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SENATI– CFP SAN JUAN DE LURIGANCHO ADMINISTRACION DE OPERACIONES 2

Instructor: Ing. Cristhian Detter Miñano Cabrera MÓDULO 1: PROGRAMACIÓN LINEAL

1

MODULO 1: PROGRAMACIÓN LINEAL – DECISIONES SOBRE EL DISEÑO DEL PRODUCTO Y

MEZCLA DE PRODUCTOS

¿CÓMO SE RESUELVE UN SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS?

Gráficamente, el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas se

obtiene representando la gráfica de cada desigualdad por separado sobre los mismos ejes y

hallando luego la región de plano que resulta de intersectar las gráficas de cada una de dichas

desigualdades.

Ejemplo 1: Representa gráficamente el conjunto solución del siguiente sistema

{2𝑥 + 𝑦 > 43𝑥 − 𝑦 ≥ 3

Primero gráficamente los semiplanos correspondientes a cada inecuación, y luego

intersectamos los semiplanos o conjunto de las inecuaciones, superponiendo ambos gráficos.

De esta forma, determinamos la región solución (s) del sistema

Ejemplo 2: Representa gráficamente el conjunto solución (S) del siguiente sistema. Encuentra

las coordenadas de los vértices de la región del plano que se forma

{

𝑥 + 3𝑦 ≥ 3 … … … … … … … (𝐼)

3𝑦 ≤ 2𝑥 + 6 … … … … … … (𝐼𝐼)𝑥 − 5 ≤ 0 … … … … … … … . (𝐼𝐼𝐼)



2

Veamos que el conjunto solución (S) del sistema es la región triangular ABC. Para encontrar las

coordenadas de los vértices se resuelven las ecuaciones siguientes:

Coordenadas de A Coordenadas de B Coordenadas de C

Resolvemos

{𝑥 + 3𝑦 = 3

3𝑦 = 2𝑥 + 6

Se obtiene

X=-1 ; y=4

3

Luego:

A=(−1;4

3)

Resolvemos:

{3𝑦 = 2𝑥 + 6

𝑥 − 5 = 0

Se obtiene:

X=5 ; y = 16

3= 5

1

3

Luego:

B = (5; 51

3)

Resolvemos:

{𝑥 + 5 = 0

𝑥 + 3𝑦 = 3

Se obtiene

X=5; y=-2

3

Luego:

C=(5; −2

3)

Ejemplo 3: Determina gráficamente el conjunto solución (S) del sistema.

{

𝑥 + 𝑦 > 2 … … … … (𝐼)

𝑦 < 4 … … … … … . . (𝐼𝐼)2 ≤ 𝑥 ≤ 6 … … … … . (𝐼𝐼𝐼)

Ejemplo 4: Graficar el sistema:

{|𝑥| ≤ 2|𝑦| ≥ 3

RESOLUCIÓN:

|𝑥| ≤ 2 equivale a -2≤ 𝑥 ≤ 2, los puntos de esta desigualdad son los que están entre

verticales 𝑥 = ±2

|𝑦| ≥ 3 equivale a la desigualdad compuesta y≤ −3 𝑜 𝑦 ≥ 3. Así, los puntos del plano

que satisfacen |𝑦| ≥ 3 están todos hacia arriba de, o en la recta y=3, al igual que todos

los puntos hacia abajo o en la recta y=-3. Como un punto se encuentra en la gráfica del



3

sistema dado siempre que se satisfagan ambas desigualdades, la gráfica del sistema

dado es la región coloreada en la figura III

TALLER 1: Determine gráficamente el conjunto solución de los siguientes sistemas:

1) {𝑥 − 𝑦 ≥ 3

2𝑥 + 𝑦 < 4

2) {𝑦 ≥ 𝑥

𝑥 + 3 < 0



4

3) {𝑥 + 𝑦 ≥ 3

−2 ≤ 𝑥 ≤ 4

4) {−1 ≤ 𝑥 ≤ 4−2 ≤ 𝑦 ≤ 5

5) {

𝑦 ≤ 𝑥 + 1𝑦 ≤ −𝑥 + 2

𝑦 ≥ 0



5

6) {

3𝑦 < 2𝑥 + 9𝑦 ≥ 1

3𝑥 + 2𝑦 > 63𝑥 + 2𝑦 ≤ 24

7) {3𝑥 + 12 > 4𝑦

𝑥 < 3𝑦 ≥ 1

8) {

𝑥 + 3𝑦 < 154𝑥 + 𝑦 ≤ 16

𝑥 ≥ 0𝑦 ≥ 0



6

9) {

𝑥 + 2 ≤ 2𝑦2𝑦 ≤ 𝑥 + 10|𝑥 − 1| ≤ 3

10) {|𝑦| ≤ 4|𝑥| > 1

¿Qué es la programación Lineal?

Es una técnica matemática que utiliza para resolver problemas en que se desea

optimizar (al máximo o al mínimo). Las aplicaciones de este procedimiento o se

encuentran en muchas áreas, incluyendo los negocios, fuerzas armadas. Por ejemplo, se

puede crear un modelo para maximizar ganancias o minimizar costos, dados, los límites

de producción, las restricciones de tiempo, o la ubicación específica de los recursos. Para

resolver un problema mediante esta técnica, es necesario determinar la función

objetivo y el conjunto de restricciones lineales.

La función objetivo: Es la representación algebraica de la situación que se busca

optimizar. Esta función objetivo se designa como: F(x;y) = ax + by ; a,b∈ ℝ

El conjunto de restricciones lineales: Son las variables que intervienen en la

función objetivo, asociadas a aun sistema de inecuaciones lineales.



7

¿Cómo resolver un problema de optimización?

Ejemplo: Supongamos que deseamos hallar los valores (x;y) que optimizan la función objetivo:

F(X;Y) = X+Y sujeta al siguiente conjunto de restricciones lineales: {

−𝑥 + 𝑦 ≤ 4𝑦 ≥ 2

2𝑥 + 𝑦 ≥ 102𝑥 + 𝑦 ≤ 22

Para determinar la solución del problema se siguen los siguientes pasos:

1° Graficamos las cuatro rectas correspondientes y coloreamos la región ℝ definidas por ellas.

Esta región se llama región factible.

2° A continuación determinamos las coordenadas (si es que las hay) de los vértices de la región

factible. Veamos:

3° Para hallar los valores óptimos (máximo y mínimo) aplicamos el siguiente teorema

fundamental: “Si existe una solución que optimice la función objetivo, ésta debe encontrarse

en uno de los vértices de la región factible” (Teorema Fundamental)

Entonces se reemplazan los valores (x;y) de cada vértice de la región factible en la función

objetivo. Veamos:

VERTICE (X;Y) F(X;Y)= X+Y

A(4;2) F(4;2)= 4+2=6

B(2;6) F(2;6)= 2+6 =8

C(6;10) F(6;10)= 6 + 10 = 16

D (10;2) F(10;2)= 10 + 2 =12

4° Se selecciona el vértice que determine el valor óptimo. Las coordenadas de este vértice son

los valores que optimizan el problema, es decir, el par (x;y) es la solución del problema.

Entonces:

(Valor mínimo)

(Valor máximo)



8

El par (4;2) es el que proporciona el valor mínimo de la función, siendo este valor igual

a 6.

El par (6;10) es el que proporciona el valor máximo de la función, siendo este valor igual

a 16.

TALLER 2: En cada uno de los siguientes gráficos determine los valores mínimos y máximo de la

función objetivo F para la región factible R.

1)

2)

3)

4)



9

TALLER 3: En cada uno de los siguientes gráficos determine los valores mínimos y máximo de la

función objetivo F para la región factible R.

5) {𝑋 + 𝑌 ≤ 82 ≤ 𝑋 ≤ 5

𝑌 ≥ 0 F(X;Y) = 3X+2Y

6) {4𝑌 ≥ 5𝑋 − 105𝑋 + 2𝑌 ≥ 10

𝑌 ≤ 5 F(X;Y) = 2X+7Y



10

7) {𝑌 ≤ 5𝑋 ≤ 6

5𝑋 + 6𝑌 ≥ 30 F(X;Y) = 10X+5Y

8) {

2𝑋 + 3𝑌 ≥ 6𝑌 ≤ 2𝑋 + 2

𝑌 ≥ 02𝑋 + 𝑌 ≤ 10

F(X;Y) = 8X+3Y



11

9){𝑋 + 𝑌 ≤ 10

𝑋 ≥ 03 ≤ 𝑌 ≤ 6

F(X;Y) = 4X+10Y

10){

𝑋 + 5𝑌 ≥ 10−3𝑋 + 4𝑌 ≤ 204𝑋 + 3𝑌 ≤ 40

𝑋 ≥ 0

F(X;Y) = 1

2X+3Y



12

TALLER 4: PROBLEMAS REALES DE PROGRAMACION LINEAL CON SOLUCIÓN GRÁFICA

1) En una prueba hay preguntas de tipo A que valen 20 puntos y del tipo B que valen 30 puntos.

El tiempo para contestar una pregunta del tipo A es 4 minutos y para una de tipo B es 8

minutos. El tiempo máximo permitido para la solución es de 96 minutos y no se puede

contestar más de 18 preguntas. Suponiendo que una alumna contesta sólo respuestas

correctas. ¿Cuántas preguntas de tipo deberá resolver para obtener una calificación

máxima?

2) Una empresa fabrica dos modelos de cámaras fotográficas: A y B. El modelo A deja

ganancias de $50 por unidad y el modelo B de $40 por unidad. Para unidad. Para cumplir

con la demanda diaria, la empresa debe producir un mínimo de 200 cámaras del modelo A

y un mínimo de 120 cámaras del modelo B. Si la producción diaria no debe sobrepasar de

450 cámaras fotográficas ¿Cuántas de cada modelo se deben producir para maximizar las

ganancias?



13

3) Un carpintero fabrica mesas y sillas. Mensualmente puede fabricar como mínimo 20 mesas

y como máximo 70 mesas. Se sabe también que el número de sillas fabricadas al mes no es

mayor de 60. Si la ganancia por mesa es de S/15 y por silla S/10, y mensualmente puede

fabricar a lo más 100 unidades combinadas, ¿Cuántas unidades de cada tipo debe fabricar

para maximizar sus ganancias?

4) Se requiere programar una con dos alimentos S y T. Cada unidad de alimento S contiene

100 calorías y 15 gramos de proteínas. La unidad del alimento T contiene 200 calorías y 10

gramos de proteínas. La dieta requiere como mínimo 1000 calorías y 90 gramos de

proteínas diarias. Si el precio de cada unidad de alimento S es 400 nuevos soles y de 300

nuevos soles el de cada unidad de alimento T, ¿Cuántas unidades de cada alimento debe

contener la dieta para minimizar el costo?



14

5) La Smith Motors Inc. Vende automóviles normales y vagoneta. La compañía obtiene

$300 de utilidad sobre cada auto móvil que vende y $400 por cada vagoneta. El

fabricante no puede proveer más de 300 automóviles ni más de 200 vagonetas por mes.

El tiempo de preparación para los distribuidores es de 2 horas para cada automóvil y 3

horas para cada vagoneta. La Compañía cuenta con 900 horas de tiempo de taller

disponible cada mes para la preparación de automóviles nuevos. Plantee un problema

de PL para determinar cuántos automóviles y cuántas vagonetas deben ordenarse para

maximizar las utilidades.

6) La EZ Company fabrica tres productos de última moda, a los cuales el departamento de

la mercadotecnia ha denominado Mad, Mud y Mod. Estos productos se fabrican a partir

de tres ingredientes los cuales, por razones de seguridad se han designado con nombres

en código que son Alpha, Baker y Charlie. Las libras de cada ingrediente que se requieren

para fabricar una libra de producto final se muestran en la siguiente tabla.

Producto

Ingredientes

Alpha Baker Charlie

Mad 4 7 8

Mud 3 9 7

Mod 2 2 12

La empresa cuanta respectivamente con 400, 800, 1000 libras de ingredientes Alpha,

Baker, Charlie. Bajo las condiciones actuales del mercado, las contribuciones a las

utilidades para los productos son $ 18 para Mad $10 para Mud y $12 para Mod. Plantee

un problema de PL para determinar la cantidad de cada uno de los productos de última

moda que deben fabricarse.



15

7) La Ware Farms del Valle Schoharie, cerca de Abany, N.Y cultiva brócoli y coliflor en 500

acres de terreno en el valle. Un acre de brócoli produce $500 de contribución a las

utilidades y la contribución de un acre de coliflor es de $1000. Debido a reglamentos

gubernamentales, no pueden cultivarse más de 200 acres de brócoli. Durante la

temporada de plantación, habrá disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de

plantadores. Cada acre de brócoli requiere 2.5 horas hombre y cada acre de coliflor

requiere 5.5. horas hombre. Plantee un problema de PL para determinar cuántos acres

de brócoli y cuántos de coliflor deben plantearse para maximizar la contribución a las

utilidades.



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8) La Beta Corporation acaba de adquirir una licencia existente de operación para el servicio

de automóviles entre el aeropuerto DFW y el centro de la ciudad. Antes el servicio de esos

automóviles operaba una flota de 30 vagonetas; sin embargo, el volumen del negocio hace

que sea fácil justificar la adición de otros vehículos. Además la mayoría de los vehículos son

muy viejos y requieren un mantenimiento muy costoso. Debido a la baja inversión que se

requiere para la adquisición de las licencias, la Beta está en posesión de reemplazar todos

los vehículos existentes. Se están considerando tres tipos de vehículos y ha recopilado los

datos que se muestran en la siguiente tabla. El consejo de administración de la Beta ha

utilizado $500000 para la adquisición de vehículos. La beta ha proyectado que puede

utilizar en forma adecuada cuatros vehículos pueda financiar, sin embargo, las instalaciones

de servicio y mantenimiento son limitadas. En estos momentos, el departamento de

mantenimiento puede manejar 30 vagonetas. En la actualidad, la compañía no desea

ampliar las instalaciones de servicio y mantenimiento. Puede que la nueva flota puede

incluir autobuses pequeños y grandes el departamento de mantenimiento debe estar en

posibilidades de trabajar con ellas. Un autobús pequeño es equivalente a 11

2 vagonetas y

cada autobús grande equivale a 3 vagonetas. Plantee un modelo lineal que permita a la

Beta determinar el número óptimo de cada uno de los tipos de vehículos que debe adquirir

con el objeto de maximizar las utilidades anuales esperadas.

TIPO DE VEHICULOS PRECIO DE COMPRA UTILIDAD ANUAL NETA ESPERADA

Vagoneta $ S 6500 $ 2000

Autobús pequeño $ $ 10500 $ 2800

Autobús grande $ $ 29000 $ 6500



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9) Un fabricante de equipo de prueba, tiene tres departamentos principales para la

manufactura de sus modelos S-1000 Y S-2000. Las capacidades mensuales son las

siguientes:

REQUERIMIENTOS UNITARIOS DE TIEMPO (hrs) disponibles en el presente mes

MODELO

S-1000 MODELO

S-2000 Horas disponible al mes

Dpto de estructura principal 4 2 1600

Dpto de alumbrado eléctrico 2.5 1 1200

Dpto de ensamble 4.5 1.5 1600

La contribución del modelo S-100 es de $40 por unidad y la del modelo S-2000 es de $10

por unidad. Se pide formular este problema con un modelo de programación lineal.



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10) Considera la decisión de planeación de producción de una compañía que hace válvulas y

pistones. Ambas piezas deberán ser maquinadas en torno y procesadas en un esmerilador, y

además, el pistón deberá ser pulido. Cada válvula y cada pistón requieren cierta cantidad de

acero. La siguiente tabla resume la cantidad de recurso usado en producir disponibles:

La compañía desea determinar el valor de las variables de decisión si las utilidades unitarias

esperadas son de $3.00 y $ 4.00 para válvulas y pistones respectivamente.

Torno (Hr)

Esmeril (Hr)

Pulidora (hr)

Acero (hr)

Válvula 0.3 1 0 1

Pitón 0.5 1.5 0.5 1

RECURSOS DISPONIBLES

Torno 300 hr

Esmeriladora 750 hr

Pulidora 200 hr

Acero 600 hr



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11) Una compañía fabrica 2 productos que pasan en forma sucesiva por tres máquinas. El

tiempo por máquina asignado a los 2 productos está limitado a 10 hr/día. El tiempo de

producción y la ganancia por unidad de cada producto se dan a continuación.

PRODUCTO TIEMPO DE PRODUCCIÓN GANANCIA ($/und)

1 10 min 6 min 8 min $20

2 5 min 20 min 15 min $30

Tiempo disp. (hrs/dia) 10 hrs 10 hrs 10 hrs

600 min 600 min 600 min

Determine la combinación óptima de producción para maximizar las ganancias.



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12) Una compañía fabrica los productos A, B, C Y D los cuales pasan por los departamentos de

cepillado, fresado, taladro y ensamble. Los requerimientos por unidad de producto, en

horas, la contribución, capacidad de producción de cada departamento y las demandas

mínimas de venta son:

Contribución por unidad Produc Cepillado Fresado Taladro Ensamble Demanda Mínima

$80 A 0.5 2 0.5 3 100 u

$90 B 1 1 0.5 1 600 u

$70 C 1 1 1 2 500 u

$60 D 0.5 1 1 3 400 u

Tiempo disponible 1800 hr 2800 hr 3000 hr 6000 hr

Determinar el modelo de programación lineal para maximizar las utilidades

13) Una corporación ha decido producir tres nuevos artículos, ya que en sus cinco plantas

tienen exceso de capacidad de producción. El costo unitario de manufacturación para el

primer producto podría ser de $31, $29, $32, $28, $29 en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5

respectivamente, por unos costos unitarios de $45, $41, $46, $42, $43 para el producto 2 y

de $38, $35, $40, $29 y $32 para el producto 3, las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 tienen capacidad de

2000, 1000, 2000, 1500 y 2500 unidades por producir de los tres nuevos artículos en sus

diferentes combinaciones. Si los pronósticos de ventas indican que se podrían vender 1500

2500 y 4000 unidades de los artículos 1, 2 y 3 ¿Cuál debería ser el número óptimo de

unidades para cada artículo con el fin de minimizar los costos totales?



21

14) Una compañía fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturón tipo A es de alta

calidad y el cinturón de tipo B es de baja calidad. La ganancia esperada para cada

cinturón es de $40 para el tipo A y de $25 para el tipo B. Cada cinturón de tipo A requiere

el doble de tiempo de fabricación que el cinturón de tipo B. Si todos los cinturones

fueran del tipo B, la compañía fabricaría 1000 unidades por día. El abastecimiento de

piel es suficiente para 800 cinturones A y B combinados, el cinturón tipo A requiere una

hebilla especial de las que solo se dispones de 400 por día, por 700 de las que lleva el

cinturón tipo B, Construya el modelo de programación lineal que maximice las ganancias

totales.



22

15) Un fabricante de gasolina de aviación vende dos clases de combustible, A y B. El

combustible clase A tiene 25% de gasolina grado 1, 25% de gasolina grado 2 y 50% de

gasolina grado 3. El combustible clase B tiene 50% de gasolina grado 3. El combustible clase

B tiene 50% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina grado 3. Disponibles para producción

hay 500 galones por hora de gasolina grado 1 y 200 galones por hora respectivamente de

las gasolinas grado 2 y3. Los costos son 30 centavos por galón de grado 1, 60 centavos por

galón de grado 2, y 50 centavos por galón de grado 3. La clase A puede venderse a 75 por

galón, mientras que la clase b alcanza 90 por galón ¿Qué cantidad debe fabricarse de cada

combustible?



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16) La Higgins Company fabrica piezas de metal de alta precisión que se utilizan en los

motores de automóviles de carrera. La pieza se fabrica en un proceso de forjado y

refinación y son necesarias cantidades mínimas de diversos metales. Cada pieza

requiere de 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de hierro colado. Existen 4 tipos de

mineral disponible para el proceso de forjado y refinación. El mineral tipo 1 contiene 4

onzas de plomo, 2 de cobre y 2 de acero colado por libra. Una libra del mineral de tipo

2 contiene 2 onzas de plomo, 6 de cobre y 6 de acero colado. Una libra del mineral 3

contiene 1 onza de plomo 4 de cobre y 4 de acero colado. Por último, el mineral de tipo

4 contiene ½ onza de plomo, 1 de cobre y 8 onzas de acero colado por libra. El costo por

libra para los cuatro minerales es de $20, $30, $60, $50, respectivamente. A la Higgins

le gustaría mezclar los minerales de manera que se satisfagan las especificaciones de las

piezas y se minimice el costo de fabricarlas. Defina las variables de decisión y plantee el

apropiado modelo de PL .

17) Un granjero desea determinar un costo diario más bajo de la mezcla de pastura para su

ganado. Para cumplir con los requerimientos mínimos de nutrición, la mezcla deberá de

contener al manos 10000 unidades del nutriente A, 20000 unidades del nutriente B y

15000 unidades del nutriente C. Existen 2 alimentos de pastura disponibles para él, y

cada libra de primero cuesta $0.15 y contiene 100 unidades del nutriente A, 400 del

nutriente B Y 200 del nutriente C; y cada libra del segundo cuesta $0.20 y contiene 200

unidades del nutriente A , 250 del nutriente B y 200 del nutriente C. Formule el modelo

de programación lineal.



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18) CATARPILLAR electronic Corporation fabrica principalmente cuatro productos de alta

tecnología, con los que abastece a la NASA. Cada uno de estos productos, antes de que se

transporten debe pasar a través de los siguientes departamentos: cableado, perforación,

Montaje e inspección. En la tabla siguiente se resume, para cada unidad producida, los

valores del tiempo requerido en cada departamento (en horas) y sus correspondientes

beneficios:

DEPARTAMENTO

PRODUCTO CABLEADO PERFORACIÓN MONTAJE INSPECCIÓN

BENEFICIO POR UNIDAD ($)

XJ201 0.5 3 2 0.5 9

XM897 1.5 1 4 1 12

TR29 1.5 2 1 0.5 15

BR788 0 3 2 0.5 11

El tiempo de producción disponible cada mes en cada departamento y la protección

mensual mínima necesaria para cumplir con los contratos que se especifican a

continuación:

Departamento Capacidad (en hora) Producto Nivel mínimo

Cableado 1500 XJ201 150

Perforación 1700 XM897 100

Montaje 2600 TR29 300

Inspección 1200 BR788 400



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19) SANSUMG Electronic Compañía fabrica 2 productos: el primero es Walkman Samsung

un reproductor portátil de cintas de audio que además incorpora un reproductor de

radio AM/FM y el segundo teléfono inteligentes de pantalla táctil y cámara de alta

resolución. El proceso de cada producción de cada producto es análoga, ya que ambos

requieren de un número de horas de trabajo en electrónica y unas determinadas horas

de mano de obra en el departamento de montaje. Cada walkman necesita 4 horas de

trabajo en electrónica y 2 horas en la cadena de montaje. En los teléfonos inteligentes

se requiere 3 horas de trabajo en electrónica y una hora en montaje. El periodo de

producción actual, están disponible por semana 240 horas de tiempo en electrónica 100

horas en el departamento de montaje. Cada walkman que se venda reporta 70 dólares

de beneficio mientras que por cada reloj inteligente se consigue un beneficio de 50

dólares. Determinar la mejor combinación posible en cuanto al número de walkman y

teléfono inteligentes, de modo que se obtengan el máximo beneficio



26

El procedimiento simplex es un procedimiento iterativo que progresivamente permite obtener

una solución óptima para los problemas de programación lineal. Existen números programas

tanto para computadoras centrales como para personales. El método simplex es especialmente

útil en problemas de gran escala A continuación damos la explicación del procedimiento del

SIMPLEX:

Establezca la tabla inicial del simplex. Formular la función objetivo y las restricciones,

e introducir las variables de decisión, variables en la solución, valor en solución (LD), C

(contribución de la variable), Z, (costo de introducir la variable), y C-Z (contribución neta

de la variable).

Selecciónese la columna pivote. Ésta es la columna con el número positivo más grande

en el reglón inferior (C-Z). Ésta se convierte en la nueva variable de la solución.

Selecciónese el renglón pivote. Éste es el renglón con la razón más pequeña del valor

LD dividido por el valor de la columna pivote, Úsense sólo números positivos. Esto

identifica la variable que deja la solución.

Enciérrese en un círculo el elemento pivote. Ésta es la intersección del renglón y la

columna pivotes.

Conviértase el elemento pivote en un 1. Hágase esto dividiendo cada valor del renglón

pivote entre el valor pivote. Métase este renglón en una nueva tabla.

Genérese los demás renglones de la nueva tabla con ceros en la columna pivote. Esto

se hace multiplicando el nuevo renglón (del paso 5) por el negativo el elemento en la

columna pivote. El resultado será sumado al antiguo renglón. Introdúzcase este renglón

revisado en una nueva tabla, y continúese este procedimiento en cada renglón de la

sección central de la tabla.

Prueba de optimización. Calcúlese los valores de Z y C-Z. Los valores de Z de cada

columna son Σ (elementos de la columna) (C). Si todos los valores C-Z son ≤ 0, La

solución óptima. Léanse los valore de las variables en la solución de la columna de LD y

el valor de la función objetivo del renglón de Z en la columna de LD. Si la solución no es

óptima, regrésese al paso 2.

REDUCCIÓN AL MÍNIMO POSIBLE (MINIMIZACIÓN) Y OTRAS FORMAS DE RESTRICCIONES

El procedimiento del simplex también puede utilizar para resolver problemas de reducción de

costos cuyas funciones objetivos tienen la forma MIN Z = A x1 + B X2 + …. + MXN Las restricciones

en los problemas de reducción al mínimo posible son frecuentes de tipo ≥, más que del tipo ≤



27

que se ha encontrado. En este tipo de restricciones debe restarse una variable excedente (en un

lugar de añadir una variable de holgura). Para manejar restricciones de tipo = y ≥ se deben usar

también variables artificiales (además de las variables S). Las variables artificiales sirven sólo

para establecer las ecuaciones en una forma utilizable para la tabla de simplex y no tienen otro

significado. Se le asignan regularmente coeficientes muy grandes (M´s) que rápidamente las

llevan a dejar la solución.

TALLER 5: Resolver por el método simplex

1) Función Objetivo: Max Z= $10 x + $30y

Restricciones h máquina A: 4x + 6y ≤ 12

H máquina B: 8x + 4y ≤ 16

PRÁCTIQUEMOS



28

2) Función Objetivo: Max Z= $5 x + $20y

Restricciones Limpiado: 2x + 4y ≤ 10

Prueba: 6x + 3y ≤ 12



29

3) Función Objetivo: Max Z= $40w x + $50x + $60y

Restricciones Mano de obra: 4w + 4x + 5y ≤ 80

Material A: 200W + 300X + 300Y ≤ 6000

Material B: 600W + 400X + 500Y ≤ 5000



30

4) Función Objetivo: Min Z= $5x + $3y

Restricciones Vitamina A: 2X1 + 4Y = 400

Vitamina B: 6X1 + 1Y ≥ 240

Vitamina C: 4X1 + 3X2 ≥ 640



31

5) Función Objetivo: Max Z= $6x + $9y

Restricciones Máquina A: 2X1 + 4Y ≤ 30

Máquina B: 4X1 + 3Y ≤ 36



32

6) Función Objetivo: Max Z= $40a + $50b

Restricciones a ≤ 50

a + 2b ≤ 80



33

7)

M. CANÓNICO

MAX Z: 1.5 X1 + 1,2 X2

S.a X1 <= 6000

X1 + X2 <= 800

X1 + 2X2 <= 700

X1 >= 0

X2 >= 0



34

8)

M. CANÓNICO

MAX Z: 40 X1 + 60 X2

S.a 3X1 2X2 <= 2000

X1 + 2X2 <= 1000

X1 >= 0

X2 >= 0



35

9)

M. CANÓNICO

MIN Z: 1.5 X1 + 2 X2

S.a

2X1 + 2X2 <= 8

2X1 + 6X2 >= 12

X1 >= 0

X2 >= 0



36

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

El análisis de sensibilidad (o post optimización) se ocupa del efecto de los cambios en los

parámetros del problema sobre la solución de programación lineal. Mientras que aquí el interés

estará limitado al efecto de cambios en las restricciones, el análisis puede ser hecho para

determinar el efecto de los cambios en la función objetivo y la adición e nuevas variables y

nuevas restricciones.

Con respecto a la solución gráfica del ejercicio 1 del método simplex. Si el tiempo disponible

para la máquina A, fuera incrementado, las utilidades podrían incrementarse (en $5 por hora

adicional) hasta que fueran finalmente limitadas por la máquina B. El análisis de sensibilidad

permite determinar los márgenes entre los que se mantienen los precios sombra. En el caso de

las restricciones ≤ , el margen puede ser determinado dividiendo los valores de sombra LD de

la matriz final del simple entre los negativos de los valores de las columnas con precio sombra.

El resultado positivo más pequeño del cociente indica que una restricción puede ser cambiada

todo lo necesario, hasta que otra restricción se agota.

Ejemplo: Determínese el efecto de los cambios en las restricciones agotadas indicadas en la

solución óptima del problema 1 del método simplex; donde la máquina A es la única restricción

activa (explicita). Las razones de sensibilidad de esta restricción son:

Para Y: 𝐿𝐷

−𝑆1=

2

−16⁄

= −12

Para S2: 𝐿𝐷

−𝑆1=

82

3⁄=

24

2= 12

La razón positiva más pequeña es 12 asociada con 𝑆2. Esto sugiere que la restricción A puede

ser holgada en 12 horas (a 24 horas) antes de que la restricción de la máquina comience a limitar

la solución.

Un vistazo a la solución gráfica muestra que si la restricción A es holgada (se le añade más horas),

la restricción de la máquina B tiene efecto en Y=4. Por este punto, la utilización debería ser Z =

$ 10 X + $30 Y = $10 (0) + $30 (4) $120. También en Y = 4 ambas máquinas serían totalmente

utilizadas, como se demuestra sustituyendo los valores de X y Y en las restricciones:

Restricción antigua Límite revisado en X=0, Y=4

Máquina A 4 X + 6 Y ≤ 12 4X + 6 Y ≤ 24 4 (0) + 6 (4) = 24

Máquina B 8 X + 4 Y ≤ 16 SIN CAMBIO 8 (0) + 4 (4) = 16

modulo 1: programaciÓn lineal decisiones sobre el …

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