modulo 8: funciones de produccion y tecnologia

Módulo 8

Funciones de producción y tecnologíatecnología

Tecnologíasg

Una tecnología es un proceso por el cuallos insumos se convierten en productolos insumos se convierten en productoEj.: trabajo, computadora, proyector, electricidad, y software se combinan paraproducir estas notas de clasep

Tecnologíasg

Generalmente varias tecnologíasproducirán el mismo producto – unproducirán el mismo producto un pizarrón y tiza pueden utilizarse en vezde comp tadora pro ectorde computadora y proyector¿Cuál es la “mejor” tecnología?¿ j g¿Cómo se comparan las tecnologías?

Cestas de insumos

xi denota la cantidad utilizada de insumoi; i e el nivel de insumo Ii; i.e. el nivel de insumo IUna cesta de insumo es un vector de niveles de insumo; (x1, x2, … , xn)Ej. (x1, x2, x3) = (6, 0, 9×3).Ej. (x1, x2, x3) (6, 0, 9 3).

Funciones de producciónp

y denota el nivel de productoLa tecnología de la función de producciónLa tecnología de la función de producciónmuestra la cantidad máxima de productoposible de una cesta de insumo,

)(f ),,( 1 nxxfy L=

Funciones de producciónpUn insumo, un producto

y = f(x) es lafunción de

Nivel productou c ó de

produccióny’’ f( ’) es el prod ctoy’ = f(x’) es el producto

máximo que se obtiene de las distintas unidades delas distintas unidades de insumos x

x’ xNivel insumo

Conjuntos tecnológicosj g

Un plan de producción es una cesta deUn plan de producción es una cesta de insumo y un nivel de producto; (x1, … , xn, y)Un plan de producción es posible si

)(f≤El conjunto de todos los planes de producción

),,( 1 nxxfy L≤

posibles es el conjunto tecnológico

Conjuntos tecnológicosUn insumo, un producto

j g

y = f(x) es lafunción de producción

Nivel producto

produccióny’ y’ = f(x’) es el nivel máximo de

producto que se puede obtener de x’ unidades de insumo

y”insumoy” = f(x’) es el nivel de producto que es asequible

x’ x

p q qcon x’ unidades de insumo

Nivel insumo

Conjuntos tecnológicos

El conjunto tecnológico es

j g

El conjunto tecnológico es

}),,(|),,,{( 11 ≤= nn xxfyyxxT LL

}.0,,01 ≥≥ nxx K


j g

Nivel producto

y’

El conjuntotecnológico

y”tecnológico

x’ xNivel insumo


j g

Nivel productoPlanes

y’técnicamente eficientes

El conjuntotecnológicoPly”tecnológicoPlanes

técnicamentei fi i t

x’ xineficientes

Nivel insumo

Tecnologías con múltiples insumosg p

¿Cómo se ve una tecnología cuando hay más de un insumo?más de un insumo?El caso de dos insumos: los niveles de insumo son x1 y x2. El nivel del productoes yySupongamos que la función de producción esproducción es

.2),( 3/12

3/1121 xxxxfy == ),( 2121fy

Tecnologías con múltiples insumosE.g. el nivel máximo de producto posible

g p

dada la cesta de insumos(x1, x2) = (1, 8) es( 1, 2) ( , )

.42128122 3/13/13/12

3/11 =××=××== xxy

Y el máximo nivel posible de producto.42128122 21 ××××xxy

dada la cesta (x1,x2) = (8,8) es

.82228822 3/13/13/12

3/11 =××=××== xxy 21y

Tecnologías con múltiples insumos

P d t

g p

Producto, y

xx2

(8 1)(8,8)

x1

(8,1)

Tecnologías con múltiples insumosg p

La isocuanta y es el conjunto de todas lascestas de insumo que resultan en unacestas de insumo que resultan en unacantidad dada de producción

Isocuantas con dos insumos variablesx2

y ≡ 8

y ≡ 4y ≡ 4

x1

Isocuantas con dos insumos variables

Las isocuantas pueden graficarseagregando un eje denominado nivel deagregando un eje denominado nivel de producto y mostrando cada isocuanta a la alt ra del ni el de prod cto de laaltura del nivel de producto de la isocuanta


P d tProducto, y

y ≡ 8

y ≡ 4x2y ≡ 4

x1


Más isocuantas nos dice más acerca de la tecnologíatecnología

Isocuantas con dos insumos variablesx2

y ≡ 8

y ≡ 4

y ≡ 6

y

x1

y ≡ 2


P d tProducto, y

y ≡ 8

y ≡ 4

y ≡ 6

x2y ≡ 4

y ≡ 2

x1

Isocuantas con múltiples insumos

La colección completa de isocuantas es el

p

La colección completa de isocuantas es el mapa de isocuantasEl mapa de isocuantas es equivalente a la función de producciónu c ó de p oducc óE.g.

3/13/12)( xxxxfy 2121 2),( xxxxfy ==

Isocuantas con múltiples insumosx2

p

x1y

Isocuantas con múltiples insumosx2

p

y

x1

Isocuantas con múltiples insumos

x

p

x2

y

x1

Isocuantas con múltiples insumosp

x2

y

x1


x2

yy

x1


x2

y

x1


y

x1


yy

x1


y

x1

Tecnologías Cobb-Douglasg g

Una función de producción Cobb-Douglas tiene la formaDouglas tiene la forma

.2121

nan

aa xxxAy ××= L

E.g. 3/13/1 xxy =con

21 xxy =112 === aAn

1

,3

,1,2 1 === aAn

.31

2 =a

Tecnologías Cobb-Douglasx2

Todas las isocuantas son

g g

Todas las isocuantas son hiperbólicas, asíntota a, pero

t d l jnunca tocando el eje21

21aa xxy = 21y

x1


g g

Todas las isocuantas sonTodas las isocuantas son hiperbólicas, asíntota a, pero


21aa xxy = 21 xxy

"2121 yxx aa =

x1


g g


t d l jnunca tocando el eje

21 aa 2121aa xxy =

'2121 yxx aa =

"2121 yxx aa =

x1

21 yxx =


g g



21aa xxy =

>

"aa

"y 'y

'2121 yxx aa =

"2121 yxx aa =

x1

21 y

Tecnologías de proporciones fijasg p p j

Una función de producción de proporciones fijas tiene la formaproporciones fijas tiene la forma

}.,,,min{ 2211 nnxaxaxay L=

E.g. }2i {g

con}2,min{ 21 xxy =

.2,1,2 21 === aan

Tecnologías de proporciones fijasx2

g p p j}2,min{ 21 xxy =

2

x1 = 2x2

min{x1 2x2} = 147

x1 2x2

min{x1,2x2} 14

247

min{x1,2x2} = 8min{x 2x } = 4

x14 8 142 min{x1,2x2} = 4

Tecnologías de sustitutos perfectosg p

Una producción con sustitutos perfectos tiene la formatiene la forma

.2211 nnxaxaxay +++= L

E.g.

2211 nny

3con

21 3xxy +=

.3,1,2 21 === aan

Tecnologías de sustitutos perfectosx2

g p21 3xxy +=

2

x1 + 3x2 = 18

x1 + 3x2 = 36

8x1 + 3x2 = 48

36 Todas son lineales y

paralelas9 18 24 x1

paralelas

Productos (físicos) marginales( ) g),,( 1 nxxfy L=

El producto marginal del insumo I es la tasa de cambio del nivel del producto a medida que elcambio del nivel del producto a medida que el nivel del insumo i cambia, manteniendoconstantes todos los demás niveles de insumoconstantes todos los demás niveles de insumoEs decir,

y∂

ii x

yMP∂∂

=

Productos (físicos) marginales

E g si

( ) g

E.g. si3/2

23/1

121 ),( xxxxfy ==entonces el producto marginal del insumo1 es1 es


E g si

( ) g

E.g. si3/2

23/1

121 ),( xxxxfy ==

entonces el producto marginal del insumo1 es1 es

3/22

3/211

1 xxyMP −==∂

211

1 3xx

xMP

∂


E g si

( ) g

E.g. si3/2

23/1

121 ),( xxxxfy ==

entonces el producto marginal del insumo1 es1 es

3/22

3/21

11 3

1 xxxyMP −==

∂∂

y el producto marginal del insumo 2 es1 3x∂

y p g


E g si

( ) g

E.g. si3/2

23/1

121 ),( xxxxfy ==

entonces el producto maginal del insumo1 es1 es

3/22

3/21

11 3

1 xxxyMP −==

∂∂

y el producto marginal del insumo 2 es1 3x∂

2∂ .32 3/1

23/1

12

2−== xx

xyMP

∂∂


Generalmente el producto de un

( ) g

Generalmente el producto de uninsumo depende de la cantidad utilizada de otros insumos E g siotros insumos. E.g. si

entonces,3/22

3/211 3

1 xxMP −= ,

si x2 = 8,

211 33/2

13/23/2

11 348

31 −− == xxMP

y si x2 = 27 entonces2 33

1 .32731 3/2

13/23/2

11−− == xxMP

Productos (físicos) marginales( ) g

El producto marginal del insumo i esdecreciente si éste es más pequeño adecreciente si éste es más pequeño a medida que el nivel de insumo i se incrementa Es decir siincrementa. Es decir, si

02

i yyMP ∂∂∂∂

.02 <=

=

iiii

i

xy

xy

xx ∂∂

∂∂

∂∂

∂


E.g. si entonces

( ) g3/2

23/1

1 xxy =

y

E.g. si entonces3/2

23/2

11 31 xxMP −= 3/1

23/1

12 32 −= xxMP

21y

y211 3 212 3


E.g. si entonces

( ) g3/23/1 xxy =

y

E.g. si entonces3/2

23/2

11 31 xxMP −= 3/1

23/1

12 32 −= xxMP

21 xxy =

yentonces

211 3 212 3

092 3/2

23/5

11 <−= − xx

xMP

∂∂

91x∂


E.g. si entonces

( ) g3/2

23/1

1 xxy =

y

E.g. si entonces3/2

23/2

11 31 xxMP −= 3/1

23/1

12 32 −= xxMP

21 xxy

yentonces

211 3 212 3

092 3/2

23/5

11

1 <−= − xxxMP

∂∂

y91x∂

02 3/43/12 <−= −xxMP∂ .09 21

2

<−= xxx∂


E.g. si entonces

( ) g3/2

23/1

1 xxy =

y

E.g. si entonces3/2

23/2

11 31 xxMP −= 3/1

23/1

12 32 −= xxMP

21y

y

entonces3 3

2MP∂ 092 3/2

23/5

11

1 <−= − xxxMP

∂∂

y.0

92 3/4

23/1

12 <−= −xxMP

∂∂

Ambos productos marginales son 92x∂

p gdecrecientes

Retornos a escalaLos productos marginales describen el cambio en el nivel de producto a medidaque el nivel de un único insumo cambiaqLos retornos a escala describen cómocambia el ni el de prod cto a medida q ecambia el nivel de producto a medida quecambian todos los niveles de insumo en proporción directa (e.g. se duplican todoslos niveles de insumos))

Retornos a escala

Si para cualquier cesta de insumosSi, para cualquier cesta de insumos(x1,…,xn),

entonces la tecnología descrita por la),,,(),,,( 2121 nn xxxkfkxkxkxf LL =

entonces la tecnología descrita por lafunción de producción f exhibe retornos

t t lconstantes a escalaE.g. (k = 2) duplicando todos los niveles deinsumos se duplica el nivel de producto

Retornos a escalaUn insumo, un producto

f( )

Nivel producto

y = f(x)2y’

y’Retornosconstantes ay constantes a escala

x’ x2x’Nivel insumo

Retornos a escala


entonces la tecnología exhibe retornos),,,(),,,( 2121 nn xxxkfkxkxkxf LL <

entonces la tecnología exhibe retornosdecrecientes a escalaE (k 2) d li d d l i l dE.g. (k = 2) duplicando todos los niveles deinsumos hace que se incremente el nivel del producto en menos del doble


Nivel producto

y = f(x)

f(2 ’)

2f(x’)

f(x’)

f(2x’) Retornos decrecientesa escalaf(x ) a escala

x’ x2x’Nivel insumo

Retornos a escala


entonces la tecnología exhibe retornos

),,,(),,,( 2121 nn xxxkfkxkxkxf LL >

entonces la tecnología exhibe retornoscrecientes a escalaE.g. (k = 2) duplicando todos los nivelesde insumos incrementa el nivel del producto en más del doble


Nivel producto

Retornos crecientesy = f(x)

f(2 ’)

Retornos crecientesa escala

f(2x’)

f(x’)2f(x’)

x’ x

f(x )

2x’Nivel insumo

Retornos a escala

Una única tecnología puede exhibir‘localmente’ diferentes retornoslocalmente diferentes retornoscrecientes a escala


Nivel producto

y = f(x)Retornos i t lcrecientes a escala

Retornos decrecientes a escala

xNivel insumo

Ejemplos de retornos a escalaj pLa función de producción de sustitutospperfectos es

xaxaxay +++= L

Expandiendo todos los niveles de insumos.2211 nn xaxaxay +++= L

proporcionalmente por k. El nivel de producto esp

)()()( 2211 nn kxakxakxa +++ L

Ejemplos de retornos a escalaj pLa función de producción de sustitutospperfectos es

.2211 nn xaxaxay +++= L

Expandiendo todos los niveles de insumos

.2211 nn xaxaxay


)()()()(

2211

2211 nn

xaxaxakkxakxakxa

+++=+++

L

L

)( 2211 nn xaxaxak +++

Ejemplos de retornos a escalaLa función de producción de sustitutos

j p

perfectos es.2211 nn xaxaxay +++= L

Expandiendo todos los niveles de insumosproporcionalmente por k. El nivel de producto es

)()()( 2211 kxakxakxa nn+++ L

)( 2211

2211

kyxaxaxak nn

nn

=+++= L

La función de producción de sustitutosf hib l

.ky=

perfectos exhibe retornos constantes a escala

Ejemplos de retornos a escalaLa función de producción de complementos

j pp p

perfectos es}min{ xaxaxay L=

Expandiendo todos los niveles de insumos}.,,,min{ 2211 nn xaxaxay L=


)}(,),(),(min{ 2211 nn kxakxakxa L

Ejemplos de retornos a escalaLa función de producción de complementos

j pp p

perfectos es}min{ xaxaxay L=

Expandiendo todos los niveles de insumos}.,,,min{ 2211 nn xaxaxay =


)}(,),(),(min{ 2211 nn kxakxakxa L

}),,,(min{ 2211 nn xaxaxak L=

Ejemplos de retornos a escalaj pLa función de producción de complementosperfectos es

}.,,,min{ 2211 nn xaxaxay L=

Expandiendo todos los niveles de insumosproporcionalmente por k. Tenemosproporcionalmente por k. Tenemos

})(min{)}(,),(),(min{ 2211

xaxaxakkxakxakxa nn

= L

L

L f ió d d ió d l t.

}),,,(min{ 2211

kyxaxaxak nn

== L

La función de producción de complementosperfectos exhibe retornos constantesa escala

Ejemplos de retornos a escalaLa función de producción Cobb-Douglas es

j pp g

E di d t d l i.21

21nan

aa xxxy L=Expandiendo todos los insumos proporcionalmente por k. El nivel deproducto es

aaa nan

aa kxkxkx )()()( 2121 L

Ejemplos de retornos a escalaj pLa función de producción Cobb-Douglas esp g

E di d t d l i.21

21nan


nan

aa kxkxkx L21 )()()( 21

nn aaaaaa

n

xxxkkk LL 2121

)()()( 21

=


E di d t d l i.21

21nan


nan

aa kxkxkx L2121 )()()(

nn

nn

aaaaaa

aaaaaa

k

xxxkkk LLL 2121

2121

+++

=nn an

aaaaa xxxk L212121

+++=


E di d t d l i.21

21nan


)()()( 2121 kxkxkx naaa L )()()(

2121

21

xxxkkk

kxkxkxnn aaaaaa

n

= LL

1

212121

k

xxxk nn

aa

an

aaaaa

++

+++=L

L L

.1 yk naa ++=


.2121

nan

aa xxxy L=

L l d l l í.)()()( 121

21 ykkxkxkx nn aaan

aa ++= LL

Los retornos a escala de la tecnologíaCobb-Douglas esconstante si a1+ … + an = 1


.2121

nan

aa xxxy L=

L l d l l í.)()()( 121

21 ykkxkxkx nn aaan

aa ++= LL

Los retornos a escala de la tecnologíaCobb-Douglas es constante si a1+ … + an = 1creciente si a1+ … + an > 1creciente si a1 … an 1


.2121

nan

aa xxxy L=

L l d l l í.)()()( 121

21 ykkxkxkx nn aaan

aa ++= LL

Los retornos a escala de la tecnologíaCobb-Douglas esconstante si a1+ … + an = 1creciente si a1+ … + an > 1creciente si a1 … an 1decreciente si a1+ … + an < 1.

Retornos a escala

P: ¿Puede una tecnología exhibirretornos crecientes a escala incluso siretornos crecientes a escala incluso sitodos sus productos marginales son decrecientes?decrecientes?

Retornos a escala

P: ¿Puede una tecnología exhibirretornos crecientes a escala incluso siretornos crecientes a escala incluso sitodos sus productos marginales son decrecientes?decrecientes?R: SíE.g.

.3/22

3/21 xxy = .21 xxy

Retornos a escala21

213/2

23/2

1aa xxxxy ==

esta tecnología exhibe2121y

134

21 >=+ aaretornos crecientes a escala3

Retornos a escala21

213/2

23/2

1aa xxxxy ==

esta tecnología exhibe1421 >=+ aa esta tecnología exhibe

retornos crecientes a escala321

2Pero disminuye a medida

i t

3/22

3/111 3

2 xxMP −=

que x1 se incrementa

Retornos a escala21

213/2

23/2

1aa xxxxy ==

esta tecnología exhibe

2121y

14>=+ aa esta tecnología exhibe

retornos crecientes a escala1

321 >=+ aa

2Pero disminuye a medida

i t

3/22

3/111 3

2 xxMP −=

disminuye a medidaque x1 se incrementa y

3/12

3/212 3

2 −= xxMP y

que x2 se incrementa212 3

Retornos a escala

Por lo tanto, una tecnología puedeexhibir retornos crecientes a escalaexhibir retornos crecientes a escalaincluso si todos sus productos marginalesson decrecientes ¿Por q é?son decrecientes. ¿Por qué?

Retornos a escala

El PMg es la tasa de cambio del productoEl PMg es la tasa de cambio del productoa medida que se incrementa el nivel del i id d t i d fijinsumo en una unidad, manteniendo fijostodos los demás insumosLos PMgs disminuyen porque los otrosinsumos son fijos por lo que elinsumos son fijos, por lo que el incremento tiene cada vez menos de los otros ins mos con los c ales trabajarotros insumos con los cuales trabajar

Retornos a escala

Cuando todos los niveles de insumos seCuando todos los niveles de insumos se incrementan proporcionalmente, no

i t h di i ió dnecesariamente hay una disminución de los productos marginales dado que cadainsumo siempre tendrá la mismacantidad de los otros insumos con los cuales trabajar. Las productividades de los insumos no caerían y los retornos alos insumos no caerían y los retornos a escala pueden ser constantes o crecientes

Tasa de sustitución técnica

¿A qué tasa una firma puede sustituir un insumo por otro sin cambiar su nivel deinsumo por otro sin cambiar su nivel de producto?


x2

'2x

y≡100

x1'

1x

Tasa de sustitución técnicaLa pendiente es la tasa a la cual se

x2 debe renunciar el insumo 2 a medidaque se incrementa el nivel del insumo 1 para no cambiar el niveldel producto. La pendiente de unaisocuanta es su tasa de sustitucióntécnica

'2x

y≡100

x1'1x


¿Cómo se obtiene la tasa de sustitucióntécnica?técnica?


¿Cómo se obtiene la tasa de sustitucióntécnica?técnica?La función de producción es ).,( 21 xxfy =Un cambio pequeño (dx1, dx2) en la cestade insumos causa un cambio en el nivel dede insumos causa un cambio en el nivel de producto igual a

∂∂ .22

11

dxxydx

xydy

∂∂

∂∂

+=21


21 dxydxydy ∂∂+=

P d 0 d d h bi

.22

11

dxx

dxx

dy∂∂

+

Pero dy = 0 dado que no hay cambios en el nivel de producto, por lo que los cambios dx1 y dx2 en los niveles de losinsumos deben satisfacerinsumos deben satisfacer

0 dxydxy ∂∂+= .0 2

21

1

dxx

dxx ∂∂

+=


0 dxydxy ∂∂+= 2

21

1

0 dxx

dxx ∂∂

+=

re-ordenandoyy ∂∂

11

22

dxxydx

xy

∂∂

∂∂

−=

entonces/ 12 xydx ∂∂ .//

2

1

1

2

xyxy

dxdx

∂∂∂∂

−=

Tasa de sustitución técnica12 / xydx ∂∂

−=

l t l l d b i l21 / xydx ∂∂

es la tasa a la cual debe renunciarse el insumo 2 a medida que el insumo 1 se incrementa para mantener el nivel del producto constante. Es la pendiente de lap pisocuanta

Tasa de sustitución técnica; j l C bb D lun ejemplo Cobb-Douglas

baf )(entonces

baxxxxfy 2121 ),( ==entonces

yba xaxy 1−=∂ 1−= baxbxy∂y

La tasa de sustitución técnica es

xaxx 21

1

=∂

.212

= xbxx∂

La tasa de sustitución técnica es

/ 221

112 axxaxxydx ba−∂∂ ./ 1

21

21

21

2

1

1

2

bxxbxxyy

dx ba −=−=−= −∂∂

Tasa de sustitución técnica; j l C bb D l

x2

un ejemplo Cobb-Douglas213/23/1 bd

)3/1(33

;3/22

3/11 === bandaxxy

1

2

1

2

1

2

2)3/2()3/1(

xx

xx

bxaxTRS −=−=−=

111 )(

x1


x2

un ejemplo Cobb-Douglas213/23/1 bd

)3/1(33

;3/22

3/11 === bandaxxy

1

2

1

2

1

2

2)3/2()3/1(

xx

xx


81

428

22 −=

×−=−=

xxTRS

8 422 1 ×x

x14


x2

un ejemplo Cobb-Douglas213/23/1 b

)3/1( xxax33

;3/22

3/11 === byaxxy

1

2

1

2

1

2

2)3/2()3/1(

xx

xx


111 )(162 −=−=−=

xTRS6

41222 1 ×xTRS

x112

Tecnologías con buen comportamientog p

Una tecnología con buen comportamientoeses

monotónica, y, yconvexa

Tecnologías con buen comportamiento,monotonicidad

Monotonicidad: más de cualquierinsumo genera más productoinsumo genera más producto

y ymonotónica

nomonotónica

x xx x

Tecnologías con buen comportamiento,id dconvexidad

Convexidad: si la cesta de insumos x’ y x” proveen y unidades de productox proveen y unidades de productoentonces la mezcla tx’ + (1-t)x” provee al menos nidades de prod cto paramenos y unidades de producto, paracualquier 0 < t < 1

Tecnologías con buen comportamiento,id d

xconvexidad

x2

'2x

y≡100"2x

x1'1x

"1x


xconvexidad

x2

'2x

( )"2

'2

"1

'1 )1(,)1( xttxxttx −+−+

y≡100"2x

x1'

1x "1x


xconvexidad

x2

( )'2x

( )"2

'2

"1

'1 )1(,)1( xttxxttx −+−+

y≡100y≡120"

2x

x1'

1x "1x


x Convexidad implica que la TMSconvexidad

x2 Convexidad implica que la TMSse incrementa (es menos

ti ) didnegativa) a medida que x1se incrementa

'2x

"2x

x1'

1x "1x

Tecnologías con buen comportamientog p

x Mayor productox2y p

y≡200y≡100y≡50

y≡200

x1

y

El corto y el largo plazoy g p

El largo-plazo es la circunstancia en el cual una firma no está restringida en suscual una firma no está restringida en suselecciones de todos los niveles de insumosHay muchos corto plazo posiblesEl corto plazo es una circunstancia en laEl corto plazo es una circunstancia en la cual una firma está restringida de algunaforma en la elección de al menos el nivelforma en la elección de al menos el nivelde un insumo


Ejemplos de restricciones que tienenlugar en el corto plazo de una firma:g p

no disponible temporalmente parainstalar cambiar maquinariasinstalar, cambiar, maquinariascompromiso para cumplir con la leycon respecto al ambiente de trabajo


Una forma útil de pensar en el largo plazo es que la firma puede escoger comoplazo es que la firma puede escoger comoasí lo requiera en qué situación de cortopla o estarplazo estar

El corto y el largo plazo

¿Qué implican las restricciones de corto

y g p

¿Qué implican las restricciones de cortoplazo para la tecnología de la firma?S l i ió dSupongamos que la restricción de cortoplazo es fija en el nivel de insumo 2El insumo 2 es por tanto un insumo fijoen el corto plazo Insumo 1 permaneceen el corto plazo. Insumo 1 permanecevariable

El corto y el largo plazox2

y g p

x1y


x2

x1y x1y


xx2

x1y

x1


x2

xy

x1


x2

y

x1


xx2

y

x1


x2yy

x1


x2y

2

x1


y

x2

x1


y

x2 x1


y

x1


y

x1

4 funciones de producción de corto plazo

El corto y el largo plazo

l f ió d d ió d

El corto y el largo plazo3/13/1 xxy = es la función de producción de

largo plazo (x1 y x2 son variables)21 xxy =

La función de producción de corto plazod º 1cuando x2 º 1 es

.1 3/11

3/13/11 xxy ==

La función de producción de corto plazod º 10

11

cuando x2 º 10 es.15,210 3/1

13/13/1

1 xxy ==

El corto y el largo plazoy g p3/13/1

1 10xy = 1 10xy3/13/1

1 5xy = 1y3/13/1

1 2xy =y 3/13/1

1 1xy =

x1

4 funciones de producción de corto plazo

modulo 8: funciones de produccion y tecnologia

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