METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

Juan Camilo Moreno Lara

I Semestre 2015

CONTENIDO.

• Se llama método de Euler al método numérico consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. 

• La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en Xi (ver Gráfico Nº01). Donde f (Xi, Yi) es la ecuación diferencial evaluada en Xi y Yi, Tal estimación podrá substituirse en la ecuación [2] nos queda que:

• Esta fórmula es conocida como el método de Euler (punto medio). Se predice un nuevo valor de Y por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de X).

MÉTODO DE EULER

EjemploDada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial: 

Aproximar

Solución Analítica.

Sustituyendo la condición inicial: 

Por lo tanto, tenemos que la curva solución real está dada: 

Y por lo tanto, el valor real que se pide es:

MÉTODO DE EULER

Solución NuméricaAplicamos el método de Euler y para ello, observamos que la distancia entre  y no es lo suficientemente pequeña. Si didimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de  y por lo tanto, obtendremos la aproximación deseada en cinco pasos.  De esta forma, tenemos los siguientes datos: 

Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, tenemos, en un primer paso:  

Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso: 

MÉTODO DE EULER

Y así sucesivamente hasta obtener Resumimos los resultados en la siguiente tabla:   

Concluímos que el valor aproximado, usando el método de Euler es: 

Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero, podemos usarlo para calcular el error relativo porcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler. Tenemos que: 

MÉTODO DE EULER

MÉTODO DE EULER  MEJORADO 

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.  La fórmula es la siguiente: 

donde :

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica: 

Ejemplo 1Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar  si: 

SoluciónVemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Así que definimos h=0.1 y encontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de dos cálculos en vez de uno solo: el de primero  y posteriormente el de 

Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales: 

MÉTODO DE EULER  MEJORADO 

En nuestra primera iteración tenemos:

Segunda iteración:

MÉTODO DE EULER  MEJORADO 

Resumimos los resultados en la siguiente tabla: 

Concluímos entonces que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado  es: 

Con fines de comparación, calculamos el error relativo verdadero: 

MÉTODO DE EULER  MEJORADO 

EJEMPLO APLICADO A LA INDUSTRIA(Ejercicio taller)

Si se vacía el crudo liviano de un tanque cilíndrico vertical abriendo una válvula en la base, el crudo fluirá rápidamente cuando el tanque esté lleno; conforme el tanque se vaya vaciando, irá fluyendo más lentamente. Si la rapidez a la que disminuye el nivel del crudo es:

donde k es una constante que depende del área de la sección transversal del tanque y del orificio de salida. La profundidad del agua, y, se mide en pies; y el tiempo, t, en minutos. Si k = 0.1, cuánto tiempo tomará vaciar el tanque si inicialmente el nivel del fluido es de 9 ft. Utilice el método de Euler para resolver este problema con un tamaño de paso de 0.5 minutos.