5/11/2018 M todo de Euler - slidepdf.com

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El método de Euler es un procedimiento de integración propuesto pararesolver ecuaciones diferenciales a partir de un punto inicial, a partir de lascondiciones iniciales. Suponga una función cuya gráfica es desconocida y setiene un punto y una ecuación diferencial que satisfacen dicha curva; elmétodo de Euler consiste en hacer aproximaciones a esta curva por mediode rectas tangentes.

Dado un punto inicial , se traza una recta tangente a la función y seaproxima un siguiente punto entre la recta tangente y la curva quequeremos conocer, después este segundo punto se considera como el puntoinicial y se vuelve a trazar una recta que es aproximadamente tangencial a lacurva original. Después de haber calculado varios puntos aproximados, lasrectas tangentes habrán formado una curva poligonal aproximada a la curvaoriginal.

La efectividad del método es baja ya que con cada punto calculado, nosalejamos cada vez más a la curva original provocando que el erroracumulado crezca.

0P

 

1P

Para la curva(desconocida)aproximamosrectas tangentesa partir de unpunto inicial queformando unarecta poligonalaproximada a lafunción.

2

 x 

Descripción del método

Procedimiento usando ordenador (Mathematica)

Consiste en multiplicar los intervalos que va de a en subintervalos deancho ; o sea:

h = f  x −

0 xn  

n

 

h

 

 f  x

 

0 x 

Conociendo el punto inicial sustituimos los valores en la ecuacióndiferencial. Con los valores sustituidos, formamos la siguiente tabla quearrojará los puntos solución de (x,y) que podrán ser graficados.

 y(0 x ) =

0 y

n x y k=hf(x,y)

0 Xo Yo hf(Xo,Yo)

1 X=Xo+k Y=Yo+k hf(X,Y)

n Xo+k

La solución pues, es una lista de puntos apareados.

Procedimiento

Para resolver una ecuación diferencial con el método de Euler con lapaquetería Mathematica, hemos creado un programa de poca elaboraciónque devolverá una lista de puntos, al igual que en la forma analítica, que sepodrán graficar después. El programa consta de cuatro entradas: la primeraserá la función a resolver, la segunda los valores inicial y final para  X , latercera el valor inicial para Y  y por último, la cuarta entrada será el paso quetendrá la h, es decir, los saltos que dará sobre la recta tangente para calcularel siguiente punto respecto a la curva original.

Aplicaciones

Una aplicación que tiene este método está considerado en la industriaautomotriz específicamente en el diseño de sistemas de suspensión, y seocupa para calcular la rigidez del muelle que deberá soportar los impactos junto con un amortiguador viscoso.

Para calcular las aceleraciones y la velocidadde desplazamiento a las que estaránsometidos el muelle y el amortiguador,formamos un diagrama dividiendo el sistemade suspensión como dos fuerzas externas y ala fuerza debido a la aceleración de la masa

Lo que nos dará una ecuación de la forma: [1]

Ya que el la fuerza del muelle depende desu rigidez k, así como deldesplazamiento; suponiendo que eldesplazamiento inicial en nulo, tenemos

que

Y en cuanto a la fuerza ejercida por elamortiguador, ésta depende de sucoeficiente de amortiguación, d, así comode la velocidad con la que su longitudvaría, de modo que tenemos

[2]

[3]

Sustituyendo en [1] tenemos

Ésta es una ecuación desegundo orden ya que seencuentra la variable junto consu primera y segunda derivada

Una vez dadas las condiciones iniciales y las constantes m, k, d;podemos computar la ecuación. Como ejemplo, utilizaremosm=250kgk=10000 N/m con Yo=0d=1500 Ns/m

   A  c  e   l  e  r  a  c   i   ó  n   [  m   /  s   2   ]

Una vez computado, obtendremos la gráfica de aceleración a la que elsistema de amortiguación será sometido.

Ecuaciones Diferenciales Aldo César Tapia Aguirre A01162842

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