Mecánica Analítica Email: foxmancol@hotmail.com Ing Antonio Ospino Martinez Cel: 3008042083

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MODULO II. SOLIDOS RIGIDOS 2.1. FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS. A las fuerzas que actúan sobre un cuerpo se les suele agrupar en dos grupos: Fuerzas Externas: que son las fuerzas de otros cuerpos que actúan sobre nuestro cuerpo de estudio; estas son las que causan que el cuerpo se mueva o permanezca en reposo Fuerzas Internas: Son las que mantienen unidad las partículas del cuerpo rígido. 2.2. PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD. Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán sin cambio si una fuerza F que actúa en un punto de un cuerpo rígido se sustituye por una fuerza F ` de la misma magnitud y la misma dirección, pero actuando en un punto diferente, siempre que las dos fuerzas tengan la misma línea de acción. Las fuerzas F y F` tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rígido y se dice que son equivalentes. 2.3. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO. Sea una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido. Se define el momento de una fuerza F con respecto o alrededor de un punto O, como: Mo = r x F Donde r representa el vector de posición del punto sobre el cual se aplica la fuerza.

La dirección y sentido del vector de momento Mo, obedece a la regla de la mano derecha. Su magnitud es: Mo = r * F* SENθ = F*d d: es la distancia perpendicular de O a la línea de acción de F.

2.4. TEOREMA DE VARIGNON. Sean varias fuerzas F1 , F2 , Fn actuando en un mismo punto A.

Mo F

rO d A

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El momento con respecto al punto O viene dado por la expresión: Mo = r X (F1 + F2 +...+ Fn ) Mo = r X F1 + r X F2 +...+ r X Fn Por otro la do sea el vector R el resultante de F1 + F2 +...+ Fn , o sea, R = F1 + F2 +...+ Fn

Mo = r X R

2.5.COMPONENTES RECTANGULARES DEL MOMENTO DE UNA FUERZA. Tenemos un vector de posición r y un vector de fuerza F, si descomponemos ambos vectores en sus componentes rectangulares, tenemos:

F = Fx i + Fy j + Fz k r = x i + y j + z k El momento de esa fuerza con respecto a O sería: Mo = Mx i + My j + Mz k Mo = r x F = i j k x y z Fx Fy Fz Mx = yFz – zFy My = - xFz + zFx Mz = xFy – yFx

Para calcular el momento alrededor de un punto B en el espacio de una fuerza F aplicada en un punto A en el espacio:

MB = r A/B X F = ( rA – rB ) X F MB = r A/B X F = i j k xA/B yA/B zA/B Fx Fy Fz Mx = yA/B Fz – zA/B Fy My = - xA/B Fz + zA/B Fx Mz = xA/B Fy – yA/B Fx Donde: xA/B = xA – xB yA/B = yA – yB zA/B = zA – zB

YF1 F2

r F3

OX

Z

Y Fy j

y j Fx i

A r

Fz k x i X

z k

Z

( yA - yB ) j Fy j

Fx i A

Y r A/B

B Fz k ( xA - xB ) i

( zA - zB ) k

XZ

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Si se quiere saber el valor escalar de un vector de momentos: M = Mx i + My j + Mz k M = [ Mx2 + My2 + Mz2 ]0.5 2.6. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE. Sea un eje de rotación L y conocemos dos puntos B y C que hacen parte de ese eje, el momento de un fuerza F aplicado en un punto A externo a dicho eje :

Tomando un punto arbitrario B: MBL = λ . MB = λ . ( rA/B X F ) Tomando un punto arbitrario C: MCL = λ . MC = λ . ( rA/C X F ) El resultado obtenido es independiente del punto seleccionado sobre el eje de referencia. λ es el vector unitario a lo largo del eje de referencia

λ se obtiene de tomar dos punto conocidos del eje, en este caso B y C donde: COORD. PUNTO B COORD. PUNTO C XB , YB, ZB XC , YC , ZC dX = XB – XC

dY = YB – YC dZ = ZB – ZC

d = [ dx2 + dy

2 + dz2 ]0.5

Donde: λ = ( dx / d ) i + ( dy /d ) j + ( dz / d ) k El vector de momento que experimenta el eje, viene dado por la expresión: MCL = MC λ NOTA:

La dirección del vector unitario λ dependerá de los puntos tomados como referencia.

El valor de MCL da el valor del momento que gira sobre el eje y su sentido horario o anti horario lo da el signo del mismo en función del vector λ de acuerdo a la regla de la mano derecha.

Y L

F λ

B A

O CX

Z

rA/B = rA - rB