MDULO CLCULOINTEGRAL Jorge Elicer Rondon Duran UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD FACULTAD DE CIENCIAS BSICAS E INGENIERA UNIDAD DE CIENCIAS BSICAS Bogot D. C., 2005 dx x f ) ( COMIT DIRECTIVO Jaime Alberto Leal Afanador Rector Roberto Salazar Ramos Vicerrector Acadmico Sehifar Ballesteros Moreno Vicerrector Administrativo y Financiero Maribel Crdoba Guerrero Secretaria General Edgar Guillermo Rodrguez Director de Planeacin MDULO CURSO CLCULO INTEGRALPRIMERA EDICIN opyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia ISBN 2006 Centro Nacional de Medios para el Aprendizaje 3 CONTENIDO Introduccin UNIDAD UNO: La Integracin -La Antiderivada -La Integral Indefinida -La integral Definida -Valor medio de una Funcin -Teorema fundamental del Clculo -La Integral Impropia UNIDAD DOS: Mtodos de Integracin -Integrales Inmediatas -Integracin por Cambio de Variable: Sustitucin -Integracin por Sustitucin: Racionalizacin -Integracin por Sustitucin Trigonomtricas -Integracin por partes -Integracin por Fracciones Parciales-Integracin de FuncionesExponencial y Logartmica -Integracin de funciones Trigonomtricas -Integracin de funciones Hiperblicas UNIDAD TRES: Aplicacin De las Integrales -Anlisis de Grficas -reas de Superficies de Revolucin-Longitud de una Curva -Volmenes de Slidos de Revolucin: Mtodo de Arandelas -VolmenesdeSlidosdeRevolucin:MtododeCasquetes Cilndricos -Volmenes de Slidos de Revolucin: Mtodo de Rebanadas -Integrales en la Fsica -Integrales en la Estadstica -Integrales en la Economa 4INTRODUCCIN Las matemticas es una ciencia eminentemente terica, debido a que parte de teoras y definiciones, cuyas demostraciones se soportan en el principio de la lgica, los axiomas ypostulados,quepermiteneldesarrollodehabilidadesdepensamientodeorden superior,especialmentelaDeduccin,InduccinylaAbstraccin,peroasuvez presentadificultadesparapoderdesplegardichashabilidades,yaqueserequiere trabajar el sentido de anlisis,desarrollo del raciocinio, aspectos no fciles de activar en la mente humana. El Clculo Integral es el rea de las matemticas, que pertenece al campo de formacin disciplinarytienecarcterbsicoencualquierreadelsaber,debidoaquelos Ingenieros,Administradores,Economistas,Fsicos,Qumicos,porsupuestolos Matemticosydemsprofesionalesquedeunauotraformarequierendeesta herramienta. Unbuenconocimientodelclculodiferencial,permiteyfacilitatrabajarelcursode clculointegral,endondesedesarrollanteoras,principiosydefinicionesmatemticas propias del clculo infinitesimal. El objetivo fundamental es que los estudiantes puedan identificar,comprendereinteriorizarlastemticasquecubrenelcurso,conelfinde queadquieranherramientasmatemticas que den capacidad de resolver problemas que requieren del clculo Univariado,en los diferentes campos del saber. ElClculoIntegraleslaramadelasMatemticasmuyutilizadasenCiencias, Tecnologa,IngenieraeInvestigacin,querequiereuntrabajosistemticoy planificado, para poder cumplir el propsito fundamental que es saber integrar, tcnica quepermitesolucionarproblemasdeestoscampos.Porotrolado,laintegracinesnecesariaparaotrosescenarioscomolasEcuacionesDiferenciales,losMtodos Numricos,lageometradiferencial,laProbabilidad,laEstadsticaAvanzadayotras reas del conocimiento. Las Unidades Didcticas que conforman el curso son: La Integracin, Los Mtodos de Integraciny Las Aplicacionesde las integrales.El la primera unidadsedesarrollalo referentealaantiderivada,laintegralindefinida,laintegraldefinida,elteorema fundamentaldelclculoylasintegralesimpropias.Lasegundaunidadpresentalo relacionadoconlastcnicasdeintegracin,iniciandoconlasintegralesinmediatas productodeladefinicindeantiderivada,laintegracinporcambiodevariableo tambin llamada sustitucin, integracin por partes, integracin por fracciones parciales, integracindefuncionestrascendentales;talescomo,exponencial,logartmica, trigonomtricasehiperblicas.Laterceraunidadpresentalosmtodosdeintegracin como reas bajo curvas, longitud de una curva, volmenes de slidos de revolucin, la integracin en la fsica, en la estadstica y en la economa. En los ejercicios propuestos, para las primeras temticas, no se dan las respuestas ya que sondirectas,peroparalasltimastemticas,seofrecenlasrespuestas,conelfinde motivarhacerlos.Espertinentedesarrollarlosdemanerametdicaycuidadosa,; adems,confrontar la respuesta obtenida con la dada en el mdulo, cualquier aclaracin compartirla con el tutor o el autor a travs del correo jorge.ron@unad.edu.co. 5 Comoelconocimientosevarenovandoyactualizando,losaportesquesehaganal presentematerialsernbienvenidos,esperandoasunaactividadcontinuade mejoramientoenbeneficiodetodoslosusuariosdelmaterial.Comoelmaterial presentalastemticasfundamentales,espertinentecomplementarconotrasfuentes como libros, de los cuales se presentan en la bibliografa, Internet y otros. Es recomendable desarrollar el trabajo acadmico de manera adecuada para obtener los mejoresresultadosdelcurso.Elestudioindependiente,comoprimerescenario,es fundamentalparalaexploracin,anlisisycomprensindelastemticas.El AcompaamientoTutorial,debepermitircomplementareltrabajorealizadoenel escenarioanterior,especialmenteenlaaclaracindedudas,complementaciny profundizacinpertinente.Enesteaspecto,sedebenexplorarlasherramientasque estnalamanoparaaprovechardelamejormaneradichosrecursos,aselgradode aprendizaje es ms amplio y se ver mejor reflejado el aprendizaje autnomo. 6 U N I D A D U N O L AI N T E G R A C I N7LA INTEGRACINdx x f ) ( : En el mundo de las Matemticasencontramos que existen operaciones opuestas, como la suma y la resta, el producto y el cociente,donde una deshace o anula la otra.De la misma manera la Integracin es una operacinopuesta a la Diferenciacin.La relacin Diferenciacin Integracin es una de los conocimientos ms importantes en el mundo delasMatemticas.Ideasdescubiertasenformaindependienteporlosgrandes MatemticosLeibnizyNewton.InicialmenteLeibnizalprocesodeintegracinlo llamo: Calculus Summatoriuspero en 1.696 influenciado por Johann Bernoulli, de la dinasta Bernoulli, le cambio el nombre a Calculus Integrelis. Elclculohasidounasecuenciadereasmatemticasentrelazadas,dondeseutilizan principios de lgebra, Geometra, Trigonometra, se debe destacar que para desarrollar elcursodeClculoIntegral,espertinentetenerclaroslosprincipiosdelasrea nombradasyademslosdeClculoDiferencial,yaquecomosedijoenelprrafo anterior,la integracin es la opuesta a la diferenciacin. LAANTIDERIVADA: ParaconceptuarlaAntiderivada,comencemosporpensarquesetieneunafuncin, digamos) (x f ,eltrabajoconsisteenencontrarotrafuncin,digamos) (x D tal que: ) ( ) ( ' x f x D = . Identificar una funcin a partir de su derivada, consiste en hallar un dispositivo(tecnica)quenosdetodaslasfuncionesposibles,dondef(x)essu derivada,adichasfuncionesselesllamaAntiderivadasdef(x).Eldispositivopara ste proceso es llamado La Integracin. Veamos un ejemplo sencillo: Sea f(x) = 2x, cual ser la funcin D(x)cuya derivada es 2x?Con algo se astucia y conocimientos slidos en diferenciacin podemos identificar queD(x) = x2. Veamos: Si derivamos D(x) = x2 obtenemosf(x) = 2x. Otroejemplo:f(x)=cos(x),cualserD(x)?Debemosbuscarunafuncincuya derivada es cos(x), evidentemente es sen(x), luego D(x) = sen(x). (Luego se aclara lo de los signos) Para la notacin de antiderivada hubo diversas propuestas, pero la del gran Matemtico Leibnizeslamsutilizadauniversalmente. dx ... .Posteriormenteseanalizaresta notacin. Para los ejemplos anteriores con la notacin de Leibniz se tiene: c x dx x + =2) 2 (Para el otro: c x sen dx x + =) ( ) cos( Posteriormente se aclara el concepto de la c

8DEFINICIN No 1: Una funcin D(x) es la antiderivada de la funcin f(x), si: D(x) = f(x).Para todo x en el dominio de f(x). El conjunto de todas las antiderivadas de f(x)se le llama la Integral Indefinida de f(x) y se puede escribir:c x D dx x f + =) ( ) ( TEOREMA: Sean F(x) y G(x) antiderivadas de f(x) en un intervalo cerrado I, entonces:

G(x) = F(x) + c para alguna constante c. Demostracin: Como G(x) y F(x)son antiderivadas de f(x), entonces tenemos que: G(x) = F(x),por una definicin previa que dice: si g(x) = f(x) entonces: g(x) = f(x) + cpara todo x en el intervalo I abierto.Por consiguiente: G(x) = F(x) + c, para alguna constante c. Ejemplo No 1: Encontrar todas las funciones cuya derivada es f(x) = 4x3 + 2. Solucin:Unafuncinpuedeserx4+2x,yaquealderivarlaobtenemos4x3+2.Luego: f(x) = 4x3 + 2. yD(x) =x4 + 2x.Cualquier funcin de la formax4 + 2x + c, es derivada de la funcin f(x). Ejemplo No 2: Encontrar todas las funciones cuya derivada es: f(x) = sec2(x). Solucin:Sirecordamossobrederivadasdefuncionestrigonomtricas,podemossaber que la funcin cuya derivada corresponde a sec2(x),es tan(x), luego: Si f(x) = sec2(x), entonces D(x) = tan(x)Porconsiguiente,laformadelasfuncionescuyaderivadacorrespondeasec2(x)es: tan(x) + c Ejemplo No 3: Hallar una funcin cuya derivada esg(x) = 12 Solucin: Cualquier funcin de la forma 12x + C es antiderivada deg(x), luego una de estas puede ser: G(x) = 12x + 5 9 Losejerciciospropuestos,sedebendesarrollar,utilizandolasdefiniciones y teoremas, analizados en este aparte. EJERCICIOS: Encontrar la antiderivadaF(x) + Cde las siguientes funciones: 1.f(x) = 8 2.f(x) = 3x2 + 4 3.f(x) = x21 x10

4.f(x) = 3/x4 6/x5

5.f(x) = (3x2 5x6) / x8

Desarrollar la operacin propuesta: 6. dx x ) 6 (5 7.( )+ dx x227 3 8.( )dyyy y+234 9. | |dx x x sen ) ( csc ) (2 10.dx NOTA: Comolarespuestaesdirecta,entoncesNOse dan,por esto,los ejercicios se deben resolver en el trabajo individual y socializarlo en el pequeo grupo colaborativo.Cualquier duda por favor consultar al Tutor. . 10 LA INTEGRALINDEFINIDA: ConociendoelconceptodeAntiderivada,podemosformalizar desdeelpuntodevistamatemticolaintegralindefinida.Gottfried Wilhelm von Leibniz(1.846 1.716)a la Antiderivada lallamoIntegralIndefinida,quizspensandoqueestetipodeintegrales incluye una constante arbitraria. Luegopodemosdefinirlaintegralindefinidadelasiguiente manera: + = c x D dx x f ) ( ) (

Donde:Smbolo de integracin. f(x) = Integradodx = diferencial de la variable,D(x) = La integral de f(x) c = constante de integracin. Veamos un poco esta nomenclatura matemtica: Por definicin de derivada tenemos: | | dx x f x D x f x Ddxd) ( ) ( ' ) ( ) ( = = La operacin opuesta: = = dx x f x D dx x f x D ) ( ) ( ) ( ) ( ' No debemos olvidar la constante de integracin. Conbaseenlasdefinicionesanterioresylosconceptosanalizados,sepuedeobtener algunas integrales, basado en la teorade la antiderivada. 11INTEGRALESINMEDIATAS: INTEGRALDERIVADA + = C x dx1 ) ( = + c xdxd ++=+cnxdx xnn11para n -1 nnx cnxdxd=

+++11 + = cnedx enxnxpara n 0 nxnxe cnedxd=

++ = ca Logadx axx) (para a > 0xxa ca Logadxd=

+) ( + = ckkxdx kx sen) cos() ( para k 0 ) () cos(kx sen ckkxdxd=

+ + = |.|

\|c x Ln dxx) (1| |xc x Lndxd 1) ( = +c x Sen x dx+ =

) (1112 | |2111) (xx Sendxd= + = c x dx x ) tan( ) ( sec2 | | ) ( sec ) tan(2x c xdxd= + PROPIEDADES: Paralaspropiedadesindefinidas,podemosdestacarlassiguientespropiedades, consecuencia de las aplicadas en la diferenciacin. 1. = dx x f dx x f ) ( ) ( 2. = dx x f k dx x kf ) ( ) ( 3.+ = c kx kdx

4.| | = dx x kg dx x kf dx dx x kg dx x kf ) ( ) ( ) ( ) ( 5. c x f Ln dxx fx f+ =

) () () ( ' La demostracin se pude hacer por medio desustitucin. 126. | || |cpx fdx x f x fpp++=+1) () ( ' ) (1

La demostracin se puede hacer por medio de la tcnica de sustitucin. Veamos algunos ejemplos: 1. + = = c x dx dx 4 4 4Aplicando las propiedades 1 y 2. 2. + = = c e dx e dx ex x x 2 2 2255 5Aplicando propiedad 3 e integrales inmediatas.3. ( ) + = + dx x sen dx x dx x dx x sen x x ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 33 2 3 2 Aplicamos las propiedades 3 y 4, luego: + + + = + c x x x dx x sen dx x dx x ) cos( 2 ) ( 2 4 34 3 3 2 4. c x Ln dxxx+ + =|.|

\|+4 34 3622 Aplicamos la propiedad 5. 5. ( ) ( ) ( ) c x sen x dx x x x sen x + = = 5242) 2 ( 551) 2 cos( 2 10 ) 2 ( 5

Aplicamos la propiedad6. CONSTANTE DE INTEGRACIN: Retomando lo manifestado en el teorema No 1, podemos observar que las antiderivadas de una funcin slo se diferencian por una constante C dada. Si recordamos el ejemplo + = c x dx x ) tan( ) ( sec2,podemos especificar algunas antiderivadas.2 ) tan( + x ,2 ) tan( + x ,5 ) tan( + x ,100 ) tan( + x , . Apartirdeloanterior,seafirmaquelaconstantedeintegracinespropiadelas integrales indefinidas, ya que son muchas las antiderivadas de una funcin que contiene el integrado. Por otro lado, cuando estamos integrando donde hay suma o resta,cada trmino tendr suconstantedeintegracin,perotodaslasconstantesobtenidassepuedenagruparen una sola. 13Ejemplo No 1. Desarrollar:dx x e xx + )) cos( 2 7 (4 Solucin: Aplicando las propiedades de suma y resta tenemos: dx x e xx + )) cos( 2 7 (4= + dx x dx e dx xx) cos( 2 74 desarrollando cada integral. 3 2 15) ( 257c x sen c e c xx+ + + + ,luegolasconstanteslaspodemosagruparenuna sola:3 2 15) ( 257c x sen c e c xx+ + + + =C x sen e xx+ + ) ( 2575 Ejemplo No 2. Hallar: ( )dx ex x+42 Solucin: Aplicando las propiedades y las integrales inmediatas: ( ) + + + = + = +2414 441) 2 (22 2 c e cLndx e dx dx exxx x x x Agrupado las constantes: ( ) c eLndx exxx x+ + = +4 441) 2 (22 14EJERCICIOS: Hallar las antiderivadas de las funciones dadas: 1. 20 ) ( = x f 2. 2 ) (4+ = x x f 3.xxx f=1) ( 4.xe x sen x f22 ) 2 ( 3 ) ( + = Aplicando las propiedades, resolver las siguientes integrales. 5. dx 6 6. ( )dx x x+ ) 3 ( sec 2 252 3 7. ( )dx x sen et +7 ) 5 ( 2 8. dxxx

) tan() ( sec2 9. ( )dx t t t+ + 3 8 ) 2 3 4 (2 10.dxeexx ||.|

\|+ 5 15 LA INTEGRALDEFINIDA: El clculoha sido el camino para resolver problemas de diversas ndoles, como hallar lapendientedeunacurvaenunpuntodeterminado,hallarelreabajounacurva cualquiera,todo esto fue desarrollado bajo el trabajo de las integrales definidas. Paraanalizarlasintegralesdefinidasesnecesarioelestudiodelosconceptosde Sumatorias,SumasdeRiemmanyreasbajolacurva.Cadaunalairemos desarrollando de manera secuencial, para poder interiorizarlas adecuadamente.El tema deSumatorias,sedesarrollenelcursodelgebra,TrigonometrayGeometra Analtica,sinembargoparacualquierdudaoaclaracinespertinenteconsultarloen dicho curso. SUMAS DE RIEMMAN: Comencemospordefinirunafuncinf(x)enelintervalocerradoI=[a,b],endicho intervalopuedehabervalorespositivosynegativos;incluso,podrasernocontinua.Hacemos una particin P del intervalo I en n subintervalos, para facilidad se hace una particin regular, pero no necesariamente debe ser regular,dicha particin debe tener la condicin que: X0 < X1 < X2 < < Xn-1 < Xn,donde a = X0yb = Xn AhoraseaXi=XiXi-1quenosindicaeltamaodelsubintervalo.Encada subintervalo se escoge un punto muestra, puede ser un punto frontera. ix~. X1 = X1 X0

Asparalosdems intervalos. Como la particin se hizo sobre la funcin f(x), entonces:

Suma de Riemman. Aqu Rp es la suma de Riemman para f(x) en la particin P. = =nii i px x f R1)~() ( ) ( ) ( a F b F dx x fba =16

Georg Friedrich Bernhard RiemannPolgonos circunscritos. 1.826 Alemania 1.866 Suiza Ejemplo No 1: Evaluar la suma de Riemman para la funcin f(x) = x2 +2 en el intervalo [-2, 2], la particin es regular, tomando P = 8 Solucin:TomemosX0=-2yXn=2.con ix~comoelpuntomediodeli-simo intervalo.Tambin:Xi=0,5;conestoseobtienen8subintervalos,cuyospuntos medios son: -1.75, -1.25, -0.75, -0.25, 0.25, 0.75, 1.25, 1.75. Apliquemos la frmula de sumas de Riemman: = =81)~(ii i px x f R Entonces:Rp=[f(-1.75)+f(-1.25)+f(-0.75)+f(-0.25)+f(0.25)+f(0.75)+f(1.25)+f(1.75)]* 0.5Rp = [5.0625 + 3.5625 + 2.5625 + 2.0625 + 2.0625 + 2.5625 + 3.5625 + 5.0625] * 0.5Rp = [25.50] * 0.5 = 13.25Ejemplo No 2: EvaluarlasumadeRiemmanparalafuncinh(t)=t32t,enelintervalo[1,2].La particinesregularylospuntosmuestrason:20 , 1~1 = x ,38 , 1~2 = x ,68 , 1~3 = x ,92 , 1~4 = x Solucin Tenemos todos los insumos para hacer la suma correspondiente: = =41)~(ii i px x f R Entonces: Rp = [f(1.20) + f(1.38) + f(1.68) + f(1.92)] * 0.25Rp = [-0.672 0.131928 + 1.3816 + 3.2779] * 0.25Rp = [3.855] * 0.25 = 0.9637 Resolverelejemploanterior utilizando 8 subintervalosP=8,definiendoel tamao de cada subintervalo y el punto muestra de cada uno. 17AREABAJOLACURVA: Parahallarelreadeunafiguraconladosrectos,lageometraplana(estudiadaen matemticabsica)permitecalculardichasreas,porejemplorectngulos,tringulos, paralelogramos, otros.Cuando la frontera de una figura es curva la situacin es de un anlisismsprofundo,yaqueserequieremayortrabajomatemtico.Elgran matemtico de la antigedad ARQUIMEDES, propuso una solucin consistente en que alconsiderarunasucesindepolgonosinscritosqueaproximenlaregincurva,que puede ser ms y ms precisa, a medida que el polgono aumenta el nmero de lados. CuandoPtiendeainfinito( P ),el readelpolgonosehacesemejanteala del crculo. PerolagenialidaddeArqumedes,tambinlollevoademostrarqueconpolgonos circunscritos, se llegaba al mismo resultado. Paradeterminarcomosehallaelreabajolacurva,utilizaremoselprincipiodelos polgonos inscritos y adems una de las funciones ms conocidas: f(x) = x2. El proceso consisteenhallarelreadelareginA(R)acotadaporelintervalo[a,b],para nuestro caso tomemos: [0, 2] La particin P del intervalo [0, 2] en n subintervalos,cuya longitudx es: n n n x xxn2 0 20=== Particin regular. Comencemos: X0 = 0 X1 = X0 + x = x X2 = X1 + x = x + x = 2x X3 = X2 + x = 2x + x = 3x #Xi = Xi-1 + x = (i 1) x + x = ix #Xn-1 = (n-1) x Xn = nx 18 Pero x = 2/n, entonces: X0 = 0,X1 = 2/n,X2 = 4/n, , Xi = 2i/n,, , Xn = n(2/n) = 2 El rea de la regin Ri = f(xi-1) x . ElreatotaldelareginRnserlasumade las reas de todos los rectngulosinscritos en la curva. x x f x x f x x f R An n + + + =) ( ) ( ) ( ) (1 1 0"

Para la funcin que estamos analizando tenemos: 23 32228 8 2*2) ( in nin nix x x x fi i= =|.|

\|= = Luego: | |

= + + + + =6) 1 2 )( 1 ( 8) 1 ( 2 1 08) (32 2 2 23n n nnnnR An" Revisarlaspropiedadesdelassumatoriasenelmodulodelgebra,Trigonometray Geometra analtica, unidad tres, donde puedes reforzar estos conceptos.Luego:

+ =

+ =2 32 31 3234 3 268) (n n nn n nR An Entonces: 234 438) (n nR An+ = Amedidaquensehacemsgrande,entonceselreadelasumadelosrectngulos inscritos es ms y ms aproximado al rea de la curva. Por consiguiente: 3834 438) ( ) (2=|.|

\|+ = = n nLim R A Lim R Annn NOTA: Realice la misma demostracin pero usando rectngulos circunscritos. 19DEFINICIN: Seaf(x)unafuncindefinidaenleintervalocerrado[a,b]ycontinuaenelintervalo abierto (a, b). Si f(x) 0 en [a, b], el rea bajo la curva de f(x) en el intervalo definido esta dado por: = =niinx x f Lim A1) ( Ejemplo 1: Calcular el rea bajo la curva de f(x) = 3x2 xen el intervalo [1, 3]. Solucin: Comencemosel proceso hallando n nx2 1 3== 10 = x nnnx x x2 210 1+= + = + = nnn n nx x x4 412)21 (1 2+= + = + + = + = nnn n nnx x x6 612 42 3+= + = + |.|

\| += + = ni nnix x xi i2 211+= + = + = Ahora por la definicin: | | = = =nii inniinx x x Lim x x f Lim A1 13 ) (

|.|

\|+|.|

\|+=ninn ni nni nLim A122 2 23 Desarrollando las potencias ymultiplicando, obtenemos: 20

++ +=ninni nni ni nnLim A122 22 12 12 3 2 Aplicando las propiedades de las sumatorias, tenemos: =

+

+ +=nininni nn ni ni nnLim A1 122 22 2 12 12 3 2 =

+

+ + =nininin ninin nLim A1 122212 12 1232 = = =

+ + =nininininnnininnnLim A1 12212*2 12 1232 Recordemos las propiedades de las sumatorias. ( ) ( )

||.|

\| + ++||.|

\| ++ = 61 2 1221232222n n nnn nnnnLim An

||.|

\| ++ 22*22n nnnn

++

+ ++++ = nn nnn nn n nnn nnnLim An222 3 22 2 6 4 6 632

+ + + + + = n n n nLim An22 24 1281212 62

+ + = 24 2 244 26n n nLim An

+ + = 24 2222n nLim An 21Aplicando lmite:22 0 0 22 = + + = AUnidades cuadradas. EJERCICIOS: 1.Demostrarqueelreabajolacurvaparalafuncin 22 2 x x y = enelintervalo[0,1]es 1/3. SUGERENICA:Sigaelprocedimientoanterior,teniendoencuentalaspropiedadesde las sumatorias. Hallar el rea del polgono circunscrito para la funcin propuesta: 2. f(x) = x + 1donde a = -1yb = 2Con particin regular. 3. f(x) = x2 + 4 dondea = 2yb = 4 Con particin regular. 4. g(x) = x3 donde a = 0yb = 2 Con particin regular. Para las funciones dadas: Determinarlospuntosdeevaluacin,correspondientesalospuntosmediosdecada subintervalodado segn el valor de n. Graficar la funcin de los rectngulos que la aproximan. Calcular la suma de Riemman 5. f(x) = sex(x)[0, ]yn = 4 6. g(x) = x3 1 [1, 2]y n = 4 7. 2 ) ( + = x x h[1, 4]yn = 6 8.xxx P1 2) (=[2, 4]yn = 10

22LA INTEGRALDEFINIDA: ConocidosyestudiadoslosconocimientossobreSumasdeRiemmanyreasbajola curva,podemos hacer una definicin formal sobre la integral definida. DEFINICIN: Seaf(x)unafuncindefinidaenelintervalocerrado[a,b],laintegraldefinidadef(x)de a hasta b se define como:= =baniinx x f Lim dx x f1) ( ) (Llamada tambin la Integral de Riemman Donde: a = Lmite Inferior b = Lmite Superior f(x) = El integrado; o sea, la funcin que se va a integrar. dx =Diferencial de la variable. Analizando un poco el lmite de la sumatoria, igual que en el caso de la derivacin. == niipL x x f Lim10) ( Esto significa que dado un > 0,tan pequeo como se quiera, existe un > 0 tal que: = =niiL x x f1) ( ParatodaslassumasdeRiemman x x fi) ( delafuncindefinidaenelintervalo dado,silanormap delaparticinasociada,esmenorque,sedicequeellmite dado existe y es L. Surgelapregunta:Qufuncionessonintegrables?LarespuestaesqueNOtodaslas funcionessonintegrablesenunintervalocerradoI.Asociadoalcasodelmite,se requierequelasumadeRiemmantengalmite,yaquehaycasosdondeestasumase puede hacer muy grande, como es el caso de: = ||.|

\|ni inxLim121

Existenademsfuncionesacotadasquepuedennoserintegrables,porelgradode complejidad de la misma, como es el caso de: 23202dx ex Para esto existe un teorema de integrabilidad que nos garantiza las funciones integrables enunintervalocerradoI,sudemostracinNOestaalalcancedeestenivelyaque requiere clculo avanzado. TEOREMA DE INTEGRABILIDAD: Sif(x)esacotadaenelintervalocerrado[a,b]ysif(x)escontinuaexceptoenun nmerofinitodepuntos,entoncesf(x)esintegrableen[a,b].Enparticularsif(x)es continua en todo el intervalo, entonces es integrable en [a, b]. Consecuenciadeesteteoremapodemosverquelasfuncionespolinmicas,senoy coseno, son integrables en todo el intervalo cerrado I.Las funciones racionales lo son en I siempre y cuando dicho intervalo no contenga puntos en donde el denominador es cero. Ahorapodemoshacerlasiguienterelacincomoconclusindeloquevenimos analizando: rea bajo la curva de y = f(x)en el intervalo cerrado [a, b] es equivalente a badx x f ) ( PROPIEDADES DE LA INTEGRALDEFINIDA: Laspropiedadesaplicadasalaintegralindefinida,tambinsonaplicablesalas integrales definidas.Veamos algunas. 1. =badx x f 0 ) ( Para a = b 2. =baabdx x f dx x f ) ( ) ( Paraa < b 3. + =bacabcdx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) (Paraa < c < b 4.| | = bababadx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( ( ) ( 5. =babadx x f K dx x Kf ) ( ) (246. =baa b K Kdx ) ( 7. Si f(x) y g(x) son funciones integrables en el intervalo I = [a, b] y si f(x) g(x) paratodo xen [a, b], entonces:

babadx x g dx x f ) ( ) ( Lasdemostracionessepuedenconsultarenunlibrodeclculo,enlabibliografase proponen algunos. Sera pertinente que se consultaran. V A L O R M E D I O D E U N A F U N C I N: Elconceptodevalormedioloconocemosmuybien,porlosprincipiosdeEstadstica, pero en este caso vamos a calcular el valor promedio de una funcin f(x) en un intervalo cerradoI.ParaestecasoescogemosunamuestradepuntosenelintervaloI,construyendo la Particin correspondiente, donde: x0 < x1 < x2 < xn; adems, x0 = a y xn = b.La diferencia entre los puntos es: n a bx= Elvalorpromediodelafuncinf(x)estadadoporelpromediodelosvaloresdela funcin en x1, x2, xn: | |== + + + + =nii nx fnx f x f x f x fnx f13 2 1) (1) ( ... ) ( ) ( ) (1) ( Si multiplicamos y dividimos por b a tenemos: |.|

\|==na bx fa bx fnii1) (1) (Recordemos que:n a bx= , luego: x x fa bx fnii ==1) (1) (Corresponde a la suma de Riemman. DEFINICIN: Paralafuncinf(x)integrableen[a,b]ysabiendoquelasumadeRiemmantiene lmite: = == baniindx x fa bx x fa bLim x f ) (1) (1) (1 25Ejemplo1: Hallar el valor promedio de la funcin sen(x) en [0, ] Solucin: Aplicando la definicin tenemos: ==0) (01) (1) ( dx x sen dx x fa bx fba ( ) | | ) 0 cos( ( ) cos(1) cos(1) (1) (00 = = = x dx x sen x f | | 21 11) ( = + = x f Elprocesorequierelaaplicacindelteoremafundamentaldelclculo,elcual estudiaremos en seguida. Ejemplo 2: Cual ser el valor promedio de la funcinf(x) = x2 2 en el intervalo [0, 4] Solucin: Al igual que en el caso anterior, con la aplicacin de la frmula para valor promedio de la funcin: ( )4034022314120 41) (1) (|.|

\| = == x x dx x dx x fa bx fba 310340410 83644123141) (403=|.|

\|=

=|.|

\| = x x x f 310) ( = x f

26 EJERCICIOS: 1.Hallar el valor promedio para la funcin f(x) = 4x3 en el intervalo [1, 3] 2.Cual ser el valor promedio de la funcin 16) (2+=xxx g en el intervalo [0, 3] 3.Determinar el valor medio de la funcin: g(x) = sen2(x) cos(x) para el intervalo [0, /2] 4. Cual ser el valor promedio de la funcin f(x) = cos(x)en el intervalo [0, /2] TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO:

EnMatemticashayteoremasfundamentales,comoenAritmtica,lgebra, Geometra; el Clculo no puede ser la excepcin.Para estudiar el teorema fundamental del clculo que en verdad son dos y no uno como dice el ttulo, vamos a estudiarlos por separado. PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO: Paraenunciarelteorema,analicemoslasiguiente situacin:SeaA(x)elreabajolacurvadela funcinf(t)adichafuncinselellamafuncin acumulada,yaquevaacumulandoelreabajola curva dada t = a hasta t = x. donde x > 1. Sabemos que: =xadt t f x A ) ( ) (

Por otro lado, sabemos por definicin de reas bajo la curva que: = =niinx x f Lim x A1) ( ) ( Al relacionar las ecuaciones anteriores: = = xaniindt t f x x f Lim ) ( ) (1 27Ahora definamos a B(x) como el lmite de la sumatoria, de tal manera que ) (x fdxdB= Luego:) ( ) ( x f dt t fdxdxa= TEOREMA: Sea f(x) una funcin continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea x un punto en (a, b), entonces: Se debe anotar que x es variable y que la tasa de acumulacin en t = x es igual al valor de la funcin f(x) que se esta acumulando en t = x. Demostracin: Por la definicin de derivada:

=

+= + xax xax xdt t f dt t fxLimxx F x x FLim x F ) ( ) (1 ) ( ) () ( '0 0 + + =

x xxxxax xaxdt t fxLim dt t f dt t fxLim ) (1) ( ) (10 0 Si observamos cuidadosamente la ltima expresin, podemos deducir que corresponde a lmitedelvalorpromediodef(x)enelintervalo[x,x+x].Comox>0,por teorema de valor medio: +=x xxc f dt t fx) ( ) (1Dondex < c < x + x Pero cuandox tiende a cero, entonces c tiende a x; adems,f(x) es continua. ) ( ) ( ) (1) ( '0 0x f c f Lim dt t fxLim x Fxx xax= =

= + Esteteoremaensuconceptoexpresaquetodafuncinf(x)continuaenunintervalo cerrado, tiene antiderivada. ) ( ) ( x f dt t fdxdxa=28Ejemplo 1: Desarrollar:

xdt tdxd14 Solucin: Por la definicin del teorema: 414x dt tdxdx=

Ejemplo 2: Dado:( ) + =xdt t t x F122 4 ) (Hallar F(x). Solucin: El integrado por definicin es F(x) = f(x) entonces: F(x) = x2 + 4x 2 Siloresolvemosporotrolado,tenemos:( ) + =xdt t tdxddxdF122 4 pordefinicindel teorema: 2 42 + = x xdxdF Ejemplo 3: Si=21) cos( ) (xdt t x P Calcular P(x). Solucin: Como el lmite superior tiene potencia, hacemos cambio de variable. U = x2, luego: =udt t x P1. ) cos( ) (Por la regla de la cadena: dxdudt tduddxdPdxdududPdxdPu* ) cos( *1

= = Desarrollando: x udxduudxdP2 * ) cos( * ) cos( = = recordemos que u = x2en este contexto. 29) cos( 2 ) ( '2x x x P = Ejemplo 4 Sea ( ) =214 2 ) (xdt t x H Hallar H(x).

Solucin: Hacemos cambio de variableas: u = x2 ahora: ( ) ( ) x udxdudt tdxddxdHu2 * 4 2 * ) 4 2 (1 =

= Reemplazando u tenemos ( ) ( ) x x x xdxdH8 4 2 * 4 23 2 = =Por consiguiente: x xdxdH8 43 = SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO En clculo el estudio de los lmites es fundamental, dos lmites muy importantes en clculo son: |.|

\| += xx f x x fLim x fx) ( ) () ( '0y x x f Limin ) ( Por medio del teorema fundamental numero uno, se estudio la relacin que tienen estos dos lmites, fundamental para resolver integrales definidas.La existencia de la antiderivada, lo garantiza el primer teorema fundamental del clculo, laevaluacindedichasintegralessegarantizapormediodelsegundoteorema fundamental. TEOREMA: Sea f(x) una funcin contina en un intervalo definido, por consiguiente es integrable en elintervalocerrado[a,b],seaP(x)unaantiderivadadef(x)enelintervalodado, entonces: =baa P b P dx x f ) ( ) ( ) (30 Demostracin: Lademostracinrequierelosconocimientosdeteoremasydefinicionesestudiadas anteriormente, por lo cual se debe tener presente estos aspectos. Sea la funcin =xadt t f x G ) ( ) ( para x en el intervalo [a, b], sabemos que) ( ) ( ' x f x G = Paratodoxen[a,b],luegoG(x)esunaantiderivadadef(x),peroP(x)estambin antiderivadade f(x).Por el teorema de antiderivada, sabemos:P(x) = G(x), donde P(x) y G(x) solo difieren por una constante, luego para todo x en [a, b]: P(x) = G(x) + C,para P(x) y G(x)continuas en el intervalo dado, luego:P(a) = G(a) + Cy P(b) = G(b) + C en el intervalo cerrado definido. Para == =a xadt t f a G 0 ) ( ) ( Recuerdas? P(a) = G(a) + Csaber porque verdad! P(a) = 0 + C entonces: P(a) = C,por lo tanto: P(b) P(a) = [G(b) + C] C = G(b). Luego al igual que G(a), podemos decir: ==b xadt t f b G ) ( ) ( Por consiguiente: = badx x f a P b P ) ( ) ( ) (As queda demostrado el teorema. Esta misma demostracin se puede hacer por las sumas de Riemman, veamos: Primeroparticipamoselintervalo[a,b]en:xo,x1,x2,,xn dondexo=ayxn=b, adems:x=xixi-1,comoxeseltamaodecadasubintervalo,entonces: n a bx= para i = 1, 2, 3, , nAhora: P(b) P(a) = [P(x1) P(xo)] + [P(x2) P(x1)] + + [P(xn P(xn-1)] resumiendo: | |= = nii ix P x P a P b P11) ( ) ( ) ( ) ( ComoP(x)esunaantiderivadadef(x)derivableen(a,b)ycontinuaen[a,b],porel teorema del valor medio x c f x x c P x P x Pi i i i i i = = ) ( ) )( ( ' ) ( ) (1 1 para ci (xi-1, xi)donde i = 1,312, 3, Por asociacin de las dos ecuaciones anteriores: | | = = = = niinii ix c f x P x P a P b P1 11) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Si tomamos limite a ambos lados de la ecuacin cuando n tiende a infinito, obtenemos: = = = banniindx x f a P b P Lim x c f Lim ) ( )) ( ) ( ( ) (1 Por consiguiente: = badx x f a P b P ) ( ) ( ) ( Ejemplo 1: Aplicar el segundo teorema fundamental del clculo para resolver: baxdx Solucin: ( ) = = ===bab xa xa ba b xxdx2 22 2 2212 2 2 Ejemplo 2: Resolver la integral:( )dx x x2034 Solucin: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=|.|

\| = 2 4 2 4202 42030 2 0412 2 2412414 x x dx x x ( ) 4 8 4 84164203 = = = dx x x 32 Ejemplo 3: Demostrar que: 1247 1412=|.|

\|dxxx Solucin: Como 21xx es continua en [1, 4], se puede aplicar el teorema fundamental, luego: |.|

\|+ = + =|.|

\| 414114122232132) (1x x dx x x dxxx Evaluando: ( ) ( ) ( ) ( )4131135413161 1324 432 1411 122323+ = + =

+

+ =|.|

\| dxxx 124741311 1412= + = =|.|

\|dxxx Ejemplo 4: Hallar el valor de: 20) (dx x sen

Solucin: Lafuncinsenoescontinuaenelintervalopropuesto,luegosepuedeintegral,por medio del teorema fundamental.)) 0 cos( ( ) cos( ) cos( ) (20022 = =x dx x sen 1 1 0 ) (20= + =dx x sen TEOREMA DE SIMETRA: Si f(x) es una funcin par, entonces: =a aadx x f dx x f0) ( 2 ) ( 33Si f(x) es una funcin impar, entonces: 0 ) ( =aadx x f Demostracin: Vamos a demostrarla primera parte del teorema, el segundo se deja como ejercicio. + = aaaadx x f dx x f dx x f00) ( ) ( ) ( Ahora hacemos una sustitucinu = -x, luego du = -dx.Por definicin, si f(x) es par. Se cumple: f(-x) = f(x), entonces: = =0 0 0) ( ) )( ( ) (a a adu u f dx x f dx x f Luego: =a adx x f du u f0 0) ( ) (Por lo tanto: = + =a a a aadx x f dx x f dx x f dx x f0 0 0) ( 2 ) ( ) ( ) ( 34 EJERCICIOS: 1. Escribir las siguientes integrales como una sola: a-) +3220) ( ) ( dx x f dx x f b-) +1220) ( ) ( dx x f dx x f 2.Hallar 40. ) ( dx x f donde:

\| +=otros parax para ex fx00 2) (2 Cual ser la probabilidad de que la variable tome un valor entre 1 y 3. 3 1 X 150Solucin: Por definicin: = badx x f b X a P ) ( ) ( Como X esta en la condicin para que xe x f22 ) (=entonces: = = 3123122 2 ) 3 1 ( dx e dx e X Px xOperando: ( ) 1328 , 022 ) 3 1 (6 2 2 6312 = =||.|

\|= e e e eeX Px Ejemplo 4: Para el ejemplo anterior, cual es la probabilidad de que la variable tome un valor mayor que . Solucin: Siguiendo el procedimiento de la definicin: =||.|

\|= = 21221221222 2 )21(xxxeedx e X P ( ) 3678 , 0 )21(1 1 = = e e e e X P Existenmuchasfuncionesdedensidaddeprobabilidad,utilizadasenelmundodela Estadstica, tales como:La Normal, Log normal, x2 de Pearson, otras.Estas se pueden explorar en el curso de Estadstica y de Probabilidad. 151 Ejercicios: 1. La densidad de probabilidad de una variable aleatoria esta dada porla funcin:

< < X P

2.Para el ejercicio numero 1, determinar la probabilidad de que una variable aleatoria con esta funcin de distribucin, tome un valor entre 0,2 y 0,6 Rta: 16 , 0 ) 6 , 0 2 , 0 ( = X P 3. La funcin de distribucin de una variable aleatoria esta dada por la expresin: > =2 0241) (2x parax paraxx F Cual ser la probabilidad de que la variable aleatoria: a-) Tome un valor menor que 3 b-) Tome un valor entre 4 y 5 Rta: a-)555 , 0 ) 3 ( = < x Pb-)09 , 0 ) 5 4 ( = < < x P 4. El consumo de energa de cierta planta es una variable aleatoria, cuya funcin de densidad de probabilidad es:

391) (xxe x f=Para x > 0 La planta tiene una capacidaddiaria de 12 millones de Kw/hr.Cual ser la probabilidad de que el suministro de energa sea inadecuado en un da dado. Rta:0916 , 0 ) 12 0 ( < < x P 1525.lavidatildeunartculoelectrnicoesunavariablealeatoria,confuncinde densidad de probabilidad: xe x f66 ) (=Cul es la probabilidad de que el artculo dure menos de 3 meses?Rta:7768 , 0 ) 12 / 3 0 ( = < < x P 6.Paraelcasodelavidatildelartculoelectrnicoreferenciadoenelejercicio anterior,Cul ser la probabilidad de que el artculo electrnico dure entre 2 y 4 aos? Rta: 000006144 , 0 ) 4 2 ( = < < x P153LAS INTEGRALES EN LA ECONOMA En Economa son muy usados los trminos demanda y oferta.La curva de demanda del consumidor P = D(x), nos da el precio de demanda que el consumidor esta dispuesto a pagar por unidad para x unidades, la curva generalmente es decreciente, debido a que al vendercantidadesmayores,elpreciobaja.LacurvadeofertadelproductorP=S(x), nos da el precio por unidad al cual el vendedor esta dispuesto a ofrecerx unidades, la curva es creciente, ya que a mayores cantidades, el precio de venta sube. CURVA DE OFERTA DEMANDA La grfica muestra la curva de ofertaP = S(x) y la curva de demanda P = D(x). P(Xc,Yp)correspondealpuntode equilibrio. Utilidad:Eselconceptoasociadoconuna funcin que describe el grado de beneficio o satisfaccin, cuando el consumidor recibe x unidades. EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR: (E.C.) Entrminossencillos,elexcedentedelconsumidorE.C.eslacantidaddedineroque ahorraunconsumidorcuandocompraunartculoaPprecio,paraunacantidadxde artculos.Loanteriorsetraduceenlautilidaddelconsumidor,cuandodisminuyeel precio a razn de aumentar la compra del artculo. Para Q artculos el precio es P,luego el gasto total serQP.El rea total bajo la curva es la utilidad total U. =Qdx x D U0) ( D(x) es la funcin demanda. Asi,el excedente del consumidor ser entonces la utilidad menos los gastos totales. Excedente del Consumidor =QQP dx x D C E0) ( . . =QQP dx x D C E0) ( . .154EXCEDENTE DEL PRODUCTOR: (E.P.) Loseconomistaslorefierenalautilidadquerecibeelproductor,cuandoseofrece mayorescantidadesdelartculo,arazndelaumentodelprecio.Estosignificalos ingresosextrasquerecibeelproductor,cuandoelconsumidoraumentalacompradel artculo. ComoQeslacantidaddeartculos ofrecidosaPprecio,lacantidadrecaudada ser de QP. El excedente del productor E.P, serelrecaudototalmenoselreabajola curva,quecorrespondealafuncinoferta de produccin.

Excedente del productor Ejemplo 1: Dadas las funciones demanda D(x) = (x 5)2y de ofertaS(x) = x2 + x + 3, hallar a-El punto de equilibrio b-El E. C. en el punto de equilibrio c-El E. P. en el punto de equilibrio Solucin: a-ElpuntodeequilibrioesdondeD(x)=S(x),esdecir:(x5)2=x2+x+3.Haciendolasoperacionesalgebraicas: 3 25 102 2+ + = + x x x x ,despejamosla variable, luego: xE = 2.Ahora podemos hallar el valor de y, as: yE = (2 5)2 = 9, el punto de equilibrio ser: P(2, 9) b-Para calcular el excedente del consumidor, utilizados la ecuacin para E. C. ( ) ( ) ) 9 ( * ) 2 ( 5315 . .20203 2 = =x QP dx x C E Evaluando y simplificando: ( ) 667 , 14 18 667 , 32 18 125 2731. . = = + = C E c- De igual manera que en el caso anterior, el excedente del productor se calcula con la ecuacin para este fin. =Qdx x S QP P E0) ( . .155 ( )dx x x dx x S QP P E + + = =202203 18 ) ( . Desarrollando tenemos: 33 , 732233218 3213118 .202 3 = =|.|

\|+ + = x x x P E Ejemplo 2: Lademandadeunproductoestagobernadaporlafuncin: 20001 . 0 2 . 0 200 . 1 ) ( x x x D = Culserelexcedentedelconsumidorparaunnivel de ventas de 500 unidades? Solucin: Para este caso Q = 500, luego P = 1.200 0,2(500) 0,0001(500) = 1.075, entonces el gasto total ser de QP = 500*1075 = 537.500 Ahora calculamos el E. C. utilizando la ecuacin correspondiente. ( ) 500 . 537 0001 , 0 2 , 0 200 . 1 . .50002 = dx x x C E ( ) 500 . 537 5 , 837 . 570 500 . 537 10 33 , 3 1 , 0 200 . 1 . .50005 2 = =X x x C E 5 , 337 . 33 500 . 537 5 , 837 . 570 . . = = C E Ejemplo 3: DeterminarelE. P. Paraunproducto cuya funcin ofertaes:x x x S 221) ( + = , para x = 20. Solucin: Para este caso Q = 20, luegoP = 20/2 + 2(20) = 50. Entonces:QP = 20*50 = 1.000 A continuacin se calcula el E: P.( ) 400 100 000 . 141000 . 1 221000 . 1 . .2002 2200+ =|.|

\|+ =|.|

\|+ =x x dx x x P E ( ) 500 400 100 000 . 1 . . = + = P E 156 Ejercicios: 1. La funcin oferta de cierto artculo esta dada por:510) ( + =xx s . Para un precio de venta de $10. Calcular el excedente del productor cuando el precio de venta es de $10.Rta: E.P.=$4.166,67 2. La funcin demanda para un producto es de la forma8450) (+=xx D .a-) Cual ser el nivel de venta para un precio de $10 b-) encontrar el excedente del consumidor para el nivel de ventas de la parte a. Rta: a-)Q = 37 b-)E.C.= 407,15 3. En un anlisis econmico, la funcin demanda y oferta son respectivamente: ( )24 ) ( = x x Dy 6 2 ) (2+ + = x x x S .Calcular el excedente del productor en el punto de equilibrio. Rta: E. P. = $1,67 4.Para el caso el problema 3, calcular el excedente del consumidor, cuando la venta es de un artculo.Rta:E. C. = $3,33 COSTO TOTAL: Siguiendo el estudio de las integrales en la economa, se debe hacer notar otros trminos queeneconomasonfrecuentescomocostomarginalycostototal.Elconceptode Marginalhacereferenciaalcambioquemanifiestaunacantidad,cuandohayun cambio muy pequeo de una segunda cantidad, en este orden de ideas si conocemos la funcin costo marginal C(x) o dC/dx, se puede hallar el costo total. C(x), entendiendo este ltimo como el costo necesario para producir x unidades de cierto artculo.ElcostomarginalserC(x)siendox=xi parai=1,2,3,Siladerivadaexiste, entonces a dicha funcin se le llama funcin costo marginal.Conelprincipiodelaantiderivada,podemosinferirqueapartirdelcostomarginal podemoshallarelcostototal.Alrealizarelprocesodeintegracin,laconstante arbitraria, se puede evaluar si se conoce el costo general; es decir, el costo sin producir unidad alguna, entonces:

Costo total de produccin = dx x c x C ) ( ' ) (157NOTA: El costo marginal, no puede ser negativo, luego c(x) 0 Ejemplo 1: Dadlafuncincostomarginal. 12 3 = xdxdClaproduccinde4unidades,originaun costo de $16. Hallar la funcin costo total. Solucin: Como0 12 3 0 xdxdC Luego 4 xAhora: c x x dx x x C + = =1223) 12 3 ( ) (2 Pero C(4) = 16, entonces:c + = ) 4 ( 12 ) 4 (23162despejando c, se obtiene: c = 40. Por consiguiente: 40 1223) (2+ = x x x C Pero la mnima cantidad que se debe producir es de 4 unidades.4 x Ejemplo 2: En un proceso de produccin la funcin costo marginal esta dada por: 4 53+=xdxdC El costo general es de $10, Cul ser el costo total? Solucin: +=+=4 534 53) (xdxdxxx C Aplicando cambio de variable: u = 5x + 4entonces du = 5dx, despejando dx = du/5, ahora reemplazamos en la integral original. = =+du uuduxdx2 / 153534 53Integrando se obtiene: c u cu+ = +562 / 1*532 / 1Luego: 158c x x C + + = 4 556) ( Para hallar el valor de c, tomamos las condiciones dadas: C(0) = 10, entonces: c + + = 4 ) 0 ( 55610Despejando c seobtiene: c = 38/5.Finalmente: 5384 556) ( + + = x x C INGRESOTOTAL: Paraestudiarelingresototal,debemosrecordarelconceptodeingresomarginal, denotado por R (x), parax = xicon i = 1, 2, 3, La funcin R (xi)si existe se le llama ingreso marginal. Esta funcin puede ser positiva, negativa o cero Se interpreta como la tasa de cambio del ingreso total cuando se requierenx unidades. A partir del ingreso marginal, podemos obtener el ingreso total, por medio de integrales indefinidas. Si p es el precio unitario y x las unidades vendidas, entonces el ingreso ser: R(x) = p*x Segnlaecuacinanterior,elingresototallopodemosobtenerapartirdelingreso marginal. Ejemplo 1: Cual ser el ingreso total para la funcin marginalR (x) = 300 x Solucin: Por definicin:( ) c x x dx x x R dx x R x R + = = = 221300 300 ) ( ) ( ' ) ( Para hallar el valor de c, partimos de la siguiente premisa: El ingreso es cero, cuando el nmero de unidades es cero; es decir,R(0) = 0Reemplazandoenlafuncinobtenida:300(0)(0)2+c=0,despejandocseobtiene que c = 0, por consiguiente: 221300 ) ( x x x R = = dx x R x R ) ( ' ) (159 Recordemos que cuando x = 0, no hay ingresos. Ejemplo 2: La utilidad total se le llama P(x) y se define como: Unacompaatieneparaunartculoelvalorde$100launidad;preciodeventa.Si produce diariamentex unidades, el valor por produccin marginal es 2x + 20.El costo general es de $700.Hallara-) La funcin utilidad totalb-) La utilidad que se obtiene al producir 40 unidades. Solucin: a-) C (x) = 2x + 20Entonces:( ) c x x dx x x C + + = + =20 20 2 ) (2

Para C(0) = 700, luego: 700 = 02 + 20(0) + c,c = 700, la funcin costo total ser: 700 20 ) (2+ + = x x x C Lafunciningresoser:R(x)=100xcomotenemoslafuncincostototalC(x), entonces podemos calcular la funcin utilidad. ( ) 700 80 700 20 100 ) (2 2 + = + + = x x x x x x P As, la funcin utilidad total ser:700 80 ) (2 + = x x x P b-) Como conocemos la funcin utilidad, solo reemplazamos para x = 40, entonces: 700 ) 40 ( 80 ) 40 ( ) 40 (2 + = RDesarrollando: 900 300 . 2 200 . 3 ) 40 ( = = = x R ) ( ) ( ) ( x C x R x P =160 Ejercicios: 1.Paraciertamercancalafunciningresomarginalestadadapor:R(x)=204x, cual ser el ingreso total cuando se requieren 10 unidades de la mercanca. Rta: R(x =10) = 0 2. La funcin costo marginal para cierto artculo esta gobernado por: 4 53) ( '+=xx CSielcosto general es de $10,cual ser el costo total en la produccin de 50 artculos.Rta: C( x = 50 )=26, 725 3. En la produccin de una pasta de jabn para tocador, la funcin ingreso marginal se determin como:22 8 ) ( ' x x x R + = .Cul ser el ingreso totalpara 12 unidades? Rta:R(x =12) = 528 4. La fbrica de bombillas El Alumbrador tiene como precio de venta para su artculo el valor de $700 la unidad. Si produce diariamentex unidades, el valor por produccin marginal es 5x + 8.El costo general es de $800.Cul ser la utilidad al producir 50 bombillas? Rta: P(x) =$27.550 161BIBLIOGRAFA STEWART,James,ClculodeunaVariable.Thomsom-Learning.Cuartaedicin, Bogot, 2001. LARSON,Ronald,HOSTETLER,Robert.ClculoVol.1,McGrawHill,sexta edicin, Mxico, 1.998. SMITH, Robert y MINTON, Ronald. Clculo Vol. 1. Mc Graw Hill, Bogot. 2000. THOMAS,George,FINNEY,Ross.ClculoconGeometraAnalticaVol.1.Edicin sexta,Addison Wesley Iberoamericana.Mxico, 1987. LEYTOLD, Louis. El Clculo con Geometra Analtica.Harla, Mxico, 1.987. PURCELL, Edwin y Otros.Clculo, Prentice hall, Octava Edicin,Mxico, 2.001 PITA, Claudio. Clculo de Una Variable, Prentice hall, Mxico, 1.998 APOSTOL, Tom M, Calculus Vol. 1,Editorial Reverte, Espaa, 1.982