modelos matematicos de los sistemas de variables de estado

CAPITULO III

MODELOS MATEMATICOS DE LOS

SISTEMAS VARIABLES DE ESTADO

JUAN F. DEL POZO L.

14/01/2012 1 Juan F. del Pozo L.

Las Variables de Estado de un Sistema Dinámico.

Ecuación Diferencial del Vector de Estado.

Modelos de Estado de Grafos de Flujo de Señal.

Estabilidad de los Sistemas en el Dominio del

Tiempo.

La Respuesta en el Tiempo y la Matriz de

Transición.

Análisis de Modelos con Variables de Estado

usando MATLAB.


INTRODUCCION

◦ Proporciona una manera de analizar los sistemas en el “Dominio del Tiempo”.

◦ Los sistemas físicos serán descritos por Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

◦ Utilizando un set no único de variables, conocidas como “Variables de Estado”, se puede obtener un conjunto de Ecuaciones diferenciales de Primer Orden.

◦ Se pueden incluir sistemas no lineales y variantes en el tiempo.

◦ Podemos tratar sistemas de múltiple entradas y múltiples salidas.

◦ Permite notación matricial y la aplicación de métodos computacionales para su solución y análisis.


VARIABLES DE ESTADO

◦ El estado de un sistema es un set de variables tal que su conocimiento, así como las funciones de entrada y las ecuaciones que describen su dinámica; permiten determinar su estado futuro y las salidas del sistema.

◦ Pueden haber varios conjuntos alternos de Variables de Estado.

◦ Una elección ampliamente usada, es un conjunto de Variables de Estado que puedan medirse fácilmente; es decir, que sean observables.


Sistema mecánico

◦ M Masa

◦ k Resorte

◦ b Fricción

◦ Si defino el set de variables de estado:

x1 Desplazamiento

x2 Velocidad

2

2

( ) ( )( ) ( )

d y t dy tM b ky t u t

dt dt

dt

tdytx

tytx

)()(

)()(

2

1


uM

xM

kx

M

b

dt

dx

xdt

dx

112

2

21

u

Mx

x

M

b

M

k

x

x

1010

2

1

.

2

.

1

• Por lo tanto, el sistema puede ser descrito por un set de dos ecuaciones diferenciales de primer orden:

• Usando notación matricial:


El motor de corriente continua. ◦ Las ecuaciones que describen al motor son:

1

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

f f

m a

ff f f f

m L d

L

aa a a a b

b b

t K i

T t K t i t

di tv t R i t L

dt

T t T t T t

d tT t J b t

dt

di tv t R i t L V t

dt

e t K t

d tt

dt


El motor de corriente continua. ◦ Debido al que el torque del motor es una ecuación

no lineal, al linearizarla se generan dos situaciones:

◦ Tm(t)=K1Kf.if(t).ia(t) A) Control de Campo. Corriente de campo controla el motor, la corriente de

armadura se mantiene constante.

B) Control de Armadura. Corriente de armadura controla el motor, la corriente de

campo se mantiene constante.


El motor de corriente continua. A) Control de Campo.

.

.

.

1( )( ) ( )

( ) 1( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 10

10 0

00 1 0

fff f

f f

L

L m d mf f d

f

f ff f

mff

Rdi ti t v t

dt L L

d t bt T t

dt J J

d tt

dt

T t T t T t K i t T t

R

i Li L

K bv

J J

0

dTJ


El motor de corriente continua. B) Control de Armadura.

.

.

.

1 1( )( ) ( ) ( ) ; ( ) ( )

( ) 1( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0 1 0

aaa a b b b

a a a

L

L m d ma a d

a b

a a aa

ma

Rdi ti t v t v t v t K t

dt L L L

d t bt T t

dt J J

d tt

dt

T t T t T t K i t T t

R K

i L L iK b

J J

10

10

00

a

a d

L

v TJ

14/01/2012 10 Juan F. del Pozo L.

El motor de corriente continua. ◦ Caso general Se han linearizado las ecuaciones del voltaje Contra-electromotriz y el

Torque motor

14/01/2012 Juan F. del Pozo L. 11

.

.

.

.

1 1( )( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( )

1( )( ) ( )

( ) 1( ) ( ( ) ( )) ; ( ) ( ) ( )

( )( )

aaa a b b f f b

a a a

fff f

f f

m d m ma a mf f

a

a a

f

Rdi ti t v t v t v t K i t K t

dt L L L

Rdi ti t v t

dt L L

d t bt T t T t T t K i t K i t

dt J J

d tt

dt

R K

i L

i

0 100

00 0 0 1

0 1

0 000

0 00 0 1 0

f b

a aa a

ff a

dfa f

ma mf

K

L L i LR

i vTL

L vK K b J

J J J

Ecuación Diferencial del Vector de Estados.

◦ El estado de un sistema se describe por un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden en función de las variables de estado

(x1, x2, ...xn).

◦ En notación matricial: A Matriz de Estado (nxn) B Matriz de Entrada o Control (mxn) x Vector Columna de estados de (n) elementos u Vector Columna de entrada o control de (m) elementos

◦ Muchas veces las variables de estado no son las señales deseadas de salida del sistema.

◦ Es necesario encontrar una relación lineal con las variables de estado y las señales de entrada.

◦ En forma general: C Matriz de Salida (rxn) D Matriz de Transmisión Directa (rxm) y Vector Columna de salida de (r) elementos

14/01/2012 12 Juan F. del Pozo L.

Ecuación Diferencial del Vector de Estados. En notación matricial:

14/01/2012 Juan F. del Pozo L. 13

.

.

111 12 1 1 11 12 1 1

.21 22 2 2 21 22 2 2

2

. 1 2 1 2

1

2

.. ..

.. ..

: : : : : : : : : ::

.. ..

:

n m

n m

n n nn n n n nm m

n

r

x A x B u

y C x D u

x a a a x b b b u

a a a x b b b ux

a a a x b b b ux

y c

y

y

11 12 1 1 11 12 1 1

21 22 2 2 21 22 2 2

1 2 1 2

.. ..

.. ..

: : : : : : : : : :

.. ..

n m

n m

r r rn n n n nm m

c c x d d d u

c c c x d d d u

c c c x d d d u

Ecuación Diferencial del Vector de Estados.

◦ Representación gráfica del sistema.

14/01/2012 14 Juan F. del Pozo L.

Solución de la Ecuación Diferencial del Vector de Estados.

◦ La solución de la Ecuación Diferencial del Vector de Estados puede ser obtenida de la misma manera que en el caso de la ecuación diferencial de primer orden.

◦ Si:

◦ La solución general tendrá la forma:

◦ Obteniendo la transformada de Laplace y reordenando:

.

(0) _" _ "

x A x B u

x condiciones iniciales

( )

0

( ) (0) ( )

tA t A t

x t e x e B u d

1 1( ) (0) ( )

( ) (0) ( ) ( )

X s sI A x sI A B U s

s x s B U s

14/01/2012 15 Juan F. del Pozo L.

Solución de la Ecuación Diferencial del Vector de Estados ◦ Denominemos como “Matriz de Transición o Fundamental” a

la matriz:

◦ Entonces, aplicando la transformada inversa de Laplace:

◦ Para la solución del sistema no forzado:

1( ) ( )

A tsI A s t e

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 2

: ( ) 0

( ) ( ) ( ) .. ( ) (0)

( ) ( ) ( ) .. ( ) (0)

: : : : : :

( ) ( ) ( ) .. ( ) (0)

n

n

n n n nn n

para u t

x t t t t x

x t t t t x

x t t t t x

0

( ) ( ) (0) ( ) ( )

t

x t t x t B u d

14/01/2012 16 Juan F. del Pozo L.

◦ Obtener la “Matriz de Transición o Fundamental” a partir del Gráfico de Flujo de Señal de Estado.

Tomemos el circuito RLC:

1.

2.

3.

cL

Lc L

o L

dvu C i

dt

div L R i

dt

v R i

14/01/2012 17 Juan F. del Pozo L.


Tomemos del circuito RLC:

Voltaje del Capacitor, vc : x1

Corriente del Inductor, iL: x2

Condiciones Iniciales

vc(0) = x1(0) iL(0) = x2(0)

La Ecuación de Estados es:

14/01/2012 Juan F. del Pozo L. 18

.

1 1 1

.2 2

2

110

; 01

0

3 ; 1 ; 0.5

0 2 2; ; 0 3

1 3 0

o

x x xCu v RC

x xRx

L L

R L C

A B C


La Ecuación de Estados es:

Obteniendo el Gráfico de Flujo de Señal de Estado correspondiente:

14/01/2012 Juan F. del Pozo L. 19

.

1 1 1 1

2 2 2 2

( ) (0) ( ) ( )

( ) [ ][ (0)] ( ) ( )

110

( ) (0) ( ) ( )1 0( ) ; ( ) 0

( ) (0) ( ) ( )0 1 10

L

o

x A x B u sX s x A X s B U s

sX s I x A X s B U s

sX s x X s X sCU s V s RC

sX s x X s X sR

L L

◦ Obtener la “Matriz de Transición o Fundamental” a partir del Gráfico de Flujo de Señal de Estado. Del circuito RLC tomamos:

Cada elemento de la Matriz de Transición se puede evaluar de:

Aplicando Mason en el Gráfico de Flujo de Señal de Estado tenemos:

Los elementos de la Matriz de Transición:

11 12

21 22

( ) ( )( ) 0 ; ( ) ( ) (0) ; ( )

( ) ( )

s su t X s s x s

s s

( ) 0

1

0

( ) ( ) 1( ) _ :

(0) (0)

U s

i i nij ij ijk ijkk

j jk jx

X s X ss Segun Mason T P

x x

( ) 0

2

11 12 21 2211 12 21 222 2

0

( ) 3 2( ) ( ) 1

( )

1 3 2 1 1( ) 1 ; ( ) ; ( ) ; ( )

U sijij

ij

k jx

P ss s

s s s

P s P s P s P ss s s s s

11 122 2

21 222 2

3 2( ) ; ( )

3 2 3 2

1( ) ; ( )

3 2 3 2

ss s

s s s s

ss s

s s s s

14/01/2012 20 Juan F. del Pozo L.

Solución de la Ecuación Diferencial del Vector de Estados (continuación). ◦ A) Solución de la “Matriz de Transición o Fundamental” utilizando

MATLAB, en el dominio de la variable compleja “s”.

Usar las funciones: inv(A) sym:

Ejemplo (continuación):

14/01/2012 21 Juan F. del Pozo L.

Ao =

[ s, 2]

[ -1, s+3]

Phi =

[ (s+3)/(s^2+3*s+2), -2/(s^2+3*s+2)]

[ 1/(s^2+3*s+2), s/(s^2+3*s+2)]

Solución de la Ecuación Diferencial del Vector de Estados (continuación).

◦ A) Solución de la “Matriz de Transición o Fundamental” utilizando MATLAB, en

el dominio de la variable compleja “s”.

Usar las funciones: inv(A) sym:

14/01/2012 22 Juan F. del Pozo L.

A =

[ 0, -1/C]

[ 1/L, -R/L]

B =

[ 1/C]

[ 0]

C =

[ 0, R]

D =

[0]

Ao =

[ s, 1/C]

[ -1/L, s+R/L]

Phi =

[ (s*L+R)*C/(s^2*C*L+s*C*R+1), -1/(s^2*C*L+s*C*R+1)*L]

[ 1/(s^2*C*L+s*C*R+1)*C, s/(s^2*C*L+s*C*R+1)*C*L]


◦ B) Solución de la “Matriz de Transición o Fundamental” utilizando

MATLAB, en el dominio del tiempo .

Usar las funciones: expm(A) syms:


14/01/2012 23 Juan F. del Pozo L.

Phi =

[ -exp(-2*t)+2*exp(-t), -2*exp(-t)+2*exp(-2*t)]

[ exp(-t)-exp(-2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t)]


◦ C) Cálculo de la respuesta en

el tiempo para condiciones iniciales diferentes de cero y sin señal de entrada, utilizando MATLAB.

Usar las funciones: ss(A,B,C,D),

lsim,

plot:


14/01/2012 24 Juan F. del Pozo L.

Modelo de Gráficos de Flujo de Señal de Estado.

◦ El Gráfico de Flujo de Señal de un sistema nos proporciona una alternativa para relacionar su Función de Transferencia con un set de Variables de Estado.

◦ En forma general, la Función de Transferencia de un sistema, para nm :

◦ Comparando esta expresión con la fórmula de Mason: Caso especial cuando todos los lazos de realimentación se tocan y los

Trayectos Directos tocan los lazos.

11 1 0

11 1 0

( ) ...( ) ;

( ) ...

m mm

n nn

Y s s b s b s bG s m n

U s s a s a s a

nnn

nnmnm

mn

sasasa

sbsbsbssG

0)1(

11

1

0)1(

1)1(

1)(

...1

...)(

_ _ _( )

1 1

k kk

qq

P Factores de Trayectos DirectosG s

L Factores_de_Realimentación

14/01/2012 25 Juan F. del Pozo L.

Modelo de Gráficos de Flujo de Señal de Estado. ◦ Consideremos el caso de un sistema representado por una función de

transferencia de cuarto orden:

◦ “Modelo de Variable de Fase” o “Modelo Canónico controlable”:

◦ En la figura se muestran las Variables de Estado que son la salida de cada

elemento almacenador de energía; es decir los integradores:

x1, x2, x3, x4

3 23 2 1 0

4 3 23 2 1 0

1 2 3 43 2 1 0

1 2 3 43 2 1 0

( )( )

( )

( )1

Y s b s b s b s bG s

U s s a s a s a s a

b s b s b s b sG s

a s a s a s a s

14/01/2012 26 Juan F. del Pozo L.


◦ Introduciendo nuevos nodos en el gráfico con el fin de identificar las derivadas de las variables de estado:

43322110

433221104

.

43

.

32

.

21

.

)(

)(

xbxbxbxbty

tuxaxaxaxax

xx

xx

xx

14/01/2012 27 Juan F. del Pozo L.

Modelo de Gráficos de Flujo de Señal de Estado. ◦ Entonces, en forma matricial, tenemos su representación en la

denominada “Forma Canónica de Variable de Fase” o “Forma Canónica Controlable” :

◦ Para la salida:

.

11

.. 2 2

.3

3

0 1 2 3 4.

4

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0( )

0 0 0 1 0

1

xx

x xx A x B u u t

xx

a a a a x

x

1

2

0 1 2 3

3

4

( )

x

xy C x y t b b b b

x

x

14/01/2012 28

Juan F. del Pozo L.


◦ La estructura del Gráfico de Flujo de Señal no es la única estructura posible, a continuación tenemos la siguiente alternativa:

◦ “Forma Canónica de Entrada de Prealimentación” o “Forma Canónica Observable” :

1

0104

.

14113

.

23122

.

32131

.

)( xty

ubxax

ubxxax

ubxxax

ubxxax

14/01/2012 29 Juan F. del Pozo L.

Modelo de Gráficos de Flujo de Señal de Estado. ◦ Entonces, en forma matricial, tenemos su representación en la

denominada ” Forma Canónica de Entrada de Prealimentación” o “Forma Canónica Observable” :

◦ Para la salida, corresponde a la primer variable de estado:

14/01/2012 Juan F. del Pozo L. 30

.

13 1 3

.. 2 2 2 2

.1 3 1

3

0 4 0.

4

1 0 0

0 1 0( )

0 0 1

0 0 0

xa x b

x a x bx A x B u u t

a x bx

a x b

x

1

2

3

4

( ) 1 0 0 0

x

xy C x y t

x

x


◦ Muchas veces se desea una estructura del Gráfico de Flujo de Señal que nos permita visualizar en forma directa como Variables de Estado las variables físicas reales del sistema; por ejemplo, en el caso de un motor de corriente continua controlado por campo:

Y(s) = x1 Velocidad

I(s) = x2 Corriente de Campo

U(s) Voltaje de Campo

Gráfico de Flujo de Señal de cada bloque.

.

1 1 2

.

2 2

.

3 3 3

1

3 6

2

5 ; 5 5

( )

x x x

x x u

x x r u x r

y t x

14/01/2012 31 Juan F. del Pozo L.

◦ Muchas veces se desea una estructura del Gráfico de Flujo de Señal que nos permita visualizar en forma directa como Variables de Estado las variables físicas reales del sistema; por ejemplo, en el caso de un motor de corriente continua controlado por campo:

Y(s) = x1 Velocidad

I(s) = x2 Corriente de Campo

U(s) = 5R(s) -5x3 Voltaje de Campo

Gráfico de Flujo de Señal de Estado Físico.

14/01/2012 Juan F. del Pozo L. 32

.

1 1 2

.

2 2 3

.

3 3

1

3 6

2 5 5

5

( )

x x x

x x x r

x x r

y t x


◦ Gráfico de Flujo de Señal de Estado Físico, continuación.

A partir de la Función de Transferencia:

En forma matricial.

325

130

)(

)()(

sss

s

sR

sYsG

.

11 1

.

2 2 2

.3 3

3

3 6 0 0

0 2 5 5 ( ) ; ( ) 1 0 0

0 0 5 1

xx x

x x r t y t x

x xx

14/01/2012 33 Juan F. del Pozo L.


◦ Gráfico de Flujo de Señal de Estado, continuación. Si representamos la Función de Transferencia mediante su Expansión en

Fracciones Parciales:

En forma matricial resulta la Forma Diagonal o Canónica, también conocida como ”Forma Canónica de Jordan”.

(Nota: las Variables de Estado no son las mismas que en el caso anterior):

El Gráfico de Flujo de Señal

de Estado Desacoplado:

3

30

2

10

5

20

)(

)()(

ssssR

sYsG

.

11 1

.

2 2 2

.3 3

3

5 0 0 1

0 2 0 1 ( ) ; ( ) 20 10 30

0 0 3 1

xx x

x x r t y t x

x xx

14/01/2012 34 Juan F. del Pozo L.

OBTENCION DE LA FUNCION DE TRANFERENCIA A PARTIR DE LA ECUACION DE ESTADOS.

◦ Trataremos el caso de la obtención de la Función de Transferencia de un

sistema con una sola señal de salida y una señal de entrada (SISO).

◦ En forma general, la Ecuación de Estados para un sistema SISO:

◦ Obteniendo la Transformada de Laplace de la Ecuación de Estados:

◦ Manipulando algebraicamente las ecuaciones:

◦ De donde finalmente obtenemos la Función de Transferencia.

( ) ( ) ( ) ; ( ) ( )d

x t A x t B u t y t C x tdt

( ) ( ) ( ) ; ( ) ( )s X s A X s B U s Y s C X s

1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sI A X s B U s

BX s U s sI A B U s B U s

sI A

( )

( ) ( ) ( )( )

Y sY s C B U s G s C B

U s

14/01/2012 35 Juan F. del Pozo L.

OBTENCION DE LA FUNCION DE TRANFERENCIA A PARTIR DE LA ECUACION DE ESTADOS. ◦ EJEMPLO

◦ Obtención de la Función de Transferencia de un sistema RLC mostrado en la siguiente figura:

x1 Voltaje del Capacitor : vc

x2 Corriente del Inductor: iL

x1(0) = vc(0) x2(0) = iL(0)

◦ La Ecuación de Estados para el sistema SISO, es:

◦ De acuerdo con el procedimiento, debemos evaluar [sI-A] y su inversa:

.

1 1 1

.2 2

2

110

; 01

0

x x xCu y RC

x xRx

L L

1

1 1

1; ( ) ; ( )

1 1( ) ( )

TR

s sAdj sI AC L C

sI A s sI A sR s s

s sL L L

14/01/2012 36 Juan F. del Pozo L.

OBTENCION DE LA FUNCION DE TRANFERENCIA A PARTIR DE LA ECUACION DE ESTADOS.

◦ EJEMPLO (continuación)

◦ De donde finalmente obtenemos la Función de Transferencia.

2

2

11

1( ) 0

1( )0

1( )

( )( )

1( )

Rs

L CG s R C

ss

L

Rs s s

L LC

RY s LCG s

RU ss s

L LC

14/01/2012 37 Juan F. del Pozo L.

Análisis de los Modelos de Variables de Estado usando MATLAB ◦ Caso A) ◦ A partir de un sistema

representado por su Función de Transferencia, obtener su Modelo de Estado.

◦ Utilizar la función: ss(A,B,C,D)

14/01/2012 38 Juan F. del Pozo L.

• Análisis de los Modelos de Variables de Estado usando MATLAB

• Caso B)

• A partir de un sistema representado por su Modelo de Estado, obtener su Función de Transferencia.

• Utilizar la función:

• tf(sys)

14/01/2012 39 Juan F. del Pozo L.

14/01/2012 Juan F. del Pozo L. 40

• Análisis de los Modelos de Variables de Estado usando MATLAB • Caso C)

• Conversión entre diferentes modelos canónicos de Variables de Estado.

• Utilizar las funciones:

• ssdata(sys)

• ss2tf(sys)

• canon(sys,type)

a =

x1 x2 x3

x1 0 0 -6

x2 1 0 -16

x3 0 1 -8

b =

u1

x1 1

x2 0

x3 0

c =

x1 x2 x3

y1 2 -8 38

d =

u1

y1 0

a =

x1 x2 x3

x1 0 1 0

x2 0 0 1

x3 -6 -16 -8

b =

u1

x1 2

x2 -8

x3 38

c =

x1 x2 x3

y1 1 0 0

d =

u1

y1 0

a =

x1 x2 x3

x1 -5.086 0 0

x2 0 -2.428 0

x3 0 0 -0.4859

b =

u1

x1 5.422

x2 4.666

x3 0.9969

c =

x1 x2 x3

y1 0.2571 0.06781 0.2903

d =

u1

y1 0

Estabilidad de los Sistemas Modelados según las Variables de Estado.

◦ La prueba de estabilidad debe ser realizada en la Ecuación Característica del sistema.

◦ Para el caso de los sistemas modelados según las variables de estado, tenemos:

La Ecuación Diferencial Vectorial Homogénea corresponde:

De la misma manera que para las ecuaciones diferenciales, la solución corresponde a una expresión exponencial que al adaptarla a la representación matricial quedaría:

La solución de este conjunto de ecuaciones no es trivial si y solamente si su determinante es cero.

La ecuación resultante en función de l corresponde a la Ecuación Característica.

)()(.

txAtx

: ( )

( ) ; ( ) ( ) ; ( ) 0

t

t t

Si x t k e

x t e A k e x t A x t I A x t

l

l ll l l

0det AIl

14/01/2012 41 Juan F. del Pozo L.

Ejemplo

◦ Se observó la importancia que tiene el conocer las raíces de la Ecuación Característica y su desempeño en el comportamiento dinámico del sistema. Determinación de los polos del “det(lI-A)=0” utilizando

MATLAB. Uso de la función:

eig(A)

14/01/2012 42 Juan F. del Pozo L.

Ejemplo

◦ Se observó la importancia que tiene el conocer las raíces de la Ecuación Característica y su desempeño en el comportamiento dinámico del sistema. Determinación de los polos del “det(lI-A)=0” utilizando MATLAB. Uso de la función:

poly(A)

roots(p)

14/01/2012 43 Juan F. del Pozo L.

modelos matematicos de los sistemas de variables de estado

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