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Sistemas de ecuaciones no lineales
Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM
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INTRODUCCION ITERACION DE PUNTO FIJO NEWTON-RAPHSON
Topicos
1 INTRODUCCIONSistema de ecuaciones no lineales
2 ITERACION DE PUNTO FIJOPresentacion del metodoPrograma MATLABCondicion de convergencia
3 NEWTON-RAPHSONPresentacion del metodoPrograma MATLAB
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INTRODUCCION ITERACION DE PUNTO FIJO NEWTON-RAPHSON
Topicos
1 INTRODUCCIONSistema de ecuaciones no lineales
2 ITERACION DE PUNTO FIJOPresentacion del metodoPrograma MATLABCondicion de convergencia
3 NEWTON-RAPHSONPresentacion del metodoPrograma MATLAB
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INTRODUCCION ITERACION DE PUNTO FIJO NEWTON-RAPHSON
Sistema de ecuaciones no lineales
¿Que es un sistema de ecuaciones no lineales?
f1(x1, x2, ..., xn) = 0,f2(x1, x2, ..., xn) = 0,
...fn(x1, x2, ..., xn) = 0.
¿Que es un sistema de ecuaciones no lineales?xi, i = 1, 2, . . . , n→ Incognitasfi, i = 1, 2, . . . , n→ Funciones no lineales con respecto xi
Ejemplos
u(x, y) = x2 + x y − 10 = 0v(x, y) = y + 3x y2 − 57 = 0
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Sistema de ecuaciones no lineales
SolucionSi xs = [xs1, x
s2, ..., x
sn], es la solucion del sistema de
ecuacionesEntonces: fi(xs) = 0, para i = 1, 2, . . . , n
Solucion exactaLos sistemas de ecuaciones no lineales no tienen solucionexacta o analıtica.Soluciones numericas son necesarias
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INTRODUCCION ITERACION DE PUNTO FIJO NEWTON-RAPHSON
Topicos
1 INTRODUCCIONSistema de ecuaciones no lineales
2 ITERACION DE PUNTO FIJOPresentacion del metodoPrograma MATLABCondicion de convergencia
3 NEWTON-RAPHSONPresentacion del metodoPrograma MATLAB
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INTRODUCCION ITERACION DE PUNTO FIJO NEWTON-RAPHSON
Presentacion del metodo
Metodos de iteracion de punto fijoEl metodo de iteracion de punto fijo estudiado anteriormentepuede modificarse para resolver un sistema de ecuaciones nolineales simultaneas.
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Presentacion del metodo
Ejemplos IBusquemos la solucion del sistema de ecuaciones no lineales:
u(x, y) = x2 + x y − 10 = 0v(x, y) = y + 3x y2 − 57 = 0
Hallar la funcion gx(x, y):
gx (x, y) =10− x2
y
Hallar la funcion gy(x, y):
gy (x, y) = 57− 3xy2
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Presentacion del metodo
Algoritmoxi+1 = gx (xi, yi)
yi+1 = gy (xi+1, yi)
Algoritmo: Ejemplos I
xi+1 =10−x2
iyi
yi+1 = 57− 3xi+1 y2i
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Programa MATLAB
function pun to f i j osenv1 ( gx , gy , x0 , y0 ,EE)% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %% punto f i j osenv1 : Nombre de l a func ion% Valores de entrada% gx : func ion matematica de entrada−>x=gx ( x , y )% gy : func ion matematica de entrada−>y=gy ( x , y )% x0 : Valor de i n i c i a l de x% y0 : Valor de i n i c i a l de y% EE: Er ro r Estimado% Valores de s a l i d a% Sal ida : Raiz x , EA x , Raiz y , EA y% IM : I t e r a c i o n Maxima% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %IM=1; x ( IM ) =x0 ; y ( IM ) =y0 ;EAx( IM ) =10ˆ3;EAy( IM ) =10ˆ3;while EAx( IM )>EE | | EAy( IM )>EE
x ( IM+1)=gx ( x ( IM ) , y ( IM ) ) ; y ( IM+1)=gy ( x ( IM+1) , y ( IM ) ) ;EAx( IM+1)=abs ( ( x ( IM+1)−x ( IM ) ) / x ( IM+1) ) ∗100;EAy( IM+1)=abs ( ( y ( IM+1)−y ( IM ) ) / y ( IM+1) ) ∗100;IM=IM+1;
endSal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM−1) ] ;Sal ida2 =[ x ( 2 : size ( x , 2 ) ) ’ EAx ( 2 : size ( x , 2 ) ) ’ y ( 2 : size ( y , 2 ) ) ’ EAy ( 2 : size ( y , 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ )disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ )disp ( ’ Raiz x EApro x Raiz y EApro y ’ )disp ( Sal ida2 )
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Programa MATLAB
>> pun to f i j osenv1 (@( x , y ) (10−x ˆ 2 ) / y ,@( x , y ) 57−3∗x∗y ˆ2 ,1 .5 ,3 .5 ,0 .001 )
I t e r a c i o n Maxima=106
Raiz x EApro x Raiz y EApro y
1.0e+154 ∗
0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000−0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000−0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000−0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0.0000 0.0000 −0.0066 0.0000−0.0000 0.0000 0.1976 0.0000
0.0000 0.0000 −5.9275 0.0000−0.0000 0.0000 I n f NaN
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Programa MATLAB
Ejemplos IIBusquemos la solucion del sistema de ecuaciones no lineales:
u(x, y) = x2 + x y − 10 = 0v(x, y) = y + 3x y2 − 57 = 0
Hallar la funcion gx(x, y):
gx (x, y) =√
10− xy
Hallar la funcion gy(x, y):
gy (x, y) =
√57− y
3x
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Programa MATLAB
Algoritmo
xi+1 =√10− xiyi
yi+1 =√
57−yi3xi+1
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INTRODUCCION ITERACION DE PUNTO FIJO NEWTON-RAPHSON
Programa MATLAB
>> pun to f i j osenv1 (@( x , y ) (10−x∗y ) ˆ 0 . 5 ,@( x , y ) ((57−y ) / (3∗ x ) ) ˆ 0 . 5 , 1 . 5 , 3 . 5 , 0 . 0 0 1 )
I t e r a c i o n Maxima=11
Raiz x EApro x Raiz y EApro y2.1794 31.1753 2.8605 22.35601.9405 12.3118 3.0496 6.19912.0205 3.9557 2.9834 2.21711.9930 1.3762 3.0057 0.74192.0024 0.4673 2.9981 0.25521.9992 0.1601 3.0007 0.08702.0003 0.0547 2.9998 0.02981.9999 0.0187 3.0001 0.01022.0000 0.0064 3.0000 0.00352.0000 0.0022 3.0000 0.00122.0000 0.0007 3.0000 0.0004
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Condicion de convergencia
Convergencia
∣∣∣∣∂gx∂x
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∂gx∂y
∣∣∣∣ < 1∣∣∣∣∂gy∂x
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∂gy∂y
∣∣∣∣ < 1
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INTRODUCCION ITERACION DE PUNTO FIJO NEWTON-RAPHSON
Topicos
1 INTRODUCCIONSistema de ecuaciones no lineales
2 ITERACION DE PUNTO FIJOPresentacion del metodoPrograma MATLABCondicion de convergencia
3 NEWTON-RAPHSONPresentacion del metodoPrograma MATLAB
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INTRODUCCION ITERACION DE PUNTO FIJO NEWTON-RAPHSON
Presentacion del metodo
Metodos de Newton-RaphsonEl metodo de Newton-Raphson estudiado anteriormente puedemodificarse para resolver un sistema de ecuaciones no linealessimultaneas.
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INTRODUCCION ITERACION DE PUNTO FIJO NEWTON-RAPHSON
Presentacion del metodo
Serie de Taylor de multiples variables
ui+1 = ui + (xi+1 − xi)∂ui∂x
+ (yi+1 − yi)∂ui∂y
vi+1 = vi + (xi+1 − xi)∂vi∂x
+ (yi+1 − yi)∂vi∂y
Considerando ui+1 = vi+1 = 0, para las raıces aproximadas,llegamos a un sistema de ecuaciones para determinar xi+1 yyi+1:
Serie de Taylor de multiples variables
xi+1∂ui∂x
+ yi+1∂ui∂y
= −ui + xi∂ui∂x
+ yi∂ui∂y
xi+1∂vi∂x
+ yi+1∂vi∂y
= −vi + xi∂vi∂x
+ yi∂vi∂y
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Presentacion del metodo
Formula de Newton-Raphson
xi+1 = xi −ui
∂vi∂y − vi
∂ui∂y
∂ui∂x
∂vi∂y −
∂ui∂y
∂vi∂x
yi+1 = yi −vi
∂ui∂x − ui
∂vi∂x
∂ui∂x
∂vi∂y −
∂ui∂y
∂vi∂x
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INTRODUCCION ITERACION DE PUNTO FIJO NEWTON-RAPHSON
Programa MATLAB
function newtonraphsonsenv1 ( u , v , x0 , y0 ,EE)% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %% newtonraphsonSENv1 : Nombre de l a func ion% Valores de entrada% u , v : func iones matematicas de entrada% x0 : Valor de i n i c i a l de x , y0 : Valor de i n i c i a l de y0 , EE: Er ro r Estimado% Valores de s a l i d a% Sal ida : IM : I t e r a c i o n Maxima , Raiz y Er ro r Aproximado% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %syms x ydux=@( xx , yy ) subs ( d i f f ( u , x ) ,{x , y} ,{xx , yy}) ;duy=@( xx , yy ) subs ( d i f f ( u , y ) ,{x , y} ,{xx , yy}) ;dvx=@( xx , yy ) subs ( d i f f ( v , x ) ,{x , y} ,{xx , yy}) ;dvy=@( xx , yy ) subs ( d i f f ( v , y ) ,{x , y} ,{xx , yy}) ;IM=1; rx ( IM ) =x0 ; ry ( IM ) =y0 ; EAx( IM ) =10ˆ3;EAy( IM ) =10ˆ3;while (EAx( IM )>EE) | | (EAy( IM )>EE)
rx ( IM+1)= rx ( IM )−(u ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )−v ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) . . .∗duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) / ( dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) − . . .duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) ;
ry ( IM+1)= ry ( IM )−(v ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )−u ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) . . .∗dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) / ( dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) − . . .duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) ;
EAx( IM+1)=abs ( ( rx ( IM+1)−rx ( IM ) ) / rx ( IM+1) ) ∗100;EAy( IM+1)=abs ( ( ry ( IM+1)−ry ( IM ) ) / ry ( IM+1) ) ∗100;IM=IM+1;
endSal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM−1) ] ;Sal ida2 =[ rx ( 2 : size ( rx , 2 ) ) ’ EAx ( 2 : size ( rx , 2 ) ) ’ r y ( 2 : size ( ry , 2 ) ) ’ EAy ( 2 : size ( ry , 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ ) ; disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ ) ; disp ( ’ Raiz x EApro x Raiz y EApro y ’ )disp ( Sal ida2 )
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INTRODUCCION ITERACION DE PUNTO FIJO NEWTON-RAPHSON
Programa MATLAB
>> newtonraphsonsev1 (@( x , y ) x ˆ2+x∗y−10,@( x , y ) y+3∗x∗y ˆ2−57 ,1.5 ,3.5 ,0.001)
I t e r a c i o n Maxima=4
Raiz x EApro x Raiz y EApro y2.0360 26.3272 2.8439 23.07151.9987 1.8676 3.0023 5.27642.0000 0.0650 3.0000 0.07632.0000 0.0000 3.0000 0.0000