modulo a - introduccion a la fisica.u.central 2012

Módulo A – Introducción a la Física . U.Central. 2012 – e.contreras.z. 1

UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS PROSECUCIÓN DE ESTUDIOS.

INTRODUCCION.

En este módulo se da una breve explicación de algunas definiciones y aplicaciones de conceptos usados en la asignatura de “Complemento de Física - Química”, parte de Física. Se hace una introducción a los conceptos de ciencia, física, el método científico y las magnitudes físicas. Se clasifican las magnitudes físicas por su origen ( en magnitudes fundamentales y derivadas) y por su naturaleza ( en magnitudes escalares y vectoriales) , además del estudio de los sistemas de unidades de medida. Se definen los múltiplos, submúltiplos y los prefijos. Se hace notar la necesidad de expresar los valores numéricos de las magnitudes en ciencias en notación científica y finalmente los estudiantes deben aplicar las reglas de transformación de unidades.

CONCEPTO Y ORIGEN DE LA CIENCIA

Desde los primeros momentos de permanencia del hombre sobre la Tierra y a lo largo de su existencia ha presenciado los fenómenos naturales y ha sentido la necesidad de interpretarlos y en cierto modo de dirigirlos, para desarrollar y facilitar su propia vida. "Este es el origen de la ciencia". Un ejemplo es el conocimiento que establecen los antiguos sobre las crecidas de los ríos, el crecimiento de las frutas en los árboles, las estaciones del año, etc. En general este conocimiento se empieza a acumular y a traspasarse de generación en generación, los hombres sabios empiezan a sistematizarlos u ordenarlos creando así conocimiento ligado al hombre con la naturaleza y al hombre con sus pares. A la primera relación se le llama Ciencias Naturales y a la segunda Ciencias Sociales.

Entendemos por ciencia el conocimiento organizado de modo sistemático y racional de nuestro saber.

En las ciencias naturales, el conocimiento acumulado empieza a crecer y el hombre se ve en la necesidad de establecer nuevas subdivisiones de este conocimiento, surgen así el estudio de la Física, la Química y la Biología. En el inicio el conocimiento de los fenómenos naturales fue, adquirido por el hombre a través de sus sentidos.

En las ciencias sociales, el conocimiento está ligado a las relaciones que se establecen entre los hombres y entre los hombres y las sociedades que ellos construyen, ejemplo de esta rama de la ciencia es la Psicología, la Antropología, la Economía, la Sociología. LA FÍSICA COMO CIENCIA NATURAL

La palabra Física proviene del término griego, que significa naturaleza. Hasta principios del siglo XIX se utilizó también la expresión " filosofía de la naturaleza", puesto que correspondía pensar sobre los fenómenos naturales.

Las personas con mente inquisitiva siempre han tenido una gran curiosidad sobre la forma en que funciona la naturaleza, al principio las únicas fuentes de información fueron nuestros sentidos, como por ejemplo con la visión obtenemos la mayor parte de la información del universo; el arco iris, eclipse de Sol, la reflexión de la luz, son algunos de los fenómenos estudiados inicialmente con este sentido. Casi tan importante como nuestros ojos son nuestros oídos que nos hacen percibir sonidos; un trueno, el eco, el sonido de una campana, la bocina de un automóvil, etc. Otros órganos que nos permite detectar sensaciones es la piel, con ella percibimos los cambios de temperatura y las impresiones de calor o frío. En general todos los sentidos nos permiten obtener información sobre el mundo natural que nos rodea, pero estos sentidos son limitados e incluso estos pueden engañarnos. Las ilusiones ópticas ocurren a menudo; la sensación de temperatura también puede falsearse. Para una información más veraz y cuantificable es que los hombres utilizan los instrumentos de medición, a pesar que al igual que los sentidos estos instrumentos pueden fallar y siempre presentan limitante.

MODULO A – FISICA 2012 INTRODUCCION A LA FISICA

PROF. EUGENIO CONTRERAS Z.


"Todo lo que he aprendido lo he aprendido a través de mis sentidos, pero muchas veces estos me han engañado, razón por la cual no deberé confiar del que alguna vez me haya engañado" ( Extracto del discurso del método de Descartes)

En general, “la física es una ciencia natural que estudia las propiedades del espacio, el movimiento, el tiempo, la materia y la energía, así como sus interacciones”

En esta primera parte estudiaremos los problemas relacionados con las medidas de las propiedades de la materia e iniciaremos el conocimiento de las magnitudes fundamentales y las derivadas, como también de las escalares y vectoriales, y sus operaciones con ellas. RAMAS DE LA FÍSICA

Al principio del estudio de la Física, las únicas fuentes de información fueron nuestros sentidos. Los fenómenos estudiados fueron clasificados según fueron percibidos, de esa forma surge el estudio de la: Mecánica , Termodinámica , Óptica , Electricidad , Magnetismo , Acústica , Astronomía, etc.

Por ejemplo: la Mecánica: es la parte de la física que estudia el movimiento y las interacciones entre los cuerpos, la Termodinámica estudia todo lo relacionado con el calor y la temperatura, la óptica es la rama de la Física que estudia todo lo relacionado con la luz, la visión y los fenómenos luminosos, la Acústica es la rama de la Física asociado con la sensación de escuchar, en general lo relacionado con el sonido. La Electricidad es la rama de la Física que estudia el comportamiento de la carga eléctrica, las fuerzas eléctricas, el espacio que rodea los cuerpos con carga, en general cualquier fenómeno eléctrico. Períodos históricos de la Física

Otra forma de estudiar la Física es tomando en cuenta el período histórico en que se desarrollan, en tal caso reconoceremos la física antigua, la clásica, moderna y contemporánea.

La Física antigua se desarrolla a partir de la acumulación del conocimiento por parte del hombre desde su inicio hasta mediados del siglo V D.C. entre los hombres dedicados a la filosofía natural mas destacados se encuentran Thales de Mileto, Aristóteles, Arquímides, Eudoxio, Platón, Ptolomeo.

La Física clásica obtiene su máximo desarrollo en el siglo XV y XVI utilizando el método científico en la sistematización del conocimiento. Sus máximos exponentes son: Galileo Galilei, Kepler, Copérnico, Hooke, Huygens y Newton.

La Física moderna se desarrolla a partir de los finales del siglo XIX y XX, en esta época se cambia la concepción de un universo estático por la concepción de un universo dinámico, surgen las ideas de relatividad, incertidumbres y cuantización. Entre los científicos mas destacados de esta etapa encontramos a Bohr, Planck, Heisenberg, Einstein.

La Física contemporánea se desarrolla a partir del término de la segunda guerra mundial hasta nuestra época, se caracteriza por la busca de una teoría única que permite describir el universo, destacándose los siguientes físicos: Feynman, Salam, Hawking. MÉTODO CIENTÍFICO

En la física el investigador para llegar al conocimiento hace uso de una secuencia ordenada y sistemática llamada Método Científico, el cual se caracteriza por tener varias etapas.

En primer lugar, los científicos realizan observaciones, que consisten en un examen cuidadoso y crítico de un fenómeno, anotando y analizando los factores y circunstancias que parecen ejercer su influencia sobre el mismo. Estas observaciones deben ser cuidadosas y exactas, así puede comprobarse como por ejemplo: la dilatación de los cuerpos, el estiramiento de un resorte. Estas relaciones entre variables deben expresarse en forma matemática mediante ecuaciones, las cuales son leyes empíricas de la naturaleza y una de las misiones del científico es su interpretación, así como descubrir las relaciones mutuas con otras leyes en virtud de ciertos principios generales, como son el principio de conservación de la Energía, la conservación de la cantidad de movimiento, etc. Todo lo anterior da origen a la formulación de un modelo.


Otras veces, la experiencia contradice el modelo y ésta debe sustituirse por otro nuevo hasta que describa con exactitud los hechos experimentales, tanto cualitativa como cuantitativamente.

En general, las etapas del modelo científico se pueden ordenar de la siguiente forma:

1. Observación ( Cuantitativas y cualitativas) 2. Formular Hipótesis 3. Experimentación (Control de variables, Medición, Comunicación de los datos) 4. Predicción ( Extrapolación, Interpolación) 5. Formulación de Leyes ( cuantitativas y cualitativas)

La importancia de la ciencia radica en la forma de acumular y sistematizar el conocimiento mediante la utilización del método científico. Este método fue desarrollado por Sir Bacón y Galileo Galilei. Aun cuando este método de recetario tiene cierto atractivo, no ha sido la clave para la mayoría de los adelantos y descubrimientos de la ciencia. El ensayo y error, la experimentación sin suposición, el descubrimiento accidental y otros métodos son la causa de la mayor parte del progreso de la ciencia. El éxito de la ciencia tiene que ver más con una actitud común a los científicos que con un método particular. La actitud es esencialmente de indagación, experimentación y humildad ante los hechos. Si un científico sostiene una idea como verdadera y encuentra alguna evidencia contradictoria cualquiera, la idea es modificada o abandonada. En el espíritu científico, la idea debe ser modificada o abandonada a despecho de la reputación de la persona que la esgrima. Por ejemplo, el muy respetado filósofo griego Aristóteles dijo que los cuerpos caen a una velocidad proporcional a su peso. Esta idea errónea fue considerada una verdad por más de 2000 años a causa de la imponente autoridad de Aristóteles. En el espíritu científico, no obstante, un solo experimento verificable en contra excede cualquier autoridad, sin importar reputaciones o el número de seguidores y defensores. En el espíritu científico, el argumento que apela a la autoridad carece de valor, cualquiera que sea esa autoridad.

Los científicos deben aceptar los hechos aun cuando quisieran que fueran diferentes. Deben esforzarse para distinguir entre lo que ven y lo que desean ver, dado que la capacidad del ser humano para el autoengaño es enorme. Tradicionalmente el público ha tendido a adoptar reglas generales, pareceres, creencias, teorías e ideas sin hacer un cuestionamiento cabal de su validez, y los ha retenido aun mucho después de haberse demostrado su carencia de sentido, su falsedad o por lo menos su cuestionabilidad. Las suposiciones más generales son las menos cuestionadas. Muy a menudo, cuando se adopta una idea, se da particular atención a casos que la apoyan, mientras que aquellos que parecen refutarla se distorsionan, minimizan o ignoran. Los conceptos científicos no son inmutables, sino que sufren cambios. Evolucionan conforme pasan por etapas de redefinición y refinamiento. Es éste un punto fuerte de la ciencia y no una debilidad como algunos creen de manera similar muchas personas están convencidas de que es un signo de debilidad el , cambiar de parecer los científicos competentes, sin embargo, deben ser expertos en cambiar sus propios pareceres. Pero no lo hacen con facilidad respecto de principios sometidos a juicio y comprobados, los científicos no buscan defender creencias sino mejorarlas. Las mejores teorías están hechas por aquellos que son honestos al encarar los hechos.

En esta primera parte estudiaremos los problemas relacionados con las medidas de las propiedades de la materia e iniciaremos el conocimiento de las magnitudes fundamentales y las derivadas, como también de las escalares y vectoriales, y sus operaciones con ellas. MAGNITUDES FÍSICAS

Es toda característica de la materia que se puede expresar cuantitativamente, dicho en otras palabras es susceptible a ser medido. Medir es el comparar un patrón de una magnitud con lo que se desea medir. Por ejemplo, para medir el tiempo que tarda una piedra en caer desde el 4º piso de un edificio, es necesario tener un “patrón” de comparación. En este caso se puede ocupar el “segundo”.

Una magnitud física queda definida cuando se han establecido los procedimientos que se deben tener en cuenta para establecer dicha magnitud.

¿Para qué sirven las magnitudes físicas? . Sirven para traducir en números los resultados de las observaciones; así el lenguaje que se utiliza en la Física será claro, preciso y terminante.


CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS

1.- POR SU ORIGEN

1.a) Magnitudes Fundamentales

Son aquellas que sirven de base para escribir las demás magnitudes, es decir, no pueden ser definidas o expresadas a partir de otras. Un ejemplo de magnitud fundamental es la longitud. La longitud es un concepto primario, una noción que no podemos definirla en términos de otros conceptos más básicos. Históricamente las magnitudes fundamentales fueron definidas por primera vez en el sistema M.K.S el cual solo consideraba la longitud, la masa y el tiempo. El sistema de unidades adoptado oficialmente desde 1960 por casi todos los países del mundo es el Sistema Internacional (S.I) y tiene como unidades fundamentales las siguientes: la longitud (L), tiempo (T), masa (M), intensidad de corriente eléctrica (I), la temperatura termodinámica , la intensidad luminosa y la cantidad de sustancia. En mecánica, tres magnitudes fundamentales son suficientes: La longitud, la masa y el tiempo. 1.b) Magnitudes Derivadas

Son aquellas magnitudes que están expresadas en función de otras magnitudes fundamentales o derivadas, por ejemplo el volumen se expresa como un producto de tres longitudes y por lo tanto es una magnitud derivada, otro ejemplo es la densidad que corresponde al cociente entre la masa y el volumen. Otras magnitudes derivadas son velocidad, rapidez, aceleración, fuerza, trabajo mecánico, presión, superficie, potencia, etc. 2.- POR SU NATURALEZA

2.a) Magnitudes Escalares

Son aquellas magnitudes que están perfectamente determinadas con sólo conocer su valor numérico y su respectiva unidad. Ejemplos:

Como se verá en todos estos casos, sólo se necesita el valor numérico y su respectiva unidad para que la magnitud quede perfectamente determinada. Mas ejemplos, Masa , longitud, superficie, densidad , rapidez, energía, potencia, etc. 2.b) Magnitudes Vectoriales Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y unidad, se necesita la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada. Otros ejemplos: velocidad, aceleración, momentum ó cantidad de movimiento, torque , etc.

Sólo faltan 100mm3 y se

llenará

Tengo fiebre de 39ºC ¡Qué lata!

Son las 12:15 PM. ¡Ya es

tarde!

VOLUMEN TEMPERATURA TIEMPO

Sabemos que la fuerza que se está aplicando al bloque es de 5 Newton; pero de no ser por la flecha (vector) que nos indica que la fuerza es vertical y hacia arriba; realmente no tendríamos idea si se aplica hacia arriba o hacia abajo. La fuerza es una magnitud vectorial.

El desplazamiento indica que mide 6 km y tienen una orientación N 60º E (tiene dirección y sentido) con lo cual es fácil llegar del punto “O” a la casa.

FUERZA DESPLAZAMIENTO


SISTEMAS DE UNIDADES

La necesidad de tener una unidad homogénea para determinada magnitud, obliga al hombre a definir unidades convencionales.

Origen del Sistema de Unidades: Convencionalmente: Históricamente las magnitudes fundamentales fueron definidas por primera vez en el sistema M.K.S. (metro, kilogramo, segundo) el cual solo consideraba la longitud, la masa y el tiempo. El 14 de octubre de 1960, la Conferencia General de Pesas y Medidas, adoptó oficialmente el Sistema Internacional de Unidades (S.I.), que tiene vigencia en la actualidad y que consta de 7 magnitudes bases o fundamentales. Para el sistema internacional (S.I.) existen las siguientes unidades: 1. UNIDADES FUNDAMENTALES.

Son las unidades respectivas de las magnitudes fundamentales. 2. UNIDADES DERIVADAS

Son las unidades correspondientes a las magnitudes derivadas. A continuación sólo se presentan algunas de ellas. Por ejemplo:

Area = longitud por longitud, se mide en m2 Aceleración = longitud/tiempo al cuadrado, se mide en m/s2 Fuerza = masa por aceleración, se mide en

Newton, N = kg m/s2 Densidad = masa/volumen, se mide en kg/m3, etc.

1 pulgada = 2,54 cm 1 pie = 30,48 cm 1 yarda = 91,14 cm

MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO PATRON PRIMARIO

Longitud metro m Basado en la longitud de onda de la luz emitida por una lámpara de criptón especial.

Masa kilogramo Kg Un cilindro de aleación de platino que se conserva en el laboratorio Nacional de Patrones en Francia

Tiempo segundo S Basado en la frecuencia de la radiación de un oscilador de cesio especial.

Intensidad de corriente eléctrica

Ampere A Con base en la fuerza magnética entre dos alambres que transportan la misma corriente.

Temperatura termodinámica

Kelvin K Definido por la temperatura a la que hierve el agua y se congela simultáneamente si la presión es adecuada.

Intensidad luminosa

candela cd Basado en la radiación de una muestra de platino fundido preparada especialmente.

Cantidad de sustancia

mol Mol Con base en las propiedades del carbono 12.

MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO

Fuerza Newton N

Superficie (área)

Metro cuadrado

m2

Velocidad y rapidez

Metro por segundo

m/s

Volumen Metro cúbico

m3

Trabajo Joule J

Presión Pascal Pa

Potencia Watt W

Frecuencia Hertz Hz

Resistencia eléctrica

Ohm


Otros sistemas de unidades de medida:

Sistema cegesimal ( ó C.G.S. ) : Longitud ( centímetro – cm) , masa ( gramo – g ) , tiempo ( segundo – s )

Sistema inglés ( USA y el Reino unido (Inglaterra, Escocia, Gales - en la isla de Gran Bretaña - e Irlanda del Norte - en la Isla de Irlanda): Longitud ( pulgada – in , el pie – ft , la yarda – yd y la milla terrestre – mi ) , masa ( libra – lb , onza – oz ) , fuerza ( libra fuerza – lbf) , tiempo ( segundo – s )

Algunas equivalencias: 1 pulgada (in) = 2,54 cm 1 pie (ft) = 12 in = 30,48 cm 1 yarda (yd) = 3 ft = 91,44 cm 1 milla terrestre (mi) = 1760 yd = 1,609344 km 1 libra = 0,45359237 kg = 453,59237 g 1 onza = 28 g 1 año = 365 dias , 6 horas 1 hora = 60 min = 3600 s NOTACION CIENTIFICA.

La notación científica es un modo de representar un conjunto de números mediante una técnica llamada coma flotante (o de punto flotante en paises de habla inglesa y en algunos hispanoparlantes) aplicada al sistema decimal, es decir, potencias de base diez. Esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado pequeños. La notación científica es utilizada para reducir cantidades muy grandes ( ó muy pequeñas), y que podamos manejar con más facilidad. Escribir un número en notación científica es expresarlo como el producto de un número mayor o igual que 1 y menor que 10, y una potencia de 10.

Ejemplos:

1456,75 = 1,45675·103 0,000046 = 4,6·10-5 789·107 = 7,89·109 57,3·10-8 = 5,73·10-7 MULTIPLOS, SUBMULTIPLOS Y PREFIJOS.

Teniendo en cuenta que la Física estudia el comportamiento del universo, los valores numéricos de las magnitudes físicas varían en un rango muy amplio, desde cantidades muy pequeñas a muy grandes.

Los valores numéricos de la física pueden ser muy complicados de leer en su forma tradicional, por lo que generalmente se expresan en potencias de 10, que es la notación científica. Ejemplos de algunos valores numéricos de magnitudes físicas conocidas se muestra en la tabla siguiente: Si el exponente de la potencia de 10 es positivo (o negativo) el valor de la magnitud física es un múltiplo (o submúltiplo). Para medir magnitudes muy grandes o muy pequeñas se expresan los valores en potencias de 10 y se usan los prefijos del SI que es el nombre que se le da a la potencia de 10. Existen algunas unidades de medición que tienen nombres especiales, como por ejemplo el año luz que es la distancia que recorre la luz en un año, igual a 9,45·1015 m, o el Angstrom que es igual a 10-10 m. En las tablas siguientes se dan los nombres de los prefijos del Sistema Internacional (SI) .

Masa (kg) Sol Electrón Humano

2·1030 9,1·10-31 70

Longitud (m) Distancia Tierra-Sol Cancha de fútbol Diámetro núcleo atómico

1,5·1011 90 10-14

Tiempo (s) Edad de la Tierra Edad estudiante universitario Duración choque nuclear

1,5·1017 5·108 10-22


OBSERVACIONES Los símbolos de los múltiplos o submúltiplos se escriben en singular. Todos los nombres de los prefijos se escribirán en minúscula. Los símbolos de los prefijos para formar los múltiplos se escriben en mayúsculas, excepto el prefijo

de kilo que por convención será con la letra k minúscula. En el caso de los submúltiplos se escriben con minúsculas.

Al unir un múltiplo o submúltiplo con una unidad del S.I. se forma otra nueva unidad. Ejemplo:

La escritura, al unir múltiplo o submúltiplo con una unidad del S.I. es la siguiente: 1º : El número (valor de la magnitud), 2º : El múltiplo o submúltiplo , 3º: La unidad del S.I.

Ejemplo: 20·103 m = 20 km (20 kilómetros) ; 36,4·10-3 g = 36,4 mg (36,4 miligramos) Otras unidades de medida de longitud, masa y tiempo, que también en algunos casos son

utilizadas, son entre otras las siguientes:

- Longitud: 1 milla marina = 1852 metros 1 milla terrestre = 1609 metros 1 Angstrom = 10-10 metros 1 Año luz = 9,461 ·1015 metros 1 metro = 39,37 pulgadas 1 pulgada = 2,54 centímetros

1 pie = 30,48 centímetros 1 braza = 1,8288 m = 6 pies 1 pértiga = 5,0292 m = 16,5 pies 1 grado geográfico = 111 Km.

1 yarda = 91,44 centímetros = 3 pies = 36 pulgadas 1 parsec = 3,084 ·1016 m = 3,259 años luz 1 unidad astronómica (U.A.) = 1,495 ·108 km.

- Masa: 1 onza = 28,35 gramos 1 libra = 453,6 gramos 1 utm = 9,8 Kilogramos 1 slug = 14,59 kilogramos 1 tonelada = 1000 Kilogramos 1 Kilogramo = 2,205 libras

- Tiempo: 1 hora (hr) = 60 minutos(min) 1 minuto = 60 segundos 1 día = 24 horas Se sugiere revisar página web:

http://facultad.bayamon.inter.edu/amiller/NUEVA/trabajo500/medidasustanc23.htm

Unidad del S.I. m (metro) Nuevas unidades km

cm mm

kilómetro centímetromilímetro

MULTIPLOS

Potencia Prefijo Símbolo

10 deca D

102 hecto H

103 kilo k

106 Mega M

109 Giga G

1012 Tera T

1015 Peta P

1018 Exa E

1021 Zeta Z

1024 Yota Y

SUBMULTIPLOS

Potencia Prefijo Símbolo

10-1 deci d

10-2 Centi c

10-3 mili m

10-6 micro

10-9 nano n

10-12 pico p

10-15 femto f

10-18 atto a

10-21 zepto z

10-24 yocto y


TRANSFORMACIÓN DE UNIDADES.

En muchas situaciones en Física, tenemos que realizar operaciones con magnitudes que vienen expresadas en unidades que no son homogéneas. Para que los cálculos que realicemos sean correctos, debemos transformar las unidades de forma que se cumpla el principio de homogeneidad. Por ejemplo si tenemos una rapidez vo que esta expresada en km/h y la queremos expresar en m/s, deberemos dividir vo por 3,6 y así quedara vo en m/s. Esto se debe a lo siguiente: 1 km = 1000 m; para pasar de kilómetro a metro debemos multiplicar por 1000 1 h = 3600 s; para pasar de hora a segundo debemos multiplicar por 3600 De lo anterior si tenemos v = 72 km/h para llevarlo a m/s debemos hacer lo siguiente:

72 km 1000 m 720 mv 72 · 20 m / s

1h 3600 s 36 s 72 km/h = r20 m/s

PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE CONVERSION DE UNIDADES.

1.) Dar la expresión reducida: 3 2

2

( 9000 ) (0,00081)E

(0,000000243) R: 81·1017

2.) Efectuar 4

4

4000004·10 ·0,003E

0,000004·10

R: 30,000 03

3.) Cuánto es el resultado de 2,635·26,35

E0,0002635

R: 26,35·104

4.) Cuánto es el resultado de 2

0,003·49000·0,9·0,081E

8100·270·(0,7) R: 10-5

5.) Dar el valor simplificado de : 5 3

2 4

( 25000 ) (0,000125 )E

( 0,00625) (0,05 ) R: 57·1015

6.) Convertir 400 320 m a km R: 400,320 km

7.) ¿Cuántos Gm tendrás en 2 230 m? R: 2,23·10-6 Gm

8.) ¿A cuántos metros equivalen 500 nanómetros? R: 5 ·10-7 m.

9.) Convierta cada una de las siguientes medidas de longitud a su equivalente en metros. a.) 1,1 cm b) 76,2 pm c) 2,1 Km d) 0,123 Mm R: 1,1 ·10-2 m ; 7,62 ·10-11m ; 2,1 ·103 ; 1,23 ·105m.

10.) Exprese en kilogramos las siguientes masas: a.) 0,496 g. b.) 9,46 mg. c.) 846 onza. d) 3,5 ·107 mg. R: 4,96 ·10-4 kg ; 9,46 ·10-6 kg ; 2,39841 ·10 kg ; 3,5 ·10 kg

11.) Exprese en segundos los siguientes intervalos de tiempo. a.) 34,6 min. b.) 48,2 hr. c.) 1,3 días d.) 2,45 años R: 2,076 ·103 s. ; 1,7352 ·105 s. ; 1,1232 ·105 s. ; 7,7316 ·107 s.

12.) ¿Cuántos segundos tiene un año bisiesto? R: 3,16224 ·107 s.

13.) Ordene de menor a mayor las siguientes medidas de masa.

11,6 mg ; 1021 g, ; 0,6 cg ; 0,31 ng.

R: 0,31 ng 1021g 0,6 cg 11,6 mg


14.) Convertir 25 (m/s) a (km/h) R: 90 km/h

15.) Convertir: 30 m/s a milla/h ( 1 milla = 1 609, 347 m ) R: 67,108 (milla/h)

16.) Exprese en m/s las siguientes velocidades. a.) 20 Km/h b.) 6050 cm/h c.) 4,3 ·106 Km/h d.) 800 m/h e.) 360 km/h R: 5,55 m/s ; 0,0168 m/s ; 1,194·106 m/s ; 0,22 m/s ; 100 (m/s)

17.) El volumen de una pelota es de 14 cm3. Marca cuál es el resultado en m3.

18.) La superficie de la esfera de un reloj es de 950 mm2. Pasa esta medida a unidades del sistema internacional.

19.) Para pasar de días a segundos hay que hacer varios factores de conversión. Calcula cuántos segundos son 2 días.

20.) ¿Cuál de los siguientes cuerpos es el más denso?: Cuerpo 1: d = 8,7 g/cm3 ; Cuerpo 2: d = 990 kg/m3 ; Cuerpo 3: d = 6200 kg/m3

21.) ¿Qué cuerpo va más rápido?. 8 km/h ; 2,3 m/s ; 4.000 mm/h ; 320 cm/s

22.) ¿Cuántos m3 son 650 litros?

23.) Un caracol puede alcanzar una velocidad máxima de 16 mm/s. Calcula esta velocidad en m/s que es la unidad de rapidez del sistema internacional.

24.) Un corredor lleva una velocidad de 10 m/s. Calcula esta velocidad en km/h.

25.) Una mesa rectangular tiene aristas de 80 y 140 cm. Calcule su superficie y exprésela en mm2 y m2. Use notación científica. R: 1,12 ·106 mm2 ; 1,12 m2

26.) Una esfera tiene un diámetro de 50 mm. Calcule su volumen y expréselo en mm3 , cm3 y dm3. (el volumen de una esfera es 3(4 / 3) r ). Use notación científica.

R: 6,54498 ·104 mm3 ; 6,54498 ·10 cm3 ; 6,54498 ·10-2 dm3

27.) La densidad del petróleo es aproximadamente 0,83 g/cm3. ¿Cuál es su valor en Kg/m3 ,en lb/pie3 ?.

R: 830 Kg/m3 ; 51,81 lb/pie3

28.) ¿Cuántos Radios Ecuatoriales de la Tierra existen entre la Tierra y la Luna?.

(Radio Ecuatorial de la Tierra = 6480 km , Distancia media de la Tierra a la Luna = 3,8 ·108 m ).

R:58,64 Radios Ecuatoriales.

29.) La velocidad de la luz es de 299.792.458 m/s. Exprese este valor en Km/hr. R: 1,079 ·109 Km/hr.

30.) Exprese porcentualmente la diferencia de 39,4 pulgadas respecto a 3,4 pie. R: aprox. 96,6%

31.) ¿A cuántos kPa equivalen 25 GN distribuidos en 5 Mm2 ? (Pa = N/m2 ) R: 5 kPa

32.) Si 1 J = N·m , expresar en pJ el producto de 6 GN por 12 am. R: 72·103 pJ

33.) Convertir: 1kw-h a Joule (J) ; 1 kw = 1 kilowatt. ( Watt = Newton /s ) R: 36·105 Joule

34.) Convertir: 1 lb /pulg3 a g/ml (gramos/mililitro) R: 27,7381(g/ml)

35.) Un cabello humano crece a razón de 1,08 mm por día. Expresar este cálculo en Mm / s. R: 0,125·10-13 (Mm/s)

36.) ¿Qué distancia en Mm recorrió un móvil que marcha a 36 km/h en 2 Es?. R: 2·1013

37.) Hallar la altura del nevado Huascarán en hectómetros si expresado en metros mide 6 780 m. R: 67,80 Hm

38.) Dar el espesor que forman 26 monedas en lo que cada una de ellas tiene un espesor de 2 mm; expresar dicho resultado en nm. R: 52·106 nm

39.) En 1 cm3 de agua se tiene aproximadamente 3 gotas, en 6 m3, ¿cuántas gotas tendremos?. R: 18·106 gotas


40.) Hallar en Em la distancia que existe desde la tierra a una estrella, siendo esta distancia equivalente a 2 años luz. (1 año luz = distancia que recorre la luz en un año de 365 días). Considere que la luz recorre 300 000 km en 1 segundo. R: 19·10-3 Em

41.) En un cultivo bacterial se observa que se reproducen en progresión geométrica cada hora, en razón de 2 000 bacterias. Si inicialmente se tuvo 8 bacterias. ¿Cuántas habrían en 3 horas? Expresar este resultado en Gbacterias. R: 64 Gbacterias

42.) Una pelota de 0,064 5 m de diámetro está sobre un bloque que tiene 0,010 9 m de alto. ¿A cuántos metros, está la parte superior de la pelota por sobre la base del bloque?. R: 7,54·10-2 m

43.) Se ha encontrado que en 1 kg de arena se tiene 6,023·1023 granos de arena. ¿Cuántos ng habrá en 18,069·1028 granos de arena?. R: 3·1017 ng

44.) Una bomba atómica libera 40 GJ de energía. ¿Cuántas bombas se destruyeron si se obtuvo 64·1036 J de energía? R: 16·1026 bombas

45.) Un cuerpo tiene una masa de 1 500 Mg y un volumen de 4500 km3. Hallar su densidad en g/m3. R: 1/3·103 g/m3

46.) En la proyección de una película pasan 24 cuadros en 1 s. ¿Cuántos cuadros hay en una película que dura 1h 30min, si cada cuadro mide 15 mm?.¿Qué longitud tiene la película?. R: 129600 cuadros ; 1944 m.

TABLA DE EQUIVALENCIAS DE UNIDADES

Masa 1 Kg = 103 gr = 2,205 lb 1 lb = 453,6 gr = 0,4536 kg 1 unidad atómica de masa = 1,6604 · 10-27 kg 1 libra = 453,6 gramos; 1 slug = 14,59 kilogramos 1 onza = 28,35 gramos; 1 utm = 9,8 kilogramos 1 tonelada = 1000 kilogramos 1 quintal = 100 kg 1 arroba = 15 kilogramos

Tiempo 1 seg = 1,667·10-2 mim = 2,778·10-4 hr = 3,169·10-8 años 1 mim = 60 seg = 1,667 · 10-2 hr = 1,901 · 10-6 años 1 hr = 3600 seg = 60 mim = 1,141 · 10-6 años 1 año = 3,156 · 107 seg = 5,259 · 105 mim = 8,766 · 103 hr

Longitud 1 m = 102 cm = 39,37 pulg = 6,214 · 10-4 millas 1 pulg = 2,54 cm : 1 pie = 30,48 cm = 12 pulgadas 1 milla (terrestre) = 5280 pies = 1609,53 m 1 milla marina = 1853,24 m 1 legua (terrestre) = 5572,7 metros 1 legua marina = 3 millas marinas 1 (micrón) = 10-36 m 1 A (Angstrom) = 10-8 cm = 10-10 m = 10-4 1 U.A. (unidad astronómica) = 1,496 · 1011 m 1 año luz = 9,46 · 1015 m 1 yarda = 91,44 cm

Trabajo y Energía 1 J = 107 erg = 0,239 cal = 6,242 · 1018 CV 1 eV = 1,6 · 10-19 J = 1,07 · 10-9 uma 1 cal = 4,186 J = 2,613 · 1019 eV 1 uma = 1,492 · 10-19 J = 3,564 · 10-11 cal 1 Kgm = 9,8 J = 9,8 · 107 erg = 7,2284 lb-pie 1 lb-pie = 1,356 J = 1,356 · 107 erg 1 CVh = 27 · 104 kgm = 264,6 · 104 J 1kwh = 367347 kgm = 3,6 · 106 J = 1,36 CVh 1 kwh = 860 Kcal

Area 1 m2 = 104 cm2 = 1,55 · 10-5 pulg2 =10,76 pies2 1 pulg2 = 6,452 cm2 1 pie2 = 144 pulg2 = 9,29 · 10-2 m2

1 hectárea = 10000 m2

1 acre = 0,4047 hectáreas

Volumen 1 m3 = 106 cm3 = 103 litros = 35,3 pie3 = 6,1 · 104 pulg3 1 pie3 = 2, 83 · 10-2 m3 = 28,32 litros 1 pulg3 = 16,39 cm3 1 galón USA= 3,785 litros 1 barril = 159,18litros


Potencia 1 W = 1,341 · 10-3 HP ; 1 HP = 745,7 W = 1,014 CV 1 CV = 75 kgm/s = 736 W = 0,9862 HP 1kgm/s = 9,8 J/s = 9,8 · 107 erg/s 1lb-pie/s = 1,355 J/s

Fuerza 1 N = 105 dinas = 0,2248 lbf = 0 0,102 kgf 1 dina = 10-5 N = 2,248 · 10-6 lbf 1 lbf = 4,448 N = 4,448 · 105 dinas 1 kgf = 9,81 N

Angulo 1 radián = 57,3º 1º = 1,74 · 10-2 rad 1’ = 2,91 · 10-4 rad 1’’= 4,85 · 10-6 rad

Presión 1 N/m2 = 9,265 · 10-6 atm = 1,45 · 10-4 lbf/pulg2 = 10 dinas/cm2 1 kg/cm2 = 14,223 lb/pulgada 1 lb/pulgada2 = 0,0703 kg/cm2 1 atm = 14,7 lbf/pulgada2 = 1,013 · 105 N/m2 1 bar = 106dinas/cm2

Velocidad 1 m/s = 102 cm/s = 3,281 pies/s 1 pie/s = 30,48 cm/s 1 milla/min = 60 millas/h = 88pies/s 1 nudo = 1 milla marina/hora = 0,5144 m/s

Aceleración 1 m/s2 = 102 cm/s2 = 3,281 pies/s2

1 pie/s2 = 30,48 cm/s2

Temperatura ºK = 273,1 + ºC ; ºC = 5/9 (ºF – 32) ; ºF = 9/5 (ºC + 32)

PROPORCIONALIDAD - NOCIONES BASICAS DE GEOMETRIA ANALITICA

A continuación veremos los distintos tipos de proporcionalidad que se dan en las ecuaciones que se ven en las ciencias físicas, es de mucha ayuda para la comprensión de los conceptos entender cómo se relacionan las variables. Proporcionalidad Directa

Si dos variables, x e y, cumplen que y

m(cons tan te)x donde “m” es

una constante, entonces se dice que x e y son directamente proporcionales. Al graficar los distintos valores que toman estas variables se obtiene el gráfico de la figura, donde se cumple obviamente que ,

y m x Ecuación de la recta, donde la constante “m” representa el valor de la pendiente

de la recta. Se debe observar que esta ecuación es válida si la recta pasa por el origen.

En general, la ecuación de una recta es de la forma y m x n

donde, m : es la pendiente de la recta, y n : es el “coeficiente de posición de la recta” ó punto donde la recta “corta” al eje “y”.

Ambos valores de “m y n” pueden ser positivos y/o negativos. Ambas figuras muestran que sus pendientes son positivas.

El valor de la pendiente “m” se determina usando lo siguiente, 2 1

2 1

y yym tg( )

x x x

Ejemplo: El gráfico v vs t de la figura muestra el movimiento de una partícula. Determine su ecuación de movimiento. Solución: Usando el gráfico se puede determinar la relación matemática entre v y t , es decir se puede conocer como varía la velocidad a medida que aumenta el tiempo.

x

y

n=0

x

y

n

n>0

t(s)

v(m/s) 6

2 0


Como la relación entre v e y es una proporcionalidad directa, entonces debemos encontrar la ecuación de la recta. Para ello tomamos dos puntos (x,y) = (t,v) y calculamos la pendiente “m” de la recta.

22 1

2 1

y yy (0 6 )m / sm 3(m / s )

x x x (2 0)s

Del gráfico, el valor de n es 6 (m/s)

Entonces, la ecuación de movimiento, que corresponde a la ecuación de la recta es

y m x n v ( 3 t 6 )m / s

Su interpretación sería que “la partícula parte en t = 0 con una velocidad inicial de 6 m/s con una desaceleración de – 6 m/s2 , es decir su velocidad disminuye en 6 m/s en cada segundo. Otro ejemplo de esto en física es cuando se aplican distintas fuerzas sobre una misma masa la relación entre estas variables es:

F m · a

, donde F es fuerza , m es masa y a es aceleración.

Si la masa “m” es constante la fuerza y la aceleración son directamente proporcionales, por ejemplo si se duplica la fuerza entonces también se duplica la aceleración. Proporcionalidad Inversa

En este caso las variables cumplen que y · x = k , con k constante y se dice que x e y son inversamente proporcionales. Al graficar los distintos valores que toman estas variables se tiene el gráfico de la figura. Un ejemplo de esto en física es: Un móvil que debe recorrer una misma distancia (d) con rapideces distintas (v) usamos la relación d = v · t, donde d es constante y la rapidez es inversamente proporcional al tiempo. Como la distancia es constante cuando el móvil recorra con una velocidad mayor entonces la otra variable que es el tiempo disminuirá. Proporcionalidad al Cuadrado

Aquí una de las variables esta elevada al cuadrado y la relación entre estas variables puede ser de la forma y = ax2 donde, a es constante, en este caso decimos que y es proporcional al cuadrado de x otra forma de decirlo es que y es directamente proporcional al cuadrado de x. El gráfico de la figura muestra esta relación.

Un ejemplo de esto en física es: La relación entre la energía cinética (Ec) y la velocidad (v) es una proporcionalidad de este tipo

siendo la ecuación que las relaciona la siguiente: 2C

1E mv

2 ( m : masa , v: velocidad )

donde 1/2m es constante. En esta expresión si la velocidad se duplica entonces la energía cinética se cuadruplica, o si v disminuye a la mitad entonces Ec disminuye a la cuarta parte, etc. EJERCICIOS PROPUESTOS:

1.) Grafique la ecuación y = 10 x – 4 e interprete su significado. 2.) Grafique la ecuación y = - 0,5 x e interprete su significado. 3.) Grafique la ecuación y = - 4 x + 2 e interprete su significado. 4.) Grafique la ecuación y = 5 e interprete su significado. 5.) Grafique la ecuación y = 2 x2 e interprete su significado. 6.) A partir de los gráficos de los ejercicios anteriores, determine a modo de verificación, la ecuación de cada uno de ellos.

x

y

x

y


TRIGONOMETRIA APLICADA.

La trigonometría en principio es la rama de la matemática que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites. Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en B; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo “”, correspondiente al vértice A.

El seno (abreviado como “sen” ) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

a BCsen( )

c AC

El coseno (abreviado como “cos”) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa.

b ABcos( )

c AC

La tangente (abreviado como “tan o tg”) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto

adyacente.

a BCtg( )

b AB

Razones Trigonométricas Recíprocas Se definen la cotangente, la secante y la cosecante, como las razones recíprocas a la tangente , coseno y seno, del siguiente modo:

cotangente: (abreviado como “cotg o ctg) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

1 b ABcotg( )

tg( ) a BC

secante: (abreviado como “sec”) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:

1 c ACsec( )

cos( ) b AB

cosecante: (abreviado como “csc o cosec”) es la razón recíproca de seno, o también su inverso

multiplicativo:

c ACcosec( )

a BC

En nuestra aplicación como herramienta matemática para el estudio de la física, normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

a

b

c

A

C

B


Unidades angulares

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean en general el Grado sexagesimal y el Radián.

El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, esta definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y sus divisores el minuto sexagesimal, y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo:

1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales). 1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales). 1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).

El radián (rad) se define como el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud es

igual al radio de la circunferencia. Una definición más general, indica que el ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco formado sobre el radio,

es decir, S

(rad)R

, donde θ es el ángulo, S es la longitud del arco y R es el radio.

Por tanto, el ángulo, “”, completo en radianes de una circunferencia de radio R, es:

circunferenciacircunferencia

L 2 R2 (rad)

R R

Entonces, 360º = 2 (rad Valor de algunas funciones trigonométricas

Importante: para calcular el valor de las funciones trigonométricas usando la calculadora, primeramente se debe tener claro si el ángulo dado esta expresado en radianes ó grados sexagesimales. Si está en radianes, el MODO de la calculadora debe estar en “RAD” ( en el visor aparece R ), pero si esta en grados sexagesimales, el MODO de la calculadora debe estar en “DEG” ( en el visor aparece D ).

grados Rad sen cos tg cotg sec cosec

0º 0 0 1 0 1

30º 6

10,5

2 3

2

3

3

3 2 3

3

2

45º 4

2

2

2

2

1 1 2 2

60º 3

3

2

10,5

2 3 3

3

2 2 3

3

90º 2

1 0 0 1

180º 0 -1 0 -1

270º 3

2

-1 0 0 -1

360º 2 0 1 0 1


Observación a considerar:

En aplicaciones físicas de la trigonometría, suele ocurrir por ejemplo el siguiente problema:

“Qué ángulo debe tener un plano inclinado para que un cuerpo que recorre una distancia a través del plano de 5 m , alcance una altura respecto al suelo de 2 m?.

Solución: La situación gráfica del problema se muestra en la figura. El problema es determinar el valor de “”

Se conoce el lado opuesto al ángulo y la hipotenusa del triángulo, de modo que aplicando la función seno se obtiene,

2sen( ) 0,4

5

La pregunta ahora es: se conoce el valor de la función y se desea saber ¿ para qué valor de la función seno tiene un valor de 0,4”.

En este caso se debe usar la función inversa “arcoseno”, es decir:

Si 2

sen( ) 0,4 arcsen(0,4) 23,578º5

Por lo tanto el ángulo que debe tener el plano inclinado es de 23,578º Las funciones inversas “arco” son válidas para las seis funciones trigonométricas. Algunas identidades trigonométricas Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen, entre otras, las siguientes identidades fundamentales:

sen () · cosec() = 1

cos () · sec() = 1 tg () · cotg() = 1

sen( )

tg( )cos( )

sen2() + cos2() = 1

tg2() + 1 = sec2()

1 + cotg2() = cosec2()

Ejemplo.

Se desea construir un puente sobre un río, que mide 10 m de ancho, de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinación de 20º. ¿Cuál debe ser la longitud de la baranda?, ¿a qué distancia del cauce se situará el comienzo de la rampa?. Solución.

La longitud de la baranda es L = 2h + 10m

“h” se determina con, 2 2

sen 20º h 5,848(m)h sen 20º

(Como ya se conoce “h” también se puede calcular con la función coseno ó incluso con el teorema de Pitágoras. Hágalo y compruébelo)

Luego, L = 2·5,848(m) + 10(m) = 21,696 (m)

“x” se determina con, 2 2

tg 20º x 5,495(m)x tg 20º

5m

2m


EJERCICIOS SOBRE APLICACIÓN DE TRIGONOMETRIA BASICA

1.) Un cohete es lanzado con un ángulo de 30° respecto a la horizontal. ¿A qué altura se encuentra después de recorrer 8[km] ? R: 4 km.

2.) Un segmento de 15[cm] de longitud forma un ángulo de 20° con respecto a un plano. ¿Cuánto mide la proyección del segmento en el plano? R: 14,1 cm.

3.) La longitud de la proyección de un segmento en una recta mide 10[cm]. Si el ángulo de inclinación mide 35°, ¿cuál es la longitud del segmento? . R: 12,208 cm.

4.) En un ejercicio de tiro, el blanco está a 30 m de altura y a una distancia horizontal de 82 m de la persona. ¿Cuánto debe medir, aproximadamente, el ángulo de lanzamiento del proyectil ? R: 20º 5` 42,83``.

5.) El ángulo del vértice de un triángulo isósceles mide 30° y la longitud de la base, 30 cm. ¿Cuánto mide su altura? R: 41,212 cm.

6.) ¿Cuántos grados miden, aproximadamente, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si las longitudes de sus catetos son 7 y 24 m ?. R: 16,26º , 73,74º .

7.) Calcular la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 m. R: 8,66 m.

8.) Calcular la longitud del lado de un triángulo equilátero cuya altura mide 12 m. R: 13,856 cm.

9.) Calcular el largo que debe tener una escalera para que, al apoyarla en un muro, pueda alcanzar una altura de 3,5 m. considerando que la escalera debe formar un ángulo de 52º con el plano basal. R: 4,44 m

10.) Una escalera de mano se apoya contra la pared de un edificio formando con el piso un ángulo de 50°. El pie de la escalera dista 3 m del edificio. Calcular:

a.) la altura "h" que alcanza la escalera en la pared.

b.) la longitud "I" de la escalera. R: 3,575 m , 4,667 m.

11.) Determinar, aproximando al grado más cercano, la inclinación de los rayos solares en un instante en que un farol de 2,5[m] de altura proyecta una sombra de 3,2 m. R: 52º.

12.) Determinar las dimensiones de un rectángulo, si la longitud de su diagonal mide 8 cm y forma con la base un ángulo de 30°. R: 4cm , 6,928 cm.

13.) Un pentágono regular está inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. Calcular:

a) la longitud del lado del pentágono. R: 11,756 cm.

b) la longitud del apotema. R: 8,09 cm.

14.) Una escalera de 6[m] de longitud está apoyada en una pared, alcanzando 5[m] de altura sobre la misma. ¿Cuánto mide el ángulo formado entre la escalera y el suelo? R: 56º 26` 33,68``

15.) Hallar la altura del puente de la figura, sabiendo que éste tiene 17 m de largo. R: 8 m

16.) Determinar la altura de un edificio, si el ángulo de elevación mide 55° y el observador está a 16[m] del edificio. R: 22,85 m.

17.) Desde un punto situado a 15[cm] del centro de una circunferencia, de radio 9[cm], se trazan las tangentes a dicha circunferencia.¿Cuánto es el ángulo formado por las tangentes?. R:73º44’23,26’’

18.) Para hallar la altura de un árbol se ubicó un teodolito a 24 [m] de su pie. Si la altura del instrumento es 1,4[m] y el ángulo de elevación 55°, ¿cuál es la altura del árbol? R: 35,676 m. (El teodolito es un instrumento de medición mecánico-óptico universal que sirve para medir ángulos verticales y, sobre todo, horizontales, ámbito en el cual tiene una precisión elevada. Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles).


19.) Un satélite artificial sobrevuela una ciudad C y, en ese instante, en un observatorio situado a 300[km] de C se le avista con un ángulo de elevación de 64°. ¿A qué distancia de la ciudad C está el satélite? R: 615,091 km.

20.) Una torre de alta tensión de 60 m de altura proyecta una sombra de 160 m de largo. ¿Cuánto mide el ángulo que en ese momento forma la horizontal con los rayos del sol?. R: 20º 33` 21,76``.

21.) Un avión, pronto a aterrizar, se encuentra a una altura de 1500 m. ¿A qué distancia del aeropuerto está el avión si el piloto lo observa con un ángulo de depresión de 30º.? R: 3000 m.

22.) La parte más elevada de un edificio es observada desde una distancia de 83 m con un ángulo de elevación de 42º. Calcular la altura del edificio. R: 74,734 m.

23.) Se desea colgar de un muro un cartel publicitario de 1,7 m de ancho. ¿Qué largo debe tener el cable tensor para que forme un ángulo de 60º con el lado horizontal del cartel. R: 3,4 m.

24.) Hallar la longitud de los vientos que sujetan la tienda de campaña de la figura, y la longitud del lado x. R: 3,26 m ; 2,2 m

25.) Se desea determinar la altura de un cerro con respecto al plano del lugar.

Para ello, se miden los ángulos de elevación: , , desde los puntos A y B, en línea recta con el pie de la altura del cerro y separados por la distancia d =300m. Si = 40º y = 28º, calcular la altura “h” del cerro. R: 435,431 m.

26.) La diagonal de un rectángulo forma un ángulo de medida ““ con el lado más largo. ¿Cuánto

mide cada lado del rectángulo si su área es 60 cm2 y tg = 0,8?. R: 35 , 4 3 .

27.) Se necesita conocer la diferencia entre las alturas de dos chimeneas que están a 30 m una de la otra; para ello, un observador se ubica entre ellas a 10 m de las más baja. Los ángulos de elevación son 35º con la menor y 51º con la más alta. R: 17,696 m.

28.) El árbol de la figura tiene determinada sombra cuando el sol se observa bajo un ángulo de elevación de 50º. ¿Bajo que ángulo proyectará una sombra el doble que la anterior?. R: 30,8º

29.) Considere un paralelogramo del que se sabe que uno de sus lados mide 4 cm, la menor de su diagonal mide 5 cm. y el ángulo agudo que forman sus lados es de 34º. Calcular la longitud del otro lado del paralelogramo.

30.) Los extremos de una barra de equilibrio de 6 m de largo se sustentan sobre la parte superior de dos pilares que miden 1,5 y 1,7 metros de alto. Calcular la pendiente de la barra. R: 0,033

AB d

h

1,6m 2m 1,6m


31.) Un helicóptero se encuentra justo sobre el cruce de dos caminos perpendiculares y a una altura de 300 m. El piloto observa el automóvil de los “delincuentes” bajo un ángulo de depresión de 35º y da aviso a la patrullera, la cual se desplaza por el otro camino y ve al helicóptero con un ángulo de elevación de 48º. Calcular la distancia (en línea recta) desde la patrullera hasta el automóvil. R: 506,45 m.

32.) Se requiere que las cerchas para la techumbre de una casa tengan 8 m. de base y ángulos de inclinación de 20º y 30º.Calcular

- Cuánto debe medir el madero de refuerzo que debe ponerse entre el vértice y la base.

- La longitud de las proyecciones x e y de los otros lados sobre la base.

33.) Una paparazzi pretende fotografiar al afectado actor Antonio Estandartes; para ello se sube a un árbol de 3,75 m de altura. Si la distancia a la tapia es de 6 m y la altura de ésta de 2,25 m. ¿Bajo qué ángulo observará la propiedad del actor?, ¿cuál es la máxima separación del muro a la que podrá tumbarse nuestro famoso si no desea ver turbada su intimidad? . R: 14º ; 9m

34.) Desde el puesto de observación de un faro de 35 m. de altura sobre el nivel del mar, se observa que los ángulos de depresión de dos barcos, situados en línea con el faro son de 28º y 55º respectivamente. Calcular la distancia que separa a ambos barcos.

35.) Un obelisco está ubicado en medio de una avenida. Desde puntos distintos A y B de ella, a ambos lados del monumento y en línea recta con este, se observa su cúspide con ángulos de elevación de 60º y 25º respectivamente. Si la distancia entre los puntos A y B es de 600 m , ¿cuánto mide la altura del obelisco?. R: 220,44 (m)

36.) El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio?. R: 188,19 m

37.) Un avión despega de una base A en la costa y vuela en línea recta en dirección Oeste 30º hacia el Norte . Cuando lleva recorrido 400 Km. sufre una avería mecánica que lo obliga a dirigirse a un aeropuerto B de alternativa, ubicado a 250 Km al norte de donde despegó. Si el avión vuela a 320 Km/h . ¿Alcanzará a llegar al aeropuerto B si tiene combustible para 15 min?. R: no

38.) Un coche avanza por una carretera recta. Al pasar por una gasolinera, el conductor ve a su derecha una casa; la visual forma un ángulo de 39º con la dirección de la carretera. Dos minutos después, vuelve a mirar a la casa y, ahora, en un ángulo de 65º. Sabiendo que la casa está a 7Km de la gasolinera, hallar la velocidad del coche.

20º20º 30º

y x 8 m

28º

X Y

55º

modulo a - introduccion a la fisica.u.central 2012

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