modulo calculo

7/24/2019 Modulo Calculo

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Mdulo Instruccional Autor: Mgs. Vicente Sanguano M.

UIDE 1

MDULO INSTRUCCIONAL - MODALIDAD DISTANCIA.CARRERA:ASIGNATURA: Clculo Aplicado SED-A

DOCENTE Mgs. Vicente Sanguano

TELFONO: 0991004712SEMESTRE (mes ao a mesao): Septiembre2015 a Febrero -2016FECHA: 26 de Septiembre del 2015

1. NDICE.

BIENVENIDA.. 1

OBJETIVOS. 1

RESULTADOS DEL APRENDIZAJE EN TRMINOS DE COMPETENCIAS 2

DESARROLLO DE CONTENIDOS 2

GUA DE ESTUDIOS .... .......32

TAREAS .33

BIBLIOGRAFA...35

BIENVENIDA

Estimados(as) estudiantes,

Como docente de la asignatura Clculo Aplicado en el presente perodo 2015-2016 les

doy la ms cordial bienvenida. En esta nueva fase de sus estudios se requiereperseverancia y dedicacin, quiero invitarlos a iniciar el estudio de esta interesante y

necesaria asignatura con decisin. Recuerden que nosotros los profesores estaremos

junto a ustedes para acompaarles y orientarles en el proceso de aprendizaje.

Bienvenidos a este nuevo reto y muchos xitos

2. OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA.


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UIDE 2

Resolver problemas de situaciones reales y de la profesin relacionados con el clculo de

mximos y mnimos y reas irregulares, a travs de modelos matemticos de derivacin

e integracin de funciones que permitan una verdadera toma de decisiones, evidenciando

el desarrollo del pensamiento lgico, crtico, reflexivo y creativo.

3. RESULTADOS DEL APRENDIZAJE EN TRMINOS DE COMPETENCIAS.

Caracterizar las funciones matemticas, sus componentes, clases y las

operaciones con funciones

Aplicar las diferentes reglas de clculo de lmites de funciones como base para

el entendimiento de los procesos de derivacin e integracin

Resolver problemas de la vida real relacionados con mximos y mnimos

mediante los modelos matemticos de la derivacin de funciones.

Resolver problemas de la vida real relacionados con reas irregulares mediante

los modelos matemticos de la integracin de funciones

4. DESARROLLO DE CONTENIDOS.

La asignatura est organizada en unidades, cada una con temas especficos, con una

visin integradora que permite la formacin holstica del futuro egresado, para que le

habilite constituirse en un ser reflexivo, autnomo, crtico y comprometido con el

cambio de la sociedad.

Unidades

1. Fundamentos de funciones

1.1. Relaciones y Funciones

1.2. Reconocimiento de las Funciones

1.3. Combinacin de Funciones

1.4. Clases de Funciones

1.5. Operaciones con Funciones

1.6. Composicin de Funciones

1.7. Aplicaciones

2. Lmtes de funciones

2.1. Definicin del lmite de una funcin l


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UIDE 3

2.2. Mtodos de clculo del lmite de una funcin

2.3. Lmites de funciones polinmicas

2.4. Anlisis de casos de indeterminacin

2.5. Lmites de funciones especiales

2.6. Aplicaciones

3. Derivacin de funciones y sus aplicaciones

3.1. Definiciones de la derivada de una funcin

3.2. Interpretacin geomtrica y fsica de la derivada Exponencial

3.3. Mtodos de clculo de las derivadas de funciones

3.5. Regla de cadena para la derivacin de funciones compuestas

3.6. Mximos y mnimos de una funcin3.7. Aplicaciones en situaciones reales de la vida y de la profesin

4. Integracin de funciones y sus aplicaciones

4.1. Definiciones de la integral de una funcin

4.2. Interpretacin del resultado del proceso de integracin

4.3. Integracin indefinida y sus mtodos de clculo

4.4. Integracin definida y su proceso de clculo

4.5. Aplicaciones de la integral definida al clculo de reas irregulares

SISTEMA DE HABILIDADES A DESARROLLAR

Analizar

Deducir

Plantear RESOLVERPROBLEMAS

Aplicar

Verificar

Interpretar

PRINCIPALES PROCESOS DEL APRENDIZAJE EN LA ASIGNATURA.

Para resolver un problema de una situacin real se sugiere realizar el siguiente proceso:


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UIDE 4

1. Formular el problema El docente propone problemas reales que pueden serobtenidos del texto gua.

2. Interiorizar el problema Involucrarse y ser partcipe del problema, obteniendodatos e incgnitas.

3. Plantear un modelo matemtico Comprender el lenguaje tcnico.

Realizar un adecuado razonamiento lgico.Plantear el modelo matemtico con el menor nmero devariables.Ser perseverante, tolerante y trabajar en equipo.

4. Alternativas de solucin Dominio de los fundamentos y procesos matemticos yseleccionar el ms adecuado.

5. Comprobacin del modelomatemtico, y toma de decisiones

Utilizar procesos matemticos de comprobacin(analtico, grfico, laboratorio, etc.)

6. Interpretacin de resultados Escribir la interpretacin de acuerdo a los requerimientosdel problema y a las interrogantes en los datos.

ORIENTACIONES PARA EL TRABAJO CON LAS UNIDADES DIDCTICAS

UNIDAD 1 : TEORA DE PROBABILIDADES

SNTESIS DEL CONTENIDO A TRATAR

La funcin sus elementosY su reconocimiento

Operaciones conFunciones Aplicaciones a la Administracin

y Economa

Composicin de funciones

1.1 FUNCIN

Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una funcin definida en el conjunto D ytomando valores en el conjunto I cuando a cada elemento de D se le asigna uno y slo unelemento de I.

Se presenta porf: D I

El conjunto D recibe indistintamente los nombres de conjunto origen, conjunto inicial,dominio de la funcin, o campo de existencia de la funcin, y se representa porDom(f).

Un elemento cualquiera del conjunto D se representa por la letra x, y es la variableindependiente.


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UIDE 5

Cada elemento x de D tiene por imagen, mediante la funcin f, un elemento de I que serepresenta por y , es la variable dependiente. Esto se expresa escribiendo y = f(x).

Ejemplo: clculo de campos de existencia de una funcin

1) Hallar el campo de existencia de la funcin f definida por f(x) = 1/(x - 2)

Resolucin:

- La funcin anterior asigna a cada nmero x, el valor

1 / (x - 2)

El campo de existencia est formado por todos los nmeros reales x, para los que su imagenest definida mediante la funcin f.

La expresin 1 / (x - 2) est definida para todos los nmeros reales, salvo para aquellos queanulen el denominador, puesto que la expresin 1 / 0 no es un nmero real. El denominadorx - 2 se anula cuando x = 2.

Por tanto, el campo de existencia de la funcin es R- {2}.

Su representacin mediante intervalos es C.E. = (-, 2) U (2, +)

2) Hallar el campo de existencia de la funcin g(x) = +

Resolucin:

- La expresin + est definida cuando el radicando es mayor o igual que cero,puesto que las races cuadradas de los nmeros negativos no tienen sentido en el conjuntode los nmeros reales.

Por tanto, se trata de hallar qu valores de x hacen que x - 9 0.

x - 9 0 x 9 |x| 3 -3 x 3.Luego C.E. = (-, -3] U [3, + ).

3) Hallar el campo de existencia de la funcin definida por h(x) = 1/(x - x - 6)

Resolucin:

- La expresin 1/(x - x - 6) est definida cuando el denominador no se anula.

x - x - 6 = 0

a = 1 b = -1 c = -6

x1,2=

12

61411 2


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UIDE 6

x1= 3

x2= -2

- Por tanto, al campo de existencia pertenecen todos los nmeros reales excepto el 3 y el -2.

C.E. = (-, -2) U (-2, 3) U (3, +).

4) Dada la funcin f, definida por f(x) = , hallar la imagen de los nmeros -3, 0, 3 y5. Cul es su dominio de definicin? Hay algn nmero que se transforme en el 0?

Resolucin:

f(-3) = =11

1

f(0) =2

1

f(3) = =11

1

f(5) = =27

1

- Campo de existencia:

El denominador nunca se hace cero, ya que x + 2 > 0 para cualquier x. Si

x + 2 < 0, no existira y por lo tanto la funcin no estara definida en esos puntos,pero x + 2 > 0 (es ms x + 2 2, ya que x 0). Por lo tanto, el campo de existencia deesta funcin es toda la recta real R.

- Para responder a la pregunta siguiente, hay que estudiar si existe algn nmero x, tal quef(x) = 0.

Si = 0 no existe ningn nmero

1.2 OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llamasuma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la funcin definida por


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UIDE 7

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dosfunciones reales de variable real f y g, como la funcin

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estn definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Sellama funcin producto de f y g a la funcin definida por

(f.g)(x) = f(x).g(x)

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, sellama funcin cociente de f y g a la funcin definida por

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

(La funcin f/g est definida en todos los puntos en los que la funcin g no se anula.)

Ejercicio

Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x - 4.

Definir la funcin f + g y calcular las imgenes de los nmeros 2, -3 y 1/5.

Resolucin:

- La funcin f + g se define como

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2 x - 4 = 5 x - 3.

(f + g)(2) = 5 2 - 3 = 7

(f + g)(-3) = 5(-3) - 3 = -18

(f + g)(1/5) = 5 1/5 - 3 = -2

Obsrvese que si se calculan las imgenes de f y g por separado y se suman, el resultado esel mismo.


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UIDE 8

Por ejemplo, para la imagen del 2,

f(2) = 3.2 + 1 = 7(f + g)(2) = 7 + 0 = 7

g(2) = 2.2 - 4 = 0

Dadas las funciones f (x) = x - 3, y g(x) = x + 3, definir la funcin (f - g)(x).Calcular las imgenes de 1/3, -2 y 0 mediante la funcin f - g.

Resolucin:

- (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x - 3 - (x + 3) = x - 3 - x - 3 = x - x - 6

- (f - g)(1/3) = (1/3) - 1/3 - 6 = - 56/9- (f - g)(-2) = (-2) - (-2) - 6 = - 0- (f - g)(0) = (0) - 0 - 6 = - 6Calculando las imgenes de los nmeros mediante las funciones f y g por separado, y

efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.3) Dadas las funciones f(x) = x/2 - 3 y g(x) = 2.x + 1, definir la funcin f.g.

Resolucin:

- (f.g)(x) = f(x).g(x) = (x/2 - 3).(2.x + 1) = x - 11.x/2 - 3

Calculando las imgenes de los nmeros mediante las funciones f y g por separado, ymultiplicando despus, se obtienen los mismos resultados.

Dadas las funciones f(x) = - x - 1, y g(x) = 2 x + 3, definir f/g.

Calcular las imgenes de los nmeros - 1, 2 y 3/2 mediante f/g.

Resolucin:

(f/g)(x) = f(x)/g(x) = (-x - 1)/(2.x + 3)

La funcin f/g est definida para todos los nmeros reales, salvo para x = -3/2, donde lafuncin g se anula.

(f/g)(-1) = 0/1 = 0

(f/g)(2) = -3/7

(f/g)(3/2) = (-5/2)/6 = -5/12

Calculando por separado las imgenes de los nmeros mediante las funciones f y g, ydespus efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.

1.3COMPOSICIN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composicin de las

funciones fy g, y se escribe g o f, a la funcin definida de Ren R.


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UIDE 9

Por (g o f)(x) = g[ f(x)] .

La funcin (g o f)(x) se lee f compuesto con g aplicado a x .

R f R

g R

x -> f(x) -> g.[f(x)]

Primero acta la funcin f y despus acta la funcin g, sobre f(x).

Clculo de la imagen de un elemento mediante una funcin compuesta

Para obtener la imagen de la funcin compuesta aplicada a un nmero x, se siguen estospasos:

1.Se calcula la imagen de x mediante la funcin f, f(x).

2.Se calcula la imagen mediante la funcin g, de f(x). Es decir, se aplica la funcin g al

resultado obtenido anteriormente.

Ejercicios

Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x .

Calcular g o f y la imagen mediante esta funcin de 1, 0 y -3.

Resolucin:

(g o f)(x) = g.[f(x)] = g.[(x + 3)] = (x + 3)

R

f R

g R

x -> f(x) = x + 3 g.[f(x)] = g.(x + 3) = (x + 3)

- La imagen de dos nmeros 1, 0, -3, mediante la funcin g o f es:

(g o f)(1) = g.[f(1)] = g.(1 + 3) = g.(4) = 4 = 16

(g o f)(0) = g.[f(0)] = g.(0 + 3) = g.(3) = 3 = 9

(g o f)(-3) = g.[f(-3)] = g.(-3 + 3) = g.(0) = 0 = 0

Dadas las funciones f(x) = x + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular:

a) (g o f) (x)

b) (f o g) (x)

c) (g o f) (1) y (f o g) (-1)

d) El original de 49 para la funcin g o f.


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UIDE 10

Resolucin:

a) La funcin g o f est definida por:

R f R

G R

xf(x) = x + 1 g[f(x)] = g(x + 1) = 3.(x + 1) - 2 = 3.x + 3 - 2 = 3.x + 1

b) La funcin f o g est definida por:

R g R

F R

xg(x) = 3.x - 2 f[g(x)] = (3.x - 2) + 1 = 9.x + 4 - 12.x + 1 = 9.x - 12.x + 5

Obsrvese que g o f f o g.

c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores:

(g o f)(1) = 9.1 - 12.1 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2

(g o f)(-1) = 9.(-1) - 12.(-1) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26

d) El original de 49 para la funcin g o f ser un nmero x, tal que (g o f)(x) = 49.(g o f) (x) = 3 x + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuacin.

3.x + 1 = 49 x = 16 x = 4

Ejercicios de aplicacin propuestos Unidad 1

Ejercicio 1.- obtenga el dominio de cada funcin.

a) g(x)=x / 5

b) 3)( xxh

c)z

zh 1)(

d)52

13)(

x

xxf

e)56

1)(

2

xx

xxf

g)52

)2)(3()(

2

xx

xxxf

h)4

2)(

2

x

xxf

i)52

)2)(3()(

2

xx

xxxf


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UIDE 11

j)4

2)(

2

x

xxf

Ejercicio 2.- Si 1)( 2 xxf y 4)( xg . Encontrar lo siguiente

a)

2

1gf

b) xg

f

c) xfog

Ejercicio 3.- Determinar funciones f y g tales que h(x)=f(g(x))

a)2

1)(

2 x

xh

b) 2)( 2 xxh

c) 53

1)(

xxh

Ejercicio 4.- Si1

1)(

2

xxf y 3)( xxg . Encontrar lo siguiente

a) xgof

Ejercicio 5.- Determine las funciones f y g tales que h(x)=g(f(x))

211

)(2

x

xxh

Ejercicio 6.- Si2

12)(

3

xxf y 3

21)( xxg . Encontrar lo siguiente

a) xgof

Ejercicio 7.- Determine las funciones f y g tales que h(x)=g(f(x))

3

26

13

1)(

5

x

xxh


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UIDE 12

UNIDAD 2: LMITES DE FUNCIONES

2.1 DEFINICIN DE LMITES

El concepto de lmite es la base fundamental con la que se construye el clculo

infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el lmitees elvalor al que tiende una funcin cuando la variable independiente tiende a un nmerodeterminado o al infinito.

Antes de establecer la definicin formal del lmite de una funcin en general vamos aobservar qu sucede con una funcin particular cuando la variable independiente tiende(seaproxima) a un valor determinado.

Ejemplo:

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en elentorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la funcin f(x):

x (x) Cuandoxse aproxima a 2, tanto por la izquierda como por laderecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) seaproxima, tiende, cada vez ms a 3; y cuanto ms cerca est xde 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valorabsoluto entrexy 2 es ms pequea asimismo la diferencia, envalor absoluto, entre f(x) y 3 se hace cada vez ms pequea.(Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha).Osea, la funcin se acerca a un valor constante, 3, cuando la

variable independiente se aproxima tambin a un valorconstante.

1.91.991.9991.99992.00012.0012.01

2.1

2.612.96012.9960012.999600013.000400013.0040013.0401

3.41

De lo anterior se deduce intuitivamente que el lmite de la funcin f(x) cuandoxtiende a 2,es 3.

Ahora, pasamos a dar la definicin formal de lmite:

Definicin psilon-delta

Sea funa funcin definida en algn intervalo abierto que contenga a a. El lmite def (x) cuandox tiende a a es L, y se

escribe

Nota: no es necesario quefeste definida en apara que el lmite exista.


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UIDE 13

Ejercicios resueltos (aplicando la definicin epsiln-delta)En los ejercicios 1 a 4, demuestre que el lmite es el nmero indicado aplicando la

definicinEpsiln-delta:

S o l u c i o n e s

1.Solucin:

2. Solucin:
http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id20_m.htm#definici%C3%B3n_epsil%C3%B3n_delta#definici%C3%B3n_epsil%C3%B3n_deltahttp://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id20_m.htm#4__#4__http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id20_m.htm#3__#3__http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id20_m.htm#2__#2__http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id20_m.htm#1__#1__http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id20_m.htm#definici%C3%B3n_epsil%C3%B3n_delta#definici%C3%B3n_epsil%C3%B3n_delta


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UIDE 14

3. Solucin:

4. Solucin:


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UIDE 15

2.2 PROPIEDADES DE LOS LMITES

Para facilitar la obtencin del lmite de una funcin sin tener que recurrir cada vez a ladefinicinEpsiln-Delta se establecen los siguientes teoremas.Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.

Teorema de lmite1:Si kes una constante y aun nmero cualquiera, entonces

Teorema de lmite2:Para cualquier nmero dado a,

Teorema de lmite3:Si my bson dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema de lmite4:
http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id20_definici%C3%B3n_epsil%C3%B3n_delta.htmhttp://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id20_definici%C3%B3n_epsil%C3%B3n_delta.htm


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UIDE 16

Teorema de lmite5:

Teorema de lmite6:Si f es un polinomio y aes un nmero real, entonces

Teorema de lmite7:Si qes una funcin racional y apertenece al dominio de q, entonces

Teorema de lmite8:

2.3 PROCEDIMIENTOS PARA CALCULAR LMITES

Procedimiento para calcular lmites

Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el lmite se calculadirectamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier

polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinmicas es indistinto quenos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuandocalculamos el lmite de una funcin polinmica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a unafuncin racional y la propiedad 4 (III) tambin.Cuando al sustituir la aporxen la funcin nos da la forma indeterminada 0/0 es posiblecalcular el lmite pero, previamente, hay que transformar la frmula de la funcin de talmodo que, una vez hecha la simplificacin pertinente, se pueda evitar la divisin por cero:

para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacin,la conjugada, etc.


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UIDE 17

2.4 EJERCICIOS.

Ejercicios resueltosEvalu los siguientes lmites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada

paso:

S o l u c i o n e s1. Solucin

2. Solucin:

3. Solucin:

4. Solucin:
http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id375_m.htm#12__#12__http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id375_m.htm#11_#11_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id375_m.htm#10__#10__http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id375_m.htm#9__#9__http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id375_m.htm#8__#8__http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id375_m.htm#7__#7__http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id375_m.htm#6__#6__http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id375_m.htm#5__#5__http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id375_m.htm#4__#4__http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id375_m.htm#3__#3__http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id375_m.htm#2__#2__http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id375_m.htm#1__#1__


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UIDE 18

5. Solucin:

6. Solucin:No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendra la forma indeterminada 0/0;no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresin, se obtiene fcilmente el lmiteaplicando el TL1:

7. Solucin:No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendra la forma indeterminada 0/0;no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresin se obtiene fcilmente el lmiteaplicando el TL7 o el TL4(III):

8. Solucin:Si pretendiramos aplicar el lmite directamente a partir del TL7, nos dara la formaindeterminada 0/0;

por lo que, se debe factoriazar y luego simplificar la expresin antes de poder hacer uso delTL6:

9. Solucin:No se puede aplicar el lmite directamente, dara la forma indeterminada 0/0; no obstante,luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de laexpresin en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL parahallar el lmite:


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UIDE 19

10. Solucin:Luego de la transformacin de la expresin se aplican los TL7 y TL8:

11.Solucin:El lmite no se puede aplicar directamente, resultara la forma indeterminada 0/0; noobstante, una vez factorizando y simplificando, la expresin queda expedita para hallar ellmite mediante los TL7 y TL6:

12. Solucin:


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UIDE 20

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE LMITES. UNIDAD 2

Ejercicio 1.- En los ejercicios, demuestre que el lmite es el nmero indicado aplicando ladefinicinEpsiln-delta

a.) 12)48(2

xlmx

b.) 1)1(2

12

1

x

xlmx

c.) 3)12(1

xlmx

d.) 63

92

3

x

x

lmx

Ejercicio2.-

Considere la funcin.

1

1)(

3

x

xxf

De algunos valores un poco mayores y menores a 1 y explique a que valor se aproxima. ( esdecir cuando x se aproxima a 1).

Ejercicio 3.- Encuentre los lmites

a.)2

22

2

x

xxlmx

b.)2

22

2

x

xxlmx

c.)x

xlmx

4)2( 2

0

d.)45

822

2

4

xx

xxlmx

Ejercicio 4.- Encuentre el valor del lmite (Racionalice).

a)6

22

6

x

xlmx

=

b) lmw 6 1422

w

w

=
http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id20_m.htm#definici%C3%B3n_epsil%C3%B3n_delta#definici%C3%B3n_epsil%C3%B3n_deltahttp://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id20_m.htm#definici%C3%B3n_epsil%C3%B3n_delta#definici%C3%B3n_epsil%C3%B3n_delta


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UIDE 21

c) lmz 2

5 28 z

z=

UNIDAD 3: DERIVACIN DE FUNCIONES

3.1 LA DERIVADA

Se abre aqu el estudio de uno de los conceptos fundamentales del clculo diferencial: laderivada de una funcin.

En este tema, adems de definir tal concepto, se mostrar su significado y se hallarn las

derivadas de las funciones ms usuales. Es de capital importancia dominar la derivacinpara despus poder abordar el trazado de curvas, as como para comprender la utilidad delclculo integral, que se estudiarn a continuacin.La nocin de derivada es histricamente anterior al concepto de lmite aunque actualmentese estudie aqulla inmediatamente despus de ste, por razones que sern fcilmentecomprensibles.

La derivada de una funcin en un punto x0surge del problema de calcular la tangente a lagrfica de la funcin en el punto de abscisa x0, y fue Fermat el primero que aport la

primera idea al tratar de buscar los mximos y mnimos de algunas funciones. En dichospuntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ngulo que forman

con ste es de cero grados. En estas condiciones,Fermatbuscaba aquellos puntos en losque las tangentes fueran horizontales

3.2 DERIVADA DE UNA FUNCIN

Sea una funcin y = f(x) y x0un punto del eje X. Si se toma un punto x0+ h muy prximo ax0(h es un nmero infinitamente pequeo), a medida que se hace tender h a cero, la rectasecante (en rojo de la figura) que une los puntos( x0, f(x0) ) y ( x0+ h, f(x0+ h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la

figura)a la curva en el punto(x0,f(x0)).

que determina la tangente con ese mismo eje, en el tringulo rectngulo de vrtices
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UIDE 22

(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmentode la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la lnea roja seacerca a la lnea azul por lo que:

tg ah tiende a tg a, es decir, a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0)).Esto se expresa matemticamente as:

3.3 CLCULO DE DERIVADAS

a.) Derivada de una funcin constante

Sea una funcin constante f(x) = C.

Su grfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquiervalor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un

punto cualquiera del campo de definicin de f(x),

f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.


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UIDE 23

Ejemplos

Ejercicio n 1)

Sol:

Ejercicio n 2)

Sol:

Ejercicio n 3)

Sol:

Ejercicio n 4)

Sol:

Ejercicio n 5)

Sol:

Ejercicio n 6)

Sol:

b.) Derivada de la funcin lineal mx + b

Sea una funcin lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,

lo cual significa que laderivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, latangente en un punto a una recta es la propia recta.

Ejemplos

Ejercicio n 1)

Sol:

Ejercicio n 2)Sol:

c.) Derivada de la funcin potencia xm(m un nmero natural)

Para calcular la derivada de la funcin f(x) = xm, m > 0, hay que evaluar el cociente


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UIDE 24

Tomando lmites cuando h --> 0,

sumandos tiende a cero (su lmite es cero).Se concluye que

Ejemplos

Calcular la derivada de f(x) = x2en el punto de abscisa - 1.

Resolucin:

f '(x) = 2 x2 - 1= 2 x

f '(- 1) = 2 (- 1) = - 2

Entonces, la pendiente de la tangente a la parbola y = x

2

en x = - 1 es - 2.

Ejercicio n 1)

Sol:

d.) Derivada de un cociente de funciones

Considrense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables enun punto x. Adems, en este caso, se tiene que imponer la condicin de que la funcin g nose anule en x.


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UIDE 25

Si en la segunda fraccin se suma y se resta al numerador f(x) g(x), se obtiene:

Sacando factor comn g(x) en los dos primeros sumandos de la segunda fraccin, y f(x) enlos dos ltimos,

Por ltimo, se toman lmites cuando h tiende a cero notando que:

En definitiva,

Ejemplo

Resolucin:

Resumen.Si f y g son derivables en x.

a) (f+g) (x) = f(x)+g(x)b) (f-g) (x)= f(x)-g(x)c) (f*g) (x) = f(x)g(x) + f(x)g(x)

d) )(

)(')()(')(2

'

xg

xgxfxfxgx

g

f

si g(x) es diferente de 0


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UIDE 26

Ejercicio n 1)

Sol:

Ejercicio n 2)

Sol:

Ejercicio n 3)

Sol:

Ejercicio n 4)

Sol:

Ejercicio n 5)

Sol:

Ejercicio n 6)

Sol:

Ejercicio n 7)

Sol:


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UIDE 27

Regla de la cadena para la funcin potencial

Se sabe que la derivada de una funcinf(x) = xmesf'(x) = m xm - 1.Si en lugar dexse tuviese una funcin u(x), la derivada de u(x)m

aplicando la regla de la cadena, ser:

[u(x)m]'= m u(x)m - 1 u'(x)

Para simplificar la notacin, y a partir de ahora, se escribir simplemente uen lugarde u(x).

As,

Ejercicio: clculo de derivadas

Calcular la derivada def(x) = (x2 + 1)3.

Resolucin:

Si u = x2 + 1, u'= 2x

En este caso m= 3

f'(x) = 3 (x2+ 1)2 2x= 6x(x2+ 1)2

Tabla de derivadas

Funcin Derivada Ejemplos

Constante

y=k y'=0 y=8 y'=0

Identidady=x y'=1 y=x y'=1

Funciones potenciales


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UIDE 28

Funciones exponenciales

Funciones logartmicas

Funciones trigonomtricas


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UIDE 29

Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE DERIVADAS. UNIDAD 3

Ejercicio 1.- Encuentre las derivadas.

1452)( 234 xxxxxf

11)( 2 xxxf

42 23)( xxxf

3

1

4 5

4

)(

z

zzf

5)( 32

zzzf

12

34)(

2

x

xzf

3

)1()( xzf


30/44


UIDE 30

2

2

159)( xxxf

3 21)( x

x

xf

3)1()1()( 2 xxxf

432

1)(

2

xxxf

UNIDAD 4. INTEGRACIN DE FUNCIONES

4.1 DEFINICIN DE INTEGRALES

Aunque ser necesario definirla de forma esencialmente complicada, la integral viene aformalizar un concepto sencillo, intuitivo: el de rea. Ahora ya no nos debe causar sorpresael encontrarnos con que la definicin de un concepto intuitivo puede presentar grandesdificultades y ciertamente el 'rea' no es ninguna excepcin a esto...

En este captulo intentaremos solamente definir el rea de algunas regiones muy especiales(figura 1): aquellas que estn limitadas por el eje horizontal, las verticales por ( a, 0) y (b,0), y la grfica de una funcin f tal quef (x)= 0, para todoxde [a, b]. Conviene denotaresta regin porR(f, a, b) ...

figura 1 Figura 2

El nmero que asignaremos eventualmente como rea deR(f, a, b) recibir el nombre deintegraldefsobre [a, b]. En realidad, la integral se definir tambin para funcionesfque nosatisfacen la condicinf (x) =0, para todoxde [a, b]. Sifes la funcin dibujada en la figura2, la integral representar la diferencia entre las reas de las regiones de sombreado claro yde sombreado fuerte.


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UIDE 31

Se llama integral indefinidade una funcinf(x), al conjunto de todas las primitivas dela funcin

f(x), y se simboliza

Esta expresin se lee integral de efe de equis diferencial de equis.Por las propiedades de la funcin primitiva, siF(x)es una primitiva def(x),

dondeC representa una constante llamada constante de integracin.

Ejercicio:

Resolucin:

Puesto que una primitiva de cos xessen x,

Resolucin:

Por consiguiente,

Resolucin:

4.2 INTEGRALES INDEFINIDA

De la derivacin de funciones elementales se deducen sus correspondientes integralesllamadas indefinidas. Es necesario aprender estos resultados si se pretende ser gil enel clculo de otras integrales menos sencillas.


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UIDE 32


33/44


UIDE 33

Ejercicios:

Resolucin:

Es una integral inmediata perteneciente al segundo caso, en el que m= 4.

Resolucin:

Resolucin:

Por la propiedad del producto de potencias de la misma base,

Por tanto,


34/44


UIDE 34

Resolucin:

Es una integral inmediata perteneciente al cuarto caso en el que a= 3.

Comprobar la veracidad del vigsimo caso (20) de la integral indefinida.

Resolucin:

Hay que probar la certeza de la igualdad

Basta demostrar que la derivada de la funcin

cociente,

As,

Se concluye que


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UIDE 35

Por consiguiente,

4.4 INTEGRACIN POR DESCOMPOSICIN

Este mtodo se basa en la aplicacin de dos propiedades elementales de lasintegrales:

Primera propiedad de las integrales

La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual a lasuma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.

Esto es,

Demostracin:

Entonces,F(x) + G(x)es una primitiva def(x) + g(x)yF(x) - G(x)es una primitivade

f(x) - g(x), ya que:

(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)

(F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x)

Por tanto,

Anlogamente,

EJEMPLO.


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UIDE 36

Encontrar dxxx 22

dxxx 22 = xdxdxx 2

Ahora.

Cx

dxx 33

Y

Cxxdx 22

Por lo que.

dxxx 22 = Cx

x 2

3

3

Segunda propiedad de las integrales

La integral del producto de una constante por una funcin, es igual al producto de laconstante por la integral de la funcin.

Es decir,

Demostracin:

Pero (k F(x))' = k F'(x) = k f(x) , lo que indica que k F(x)es una primitiva de

k f(x). Por tanto,

Ejercicios:

Resolucin:


37/44


UIDE 37

son integrales inmediatas pertenecientes al segundo caso.

En la primera, m= 2, y en la segunda, m= 1.As,

Por consiguiente,

Resolucin:

= -cos x- 3In|cos x| + C

Resolucin:

Desarrollando por la frmula del cuadrado de un binomio:

As,

Resolucin:

(Obsrvese que ahora la variable es ty nox. Conviene acostumbrarse al manejo decualquier variable aunque la ms utilizada sea lax.)


38/44


UIDE 38

Aplicando la propiedad distributiva del producto:

Entonces,

Resolucin:

Descomponiendo la fraccin en suma de fracciones:

Por tanto,

Resolucin:


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UIDE 39

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE INTEGRACIN DE FUNCIONES.

UNIDAD 4

Ejercicio 1.- Encuentre las integrales indefinidas.

a) xdx

b) dxx35

c) dxx )3(

d) senxdx

e) dxx1

f) dxx

1

g)

dt

t

2

2

Ejercicio 2.- Encuentre las integrales indefinidas.

a) dxrr 23

b) dxex x 534

c)

dxx

xcos

15

d) dxx 22

e)

dx

xx

4

3

7

4

f)

dt

t

t 2

212


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UIDE 40

g)

dx

x

2

3

h) dxx 4

3

i)

1

82

x

x

5. GUA DE ESTUDIO

En esta seccin tratamos de dar al estudiante orientaciones generales para que su estudio, conla ayuda de esta gua, sea eficiente y muy productivo. En ella encontrar las sugerencias yestrategias a seguir para elaborar las tareas o actividades, as como tambin para presentarsea las diferentes evaluaciones durante el semestre.

En cada unidad didctica Ud. encuentra un objetivo. l le indica lo que debe dominar o saberhacer al terminar de estudiar la unidad. Esto es importante, no deje de analizarlo y hacer quese cumpla.

Si no est seguro de haber cumplido el objetivo, vuelva a leer y realizar o revisar losejercicios resueltos que el texto gua le presenta hasta que est seguro de haber cumplido conel objetivo.

Las unidades se encuentran en una secuencia progresiva de aprendizaje. Por tal motivo, sesugiere seguir el orden en el cual se presentan, ya que lo estudiado en un tema es base para elsiguiente tema.

Adquiera un cuaderno o una carpeta, en el cual se sugiere anotar los resmenes de lo que vaestudiando, las consultas que necesita hacer a su tutor y los ejercicios de las diferentesactividades que se proponen en la presente gua, de esta forma llevar su proceso deaprendizaje, organizado y podr Ud. mismo evidenciar el desarrollo y cambios que se estnproduciendo.

Cada vez que se disponga a estudiar la materia, escoja el sitio ms apropiado y el tiempo

adecuado.

Lea el tema y revise los ejercicios resueltos del texto gua las veces que sea necesario con elmejor nimo de entenderlos. Si algn tema no est claro no pierda tiempo ni se mortifiquetratando de entenderlo, no dude en llamar o ponerse en contacto con su tutor inmediatamentepara solucionar sus inquietudes.

Las tareas a realizar es un proceso que le indica el avance en su aprendizaje. No se engae.No busque quien le haga los trabajos que Ud. debe realizar, busque a travs de suscompaeros o de su tutor la asesora en aquello que no est claro.


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UIDE 41

Dedicar por lo menos 3 horas semanales por cada hora de tutora para revisar las temticastratadas de la asignatura.

Participar activamente en las actividades planificadas por el docente tutor, mediante lasherramientas tecnolgicas de la plataforma virtual. (Foros, chat, videoconferencias, clasesvirtuales )

Desarrollar las actividades con el texto gua, consultar en las bases de datos direccionadasde la biblioteca virtual UIDE y algo muy importante, las citas bibliogrficas las debe hacerbajo la metodologa de las normas APA. ( Carpeta Materiales de apoyo)

Considerar que las actividades solicitadas, estn orientadas al proceso de estudio autnomoy a conseguir los resultados de aprendizaje enunciados en el slabo de la asignatura. Eldesarrollo de la actividad es la evidencia de que el proceso de inter-aprendizaje se hacumplido.

Revisar el calendario acadmico, pues en ste se informa las fechas importantes para elestudiante como: lmite de entrega de las tareas, exmenes presenciales y supletorios.

6. TAREAS

PRIMER BIMESTRE:

PRIMERA Y SEGUNDA SEMANA:

ACTIVIDAD 1 :

Lea cuidadosamente desde las pgina 4 hasta la pgina 10 de la presente gua, y desde la pgina 87 hastala 95 del texto bsico revisando paso a paso, como el autor explica el tema y resuelve los ejercicios. Anoteen su cuaderno las frmulas que van apareciendo y trate de asimilarlas. No contine si no cree que haya

superado esta etapa.

Luego de estar seguro de haber comprendido los procesos matemticos pase a realizar la tarea

TAREA UNO: FUNDAMENTOS DE FUNCIONES

Resolver de la presente gua : Todos los problemas propuestos de las pginas: 10 y 11

Video Conferencia: Sbado 14h00 a 15h00Chat Acadmico: Sbado 19h00 a 20h00Foro de discusin : Lunes 06h00 en adelante

FECHAS DE ENVO DE LA TAREA VA PLATAFORMA VIRTUAL: DEL 05 AL 11 DE OCTUBRE

TERCERA Y CUARTA SEMANA:

ACTIVIDAD 2:

Lea cuidadosamente desde las pginas 12 hasta la pgina 19 de la presente gua y desde la pgina 397hasta la pgina 438 del texto bsico los temas sobre el clculo de lmites y sus diferentes formas, revisandopaso a paso, como el autor resuelve los ejercicios. Anote en su cuaderno las frmulas y procesos que vanapareciendo y trate de asimilarlos. No contine si no cree que haya superado esta etapa.

TAREA DOS: CLCULO DE LMITES DE FUNCIONES

Resolver de la presente gua : Todos los ejercicios de las pginas : 20 y 21


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UIDE 42


FECHAS DE ENVO DE LA TAREA VA PLATAFORMA VIRTUAL: DEL 19 AL 25 DE OCTUBRE

QUINTA Y SEXTA SEMANA:

ACTIVIDAD 3

Lea cuidadosamente desde las pgina 21 hasta la pgina 28 de la presente gua y las pginas 442 a lapgina 483 del texto bsico, el tema relacionado con la derivacin de funciones, sus diferentes mtodos yaplicaciones, revisando paso a paso, como el autor explica y resuelve los ejercicios. Anote en su cuadernolas frmulas y procesos que van apareciendo y trate de asimilarlas. No contine si no cree que hayasuperado esta etapa.

TAREA TRES: DERIVACIN DE FUNCIONES Y SUS APLICACIONES

Resolver de la presente gua. Todos los ejercicios propuestos de las pginas: 28 y 29


FECHAS DE ENVO DE LA TAREA VA PLATAFORMA VIRTUAL: DEL 02 AL 08 DE NOVIEMBRE

OCTAVA SEMANA

Seor estudiante para presentarse al examen del primer bimestre (21 de noviembre), usted deberhaber resuelto las 3 tareas, participado en las clase virtuales, chats y foros en la plataforma virtual.

SEGUNDO BIMESTRE:

NOVENA Y DCIMA SEMANA:

ACTIVIDAD 4

Lea cuidadosamente desde las pgina 500 hasta la pgina 521del texto bsico Matemtica paraAdministracin y Economa de Ernest F. Haeussler sobre los temas Derivacin de funcioneslogartmicas, exponenciales, Derivacin Implcita y de Orden Superior, revisando paso a paso, comoel autor explica y resuelve los ejercicios. Anote en su cuaderno las frmulas que van apareciendo y trate deasimilarlas. No contine si no cree que haya superado esta etapa.

TAREA 4: DERIVACIN DE FUNCIONES Y SUS APLICACIONES

Resolver los ejercicios MLTIPLOS DE 5 de las pginas: 504, 505 y 509, 510, 511 y 516, 517


FECHA DE ENVO DE LA TAREA VA PLATAFORMA VIRTUAL HASTA EL 5 DE DICIEMBRE

DCIMA PRIMERA Y DCIMA SEGUNDA SEMANAS:

ACTIVIDAD 5

Lea cuidadosamente desde las pgina 610 hasta la pgina 616 y de la pgina 640 hasta la pgina 656 deltexto bsico Matemtica para Administracin y Economa de Ernest F. Haeussler sobre La


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UIDE 43

Integracin Indefinida y sus aplicaciones, revisando paso a paso, como el autor resuelve los ejercicios.Anote en su cuaderno las frmulas que van apareciendo y trate de asimilarlas. No contine si no cree quehaya superado esta etapa.

TAREA 5: LA INTEGRAL INDEFINIDA Y SUS APLICACIONES

Resolver todos los EJERCICIOS MLTIPLOS DE 5de las pginas: 616, 617 y 635, 637


FECHAS DE ENVO DE LA TAREA VA PLATAFORMA VIRTUAL:DEL 14 AL 20 DE DICIEMBRE

DCIMA TERCERA Y CUARTA SEMANA:

ACTIVIDAD 6

Lea cuidadosamente desde las pgina 640 hasta la pgina 656 y de la pgina 660 hasta la pgina 663 deltexto bsico Matemtica para Administracin y Economa de Ernest F. Haeussler sobre LaIntegracin definida y sus aplicaciones, revisando paso a paso, como el autor resuelve los ejercicios.Anote en su cuaderno las frmulas que van apareciendo y trate de asimilarlas. No contine si no cree quehaya superado esta etapa.

TAREA 6: LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES

Resolver los ejercicios MLTIPLOS DE 5 de las pginas: 657, 658, 659 y 663, 664


FECHAS DE ENVO DE LA TAREA VA PLATAFORMA VIRTUAL: DEL 04 AL 10 DE ENERO

8. BIBLIOGRAFA BSICA Y COMPLEMENTARIA:

BIBLIOGRAFIA BSICA

Haeussler Ernest Jr. (2008). Matemtica para la Administracin y Economa. Dcimasegunda edicin. Pearson Educacin. Mxico

Se ha escogido este texto por la facilidad con que el autor expone las diferentestemticas, la claridad en los ejercicios y problemas resueltos.

Los ejercicios prcticos y los problemas de situaciones reales que resuelve, permitenfundamentar y consolidar los conocimientos, as como tambin la permanentepresentacin de evaluaciones de tema y de unidad hacen que dicho texto sea el escogidapara el aprendizaje de la Matemtica Aplicada.


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Esperamos que dicho texto satisfaga sus expectativas y obtenga el mayor provechodel mismo.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

Los textos complementarios son aquellos que tambin debe leer y estudiar,complementando con el texto bsico :

Galindo, E (2012).Matemticas Superiores Teora y Ejercicios. Cuarta edicin. EditoresProciencia Ecuador.

Lara, J.; Arroba J.; (2011). Anlisis Matemtico. Quinta edicin, corregida y aumentada.Julio 2007. Tercera reimpresin mayo 2011. Centro de Matemticas UniversidadCentral del Ecuador (Quito Ecuador).

Arya & Lardner, (2009). Matemticas Aplicadas a la Administracin y Economa.Cuarta edicin. Pearson Educacin. Mxico.

modulo calculo

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