INGENIERIA QUIMICA

Secuencias de solucinde modelos matemticos

Este trabajo constituy parte del Seminario que sobreSimulacin de Procesos Qumicos ofreci el Grupo deSimulacin de la Facultad de Ingeniera, en 1985.En l se sintetizan los criterios desarrollados para estable-cer topologas de solucin de modelos matemticos y seIlustran algunas aplicaciones. '

DANIEL BOGOYA MALDONADOIngeniero Qumico, M.I.S.Profesor Asociado,Universidad Nacional de Colombia.

Pg. 6872Ingenieria e InvestigacinVolumen 4 . N 2Trimestre 1 de 1987

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Concebida la simulacin matemtica. valiosaherramienta de la Investigacin de Operacionespara la prediccin del comportamiento de objetosreales o imaginados. como la accin de experi-mentar con un modelo matemtico (confeccio-nado con' base en la identificacin del objeto realo imaginado y en el establecimiento de un amplioconjunto de analogas de ndole diversa) median-te la asignacin de valores a cada una de lasvariables definidas como variables de entrada y laobtencin de valores para cada una de lasvariables definidas como variables de salida. esnecesario deslindar dos entidades. asociadas ados fases claramente definidas: modelo matem-tico y mtodo o secuencia de solucin. Y. ascomo anteriormente se ilustr la fase del mode-lamiento matemtico (fase en la cual se confec-ciona el modelo matemtico o ente representadordel objeto). corresponde ahora ilustrar el estable-cimiento de un mtodo o secuencia de solucindel modelo mencionado.Aqu debe distinguirse. por una parte. la secuen-cia de solucin (o topologa) y. por otra. losconjuntos de mtodos numricos como los deextraccin de races de ecuaciones. de diferen-ciacin e integracin numrica y de resolucin desistemas de ecuaciones. mtodos que no seabordan en este tratamiento.Ahora bien. el establecimiento de una secuenciade solucin de un modelo matemtico requiere elcumplimiento de varias fases: la determinacindel subconjunto de variables de entrada (yconsecuentemente del sub-conjunto de variablesde salida). la asignacin variable-funcin (paraver qu funcin debe emplearse en la eva-luacin de qu variable). la deteccin de sub-modelos (o particiones) y la obtencin de un or-den de precedencia de los submodelos (aunque di-chos submodelos se conformen con una solafuncin); aclarando que puede haber ms de una se-cuencia para cada modelo matemtico.As. en los prximos prrafos se pretende plantearuna metodologa que permita resolver modelosmatemticos. de manera sistemtica. organizada

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y segura (es decir. que garantice la obtencin dealguna solucin).

Representacin de modelos matemticosLa forma. ya convencional. de representar con-juntos de funciones de diversas variables. consis-te en establecer una matriz de ocurrencia oincidencia. Dicha matriz (aqui llamada MIN) es unarreglo de M filas (una para cada funcin) y Ncolumnas (una para cada variable) tal que cadaelemento del arreglo puede tomar solo el valorcero o uno. as:rnina = O. lo cual significa que la Ja variable no

incide en la ia funcin; ornln, = 1. lo cual implica que la ja variable incide

en la ia funcin.Ejemplo: para el modelo matemtico

f, (X1, X2, X3, X7) = Of2(X2, X3, X6, X8) = Oh(X3, X4, X5, X6) = O

se tiene la siguiente matriz de incidencia:

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

f, 1 1 1 1f2 1 1 1 1h 1 1 1 1

Subconjuntos de variables en el modelomatemtico

Establecido un modelo matemtico con M fun-ciones. linealmente independientes. y N variables.pueden presentarse estas situaciones:1. M = N. en cuyo caso hay suficiencia (o

determinacin) de funciones y cadavariable puede tener un nico valorque satisfaga al modelo; o

2. M < N. en cuyo caso (frecuente en la simula-cin de procesos qumicos y entantos otros campos del conocimien-to) cada variable puede tener unnmero infinito de valores que satis-fagan el modelo.

Se aclara que no puede darse el caso dondeM> N. porque implicara la presencia de funcio-nes redundantes o linealmente dependientes.situacin que debe impedirse.As. aparece el concepto de grados de libertad(aqu llamados G) de un modelo matemtico.como el nmero de variables independientes -o.lo que es equivalente. el nmero de variablesmenos el nmero de funciones en el modelo: (N -M)-; Y se establece que para obtener algunasolucin (o conjunto de valores para las variablesdependientes del modelo) es indispensable co-nocer valores para un nmero de variablesindependientes igual al nmero de grados delibertad. Es decir. hay dos subconjuntos de

variables en el modelo: el de las de entrada (o delas independientes) y el de las de salida (o de lasdependientes).Ahora bien. para los modelos donde G = O o suvarianza es nula. se tiene un subconjunto devariables de entrada vaco; y para aquellos dondeG> O. o su varianza es no nula. se tienennumerosos subconjuntos de variables de entra-da. pero limitados por la cantidad N combinado G.Se dice limitados. porque. si bien N combinado Ges el nmero total de permutaciones de Gelementos dentro de un grupo o conjunto de N deellos. pueden aparecer algunos subconjuntos devariables dependientes: es decir. al considerardichos subconjuntos se tendra una situacin deinsuficienca y. posiblemente. de inconsistenciapara las variables de entrada del modelo.Por medio de un ejemplo puede ilustrarse loanterior. Sea el modelo

f, (X1, X2, X3, X4) = Of2(X1, X5, X6) = Oh(X7, X8, X9) = Of4(X5, X6, X10) = Ofs(X6, X8, X9, X10) = O

donde el nmero de funciones (linealmenteindependientes). M = 5; el nmero de variables(dependientes e independientes). N = 10; y elnmero de grados de libertad (o de variablesindependientes). G = 5. Igualmente. la matriz deincidencia asociada. MIN. sera:

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

f, 1 1 1 1f2 1 1 1f3 1 1 1f4 1 1 1fs 1 1 1 1

y en este ejemplo. por ser G = 5>0, se tienenmltiples subconjuntos de variables de entrada.limitados por la cantidad.

(N) N! 10!G = (N - G)! G! = (10 - 5)! 5! = 252

Es decir. de los 252 subconjuntos posibles decinco variables. tomadas del conjunto total dediez variables. puede haber algunos de variablesdependientes. que no deben considerarse. Enefecto. todos aquellos que. simultneamente.contengan

X1, X2, X3 y X4 ;0X1, X5 y X6 ;0X7, X8 y X9 ;0X5, X6 y X10 ;0X6, X8, X9 y X10

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sern conjuntos de variables dependientes (por- la matriz de incidencia es:que impedirn que alguna de las funciones delmodelo se utilice para despejar el valor devariable alguna).

Adems. tampoco deben considerarse otros sub-conjuntos que. sin ser visibles inmediatamente.presentan la misma situacin de dependenciaentre las variables. Un solo ejemplo: el subcon-junto

{X1, X5,X8, X9, X1~

rene variables dependientes: en l. el subcon-junto X5. X8. X9. Xl0 es redundante para elsubmodelo conformado por las funciones t-. f4 yf5donde los grados de libertad son solo tres.

En realidad. para cualquier modelo matemticohay mltiples subconjuntos de variables depen-dientes y. por tanto. todo subconjunto de varia-bles de entrada debe validarse. antes de intentarencontrar una secuencia de solucin. Esta vali-dacin contempla dos aspectos: el de la consis-tencia estructural y el de la consistencia lgica.

Asignacin variable-funcinUna vez definido el subconjunto de variables deentrada. se logra simplificar el modelo: ahora sedispone de M funciones con M variables (las delconjunto de salida). La asignacin. entonces.consiste en establecer qu variable debe hallarsemediante la resolucin de qu funcin. Esteproceso puede llevarse a cabo mediante laaplicacin del algoritmo de Steward.

En efecto. operando con la matriz de incidencia.el algoritmo establece que se examina la fila (o lacolumna) que posea el menor nmero de inci-dencias. lo cual implica que la funcin correspon-diente. depende del menor nmero de variables (oque la variable correspondiente incide en el menornmero de funciones). y de esa fila (o columnase elige el elemento que pertenezca a la columna(o a la fila) con el menor nmero de incidencias.Enseguida. se asigna la variable representada pordicha fila y se reduce la matriz de incidencia. eli-minando la fila y la columna mencionadas. Luego.se repite el proceso de asignacin hasta comple-tar el subconjunto de variables de salida.

El algoritmo referido puede ilustrarse con elsiguiente ejemplo.

Para el modelo matemtico:

f1 (X1) Of2(X2, X3, X4) Oh(X1, X2, X4) Of4(X1, X3) O

fs(X2, X3, X5) O

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donde la primera fila es la que presenta el menornmero de incidencias: una de la variable Xl. Erolconsecuencia. se asigna Xl a f, y se eliminan laprimera fila y la primera columna de la matriz deincidencia.La nueva matriz queda:

ahora al aplicar el algoritmo nuevamente. seasigna X3 a f4 y se eliminan la tercera fila y lasegunda columna. La nueva matriz de incidenciaes:

aqu. todas las filas presentan el mismo nmerode incidencias: dos: pero la tercera columna.correspondiente a X5. presenta solo una.En consecuencia. se asignaX5 a t, y se eliminan latercera fila y la tercera columna. La nueva matrizde incidencia es:

en la cual se observa que f2 y f3 conforman unsubmodelo (o una particin) y as. la asignacinde X2 y X4 a f2 y f3 es arbitraria.

Orden de precedenciaEn este punto corresponde determinar propia-mente la secuencia de solucin. mediante elestablecimiento de cada una de las necesidadesque tenga cada funcin. para resolverse yotorgarel valor de la variable que le ha sido asignada demanera previa. Aqu es tambin til asociargrficos. para apreciar mejor la exigencia de undeterminado orden. como diagramas de flujo deinformacin.En efecto. se asocia un grfico donde cada nodo

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representa una funcin y cada arco una informa-cin sobre el valor de cada variable as: ingresa aun nodo, si el valor de tal variable debe alimentar-se a dicha funcin: y egresa de un nodo, si el valorde tal variable debe hallarse mediante la resolu-cin de la funcin correspondiente. En el ejemplosiguiente se ilustra ssta situacin.Para el modelo matemtico:

f1 (X1, X2, X3, X4) Of2(X1, X2) O~(X3, X4) Of4(X1, X4) O

al aplicar el algoritmo de asiqnacin variable-funcin se obtiene que X2 debe calcularse de f"X1 de f2, X3 de f3 y X4 de f4' As, el diagrama deflujo de informacin asociado aueda:

donde se observan claramente' tres ciclos y lanecesidad de definir (al menos) una variableiteradora mediante la cual (por suposicin yclculo) se rasguen los ciclos y se establezca unasecuencia de solucin.Para este ejemplo, si bien existen diferentesopciones 'para rasgar los ciclos, la variableiteradora ms adecuada es X2, ya que con ellasimultneamente se rasgan los tres ciclos y,consecuentemente, no exige la presencia deninguna otra variable iteradora. Definida X2como variable iter ador a. el nuevo diagrama deflujo de informacin queda con X2Sy X2~ as:

~ X3

X2C

y aqu, una secuencia de solucin implica unaserie de iteraciones hasta acercar los valores deX2s (la estimacin para X2) y de X2c (su valorcalculado) a una vecindad de tamao preestable-cido. La secuencia sera:Paso 1. Establecer una cota de error E yestimarun valor para X2s;Paso 2. Resolver f2, f4 yf3, para obtener los valoresde X1, X4 y X3 respectivamente, que satisfagan elvalor de X2s;Paso 3. Resolver f" para obtener el valor de X2c;Paso 4. Si I X2c - X2s1 > E, debe estimarse unnuevo valor para X2s (con la ayuda de algnmtodo numrico) y retornar al paso 2: en caso

contrario, debe considerarse concluido el proce-so iterativo.De otra parte, la eleccin de un determinadosubconjunto de variables de entrada influyedirectamente en la secuencia (yen el grado desimplicidad) de la solucin del modelo. As,apoyados en el siguiente ejemplo, yen un grficoasociado, se ilustra dicho efecto.

Para el modelo:

11(X1, X2, X3) O12X3, X4, X5) O~(X5, X6, X1) O

su grfico asociado es:

donde aparecen dos tipos de nodos: uno pararepresentar las funciones y el otro para represen-tar las variables: y lneas que indican la incidenciade cada variable en cada funcin.Primer subejemplo: el subconjunto de variablesde entrada est fo{mado por X1 , X3 y X5. As. delgrfico asociado pueden eliminarse los nodoscorrespondientes a esas variables y las lneas quelos unen con los nodos de las funciones, quedan-do el grfico:

/.~-_-.,/ ,I h \{ \\ I\ X2 /" /....... __ /

/-~--::...."/ \I I1 I\ /'..... ./

/-~-..."I h \I \

J\ X6 I\.'-_/

en el que aparecen tres pseudonodos disyuntos,indicando que la solucin de cada funcin puedehallarse de forma independiente, sin precedenciaobligatoria. Igualmente, se indica que el valor deX2 se obtiene de resolver la funcin f" el de X4 def2 y el de X6 de f3'Segundo subejemplo: el subconjunto de varia-bles de entrada est formado por X1 , X4 y X6.Luego de la eliminacin de los nodos y lneaspertinentes se obtiene este grfico:

el cual indica que las funciones del modelopueden resolverse una por una, pero en una solasecuencia. El valor de X5 se obtiene por resolu-cin def3. en seguida el deX3 def2 y, por ltimo, elde X2 de f,.

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Tercer subejemplo: el subconjunto de variablesde entrada est formado porX2,X4 yX6. Despusde eliminar los nudos y las lneas que correspon-den se llega a este grfico:

en l se observa la necesidad de una solucinsimultnea, o mediante mtodos numricos itera-tivos, para obtener el valor de Xl de la funcin f"el de X3 de f2 y el de X5 de f3'Los tres anteriores subejemplos permiten con-cluir que el grado de simplicidad, y la secuencia,para la solucin de un modelo matemticodepende sensiblemente del subconjunto de varia-bles de entrada que se elija.

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