tema 4: sistemas de ecuaciones lineales. método de gauss. alumnos/dpto... · gauss, niño...

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Tema 4: Sistemas de ecuaciones lineales. Método deGauss.

En la vida real se presentan muchas situaciones complejas, que obligan a plantear

simultáneamente varias ecuaciones y así poder obtener las soluciones comunes a todas

ellas.

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Las diferentes ciencias del conocimiento como la Física, la Química, las Ciencias Sociales, la

Economía, necesitan resolver sistemas con varias ecuaciones lineales.

Ya conocemos los conceptos elementales del Álgebra lineal (ecuación, inecuación, sistemas

de dos ecuaciones con dos incógnitas). Ahora vamos a centrarnos en resolver sistemas

formados por 3 ecuaciones con varias incógnitas.

El objetivo general de este tema es encontrar métodos para plantear, discutir y resolver

este tipo de sistemas.

Plantear un sistema es encontrar las relaciones que ligan a las incógnitas según las

condiciones del problema

Discutir un sistema consiste en averiguar si tiene o no tiene solución y, en caso de

tenerla, saber si es única o hay muchas soluciones

Resolver un sistema es obtener su solución (o soluciones).

El núcleo central del tema será el método de Gauss, para conseguir sistemas escalonados

que sean fáciles de resolver.

Se basa en una idea muy simple: dado un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, se

trata de obtener un sistema equivalente, cuya primera ecuación posea 3 incógnitas, la

segunda 2, y la última tendrá únicamente una incógnita. Se resuelve esta última ecuación,

después la anterior y finalmente la primera.

Este método se puede generalizar a otros sistemas con cualquier número de ecuaciones y

de incógnitas.

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Petroleo de lord cнernoвιll Licencia Creative Commons

1. Ecuaciones lineales: Sistema de 3 ecuaciones con 3incógnitas.

Ejemplo de problema que aprenderemos a resolver

Determinado

país compra 8

millones de

barriles de

petróleo en

tres fechas

diferentes del

año 2008. Lo

compra,

sucesivamente,

en Enero a

110, en Julio a

130 y en

Noviembre a 60

$ el barril. La

factura total

asciende a 785

millones de dólares. En la primera compra recibe tantos

barriles como entre las otras dos juntas.

Plantea un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que te permita determinar cuál es la

cantidad de barriles de petróleo comprada en cada fecha.

A lo largo de este tema obtendrás los conocimientos suficientes para resolver este

sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Una ecuación lineal con n incógnitas x1,x2,x3,..,xn es una

ecuación de la forma: a1x1+a2x2+a3x3+....+anxn=h donde

a1,a2,a3,...,an y h son números reales fijos.

x1,x2,x3,...,xn son las incógnitas

Las ai son los coeficientes de las incógnitas y h el

término independiente.

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Incognitas de Lukas licencia Creative Commons

Se llaman lineales porque las incógnitas tienen

grado 1. No están elevadas a ningún exponente, ni

multiplicadas entre sí, ni bajo ningún radical, ni hay

incógnitas en los denominadores.

Tiene la forma:

Se llama solución de la ecuación lineal a los números x1=k1,

x2=k2, ..., que sustituidos en la ecuación satisfacen la igualdad

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un

conjunto formado por m ecuaciones lineales, cada una de ellas

con las mismas n incógnitas.

Los valores de las incógnitas que satisfacen a todas las

ecuaciones, son la solución, o soluciones, del sistema.

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En la ecuación , tal como está escrita, se verifica

que

El coeficiente de x es

El coeficiente de y es

El término independiente es

Llamamos sistema homogéneo de ecuaciones lineales cuando

los términos independientes de todas las ecuaciones son cero.

Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos, sea cual sea

el número de ecuaciones e incógnitas, poseen la propiedad de

que siempre tienen solución, ya que una de sus soluciones es

que todas las incógnitas valgan cero.

A esta solución la llamamos solución trivial es decir la solución

nula

Contesta a las preguntas

La ecuación ¿Es una ecuación lineal?

Verdadero Falso

La ecuación es de grado 2

Verdadero Falso

El sistema es un sistema lineal

Verdadero Falso

La ecuación es lineal

Verdadero Falso

El sistema es un sistema lineal homogéneo

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Equivalencias de Pro xd Alejandro licencia Creative Commons

1.1. Criterios de equivalencia.

La aplicación de los criterios de equivalencia a los

sistemas de ecuaciones lineales, tiene como

objetivo obtener otro sistema, equivalente al

original, pero que sea más fácil de resolver.

Para ello utilizaremos las siguientes propiedades.

Cuando dos sistemas son equivalentes:

La ecuación es equivalente a cualquiera de las dos ecuaciones

Verdadero Falso

El sistema no es un sistema lineal porque:

No tiene solución

En el numerador de la primera ecuación aparecen la x y laz

En la tercera ecuación, al operar aparece x por z

Si sumamos a los dos miembros de alguna de las ecuaciones

de un sistema, un número o una expresión algebraica, el

sistema resultante es equivalente

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es equivalente a

es equivalente a

equivale a

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de alguna de las

ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el

sistema resultante es equivalente

Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra

ecuación del mismo sistema, el resultado es otro sistema

equivalente

Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que

resulte de sumar dos ecuaciones del sistema previamente

multiplicadas o divididas por números distintos de cero, resulta

otro sistema equivalente al primero

Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es

proporcional a otra o es combinación lineal de otras, se puede

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es equivalente a puesto que la tercera ecuación

es la segunda multiplicada por 2

es equivalente a puesto que la tercera ecuación es

la suma de la primera y la segunda

equivale a o también a

suprimir y el sistema obtenido es equivalente al inicial

Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el

orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente

Si en un sistema de ecuaciones lineales multiplicamos una de las

ecuaciones lineales por un número distinto de cero, el sistema

resultante:

Tiene como soluciones las del sistema inicial multiplicadaspor ese número no-nulo.

Tiene las mismas soluciones que el inicial

No tiene solución

Tiene infinitas soluciones

Rellena los espacios en blanco →

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1.2. Sistemas escalonados

Vemos un ejemplo:

Partimos de un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

a través de operaciones con las ecuaciones del sistema,

que mantengan los criterios de equivalencia, vamos obteniendo sucesivamente:

El sistema

¿es equivalente al sistema? →

¿es equivalente a? →




Sistemas escalonados:

Son sistemas en que cada ecuación tiene una incógnita menos

que la anterior.

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Elaboración propia

sistema que tiene,

ya, una estructura escalonada con una incógnita, la z, en la tercera ecuación; dos

incógnitas, la z y la y, en la segunda y las tres incógnitas originales en la primera

ecuación.

Pasa a forma escalonada el sistema anterior

A la segunda ecuación réstale la primera multiplicada por 2.

A la

tercera ecuación súmale la primera multiplicada por 3.

Con estos resultados:

A la tercera súmale la segunda.

Tenemos el sistema escalonado

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Carl Fried. Gaus Dominio público

2. Método de Gauss.

El método de Gauss es una generalización del

método de reducción que utilizamos para eliminar

una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones

con dos incógnitas.

Consiste en la aplicación sucesiva de este método,

utilizaremos los criterios de equivalencia de

sistemas (comentados anteriormente), para

transformar las ecuaciones originales en un

sistema escalonado, de modo que cada ecuación

tenga una incógnita menos que la inmediatamente

anterior. Se obtiene así un sistema en el que la

última ecuación es la que tiene menos incógnitas,

una única en el caso mas favorable, la penúltima

una incógnita más, la antepenúltima dos

incógnitas más, ..., y la primera todas las

incógnitas.

En primer lugar, empezaremos aplicando,

sucesivamente, el método de reducción para

eliminar en todas las ecuaciones, excepto en la

primera, la incógnita x, obteniendo, así, el primer

sistema equivalente.

En segundo lugar, aplicaremos nuevamente el método, para escalonar el sistema y

eliminaremos en todas las ecuaciones, excepto en las dos primeras, la incógnita y,

obtendremos así el segundo sistema equivalente.

En tercer lugar, repetimos el método y eliminamos en todas las ecuaciones,

excepto en las tres primeras, la incógnita z, para obtener el tercer sistema

equivalente

Si hubiera mas incógnitas repetiríamos el proceso hasta eliminar todas las incógnitas

En el sistema lineal ¿Cuál es el número mínimo de

trasformaciones, con ecuaciones equivalentes, que es necesario hacer

para conseguir un sistema escalonado?

Ninguna, ya es escalonado

Verdadero Falso

Dos, una con la segunda ecuación y otra con la tercera

Verdadero Falso

Tres, una para conseguir que sea 0 el coeficiente de x en la segunda

ecuación, otra para que el coeficiente de x en la tercera sea 0 y otra para

que el coeficiente de y en la tercera se anule

Verdadero Falso

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posibles

Para resolverlo despejaremos, en primer lugar, la incógnita de la última ecuación. Luego

sustituiremos su valor en la penúltima ecuación y despejaremos la siguiente incógnita.

Después, sustituiremos las dos incógnitas de la antepenúltima ecuación por sus valores y

despejaremos la que queda, y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación.

2.1. Sistemas de igual número de incógnitas queecuaciones

Gauss, niño prodigio.

Johann Karl Friedrich Gauss fue uno de los más grandes

matemáticos de la historia. Su precocidad en relación con las

matemáticas se pone de manifiesto en numerosas anécdotas:

Antes de cumplir 3 años se encontraba con su padre que

estaba preparando la nómina de los obreros que de él

dependían. El joven Gauss que seguía con gran atención los

cálculos del padre le dijo al terminar : "Padre has hecho mal la

cuenta, el resultado debe ser ... ". El padre al repasar los

cálculos comprobó con sorpresa que el hijo tenía razón. La

historia es todavía más sorprendente si tenemos en cuenta

que nadie le había enseñado a leer.

Puedes consultar la biografía matemática de Carl Friedrich Gauss

(1777-1855)“El príncipe de los matemáticos" en la Página Web de

Antonio Pérez Sanz catedrático de matemáticas del IES

Salvador Dalí de Madrid

Tenemos para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres

incógnitas

Vamos a conseguir que, en otro

sistema equivalente, los coeficientes

de la x en la 2ª y 3ª ecuación sean 0.

A la segunda ecuación le sumamos la

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Incognitas de fliegender

licencia Creative Commons

primera multiplicada por -2

A la tercera ecuación le sumamos la

primera

Obtenemos el sistema equivalente

con cero como

coeficiente de la x en las dos últimas

ecuaciones.

Ahora para conseguir que sea 0 el

coeficiente de y en la 3ª ecuación, sumamos a la tercera la segunda

multiplicada por 2

Sistema escalonado

Ahora ya podemos despejar la incógnita z en la tercera ecuación

Sustituimos la z en la segunda ecuación para obtener el valor de y

Estos dos valores los sustituimos en la primera ecuación

para obtener el valor de x

Hemos llegado a la única solución de este sistema

Resuelve el problema, de los 8 millones de barriles de petróleo,

planteado al comienzo del tema

El sistema que hay que plantear sería

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2.2. Sistemas con más incógnitas que ecuaciones

Después de escalonar con el método de Gauss

Con lo que la solución es z= 2,5 y=1,5 z=4 millones de barriles

Tres planos Licencia GNU Free

Dado el sistema de tres

ecuaciones con tres incógnitas

Los valores de lassoluciones son tresnúmeros impares

La suma de los valores dela solución es 8

El valor de y es triple queel de x

El sistema no tieneninguna solución

Vamos a resolver un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas

Queremos conseguir otro

sistema equivalente con el

coeficiente de x cero en la 2ª.

Multiplicamos la primera

ecuación por 3 →

→

A la segunda ecuación la

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2.3. Sistemas con más ecuaciones que incógnitas

Abaco Dominio público

multiplicamos por 2 →

→

Resulta el sistema equivalente

Ahora a la segunda ecuación le

restamos la primera

→

En el siguiente paso despejamos la incógnita z en función de la y

Sustituimos, su expresión, en la primera ecuación

Hemos llegado a las múltiples soluciones del sistema

La incógnita z puede tomar cualquier valor y las otras dos incógnitas

vienen determinadas por el valor de z

Si un sistema tiene más incógnitas que ecuaciones, entonces, siempre

es cierto:

Puede tener infinitas soluciones

No tiene solución

Puede tener una única solución

Puede no tener solución

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Maquina Babbage's licencia Creative Commons

Vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas

Vamos a buscar otro sistema

equivalente con el coeficiente

de x cero en la 2ª y 3ª

ecuación.

Cambiamos el orden de las

ecuaciones para que el

coeficiente en x de la primera

ecuación sea divisor de los de

las otras dos.

La segunda pasa a primera, la

tercera a segunda y la primera a tercera

A la segunda le sumamos la primera

A la tercera le sumamos la primera multiplicada por 2

Conseguimos eliminar la incógnita x en la 2ª y 3ª ecuación

Ahora multiplicamos la segunda ecuación por 7 → →

La tercera ecuación la multiplicamos por 4 → →

Obtenemos A la tercera ecuación le sumamos la

segunda

Queda lo que permite eliminar la tercera ecuación

y se reduce a

Ahora despejamos la incógnita y en la segunda ecuación y

sustituimos en la primera ecuación →

Hemos llegado a la solución del sistema

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2.4. Resolución de problemas

Vamos ahora aplicar las técnicas estudiadas, para hallar la solución, de los sistemas de

ecuaciones lineales a la resolución de problemas concretos

La interpretación geométrica de un sistema de tres ecuaciones lineales

con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones es:

Dos rectas paralelas y otra que las cortaTres rectas que se cortan en un punto

Tres rectas coincidentesDos rectas coincidentes y otra paralela a ellas

Heladode puzzlegaze licencia Creative Commons

Un día compramos 4 helados, uno de tamaño

pequeño, dos de tamaño mediano y otro

grande y pagamos 10,5€.. Al día siguiente

compramos 2 helados pequeños, dos helados

medianos y 3 grandes, por lo que pagamos

20€. Sabiendo que un helado grande cuesta lo

mismo que un helado pequeño y un helado

mediano juntos, ¿cuál es el precio de cada tipo

de helado?

Lee detenidamente el enunciado y determina, y

asigna nombre, a las incógnitas

x=precio del helado pequeño

y=precio del helado mediano

z=precio del helado grande

Escribe, mediante ecuaciones, las relaciones que se establecen entre las

tres incógnitas

Trasforma el sistema, siguiendo el método de Gauss en escalonado

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Resuelve las tres ecuaciones, empezando por hallar z en la tercera,

sustituyendo su valor en la segunda y hallando y, sustituyendo z e y

en la primera para hallar x

x= precio del helado pequeño=1,5€

y=precio del helado mediano=2,5€

z=precio del helado grande=4€

Mina cobre de Criterion licencia Creative Commons

Una empresa multinacional tiene

tres minas: una en

Ravensthorpe, Australia, otra en

Manitoba, Canadá y la tercera en

Piura, Perú.

Extrae Níquel, Cobre y Hierro de

tal manera que:

en Australia del mineral

obtenido se extrae el 2%

de níquel, el 4% de cobre y el 12% de hierro

en Canadá obtiene el 4% de níquel, el 10% de cobre y el 2% de

hierro

en Perú el 2% de níquel, el 6% de cobre y el 2% de hierro

¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 26

toneladas de níquel, 68 de cobre y 40 de hierro?

Plantea el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

El sistema será

Escalona el sistema

Resulta

Resuelve el sistema y acaba el problema

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3. Discusión de un sistema.

Solución:

Te proporcionamos, ahora, una colección de ejercicios que

debes hacer para consolidar lo que has aprendido a lo largo de

este tema.

Sistemas lineales → Soluciones

Sistema lineales de texto → Soluciones

Discutir un sistema es determinar, sin llegar a resolverlo, si

tiene solución y, en caso de tenerla, saber si ésta es única. Es

decir, determinar si es compatible o incompatible, y en caso de

ser compatible, si es determinado o indeterminado.

Sistema compatible: tiene solución

Sistema compatible determinado: tiene una única

solución

Sistema compatible indeterminado: tiene infinitas

soluciones

Sistema incompatible: no tiene solución

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El interés de esta discusión estriba en que, a

veces, puede interesar más el estudio del

problema que la posible solución.

En los sistemas lineales de tres ecuaciones con

varias incógnitas, para discutir el sistema

seguiremos los pasos del esquema

¿Cómo se llama un sistema que tiene infinitas soluciones?

Compatible determinadoCompatible indeterminado

Incompatible

Si la última ecuación de un sistema escalonado presenta, al menos, dos

incógnitas cuyos coeficientes son distintos de cero, el sistema es:

Compatible determinado

Verdadero Falso

Incompatible

Verdadero Falso

Compatible indeterminado

Verdadero Falso

Homogéneo que sólo tiene la solución trivial

Verdadero Falso

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¿Cuándo son dos sistemas de ecuaciones equivalentes?

Cuando tienen las mismas incógnitas

Cuando tienen una solución particular igualCuando tienen el mismo número de ecuaciones y deincógnitas

Cuando tienen la misma solución general

Si al efectuar el escalonamiento en un sistema de ecuaciones lineales se

obtiene alguna ecuación en la que todos los coeficientes de las

incógnitas son cero y el término independiente es no-nulo, el sistema

es:

Compatible determinado

Incompatible

Compatible indeterminado

Una ecuación diofántica es una ecuación cuyas soluciones son

números enteros

En un test de 20 preguntas se consiguen 3 puntos por cada respuesta

correcta, se pierden 2 por cada respuesta errónea, y 1 por cada

pregunta sin contestar. ¿Qué tiene que ocurrir para obtener una

calificación de 0 puntos?

Plantea el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas

x= número de preguntas acertadas

y= número de preguntas erróneas

z= número de preguntas no respondidas

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Al necesitar que la solución sean números enteros, la posibilidad

para los valores de y sólo pueden ser y=0, y=4, y=8, y=12 que

corresponden a las soluciones del sistema:

El sistema algebraico, como tal, es compatible indeterminado:

infinitas soluciones.

El problema tiene solución determinada en los cuatro casos que

acabamos de ver.

Añade una tercera condición al problema para que el sistema resultante

sea compatible determinado: una única solución

Puede ser que el número de respuestas en blanco sea igual que

la suma de respuestas acertadas y erradas

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Método de Gauss Soluciones: (x=3, y=4, z=-2)

¿Es posible transformar el anterior sistema en uno

compatible indeterminado cambiando solamente la tercera ecuación?

Si Cambiándola por una combinación lineal de la primera y

segunda ecuación por ejemplo:

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Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación

y obtener un sistema equivalente

Verdadero Falso

Todo sistema compatible indeterminado tiene otro equivalente con dos

ecuaciones iguales

Verdadero Falso

De un sistema incompatible podemos extraer otro compatible (no

equivalente) eliminando ecuaciones

Verdadero Falso

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