modelar utilizando funciones afín o lineal
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Depto. de Matemática
Prof. Cecilia B. Ávila Rodríguez
8° Básico -2020
Semana #20 y 21 Modelar utilizando Funciones Afín o Lineal
Habilidades: Resolución de problemas, argumentar y comunicar, modelar y representar.
Eje: Álgebra y funciones.
Nivel 1 de PRIORIZACION CURRICULAR – Matemática 8° Básico
OA10: Mostrar que comprenden la función afín:
Generalizándola como la suma de una constante con una función lineal.
Trasladando funciones lineales en el plano cartesiano.
Determinando el cambio constante de un intervalo a otro, de manera gráfica y simbólica, de
manera manual y/o software educativo.
Relacionándola con el interés simple.
Utilizándola para resolver problemas de la vida diaria y de otras asignaturas.
Objetivo: Modelar situaciones usando las funciones afín y lineal.
¿Cómo modelar situaciones usando
las funciones afín o lineal?
La siguiente tabla contiene algunos datos de la variación del volumen de un
gas al aumentar su temperatura, manteniendo su presión constante.
8° Básico
Lunes, 24 de agosto Viernes, 04 de septiembre
¿Para qué aprender esto?
Se puede hacer uso de las funciones afín
o lineal para comprender fenómenos
como el comportamiento de un gas al ser
calentado; o sociales, como el cálculo del
interés simple.
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SITUACION #1: Usando datos de una tabla.
¿Qué expresión permite modelar los datos de la tabla?
PASO #1: Grafica en forma aproximada los
puntos. Considera la temperatura
T como variable independiente y
el volumen V como variable
dependiente.
A(0, 20) B(50; 23,7)
C(100; 27,4) D(150; 31,1)
PASO #2: Verifica si es posible trazar una recta que pase por los cuatro puntos.
PASO #3: Determina la expresión que define la función afín que modela los puntos
graficados.
¿Esta recta
representa a una
función lineal o
afín?
¿Cómo lo sabes?
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SITUACION #2: Usando información conocida.
Si un banco ofrece un plan con una tasa de interés anual simple del 2% y a principios del año
se invierten $ 200 000, ¿qué función modela la variación en el tiempo del capital invertido?
Para responder, primero reconocemos que la cantidad de años transcurridos n es la variable
independiente y el capital C es la variable dependiente.
PASO #1: Calcula el capital existente al finalizar el primer y el segundo año.
¿Obtendrías el mismo
valor para la pendiente
si ocupas otros pares
de valores de la tabla?
Comprueba tu respuesta
usando los puntos C y
D.
Aproximadamente, ¿en
qué punto corta la recta al
eje X? ¿Cómo puedes
saberlo?
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PASO #2: Grafica en el plano cartesiano los valores calculados en el paso anterior e intenta
trazar una recta que pase por los tres puntos definidos, A, B y C.
PASO #3: Determina la expresión que define la función afín que modela los puntos
graficados.
¿Cuál es el valor de C(1) – C(0)? ¿Y de C(2) –
C(1)? Para un año n cualquiera, ¿cuál es el valor
de C(n + 1) – C(n)?
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¿Cómo usarías los modelos deducidos en esta lección para predecir
resultados? Explica tus conclusiones. Adicionalmente, responde:
• ¿Qué volumen tendría, aproximadamente, el gas de la situación 1 si se
encuentra a 75 °C?
• ¿Tras cuántos años el capital de la situación 2 alcanzará los $ 272 000?
1. Identifica si cada ecuación corresponde a la de una recta que representa una función lineal o
una función afín. Además, indica su pendiente y coeficiente de posición.
Si necesitas espacio adicional para
responder, recuerda puedes anexar
a la guía las hojas que necesites;
solo recuerda ser ordenado. Pues
todas las actividades realizadas,
serán evaluadas.
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2. Determina la expresión que representa a la recta que contiene cada par de puntos.
3. Grafica las funciones en un mismo plano cartesiano.
4. Para medir la deformación que experimenta un resorte, un estudiante
fijó bloques de diferentes masas en su extremo libre, como muestra la
figura.
Luego, registró los valores en una tabla:
•• Con los datos representados, ¿es posible modelar una función lineal
o una afín?, ¿por qué?
•• ¿Qué expresión define la función que relaciona ambas variables?
5. Define las dos variables involucradas en cada situación y la función afín o lineal que las
relaciona.
Ejemplo: El sueldo que recibe un trabajador está determinado por un sueldo fijo de
$ 400 000 al mes y de $ 3000 por cada hora extra que trabaja.
a. Una fábrica de camisas tiene un costo total de producción que incluye los gastos fijos
equivalentes a $ 350 000, más $ 2000 por cada camisa que se produce.
b. Adela paga mensualmente $ 280 000 a una empresa inmobiliaria por el dividendo del
departamento que se compró.
c. Un plan de telefonía celular impone un cargo fijo mensual de $ 5000 más un cobro de $ 30
por minuto hablado.
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6. Elabora una tabla de valores para cada situación y responde.
Ejemplo: La expresión que representa las ventas diarias de una empresa durante el mes de marzo
está dada por: V(x + 1) – V(x) = 3, donde V es la cantidad de artículos vendidos y x el número de
día del mes.
Si el 1 de marzo se venden 18 artículos, ¿cuántos artículos se venderán el día 6 de ese mismo mes?
a. Para una cierta variedad de árbol, la ecuación que modela el crecimiento del anillo central de
su tronco está dada por: C(x + 1) – C(x) = 4, donde C representa el crecimiento del diámetro
(en mm) y x el tiempo (en años). Si el primer año el árbol tiene un anillo central de 20 mm,
¿cuál será su diámetro luego de 8 años?
b. Un deportista realiza abdominales de acuerdo a la expresión A(x + 1) – A(x) = 60, donde A
representa la cantidad de abdominales que realiza diariamente y x el día considerado desde
el inicio de las sesiones. Si el primer día comenzó realizando 30 abdominales, ¿cuántos hará
el quinto día?
7. Modela cada situación mediante una ecuación de la forma f(t + 1) – f(t) = c e indica la
condición inicial.
Ejemplo: La dosis de medicamento que debe tomar una persona el primer día es de 90 mg y luego
debe ir disminuyendo la dosis en 4 mg diarios.
a. El primer día de febrero, la cantidad de turistas en un hotel fue de 200 y cada día disminuyó
en 4 personas.
b. El precio del arriendo de una cabaña por dos días es de $ 100 000.
c. En una fábrica de zapatos, el primer día del mes se elaboran 150 pares y cada día aumenta la
producción en 3 pares.
d. Un automóvil cuesta $ 3 800 000 y reduce su valor en $ 120 000 por cada año de uso.
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8. Resuelve los problemas.
a. Una cuenta de electricidad incluye un cobro fijo de $ 2000 más $ 88 por cada kilowatt
consumido.
•• Determina la función que representa el costo final de la cuenta.
•• Determina la cantidad de kilowatts que se pueden consumir en un mes, si se destinan $ 12 560 a
electricidad.
b. Por arrendar un automóvil, una empresa cobra una cuota fija de $ 40 000 más $ 500 por
cada kilómetro recorrido.
•• Determina la función que representa el costo de arrendar un automóvil, según el número de
kilómetros recorridos.
•• Otra empresa de arriendo cobra $ 1600 por kilómetro recorrido en el automóvil, sin cuota fija.
•• ¿Cuántos kilómetros se deben recorrer, como máximo, para que el costo final en la segunda
empresa sea menor que en la primera?
c. Una planta crece un cierto tramo en su primer año y luego va creciendo en tramos de
longitud constante, dejando marcas en el tronco. Al final del séptimo año, la planta medía 21
cm; y al final del octavo, su altura era de 23,5 cm.
•• Determina la función que relaciona la altura de la planta y la cantidad de años transcurridos desde
el primero.
•• ¿Al cabo de cuantos años desde el primero la planta medirá 33 cm?
d. Un estanque de agua completamente lleno comienza a vaciarse a un ritmo constante.
Tras 13 minutos de iniciado el vaciado queda la mitad de agua y luego de 25 minutos, solo quedan 7
litros.
•• ¿Cuántos litros por minuto pierde el estanque?
•• ¿Cuál es su capacidad total?
•• Considera la función que relaciona la cantidad de minutos transcurridos con la cantidad de agua
que queda en el estanque.
¿Cuál es la pendiente de la recta que la representa?
¿Es creciente o decreciente?, ¿por qué? Justifica tu respuesta.
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9. Conecto con la Química. De la ley de Charles, establecida por el científico francés Jacques
Charles a finales del siglo XVIII, se puede deducir que la relación entre el volumen V
(medido en mililitros) y la temperatura T (medida en grados Celsius) de un gas de baja
densidad puede ser modelada aproximadamente con una función afín. Considera que para un
gas dado esta función es:
Determina el valor de temperatura para la que el volumen es 0. Averigua en internet o en algún
texto científico qué significado tiene este valor en la teoría de los gases.
Recuerda siempre…
Si tienes dudas, puedes consultar a la
educadora diferencial: Sofía Cachaña
(aunque no pertenezcas al PIE) o a mí,
escribiéndonos al WhatsApp o al email
No temas en hacer tus consultas, a
cualquiera de las dos.