CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 - 1855)Matemático, físico e astrónomo alemán que traballou moitos campos: teoría de números, análise matemático, xeometría diferencial, estatística, álxebra, magnetismo e óptica.

MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS.

• Consiste en sustituir o sistema por outro equivalente. Despois de sucesivas transformacións chégase a un sistema escalonado, é dicir, que ten nulos tódolos coeficientes debaixo da diagonal do sistema.

• Realízanse tres operacións fundamentais: Intercambio de ecuacións (o 1º coeficiente da 1ª ecuación ten que ser distinto de cero ) Multiplicación dunha ecuación por un número distinto de cero. Sumar a unha ecuación outra multiplicada por un número.

• Para iniciar o proceso escríbese a matriz asociada ó sistema de ecuacións.

• Lembrade que tamén se utilizan para sistemas os métodos de sustitución, redución, igualación. Gauss só serve para sistemas lineais, noutro caso habería que usar os outros métodos.

Exemplo 1 Escribindo a matriz asociada e realizando transformacións axeitadas resulta:

Obtívose un sistema escalonado. Empezamos a resolver pola última ecuación:

A 3ª ecuación é 45z = 45 , resulta z = 1

A 2ª ecuación é – y + 8z = 6 polo que – y +8.1 = 6, é dicir, y =2

A 1ª ecuación é x – y – 2z = -1 , e tendo en conta os valores de y e de z obtidos

entón x = 3.

Exemplo 2 A fin de ter un 1 na parte superior esquerda da matriz podemos intercambiar ecuacións e

resulta

Da 3ª fila da matriz resulta 0z = -3, é decir, 0 = -3 o que é absurdo.

Polo tanto, o sistema non ten solución.

Exemplo 3

Como o número de ec. do sistema equivalente obtido é menor que o número de incógnitas,

trátase dun sistema compatible indeterminado.

Para resolvelo escribimos a 2ª ecuación: y – 72z = -2 , é dicir, y = -2 + 7z (valor de y).

Sustituindo dito valor na 1ª ecuación: x – (-2 +7z) +3z = 4, é dicir, x = 2 + 4z.

Facendo z = λ, as sol. do sistema son: