mmviiim1c01-4-ejercicios de analisis de datos

2014

MMVIIIM1C01:FiabilidadCaptulo:AnlisisdeDatos

Ejercicios

BlasGalvnGonzlez*,AndrsCarrinGarca**,NievesMartnezAlzamora**

*ComputacinEvolutivayAplicacionesNumricasenIngeniera(CEANI)UniversidaddeLasPalmasdeGranCanaria,Espaa

**DepartamentoEstadsticaeInvestigacinOperativaAplicadasyCalidadUniversidadPolitcnicadeValencia,Espaa

U L P G C S I A N I C E A N I

CURSO: MAESTRAENINGENIERADECONFIABILIDADYRIESGOVIIIEDICIN

MDULO: 1.IngenieradeFiabilidadASIGNATURA: FiabilidadCaptulo AnlisisdeDatos,EjerciciosPROFESOR: BlasGalvnGonzlez,AndrsCarrinGarca,NievesMartnezAlzamora

Pg.2de18

NDICE1. Ejercicio1........................................................................................................................................................32. Ejercicio2........................................................................................................................................................43. Ejercicio3........................................................................................................................................................44. Ejercicio4........................................................................................................................................................65. Ejercicio5........................................................................................................................................................76. Ejercicio6........................................................................................................................................................77. Ejercicio7........................................................................................................................................................88. Ejercicio8......................................................................................................................................................109. Ejercicio9......................................................................................................................................................1310. Ejercicio10....................................................................................................................................................1411. Ejercicio11....................................................................................................................................................1612. Soluciones:....................................................................................................................................................171.1. Ejercicio2............................................................................................................................................171.2. Ejercicio4............................................................................................................................................171.3. Ejercicio5............................................................................................................................................171.4. Ejercicio6............................................................................................................................................181.5. Ejercicio11..........................................................................................................................................18



Pg.3de18

1. EJERCICIO1Sequiereestudiarelmomentoenqueelsistemapuedahaberfalladoconunaprobabilidaddel80%,partiendodequeseharealizadounestudiodelmodelodefallosyrespondeaunadistribucinWeibull,conlossiguientesparmetros:

1,5500

Lasunidadesestnexpresadasenmilesdehoras.Definir la probabilidad de que falle en ese instante, tanto de manera genrica como de que falle acontinuacin,sinohafalladopreviamente.Resolucin:Paraestudiarelmomentoenquehayunaprobabilidaddel80%dequeelsistemahayafalladoya,seacudiralafuncindedistribucin:

1,5

50( ) 1 1t t

F t e e

Solucionando 0,8( ) 0,8F t :

1,50,8

1,50,8

50

50

1,50,8

10,8 1,5

11,5

0,8

1 0,8

0,2

ln(0,2)50

[ ln(0,2)]50

50[ ln(0,2)] 68,668

t

t

e

e

t

t

t

Elinstantebuscadoesalos68,67milesdehoras.Grficamente,seapreciaqueestevalortienesentido:Para este instante, la probabilidad de fallo, considerando el cmputo global de fallos, es de 0,00703141,indicadopor lafuncindedensidad.Laprobabilidaddefalloacontinuacindeese instante,suponiendoquenohayafalladopreviamente,esde0,03515707,segnlafuncinderiesgo.Estosvaloressepuedenapreciarensusrepresentacionesgrficas.



Pg.4de18

2. EJERCICIO2Trashaberhechounestudiodelfallodelasbombasdelsistemaenfuncindelnmerodeciclos,sehallegadoalaconclusindequestosserelacionanbajounadistribucinexponencial,conlossiguientesparmetros:

0,000750

Lasunidadesempleadassonlosmilesdeciclos.Uno de los objetivos de este estudio es la previsin de tener equipo de apoyo extra, por cualquierinconvenientequepuedaocasionarnodisponerdesuficientesbombasenunmomentodedemanda.Porello,sehatomadoladecisindeque,cuandoelejehayarealizadounnmerodeciclostalque,lasprobabilidadesdenohaberfalladoyaseandel30%,semandeapedirunanuevabomba.Comocomparativaaestevalor,sepideelestudiodelamediadenmerodecicloshastaelfallo,conintencindeversiesmsrestrictivoalnmerodeciclosasociadoalporcentajeplanteado.3. EJERCICIO3Losimpedimentosdelsistemaporrazonesdeindisponibilidad(mantenimientopreventivo,fallosdelsistemaoproblemasparapodermantenerelequipoen funcionamiento)hancomplicado laproduccinde lasltimassemanas,queslohaproducidoel96%deloslotesproyectados,240lotesde250.

00,20,40,60,81

1,2

0 50 100 150

Funcind

edistribucinF

(t)

Tiempohastaelfallo

DistribucinF(t)

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0 50 100 150

Funcind

eriesgo

(t)

Tiempohastaelfallo

Riesgo(t)

00,0020,0040,0060,0080,010,0120,0140,016

0 50 100 150

Funcind

eden

sida

df(t)

Tiempohastaelfallo

Densidadf(t)



Pg.5de18

Suponiendoque la tendenciadel sistema sigaen lamisma lnea sehaprevistobuscar la realizacinde150lotes,conintencindeasegurarqueseproduzcancomomnimo142lotes.Sepretendeevaluarelporcentajedequeelobjetivoseconsiga,empleandoladistribucinbinomial.Resolucin:Paraesteproblema,sevanabuscarn=150lotes.Conunaprobabilidaddequeseproduzcandep=0,96,sevaaprocederaaplicarlasiguienteecuacin:

150150( ) (1 ) 0,96 0,04r n r r rn

P r p pr r

Comoelestudiopidequesebusquencomomnimo142 lotes,hayquecontemplartambin lasposibilidadesdequeseobtengantambinmsde142lotes.Despus,habraquesumarlasposibilidades,decaraaobtenerelresultadodeseado.Parar=142lotes:

142 8150(142) 0,96 0,04 0,10465271142

P

EnlasiguientetablasemuestraunresumendetodaslasprobabilidadesAciertos(r) ProbabilidadP(r)

142 0,10465271143 0,14051272144 0,16393151145 0,16280095146 0,133809147 0,08738547148 0,04251185149 0,01369509150 0,00219121

Porltimo,laprobabilidaddequeseobtengan142omsloteses:150

150142

142 142 142

150( ) (1 ) 0,96 0,04

n nr n r r r

r r r

nP P r p p

r r

142 0,85149052P

Comoconclusin,hayun85%deposibilidadesdequeserealicenlos142lotesobjetivo,aunquesisequieresermsprevisoransedeberabuscarcomoobjetivo2o3lotesms,porasegurarelobjetivo.Comoilustracinvisual,seaadeunagrficadelasprobabilidadessegnelnmerodelotesrealizados.



Pg.6de18

4. EJERCICIO4Enelsistemaseproduceunfallocada48horas.EnbasealadistribucindePoisson,evalelaprobabilidaddequeenelperiododeunasemananoseproduzcafalloalguno.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

125 130 135 140 145 150 155

Prob

abilida

dP(r)

Nmerodeaciertos

P(r)



Pg.7de18

5. EJERCICIO5RealizarunhistogramaconlosdatosdetiempohastaelfallodelasbaterasdeemergenciadelsubsistemadealimentacindeterminalterrestredecomunicacionesSATCOM.Paraellosedisponendelossiguientespartesdemantenimientorelativosaesteactivo.

Tiempohastaelfallo(h)399 15026984 162611587 175772208 189862849 205023511 221424196 239294906 258925641 280686404 305107198 332928025 365258887 403839788 4516810732 5146911722 6072212764 7846813863

6. EJERCICIO6Obtenerelmodelodeladistribucinexponencial,delfalloporfatigadelosrodamientosdelgrupodebombeoformado por lamotobomba de trasiegode una estacin de separacin de aceite estabilizada,mediante laaproximacindeBnard.

Tiempohastaelfallo10126 20915222342 22708136569 29059956933 29945677157 36262083338 38167599509 417454114932 442918155898 496910180704 669799195715 689393



Pg.8de18

7. EJERCICIO7Sedeseamodelarlosdatos,atravsdeunadistribucinWeibull2Pyempleandoelnmerodeorden,hastaelfallodelfiltroTxdeunterminalSATCOM,debidoaqueestetipodefalloesdifcildedetectar,algunosdelosdatos estn censurados, yaque se sospechaque en esemomentodebehaberocurridoun falloporque lapotenciadetransmisinseredujoconsiderablementeperonosetienelaconfirmacinporpartedelequipodemantenimiento.

Tiempohastaelfallo(h)233* 330437 306868* 365*541 84960 573791* 150715 1244

Losdatoscon*indicanquetienencensuraaladerecha.Resolucin:Elprimerpasopara la resolucindeesteejercicioesordenar losdatosdemanera creciente, conel findedeterminarelnmerodesupervivientesqueexistenenlamuestracuandoseproducecadafallo.

84 541150 573233* 715306 791*330 868*365* 960437 1244

Acontinuacinseaplicaelmtodoescogido,nmerodeorden.Se recuerdaque la frmulaaempleares lasiguiente:

11

11

ii i

i

n MOMO MOS

Paralaprimeraposicinsetieneentonces:

01 01

14 1 14 1 00 11 1 14

MOMO MOS

0,3( )

0, 4iMOF t

n



Pg.9de18

1 0,3 0,048614 0,4i

F Tiemposdefinitivos Nsupervivientes Moi F(t)

84 14 1,000 0,0486150 13 2,000 0,1181233*306 11 3,083 0,1890330 10 4,167 0,2685365*437 8 5,3704 0,3521541 7 6,5741 0,4357573 6 7,7778 0,5193715 5 8,9815 0,6029791*868*960 2 10,988 0,74221244 1 12,994 0,8815

Laltimaetapa consisteen la representacindelmodelo linealizadode la funcinWeibull2P,paraello seemplealaexpresinsiguiente:

1

1Ln Ln Ln t Ln

F t

Dondeeltrminoalaizquierdaseidentificacony,yLn(t)conx.

LN(LN(1/(1F))) LN(t)2,99909043 4,43081682,07444434 5,01063529

1,53810677 5,72358511,16256418 5,79909265

0,83463497 6,07993320,55832171 6,293419280,31130374 6,350885720,07956452 6,57228254

0,3042178 6,866933280,75751793 7,12608727

Lagrficaresultantedeestemodelo lineales lasiguiente,ademssedestacan losparmetroscaractersticosdeladistribucinWeibull,siendo=1,368y:



Pg.10de18

9,0921,368 770e

8. EJERCICIO8EmpleandoelestimadornoparamtricodeKaplanMeiersgraficarlafiabilidadysusintervalosdeconfianzaal95% de los siguientes tiempos hasta el fallo delmotor elctrico de impulsin del grupo demotobombasencargadasdeltrasiegodeaceiteestabilizadoenunaplantadeseparacindeste.

Tiempohastaelfallo(h)735 141011844 179722975 185334070 200905150 260656626 301878258 357579632 4423711480 5272813073 73524

Resolucin:Comoentodoslosmtodosnoparamtricosloprimeroquesehaderealizarescolocarlosdatosdisponibledeforma creciente, en este caso ya estn ordenados. Por lo que se puede aplicar directamente la expresinrelativaaestemtodo:

y=1,368x 9,0922R=0,9886

3,53

2,52

1,51

0,50

0,5

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Ln(Ln(1/(1

F(t))))

Ln(t)

Lineal(Datos)



Pg.11de18

11

1

22 1

2

1 20 1 0,9520

1 19 10,95 0,9019

sS

ss

S Ss

Tiemposdefinitivos si Si735 20 0,951844 19 0,902975 18 0,854070 17 0,805150 16 0,756626 15 0,708258 14 0,659632 13 0,6011480 12 0,5513073 11 0,5014101 10 0,4517972 9 0,4018533 8 0,3520090 7 0,3026065 6 0,2530187 5 0,2035757 4 0,1544237 3 0,1052728 2 0,0573524 1 0,00

AhorahayqueaplicaralecuacindeGreenwooden lacualhayquetenerencuentaque,dieselnmerodeequiposquehanfalladoynielnmerodesupervivientesenelinstantei:

2i

ii i

i i it t

dVar S Sn n d

Paralasprimerasposicionessetieneentonces:

12 21 1

1 1 1

1 222 2

1 1 1 2 2 2

1 0,95 0,002420 20 1

1 1 0,90 0,004520 20 1 19 19 1

dVar S Sn n d

d dVar S Sn n d n n d

ParacalcularlosintervalosdeconfianzahayqueprimerodeterminarelvalordeZ,queparaestecasode95%,trasconsultarlatabladevaloresnormalizadosparaunadistribucinnormaltipificada,es1,96.Clculodelosintervalosdeconfianza:



Pg.12de18

1 1 1

1 1

1,96 0,95 1,96 0,0024 0,8545

1,96 0,95 1,96 0,0024 1,0455 1,00i

IC S Var S

IC S Var S

Losvaloresdelosintervalosdeconfianzaquedenvaloresporencimade1ypordebajode0,sefijarna1y0respectivamente.

Tiemposdefinitivos Var(S) IC IC+ Tiemposdefinitivos Var(S) IC IC+735 0,0024 0,8545 1,0000 14101 0,0124 0,2320 0,66801844 0,0045 0,7685 1,0000 17972 0,0120 0,1853 0,61472975 0,0064 0,6935 1,0000 18533 0,0114 0,1410 0,55904070 0,0080 0,6247 0,9753 20090 0,0105 0,0992 0,50085150 0,0094 0,5602 0,9398 26065 0,0094 0,0602 0,43986626 0,0105 0,4992 0,9008 30187 0,0080 0,0247 0,37538258 0,0114 0,4410 0,8590 35757 0,0064 0,0000 0,30659632 0,0120 0,3853 0,8147 44237 0,0045 0,0000 0,231511480 0,0124 0,3320 0,7680 52728 0,0024 0,0000 0,145513073 0,0125 0,2809 0,7191

Porltimoseprocedeagraficarlosdatosdelafiabilidadysusintervalosdeconfianza.

0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000

Supe

rviven

cia/Fiab

ilida

d

Tiempo(h)

Fiabilidad

IntervaloInferiorIntervaloSuperior



Pg.13de18

9. EJERCICIO9SequiereextraerunmodeloWeibull2Pde los siguientes tiemposde reparacin,para la sustitucinde losrodamientos enclavados de una motobomba de trasiego de aceite estabilizado. Emplese el mtodo demximaverosimilitud.

Tiempohastaelfallo(h)121 403182 459235 468288 490286 579331 613356 714

Resolucin:HaciendousodelaherramientaExcelfacilitada,enelcurso,seintroducenlosdatosenlahojacorrespondienteWeibull2P(MLE)ysecalculanlosparmetrosdeformayescaladelamisma:



Pg.14de18

10. EJERCICIO10Seharealizadounestudiodeltiempodereparacindelsistema,adecuadoalnmerodehorasqueeloperariotardaenponerloenmarcha.Adecuadoaellos,sehaestablecidolaprobabilidaddeaparicindeesostiemposconlaaproximacindeBnard,ysehadeterminadoquesecomportaenbaseaunadistribucinnormal,conlossiguientesparmetros:

718

A modo de comprobacin de que estos parmetros se amoldan bien, se han calculado los valores deprobabilidaddehaberfalladoconlostiemposrecogidosinicialmente.Todoslosvaloressemuestranenlasiguientetabla:

Tiemposdereparacin ProbabilidaddeBnard Probabilidaddefuncinnormal2 0,03431373 0,0111354899 0,08333333 0,09927139710 0,13235294 0,12654895412 0,18137255 0,19568296913 0,23039216 0,23752526214 0,27941176 0,28385458315 0,32843137 0,33411757116 0,37745098 0,38754848118 0,42647059 0,518 0,4754902 0,518 0,5245098 0,519 0,57352941 0,55679849720 0,62254902 0,61245151922 0,67156863 0,71614541722 0,72058824 0,71614541723 0,76960784 0,76247473824 0,81862745 0,80431703126 0,86764706 0,87345104629 0,91666667 0,94195843331 0,96568627 0,968354584

Lasunidadesempleadassonhoras.Sepretendecorroborar labondaddeajustedeestadistribucinestimada,aplicandoel testdeKolmogorovSmirnov.



Pg.15de18

Resolucin:Pararesolverlo,secalcularenprimerlugarlamximadiferenciaentrelasprobabilidades:

max dato distribucini iD F F 1max dato distribucini iD F F 0,02317824 0,034313730,01593806 0,072197840,00580399 0,033081540,01431042 0,054823590,00713311 0,034709190,00444282 0,04188650,0056862 0,044576790,0100975 0,043333410,07352941 0,038922110,0245098 0,02450980,0245098 0,02450980,01673091 0,073529410,0100975 0,065750520,04457679 0,059117110,00444282 0,004442820,00713311 0,053462430,01431042 0,056152710,00580399 0,063330030,02529177 0,043215620,00266831 0,02372784

Lamayordiferenciaencontradaes0,073352941.Ahora, se recurrir a calcular el valor de k(n), usando el polinomio correspondiente para una distribucinnormal:

0,85 0,85( ) 0,01 20 0,01 4,652220

k n nn

Teniendoelvalordek(n),sepuedecompararbajolostresnivelesdeconfianza:

0,90

0,95

0,99

0,819 0,1764.65220,895 0,192

4,65221,035 0,2224,6522

D

D

D

Como las diferencias lmite sonmenores que lamayor diferencia encontrada, los datos de la distribucincontempladacumplenparanivelesdeconfianzade99,95y90%.



Pg.16de18

11. EJERCICIO11Sepretende corroborar los resultadoshalladosbajoel testdeKolmogorovSmirnovenelejercicioanterior.Paraello,sequiereusarelgrficoQQ,ymedianteunaresolucingrfica,valorarcmodeprecisohasidoeltest.



Pg.17de18

12. SOLUCIONES:1.1. Ejercicio2

0 04

0

04

0

4

4

( ) 0,3 1605, 297

( ) 2,25 10( ) 0,7

( ) 7,5 10

1333,33

( ) 2,7591 10( ) 0,6321( ) 0,3679

( ) 7,5 10

si R n n

f nF n

n

T

f TF TR T

T

1.2. Ejercicio42(0) 3,1097 10P

1.3. Ejercicio5

LmitedelosIntervalos Intervalos

MarcadeClase Frecuencia

Frec.Acum. Porcentaje

13411 [39913411) 6905,13 17 17 48,57%26422 [1341126422) 19916,52 9 26 74,29%39434 [2642239434) 32927,90 4 30 85,71%52445 [3943452445) 45939,28 3 33 94,29%65456 [5244565456) 58950,66 1 34 97,14%78468 [6545678468) 71962,04 1 35 100,00%



Pg.18de18

1.4. Ejercicio6t F(x) t F(x)

10126 0,03125 209152 0,5223214322342 0,07589286 227081 0,5669642936569 0,12053571 290599 0,6116071456933 0,16517857 299456 0,6562577157 0,20982143 362620 0,7008928683338 0,25446429 381675 0,7455357199509 0,29910714 417454 0,79017857114932 0,34375 442918 0,83482143155898 0,38839286 496910 0,87946429180704 0,43303571 669799 0,92410714195715 0,47767857 689393 0,96875

1.5. Ejercicio11

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10 12 14

Tiem

posh

asta

elfallo

Tiempocalculado

QQGua

mmviiim1c01-4-ejercicios de analisis de datos

Documents