 Proposicin 1.2. Todo nmero racional tiene escritura decimal nita o ino u nita peridica. o Para encontrar la escritura decimal de un nmero racional basta con hacer u la division, es decir, dividir el numerador entre el denominador. Ejercicio 1.9. Encuentre la escritura decimal nita o innita peridica de o cada nmero racional: u 2 5 3 18 12 4 3 5 7 12 , , , , , , , , , 3 6 4 13 5 7 2 12 8 7 Escritura racional de un nmero decimal u Para encontrar el nmero racional equivalente a un n mero decimal inu u nito per odico se procede de la siguiente forma: Si el periodo del n mero decimal inicia inmediatamente despus de u e la coma, se multiplica el n mero decimal por una potencia de diez u cuyo exponente sea igual al nmero de d u gitos que tenga el periodo del n mero original, luego se hace la resta, y se despeja la variable. u Ejemplo 1.9. Convertir a racional el nmero x = 0, 125125125125... u En este caso el periodo del n mero decimal innito tiene tres d u gitos, luego multiplicamos el nmero x por 103 u 103 x = 125, 125125125... restando se obtiene: 103 x x = 125

1.3. NUMEROS RACIONALES. es decir que 999x = 125 luego: x= 125 999

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Si el periodo del n mero decimal no inicia inmediatamente despus de u e la coma. Primero se multiplica el n mero dado x por una potencia de u 10 con exponente igual al nmero de d u gitos que haya hasta iniciar el per odo. Luego se e multiplica el n mero dado x por una potencia de u 10 con exponente igual al nmero de d u gitos que haya antes de empezar el periodo ms el n mero de d a u gitos que tenga el periodo. Finalmente se hace la resta y se despeja la variable. Ejemplo 1.10. Convertir a racional el nmero x = 0, 32405405405405... u 102 x = 32, 405405405405 105 x = 32405, 405405405 restando se tiene que, 105 x 102 x = 32405, 405405405 32, 405405405405 = 32373 luego: 99900x = 32373 es decir, x= 32373 99900

Ejercicio 1.10. Encuentre la forma racional de cada decimal innito peridio co:

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CAP ITULO 1. CONJUNTOS NUMERICOS 1. x = 0, 121212121212121. 2. x = 0, 245245245245245... 3. x = 2, 3451231231213123123.. 5. x = 4, 123433333333333... 4. x = 0, 312121212121212..

1.4.

N meros Reales u

La ecuacin x2 2 = 0 no tiene solucin en los n meros racionales, este o o u inconveniente lo podemos sortear considerando el conjunto de los n meros u reales, que denotamos con R. Este conjunto est compuesto de los n meros a u racionales junto con los irracionales. Los nmeros irracionales se identiu can como aquellos que tienen expresin decimal no peridica. Ejemplos de o o n meros irracionales son todas las ra cuadradas de nmeros que no sean u ces u cuadrados perfectos es de n meros r de tal forma que r = k 2 para u decir e u u todo k entero, 2, 3, 5, 7, ....Tambin son n meros reales los n meros 2 , e, . e Ejercicio 1.11. Sean a = 2, b = -2 6. Hallar el valor numrico de cada una de las siguientes expresiones: a2 , 2a3 , b2 , 3b, ab, (a + b)2

1.5.

Ejercicios

1. Encuentre dos n meros naturales uno par y uno impar cuya suma sea u 543 y cuya diferencia sea 5. 2. Encuentre dos n meros naturales impares cuya suma sea 1026 y cuya u diferencia sea 8. 3. Encuentre dos n meros pares cuya suma sea 1026 y cuya diferencia sea u 8. 4. Encuentre dos n meros impares cuya suma sea 215 y cuyo producto u sea 3015. 5. Encuentre las dimensiones enteras (largo y ancho en nmeros enteros) u 2 de los rectngulos cuya rea sea 144m a a

1.5. EJERCICIOS a) Cul es el rectngulo de menor per a a metro? b) Cul es el rectngulo de mayor per a a metro?

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6. Encuentre el lado y la altura de un tringulo equiltero cuya rea sea a a a 2 64 m (el lado y la altura deben ser enteros positivos) a) Cul es el tringulo de menor per a a metro? b) Cul es el tringulo de mayor per a a metro? Enteros modulo 3.Cuando se tiene un entero positivo cualquiera y ste se divide entre 3, se obtiene una de las siguientes tres clases de e n meros: aquellos cuyo residuo es cero, esos n meros son de la forma u u 3n; aquellos cuyo residuo es 1, esos n meros son de la forma 3m + 1 y u aquellos cuyo residuo es 2, estos son de la forma 3k + 2. 7. Encuentre 2 n meros enteros modulo 3 cuya suma sea 524 y cuya diferu encia sea 21. 8. Encuentre 2 n meros enteros modulo 3 cuya suma sea 524 y cuya diferu encia sea 25. 9. Encuentre 2 n meros enteros modulo 3 cuya suma sea 625 y cuya diferu encia sea 72. 10. Encuentre 2 n meros enteros modulo 3 cuya suma sea 625 y cuya diferu encia sea 31. 11. Cul es la menor distancia que se puede medir exactamente con dos a cuerdas: una que tiene 40 cm. de largo y la otra 50 cm.? 12. Cul es la mayor longitud que debe tener una cuerda para que se a puedan medir longitudes de 320 cm y 280 cm.? 13. En un pa donde no hay segunda reeleccin para presidente, el periodo s o presidencial es de 6 a os y el periodo de los parlamentarios es de 4 a os, n n si hubo elecciones simultaneas en el 2006, cundo volver a haber a a elecciones simultaneas para presidente y congreso?

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14. En un veldromo dos ciclistas parten simultneamente, pero mientras o a uno de ellos da una vuelta el otro da 7/8 de vuelta. Cada cuntas a vueltas pasarn iguales por el punto de partida?. Si la carrera es a 250 a vueltas, cuntas veces se encontratrn en el punto de partida? a a 15. Encuentre n meros racionales a, b y c tales que : u a = 1 d1 b = 5a 3c c = b1 + d a si d = 3 . Adems calcule: 4 a)1 a

+

2 b

b) (a b) (a + b) a+b c) bc

d ) (a + b)1 (c d) ac e) bd f ) 3a 2b

16. Un estudiante universitario de la jornada diurna invierte mensualmente 1 de salario mensual en la cuota para el pago de la matr cula, 1 de su 3 5 salario para el pago de su arriendo, 1 en comida, si a n le quedan u 6 $200000 para el pago del transporte y sus gastos personales. Cul es a el salario mensual de dicho estudiante? 17. Encuentre 5 n meros racionales entre u1 5

y 1. 4

18. El estudiante Pedro Palo tom el primer semestre de 2009 las siguientes o materias: Clculo diferencial (4 crditos), elementos de algebra lineal (3 a e crditos), lgica computacional (3 crditos) y algoritmos (4 crditos). e o e e Si sus calicaciones fueron 35, 40,30 y 35 respectivamente. Cul fue el a promedio de Pedro? Cul fue el promedio ponderado del se or Palo? a n 19. El profesor Moncada buscando el intercambio humanitario se propuso caminar de Bogot a Pasto (760 Km. Aprox.). Para cumplir dicho a propsito, recorri inicialmente 1/38 de la distancia, al d siguiente o o a recorri 1/37, al tercer d 1/36 de la distancia que le faltaba y as suceo a sivamente, si nunca recorri menos de 15 Km. diarios, en cuntos d o a as cumpli su propsito? o o

1.5. EJERCICIOS

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20. El presupuesto de Colombia para el ao 2010 es de 1,44 1014 . Si los n 1 gastos en defensa ascienden a 10 del presupuesto nacional, el servicio de la deuda y el pago de obligaciones (cuotas vencidas) ascienden a 1 del presupuesto total. Cul es el monto que se invierte en los otros a 3 gastos de la nacin? o 21. Encuentre el n mero decimal equivalente a : u a) b)5 7 28 59

c) d)

37 39 3 4

e)

7 9

22. Encuentre la fraccin equivalente a cada decimal o a) 0,34 b) 0,3666... c) 0,45121121121... d ) 0,1520202020... 3 e) 0,312312...

23. Usando algunas propiedades de los enteros modulo 3 pruebe que no es racional. 3 24. Encuentre enteros a y b de tal forma que 2 5 = a + b 5.

25. Un caracol inicialmente est en el fondo de un estanque que tiene 3 a metros de profundidad, asciende 30 cm. en la noche, pero en el d por a efecto del sol desciende 20 cm. Cuntos d gastar dicho molusco a as a para salirse del estanque? 26. La deuda externa colombiana es de aproximadamente US$4, 0 1010 . Si consideramos que el dlar est a $2500 Cuntos salones de 6 m. o a a de largo, 7 m. de ancho y 3 mt. de alto sern necesarios para depositar a dicho dinero? Considere que todos los billetes son de $20,000 y que cada billete mide 14 cm. de largo, 7 cm. de ancho y 0,1 mm. de espesor. 27. El gobierno norteamericano inyect inicialmente US$7, 0 1011 a la o banca norteamericana para atenuar un poco la crisis nanciera del ao n pasado. Cuntos salones de las dimensiones del ejercicio 26 sern a a necesarios para guardar dicha suma de dlares si se quiere hacer el o cambio a moneda colombiana en billetes de $50,000?

Cap tulo 2 Radicales y Logaritmos2.1. Potenciacin y Radicacin o o

Cuando realizamos operaciones con nmeros naturales, por ejemplo una u suma, en donde el n mero que se suma es el mismo varias veces, ej. u 2+2+2+2+2+2 ,6 veces el 2

para no escribir de manera extensa, simplemente escribimos 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 6,6 veces el 2

es decir, el 2, aqul que estamos sumando y 6, el nmero de veces que e u sumamos 2. Si ahora en lugar de sumar buscamos multiplicar: 222222 ,6 veces el 2

entonces, al buscar una forma compacta de escribir esa expresin, lo hacemos o como: 2 2 2 2 2 2 = 26 .6 veces el 2

Ahora, dado que en esta unidad se quiere centrar la atencin en estas expreo siones, a continuacin detallaremos algunos trminos usados con ellas: o e 15

16

CAP ITULO 2. RADICALES Y LOGARITMOS

26Base

Exponente

Esta expresin se lee 2 elevado a la 6. El resultado de la operacin, es decir, o o el resultado de multiplicar 6 veces 2 se llama potencia, y la operacin como o tal se llama potenciacin; en este caso la potencia es 64. o

26Base

Exponente

= 64Potencia

2 elevado a la 6 es igual a 64. Se debe tener en cuenta que el n mero de u veces que se multiplica es el exponente y lo que estamos multiplicando es la base. A continuacin otros ejemplos: o 3 3 3 3 = 34 = 814 veces el 3

4 4 4 = 43 = 643 veces el 4

(5) (5) (5) = (5)3 = 125 10 10 10 10 10 10 10 = 107 = 10000000 (7) (7) (7) (7) (7) (7) = (7)6 = 117649 2 3 2 3 2 3 2 3 = 2 34

=

16 81

114 = 11 11 11 11 = 14641 83 = 8 8 8 = 512 . En los ejemplos anteriores puede notarse que no es lo mismo escribir, por ejemplo, 34 que 43 . Propiedades de las Potencias: en las propiedades que escribimos a continuacin se usan letras para indicar que se cumplen siempre que ellas o tengan sentido. Para eso a, y b representan numeros reales y m y n representan n meros naturales. Estas propiedades se usan principalmente con el n u de simplicar expresiones en las que estn presentes: a

2.1. POTENCIACION Y RADICACION

17

1. a0 = 1, cuando a = 0. Es decir, todo nmero diferente de cero elevado u al exponente 0 es igual a 1. Ejemplo 2.1. 30 = 1, (12)0 = 1, 1 an

5 3

0

= 1, 3

0

= 1.

2. a

n

=

, cuando a = 0.

Ejemplo 2.2. 34 =2

1 3

4

=2

1 , 81 = 1 , 1443

(12) = 5 3 3. an am = an+m . Ejemplo 2.3.3

1 12 15 3 3

=

=

3 5

=

27 . 125

34 35 = 34+5 = 32 = 9, 23 22 = 23+2 = 25 , 2 3 4. (an )m = anm . Ejemplo 2.4. (32 )3 = 323 = 36 , (23 )4 = 234 = 212 , 2 4 24 2 2 7 = = 8 3 33

2 3

3

=

2 3

3+3

=

2 3

6

.

8

.

18 5. (a b)n = an bn . Ejemplo 2.5.


(3 (2))2 = 32 (2)2 = 9 4 = 36, (4 7)4 = 44 74 , 7 3 8 a bn 2

=

7 8

2

32 .

6.

an = n. b

Ejemplo 2.6. 2 5 3 2 2 33

(2)3 8 , = = 3 5 125 32 , 22 ( 2)5 = . 35 =

2

5

an 7. m = anm . a Ejemplo 2.7. 54 = 542 = 52 = 25, 52 73 1 = 735 = 72 = , 5 7 49 76 6 7 6 6 5 = = . 6 6 5 55

8. an/m =

m

an =

m

a .

n

2.2. EJERCICIOS Ejemplo 2.8. 91/2 = 82/3 7 63/5

19

91 = 3, 2 3 = 8 = 22 = 4,3

=

5

7 . 6

La ultima propiedad dice adems que toda ra de un n mero real se puede a z u ver como una potencia, por tanto las propiedades anteriores de 1 a 7 se pueden aplicar tambin con ra e ces, es decir, en radicales. Ejemplo 2.9. 1 1 1 251/2 = 1/2 = = (propiedad 2), 25 25 5 3 2 6 2/3 5/2 32 35 = 3 3 = 3(2/3)+(5/2) = 319/6 = 319 (propiedad 3), 3 2 2/3 15 5 7 = 71/5 = 7(1/5)(2/3) = 72/15 = 72 (propiedad 4), 5 5 5 (5 4)2 = 5 (5)2 (4)2 = 52 42 (propiedad 5), 4 4 4 (8/4)3 = 4 83 /43 = 83 / 43 (propiedad 6), 3 85 85/3 12 = 3/4 = 8(5/3)(3/4) = 811/12 = 811 (propiedad 7), 4 83 8

2.2.

Ejercicios

1. Use las propiedades de los exponentes para escribir cada una de las a u siguientes expresiones en la forma , con a y b n meros enteros, o en b de manera simplicada. 4 c) (2)5 2 a) 3 21 + 1 d) 1 3 1 23 b) 2 e) 163/2 3

20 3 24

CAP ITULO 2. RADICALES Y LOGARITMOS 24 8 103 96 9 54 76 2 124 134 9 12 5 3 57 10 33 532/3

f)

k)

g) (23 34 )2 (1/(23 33 ))3 h) 45 6 53 622

55 6 2 64

2

l)

m) n)

3

i) (4 83/2 )(2 81/2 ) j) (6 77/5 )(2 78/5 )

2. Complete los enunciados con = o con = para que la expresin sea coro recta. 2 a) (ar )2 ar f) (a + b)2 (a b)2 b) ax by c) d)n

(ab)xy1 n c

1 c

a2 + b2

a+b a2 + b2

g) a1/n h) a + b i) an j) (4)10

1 an

a2

a+

b

e) (a + b)2

(4)10

3. Justique la veracidad o falsedad de las siguientes igualdades: 3 233 1 2 x2 y 2 1 3 h) = 1 a) = = e) 3 2 2 24 xy xy 3 5 b) 3 648 = 6 3 3 i) a3 a2 = 3 a 3 f) 3 24 = 2 6 9 16 1 j) 4 = 4 = c) 6 2 2 k) 3 8 = 3 8 6 4 384 32 g) 12 = 2 d) = 2 6 l) 3x2 = (3x2 ) 6 8 4. Simplique las siguientes expresiones c) (3u7 v 3 )(4u4 v 5 ) a) ( 1 x4 )(16x5 ) 2 b) ( 1 a5 )(3a2 )(4a7 ) 6

2.3. LOGARITMOS: 3x5 y 4 x0 y 32

21 j) (27a6 )2/3 k) (8x2/3 )x1/6 (x6 y 3 )1/3 l) (x4 y 2 )1/2 m) n)5

d)

(2x2 )3 e) 4x4 (3y 3)(2y 2)2 0 f) y (y 4)3 g) 4a2 b a3 b2 5a2 b 2b4

5xy 7 8x3 y45

10x3 y 3 4x4 y2

h) (4a3/2 )(2a1/2 ) i) (3x5/6

)(8x

2/3

)

o)

5

3x11 y 3 9x2

2.3.

Logaritmos:

Cuando estamos calculando una potencia nos preguntamos por su resultado, es decir, el resultado de la multiplicacin; pero en muchas ocasiones o necesitaremos preguntarnos por cul debe ser el exponente para que el rea sultado sea un valor dado, por ejemplo, ya hemos visto que 34 es igual a 81, en alg n momento nos preguntaremos cul debe ser el exponente para que u a ? e 3 = 81?, o tambin: cul es el exponente en 2? = 8? Respuesta 3, porque 23 = 8. a cul es el exponente en 4? = 16? Respuesta 2, porque 42 = 16. a 1 1 cul es el exponente en 5? = ? Respuesta 2, porque 52 = . a 25 25 cul es el exponente en 9? = 1? Respuesta 0, porque 90 = 1. a En la seccin anterior calculamos potencias, ahora encontraremos exponentes. o Esta operacin (la de encontrar exponentes) se llama Logaritmo, es decir, o las 4 preguntas anteriores pueden formularse como: cul es el logaritmo base 2 de 8? Respuesta 3, porque 23 = 8. a cul es el logaritmo base 4 de 16? Respuesta 2, porque 42 = 16. a 1 1 cul es el logaritmo base 5 de ? Respuesta 2, porque 52 = . a 25 25 cul es el logaritmo base 9 de 1? Respuesta 0, porque 90 = 1. a

22


Como en la potenciacin, usaremos una notacin para representar los logaro o itmos, la cual tiene mucha relacin con la usada en la potenciacin y que es o o la siguiente:Exponente

log2 64 = 6Base

26 = 64

Cuando escribimos log2 64 = 6, leemos el logaritmo en base 2 de 64 es igual a 6, y quiere decir que el exponente necesario para que la potencia sea 64, cuando la base es 2, es 6. Con esta notacin, de las 4 preguntas anteriores o podemos escribir log2 8 = 3, porque 23 = 8. log4 16 = 2, porque 42 = 16. 1 1 = 2, porque 52 = . log5 25 25 log9 1 = 0, porque 90 = 1. Siguiendo los anteriores ejemplos el lector puede vericar los siguientes logaritmos: log3 27 = 3 log1/2 16 = 4 log71 49

log5 125 = 3 log8 8 = 1 log100 1 = 0

log4 2 = 1/2 log27 3 = 1/3 log9 27 = 3/2

= 2

Nota 1: es claro que, por ejemplo, (2)3 = 8, luego podr amos pensar que log2 8 = 3, lo cual es cierto de manera como se ha presentado anteriormente, pero debemos tener en cuenta que los logaritmos se denen unicamente para bases positivas lo cual lleva a concluir que no podemos cal cular logaritmos de n meros negativos. Es decir, cuando tengamos algo como u loga b con a positivo y b negativo diremos (como es claro) que no existe. Nota 2: cuando calculemos logaritmos en base 10 escribimos simplemente e log en lugar de log10 . Por ejemplo, log 100 = 2 porque 102 = 100, o tambin 1 log 1000 = 3, log 100 = 2. Al igual que con las potencias, con los logaritmos tenemos propiedades que nos permiten manipularlos de una mejor manera; estas son las siguientes:

2.3. LOGARITMOS:

23

Propiedades de los logaritmos: supondremos que a, b y c son n meros u reales positivos y r un n mero real cualquiera. u 1. loga a = 1 : es decir, el logaritmo (en cualquier base) de la misma base es igual a 1, por ejemplo, log2 2 = 1, log27 27 = 1, log15 15 = 1, etc. 2. loga 1 = 0 : por ejemplo, log2 1 = 0, log27 1 = 0, log15 1 = 0, etc., esto pues a0 = 1 para todo a = 0. 3. loga ar = r : por ejemplo, log2 24 = 4, log27 2710 = 10, log6 165/7 = 5 , log 6 = 6, etc. Esta propiedad nos dice que independientemente 7 de cul sea el exponente (siempre y cuando tenga sentido), el logaritmo a y la potencia se cancelan (si sus bases son iguales). 4. aloga b = b : esta propiedad y la anterior nos dicen que los logaritmos y la potenciacin son inversas, algo as como la ra cuadrada y el expoo z nente 2, es decir, se cancelan, por ejemplo, 2log2 45 = 45, (15)log15 67 = 2 3 log 8 6 e 67, 5 5/4 = 8, (98)log98 (6/11) = 11 , o tambin 3log3 (x +xy ) = x2 +xy 3 . 4 5. loga bc = loga b + loga c : el logaritmo de una multiplicacin se cono vierte en la suma de logaritmos, por ejemplo, log4 (1664) = log4 (16)+ log4 (64) = 2 + 3 = 5, si lo hiciramos de la manera larga, es decir, sin e usar la propiedad tendr amos que calcular log4 (1664) = log4 (1024), es decir, debemos buscar un exponente para 4 cuyo resultado sea 1024, eso podr no ser tan fcil, mucho menos si se hace a mano; en conclusin a a o la propiedad nos simplica algunos clculos. a 6. loga o = loga b loga c : el logaritmo de una divisin se convierte en c la resta de logaritmos, por ejemplo, log5 125 = log5 (125) log5 (25) = 25 3 2 = 1. En este caso es mejor ver la propiedad de la resta a la multiplicacin, es decir, usar el lado izquierdo de la propiedad pues o la divisin simplica la expresin, por ejemplo, si tenemos la resta o o log9 (59049)log9 (6561), no es fcil calcular esos logaritmos, pero si usa amos la propiedad tendr amos log9 (59049)log9 (6561) = log9 59049 = 6561 log9 (9) = 1, lo cual claramente es ms manejable. a b

7. loga br = r loga b : esta propiedad es un caso particular de la propiedad (5), solo que se multiplica el mismo trmino r veces, por ejemplo, e 4 3 log3 9 = 4 log3 9 = 4 2 = 8, log(1000) = 3 log(1000) = 3 3 = 9.

24

CAP ITULO 2. RADICALES Y LOGARITMOSlog b 8. loga b = log c a : esta es la propiedad de cambio de base de los logaritc mos, es decir, si tenemos un logaritmo en una base que no nos interesa, podemos cambiar a otra base; por ejemplo, para encontrar logaritmos (cuyo valor no es exacto principalmente) debemos usar una calculadora, pero en la mayor de calculadoras aparecen los logaritmos en base 10 a (y otros que por ahora no los estudiaremos), por tanto debemos pasar a base 10, por ejemplo, log2 7 no es un valor exacto, pues 22 = 4 y 23 = 8, es decir, el exponente deseado debe estar entre 2 y 3, entonces para encontrar su valor podemos hacer:

log2 7 =

log 7 0,8451 2,80735 log 2 0,30102

los valores de 0,8451 y 0,30102 se encontraron usando una calculadora. Pero el cambio de base no solo se hace a base 10, se puede hacer a cualquier base, por ejemplo, log9 3 = log3 3 1 = , etc. log3 9 2

2.4.

Ejercicios:

1. Para cada una de las siguientes potencias escriba una igualdad que sea equivalente pero en trminos de logaritmos e a) 43 = 64 b) 43 = 1/64 c) 3x = 4 t d ) 35 = 243 e) tr = s f ) (0,9)t = 1/2 g) (3/4)3 = 27/64 h) 491/2 = 7

2. Para cada una de los siguientes logaritmos escriba una igualdad que sea equivalente pero en trminos de potencias e a) log2 32 = 5 b) logt r = p c) logb 512 = 3/21 d ) log4 256 = 4 e) log3 81 = 4 f ) loga 343 = 3/4

g) logv w = q h) log4 p = 5 x

3. Encuentre el valor, si existe, de

2.4. EJERCICIOS: a) log5 1 b) log6 67 c) log41 16

25 d ) log 105 e) log 0,0001 f ) log 106 g) log3 243 h) (10)log 7 i ) 3log3 8

4. En las siguientes igualdades encuentre el valor de la incgnita. o a) 2 5t/3 = 10 b) 6 = 2 + 2 c) log4 x = log4 (8 x) d ) log3 (x + 4) = log3 (1 x) e) log x2 = log(3x + 7) f ) log9 x = 3/2 g) log5 x2 = log5 (12 x) h) 4x3 4x+5 = 0 i ) 7x2 3

l ) 2 log3 x = 3 log3 5 m) log(x + 2) log x = 2 log 4 n) log2 (x + 7) + log2 x = 3 n) log3 (x + 3) + log3 (x + 5) = 1 o) log(57x) = 2 + log(x 2) p) log2 (x+ 3) = 2 log2 (x+ 3) + log3 27 + 4log4 3 q) log x2 = (log x)2 r ) log(log x) = 2 = 108 t) log x = log x u) log x3 9 = 2 s) x log x

t

= (49)x+5

j ) 22x3 = 5x2 k ) log6 (2x 3) = log6 (12) log6 3

5. En las siguientes igualdades escriba x en trminos de y. e 10x + 10x a) y = 2 10x 10x b) y = 2 10x 10x c) y = x 10 + 10x 10x + 10x d) y = x 10 10x

Cap tulo 3 Factorizacin o3.1. Expresiones Algebraicas

Escogemos para trabajar como conjunto universal el conjunto de los n meros reales y en algunos casos el conjunto de los nmeros complejos. u u Escogemos tambin, un conjunto de n meros y un conjunto de variables e u pertenecientes al conjunto universal. Procedemos a combinar dichos elementos mediante operaciones de suma, resta, producto, divisin y extraccin de o o ra ces, para obtener lo que se llama una expresin algebraica. Los siguientes o son ejemplos de expresiones algebraicas: 7a a2 + 5a 3x + 5y 7z, 5a + 9b3 , 12a 5b A las variables se les llama parte literal. Es de anotar que expresiones como por ejemplo x2 yz es equivalente a 1x2 yz. Si nos limitamos solamente a operaciones de suma, resta y multiplicacin, el resultado obtenido se llama o polinomio (los exponentes de las letras son enteros positivos). Una expresin o algebraica que conste unicamente de signo, ( positivo o negativo ) un nmero u (llamado coeciente) y parte literal (con exponentes ), se llama trmino. El e siguiente polinomio 3x2 y 5xy + 9xy 2 consta de tres trminos. Un polinomio e que conste de un solo termino se llama monomio, si consta de dos trmie nos se llama binomio y si consta de tres trminos se llama trinomio. Los e trminos que tienen las mismas letras con los mismos exponentes, se llaman e trminos semejantes y estos trminos son los que se pueden reducir, es decir e e sumar o restar. por ejemplo los trminos 5x2 y 3 , 7x2 y 3 y 4x2 y 3, son trminos e e semejantes, por lo tanto se pueden reducir. Para reducirlos, se suman o se 27

28

CAP ITULO 3. FACTORIZACION

restan los coecientes y la parte literal queda la misma. La reduccin de los o 2 3 2 3 2 3 trminos semejantes del ejemplo anterior es: 5x y + 7x y 4x y = 8x2 y 3 e Ejercicio 3.1. Reducir los siguientes trminos: e 1. 5x2 y 7x2 y 8x2 y + 16x2 y = 2. 8x3 y 2z 5 + 19x3 y 2 z 5 24x3 y 2 z 5 35x3 y 2 z 5 + 12x3 y 2 z 5 = 3. 9a3 b3 c3 17 14 + 18 + 34a3 b3 c3 + 12a3 b3 c3 6a3 b3 c3 = 4. 16a5 b4 c3 d3 + 14a5 b4 c3 d3 + 28a5 b4 c3 d3 + 15a5 b4 c3 d3 7a5 b4 c3 d3 = 5. x5 y 3 z 2 10x5 y 3 z 2 + 8x5 y 3 z 2 + 9x5 y 3z 2 37x5 y 3z 2 6x5 y 3z 2 =

3.1.1.

Multiplicacin de monomios o

Para multiplicar dos monomios, se multiplica primero el signo, luego los coecientes y por ultimo la parte literal, teniendo en cuenta las leyes de los coecientes Ejemplo 3.1. (5a4 b3 c5 )(6a5 b4 cd2 ) = 30a9 b7 c6 d2 Ejercicio 3.2. Multiplicar los siguientes monomios 1. (5x2 y)(6x3 y 3) 2. (8x4 y 3 )(6x3 y 3 ) 3. (7a2 b3 c4 )(6a4 b3 d2 ) 4. (12a2 b3 c4 d3 )(8a4 b3 c3 d2 )

3.1.2.

Multiplicacin de un monomio por un binomio o

Se aplica la propiedad distributiva, es decir, se multiplica el monomio por cada uno de los trminos del binomio, como por ejemplo: e 5x2 y 2 (4x3 y 2 5x2 y) = 20x5 y 4 + 25x4 y 3 Ejercicio 3.3. Aplicar la propiedad distributiva 1. 5x2 y 2 (4x3 y 2 5x2 y) = 2. 9x3 y 2 z 2 (4x3 y 3 5x2 y 3) = 3. 13x3 y 2z 3 (4x4 y 3 + 8x4 y 3 z 4 ) = 4. 7x4 y 5 z 2 (4x5 y 3z 3 5x2 y 2) = 5. 9a5 b4 c3 (4a4 b3 c2 5a3 b3 c5 ) = 6. 12a7 b5 c3 (4a3 b4 c 5a3 b3 c2 d) =

3.2. NOCION DE FACTOR.

29

En general, para multiplicar un polinomio por otro polinomio, se multiplica cada termino del primer polinomio por cada termino del segundo polinomio: Ejemplo 3.2. (4x2 y 3 2xy 2 )(2x2 y 4 5x4 y 2 + 7x5 y) = 8x4 y 7 20x6 y 5 + 28x7 y 4 4x3 y 6 + 10x5 y 4 14x6 y 3 Ejercicio 3.4. Multiplicar los siguientes polinomios: 1. (5x4 y 2 2x3 y 3)(6x3 y 3 5x5 y 4 7x6 y 3) = 2. (9x5 y 2 + 3x4 y 3 )(7x4 y 3 7x6 y 3 9x4 y 4) = 3. (6x5 y 2 + 3x4 y 3 2xy 3 )(8x4 y 3 7x6 y 3 + 4x4 y 4 ) = 4. (6x5 y 2 + 3x4 y 3 )(7x4 y 3 7x6 y 3 9x4 y 4 3x2 y 3 z 2 ) = 5. (2x5 y 2 + 3x5 y 3 4x4 y 5 z 2 )(7x4 y 3 7x6 y 3 9x4 y 4 + x3 y 2z 3 ) =

3.2.

Nocin de Factor. o

El elemento matemtico llamado factor aparece en su expresin ms elea o a mental, cuando se realiza la operacin de multiplicacin de un n mero natural o o u m, por otro natural n. Veamos la denicin intuitiva de dicha operacin en o o dos pasos: Al multiplicar un n mero natural m, por otro n natural, se busca un u n mero tambin natural x, igual a: n, s para el caso, m = 1. u e mn = x x = n si m = 1 En el caso que m es mayor que la unidad; m > 1; dicha operacin, se o asimila igual a la suma de m n meros; cada uno de los cuales es igual u a n. m n = (n + n + n + ... + n) m > 1 m sumandos

30


En razn de sta denicin, al n mero x se le llama producto de los o e o u n meros naturales m y n u mn=x Es a partir de sta ultima armacin, que a los n meros m y n, se les e o u llama factores. Sinembargo sta nocin de factor, se aplica en la operacin e o o de multiplicacin de elementos de cualesquiera conjuntos numricos, en la o e forma simple arriba descrita, o en forma mixta con otras operaciones. En la forma mixta, los factores pueden ser singulares (monomios), o compuestos en expresiones algebraicas espec cas; en cuyo caso aparecen en es1 cena los signos de agrupacin para facilitar las operaciones. o Ejemplo 3.3. 1. mnpqxyz, en esta expresin los elementos m,n,p,q,x,y,z son factores o singulares, por tanto esta expresin pretende ser simple si cada factor o es numrico y singular. e 2. m [(n + p) q (x + yz)], en esta expresin mixta hay factores singulares o y los hay compuestos como (n + p), (x + yz). Ejercicio 3.5. 1. (m + n) (p q) (x + y + z) =? 2. a m+n p

q+

x y

z

+ R =?

Preguntas para el ejemplo-2 anterior:

a) mn, mp, mqx,mqyz, Son factores? b) Que son entonces?; productos o sumandos? c) Qu tipo de factor es [(n + p) q (x + yz)]?. e d ) Es m [(n + p) q (x + yz)] un producto o una adicin? o1

El parntesis (...), el corchete [...] y las llaves {...}. e

3.3. FACTORIZACION

31

3.3.

Factorizacin o

La factorizacin corresponde al proceso lgico mediante el cual se expresa o o un objeto o n mero a como el producto de otros objetos o nmeros ms u u a simples (llamados factores). Aplicada sta nocin a los n meros, nos permite e o u entender que la factorizacin es la parte esencial del teorema fundamental de o la aritmtica; el cual nos garantiza que todo nmero entero positivo n Z e u se puede representar de forma unica como el producto de sus factores primos, salvo por el orden de los mismos. Ejemplo 3.4. 1. 108 = 22 33 2. 648 = 23 34 3. 1125 = 32 53 4. 16875 = 33 54

y aqu cada n mero base, en el miembro derecho de cada igualdad, es , u un factor mltiples veces. u Veamos algunos casos de factorizacin, con ejemplos ilustrativos de los o mismos.

3.4.

Casos de Factorizacin o

En una expresin algebraica de tipo binomio, trinomio y/o polinomio, o podemos identicar y extraer un elemento, llamado el factor comn; por u ser el m ltiplo con el menor exponente y el divisor comn de los coecientes u u de la expresin. o

3.4.1.

Factor comn en los trminos de un polinomio u e

Factor comn monomio u Si en una expresin algebraica encontramos un factor comn, y ste o u e est constituido por un trmino, entonces decimos que en la expresin hay a e o un factor com n que es monomio. u Ejemplo 3.5. 1. 2a3 3a = a (2a2 3)

32 2. 3a2 6a = 3a (a 2)


3. 2a 4ab + 6abc = 2a (1 2b + 3bc) Este es el caso del factor de cada parntesis. e Ejercicio 3.6. 1. am + f m 2. 2x + 3x2 3. 2a2 b2 + 3a3 b3 c 4. a2 + 2ax3 5. 5m2 + 10m Factor comn polinomio u S en una expresin algebraica encontramos como factor comn, una suma o u de elementos; entonces decimos que en la expresin hay un factor comn que o u es polinomio. 1. 2 (a + 3) x3 3b (a + 3) = (a + 3) (2 3b) 2. 3x (a2 2) 5b (a2 1) = (a2 1) (3x 5b) 3. 2a (1 x + y)3b (1 x + y)+5xc (1 x + y) = (1 x + y) (2a 3b + 5xc) Ejercicio 3.7. En las siguientes expresiones, ident que cuales de ellas tienen como factor comn un polinomio y luego factorize. u 1. an (a b) + f m (a b) 2. 2x (a + b + c) + 3x2 (a + b + c) 3. 2a2 (x + y + z) + 3a3 b3 (x + y + z) 4. a2 (a + b) + (2ax3 1) (a + b) 5. 5m2 (a + bx + cy) + (a + bx + cy) (10m + n) 6. xy 2 2x2 y 7. 3x2 y 3 6y 2z 6 8. ax bx2 + cx3 dx4 9. 3a2 b + 6ab2 5a3 b + 8a2 bx 10. 25x3 10x5 + 15x7

3.4. CASOS DE FACTORIZACION 6. xy 2 (a + b) x2 y (a + b) 7. 3x2 y 3 (ax + bz) 6y 2 z 6 (ax + bz) 8. ax (a + b) bx2 (a + b) + cx3 (a + b) dx4 (a + b)

33

9. 3a2 b (a + b c) + 6ab2 (a + b c) 5a3 b (a + b c) + 8a2 bx (a + b c) 10. 25 (x 1) 10x5 (x 1) + 15x7 (x 1)

3.4.2.

Factor comn por agrupacin de trminos u o e

Para factorizar un polinomio por agrupacin de trminos, se debe tener o e en cuenta que son dos o ms caracter a sticas las que se repiten. para ello, se identica el n mero de trminos comunes, y para resolverlo, se agrupa cada u e una de las caracter sticas. Ejemplo 3.6. 1. ab + ac + bd + dc = (ab + ac) + (bd + dc) a(b + c) + d(b + c) = (a + d)(b + c) 2. 2a2 3ab 4a + 6b = 2a2 3ab (4a 6b) a (2a 3b) 2 (2a 3b) = (2a 3b) (a 2) 3. 3ax 3x + 4y 4ay + ax2 x2 = (3ax 3x) + (4y 4ay) + ax2 x2 3x (a 1) + 4y (1 a) + x2 (a 1) = 3x + x2 (a 1) 4y (a 1) = (a 1) x2 + 3x 4y Ejercicio 3.8. En las siguientes expresiones, identique trminos comunes e y luego agrupe.

34 1. 2x2 + xy + ax + ay 2. a2 x2 + a x2 a 3. 4a3 1 a2 + 4a 4. am bm2 + an bmn 5. 1 + a + 3ab + 3b

CAP ITULO 3. FACTORIZACION 6. 6ax + 3a + 1 + 2x 7. 3abx2 2y 2 2x2 + 3aby 2 8. 3x3 9ax2 x + 3a 9. 2a2 x 5a2 y + 15by 6bx 10. 6m 9n + 21nx 14mx

3.4.3.

Trinomio cuadrado perfecto

Sabemos que cuando una cantidad es el producto de dos factores iguales, entonces la misma es un cuadrado perfecto. Ahora bien, cuando el producto es de dos binomios iguales, entonces se obtiene un trinomio que se caracteriza como ((trinomio cuadrado perfecto)). (x + y) (x + y) = x2 + 2xy + y 2 (3.1)

Cuando vemos un trinomio, podemos analizarlo para certicar si es o no cuadrado perfecto. Basta con vericar que dos trminos sean cuadrados e perfectos y el tercero es el doble producto de las raices cuadradas de dichos trminos. e Ejemplo 3.7. 1. 4x2 + 12xy + 9y 2 = (2x + 3y) (2x + 3y) 2. 9a2 6ab + b2 = (3a b) (3a b) Ejercicio 3.9. Verique cuales de las siguientes expresiones, tienen la forma de trinomios cuadrados perfectos. 1. a2 + 2ab + b2 2. a2 + 2a + 1 3. 4 + 4b + b2 4. x2 + 6x + 92 5. 36x 12xy + y2 2

6. 9a2 + 18ab + 9b2 7. 1 2y 3 + y 6 8.a2 9

+ 2 ab + b2 3

9. 225a4 + 30a2 b + b2 10. (a + b)2 2 (a + b) (x a) + (x a)2

3.4. CASOS DE FACTORIZACION

35

3.4.4.

Diferencia de cuadrados

Como su nombre lo expresa, se trata de la diferencia o resta de dos elementos; cada uno de los cuales est elevado al cuadrado. a x2 y 2 (3.2)

En el mtodo de resolucin o expansin de est diferencia (factorizacin); e o o a o nos apoyamos en el uso de dos binomios: uno conjugado aritmtico del otro. e ellos estn conformados por las ra de los elementos cuadrados, y se mula ces tiplican entre si. Dicha operacin, queda de la forma: o x2 y 2 = (x y) (x + y) Ejemplo 3.8. 1. 1 a2 = 1 a2 1 + a2 (3.3)

= (1 a) (1 + a) 2. a2 x2 = a2 x2 a2 + x2

= (a x) (a + x) 3. 9x2 16y 2 = 9x2 16y 2 9x2 + 16y 2

= (3x 4y) (3x + 4y)

x2m y 2n =

x2m

y 2n

x2m +

y 2n

= (xm y n ) (xm + y n ) Ejercicio 3.10. Factorizar las siguientes expresiones:

36 1. a2 b2 2. 4x2 9y 2 3. 25a 36b 4. a2m 2n 2 2

CAP ITULO 3. FACTORIZACION 7. 8.4 a2 1 x2

9 b2 1 y2

= =

b , si m = 2 n = 41 2 b

9. 25a2 b4 c6 x2 = 10. (x + y)2 a2 11. 9y 2n 1 b2

5. 25a2m 36b2n 6.1 2 a

=

3.4.5.

Trinomio cuadrado perfecto por adicin y suso traccin o

Ya hemos visto como se factoriza un trinomio cuadrado perfecto, cuando ete est completo. Sin embargo en un caso general podemos tenerlo income a pleto; en cuyo caso bastar con revisarlo y completarlo para luego organizarlo a y factorizarlo, veamos: Ejemplo 3.9. 1. x4 x2 + 1, como est incompleto, es necesario revisar que hace falta a para tener un trinomio cuadrado perfecto, y luego proceder a la complementacin de lo que se tiene. hace falta un factor dos 2 en el segundo o sumando, para tener el doble producto de las ra ces de los otros dos trminos. En ste caso basta agregar un sumando x2 y luego restarlo; e e x4 x2 + 1 + x2 x2 = x4 2x2 + 1 + x2 (3.4)

As tendremos como resultado nal, un trinomio cuadrado perfecto, ms un tmino adicional: a e x4 2a2 + 1 + x2 = x2 1 2. 4x4 + 8x2 y 2 + 9y 4 = 4x4 + 8x2 y 2 + 9y 4 + 4x2 y 2 4x2 y 22 2

+ x2

(3.5)

4x4 + 12x2 y 2 + 9y 4 6x2 y 2 = 2x2 + 3y 2 4x2 y 2 [(2x + 3y) 2xy] [(2x + 3y) + 2xy] = (2x 2xy + 3y) (2x + 2xy + 3y)

3.4. CASOS DE FACTORIZACION 3. m4 + m2 n2 + n4 = m4 + 2m2 n2 + n4 m2 n2 = m2 + n2 mn m2 + n2 + mn =

37

m4 + m2 n2 + n4 + m2 n2 m2 n2 m2 + n2 m2 n2 m2 mn + n2 m2 + mn + n22

m4 + m2 n2 + n4 = m4 + 2m2 n2 + n4 m2 n2 = m2 + n2 mn m2 + n2 + mn =

m4 + m2 n2 + n4 + m2 n2 m2 n2 m2 + n2 m2 n2 m2 mn + n2 m2 + mn + n22

Ejercicio 3.11. Verique las expresiones siguientes y donde sea necesario complete el trinomio cuadrado y luego factorice. 1. x4 + 2x2 + 9 2. 4a4 3a2 b2 + 9b4 3. a8 4a4 b4 + 16b8 4. 16m4 25m2 n2 + 9n4 5. 36a4 109a2 b2 + 49b4 6. c4 45c2 + 100 7. 49 + 76b2 + 64b4 8. 4 108x2 + 121x4 9. a8 + 16 9c4 10. 4a4 y 4 + 43a2 y 2 + 121

3.4.6.

Trinomio de la forma x2 bx + c

Para factorizar un trinomio de dicha forma; procedemos de la siguiente manera: a) Se descompone el mismo en el producto de dos binomios; en cada uno de los cuales el primer trmino es la ra cuadrada del primer trmino del e z e trinomio arriba descrito, x. b) En el primer factor binomio, el signo del segundo trmino a denir, es e el mismo signo del segundo trmino del trinomio. En el segundo factor e binomio, el signo del segundo trmino a denir, corresponde al producto e de los signos del segundo y tercer trminos del trinomio. e

38


c) Segundos trminos de los dos binomios. S son iguales los signos de los e segundos trminos de los dos binomios, se buscan dos n meros cuya e u suma sea igual al valor absoluto del segundo trmino del trinomio, y e cuyo producto sea igual al valor absoluto del tercer trmino del trie nomio. d) Para el caso anterior, si los signos son opuestos; la diferencia de los dos n meros buscados deber dar el valor absoluto del segundo trmino u a e del trinomio y su producto ser el valor absoluto del tercer tmino. En a e tal caso, el n mero mayor ser el segundo trmino del primer binomio u a e factor. Ejemplo 3.10. 1. x2 3x 10 = (x ...) (x + ...) x2 3x 10 = (x 5) (x + 2) 2. x2 7x + 12 = (x ...) (x ...) = (x 4) (x 3) 3. x2 13x + 40 = (x ...) (x ...) x2 13x + 40 = (x 8) (x 5) Ejercicio 3.12. Factorice las siguientes expresiones 1. a2 3a + 2 2. x2 7x + 6 3. x2 + 7x + 6 4. x2 4x + 3 5. a2 8a + 12 6. x2 6x 16 7. y 2 y + 30 8. x2 + 28 11x 9. x2 13x 30 10. m2 20m + 300

3.4. CASOS DE FACTORIZACION

39

3.4.7.

Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Para factorizar un trinomio de dicha forma; procedemos de la siguiente manera: a) Se multiplican los tres trminos del trinomio por el coeciente de su e primer trmino, quedando as un nuevo trinomio diferente al primero; e (Al nal habr que recticar sto). a e a2 x2 + abx + ac (3.6)

b) Se descompone el nuevo trinomio en el producto de dos binomios; en cada uno de los cuales el primer trmino es la ra cuadrada del primer e z trmino de ste trinomio, ax. y se procede como se hizo en el caso e e anterior. (ax + ...) (ax + ...) (3.7) c) Al nal y para recuperar el trinomio original, se debe dividir el resultado por el coeciente del primer trmino del trinomio inicial. e Ejemplo 3.11. 1. 4x2 3x 10 42 x2 3(4x) 4(10) 16x2 12x 40 16x2 12x 40 4 4x2 3x 10 2. 6a4 + 5a2 6 = 2 6a2 + 5 6a2 36 = (6a)2 + 5 (6a2 ) + 36 = 6 6a4 + 5a2 6 = 6a2 + 9 6a2 4 = = (4x 8) (4x + 5) = (4x 8) (4x + 5) (4x 8) (4x + 5) = 4 = (x 2) (4x + 5)

(6a2 + 9) (6a2 4) 23 2 2a + 3 3a2 2

40 3.


9x2 3x 20 = (x ...) (x + ...) (9x)2 3 (9x) 180 = (9x 15) (9x + 12) (9x)2 3 (9x) 180 (9x 15) (9x + 12) = 9 33 2 9x 3x 20 = (3x 5) (3x + 4) Ejercicio 3.13. 1. 18x2 13x 5 2. 6a2 7a 3 3. 6a4 + 5a2 6 4. 15x2 ax + 2a2 5. 14a2 45a 14 6. 7x6 33x3 10 7. 6x2 y 2 + 5xy 21 8. 10a2 + 7a 12 9. 5 + 7x4 6x8 10. 6m2 13mx 15x2

3.4.8.

Diferencia de cubos

Como su nombre lo expresa, se trata de la diferencia o resta de dos trmie nos; cada uno de los cuales est elevado al cubo; es decir, un binomio con a dos cubos perfectos. (3.8) x3 y 3 En el mtodo de resolucin o expansin de est diferencia; (factorizacin), e o o a o procedemos de la siguiente manera: generamos dos grandes factores, as : a) Un binomio como primer factor; compuesto por la diferencia de las ra ces c bicas del binomio inicial. u b) Un trinomio que contiene el cuadrado de la primera ra sumado al z cuadrado de la segunda ra y al producto de las dos ra z ces.

x3 y 3 = (x y) x2 + xy + y 2

(3.9)

3.4. CASOS DE FACTORIZACION 1. a3 x3 = (a x) a2 + ax + x2 2. 8x3 27y 3 = (2x 3y) 4x2 + 6xy + 9y 2 3. x3m y 3n = 3 x3m 3

41

y 3n

x2m + xm y n + y 2n

= (xm y n ) x2m + xm y n + y 2n Ejercicio 3.14. Factorizar las siguientes expresiones: 4. a3 b3 5. 27x3 8y 3 6. 64a3 125b3 7. a3n b3n 8. 10a3m 20b3n 9. 10. 11.1 3 a 8 a3 1 x3

64 b3 1 y3

1 3 b

3.4.9.

Suma de cubos

Como su nombre lo expresa, se trata de la suma o adicin de dos trminos; o e cada uno de los cuales est elevado al cubo; es decir, un binomio con dos cubos a perfectos. (3.10) x3 + y 3 En el mtodo de resolucin o factorizacin de est diferencia; procedemos e o o a de la siguiente manera: generamos dos grandes factores, as : a) Un binomio como primer factor; compuesto por la suma de las raices c bicas del binomio inicial. u b) Un trinomio que contiene el cuadrado de la primera ra sumndole el z a cuadrado de la segunda ra y restando el producto de las dos raices z del binomio inicial:

42

CAP ITULO 3. FACTORIZACION x3 + y 3 = x2 + y 2 (x xy + y)

(3.11)

Ejemplo 3.12. 1. a3 + x3 = (a + x) a2 ax + x2 2. 8x3 + 27y 3 = (2x + 3y) 4x2 6xy + 9y 2 3. x3m + y 3n = 3 x3m +3

y 3n

x2m xm y n + y 2n

= (xm + y n ) x2m xm y n + y 2n Ejercicio 3.15. Factorizar las siguientes expresiones: 4. a3 + b3 5. 27x3 + 8y 3 6. 64a3 + 125b3 7. a3n + b3n 8. 10a3m + 20b3n 9. 10. 11.1 3 a 8 a3 1 x3

+64 b3 1 y3

1 3 b

=

+ +

= =

Cap tulo 4 Fracciones algebraicas4.1. Fracciones algebraicas

En esta parte se va a trabajar con fracciones cuyos numeradores y denominadores son polinomios. En un sentido ms amplio, las fracciones algea braicas, son fracciones cuyos numeradores y denominadores son expresiones algebraicas. Simplicar una fraccin algebraica, consiste en expresar tanto el o numerador como el denominador de la fraccin como producto, de tal manera o que si hay factores comunes diferentes de cero, se divide tanto el numerador como el denominador por dichos factores y se escribe lo que queda: Ejemplo 4.1. (x 5)(x + 4) = x5 (x 5)(x + 4) x+4 x5 = = x + 4, x = 5 x5 1 x5

Lo anterior, generalmente se hace, as : (x 5)(x + 4) = x + 4, x = 5 x5 Ejemplo 4.2. (x 3)(x + 5)(x 9)(x + 7) (x + 5)(x 9) = , x = 3, 7, 8, 12 (x 3)(x + 7)(x + 8)(x 12) (x + 8)(x 12) 43

44 Ejemplo 4.3.

CAP ITULO 4. FRACCIONES ALGEBRAICAS

x2 + 9x + 20 (x + 4)(x + 5) x+5 = = , x = 4, 7 2 3x 28 x (x + 4)(x 7) x7 Ejercicio 4.1. Simplicar las siguientes fracciones algebraicas 1. 2. 3. 4. x2 + 9x + 20 = x2 3x 28 x2 15x + 56 = x2 + 2x 80 x2 + 17x + 66 = x2 + 18x + 72 x2 14x + 45 = x2 21x + 108 5. 6. 7. 8. 6x2 x 2 = 6x2 3x 3 15x2 + 14x 8 = 20x2 + 17x 10 15x3 + 59x2 + 34x 24 = 20x3 + 77x2 + 41x 30 2x3 + 3x2 23x 12 = 2x3 3x2 50x 24

4.2.

Suma de fracciones algebraicas

El resultado de sumar varias fracciones algebraicas, es una fraccin alo gebraica, cuyo denominador es el m nimo comn m ltiplo (tambin llamado u u e m nimo com n divisor) de los denominadores de las fracciones que se van a u sumar y cuyo numerador es el resultado de reducir los trminos que se obe tienen, al dividir el m nimo comn divisor en cada uno de los denominadores u de los trminos que se estn sumando y ese resultado multiplicarlo por el e a numerador respectivo. Ejemplo 4.4. Sumar las siguientes fracciones: 1 5 x x+1 + 2 + = x x x 5 (x 5)2 Los denominadores son: x, x2 , x 5, y (x 5)2 . El m nimo comn m ltiu u plo de dichos denominadores, es la menor expresin que divide exactamente a o cada uno de esos denominadores, en este caso x2 (x5)2 . Al dividir el m nimo com n divisor en cada uno de los denominadores de las fracciones que se estn u a sumando, se obtiene respectivamente: x (x 5)2 , (x 5)2 , x2 (x 5), x2 , estos resultados los multiplicamos respectivamente por los numeradores, es decir, por 1, 5, (x + 1), y x, se obtiene lo siguiente:

4.2. SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

45

1 5 x x+1 x (x 5)2 + 5 (x 5)2 x2 (x + 1)(x 5) x3 + = x x2 x 5 (x 5)2 x2 (x 5)2 (x + 5)(x2 10x + 25) x2 (x2 4x 5) x3 = x2 (x 5)2 x4 + 4x3 25x + 125 = x2 (x 5)2 Ejercicio 4.2. Sumar las siguientes fracciones polinmicas o 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. x 3 x x1 + = + 2 x + 1 x 2 (x 2) (x 2)3 x1 x1 x+1 4 = + + x 6 x 3 x 2 (x 6)2 x2 x 3 x x1 + + = 2 1 x 1 (x + 1) x2

x x+4 x x + + = x2 4 x 2 x + 2 x 4 x 5x 3x + 2 2 = x2 + 2x 3 x + 3x 4 x + 7x + 4 x4 x x + 2 2 = x2 + x 20 x + 8x + 15 x 3x 18 x x+1 5x + 2 2 = 4x2 1 6x x 2 6x 7x + 2 7 2x + 1 2 + 2 = + 2 (x 3)2 x 6x + 9 x 8x + 15 7 3x + 1 x 2 = 2 2 (2x 3) 2x + 5x 12 2x + 3x 20 x 3x + 1 7 3 3 = x3 2x2 11x + 12 x + 4x2 + x 6 x + 6x2 + 5x 12

Cap tulo 5 Ecuaciones5.1. Algunos tipos de ecuaciones

Denicin 5.1. Una Ecuacin es una igualdad entre dos expresiones que o o contienen variables o incgnitas(letras que representan nmeros). o u Ejemplo 5.1. Algunas ecuaciones son: 3w + 5 = 8x2 25 = (x + 5)(x 5) y + 5x = 4

5.1.1.

Ecuacin Lineal o

Es una ecuacin que contiene incgnitas elevadas a la primera potencia. o o 3x 1 z 7w = 9 2 Las incgnitas son x, z y w. o

5.1.2.

Ecuacin lineal con una incognita o

Es una ecuacin con una sola incgnita donde aparece elevada a la primera o o potencia. 2(y + 5) = y 473 2

48

CAP ITULO 5. ECUACIONES

5.1.3.

Ecuacin Cuadratica o

Una ecuacin cuadrtica en una variable x con coecientes reales es una o a ecuacin de la forma o ax2 + bx + c = 0 con a, b, c R y a = 0.

5.1.4.

Qu es la solucin de una ecuacin? e o o

Es el conjunto de valores que toma la incgnita para los cuales la ecuacin o o es verdadera.A las soluciones de una ecuacin se les llama ceros o raices de o la ecuacin. o Ejemplo 5.2. Encuentre la solucin de las ecuaciones: o 1. 3w + 5 = 8 Solucin: o 3w + 5 = 8 3w = 8 5 3w = 3 w=1 La solucin de la ecuacin es 1 o o 2. x 2 x 2 = 0 Solucin: o x2 x2 = 0 1 x 2 (x2 1) = 0 1 x 2 (x 1)(x + 1) = 0 1 x2 = 0 o x 1 = 0 o x + 1 = 0 Las soluciones de la ecuacin son 0 o 1 o 1. o5 1 5 1

5.1. ALGUNOS TIPOS DE ECUACIONES

49

5.1.5.

Cmo resolver una ecuacin con una incgnita? o o o

1. Si la ecuacin es lineal con una incgnita se despeja la incgnita aplio o o cando las propiedades de la suma y multiplicacin de n meros reales. o u Ejemplo 5.3. Resolver la ecuacin o Solucin o w + 3w = 5 7 1 2 1 w = 8 2 w = 16 As la solucin de la ecuacin es 16. , o o 2. Si la ecuacin es de potencia diferente de uno se iguala a cero, se faco toriza como producto de ecuaciones lineales y se aplica la propiedad del producto igual a cero(Si un producto es igual a cero al menos uno de sus factores debe ser cero). Ejemplo 5.4. Resolver la ecuacin x o Solucin o3 1 3 2

5 w 2

+ 1 = 7 3w

+ x 2 = 2x1

1

1 2

x 2 + x 2 = 2x 2 3 1 1 x 2 2x 2 + x 2 = 0 3 x 2 (1 2x + x2 ) = 0 3 x 2 (x 1)2 = 0 3 x 2 (x 1)(x 1) = 0 3 x 2 = 0 o (x 1) = 03 2

Luego para x x = 1.

= 0 no existen valores de x, y x 1 = 0, cuando

As las soluciones de la ecuacin son 1 de multiplicidad dos. , o 3. Para resolver una ecuacin cuadrtica se pueden utilizar los casos de o a factorizacin o la formula cuadrtica. o a Ejemplo 5.5. Encontrar las soluciones de la ecuacin 2x2 3x+ 1 = 0 o

50 Solucin: Factorizando se tiene o


=0 =0 (x 1)(2x 1) = 0 (x 1) = 0 o (2x 1) = 0 x=1 ox= 1 2 As las soluciones de la ecuacin son 1 o 1 . , o 2 Frmula cuadrtica o a Si la ecuacin es de la forma ay 2 + by + c = 0 entonces o y= b b2 4ac 2a b+ b2 4ac 2a

(2x2)(2x1) 2 2(x1)(2x1) 2

As las soluciones de la ecuacin son y = , o

oy=

b b2 4ac 2a

Ejemplo 5.6. Resolver la ecuacin y 2 + 3y + 2 = 0 o Solucin: o y = 3

32 4x1x2 2x1 3 9 8 = 2 3 1 = 2

Es decir y = 3+1 = 2 = 1 o y = 31 = 4 = 2 2 2 2 2 Luego las soluciones de la ecuacin son 1 o 2. o

5.1.6.

Sistemas de ecuaciones 22

Es un conjunto de dos ecuaciones con dos incgnitas. o Ejemplo 5.7. + 3y = 6 x 8y = 181 x 2

5.1. ALGUNOS TIPOS DE ECUACIONES

51

5.1.7.

Solucin de un sistema de ecuaciones 22 o

La solucin de un sistema de ecuaciones 22, es el conjunto de valores que o toman las incgnitas para las cuales las ecuaciones son verdaderas. Existen o diferentes formas de resolver un sistema de ecuaciones 22, veamos algunas: Mtodo de Igualacin e o Se despeja en cada una de las ecuaciones una cualquiera de las incgnitas, o luego se igualan los dos valores obtenindose una ecuacin con una incgnita. e o o Se encuentra el valor de esta incgnita y luego se sustituye en en cualquiera o de las ecuaciones iniciales y se encuentra el valor de la incgnita faltante. o Ejemplo 5.8. Resolver el sistema 2z + 3w = 1 z 3w = 2 (1) (2)

Despejamos z en las dos ecuaciones De la primera ecuacin se tiene z = 13w o 2 De la segunda ecuacin se tiene z = 2 + 3w o Ahora igualando los dos valores de z obtenemos 1 3w = 2 + 3w 2 resolviendo esta ecuacin o 1 3w = 2(2 + 3w) 3w 6w = 4 1 9w = 3 w = 1 3 Luego reemplazando w = 1 en la ecuacin (1) o 3 2z + 3 1 = 1 3 2z = 1 + 1 z=1 Entonces la solucin del sistema de ecuaciones es z = 1 , w = 1 . o 3

52 Mtodo de Sustitucin e o


Se despeja en una de las ecuaciones una de las incgnitas y luego se o reemplaza en la otra ecuacin, obtenindose una ecuacin con una incgnita. o e o o Se encuentra el valor de esta incgnita y luego se sustituye en en cualquiera o de las ecuaciones iniciales y se encuentra el valor de la incgnita faltante. o Ejemplo 5.9. Resolver el sistema x + 3y = 6 x 8y = 8 (1) (2)

Despejamos x de la primera ecuacin o x = 6 3y Sustituimos el valor de x en la segunda ecuacin (6 3y) 8y = 8 o Resolvemos esta ecuacin o 3y 8y = 8 + 6 2y = 14 y = 7 Luego reemplazamos y = 7 en la ecuacin (2) o x + 3(7) = 6 x = 6 + 21 x = 27 Por lo tanto la solucin del sistema de ecuaciones es [x = 27, y = 7]. o Mtodo de Reduccin e o Se hacen iguales los coecientes de una de las incgnitas pero con signos o distintos, luego se suman estas ecuaciones eliminndome la incgnita a la a o cual le igualamos los coecientes, quedando una ecuacin con una incgnita. o o Se encuentra el valor de esta incgnita y luego se sustituye en encualquiera o de las ecuaciones iniciales y se encuentra el valor de la incgnita faltante. o Ejemplo 5.10. Resolver el sistema 3x2 3y 2 = 2 x2 2y 2 = 1 3 (1) (2)

Vamos a igualar los coecientes de la incgnita y en ambas ecuaciones o pero con signos distintos, para sto multipliquemos la ecuacin (1) por 2 y e o la ecuacin (2) por 3,obteniendose o

5.1. ALGUNOS TIPOS DE ECUACIONES 6x2 + 6y 2 = 4 3x2 6y 2 = 1 Sumando estas ecuaciones miembro a miembro se tiene 3x2 = 3 3 3x2 = 0 1 x2 = 0 (1 x)(1 + x) = 0 1x=0 o 1+x=0 x = 1 o x = 1 Luego sustituyendo x = 1 en la ecuacin (2) o 12 2y 2 = 1 3 2y 2 = 1 1 3 2y 2 = 2 3 y2 = 1 3 y 2 1 =0 3 (y 3 )(y + 33 ) = 0 3 y = 33 o y = 33 Obtenemos los valores de y = 33 o y = 33 Ahora sustituyendo x = 1 en la ecuacin (1) o 3(1)2 3y 2 = 2 3 3y 2 = 2 3y 2 = 1 3y 2 = 1 3y 2 1 = 0 ( 3y 1)( 3y + 1)= 0 y = 33 o y = 33 Tenemos los valores de y = 33 o y = 33 . Por lo tanto las soluciones del sistema de ecuaciones son: 3 3 , x=1, y= , x=1, y= 3 3 3 3 x = 1 , y = o x = 1 , = 3 3

53

54


5.2.

Ejerciciosa) 3x 2 = 10 b) 2w + 1 = 9 c) 3(z 2) = 15 d) e) f)5 t8 =t+3 2 4 x 7 = 1x + 8 3 3 3 (y 5) = y + 1 5

1. Resuelva las ecuaciones g) h)7 v + 5 + 1v = 5v 6 2 2 2 4 3 (z + 8) = 4 (2z + 12) 3

i ) 1 12u = 7(1 2u) j ) x + 2( 1 x + 2) = 6 x + 16 6 5 k ) 2z + 8 = 6z l)2 x

5=

6 x

+4

m) 5(1 y)2 5(y 2 3y 7) = y(y 3) 2y(y + 5) 2 n) 6x (2x + 1)) = {5x + [(2x 1)]} n) 14w (3w 2) [5w + 2 (w 1)] = 0 2. Resuelva la ecuacin para la incgnita indicada o o a) c = b) c) d)2ab , para b a+b V = 1 h2 (3R h), 3 ax+b = 2, para x cx+d F = G mM ; para r r2

e) S = para R

n(n+1) ; 2

para n

f ) A = 2lw + 2wh + 2lh; para h g) a2 + b2 = c2 ; para b

3. Plantee la ecuacin correspondiente con una incognita y resuelva o a) Determine un n mero tal que dos tercios de l incrementados en u e uno sean igual a 13. b) Determine las dimensiones de un rectngulo cuyo per a metro es de 56 pulgadas, si la longitud es 4 pulgadas mayor que el ancho. c) Cada uno de los dos lados iguales de un tringulo issceles tiene 3 a o pulgadas ms que la base. El per a metro tiene 21 pulgadas. Calcule la longitud de cada lado. d ) Roberto da una caminata a un paso de 3 millas por hora.Dos horas despu s, Rogelio trata de alcanzarlo trotando a 7 millas por hora. e Cunto tiempo tardar en llegar donde est Roberto? a a a

5.2. EJERCICIOS

55

e) La suma de tres n meros es 238. El primero excede al duplo del u segundo en 8 y al tercero en 18. hallar los nmeros. u 4. Resolver la siguientes ecuaciones a) x2 5x + 6 = 0 b) x2 10x = 0 c) 2x2 = x d ) 4x2 15x = 9 e) (y + 1)(y + 2)= 30 f ) 2z(z + 6) = 22z g) x2 2x 15 = 0 h) 2w 2 2w = 15 i ) y 2 + 6y 14 = 0 j ) 2 4x x2 = 0 k ) 3z + 1 = 2z 2 l ) 2t2 t + 1 = 0 m) 4x2 + x = 3 n) 2y + 3 = 4y 2 n) o)4 x1 1 z

+1 2z

2 x+1

=

35 x2 1

1 10 5z = z+1 p) y 2 5y + 1 = 0

q)

x2 x+100

= 50 =2 x+3

r) 1 + s) t) 1 w1

2x (x+3)(x+4)

+

4 x+4

2 w2

=0

2x + 1 + 1 = x u) 2y + y + 1 = 8 v) x5+x= 5 w ) 4(z + 1) 2 5(z + 1) 2 + (z + 5 1) 2 = 0 x ) x 2 + 3x y)1 z31 1 2 1 3

= 10x4 z

3 2

+

4 z2

+

=0

5. Plantee la ecuacin correspondiente con una incgnita y resuelva o o a) La suma de un n mero y su cuadrado es 56. calcule el n mero. u u b) La longitud de un rectngulo es 3 cm mayor que su ancho. El area a 2 es de 70 cm .Determine las dimensiones del rectngulo. a c) Se debe fabricar una caja con base cuadrada y sin tapa a partir de un trozo cuadrado de cartn, cortando cuadrados de 4 pulgadas o en cada una de las esquinas y doblando los costados. La caja debe tener 100 pulgadas cbicasCul es el tama o de la pieza de u a n cartn necesaria? o d ) Durante su carrera en las ligas mayores, fabio conect 31 cuadrano gulares ms que Juan. Juntos batearon 1459Cuntos conect Juan? a a o 6. Determine las soluciones del sistema de ecuaciones

56 a) b) c) d) e) f) 2u 6v = 16 5u 3v = 8 + 3y = 6 x 8y = 18 3s + t 3 = 0 2s 3t 2 = 01 w + 1y 4 3 1 w+y 2 5 = 12 =1 1 x 2

CAP ITULO 5. ECUACIONES g) h) i) j) k) l) 4x = 7y 6 9y = 12x + 12 x2 + y 2 = 25 y = 3x 4 w 2 + t2 = 8 w+t=0 v2 + w = 9 vw+3= 0 2x2 + 4y = 13 x2 y 2 = 7 2 3x2 + 4y = 17 2x2 + 5y = 2

2(x y 1) = 1 2x 6(x y) = 4 3(3y x)x2 5 x+2 3

+

y+1 10 y+3 2

=1 =4

7. Use un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incgnitas para resolver o los siguientes problemas a) El per metro de un rectngulo es de 72 pulgadas. Su longitud es a tres y media veces el ancho. Calcule las dimensiones. b) El triple del mayor de dos n meros es 10 ms que el doble del u a menor. Cinco veces el menor es cuatro veces el mayor menos 11.Cules son los n meros? a u

5.3.

Ecuaciones de Orden Superiora) x3 3x2 4x + 12 = 0 b) z 3 4z 2 + z + 6 = 0 c) x3 2x2 2x 3 = 0 d ) x4 2x3 3x2 + 8x 4 = 0 e) w 4 w 3 23w 2 3w + 90 = 0 f ) x5 4x4 3x3 + 22x2 4x 24 = 0 g) 3t5 14t4 14t3 + 36t2 + 43t + 10 = 0

1. Resolver las ecuaciones

5.3. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR h) x6 729 = 0 i ) y 3 2y 2 + 2y 1 = 0 j ) 2x6 + 5x5 + x4 + 10x3 4x2 + 5x 3 = 0

57

Cap tulo 6 Solucin de problemas o6.1. Introduccin o

La solucin de problemas prcticos en Ingenier Econom F o a a, a, sica y muchas otras areas de la ciencia aplicada, casi siempre llevan a resolver sis temas de ecuaciones. Muchos de estos sistemas se podrn resolver utilizando a los procedimientos estudiados hasta ahora. Veamos la sguete aplicacin: o Ejemplo 6.1. Un problema de Circuitos: La red de resistencia elctrica de la gura 2.1 contiene resistencias de R1 e a R8 y dos fuentes de tensin o voltaje V1 y V2 . Las corrientes en los cuatro o circuitos cerrados de la red son i1 a i4 , que se dibujan en sentido contrario a las manecillas del reloj(se hubieran podido dibujar de otra manera) R3 R8 i1 V2? w

R5 R4

i2w

V16 w

R2 i3

R7 i4w

R1 59

R6

60

CAP ITULO 6. SOLUCION DE PROBLEMAS

Las Ecuaciones para las corrientes en trminos de las resistencias y tene siones conocidas se obtienen de la ley de Ohm y de la ley de Kirchho para el voltaje. Estas leyes son: Ley de Ohm: La ca de voltaje a travs de una resistencia R es da e (iR) en la direccin de la corriente i . o Ley de Kirchho para el voltaje: La ca de voltaje neta en un da circuito cerrado es cero. Ley de Kirchho para la corriente: La corriente neta que sale de un nodo de un circuito es cero Las ecuaciones obtenidas son: Circuito Circuito Circuito Circuito 1 i1 R1 + (i1 i4 ) R4 + (i1 i1 ) R2 + V1 2 (i2 i1 ) R2 + (i2 i3 ) R5 + i2 R3 V2 3 (i3 i4 ) R7 + i3 R8 + (i3 i2 ) R5 4 i4 R6 + (i4 i3 ) R7 + (i4 i1 ) R4 = = = = 0 0 0 0

Obviamente este es un S.E.L. cuya solucin, a lo mejor, requiere de un o proceso bastante engorroso para ser hallada, pero que obviamente se puede encontrar. Nota: Asigne valores a las resistencias y a la fuentes y resuelva el sistema de ecuaciones obtenido en el ejemplo 6.1 utilizando alg n programa de u computador.

6.2.

Estrategia para resolver problemas

En la solucin de problemas de aplicacin siempre es bueno tener una o o estrategia metodolgica para abordarlos, aqu sugerimos algunos pasos que o pueden ser aplicados indistintamente a diferentes tipos de situaciones, en diferentes reas del conocimiento: a Denicin de variables: o Lea cuidadosamente el problema y determine las variables necesarias a ser denidas para el posterior planteamiento del mismo. Aqu es necesario hacer diferencias entre los trminos desconocidos o incgnitas e o y los conocidos o constantes.

6.2. ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS Planteamiento del problema:

61

Aqu se pretende que el estudiante transforme la informacin conteni o da en el problema, en ecuaciones; dicha informacin la mayor de las o a veces est redactada en forma verbal y se requiere de una buena doa sis de practica, para desarrollar la habilidad de hacer esta especie de traduccin del lenguaje verbal al lenguaje matemtico. o a Solucin de las ecuaciones: o Esta es quizs la parte ms sencilla en la solucin de un problema de a a o aplicacin, dado que aqu se trata de aplicar los mtodos estudiao , e dos previamente para resolver ecuaciones, tambin es necesario que el e estudiante conozca las operaciones y propiedades estudiadas, para los n meros involucrados en el problema. u Interpretacin de resultados: o Es necesario que la persona que resuelve un problema de aplicacin, o sea consciente de las unidades de cada variable, al igual que de su valor numrico, para que pueda al nal del proceso, vericar que stas tienen e e sentido y adems poder expresar su respuesta en trminos de unidades a e y cantidades reales y no las denidas en la primera parte del proceso. Veamos un par de ejemplos en los que se pretende mostrar cada uno de los pasos del anterior proceso: Ejemplo 6.2. El Problema:En un corral hay 70 animales entre conejos y gallinas. Si entre todos los animales suman 190 patas. Cuntos conejos y a cuntas gallinas hay en el corral? a Denicin de variables: o Si leemos detenidamente el problema, deducimos que el objetivo es calcular la cantidad de conejos y la cantidad de gallinas que hay en el corral, por lo tanto alrededor de este objetivo, deniremos nuestras incgnitas. o x1 : = Cantidad de conejos x2 : = Cantidad de gallinas

62

CAP ITULO 6. SOLUCION DE PROBLEMAS Estas tres variables se hubieran podido nombrar de cualquier forma com0 , , , a, b, c o x, y, z sin que ello afecte la solucin del problema. o Planteamiento del problema: Para plantear el problema, se desglosar el texto inicial teniendo en a cuenta los signos de puntuacin y las oraciones completas que lo cono forman. As la expresin: , o En un corral hay 70 animales entre conejos y gallinas. Se puede escribir como: x1 + x2 = 70 Ahora, la frase: Si entre todos los animales suman 190 patas Se puede escribir como: 4x1 + 2x2 = 190 As las cosas, escribiendo los resultados anteriores, el problema se puede resumir en: x1 + x2 = 70 (6.2) 4x1 2x2 = 190 el cual, como se observa es un sistema de ecuaciones lineales de 2 2 que se puede resolver utilizando los mtodos estudiados en el cap e tulo 5. Solucin de las ecuaciones: o Utilizaremos un procedimiento intuitivo para resolver el sistema. Imagine que en el corral estn los 70 animales y usted de alguna manera a logra que los conejos se paren en sus patas traseras, esto signica que todos los animales (gallinas y conejos) quedar parados en dos patas an y por lo tanto habr 140 patas en el piso, como en total hay 190 patas, a esto signica que hay 50 patas de conejo levantadas, dos por cada conejo y por ende hay 25 conejos. Como el resto de los 70 animales son gallinas, quiere decir que hay 45 gallinas en el corral. (6.1)

6.2. ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS Interpretacin de resultados: o

63

De acuerdo a las variables denidas y los resultados obtenidos mediante el proceso anterior, podemos concluir que: En el corral hay 25 conejos y 45 gallinas Ejemplo 6.3. El problema: Tres especies de ardillas han sido llevadas a una isla con una poblacin inicial total de 2000. Despus de 10 a os la o e n especie I ha duplicado su poblacin, la especie II se ha incrementado en un o 50 % y la especie III se ha extinguido. Si el incremento de la poblacin de la o especie I es igual al de la especie II y si la poblacin total se ha incrementado o en 500, determine la poblacin inicial de cada una de las tres especies o Denicin de variables: o Si leemos detenidamente el problema, deducimos que el objetivo es calcular la cantidad inicial de ardillas en cada una de las especies, por lo tanto alrededor de ste objetivo, deniremos nuestra incognitas. e x1 : = Cantidad inicial de ardillas de la especie I x2 : = Cantidad inicial de ardillas de la especie II x3 : = Cantidad inicial de ardillas de la especie III Estas tres variables se hubieran podido nombrar de cualquier forma como x, y, z o a, b, c sin que ello afecte la solucin del problema. o Planteamiento del problema: Para plantear el problema, se desglosar el texto inicial teniendo en a cuenta los signos de puntuacin y las oraciones completas que lo cono forman. As la expresin: , o Tres especies de ardillas han sido llevadas a una isla con una poblacin o inicial total de 2000. Se puede escribir como: x1 + x2 + x3 = 2000 (6.3)

Dado que las variables utilizadas fueron denidas previamente. Es importante aclarar que tanto las variables como la frase, se reeren a la cantidad inicial de ardillas y no a la cantidad despus de 10 a os. e n

64 Ahora, la frase:

CAP ITULO 6. SOLUCION DE PROBLEMAS

Despus de 10 a os la especie I ha duplicado su poblacin, la especie e n o II se ha incrementado en un 50 % y la especie III se ha extinguido Se puede escribir como: 2x1 = x2 + 50 %x2 = Cantidad nal de ardillas de la especie I Cantidad nal de ardillas de la especie II

Las cuales representan la poblacin de ardillas, 10 a os despus. o n e Igualmente: Si el incremento de la poblacin de la especie I es igual al o de la especie II podemos expresar la palabra incremento como el valor nal de algo, menos el valor inicial y por tanto 2x1 x1 =Incremento en la cantidad de ardillas de la especie I x2 + 50 %x2 x2 =Incremento en la cantidad de ardillas de la especie II Es decir 2x1 x1 = x2 + 50 %x2 x2 Y por ultimo si la poblacin total se ha incrementado en 500 o entendida como poblacin total nal menos poblacin total inicial, o o ser a: (6.5) 2x1 + (x2 + 50 %x2 ) 2000 = 500 As las cosas, escribiendo los resultados (6.3), (6.4) y (6.5) el problema se puede resumir en : x1 + x2 + x3 = 2000 2x1 x1 = x2 + 50 %x2 x2 (6.6) 2x1 + (x2 + 50 %x2 ) 2000 = 500 el cual, como se observa es un sistema de ecuaciones lineales de 3 3 (6.4)

6.3. EJERCICIOS

65

El anterior sistema se puede simplicar y sus variables se pueden ordenar para presentarlo como: x1 + x2 + x3 = 2000 0 x1 1 x2 = (6.7) 2 2x1 + 3 x2 = 2500 2 Solucin de las ecuaciones: o Utilizando cualquiera de los etodos estudiados se puede resolver el m x1 = 500 x2 = 1000 sistema (6.7), obtenindose: e x3 = 500 Interpretacin de resultados: o De acuerdo a las variables denidas y los resultados obtenidos mediante el proceso de reduccin, podemos concluir que: o La poblacin inicial de la isla estaba conformada por 500 ardillas de o la especie I, 1000 ardillas de la especie II y 500 ardillas de la especie III

6.3.

Ejercicios

Dena adecuadamente las variables necesarias y plantee las ecuaciones correspondientes en los siguientes problemas: 1. Un editor publica un posible xito de librer en tres presentaciones e a distintas: Libro de bolsillo, club de lectores y edicin de lujo. Cada o libro de bolsillo necesita un minuto para el cosido y 2 para el pegado. Cada libro para el club de lectores necesita 2 minutos para el cosido y 4 para el pegado. Cada libro en edicin de lujo necesita 3 minutos o para el cosido y 5 para el pegado. Si la planta de cosido esta disponible 6 horas diarias y la planta de pegado 11 horas, Cuntos libros de a cada presentacin se pueden hacer por d de modo que las plantas se o a aprovechen a toda capacidad?

66

CAP ITULO 6. SOLUCION DE PROBLEMAS 2. Un departamento de caza y pesca estatal suministra tres tipos de alimento a un lago que mantiene a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana, un promedio de dos unidades del alimento A, tres unidades del alimento B y dos unidades del alimento C. Cada pez de la especie 2, consume cada semana un promedio de seis unidades del alimento A, doce unidades del alimento B, y cinco unidades del alimento C. Para un pez de la especie 3, el consumo semanal promedio es cuatro unidades del alimento A, tres unidades del alimento B y cinco unidades del alimento C. Cada semana se proporciona al lago 3000 unidades del alimento A, 3000 del B y 3500 del C. Si se supone que todo el alimento es ingerido, cuntos peces de cada a especie pueden coexistir en el lago?. Existe una unica solucin?. o 3. Una compa cuenta con tres tipos de mquinas I, II y III que prona a ducen dulces de tres clases: A, B y C, de tal forma que el n mero de u dulces que producen diariamente es: 760 de clase A, 380 de clase B y 660 de clase C. Si la mquina tipo I produce diariamente 20 dulces del a tipo A, 10 dulces del tipo B y ningn dulce del tipo C; La mquina u a tipo II produce diariamente 24 dulces del tipo A, 18 dulces del tipo B y 30 dulces del tipo C; y la mquina tipo III produce 30 dulces del tipo a A, 10 dulces del tipo B y 30 dulces del tipo C, Cuntas mquinas de a a cada tipo posee la compa na? 4. La Compa Alkos fabrica tres tipos de computadora: Cicln, C na o clope y Cicloide. Para armar una Cicln se necesitan 10 horas, otras 2 horas o para probar sus componentes y 2 horas ms para instalar sus prograa mas. El tiempo requerido para la C clope es 12 horas en su ensamblado, 2.5 para probarla y 2 horas para instalar los programas. La Cicloide, la ms sencilla de la l a nea, necesita 6 horas de armado, 1.5 horas de prueba y 1.5 horas de instalacin de programas. Si la fbrica de esta o a empresa dispone de 1560 horas de trabajo por mes para armar, 340 horas para probar y 320 horas para instalar, Cuntas computadoras a de cada tipo puede producir en un mes? 5. Calcule la longitud de cada lado de un paralelogramo con 100 centmet ros de per metro y en el que dos lados consecutivos dieren 10 cent metros en su longitud 6. Tres compuestos se mezclan para formar tres tipos de fertilizantes. Una

6.3. EJERCICIOS

67

unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg. del compuesto A, 30 del B y 60 del C; una unidad del tipo II requiere 20 kg del A, 30 del B y 50 del C; Una unidad del tipo III requiere 50 kg. de A, y 50 del C. Si hay disponibles 1600 kg. del compuesto A, 1200 kg. del B y 3200 del C, Cuntas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir a si se usa todo el material qu mico disponible? 7. Un empleado de cierta empresa extranjera debe visitar Bogot, Medell a n y Cali para realizar un trabajo y en cada ciudad debe permanecer m nimo 2 d as. Suponga que en cada una de las tres ciudades gasta 10 dlares diarios en transporte. Los gastos diarios en alimentacin son: o o en Bogot 20 dlares, en Medell 30 dlares y en Cali 30 dlares. a o n o o Por concepto del hotel el gasto diario es , en Bogot 40 dlares, en a o Medell 20 dlares y en Cali 20 dlares. Suponiendo que los viticos n o o a totales por los tres conceptos estn distribuidos como sigue: 140 dlares a o para transporte, 320 dlares destinados a la alimentacin y 480 para o o el hotel. a) Determine el n mero de d que el empleado puede permanecer u as en cada una de las tres ciudades. b) Encuentre el gasto total en Bogot. a c) Como cambiar la solucin si no se tuviera la condicin de pera o o manecer m nimo 2 d en cada ciudad? as 8. Para cierto tipo de cultivo, se recomend que cada pie cuadrado de o terreno sea tratado con 10 unidades de fsforo, 9 unidades de potasio y o 19 unidades de nitrogeno. Suponga que hay tres marcas de fertilizantes en el supermercado, digamos marca X , marca Y y marca Z. Una libra de la marca X contiene 2 unidades de fsforo, 3 unidades de potasio y o 5 unidades de nitrgeno. Una libra de la marca Y contiene una unidad o de fsforo, 3 unidades de potasio y 4 unidades de nitrgeno. Una libra o o de la marca Z contiene slo una unidad de fsforo y una de nitrgeno. o o o a) Tenga en cuenta el hecho obvio de que un nmero negativo de u libras de cualquier marca no puede ser aplicado y que slo se puede o aplicar un n mero entero de libras de cada marca. Bajo estas u restricciones, determine todas las posibles combinaciones de las

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CAP ITULO 6. SOLUCION DE PROBLEMAS tres marcas que pueden ser aplicados para satisfacer exactamente las cantidades recomendadas. b) Suponga que la marca X cuesta $1000 por libra, la marca Y cuesta $6000 por libra y la marca Z, $3000 por libra. Determine la combinacin ms econmica que satisfaga exactamente las cantio a o dades recomendadas y las restricciones de la parte a.

Cap tulo 7 Matemtica Recreativa aAdicionemos algunos problemas sencillos y asequibles al estudiante, para hacer ms ameno el desarrollo de stos mdulos introductorios a las matemticas a e o a superiores. LLammolos, rompecabezas o si se preere devana sesos. e Tambin podr e amos denominar a stos ejercicios, los ((Escapes a la rutie na)); siempre y cuando se planteen de tal forma que facilite el abordaje de los mismos, en grupos de tres personas y de cada uno de stos, un delegado e interact e luego con el delegado de cada uno de los dems grupos, en una u a especie de reuni n plenaria para debatir el anlisis de cada ejercicio. o a Veamos algunos problemas ilustrativos: 1. Cuntos a os tiene? a n A un acionado le preguntaron cuntos a os ten -Su respuesta nos a n a. lleva a un anlisis y plantear un modelo sencillo, para describir ste tipo a e de respuestas- veamos, dijo: Tomen tres veces los a os que tendr al n e cabo de los prximos tres a os, al resultado resten tres veces los a os o n n que ten hace tres a os y obtendrn la respuesta esperada. a n a 2. Preparacin de una solucin. o o Recuerdan qu mica?, Ah, que se puede esperar! En una probeta graduada se tiene un poco de cido clorh drico, -(no lo vaya a tocar!)- en a otra, se tiene la misma cantidad, pero de agua. Para preparar una solucin, al comienzo se transri de la primera probeta a la segunda veinte o o gramos del acido. A continuacin, dos tercios de la solucin obtenida se o o vac a la primera. Luego de sto, en la primera probeta result haber an e o un cuarto ms de l a quido que en la segunda. Cunto de cada l a quido se tom inicialmente? o 69

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CAP ITULO 7. MATEMATICA RECREATIVA 3. Que no se derritan las neuronas! Sale el adolescente a un partido clsico de Millonarios vs Santaf. a e Adems de su boleto, llevaba unos quince mil pesos en billetes de mil a y monedas de doscientos pesos. Al regresar alegre y satisfecho con el empate, tra tantos billetes como monedas ten al principio, y tantas a a monedas como billetes ten a la ida. Le qued un tercio del monto a o inicial de dinero. Cunto gast entonces? a o 4. Cien mil por cinco mil pesos. Un cuentero invitado por Bienestar Universitario a la plazoleta central de la Facultad Tecnolgica, hace la siguiente propuesta al p blico o u estudiantil: Declaro que pagar cien mil pesos al que me de cinco mil e en veinte monedas; deber haber entre stas, tres clases de monedas: a e de quinientos, de doscientos y de cincuenta pesos. Seguidamente dice: puede ser que no tengan uds. menuda! no se preocupen; dejen por escrito, cuantas monedas de cada clase se comprometen a traer.

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