calculo integral modulo segunda version 2007

8/2/2019 Calculo Integral Modulo Segunda Version 2007

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MDULO

CLCULO INTEGRAL

Jorge Elicer Rondon Duran

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD

FACULTAD DE CIENCIAS BSICAS E INGENIERA

UNIDAD DE CIENCIAS BSICAS

Bogot D. C., 2007

dxxf )(


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2

COMIT DIRECTIVO

Jaime Alberto Leal Afanador

Rector

Gloria HerreraVicerrectora Acadmica

Roberto Salazar RamosVicerrector de Medios y Mediaciones Pedaggicas

Maribel Crdoba GuerreroSecretaria General

MDULOCURSO CLCULO INTEGRALSEGUNDA EDICIN

CopyrightUniversidad Nacional Abierta y a Distancia

ISBN

2007Bogot, Colombia


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CONTENIDO

Introduccin

UNIDAD UNO:La Integracin

- La Antiderivada- La Integral Indefinida- La integral Definida- Valor medio de una Funcin

- Teorema fundamental del Clculo- La Integral Impropia

UNIDAD DOS:Mtodos de Integracin

- Integrales Inmediatas- Integracin por Cambio de Variable: Sustitucin- Integracin porSustitucin: Racionalizacin- Integracin por Sustitucin Trigonomtricas- Integracin por partes- Integracin por Fracciones Parciales- Integracin de Funciones Exponencial y Logartmica- Integracin de funciones Trigonomtricas- Integracin de funciones Hiperblicas

UNIDAD TRES:Aplicacin De las Integrales

- Anlisis de Grficas- reas de Superficies de Revolucin

- Longitud de una Curva- Volmenes de Slidos de Revolucin: Mtodo de Arandelas- Volmenes de Slidos de Revolucin: Mtodo de Casquetes

Cilndricos- Volmenes de Slidos de Revolucin: Mtodo de Rebanadas- Integrales en la Fsica- Integrales en la Estadstica- Integrales en la Economa


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INTRODUCCIN

La matemtica es una ciencia eminentemente terica, debido a que parte de teoras ydefiniciones, cuyas demostraciones se soportan en el principio de la lgica, los axiomasy postulados, que permiten el desarrollo de habilidades de pensamiento de orden

superior, especialmente la Deduccin, Induccin y la Abstraccin, pero a su vezpresenta dificultades para poder desplegar dichas habilidades, ya que se requieretrabajar el sentido de anlisis, desarrollo del raciocinio, aspectos no fciles de activar enla mente humana.

El Clculo Integral es el rea de las matemticas, que pertenece al campo de formacindisciplinar y tiene carcter bsico en cualquier rea del saber, debido a que losIngenieros, Administradores, Economistas, Fsicos, Qumicos, por supuesto losMatemticos y dems profesionales requieren de esta rea del saber.

Un buen conocimiento del clculo diferencial, permite y facilita trabajar el curso declculo integral, en donde se desarrollan teoras, principios y definiciones matemticaspropias del clculo infinitesimal. El objetivo fundamental es que los estudiantes puedanidentificar, comprender e interiorizar las temticas que cubren el curso, con el fin deadquirir conocimientos matemticos que le den capacidad de resolver problemas dondeel clculo Univariado es protagonista.

El Clculo Integral es la rama de las Matemticas muy utilizadas en Ciencias,Tecnologa, Ingeniera e Investigacin, que requiere un trabajo sistemtico yplanificado, para poder cumplir el propsito fundamental que es saber integrar, tcnicaque permite solucionar problemas de estos campos. Por otro lado, la integracin es

necesaria para otros escenarios como las Ecuaciones Diferenciales, los MtodosNumricos, la geometra diferencial, la Probabilidad, la Estadstica Avanzada y otrasreas del conocimiento.

Las Unidades Didcticas que conforman el curso son: La Integracin, Los Mtodos deIntegracin y Las Aplicaciones de las integrales. El la primera unidad se desarrolla loreferente a la antiderivada o primitiva, la integral indefinida, la integral definida, elteorema fundamental del clculo y las integrales impropias. La segunda unidad presentalo relacionado con las tcnicas de integracin, iniciando con las integrales inmediatasproducto de la definicin de antiderivada, la integracin por cambio de variable otambin llamada sustitucin, integracin por partes, integracin por fracciones parciales,

integracin de funciones trascendentales; tales como, exponencial, logartmica,trigonomtricas e hiperblicas. La tercera unidad presenta las aplicaciones de laintegracin, tales como reas bajo curvas, longitud de una curva, volmenes de slidosde revolucin, la integracin en la fsica, en la estadstica y en la economa.

En los ejercicios propuestos, para las primeras temticas, no se dan las respuestas ya questas son muy obvias, pero para las dems temticas, se ofrecen las respuestas, con elfin de motivar el procedimiento de los mismos. Es pertinente desarrollarlos de manerametdica y cuidadosa; adems, confrontar la respuesta obtenida con la dada en elmdulo, cualquier aclaracin compartirla con el tutor o el autor a travs del correo

[email protected].
mailto:[email protected]


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Como el conocimiento se va renovando y actualizando, los aportes que se hagan alpresente material sern bien venidos, esperando as una actividad continua demejoramiento en beneficio de todos los usuarios del material. Como el materialpresenta las temticas fundamentales, es pertinente complementar con otras fuentes

como libros, de los cuales se presentan en la bibliografa, Internet y otros.

Es recomendable desarrollar el trabajo acadmico de manera adecuada, como seexplicita en el modelo acadmico pedaggico que la UNAD tiene, para obtener losmejores resultados del curso. El estudio independiente, como primer escenario, esfundamental para la exploracin, anlisis y comprensin de las temticas. El

Acompaamiento Tutorial, debe permitir complementar el trabajo realizado en elescenario anterior, especialmente en la aclaracin de dudas, complementacin yprofundizacin pertinente. En este aspecto, se deben explorar las herramientas queestn a la mano para aprovechar de la mejor manera dichos recursos, as el grado deaprendizaje es ms amplio y se ver mejor reflejado el aprendizaje autnomo.

El Autor


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U N I D A D U N O

L A I N T E G R A C I N


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LA INTEGRACIN dxxf )( :

En el mundo de las Matemticas encontramos que existen operaciones opuestas, comola suma y la resta, el producto y el cociente, donde una deshace o anula la otra. De lamisma manera la Integracin es una operacin opuesta a la Diferenciacin. La relacinDiferenciacin Integracin es una de los conocimientos ms importantes en el mundode las Matemticas. Ideas descubiertas en forma independiente por los grandesMatemticos Leibniz y Newton. Inicialmente Leibniz al proceso de integracin lollamo: Calculus Summatorius pero en 1.696 influenciado por Johann Bernoulli, de ladinasta Bernoulli, le cambio el nombre a Calculus Integrelis.

Gottfried Wilhelm von LeibnizJulio 1646 - Nov 1.716

El clculo ha sido una secuencia de reas matemticas entrelazadas, donde se utilizanprincipios de lgebra, Geometra, Trigonometra, se debe destacar que para desarrollarel curso de Clculo Integral, es pertinente tener claros los principios de las reasnombradas y adems los de Clculo Diferencial, ya que como se dijo en el prrafoanterior, la integracin es la opuesta a la diferenciacin.

LA ANTIDERIVADA:

Para conceptuar la Antiderivada, comencemos por pensar que se tiene una funcin,digamos )(xf , el trabajo consiste en encontrar otra funcin, digamos )(xD talque: )()(' xfxD . As D(x) es una antiderivada de f(x). Identificar una funcin a

partir de su derivada, consiste en hallar un

dispositivo

(tcnica) que nos de todas lasfunciones posibles, donde f(x) es su derivada, a dichas funciones se les llamaAntiderivadasde f(x). El dispositivo para ste proceso es llamado La Integracin.

Veamos un ejemplo sencillo: Sea f(x) = 2x, cual ser una funcin D(x) cuya derivadaes 2x? Con algo se astucia y conocimientos slidos en diferenciacin podemosidentificar que D(x) = x2. Veamos: Si derivamos D(x) = x2 obtenemos f(x) = 2x.

Otro ejemplo: f(x) = cos(x), cual ser un D(x)? Debemos buscar una funcin cuyaderivada es cos(x), evidentemente es sen(x), luego D(x) = sen(x).

Gran Filosofo, politlogo y matemtico.Precursor de la Lgica Matemtica, desarrollo el

Clculo, independiente de Newton, publicando sutrabajo en 1.684, su notacin es la que se utilizaactualmente. Descubri el sistema binario, muyutilizado en los sistemas informticos. Contribuyo ala creacin de la Real Academia de Ciencias enBerln en 1.670, siendo su primer presidente.


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8

Para la notacin de antiderivada hubo diversas propuestas, pero la del gran Matemtico

Leibniz es la ms utilizada universalmente. dx... . Posteriormente se analizar estanotacin.

Para los ejemplos anteriores con la notacin de Leibniz se tiene:

cxdxx 2)2( Para el otro: cxsendxx )()cos(

Posteriormente se aclara el concepto de la c

El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se le llama la Integral Indefinida de f(x)

y se puede escribir: cxDdxxf )()(

Demostracin:

Como G(x) y F(x) son antiderivadas de f(x), entonces tenemos que: G(x) = F(x), poruna definicin previa que dice: si g(x) = f(x) entonces: g(x) = f(x) + c para todo x enel intervalo I abierto. Por consiguiente: G(x) = F(x) + c, para alguna constante c.

Ejemplo No 1:

Encontrar todas las funciones cuya derivada es f(x) = 4x3 + 2.

Solucin:

Una funcin puede ser x4 + 2x + 5, ya que al derivarla obtenemos 4x3 + 2. Luego: Sif(x) = 4x3 + 2, entonces D(x) = x4 + 2x + 5, pero tambin puede serD(x) = x4 + 2x + 12.En general cualquier funcin de la forma D(x) = x4 + 2x + C, es antiderivada de lafuncin f(x), siendo C una constante.

DEFINICIN No 1:

Una funcin D(x) es una antiderivada de la funcin f(x), si:D(x) = f(x). Para todo x en el dominio de f(x).

TEOREMA:

Sean F(x) y G(x) antiderivadas de f(x) en un intervalo cerrado I,entonces:

G(x) = F(x) + c para alguna constante c.


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9

Ejemplo No 2:

Encontrar todas las funciones cuya derivada es: f(x) = sec2(x).

Solucin:

Si recordamos sobre derivadas de funciones trigonomtricas, podemos saber que lafuncin cuya derivada corresponde a sec2(x), es tan(x), luego:Si f(x) = sec2(x), entonces D(x) = tan(x) + CPor consiguiente, la forma de las funciones cuya derivada corresponde a sec2(x) es:

D(x) = tan(x) + c

Ejemplo No 3:

Hallar algunas funciones cuya derivada es g(x) = 12

Solucin:

Cualquier funcin de la forma 12x + C es antiderivada de g(x), luego algunas de estaspuede ser:G(x) = 12x + 5, G(x) = 12x + 10, G(x) = 12x + 25En general: G(x) = 12x + C

Los ejercicios propuestos, se deben desarrollar, utilizando las definicionesy teoremas, analizados en este aparte.


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EJERCICIOS:

Encontrar la antiderivada F(x) + C de las siguientes funciones:

1. f(x) = 8

2. f(x) = 3x2 + 4

3. f(x) = x21x10

4. f(x) = 3/x46/x5

5. f(x) = (3x25x6) / x8

Desarrollar la operacin propuesta:

6. dxx )6( 5

7.

dxx

2273

8.

dyy

yy

2

34

9. dxxxsen )(csc)( 2

10. dx

NOTA: Como la respuesta es directa, entonces NO se dan, por esto, los ejercicios sedeben resolver en el trabajo individual y socializarlo en el pequeo grupo colaborativo.Cualquier duda por favor consultar al Tutor.

.


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11

LA INTEGRAL INDEFINIDA:

Conociendo el concepto de Antiderivada, podemos formalizar desde el punto de vistamatemtico la integral indefinida. Leibniz (1.646 1.716) a la Antiderivada la llamoIntegral Indefinida, quizs pensando que este tipo de integrales incluye unaconstante arbitraria.

Luego podemos definir la integral indefinida de la siguiente manera:

Donde:

Smbolo de integracin.f(x) = Integrando

dx = diferencial de la variable,D(x) = La integral de f(x)c = constante de integracin.

Veamos un poco esta nomenclatura matemtica: Por definicin de derivada tenemos:

dxxfxDxfxDdx

d)()(')()(

La operacin opuesta:

dxxfxDdxfdx

xDd)())(()(

))((

cdxxfxDdxxfxDd )()()())(( No debemos olvidar la constante de integracin.

Con base en las definiciones anteriores y los conceptos analizados, se puede obteneralgunas integrales, basado en la teora de la antiderivada.

cxDdxxf )()(


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INTEGRALES INMEDIATAS:

INTEGRAL DERIVADA

Cxdx 1)( cxdx

d

cn

xdxx

nn

1

1

para n -1 nn

xcn

x

dx

d

1

1

cne

dxenx

nx para n 0 nxnx

ecn

e

dx

d

caLoga

dxax

x

)(para a > 0 x

x

acaLog

a

dx

d

)(

ckkx

dxkxsen)cos(

)( para k 0 )()cos(

kxsenck

kx

dx

d

cxLndx

x)(

1

xcxLn

dx

d 1)(

cxSenxdx

)(1

1 12

21

1

1)(

xxSen

dx

d

cxdxx )tan()(sec2 )(sec)tan( 2 xcxdx

d

PROPIEDADES:

Para las propiedades indefinidas, podemos destacar las siguientes propiedades,consecuencia de las aplicadas en la diferenciacin.

1. dxxfdxxf )()(

2. dxxfkdxxkf )()(

3. ckxkdx

4. dxxkgdxxkfdxdxxkgdxxkf )()()()(

5.cxfLndx

xf

xf

)()(

)('

La demostracin se pude hacer por medio de sustitucin.


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13

6.

cp

xfdxxfxf

pp

1

)()(')(

1

La demostracin se puede hacer por medio de la tcnica de sustitucin.

Veamos algunos ejemplos:

1. cxdxdx 444 Aplicando las propiedades 1 y 2.

2. cedxedxe xxx 222 25

55 Aplicando propiedad 3 e integrales inmediatas.

3. dxxsendxxdxxdxxsenxx )(243)(2433232

Aplicamos las propiedades 3 y 4, luego:

cxxxdxxsendxxdxx )cos(2)(243 4332

4. cxLndxx

x

4343

6 22 Aplicamos la propiedad 5.

5. cxsenxdxxxxsenx 5242

)2(55

1)2cos(210)2(5

Aplicamos la propiedad 6.

CONSTANTE DE INTEGRACIN:

Retomando lo manifestado en el Teorema No 1, podemos observar que las antiderivadasde una funcin slo se diferencian por una constante C dada. Si recordamos el ejemplo

cxdxx )tan()(sec2 , podemos especificar algunas antiderivadas.

D(x) = 2)tan( x , D(x) = 2)tan( x , D(x) = 5)tan( x , D(x) = 100)tan( x , .

A partir de lo anterior, se afirma que la constante de integracin es propia de lasintegrales indefinidas, ya que son muchas las antiderivadas de una funcin que contieneel integrando.

Por otro lado, cuando estamos integrando donde hay suma o resta, cada trmino tendrsu constante de integracin, pero todas las constantes obtenidas se pueden agrupar enuna sola.


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Ejemplo No 1.

Desarrollar: dxxex x ))cos(27( 4

Solucin:Aplicando las propiedades de suma y resta tenemos:

dxxex x ))cos(27( 4 = dxxdxedxx x )cos(27 4 desarrollando cada integral.

321

5 )(25

7cxsencecx x , luego las constantes las podemos agrupar en una

sola: 3215 )(2

5

7cxsencecx x = Cxsenex x )(2

5

7 5

Ejemplo No 2.

Hallar: dxe xx 42

Solucin:

Aplicando las propiedades y las integrales inmediatas:

24144 41

)2(

222 cec

Lndxedxdxe x

xxxxx Agrupado las constantes:

ceLn

dxe xx

xx 44 41

)2(

22


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EJERCICIOS:

Hallar las antiderivadas de las funciones dadas:

1. 20)( xf

2. 2)( 4 xxf

3.x

xxf

1)(

4. xexsenxf 22)2(3)(

Aplicando las propiedades, resolver las siguientes integrales.

5. dx6

6. dxxx )3(sec225 23

7. dxxsene t 7)5(2

8. dxx

x

)tan(

)(sec2

9. dxttt 38)234( 2

10. dxe

ex

x

5


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LA INTEGRAL DEFINIDA:

Para analizar las integrales definidas es necesario el estudio de los conceptos deSumatorias, Sumas de Riemman y reas bajo la curva. Cada una se irn desarrollandode manera secuencial, para poder interiorizarlas adecuadamente. El tema de

Sumatorias, se desarroll en el curso de lgebra, Trigonometra y Geometra Analtica,sin embargo para cualquier duda o aclaracin es pertinente consultarlo en dicho curso.

SUMAS DE RIEMMAN:

Comencemos por definir una funcin f(x) en el intervalo cerrado I = [a, b], en dichointervalo puede haber valores positivos y negativos; incluso, podra ser no continua.Hacemos una particinP del intervalo I en n subintervalos, para facilidad se hace unaparticin regular, pero no necesariamente debe ser regular, dicha particin debe tener lacondicin que:

X0 < X1 < X2 < < Xn-1 < Xn, donde a = X0 y b = Xn

Ahora sea Xi = XiXi-1 El tamao del subintervalo. En cada subintervalo se escogeun punto muestra, puede ser un punto frontera. ix

~ .

X1 = X1X0.X2 = X2X1

As para los demsintervalos.

Como la particin se hizo sobre la funcin f(x), entonces:

Suma de Riemman.

Aqu Rp es la suma de Riemman para f(x) en la particin P.

Georg Friedrich Bernhard Riemann Polgonos circunscritos.

1.826 Alemania 1.866 Suiza

n

i

iip xxfR1

)~(

)()()( aFbFdxxfb

a


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17

Ejemplo No 1:

Evaluar la suma de Riemman para la funcin f(x) = x2 +2 en el intervalo [-2, 2], laparticin es regular, tomando P = 8

Solucin:

Tomemos X0 = -2 y Xn = 2. Se toma ix~ como el punto medio del i-simo intervalo.

Tambin:2

1

8

)2(2

ix Xi = 0,5; con esto se obtienen 8 subintervalos, cuyos

puntos medios son:

-1.75, -1.25, -0.75, -0.25, 0.25, 0.75, 1.25, 1.75.

Apliquemos la frmula de sumas de Riemman:

8

1

)~(i

iip xxfR Entonces:

Rp = [f(-1.75)+f(-1.25)+f(-0.75)+f(-0.25)+f(0.25)+f(0.75)+f(1.25)+f(1.75)] * 0.5

En la funcin se reemplaza: 0625,52)75,1()75,1( 2 xf y as para los dems.

Rp = [5.0625 + 3.5625 + 2.5625 + 2.0625 + 2.0625 + 2.5625 + 3.5625 + 5.0625] * 0.5

Rp = [25.50] * 0.5 = 13.25

Ejemplo No 2:

Evaluar la suma de Riemman para la funcin h(t) = t3 2t, en el intervalo [1, 2]. Laparticin es regular y los puntos muestra definidos son: 20,1~1 x , 38,1

~2 x , 68,1

~3 x ,

92,1~4 x

Solucin

Tenemos todos los insumos para hacer la suma correspondiente:

4

1

)~(i

iip xxfR Entonces:

Rp = [f(1.20) + f(1.38) + f(1.68) + f(1.92)] * 0.25

Rp = [-0.672 0.131928 + 1.3816 + 3.2779] * 0.25Rp = [3.855] * 0.25 = 0.9637

Resolver el ejemplo anterior utilizando 8 subintervalos P = 8, definiendo el tamao decada subintervalo y el punto muestra de cada uno.


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AREA BAJO LA CURVA:

Concepto Intuitivo:

Para hallar el rea de una figura con lados rectos, la geometra plana (estudiada enmatemtica bsica) permite calcular dichas reas, por ejemplo rectngulos, tringulos,paralelogramos, otros. Cuando la frontera de una figura es curva la situacin es de unanlisis ms profundo, ya que se requiere mayor trabajo matemtico. El granmatemtico de la antigedad ARQUIMEDES, propuso una solucin consistente en queal considerar una sucesin de polgonos inscritos que aproximen la regin curva, quepuede ser ms y ms precisa, a medida que el polgono aumenta el nmero de lados.

Cuando P tiende a infinito ( P ),el rea del polgono se hacesemejante a la del crculo.

Pero la genialidad de Arqumedes, tambin lo llevo a demostrar que con polgonoscircunscritos, se llegaba al mismo resultado.

Estimacin por Sumas Finitas:

Para determinar como se halla el rea bajo la curva, utilizaremos el principio de los

polgonos inscritos y adems una de las funciones ms conocidas: f(x) = x2. El procesoconsiste en hallar el rea de la regin A ( R ) acotada por el intervalo [a, b], paranuestro caso tomemos: [0, 2]

La particin P del intervalo [0, 2] en n subintervalos, cuya longitud x es:


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nnn

xxx n

2020

Particin regular.

Comencemos:X0 = 0X1 = X0 + x = xX2 = X1 + x = x + x = 2xX3 = X2 + x = 2x + x = 3x Xi = Xi-1 + x = (i 1) x + x = ix Xn-1 = (n-1) xXn = nx

Pero x = 2/n, entonces:

X0 = 0, X1 = 2/n, X2 = 4/n, ,Xi= 2i/n,, , Xn = n(2/n) = 2

El rea de la regin Ri es f(xi-1) x .

El rea total de la regin Rn ser la suma delas reas de todos los rectngulos inscritos enla curva.

xxfxxfxxfRA nn )()()()( 110 Para la funcin que estamos analizando tenemos:

2

33

22

2 882*2

)( inn

i

nn

ixxxxf ii

Luego:

6

)12)(1(8)1(210

8)(

3

2222

3

nnn

n

n

n

RA n

Revisar las propiedades de las sumatorias en el modulo de lgebra, Trigonometra yGeometra analtica, unidad tres, donde puedes reforzar estos conceptos.Luego:

23

23 132

3

432

6

8)(

nnn

nnnRA n Entonces:

23

44

3

8)(

nnRA n


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20

A medida que n se hace ms grande, entonces el rea de la suma de los rectngulosinscritos es ms y ms aproximado al rea de la curva. Por consiguiente:

3

8

3

44

3

8)()(

2

nn

LimRALimRAn

nn

NOTA: Realice la misma demostracin pero usando rectngulos circunscritos.

DEFINICIN:

Sea f(x) una funcin definida en el intervalo cerrado [a, b] y continua en el intervaloabierto (a, b). Si f(x) 0 en [a, b], el rea bajo la curva de f(x) en el intervalo definidoesta dado por:

n

i

in

xxfLimA1

)(

Ejemplo 1:

Calcular el rea bajo la curva de f(x) = 3x2x en el intervalo [1, 3].

Solucin:

Comencemos el proceso hallando

nn

x213

10 x

n

n

nxxx

22101

n

n

nnnxxx

441

2)

21(12

n

n

nnn

nxxx

661

2423

n

in

n

i

xxx ii22

11

Ahora por la definicin:

n

i

iin

n

i

in

xxxLimxxfLimA11

3)(

n

in nn

in

n

inLimA

1

2222

3


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21

Desarrollando las potencias y multiplicando, obtenemos:

n

in n

in

n

inin

nLimA

12

22 2121232

Aplicando las propiedades de las sumatorias, tenemos:

n

i

n

in n

in

nn

inin

nLimA

112

22 22121232

n

i

n

in

inn

in

inn

LimA11

2

2

21

212123

2

n

i

n

i

n

in

in

nn

in

in

nn

LimA11

2

21

2*2121232

Recordemos las propiedades de las sumatorias.

6

1212

2

123

2 2

2

2 nnn

n

nn

nn

nLimA

n

2

2*

2 2 nn

nn

n

n

nnn

nn

nnn

n

nnn

nLimA

n

2

2

232 2264663

2

nnnn

LimAn

2224128121262

2

4224426

nnnLimA

n

2

42222

nn

LimAn


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22

Aplicando lmite: 220022 A Unidades cuadradas.

EJERCICIOS:

1. Demostrar que el rea bajo la curva para la funcin 222 xxy en el intervalo [0, 1] es1/3.

SUGERENICA: Siga el procedimiento anterior, teniendo en cuenta las propiedades delas sumatorias.

Hallar el rea del polgono circunscrito para la funcin propuesta:

2. f(x) = x + 1 donde a = -1 y b = 2 Con particin regular.

3. f(x) = x2 + 4 donde a = 2 y b = 4 Con particin regular.

4. g(x) = x3 donde a = 0 y b = 2 Con particin regular.

Para las funciones dadas:

Determinar los puntos de evaluacin, correspondientes a los puntos medios de cada

subintervalo dado segn el valor de n. Graficar la funcin de los rectngulos que la aproximan. Calcular la suma de Riemman

5. f(x) = sex(x) [0, ] y n = 4

6. g(x) = x31 [1, 2] y n = 4

7. 2)( xxh [1, 4] y n = 6

8.x

xP12

)(

[2, 4] y n = 10


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LA INTEGRAL DEFINIDA:

Conocidos y estudiados los conocimientos sobre Sumas de Riemman y reas bajo lacurva, podemos hacer una definicin formal sobre la integral definida.

DEFINICIN:

Sea f(x) una funcin definida en el intervalo cerrado [a, b], la integral definida de f(x)que va de a hasta b se define como:

b

a

n

i

in

xxfLimdxxf1

)()( Llamada tambin la Integral de Riemman

Donde:a = Lmite Inferiorb = Lmite Superiorf(x) = El integrando; o sea, la funcin que se va a integrar.dx = Diferencial de la variable.

Analizando un poco el lmite de la sumatoria, igual que en el caso de la derivacin.

n

i

ip

LxxfLim1

0)(

Esto significa que dado un > 0, tan pequeo como se quiera, existe un > 0 tal que:

n

i

i Lxxf1

)(

Para todas las sumas de Riemman xxf i )( de la funcin definida en el intervalodado, si la norma p de la particin asociada, es menor que , se dice que el lmite

dado existe y es L.

Surge la pregunta: Qu funciones son integrables? La respuesta es que NO todas lasfunciones son integrables en un intervalo cerrado I. Asociado al caso de lmite, serequiere que la suma de Riemman tenga lmite, ya que hay casos donde esta suma sepuede hacer muy grande, como es el caso de:

n

i in x

Lim1

2

1

Existen adems funciones acotadas que pueden no ser integrables, por el grado decomplejidad de la misma, como es el caso de:

2

0

2

dxex


24/156

24

Para esto existe un teorema de integrabilidad que nos garantiza las funciones integrablesen un intervalo cerrado I, su demostracin NO esta al alcance de este nivel ya querequiere clculo avanzado.

TEOREMA DE INTEGRABILIDAD:

Si f(x) es acotada en el intervalo cerrado [a, b] y si f(x) es continua excepto en un

nmero finito de puntos, entonces f(x) es integrable en [a, b]. En particular si f(x) es

continua en todo el intervalo, entonces es integrable en [a, b].

Consecuencia de este teorema podemos ver que las funciones polinmicas, seno ycoseno, son integrables en todo el intervalo cerrado I. Las funciones racionales lo sonen I siempre y cuando dicho intervalo no contenga puntos en donde el denominador escero.

Ahora podemos hacer la siguiente relacin como conclusin de lo que venimosanalizando:

rea bajo la curva de y = f(x) en el intervalo cerrado [a, b] es equivalente a b

a

dxxf )(

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA:

Las propiedades aplicadas a la integral indefinida, tambin son aplicables a lasintegrales definidas. Veamos algunas.

1. b

a

dxxf 0)( Para a = b

2. b

a

a

b

dxxfdxxf )()( Para a < b

3. b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf )()()( Para a < c < b

4. b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()(()(

5. b

a

b

a

dxxfKdxxKf )()(

6. b

a

abKKdx )(

7. Si f(x) y g(x) son funciones integrables en el intervalo I = [a, b] y si f(x) g(x) para


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25

todo x en [a, b], entonces: b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

Las demostraciones se pueden consultar en un libro de clculo, en la bibliografa se

proponen algunos. Sera pertinente que se consultaran.

V A L O R M E D I O D E U N A F U N C I N:

El concepto de valor medio lo conocemos muy bien, por los principios de Estadstica,pero en este caso vamos a calcular el valor promedio de una funcin f(x) en un intervalocerrado I. Para este caso escogemos una muestra de puntos en el intervalo I,construyendo la Particin correspondiente, donde: x0 < x1 < x2 < xn; adems, x0 = a y

xn = b. La diferencia entre los puntos es:n

abx

El valor promedio de la funcin f(x) esta dado por el promedio de los valores de lafuncin en x1, x2, xn:

n

i

in xfn

xfxfxfxfn

xf1

321 )(1

)(...)()()(1

)(

Si multiplicamos y dividimos por b a tenemos:

n

abxf

ab

xfn

i

i

1

)(1

)( Recordemos que:

n

abx

, luego:

xxfab

xfn

i

i

1

)(1

)( Corresponde a la suma de Riemman.

DEFINICIN:

Para la funcin f(x) integrable en [a, b] y sabiendo que la suma de Riemman tienelmite:

b

a

n

i

in

dxxfab

xxfab

Limxf )(1

)(1

)(1

Ejemplo 1:

Hallar el valor promedio de la funcin sen(x) en [0, ]

Solucin:

Aplicando la definicin tenemos:


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26

0

)(0

1)(

1)( dxxsendxxf

abxf

b

a

)0cos(()cos(1)cos(1)(1)( 00

xdxxsenxf

211

1)( xf

El proceso requiere la aplicacin del teorema fundamental del clculo, el cualestudiaremos en seguida.

Ejemplo 2:

Cual ser el valor promedio de la funcin f(x) = x22 en el intervalo [0, 4]

Solucin:

Al igual que en el caso anterior, con la aplicacin de la frmula para valor promedio dela funcin:

4

0

3

4

0

2 23

1

4

12

04

1)(

1)(

xxdxxdxxfabxfb

a

3

10

3

40

4

108

3

64

4

12

3

1

4

1)(

4

0

3

xxxf

3

10)( xf

EJERCICIOS:

1. Hallar el valor promedio para la funcin f(x) = 4x3 en el intervalo [1, 3]

2. Cual ser el valor promedio de la funcin16

)(2

x

xxg en el intervalo [0, 3]

3. Determinar el valor medio de la funcin: g(x) = sen2(x) cos(x) para el intervalo[0, /2]

4. Cual ser el valor promedio de la funcin f(x) = cos(x) en el intervalo [0, /2]


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27

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO:

En Matemticas hay teoremas fundamentales, como en Aritmtica, lgebra,Geometra; el Clculo tambin tiene su teorema fundamental. Para estudiar el teoremafundamental del clculo que en verdad son dos y no uno como dice el ttulo, vamos aestudiarlos por separado.

PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO:

Para enunciar el teorema, analicemos la siguientesituacin: Sea A(x) el rea bajo la curva de lafuncin f(t) a dicha funcin se le llama funcinacumulada, ya que va acumulando el rea bajo lacurva dada t = a hasta t = x. donde x > 1.

Sabemos que:

x

a

dttfxA )()(

Por otro lado, sabemos por definicin de reas bajo la curva que:

n

i

in

xxfLimxA1

)()(

Al relacionar las ecuaciones anteriores:

x

a

n

i

in

dttfxxfLim )()(1

Ahora definamos a B(x) como el lmite de la sumatoria, de tal manera que )(xfdx

dB

Luego: )()( xfdttfdx

dx

a

TEOREMA: Sea f(x) una funcin continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea x unpunto en (a, b), entonces:

)()( xfdttfdx

dx

a


28/156

28

Se debe anotar que x es variable y que la tasa de acumulacin en t = x es igual al valorde la funcin f(x) que se esta acumulando en t = x.

Demostracin:

Por la definicin de derivada:

x

a

xx

axx

dttfdttfx

Limx

xFxxFLimxF )()(

1)()()('

00

xx

xx

x

a

xx

ax

dttfx

Limdttfdttfx

Lim )(1

)()(1

00

Si observamos cuidadosamente la ltima expresin, podemos deducir que corresponde almite del valor promedio de f(x) en el intervalo [x, x + x]. Como x > 0, porteorema de valor medio:

xx

x

cfdttfx

)()(1

Donde x < c < x + x

Pero cuando x tiende a cero, entonces c tiende a x; adems, f(x) es continua.

)()()(1

)('00

xfcfLimdttfx

LimxFx

xx

ax

Este teorema en su concepto expresa que toda funcin f(x) continua en un intervalocerrado, tiene antiderivada.

Ejemplo 1:

Desarrollar:

x

dttdx

d

1

4

Solucin:

Por la definicin del teorema:

4

1

4xdtt

dx

dx


29/156

29

Ejemplo 2:

Dado: x

dtttxF1

2 24)( Hallar F(x).

Solucin:

El integrado por definicin es F(x) = f(x) entonces: F(x) = x2 + 4x 2

Si lo resolvemos por otro lado, tenemos: x

dtttdx

d

dx

dF

1

2 24 por definicin del

teorema: 242 xxdx

dF

Ejemplo 3:

Si 2

1

)cos()(x

dttxP Calcular P(x).

Solucin:

Como el lmite superior tiene potencia, hacemos cambio de variable. U = x2, luego:

u

dttxP1

.)cos()( Por la regla de la cadena:

dx

dudtt

du

d

dx

dP

dx

du

du

dP

dx

dPu

*)cos(*1

Desarrollando:

xudx

duu

dx

dP2*)cos(*)cos( recordemos que u = x2 en este contexto.

)cos(2)(' 2xxxP

Ejemplo 4

Sea 2

1

42)(x

dttxH Hallar H(x).

Solucin:

Hacemos cambio de variable as: u = x2 ahora:


30/156

30

xudx

dudtt

dx

d

dx

dHu

2*42*)42(1

Reemplazando u tenemos

xxxxdxdH 842*4232 Por consiguiente:

xxdx

dH84 3

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO

En clculo el estudio de los lmites es fundamental, dos lmites muy importantes en

clculo son:

x

xfxxfLimxf

x

)()()('

0y xxfLim i

n

)(

Por medio del teorema fundamental numero uno, se estudio la relacin que tienen estosdos lmites, fundamental para resolver integrales definidas.La existencia de la antiderivada, lo garantiza el primer teorema fundamental del clculo,la evaluacin de dichas integrales se garantiza por medio del segundo teoremafundamental.

TEOREMA:

Sea f(x) una funcin contina en un intervalo definido, por consiguiente es integrable enel intervalo cerrado [a, b], sea P(x) una antiderivada de f(x) en el intervalo dado,entonces:

Demostracin:

La demostracin requiere los conocimientos de teoremas y definiciones estudiadasanteriormente, por lo cual se debe tener presente estos aspectos.

Sea la funcin x

a

dttfxG )()( para x en el intervalo [a, b], sabemos que )()(' xfxG

Para todo x en [a, b], luego G(x) es una antiderivada de f(x), pero P(x) es tambinantiderivada de f(x). Por el teorema de antiderivada, sabemos:

P

(x) = G

(x), donde P(x) y G(x) solo difieren por una constante, luego para todo x en[a, b]: P(x) = G(x) + C, para P(x) y G(x) continuas en el intervalo dado, luego:

b

a

aPbPdxxf )()()(


31/156

31

P(a) = G(a) + C y P(b) = G(b) + C en el intervalo cerrado definido.

Para

ax

a

dttfaG 0)()( Recuerdas?

P(a) = G(a) + C saber porque verdad!

P(a) = 0 + C entonces: P(a) = C, por lo tanto:

P(b) P(a) = [G(b) + C] C = G(b). Luego al igual que G(a), podemos decir:

bx

a

dttfbG )()( Por consiguiente:

b

a

dxxfaPbP )()()( As queda demostrado el teorema.

Esta misma demostracin se puede hacer por las sumas de Riemman, veamos:Primero participamos el intervalo [a, b] en: xo, x1, x2, , xn donde xo = a y xn = b,adems: x = xi xi-1, como x es el tamao de cada subintervalo, entonces:

n

abx

para i = 1, 2, 3, , n Ahora:

P(b) P(a) = [P(x1) P(xo)] + [P(x2) P(x1)] + + [P(xnP(xn-1)] resumiendo:

n

i

ii xPxPaPbP1

1 )()()()(

Como P(x) es una antiderivada de f(x) derivable en (a, b) y continua en [a, b], por elteorema del valor medio

xcfxxcPxPxP iiiiii )())((')()( 11 para ci (xi-1, xi) donde i = 1,2, 3, Por asociacin de las dos ecuaciones anteriores:

n

i

i

n

i

ii xcfxPxPaPbP11

1 )()()()()( Si tomamos limite a ambos lados de

la ecuacin cuando n tiende a infinito, obtenemos:

b

an

n

i

in

dxxfaPbPLimxcfLim )())()(()(1

Por consiguiente:


32/156

32

b

a

dxxfaPbP )()()(

Ejemplo 1:

Aplicar el segundo teorema fundamental del clculo para resolver: b

a

xdx

Solucin:

b

a

bx

ax

ababx

xdx 22222

2

1

222

Ejemplo 2:

Resolver la integral: dxxx 2

0

3 4

Solucin:

24242

0

24

2

0

3 0204

1222

4

12

4

14 xxdxxx

4848416

4

2

0

3

dxxx

Ejemplo 3:

Demostrar que:12

4714

1

2

dxxx

Solucin:

Como2

1

xx es continua en [1, 4], se puede aplicar el teorema fundamental, luego:

4

1

4

1

1

4

1

2

22

32

1

3

2)(

1xxdxxxdx

xx Evaluando:

4

1

3

11

3

5

4

1

3

1611

3

244

3

214

1

11

2

23

23

dxx

x


33/156

33

12

47

4

1

3

1114

1

2

dxxx

Ejemplo 4:

Hallar el valor de: 2

0

)(

dxxsen

Solucin:

La funcin seno es continua en el intervalo propuesto, luego se puede integral, pormedio del teorema fundamental.

))0cos(()cos()cos()( 200

2

2

xdxxsen

110)(2

0

dxxsen

TEOREMA DE SIMETRA:

Si f(x) es una funcin par, entonces:

aa

a dxxfdxxf 0 )(2)(

Si f(x) es una funcin impar, entonces: 0)(

a

a

dxxf

Demostracin:

Vamos a demostrar la primera parte del teorema, el segundo se deja como ejercicio.

a

a

a

a

dxxfdxxfdxxf0

0

)()()( Ahora hacemos una sustitucin u = -x, luego

du = -dx. Por definicin, si f(x) es par. Se cumple: f(-x) = f(x), entonces:

0 00

)())(()(a aa

duufdxxfdxxf Luego:

aa

dxxfduuf00

)()( Por lo tanto:


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34

aaaa

a

dxxfdxxfdxxfdxxf000

)(2)()()(

EJERCICIOS:

1. Escribir las siguientes integrales como una sola:

a-) 3

2

2

0

)()( dxxfdxxf

b-) 1

2

2

0

)()( dxxfdxxf

2. Hallar 4

0

.)( dxxf donde:

12

12)(

2 xsix

xsixxf

3. Calcular 4

0

.)( dxxf donde:

31

32)(

2

xsix

xsixxf

4: Desarrollar: 1

0

102 21 dxxx

5. Hallar

dxxxsex2

)cos()(

6. Para un gas ideal, la presin es inversamente proporcional al volumen, el trabajorequerido para aumentar el volumen de un gas particular de V = 2 a V = 4 esta dado por

la siguiente expresin: 2

1

)(

V

V

dVVP donde la constante de proporcionalidad para este

caso es de 12. Cual ser el valor de la integral.

7. La temperatura T en una regin particular, esta dada por la funcinT(t) = 75 20cos(/6)t donde t = tiempo en meses. Estimar la temperatura promedioDurante todo el ao.


35/156

35

L A I N T E G R A L I M P R O P I A:

El teorema fundamental del clculo se puede aplicar bajo la condicin de que lafuncin sea continua en el intervalo de integracin. Por lo cual, cuando vamos a integral

lo primero que debemos observar es que se verifique el teorema. Existen casos en queel teorema NO se cumple, dichas situaciones son las que abordaremos en este aparte delcurso.

Integral Impropia con Integrando Discontinuo:

La funcin que observamos es dada por la

ecuacin:2

1)(

xxf y deseamos integrarla en

el intervalo [1, -2]. Sin pensarlo dos veces loque haramos es:

1

2

1

2

2

1

2

2 2

31

xdxx

x

dx

Obviamente la respuesta NO es correctaPor qu?El problema requiere que recordemos dos trminos: Continuidad y Acotacin.La integral que estamos analizando se le llama Integral Impropia, debido a que elintegrando es discontinuo en el intervalo propuesto.

Considere el caso de: 1

0 1 x

dx Argumente y comparta con sus compaeros

DEFINICIN:

Sea f(x) una funcin continua en el intervalo semiabierto [a, b), entonces:

Si el lmite existe y es finito, decimos que la integral impropia es convergente, donde ellmite es el valor de la integral. Si el lmite no existe, decimos que la integral impropiaes divergente.

Ejemplo 1:

Integral la funcin3

1)(

xxf en el intervalo (0, 8].

Solucin:

Como la funcin es discontinua en x = 0, entonces planteamos una solucin aplicandola definicin dada anteriormente.

b

a

t

abt

dxxfLimdxxf )()(

b

a

t

abt

dxxfLimdxxf )()(


36/156

36

3

23

23

23

1

2

38

2

3

2

31

0

8

0

8

0

8

03

tLimxLimdxxLimdxx ttttt

Evaluando obtenemos:

64*4

30

2

364

2

313

23

8

03

dx

xPor consiguiente:

61

8

03

dx

x

Ejemplo 2:Determinar la convergencia o no convergencia de la siguiente expresin:

1

0 1 x

dx

Solucin:

Como la funcin NO esta definida para x = 1, debemos tomar el lmite unilateral, luegoel intervalo a tomar ser [0, 1), entonces:

t

t

tt

xLimx

dxLim

x

dx

0

011

1

0

1211

Evaluando:

2102121 01

1

0

t

t

xLimx

dx

La integral propuesta es convergente y converge a 2.

Ejemplo 3:

Demostrar que 1

0

1dx

x kes convergente si k < 1.

Solucin:

111

00

1

01

1

t

k

tt

k

tk k

xLimdxxLimdx

x

Evaluando:

kkt

kkxLimdx

x

kk

t

k

tk

1 11111111

11

0

1

0

Para k < 1


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37

Qu pasar si k 1? Hacer el anlisis con los compaeros del pequeo grupocolaborativo.

DEFINICIN:

Sea f(x) una funcin continua en el intervalo semiabierto (a, b], entonces:

Al igual que en el caso anterior, si el lmite existe la integral converge y si el lmite noexiste, la integral diverge.

Con las definiciones dadas, podemos resolver integrales impropias con integradodiscontinuo.

Con el fin de fortalecer el tema, estimado estudiante demostrar que:

a-)

1

021 x

dxConverge a

3 2

3

b-)

4

0

3

32 x

dxConverge a 33 1014

2

1

c-) 2

0

)2tan(

dxx Diverge.

Estos ejercicios deben desarrollarlos en el pequeo grupo colaborativo y socializarlocon el tutor.

Integral Impropia con Lmites de Integracin infinitos:

En el campo de las integrales impropias, tambin podemos encontrar unas integrales

impropias donde uno de los lmites es infinito, tal es el caso de:

0

2

dxe x muy

utilizada en Probabilidad, pero tambin hay casos en Economa, Administracin y otros.La resolucin de este tipo de integrales, utiliza tambin lmites para eliminar una posibleindeterminacin.

b

a

b

tat

dxxfLimdxxf )()(


38/156

38

DEFINICIN:

Sea f(x) una funcin continua en el intervalo semiabierto [a, b) o (-, a], entonces:

a

R

aR dxxfLimdxxf )()( o

a a

RR dxxfLimdxxf )()(

Si los lmites existen, entonces las integrales impropias son convergentes. Pero si ellmite no existe, entonces la integral impropia diverge.

Ejemplo 1:

Determinar la convergencia o divergencia de:

1

2

1dx

x.

Solucin:Observamos que el lmite superior es infinito, entonces aplicando la definicintenemos:

x

R

R

R

RLimdxxLimdx

x

1

11

2

1

2

1Evaluando el lmite, tenemos:

11011 1

1

2

RLimdxx R

La integral propuesta converge a 1.

Ejemplo 2:

Demostrar que:

1

x

dxes divergente.

Solucin:Siguiendo el mismo procedimientoanterior:

11

RR x

dxLim

x

dx

11

RR xLnLimxdx

Si evaluamos el lmite:


39/156

39

RLnLnx

dx1

1

Como el lmite no existe, la integral diverge.

En estudios matemticos sobre fenmenos luminosos, electricidad, sonido y en generalen fenmenos ondulatorios, se puede encontrar integrales impropias, donde los doslmites de integracin son infinitos. Para resolver ente tipo de integrales, hacemos usode la siguiente definicin:

DEFINICIN:

Sea f(x) una funcin continua en el intervalo (-, ), si

a

dxxf )( y

a

dxxf )( son

convergentes, decimos que

dxxf )( es convergente y su valor se puede hallar por la

siguiente relacin:

a

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

Si alguna de las integrales diverge o las dos, entonces la integral total diverge.

Ejemplo 1:

Dada la integral:

dxx 21

1Determinar si converge o diverge.

Solucin:

Inicialmente definamos a = 0 y as aplicando la definicin:

a

a

dxx

dxx

dxx 222 1

1

1

1

1

1

En seguida aplicamos el lmite:

a

b

c

acb

dxx

Limdxx

Lim22 1

1

1

1Integrando:

ca

c

a

bb

xTanLimxTanLim )()( 11

Evaluando el lmite:


40/156

40

)()()()( 1111 aTancTanLimbTanaTanLimcb

Como a = 0, entonces:

0)(0 22 La integral converge.

Ejemplo 2:

Demostrar que:

dxe x Diverge.

Solucin:

Aplicando la definicin dada para estos casos tenemos:

0

0

dxedxedxe xxx Llamemos a la primea integral A y a la

segunda B

Desarrollemos la primera integral:

A= )(0

00

R

R

o

R

x

RR

x

R

x eeLimeLimdxeLimdxe

Evaluando:

A = 1011

100

eeedxex

Converge

Ahora desarrollemos la segunda integral:

B = )( 000

eeLimeLimdxeLimdxeR

R

R

o

x

R

R

x

R

x

Evaluando:

B =

10

0

eedxe x Diverge


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41

Vemos que la primera integral converge, pero la segunda diverge, por consiguiente laintegral original diverge.

Ejemplo 3:

Demuestre que: dxxe x

2

converge a cero.

Solucin:

Aplique todos los pasos utilizados en los ejemplos anteriores para obtener la solucin.Es aconsejable que lo intente usted solo estimado estudiante, si no lo puede hacer,entonces utilice el recurso del pequeo grupo colaborativo, si aun persisten dificultades,consuluelo con el Docente.


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42

EJERCICIOS:

Determinar SI la integral converge o diverge, en caso de que converja, hallar el valorcorrespondiente:

1. dxx

1

03

1

2.

1

1

1dx

x

3.

1

0)( dxxLn

4.

0

)tan( dxx

5.

1

4dxe x

6.

10

2 1dx

x

x

7.

1

021

2dx

X

8.

2

0)cot(

dxx

9.

5

0

54

dxx

10.

5

4

1dx

x


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43

U N I D A D D O S

M T O D O S D E I N T E G R A C I N


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44

TCNICAS DE INTEGRACIN cLna

adxa

xx

Haciendo una reflexin sobre lo que hemos estudiado hasta el momento, vemos que elproceso de integracin se puede realizar utilizando el principio de la Antiderivada; es

decir, el principio de operacin opuesta. Sin embargo existen una gran cantidad defunciones que NO se pueden integrar utilizando dicho principio, lo que conduce abuscar tcnicas que permitan resolver la integral de cualquier funcin, por consiguienteel trabajo en este apartado ser el anlisis de las tcnicas de integracin.

INTEGRALES INMEDIATAS:

Inicialmente vamos a hacer un recuento de las integrales que se pueden resolverutilizando el concepto de antiderivada.

Recopilando lo estudiado en integrales indefinidas, las propiedades analizadas, podemos

exponer a continuacin las integrales obtenidas por definicin de la antiderivada oprimitiva.

1. cxdx 2. ckxkdx para k = constante

3. cn

xdxx

nn

11

para n -1 4. cxLndx )(1

5. cLna

adxa

xx para a > 0 y a 1 6. cen

dxenxnx 1 n 0

7. cnxn

dxnxsen )cos(1

)( n 0 8. cnxsenndxnx )(1

)cos( n 0

9. cxdxx )tan()(sec2 10. cxdxx )cot()(csc2

11. cxdxxx )sec()tan()sec( 12. cxdxxx )csc()cot()csc(

13. ca

xSen

xa

dx

122 a 0 14. cax

Tanaxa

dx

122

1 a 0

15. ca

xSec

aaxx

dx

1221

16. cx

aCos

aaxx

dx

1221

17.

cxdxxsenh )cosh()( 18.

cxsenhdxx )()cosh(


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45

La idea no es memorizar estas frmulas, solo que con un buen anlisis se puedenutilizar en muchas situaciones.

Ejemplo No 1:

Resolver: dxx4

Solucin:

Como podemos ver se trata de una funcin exponencial, luego con la frmula numero 5se puede resolver esta integral.

cn

dxx

x

44

4

Ejemplo No 2:

Resolver: dx5 Solucin:

En este caso se trata de una constante, luego con la frmula numero 2 se puede resolveresta integral

cxdx 55

Ejemplo No 3:

Hallar la siguiente integral: dxe x430

Solucin:

Tenemos la integral de una constante por una funcin, por las propiedades estudiadas,podemos sacar la constante de la integral y luego operar la funcin, veamos:

dxedxe xx 44 3030 Por la frmula 6, desarrollamos la integral.

cecedxe xxx 444 215

)4

1(3030 Por consiguiente:


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46

cedxe xx 44 215

30

Ejemplo No 4:

Resolver: dxx)5cos(20

Solucin:

Se trata de la integral de una constante por una funcin trigonomtrica, la solucin es dela siguiente manera:

cxsendxxdxx

)5(51

20)5cos(20)5cos(20

ccxsendxx )5(4)5cos(20

Ejemplo No 5:

Resolver la siguiente integral: dxx22 4

Solucin:

Vemos que e integrado es un producto notable, es conveniente resolverlo primero paraspoder luego hacer la integracin.

dxdxxdxxdxxxdxx 168)168(4 242422

Se aplico la linealidad para las integrales, ahora resolvemos cada integral.

32

3

1

524 16

3

8

5

1168 cxcxcxdxdxxdxx

Sumando las constantes en una sola, obtenemos:

cxxxcxcxcx 163

8

5

116

3

8

5

1 3532

3

1

5Por consiguiente:

cxxxdxx 1638

5

14 35

22


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47

En algunos casos la funcin NO tiene la forma directa para resolverla como integralinmediata, pero haciendo una pequea transformacin, se puede llevar la funcin dada auna forma tal que se pueda aplicar alguna de las funciones inmediatas para resolverla.

Ejemplo No 6:

Resolver la integral: dxxx

223

1

Solucin:

Si observamos detalladamente, esta funcin no tiene una forma conocida de lasintegrales inmediatas, sin embargo por la forma de la funcin se puede inferir que

podemos llevarla a la forma dxxa

22

1Para esto debemos transformar el trinomio

a la forma a2x2, entonces: 1)12(323 22 xxxx organizando:

2)1(4 x ahora incluymoslo en la integral:

dx

xdx

xdx

xx

2222 )1(2

1

14

1

23

1Ya lo tenemos de la forma

de una integral inmediata, observemos la frmula 13, luego:

cx

Sendxx

21

)1(2

1 122

Por consiguiente:

cx

Sendxxx

21

23

1 12

Ejemplo No 7:

Resolver la integral: dxx

xsen 2

0

2 )(cos16)(

Solucin:

La forma de la funcin no es conocida, pero se puede transformar a la forma

a

xTandx

xa

1

22

1segn la forma propuesta. Entonces:

Sea U = cos(x) luego: dU/dx = -sen(x) entonces: dU = -sen(x)dx. Apliquemos laintegral sin lmites, para facilitar el proceso, al final se evalan los lmites.


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48

44

1

16)(cos16

)( 122

UTan

U

dUdx

x

xsenPero U = cos(x),

Entonces reemplazamos:

4

)cos(

4

1

44

1 11 xTan

UTan Evaluando en los lmites propuestos:

4

)0cos(

4

)2/cos(

4

1

4

)cos(

4

1

44

1 11

0

112

TanTanx

TanU

Tan

Resolviendo y simplificando:

41

41)4/1()0(

41

4)0cos(

4)2/cos(

41 11111 TanTanTanTanTan

Luego:

41

4

1

)(cos16

)( 1

0

2

2

Tandxx

xsen

Ejemplo No 8:

Hallar la solucin de la integral propuesta: dxxx

1

23 2

Solucin:

La funcin del integrado No tiene forma conocida, pero es un polinomio que podemosdividir para reducirlo lo ms que se pueda.

1

113

1

23 2

xx

x

xx

Aplaqumosle la integral.

dxx

xdxx

xx

1

113

1

23 2Aplicando la linealidad obtenemos:

cxLnxxdxxdxxdx )1(23

1

13 2

Un ejemplo ms para adquirir destreza en este tipo de situaciones:


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49

Ejemplo No 9:

Resolver la integral dada a continuacin: dxx

xsen )(cos

)(2

Solucin:

Separemos el cos2(x) en cos(x)*cos(x) y reorganizando:

dxxx

xsendx

xx

xsendx

x

xsen )cos(

1*

)cos(

)(

)cos(*)cos(

)(

)(cos

)(2

Por identidades trigonomtricas:

dxxxdxxxxsen

)sec(*)tan()cos(

1*

)cos(

)(Esta ltima integral tiene la forma de

la frmula 11 de las integrales inmediatas, entonces:

cxdxxx )sec()sec(*)tan( Por consiguiente:

cxdxx

xsen )sec()(cos

)(2


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50

EJERCICIOS:

1. 4

2

x

dx

2. dxxsen

x )(1

)cos(2

3. dxxx 22 2

4. dxx

24

1

5. dxx 52

42

6. dxxsenh )5(


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51

INTEGRACIN PORSUSTITUCIN

SUSTITUCIN POR CAMBIO DE VARIABLE:

La tcnica de sustitucin por cambio de variable, se utiliza cuando la funcin que sedesea integrar NO se le puede aplicar las frmulas de las integrales inmediatas, perohaciendo un Truco Matemtico llamado cambio de variable, es posible la resolucinde muchas integrales.

Pero la pregunta es Qu funciones se pueden integrar por cambio de variable? Cuandola funcin que conforma el integrando es tal que una parte es la derivada de la otra partey las dos estn en forma de producto, se puede aplicar esta tcnica. Las condicionesbsicas para establecer que se puede aplicar una sustitucin es una buena observacinde la funcin a integrar y algo de perspicacia matemtica.

Como el mtodo tiene que ver con el producto de una funcin y su derivada, estaraimplcita la regla de la cadena, el siguiente teorema sustenta dicha tcnica:

TEOREMA:

Sea g(x) una funcin derivable y supongamos que P(x) es una antiderivada de lafuncin f(x). Si adems U = g(x), entonces:

CUPdUUfdxxgxgf )()()('))(( Por consiguiente:

CxgPCUP ))(()(

Demostracin:

Podemos demostrar que la derivada de P(g(x)) + C es la funcin que conforma elintegrado, veamos:

)('*))(('))(( xgxgPCxgPdxd Pero por hiptesis P(x) es antiderivada de

f(x), luego: )(')()('*)(' xgxgfxgxgP

As queda demostrado el teorema.

Los pasos para aplicar la tcnica de sustitucin son:

1. elegir una variable digamos u, v, w, que sustituya parte del integrado.2. Hallar el diferencial de la variable seleccionada: du, dv, dw,

CUPdUUfdxxgxgf )()()('))((


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52

3. Reemplazar todos los trminos en el integrado de tal forma que quedenexpresados solo en funcin de la nueva variable

4. Resolver la integral bajo la nueva variable. A veces no se puede hacer esto, locual indica que dicha sustitucin no es la adecuada y se debe intentar con otraforma de sustituir.

5. Una vez realizada la integracin, la nueva variable se reemplaza por la variableoriginal y as obtenemos la integral deseada.

Ejemplo No 1:

Desarrollar: dxxx 3624 410

Solucin:Vemos que la funcin es un producto de dos funciones: 624 10x y 34x lo que

pinta para una sustitucin. Definimos la nueva variable 104 xU , ahora

derivemos esta funcin: dxxdUxdx

dU 33 44 Reemplazando es la integral

original: dUUdxxx 623624 410 Esta si se puede resolver:

cUdUU 6363

62. Pero la funcin original es x y no U, por lo cual se hace el

reemplazo de nuevo: 104 xU entonces:

cxdxxx 6310

410

6343624

Ejemplo No 2:

Hallar: dxxsenx )(3 32

Solucin:

Elegimos la nueva variable V = x3, ahora derivamos dxxdVxdx

dV 22 33 Si

reemplazamos:

cVdVVsendxxsenx )cos()()(332

Reemplazando el


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53

valor de V en funcin de x, tenemos:

cxcV 3cos)cos( por consiguiente:

cxdxxsenx )cos()(3332

Ejemplo No 3:

Desarrollar: dxx

xsen

)(

Solucin:

Siguiendo los pasos descritos.

x

dxdu

x

dxdux

dx

duxu 2

22

12

1

Reemplazando en la integral.

cuduusenduusendxx

xsen )cos(2)(22)(

)(

Como xu reemplazamos en la integral obtenida, nos resulta.

cxdxx

xsen )cos(2

)(

Ejemplo No 4:

Hallemos la integral de tan(x).

Solucin:

dxxsenxdxxxsen

dxx )(*)cos(

1

)cos(

)()tan( Hacemos cambio de

variable: u = cos(x), luego: dxxsenduxsendx

du)()( reemplazando:

cuLnduu

dxx

xsen

1

)cos(

)(

Pero u = cos(x) entonces:


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54

cxLndxx )cos()tan( Ejemplo No 5:

Resolver: dxe

ex

x

63

4

Solucin:

Observando detenidamente esta integral, vemos que tiene la forma de Sen-1(x), peroprimero debemos ajustarlo par poder aplicar este tipo de integral.

dxee

dxe

e

x

x

x

x

232

3

6

3

24Ahora si podemos hacer cambio de

variable.xew 3 Luego: dxedw x33 y xe

dw 3

3 reemplazando en la integral:

cw

Senw

dw

w

dw

dxe

ex

x

23

1

23

1

2

3

4

1

22226

3

Finalmente:

ce

Sendxe

e x

x

x

23

1

4

31

6

3

SUSTITUCIN POR RACIONALIZACIN:

Cuando el integrado presenta radicales, se puede presentar problemas para resolver laintegral, la racionalizacin puede ser un camino para superar dicho problema, veamosalgunos casos.

Ejemplo No 1:

Resolver: dx

xx

1

Solucin:Haciendo un cambio de variable: dxuduxu 22 luego reemplazamos:


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55

cuLuduu

duuu

u

uu

ududx

xx

12

1

12

)1(2

212

Reemplazando xu tenemos finalmente:

cxLudxxx

121

Ejemplo No 2:

Hallar la integral de: dxxx3

Solucin:

Haciendo 333 VxxVxV derivamos: dxdVV 23 ,

reemplazamos en la integral original:

dVVVdVVVVdxxx )33()3)(( 36233 Desarrollando: cVV

47

4

3

7

3 Si volvemos a reemplazar, obtenemos

finalmente:

cxxdxxx 34

37

4

3

7

33

Esperamos que estos ejemplos modelos permitan desarrollar destreza para resolver estetipo de integrales.


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56

EJERCICIOS:

En los siguientes ejercicios desarrollar la integral, indicando paso por paso.

1. dxxx

2

3* Rta: cLnx

2

332

1

2.

dxx

xx

1

23 2

Rta: cxLnxx 12

3 2

3. dxxsen

xxsen

)(

)cos()( Rta: cxsenLnx )(

4.

dxx

x 43

3 Rta:

c

xxxxLn

323

9

32

27

3

93

5. 1

0 4

3dx

x Rta:

5

4246 Ln

6. dxx

x 4

22

Rta:

3

222 Ln

7. dxxx 233 Rta: cx 33 2

9

2

8. dxxsenx 1)()cos( Rta: cxsen 31)(32


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57

SUTITUCIN TRIGONOMETRICA:

La sustitucin trigonomtrica, es una tcnica que se puede utilizar cuando en el

integrando se presentan expresiones como: 22 xa , 22 xa , 22 ax ; siendoa > 0, analicemos los tres casos:

PRIMER CASO:

: 22 xa : La sustitucin es de la forma )(asenx para22

. La

restriccin se debe a que en este intervalo, la funcin mantiene sus condiciones para

serlo como tal. Haciendo el reemplazo )(22222 senaaxa , organizando:

)(cos)(1)( 2222222 asenasenaa . Como 22 xa esta dentro de una raz,

entonces nos resulta )cos(a . Pero la expresin final debe expresarse en funcin de x

y no de , lo que se resuelve usando el siguiente grfico:

Desarrollemos:

dxxa 22 Siendo )(asenx entonces:

dadx )cos( Haciendo el reemplazo:

dasenaa )cos()(222 esto es equivalentea:

daadasena )cos()(cos)cos()(1( 2222

dada )(cos)(cos 2222 Por la identidad: 2)2cos(1

)(cos2x

x

reemplazamos para poder integrar:

da

da

dada )2cos(222

2cos1)(cos

22222

La ltima parte si se puede integrar, luego:

csenaa

da )2(42)(cos22

22

2212

22

22xa

x

a

xSen

adxxa


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58

Pero la variable original esta en funcin de X y no de , luego transformamos a enX, la grfica anterior nos ayuda a hacer dicha transformacin.

Por la grfica:

a

xSen

a

xsen

1)( Por otro lado, Tambin por la grfica:

a

xa 22)cos(

Reemplazando:

a

xa

a

xa

a

xSen

asen

aadxxa

2221

22222 *

22)2(

42

cxa

x

a

x

Sen

a

dxxa

221

222

22

Ejemplo 1:

Desarrollar:

dxx 29

1

Solucin:

Hacemos: ddxsenx cos3)(3 Reempezando:

dd

senddx

x )(cos3

)cos(3

)(19

)cos(3

)cos(39

)cos(3

9

1

2222

Simplificando: cdd

)cos(

)cos(Pero debemos expresarlo como X,

lo que se hace por medio del cambio que se propuso inicialmente: )(3 senx

despejamos

a

xSen

a

xsen 1)( Finalmente:

ca

xSendx

x

1291


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59

SEGUNDO CASO:

22xa La sustitucin es de la forma )tan(ax para

22

El

procedimiento es similar al caso anterior, solo que la grfica cambia:

a

x)tan( Despejando el ngulo:

a

xTan

1

Ejemplo 2:

Resolver: dxx 216

Solucin:

Hacemos el cambio de variable: )tan(4 x luego: ddx )(sec4 2 y

reemplazamos: ddxx )(sec4*)(tan416162222

resolviendo:

dd )(sec4*)(sec4)(sec4*)(tan116 2222 Simplificando:

d)(sec16 3 . Esta integral se puede resolver por la siguiente frmula.

(Posteriormente se demostrar)

duun

n

uunduunnn

)(sec1

2

)tan()(sec1

1

)(sec22

Para n 1

Siguiendo con el ejemplo:

cdd

)sec(21

)tan()sec(2

116)(sec16 3 Resolviendo:

cLnd

)tan()sec(8)tan()sec(8)sec(21

)tan()sec(8

Debemos transformar el ngulo en la variable x.


60/156

60

cxx

Lnxx

Ln

44

168

4*

4

168)tan()sec(8)tan()sec(8

22

Resumiendo: cxx

Lnxxd

4

16816

2

1)(sec16

223

Finalmente: cxx

Lnxxdxx

416

8162

116

222

TERCER CASO:

:22 ax La sustitucin es de la forma: )sec(ax para22

. Los pasos

para desarrollar integrales de este tipo son similares a los casos anteriores.

a

x)sec(

a

xSec

1

Ejemplo 3:

Solucionar la integral propuesta: dxx

x

42

Solucin:

La sustitucin: dtndxx )()sec(2)sec(2 si reemplazamos:

ddx

x

x)tan()sec(2

)sec(2

4)(sec4422

Operando:

dddd 1)(sec2)(tan2)tan()(tan2)tan(22

1sec4 2222

Si aplicamos la linealidad, tenemos:

cdd 2)tan(22)(sec2 2


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61

Por la sustitucin hecha, reemplazamos el ngulo por x, luego:Segn la grfica siguiente:

a

x)sec(

2

4)tan(

2

x

Si reemplazamos:

cx

Tanx

dxx

x

24

22

42

4 2122

El propsito de esta tcnica es que cuando se presenten casos de integrales quecontengan las formas descritas anteriormente, se utilicen adecuada y correctamente.Esto se adquiere con mucha observacin de la integral propuesta y algo de perspicacia.Pero es pertinente que se desarrollen ejercicios sobre el caso para adquirir destreza en lamisma.


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62

Ejercicios:

1. dxx

x

24

Rta: cxx

xLn

22

442

2

2. dxxx

2

2

1 Rta: cxTanx )(1

3.

dx

x

x

21

32 Rta: cxSenx )(312 12

4. dxxx 22

253 Rta: cxSenxx

25252192521

12

5. dxx

x

1

12

2

4

2 Rta: 3

6.

dxxx 16

22

Rta: cx

xLn

16161

2


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63

INTEGRACIN POR PARTES:

En el mundo matemtico, cientfico y otros, se presentan casos donde la integral es unProducto de Funciones, casos donde se aplica la tcnica llamada integracin por partes.En muchas ocasiones se ha manifestado que toda regla de derivacin da origen a una

regla de integracin. La integracin por partes esta relacionada con la regla de lacadena.

Sean f(x) y g(x) dos funciones diferenciables, entonces:

)(*)()(*)()(*)( xfdx

dxgxg

dx

dxfxgxf

dx

d Si integramos las dos ecuaciones:

)(*)()(*)()(*)( xfdx

dxgxg

dx

dxfxgxf

dx

dTenemos:

dxxfxgdxxgxfxgxf )('*)()('*)()(*)( Reorganizando:

dxxfxgxgxfdxxgxf )(')()(*)()('*)( Llamemos a u = f(x) y v = g(x), si

reemplazamos en la ecuacin anterior:

vduvuudv * Frmula para la regla de la cadena.El xito de la tcnica esta en la seleccin de las funcin u y v, tal que la integral delsegundo miembro de la ecuacin se pueda integrar fcilmente. La eleccin debe ser talque u se pueda derivar y v se pueda integrar. Esto se adquiere con la prctica; es decir,haciendo diversos ejercicios, aqu vamos a relacionar algunos modelos que darn laspautas para aplicar esta tcnica.

Ejemplo 1:

Desarrollar: dxxxsen )( Solucin:

Vemos se presenta un producto, luego se sospecha una integracin por partes. Hacemosel cambio de variable. u y dxxsendv )( , entonces debemos derivar u e integrarv, veamos: dxdu y )cos(xv Como ya tenemos todas las partes que necesitamos, reemplazamos en la ecuacin:

dxxxxdxxxsenvduvuudv )cos())cos(()(*

vduvuudv *


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64

cxsenxxdxxxx )()cos()cos())cos(( Finalmente:

cxsenxxdxxxsen )()cos()(

Ejemplo 2:

Resolver: dxxLn )(

Solucin:

Una integral muy conocida, una vez desarrollada podemos asimilarla.

dxx

duxLnu1

)( Por otro lado: xvdxdv Si aplicamos la frmula:

cxxxLndxxxxLnvduvuudv )(1

)(*

Entonces: cxLnxdxxLn 1)()( Ejemplo 3:

Desarrollar la integral: dxxex

Solucin:

Sea dxdxxu y xx evdxedv luego:

dxexedxxevduvuudv xxx* Resolviendo:

cxedxxe xx 1

Ejemplo 4:

Resolver: 2

6

2 )(csc

dxxx


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65

Solucin:

Elegimos: dxduxu Por otro lado: )cot()(csc2 xvdxxdv

Entonces: dxxxxdxxx )cot()cot()(csc2 Resolviendo la segunda

integral: )()cot()(csc2 xsenLnxxdxxx Ahora evaluemos los lmites:

26

2

6

2 )()cot()(csc

xsenLnxxdxxx Desarrollando:

263)(csc

2

6

2Lndxxx

NOTA: No podemos olvidar que elegir u debe ser tal que se pueda derivar y dv tal quese pueda integrar, tengamos esto muy en cuenta.

Fenmeno de Recurrencia: Hay situaciones donde se debe aplicar la integracin porpartes varias veces. Teniendo en cuenta los principios del mtodo y lo desarrolladosobre integracin, se puede resolver cualquier problema de este tipo.

Ejemplo 1:

Desarrollar dxex x2 Solucin:

Aplicando la resolucin por partes: xdxduxu 22 y xx evdxedv luego:

dxxeexdxxeexdxex xxxxx 22 222 La ltima integral la resolvemos por el mismo mtodo:

dxduxu y xx evdxedv Reemplazando de nuevo:

cexedxexedxxexxxxx

Reagrupando:


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66

cexeexdxxeexdxex xxxxxx 22 222

cxxecexeexdxex xxxxx 2222 222 El problema exigi aplicar el mtodo dos veces.

Ejemplo 2:

Resolver: dxxe x )cos( Solucin:

dxedueu xx y )()cos( xsenvdxxdv reemplazando:

dxexsenxedxxe xxx )()cos()cos( Debemos integrar esta ltima expresin:

dxedxeu xx y )cos()( xvdxxsendv Reemplazando:

dxexexdxexexdxexsen xxxxx )cos()cos()cos()cos()(

Como esta integral esta precedida de un signo negativo, entonces la integral quedar a:

dxexex xx )cos()cos( . Agrupando toda la integral, obtenemos:

dxexxexsenedxxe xxxx )cos()cos()()cos( Laltima integral es similar a la primera, luego las podemos agrupar as:

)cos()()cos()cos( xexsenedxexdxxe xxxx cxexsenedxxe xxx )cos()()cos(2

Finalmente:


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67

cxxsenedxxe xx )cos()(21

)cos(

Ejemplo 3:

Demostrar que: dxxsenxxsendxxsen )(32

)cos()(3

1)( 23

Solucin:

Intente hacer el ejercicio con sus compaeros de pequeo grupo y luego socializarlo conel tutor, para determinar si el proceso esta bien o hay errores y de que tipo. Adelante.


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68

Ejercicios:

Resolver las siguientes integrales usando el mtodo de integracin por partes, justificarporque se utiliza este mtodo.

1. dxxx )cos( Rta: cxxxsen )cos()(

2. dxxLnx )(2 Rta: cxxLnx 33 91

)(3

1

3.

dxxx )(sec2

Rta: cxLnxx )cos()tan(

4. dyyy 2

0

1 Rta:15

4348

5. dxx

xLn

)( Rta: cxxLnx 4)(2

6. dxxx 435 Rta: cxxx 25445

443

232

3

33

7. 2

0

2 )(cos

dxx Rta:4


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69

FRACCIONES PARCIALES:

En el curso de lgebra, Trigonometra y Geometra Analtica, se estudiaron losprincipios sobre fracciones parciales, se dio el concepto y algunos ejemplos ilustrativos,en este aparte se va ha a utilizar esta herramienta para desarrollar un tipo particular de

integrales. Profundizaremos un poco sobre las fracciones parciales y luego lasllevaremos al mundo de las integrales.

Por un teorema de lgebra avanzada se afirma que toda fraccin racional; es decir, elcociente de dos polinomios, se puede descomponer en suma de fracciones racionalesms simples. Para desarrollar el mtodo de fracciones parciales, se debe tener en

cuenta: Para la fraccin)(

)()(

xg

xfxp con g(x) 0 sea una fraccin racional propia; es

decir, f(x) debe tener menor grado que g(x) y por otro lado, que g(x) se puedadescomponer en factores primos. Tericamente cualquier polinomio con coeficientes

reales se puede escribir como producto de factores lineales reales y / o factorescuadrticos, es posible que obtenerlos no sea tarea fcil.Veamos a continuacin algunos tipos de descomposicin en fracciones parciales.

Descomposicin En Factores Lineales Simples: Cuando g(x) se puededescomponer fcilmente; digamos por factorizacin, para obtener factores linealessimples de la forma (x 1), (x 2) . . .

Ejemplo 1:

Descomponer en fracciones parciales la expresin: 6

13

)( 2

xx

x

xp

Solucin:

El polinomio lo podemos expresar de la siguiente manera:

326

13)(

2

x

B

x

Axxp

El trabajo consiste en encontrar los valores de A y B. Veamos como se realizara.

)3)(2(

23

)3)(2(

)2()3(

32

xxBBxAAx

xx

xBxA

x

B

x

A

Como el denominador es equivalente, entonces se debe igualar los numeradores.

BBxAAxx 2313 . Luego hacemos equivalencia entre trminos:

Para x: 3 = A + B

Para trminos independientes: -1 = -3A + 2B

dxx

b

x

adx

XQ

XP

)(

)(


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70

Tenemos dos ecuaciones con dos incgnitas, que se pueden resolver por los mtodosestudiados en el curso de lgebra, Trigonometra y Geometra Analtica. Resolviendotenemos que: A = 7/5 y B = 8/5, reemplazando en las fracciones propuestasobtenemos:

)3(5

8

)2(5

7

6

13

)( 2

xxxxx

xp

Ejemplo 2:

Descomponer en fracciones parciales23

75)(

2

xx

xxD

Solucin:

Factorizando el denominador:

1275

2375

2

xxx

xxx

Expresamos la ltima fraccin como suma e fracciones parciales.

122

12

)2()1(

1212

75

xx

BBxAAx

xx

xBxA

x

B

x

A

xx

x

Haciendo equivalencia de numeradores:

Descomposicin En Factores Lineales Repetidos: En algunos casoscuandose busca linealizar el denominador aparece un trmino lineal al cuadrado, entonces seescribe la suma con dos trminos lineales, uno con grado 1 y el otro con grado 2.

2112)(

)()(

x

B

x

A

px

bax

xg

xfxp

Veamos unos ejemplos:

Ejemplo 3:

Descomponer en fracciones parciales: 21

2)(

x

xxp

Solucin:

22 1112

x

B

x

A

x

x

El desarrollo es similar al caso anterior, sumar fracciones e igualar trminos:


71/156

71

222 1

1

111

2

x

BxA

x

B

x

A

x

xDesarrollando el numerador.

22 11

1

x

BAAx

x

BxAIgualemos los numeradores:

BAAxx 2 Para la variable x: 1 = APara trmino independiente: -2 = A + BDesarrollando, obtenemos que A = 1 y B = -3Entonces:

22 13

11

12)(

xxx

xxp

Descomposicin En Factores Cuadrticos:Cuando se presentan caso donde eldenominador presenta trminos cuadrticos que no se pueden reducir, se debe procedercomo se ilustra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 4:

Reducir a fracciones parciales: 11 342 xx x

Solucin:

La expresin la podemos escribir como:

111134

22

x

cBx

x

A

xx

xObservemos que como el denominador tiene trmino

cuadrtico, el numerador debe tener trmino lineal, entonces:

1111

11

11 2

22

2

2

2

xx

CCxBxBxAAx

xx

xcBxxA

x

cBx

x

A

Como en los casos anteriores, el denominador es similar, luego solo igualamos elnumerador:Para la variable x2: 0 = A + BPara la variable x: 4 = -B + CPara el trmino independiente: 3 = a CTenemos tres ecuaciones con tres incgnitas, existen varios mtodos de resolucin,aplique la que desees y debes llegar a :

A = 7/3B = -7/3


72/156

72

C = Reemplazamos en la fraccin original:

12

13

7

13

7

1111

34222

x

x

xx

cBx

x

A

xx

xSimplificando:

)1(6143

13

7

1111

34222

x

x

xx

cBx

x

A

xx

x

Como en el caso de los factores lineales, en los cuadrticos, tambin se puedenencontrar factores repetidos, en este caso el procedimiento es similar a los casosanteriores, veamos un ejemplo.

Ejemplo 5:

Expresar como fracciones lineales:

22

2

23

12156

xx

xx

Solucin:

El planteamiento es as:

222222

)2(2323

12156

x

EDx

x

cBx

x

A

xx

xx

Realice todo el procedimiento como se ha venido haciendo y debe obtener:

A = 1, B = -1, C = 3, D = 5, E = 0

Finalmente:

222222222

)2(

5

2

3

3

1

)2(2323

12156

x

x

x

x

xx

EDx

x

cBx

x

A

xx

xx

Podemos resumir esta temtica, diciendo afirmando que las fracciones parciales, es unmtodo algebraico que permite rescribir expresiones racionales, como fraccionesracionales sencillas, de tal forma que permite hacer integraciones para este tipo deexpresiones algebraicas.

INTEGRACIN POR FRACCIONES PARCIALES:

Sabiendo como se resuelven las fracciones parciales, ahora apliqumosla paradesarrollar integrales:

Ejemplo 1:

Desarrollar: dxx

x

6

132


73/156

73

Solucin:

Debemos tratar de linealizar el numerador, por medio de la factorizacin: Del ejemplo 1de fracciones lineales simples, vemos que esta fraccin se puede escribir as:

dx

xxdx

xx

xdx

xx

x

)3(5

8

)2(5

7

23

13

6

132

Aplicando la propiedad de la suma de integrales, podemos hacer:

dx

xdx

xdx

xdx

xdx

xx 3

1

5

8

2

1

5

7

)3(5

8

)2(5

7

)3(5

8

)2(5

7

Desarrollando:

cxLnxLndxxdxx 358

25

7

3

1

5

8

2

1

5

7

Ejemplo 2:

Desarrollar:

21

2

x

xpara x -1

Solucin:

Debemos aplicar fracciones parciales a la fraccin dada, en el ejemplo 3 de ladescomposicin de fracciones parciales, obtuvimos que:

22 13

1

1

1

2

xxx

x

Luego a partir de esto podemos aplicar la integral:

dx

xxdx

x

x

22

1

3

1

1

1

2Operando:

dxxdxxdxxx 22 1

3

1

1

1

3

1

1La primera integral es inmediata, la

segunda se puede resolver por cambio de variable, veamos:

dxxdxx

2

213

1

3Definimos u = x 1 luego du = dx, reemplazando:

cu

duu

12 Agrupando los trminos:


74/156

74

c

xxLn

uxLndx

xdx

x

1

31

131

1

3

1

12

Finalmente:

cx

xLndxx

x

1

31)1(

22

Como se puede ver en los ejemplos expuestos, la transformacin de la expresinracional en fracciones ms simples, es con el fin de llevar la funcin a una forma deintegracin inmediata. Una vez integrada se hace el cambio de la variable desustitucin a la variable original.

Ejemplo 3:

Integrar la funcin:32

3422

23

x

xxx

Solucin:

Como se trata de una fraccin impropia, primero se debe hacer la divisin, para obteneruna fraccin propia y as aplicar el mtodo analizado.

1335

232

352

32

34222

23

xx

xx

xx

xx

xx

xxxAhora:

dx

xx

xx

xx

xxx

13

352

32

3422

23

Separando las integrales:

dx

xx

xxdxdx

xx

xx

13

352

13

352

La primera integral es directa, la segunda debemos hacer fracciones parciales, veamos:

1313

35

x

B

x

A

xx

x

Desarrollando, tenemos que A = 3 y B = 2. Favor corroborar este resultado:Entonces:

dxxx

xdxxx

xxx

1

2

3

32

32

3422

23

Aplicando la linealidad:

cxLnxLnxdxxdxxdx 123312

3

3

2

2

Reorganizando:


75/156

75

cxxLnxdxxx

xxx

232

2

23

1332

342

Ejercicios:

En cada caso, resolver la integral aplicando las fracciones parciales.

1. dxx 14

3 Rta: cxLn 14

4

3

2.dx

x

1

5

2 Rta: cxLnxLn 1213

3. dxxx

x

6

12 Rta: cxLnxLn 3

5

42

5

1

4.

dxx

218

3 Rta: c

x

864

3

5. dxx

x 428 952 Rta: cxTanxxLn

18

31

31

248

31672416

5 12

6. dxx

x

23

3172 Rta: cxLnxLn 1423

3

5

7. dxxx

x 22

3

Rta: cxLnxLnxx 13

12

3

8

2

1 2


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76

INTEGRALES DE FUNCIONES TRASCENDENTALES

Todos sabemos que las funciones trascendentales tienen derivada, por lo cual tambintendrn su antiderivada, vamos a estudiar en seguida la integral de las funcionesexponencial y logartmica. .

INTEGRAL DE LA FUNCIN EXPONENCIAL:

Toda funcin exponencial tiene una base a > 0 y diferente de uno.

Funcin:xay : Para definir la integral de este tipo de funcin, podemos partir de la

derivada y proceder a obtener la integral, veamos:

xay Entonces: )(aLnadx

dy x para a 1. Para resolver la integral, hacer una

transformacin de la siguiente manera:)()( axLnaLnx eea

x

Aplicando laintegral:

dxedxa axLnx )( Multiplicamos y dividimos por)(

1

aLntenemos:

dxaLneaLnaxLn )(

)(1 )( Hacemos cambio de variable: dxaLnduaxLnu )()(

ceaLn

eaLn

dueaLn

axLnuu )()(1

)(

1

)(

1Pero

xaxLnae )( ,

luego hacemos el reemplazo para obtener:

caaLn

dxa xx )(1

Ejemplo 1:

Desarrollar: dxx2

cedxe xx


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Solucin:

Segn la frmula obtenida la integrac

calculo integral modulo segunda version 2007

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