calor - modelos matemáticos simplificados
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Modelos matemáticos Modelos matemáticos simplificados de sistemas físicossimplificados de sistemas físicos
ObjetivoObjetivo
Obtener un modelo matemático que describa un determinado proceso físico.
Ecuación diferencial +Condiciones iniciales y/o de borde
Ecuación de Ecuación de LaplaceLaplace
Modelos matemáticos simplificados de Modelos matemáticos simplificados de sistemas físicossistemas físicos
Ecuación de la Ecuación de la ondaonda
Ecuación del Ecuación del calorcalor Procesos Procesos
difusivosdifusivos
Procesos Procesos oscilatorioscilatori
osos
Procesos de Procesos de estado estado
estacionarioestacionario
Ecuación de Ecuación de LaplaceLaplace
Modelos matemáticos simplificados de Modelos matemáticos simplificados de sistemas físicossistemas físicos
Ecuación de la Ecuación de la ondaonda
Ecuación del Ecuación del calorcalor Procesos
difusivos
Procesos Procesos oscilatorioscilatori
osos
Procesos de Procesos de estado estado
estacionarioestacionario
LEY DE FOURIER LEY DE FOURIER
dTq k A
dx
En condiciones de estado estacionario, el calor q (W) transferido por conducción en la dirección x y por unidad de tiempo está dado por:
T2T1
x
x
T1
T2
q
LEY DE FOURIERLEY DE FOURIER
dTq k A
dx
x
x
T1
T2
Área de la sección transversalConductividad térmica
del material (W/m K)
LA ECUACIÓN DEL CALORLA ECUACIÓN DEL CALORMODELO MATEMÁTICOMODELO MATEMÁTICO
Balance de energía en una barra circular de sección transversal uniforme y material homogéneo
x
x=0 x=L
q
Calor neto de entrada =
= Calor acumulado
Término de flujo
Término de absorción
BALANCE DE ENERGÍA EN UNA BALANCE DE ENERGÍA EN UNA
PORCIÓN DE LA BARRAPORCIÓN DE LA BARRA
x
x=0 x x+x x=Lq
BALANCE DE ENERGÍA EN UNA BALANCE DE ENERGÍA EN UNA
PORCIÓN DE LA BARRAPORCIÓN DE LA BARRA
Calor neto de entrada =
= Calor acumulado
Término de flujo
Término de absorción
TÉRMINO DE FLUJOTÉRMINO DE FLUJO
Calor neto de entrada
x
x=0 x x+x x=Lq
x ,t
Tq x,t k A
x
x x ,t
Tq x x,t k A
x
entrada
salida
tY la cantidad de calor neto de entrada en el tiempo , estará dada por:
x x ,t x ,t
T Tq t kA t
x x
TÉRMINO DE FLUJOTÉRMINO DE FLUJOCalor neto de entrada
x x ,t x ,t
T Tq q x,t q x x,t kA
x x
t
1 q t q tT
Cp m Cp A x
El cambio promedio en temperatura , que se produce en el trozo de la barra, en el intervalo de tiempo t, vendrá dado por:
x
x=0 x x+x x=Lq
TÉRMINO DE ABSORCIÓNTÉRMINO DE ABSORCIÓN
Calor acumulado en el elemento de la barra en el tiempo
1 q t q tT
Cp m Cp A x
q tT x x,t t T x x,t
Cp A x
0 1 con:
q t T x x,t t T x x,t Cp A x
Igualando las dos expresiones :Igualando las dos expresiones :
q t T x x,t t T x x,t Cp A x
q t
x x ,t x ,t
T Tq t kA t
x x
x x ,t x ,t
T TkA t
x x
T x x,t t T x x,t Cp A x
Dividiendo la ecuación anterior por
x t y luego haciendo
0x 0t
,
x x ,t x ,t
x
t
T T
x x tlím kA
x
0
0t
x
t
T x x,t t T x x,t xlím Cp A
t
0
0x
ECUACIÓN DEL CALOR ECUACIÓN DEL CALOR UNIDIMENSIONALUNIDIMENSIONAL
Obtenemos la ecuación del calor o de difusión unidimensional:
,
T Tk Cp
x x t
Para un material homogéneo:2
2
k T T;
Cp tx
2
2
T T
tx
Difusividad térmica
GENERALIZACIONESGENERALIZACIONES
,
Con fuentes o sumideros de calor:
2 2
2 2
T T T
tx y
T TCp x x A x k x A x G x,t ,T
t x x
Ec. del calor bidimensional
2 TT
t
GENERALIZACIONESGENERALIZACIONES
,2 2 2
2 2 2
T T T T
tx y z
Ec. del calor tridimensional
2 TT
t
CONDICIONES DE BORDECONDICIONES DE BORDE
Condiciones de borde:
Temperatura constante
,
100
xT T ,t T
2x LT T L,t T
00
xT T ,t f t
x LT T L,t g t
Temperatura variable
CONDICIONES INICIALESCONDICIONES INICIALES
Condiciones iniciales:
000
tT T x, T
Distribución inicial de
temperatura constante
CONDICIONES DE BORDECONDICIONES DE BORDE
Condiciones de borde:
,
Extremo aislado
0
0 0x
T T,t
x x
0x L
T TL,t
x x
La ecuación del calorLa ecuación del calorPROBLEMASPROBLEMAS
,
Suponer que tenemos una barra de sección transversal constante, que los extremos de la barra están aislados y que la temperatura inicial es 100°C. Expresar matemáticamente las condiciones de frontera y analizar el problema por medio de un razonamiento físico. Interprete físicamente la siguiente EDDP:
2
2
U Uk F x,t
t x