“Modelos Matemáticos en Biología”

Problemas

Ejercicio 2.3.4

Considere el modelo de plantas de la Ec. (2.4) de la sección 2.2, así como otro modelo de planta obtenido mediante la sustitución de todas las entradas de la primera fila y columna de esa matriz con 0’s.

a) En términos biológicos, ¿cuál es el significado de reemplazar las entradas especificadas con 0’s?

Se pueden interpretar las entradas 0's de la primera columna y fila como

que la especie de planta perdió la habilidad de producir semillas (cuando “t”

tiende a infinito ), por lo que al pasar determinado tiempo es posible que la

especie llegue a la extinción puesto que los únicas plantas vivas de la

especie se encuentran germinadas y no se reproducen, ocasionando que la

especie probablemente extinga.

b) Calcule el valor propio dominante para cada modelo.

Para un modelo de población lineal, el valor propio dominante es a menudo llamado tasa de crecimiento intrínseca de la población y es el número más importante pues describe cómo cambia la población a través del tiempo.

Valores propios que corresponden a la matriz A

Estas columnas señalan los vectores propios pertenecientes a los valores propios previamente mencionados. La primera columna corresponde al vector del primer valor propio, la segunda columna corresponde al vector del segundo valor propio y así sucesivamente.

Parte 1

-->max(abs(spec(A)))Para corroborar que ese es el valor propio dominante se metió éste comando y como pueden ver si da lo mismo ans = 1.16939

Parte 2

Valores propios que corresponden a la matriz A

Estas columnas señalan los vectores propios pertenecientes a los valores propios previamente mencionados. La primera columna corresponde al vector del primer valor propio, la segunda columna corresponde al vector del segundo valor propio y así sucesivamente.

-->max(abs(spec(A)))Para corroborar que ese es el valor propio dominante se metió éste comando y como pueden ver si da lo mismo ans =1.1326153

• El valor propio dominante corresponde a la tasa intrínseca de crecimiento. La primera matriz posee un valor de 1.1693 y el valor perteneciente a la segunda matriz es de 1.1326, la diferencia entre estas dos es de 0.0367, esta cifra no es muy significativa por lo tanto, se concluye que no existe mucha diferencia entre la tasa intrínseca de crecimiento de ambas matrices.

• Al inicio se pensó que la diferencia iba a ser mayor por haber cambiado las entradas del primer renglón y primera columna de la matriz a cero, pero como se explicó antes, la variación no fue muy grande.

¿Hay mucha diferencia en la tasa de crecimiento intrínseco? ¿Cambió la tasa de crecimiento intrínseco de la manera que pensaba que lo haría?

• c) Si las semillas no germinadas tienen poco efecto sobre la tasa de crecimiento intrínseco de esta planta, ¿por qué podrían ser biológicamente ventajoso para la especie?

La tasa de crecimiento intrínseco se refiere a la capacidad de reproducción de la población de las plantas, es una ventaja porque esta capacidad no se ve afectada por las semillas que no germinaron, lo que significa que la población puede persistir.

Ejercicio 2.3.9

Supongamos que una simple población se divide en clases de desarrollo: inmaduros y maduros. Sólo una sexta parte de los individuos inmaduros pasan a la madurez en cada paso de tiempo (los restantes mueren). Un individuo típico maduro da a luz a cinco jóvenes en cada paso de tiempo. Por último, tres cuartas partes de los adultos mueren (después de producir jóvenes) en cada paso de tiempo, mientras que el resto sobrevive.

•Modela esta situación usando una matriz. ¿Es esto un modelo de Leslie, un modelo de Usher o ninguno?

P =

•Calcula los vectores y valores propios de la matriz de proyección utilizando MATLAB

¿Cuál es la tasa de crecimiento intrínseco?

La tasa de crecimiento intrínseco se refiere a la capacidad de reproducción que tiene la población y está dada por el mayor valor absoluto de los eigenvalores (valor propio), observando lo obtenido en el inciso b se determina que 1.1326 es el valor mayor y por lo tanto, esa es la tasa de crecimiento intrínseco.

Ejercicio 2.4.3

Utilice el método de poder para encontrar el vector propio dominante y valor propio de la matriz de Leslie:

Haciendo uso de la herramienta Scilab se obtuvieron los vectores y valores propios:

Valores propios que corresponden a la matriz A

Estas columnas señalan los vectores propios pertenecientes a los valores propios previamente mencionados. La primera columna corresponde al vector del primer valor propio, la segunda columna corresponde al vector del segundo valor propio y así sucesivamente.

2.4.4. actualmente, las cosas pueden ser mas complicada de lo que el texto te hace creer:

a) Para encontrar dos valores propios y dos vectores propios (si ellos realmente existen).

b) Para encontrar dos valores propios e intenta encontrar dos vectores propios. ¿Qué salió mal?

Encontrando los valores propios

usando y Se calcula:

Despejando se obtiene:

Encontrando los vectores propios de a)Usando

Al obtener esta ecuación usamos los vectores canónicos para encontrar los vectores propios.

→

→

Resolviendo b)Encontrando los valores propios

usando y Se calcula:

Despejando se obtiene:

Encontrando los vectores propios de b)Usando

Al obtener esta ecuación usamos los vectores canónicos para encontrar los vectores propios.

→

→

Por lo tanto no es posible encontrar

Corroborando las respuestas con scilab

a) b)

←Valores propios→

← Vectores propios →