n-Dimensiones

juli a

n-dimensiones.blogspot.com

related2what.blogspot.com

mayo 2012

 

 

El mundo es un objeto simbólico

Salustio

Todos los verdaderos alquimistas saben que el símbolo alquímico es un

espejismo...

Artaud, Antonin en El Teatro y su Doble

 

INTRODUCCIÓN

Este proyecto fue una forma de resumir el ámbito estético que he desarrollado en mi dibujo y modelado. Me basé en lo que representaba para la alquimia y Antigua Grecia los poliedros regulares, o los 5 sólidos platónicos: el fuego, la tierra, el aire, el agua y el éter. No quise representar estos elementos de una manera convencional, sino encontrar una forma que sugiriera para mi lo que intentaba representar y sabiendo que podía deformar cualquier definición. Esto dio como resultado un organismo interno el cual tomó forma al relacionarlo con su coraza geométrica, científica y simbólica, con su imagen homogénea. Mi intención fue abrir las posibilidades que tiene la representación de un objeto y los significados que se les puede atribuir.

En este trabajo escrito, mi objetivo no es tanto profundizar en las propiedades científicas de los sólidos ni hacer un análisis riguroso respecto a sus propiedades, sino hacer una investigación amplia de la aparición de estas figuras en las diferentes culturas y cosmogonías, y el lugar del sujeto dentro de estas figuraciones.

 

El proyecto está compuesto por

1. 5 piezas realizadas en resina de poliéster transparente pintadas, de un tamaño mínimo de 15x15cm y máximo de 20x20, apoyadas sobre un soporte de madera. Fueron pintadas con pintura translucida de vitral y pigmentos nacarados. Estas figuras representan los moldes internos, orgánicos, colapsados, de las figuras geométricas a las cuales los relaciono. Están nombrados de la siguiente manera:

Fjuego Descripción: el Tetraedro, Elemento Intangible n-Dimensión Descripción: el Hexaedro y/o Tesseract, Fundamento del Fractal

Φ (phi) Descripción: el Octaedro, la Dualidad Atómica Cymatics Descripción: el Icosaedro, Causa y efecto Man-Ray Descripción: el Dodecaedro, Visión universal

2. Bocetos del proceso de elaboración visual y plástica. 3. Los 5 dibujos finales a lápiz en blanco y negro de las figuras, cada un de formato

DinA3. 4. Los 5 dibujos a lápiz digitalizados y coloreados en Photoshop, impresos en una

página de formato DinA3

5. Fotografías de la modelación en plastilina de las esculturas. 6. Memoria con la sustentación del proyecto y la descripción del proceso. 7. Una segunda memoria con una sustentación conceptual basada en el lenguaje

geométrico.

 

ANÁLISIS DEL PROYECTO DESDE LA

PERSPECTIVA GEOMÉTRICA   

“Aventúrate conmigo bajo el precipicio del pensamiento, sostenido sólo por la cuerda de una analogía, delgada pero fuerte. Esta cuerda, anclada en la tierra firme de la sensual percepción, se extiende tres pasos en la dirección del gran abismo, y luego desaparece en el vertiginoso borde.”

- Claude Bragdon, A Primer of Higher Space (the Fourth Dimension)

 Dice Jacques Lacan en una entrevista realizada en 1974 por Emilio Granzotto: “El descubrimiento del psicoanálisis es el hombre como animal hablante”, y es precisamente esto lo que intentaré, tal vez no demostrar, pero ofrecer algunas herramientas a través de la geometría, la ciencia, la historia, y el arte que pueden ser curiosas para relacionar con la posición del psicoanálisis. Con el trabajo conceptual intento expresar como el sujeto depende del lenguaje, la palabra, la imagen para darle sentido a una vivencia que tiene una existencia fuera del lenguaje y no se puede reducir a la lógica de éste. El símbolo cobra vida en un momento específico para un sujeto o cultura y luego muere, caduca. Dice Régis Debray en Vida y muerte de la imagen1:

Primero esculpida, después pintada, la imagen está en el origen y por su misión mediadora entre los vivos y los muertos, los humanos y los dioses; entre una comunidad y una cosmología; entre una sociedad de seres visibles y la sociedad de las fuerzas invisibles que los dominan. Esta imagen no es un fin en sí mismo sino un medio de adivinación, de defensa, de embrujamiento, de curación, de iniciación. Integra la ciudad en el orden natural, o el individuo en la jerarquía cósmica, «alma del mundo» o «armonía del universo». Aún más brevemente: un verdadero medio de supervivencia. Su virtud metafísica, que la ha hecho portadora de poderes divinos o sobrenaturales, la hace útil. Operativa. Lo contrario de un objeto de lujo. Por lo tanto, no se pueden oponer los objetos poseedores de sentido, que serían las «obras de arte», a los utensilios cotidianos, los cachivaches. Artilugio de los hombres sin artilugio, la cosa imaginada fue durante mucho tiempo un bien de primera necesidad.

Entonces, la imagen es más un medio que un fin; es una mecánica. Anterior a esto, pero en relación a este medio de supervivencia, dice Debray:

Nosotros, en verdad febriles, preferimos un analgésico a la visión de una marina [en relación a un consejo dado por Leon Battista Alberti: «Hace gran bien a los que tienen fiebre ver pinturas que representan fuentes,

                                                        1 Régis DEBRAY, Vida y muerte de la imagen. Historia de la Mirada en Occidente. España, Ed. Paidós Comunicación, 1994. págs. 14, 30, 31.  

 

ríos y cascadas. Si alguien, de noche, no puede conciliar el sueño, que se ponga a contemplar fuentes y le vendrá el sueño»] 2 . Nuestras imágenes sagradas ya no sangran ni lloran. Si les hablamos todavía a media voz, solos, en la penumbra, es por inadvertencia. Ya no creemos de verdad que la estatua de Santa Genoveva protege a París y que la Majesté de Sainte-Foy, en Conques, cura la lepra y las hemorroides. Ya no cubrimos los espejos cuando hay un muerto en la casa, por miedo a partir con él, como se hacía antes en el campo, y clavar alfileres en la foto de nuestro enemigo ya no es una manera útil de matar el tiempo. Salvo para los iluminados, los efectos de imagen tienden a caer en el ámbito común: buenas costumbres y malas influencias. Pornografía y televisión. Pasan, si se quiere, de la competencia de los teólogos, a la de los prefectos y de los etnólogos a los magistrados, o sea, de lo sobrenatural a la administración de los espacios comunes. ¿Es que ha perdido su misterio la fuerza activa de la imagen? Todas las apariencias indican que no. Sin duda, nuestro ojo se ha vuelto un tanto agnóstico, o está ya saturado, para mirar los techos de la Capilla Sixtina sin rugir ante las desnudeces que un día un papa «retrógrado» se creyó en la obligación de cubrir con taparrabos. Sin duda, ya nadie pide, entre nosotros, que se bajen a las reservas los desnudos de Boucher, como los ayatolás exigieron del Museo de Bellas Artes de Teherán. Nos reímos, satisfechos, de esos retrasados, olvidando que sus reflejos fueron los nuestros hasta ayer mismo. Y que en París, esta mañana, unos cristianos han puesto bombas en un cine para destruir una pantalla sacrílega y cegar los ojos tentados por la última tentación de Jesucristo. Estamos convencidos de que la inmóvil psicología del fanatismo no nos dará la clave de esos desplazamientos, de esos retornos, de esos cruces de la fidelidad óptica. Ya tranquilicen o solivianten, maravillen o embrujen, ya sean manuales o mecánicas, fijas, animadas, en blanco y negro, en colores, mudas, hablantes, es un hecho comprobado desde hace varias decenas de miles de años que las imágenes generan acción y reacción. Algunas, llamadas «obras de arte», se ofrecen con complacencia a la contemplación, pero esta contemplación no libera del «drama de la voluntad», como quería Schopenhauer, porque los efectos de las imágenes son a menudo dramáticos. Pero si nuestras imágenes nos dominan, si por naturaleza pueden provocar algo distinto a una simple percepción, su capacidad—aura, prestigio o irradiación— cambia con el tiempo. Nosotros desearíamos examinar ese poder, señalar sus metamorfosis y sus puntos de ruptura. Aquí la historia del «arte» debe desaparecer ante la historia de lo que la ha hecho posible: la mirada que ponemos en las cosas que representan otras cosas.

Y el pasaje clave sobre este tema, ya habiendo explicado previamente ese cambio del poder de una imagen, es:

                                                        2 De Re aedificatoria, libro IX, 4 (1452). Véase Paul-Henri MICHEL, La Pensée de L.B. Alberti, París, Les Belles Lettres, 1930, pág. 493 

 

André Breton parece tratar la imagen como una cualidad, y no como una relación social, de contenido más o menos indiferente. Como si la virtud mágica estuviera en la imagen, y no en aquel que la contempla. El escudo de Aquiles aterrorizaba a los mirmidones, pero ¿tendría los mismos poderes sobre nosotros? El velo de la Verónica, con la imagen verdadera de Jesucristo, ¿podría curarnos todavía? No depende de una imagen «reengendrar de alguna manera la magia que la ha engendrado», pues lo mágico es una propiedad de la mirada, no de la imagen. Es una categoría mental, no estética.

De la misma manera se refiere a este tema en dos ocasiones3 Marcel Duchamp con la analogía del ajedrez:

Marcel Duchamp — Una partida de ajedrez es una cosa visual y plástica, y si bien no es geométrica en el sentido estático de la expresión, al menos es mecánica, puesto que es algo que se mueve; es un dibujo, una realidad mecánica. Las piezas no son hermosas por sí solas, así como tampoco la forma del juego, pero lo que es bello —si es que puede utilizarse esa palabra— es el movimiento. Así pues, se trata, en efecto, de una mecánica, en el sentido, por ejemplo, de un Calder. En el ajedrez hay, ciertamente, cosas extraordinariamente hermosas en el ámbito del movimiento pero no, en absoluto, en el ámbito visual. En ese caso lo que es hermoso es la imaginación del movimiento. Es algo que ocurre totalmente en la materia gris. Pierre Cabanne — En resumen, en el ajedrez hay un juego gratuito de formas que se opone al juego de formas funcional del tablero. M. D. — Sí. Totalmente. Aun cuando el juego no sea totalmente gratuito, hay una elección... P. C. — Pero, ¿no hay un destino? M. D. — No. No hay un destino social. Eso es, primordialmente, lo más importante.

Esta es otra manera de explicar que no es la imagen la que tiene el poder, no es el ámbito visual, es el espectador el que se mueve o es movido por la imagen. Dice a continuación en la segunda cita:

Todas estas pamplinas, existencia de Dios, ateísmo, determinismo, libre albedrío, sociedades, muerte, etc., son las piezas de un juego de ajedrez llamado lenguaje y sólo son divertidas si uno no se preocupa por “ganar o perder” esa partida de ajedrez.

O sea, es divertido si se esta conciliado con el movimiento, con la mecánica de la imagen de vivir y morir, de la confrontación con la falta de una imagen fija, de una creencia fija, de una palabra o algo que materialice el objeto de deseo imaginario, la confrontación con ese abismo, ese espacio, para que se pueda volver a reconstruir otro medio de supervivencia que sea apropiado para las circunstancias de un sujeto o una cultura en un momento determinado. No se trata de lo que se puede retener con la retina, se trata de esa otra cosa a la que la imágen puede crear una alusión de para el sujeto, donde lo transporta; eso es puramente un mecanismo del sujeto.

                                                        3 Marcel Duchamp: CABANNE, Pierre. Conversaciones con Marcel Duchamp. Ed. Anagrama. Pag. 9

 

Los poliedros regulares, como muchas otras figuras y teorías, son un intento por parte de la humanidad de nombrar ese objeto externo a nosotros, eso a lo que llamamos “realidad”, y ha sido así como los sólidos platónicos se han cristalizado en la historia del hombre y han pasado a ser una convención del lenguaje aceptada como realidad con pocos cuestionamientos respecto a la razón de su existencia. Es necesario pensar en esto:

Si yo digo que veo hombres, es porque me apodero, “por una inspección del espíritu, de aquello que yo creía ver con mis ojos.” Estoy persuadido de que los objetos siguen existiendo cuando no los veo, por ejemplo, a mi espalda. Pero para el pensamiento clásico, estos objetos invisibles no subsisten para mi más que a causa de que mi juicio los mantiene presentes. Incluso los objetos que tengo delante no son propiamente vistos, sino sólo pensados. Así, yo no podría ver un cubo, es decir, un sólido formado por seis caras y doce aristas iguales, yo no veo más que una figura en perspectiva en la cual las caras laterales están deformadas y la cara dorsal absolutamente escondida. Si yo hablo de cubos es porque mi espíritu completa estas apariencias, suple la cara oculta. Nunca podré ver el cubo según su definición geométrica, sólo puedo pensarlo.

- Maurice Merleau-Ponty en Sentido y Sinsentido.

Aquí es donde comenzamos a sospechar que entre el lenguaje y aquello que se sale fuera del lenguaje no hay una reciprocidad armónica, y es importante poner el lenguaje, y a si mismo por consecuencia, en duda. La única realidad que tenemos la ilusión de aprehender, por momentos, es a través de la palabra, del lenguaje, de los signos. Pero más allá de este no existe el llamado mundo real—existe una cosa fuera del lenguaje, pero esto no se puede intuir para el sujeto que se aferra a una lógica fija del lenguaje, de su ficción, de su objeto de deseo. Dice Jacques Lacan, el psicoanalista francés, en una entrevista de 1974: “Es el mundo de la palabra el que crea el mundo de las cosas, inicialmente confusas en el devenir del todo. Sólo las palabras pueden dar un sentido cabal a la esencia de las cosas. Sin las palabras, nada existiría”.4 Lacan llegó a expresar funciones del sujeto y del lenguaje a través de la matemática, el álgebra, la topología, y trató con números irracionales como el número phi, el cual se investiga en este escrito. Todas estas funciones son interesantes si se miran desde la perspectiva subjetiva y la inherente irracionalidad de una lógica objetiva, cuando la lógica intenta que una imagen, un ídolo, una moral, sirva para todos.                                                         4 Psicocuestiones. Entrevista poco conocida al psicoanalista francés Jacques Lacan (1901/1981), realizada en 1974 por Emilio Granzotto. Inédita hasta 2004, la publicación literaria Magazine Litteraire la publicó para felicidad de muchos lectores. < http://www.psicocuestiones.com.ar/index.php?option=com_content&view=article&id=63:entrevista-a-jacques-lacan&catid=38:articulos> febrero de 2004.

  

 

Demos una mirada retrospectiva a través de la geometría, el arte, la ciencia y la historia, para entender de dónde surge la necesidad de representación de los poliedros regulares dentro de diferentes culturas, cómo estos han fascinado, y han sido objeto de especulación. También, a través de una mirada analítica de su construcción, se puede develar la inestabilidad de su solidez. Geometría antiguo Egipto y Grecia Definición e historia de la geometría La geometría, del griego geo (tierra) y metrón (medida), es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio; es una de las más antiguas ciencias. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas: las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba altamente desarrollada, según textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Ellos comentaron cómo los egipcios habían inventado la geometría y la habían enseñado a los griegos, muy probablemente a través de Pitágoras. Por la naturaleza del país, cuyas inundaciones anuales les obligaba a medir periódicamente los límites de las parcelas cultivables, tuvieron que resolver desde muy antiguo problemas de geometría. Los escribas calculaban correctamente superficies de cuadriláteros, triángulos y tenían una buena aproximación del área del círculo, pi π , que para ellos tenía el valor de 3'1605, cuando el resto de los pueblos de la época usaban un valor de 3. Más tarde se descubrió que su valor es irracional e infinito. También conocían la proporción áurea (phi Ø = (☐5+1)/2 = 1.618…), un constante matemático irracional, como π. Es importante también saber que los árabes, unos siglos antes de Cristo, también revivieron los estudios de Egipto, que ellos llamaban ‘Alquimia’. Pero incluso antes que los árabes, los griegos ya había intentado restaurar los antiguos conocimientos de los egipcios. Pitágoras fue quien sistematizó la geometría y la transportó de Egipto a Grecia. En Grecia, la filosofía y el pensamiento científico se encontraban unidos en un principio, es decir, el filósofo era un entendido en todo el campo del saber: en filosofía, astronomía, música, matemáticas, medicina, etc. Más o menos a partir de Platón, en cambio, ya podemos palpar una división, una distinción entre dos géneros fundamentales de conocimiento: la ciencia (episteme) y la opinión (doxa). La noción actual de ciencia no coincide totalmente con la platónica: para este filósofo la ciencia era el conocimiento estricto (universal y necesario) de lo absoluto, de lo eterno (que identificaba con las Ideas) y una tarea eminentemente racional. Siempre pensó que la ciencia verdadera sólo puede tener por objeto lo que él denominaba el Mundo de las Ideas. Platón sentía que el mundo que aprehendemos con nuestros sentidos es menos importante que el mundo subyacente de formas puras y eternas que percibimos con nuestra razón o intelecto, en contraste con nuestros sentidos físicos. O sea, este filósofo sentía un interés por el lenguaje subyacente en los seres humanos más allá que por

 

aquello que percibimos con nuestros sentidos. Por ejemplo, no le dio tanta importancia a la astronomía, en cambio enfatizó la aproximación analítica y matemática. Mirado a través del análisis del lenguaje y el discurso, en aquella época había muchas filosofías encaminadas en esta dirección. Por ejemplo, Protágoras de Addera (480-410 a.c.), tuvo un acercamiento interesante respecto al asunto del pensamiento. Preocupado por el estudio del discurso, pudo descubrir en cada argumento la posibilidad de crear dos discursos, ambos correctos, ninguno de los cuales puede ser dogmáticamente pensados como la verdad absoluta. Él es el creador del postulado sobre: "el hombre es la medida de las cosas, de las que son en cuanto son, de las que no son en cuanto no son." Específicamente sobre la geometría en Grecia, Euclides, en el siglo III a.c. recoge la herencia pitagórica y platónica y configura la geometría en forma axiomática (o sea, de forma evidente, aceptada sin demostración previa), creando así un sistema de teorías con un tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos. La geometría euclidiana descrita en Los Elementos se considera el primer teorema de clasificación de la Matemática. Esta estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional, y sitúa en el clímax final los cinco sólidos regulares.

La filosofía pitagórica, platónica y de la antigua Grecia Pitágoras y su escuela

Retomando la filosofía desde Pitágoras, podemos vislumbrar cómo se desarrollaron algunas de las teorías de estos célebres filósofos y la relación que la geometría y los sólidos platónicos tenían con sus teorías. Las ideas pitagóricas marcaron una gran influencia en Platón, y a través de él, sobre toda la filosofía Occidental. Como he mencionado previamente en la historia de la geometría, fueron los egipcios quienes derivaron la geometría para poder medir la tierra después de las periódicas inundaciones del Nilo y, en especial, fue Pitágoras quien sistematizó la geometría y la transportó de Egipto a Grecia. Pitágoras fue un filósofo, astrónomo y matemático griego, fundador de la escuela pitagórica. Es conocido sobre todo por el Teorema de Pitágoras, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no sólo a Pitágoras. Su escuela afirmaba que “todo es número”, y por eso se dedicó al estudio y clasificación de los números. Siendo muy joven viajó a Mesopotamia, Egipto y otros lugares del mundo conocidos. Viajó por más de 20 años, volviendo no sólo con los conocimientos matemáticos, sino también con las tradiciones religiosas y culturales. A su escuela de pensamiento se la conocía como los pitagóricos. Para ellos la ciencia estaba basada en una mezcla entre la observación directa del mundo alrededor de ellos, la experimentación y la conceptualización de este mundo en lenguaje aritmético, geométrico y filosófico. Ellos creían que a través del lenguaje se podía descifrar y demostrar que en el mundo y en la naturaleza existía una armonía subyacente5.

                                                         

 

Proclo, en sus Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides, atribuye a Pitágoras la construcción de «las figuras cósmicas» (Tannery, 1887). El interés de Pitágoras por los poliedros provenía de su observación en la infancia de las formas regulares geométricas de los minerales, ya que su padre era grabador de piedras y gemas, y el joven Pitágoras tomó nota de las formas puramente geométricas de los cristales cortados. Se dice que fue con estas formas cristalinas que su imaginación construyó los cuerpos sólidos. También pudo haberlos observado en otras formas de la naturaleza, como en los cristales de pirita en forma de dodecaedro, ya que éstos son abundantes en el sur de Italia, donde vivió Pitágoras tras abandonar Samos. También fue Pitágoras el primero en sostener que la tierra tenía forma esférica y postular que esta, el sol y el resto de los planetas conocidos no se encontraban en el centro del universo, sino que giraban en torno a una fuerza, o “fuego central”, simbolizada por el número uno. También fue el primero en denominar al universo como un “cosmos”, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardan una disposición armónica, causante de que sus distancias sean entre sí proporciones similares a las de los intervalos de la octava musical. Esto implicaba, además, que el universo era susceptible al entendimiento del hombre. Es importante no olvidar, sin embargo, que la voluntad unitaria de la doctrina pitagórica queda plasmada en la relación que establecía entre el orden cósmico y el moral. De hecho, para los pitagóricos el hombre era considerado un microcosmos, y por medicina entendían su función de restablecer la armonía del individuo cuando esta se viera perturbada. Siendo la música instrumento por excelencia de resonancia y armonía en los cuerpos, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para este.

“Pitágoras combinó un interés por las matemáticas y la ciencia en su papel como líder de [lo que era en esa época] un culto. Su principal contribución es que ve la realidad como matemática. La matemática: teoría de los números, la teoría de las formas, aritmética, geometría, esto era visto por él como el entendimiento de todo, incluyendo cosas que no parecían matemáticas en ese entonces, como la música.” – Dr. David Evans. Queens University, Belfast.

Su teoría del universo, basada en las relaciones entre los números racionales, se colapsó con el descubrimiento de los números irracionales. Enamorados de los números enteros, los pitagóricos creían que todas las cosas podían ser derivadas de ellos. Los sólidos platónicos tomaron gran protagonismo en esta destitución de su teoría. Los pitagóricos estaban fascinados con los sólidos regulares por las relaciones matemáticas, geométricas y numéricas entre las caras, los vértices y las esquinas de las figuras sólidas. A cada una de estas figuras, en relación a su número y a su forma, también le atribuyeron un elemento del universo, creando así una teoría cosmológica alrededor de estas 5 figuras. Ellos estaban fascinados sobre todo por la figura del dodecaedro, la cual relacionaban de forma mística con el cosmos y guardaban celosamente el secreto de su construcción. Esto se debía a la cercanía del dodecaedro con la forma esférica, pero sobre todo por la presencia del emblemático pentágono en sus caras y la estrecha relación que tiene éste con la raíz de dos en su construcción.

 

Vino la crisis cuando descubrieron que la raíz cuadrada de 2 era irracional, o sea que no podía representarse como la razón o proporción de dos números enteros. La primera prueba de la existencia de los números irracionales es usualmente atribuida a Hipaso de Mataponto, un posible miembro de la escuela pitagórica. No sólo el axioma era falso, sino que habían descubierto la existencia de un nuevo tipo de números, de características muy diferentes a los ya conocidos. Estos nuevos números no podían ser realmente conocidos, pues tienen un valor infinito y no eran periódicos. A estos números, recién encontrados, les dieron el nombre de arrheton que significa: inexpresable como una razón. El término actual es irracional, que significa lo mismo. Irracional originalmente significaba sólo eso: que no se puede expresar un número como una razón, pero para los pitagóricos vino a significar algo más, algo amenazante. Una insinuación de que su visión del mundo, su cosmovisión, tal vez no tenía sentido. En vez de compartir con las personas sus descubrimientos, los pitagóricos suprimieron la raíz cuadrada de dos y el dodecaedro; el mundo de afuera no podía saber. ¿Cual fue la mayor consecuencia de este descubrimiento? Que destituyó la suposición de que el número y la geometría eran inseparables, en un momento en que los pitagóricos pensaban que los números racionales podían describir toda la geometría del mundo. Fue esto lo que llevó a una crisis, pues los pitagóricos esperaban descifrar todos los enigmas de la naturaleza usando los números racionales y este descubrimiento acabó con su proyecto.

El descubrimiento de las razones inconmensurables fue indicativo de otro problema con el que se encontraban: al contrario de la concepción popular del tiempo, no podía haber una unidad indivisible, no existe una pequeñísima unidad para medir ninguna cuantidad. De hecho, estas divisiones de cuantidad deben ser necesariamente infinitas. Considera un segmento de línea: este segmento puede ser partido en la mitad, y esa mitad cortada a la mitad, y la mitad, y la mitad, infinitamente, por que siempre hay otro medio para cortar. Mientas más se corta el segmento, más cercana llega la unidad de medida a cero, pero nunca llegara exactamente a cero. Esto demostraba las contradicciones inherentes en el pensamiento matemático del tiempo, y de hecho, sigue demostrando las contradicciones inherentes en el pensamiento científico de nuestro tiempo, y la confianza que se deposita en ellos para encontrar una realidad, un objeto, una pequeñísima unidad para medir una cuantidad y aprehender, por lo tanto, algo real.   Platón

Platón propuso sus teorías para el alma en su libro Teeteto. Consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave para la física del cosmos. Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto.

Αγεωµετρητος µηδεις εισιτω

Nadie que ignore la geometría penetre bajo este techo.

 

Este era el signo en la parte superior de la entrada a la academia de Platón. Una citación anónima de un manuscrito de Aelius Aristides (orador popular griego de tiempos romanos), de la cual piensa el autor podría pertenecer al orador Sopatros del cuarto siglo, menciona el texto completo de la inscripción, añadiendo que “ageômetrètos” ha reemplazado lo que normalmente sería “anisos kai adikos” (lo desleal e injusto), agregando que se usaban inscripciones similares en las entradas de lugares sagrados: “Nadie desleal o injusto entre aquí”, y dice que, “la geometría busca la justicia y la igualdad.” La misma asociación con la noción de igualdad y justicia se puede encontrar en una referencia de una inscripción encontrada en la Chiliades de Johannes Tzetzes. Su texto dice así:

Pro tôn prothurôn tôn hautou grapsas hupèrche Platôn �

Mèdeis ageômetrètos eisitô mou tèn stegèn � Toutestin, adikos mèdeis paresierchestô tèide �

Isotès gar kai dikaion esti geômetria. �

“Platón había escrito en la entrada de la puerta de su casa: ‘Nadie que ignore la geometría penetre bajo este techo’, o sea, ‘Nadie que sea injusto penetre aquí’, pues la geometría es sinónimo de igualdad y justicia.”

Platón, como Sócrates, creía que las personas estaban demasiado deseosas por aceptar las cosas al pie de la letra. Sin embargo, él opinaba que uno no puede decidir si las acciones de una persona son buenas o malas hasta que cada uno definiese lo que es bueno. Las leyes no pueden ser llamadas justas o injustas hasta que cada uno defina qué es justicia. Esto hizo que Platón formulara una teoría de las formas y las ideas. Sus trabajos eran, ante todo, una metáfora del alma y el pensamiento6.

Los Poliedros en El Timeo de Platón Los poliedros son el núcleo de la cosmogonía pitagórica del Timeo de Platón que los asocia con la composición de los elementos naturales básicos, teoría de orden místico-filosófico. Keith Critchlow es de la opinión de que el Timeo fue escrito para permitir al escritor tener acceso a una tradición oral muy antigua, pero se cree que Platón tenía sus reservas sobre cuanto conocimiento matemático de la tradición pitagórica revelar. Los primeros pitagóricos habrían reconocido sólo el tetraedro, el cubo y el dodecaedro. El conocimiento del octaedro y el icosaedro se lo atribuyen a Teeteto (Heat, 1981), brillante matemático de La Academia. Este era amigo de Platón, que le honró dando nombre a uno de sus Diálogos: Teeteto. Además, este realizó importantes aportaciones sobre los números irracionales. En El Timeo la belleza es un elemento esencial de los poliedros. Pero, para Platón, la belleza de los sólidos regulares no reside realmente en su apariencia física, sino que permanece oculta en el ámbito ideal del pensamiento matemático. Esto es muy característico de la filosofía platónica, que se enfoca más en los pensamientos y representaciones del lenguaje que en los sentidos.

                                                        6 La editorial virtual. La República de Platón: http://www.laeditorialvirtual.com.ar/pages/Platon/LaRepublica_00.html 

 

La belleza en parte anida en que se puede demostrar mediante un razonamiento apriorístico (independiente de la investigación empírica), que existen cinco y sólo cinco poliedros regulares. Esta teoría y su posible significación filosófica ha sido una fuente de gran estímulo para quienes lo han estudiado. Platón dice: un sólido es regular si «tiene la propiedad de dividir en partes iguales y semejantes la superficie de la esfera en que está inscrito» (Timeo 55a). La perfección de los sólidos platónicos condujo a Platón a escribir, recopilando las antiguas creencias (una de las filosofías más mencionadas es la Alquimia), de que estos sólidos debían de representar los elementos que en ese tiempo se pensaban constituían el mundo. Platón argumenta la identificación de cada poliedro (de acuerdo con sus cualidades) con cada uno de los elementos. Explica también cómo fue creado el orden cósmico, o sea, la génesis de todo cuanto nos rodea en la naturaleza. Según Platón (Timeo, 54a-55c), cuatro de los poliedros regulares –tetraedro, octaedro, icosaedro y cubo– son, respectivamente, los átomos de los elementos –fuego, aire, agua y tierra–. Pero remarca que los elementos primigenios originales constituyentes del mundo material no son propiamente estos poliedros, sino sus componentes geométricos. Con respecto al arquetipo creado de estas figuras, Henry Billingsley da una descripción aún más detallada de las especulaciones cosmológicas que estos filósofos tuvieron con respecto a las estructuras de los sólidos y los elementos.

Pitágoras, Timeo y Platón buscaron la composición del mundo, con la armonía y preservación en ello implícito, y relacionaron estos cinco sólidos con las composiciones más simples de este mundo. La pirámide, o tetraedro, la relacionaron con el fuego, pues la figura tiene una tendencia a ascender. Al aire lo relacionaron con el octaedro, pues se extendía para todos los lados. Al agua, le asignaron el icosaedro, pues está continuamente fluyendo y moviéndose, creando ángulos en cada lado de su figura. Y a la tierra le atribuyeron el cubo, por ser una figura estable, firme y segura. Al dodecaedro, por ser hecho de pentágonos, con sus ángulos más amplios y grandes que el de los otros cuerpos (acercándose, por lo tanto, más a una figura redondeada, a una esfera), le asignaron los cielos, el universo.

Aristóteles Aristóteles se unió a la academia de Platón cuando cumplió dieciocho años y permaneció allí durante veinte años. Después de la muerte de Platón, Aristóteles dejó Atenas y alrededor de 343 B.C. se convirtió en el tutor del futuro Alejandro Magno. Para Aristóteles, como para algunos filósofos ya mencionados, pensar es el aspecto más valioso de la vida humana, y es lo que consigue para nosotros la limitada perfección que podemos como humanos conseguir. Aristóteles también creía en la mente como una “creadora”, pero no le atribuía la característica de “dios-todo-creador”, sino más bien

 

como un “movedor/manipulador principal”. Aristóteles describe a dios como “un ser el cual su naturaleza es “pensar sobre su propio pensar”. Si esto lo relacionamos con lo que postulé en la introducción sobre el sujeto como creador de significado, sujeto contenido en el lenguaje, podemos encontrar muchos parecidos con lo que este filósofo, desde la antigüedad, ya postulaba. Retomemos entonces la pregunta ¿Qué han significado los sólidos para las culturas y la historia conocida?    

 

PENSAMIENTO COSMOLÓGICO DE

DIFERENTES CULTURAS

Dice Régis Debray en Vida y muerte de la imagen7:

La belleza es siempre terror domesticado. Y la serenidad del resultado artístico, el fruto de un ensañamiento físico con una materia física. La consistencia de una obra exige cierta resistencia del caos primero, del material bruto a la mano obrera. Hoy el caos ya apenas resiste. Gracias a la mayor potencia de las herramientas podemos tener las cosas a distancia, esquivar la insistencia, actuar sobre ellas desde lejos. El ojo puede rebuscar, dar vueltas sobre la superficie, para una lectura rápida de las líneas y de los colores. Después de que nos hemos anexionado el mundo –hasta el punto de fabricar de él tantos como queremos, con la imagen de la síntesis- nos hemos liberado de las tareas de subsistencia, de la angustia de morir esta noche de hambre o de enfermedad, de la caída inexplicable del día, del asombroso ballet de los planetas. Preparados para el narcisismo sin fin, ad libitum, de las ojeadas «para ver», para nada.

Y la definición de la palabra cosmogonía8:

Cosmogonía es una narración mítica que pretende dar respuesta al origen del universo y de la propia humanidad. Generalmente, con esta se nos remonta a un momento de preexistencia o de caos originario, en el cual el mundo no estaba formado, pues los elementos que habían de constituirlo se hallaban en desorden; en este sentido, el relato mítico cosmogónico presenta el agrupamiento —paulatino o repentino— de estos elementos, en un lenguaje altamente simbólico, con la participación de elementos divinos que pueden poseer o no atributos antropomorfos. La cosmogonía pretende establecer una dimensión de realidad, ayudando a construir activamente la percepción del universo (espacio) y del origen de dioses, hombres y elementos naturales. A su vez, permite apreciar la necesidad del ser humano de concebir un orden físico y metafísico que permita conjurar el caos y la incertidumbre.

                                                        7 Régis DEBRAY, Vida y muerte de la imagen. Historia de la Mirada en Occidente, España, Ed. Paidós Comunicación, 1994. pág. 33,  8 Soler Gil, Francisco José. (2005). Dios y las cosmologías modernas. BAC («Estudios y ensayos - Serie Filosofía y Ciencias»), Madrid 2005. 

 

Los poliedros en el Neolítico La exuberante geometría de los sólidos platónicos, por sus significativos atributos de naturaleza geométrica, estética, simbólica, mística y cósmica, ha fascinado a todas las civilizaciones, desde los pueblos prehistóricos hasta nuestros días; siempre han sido símbolo y expresión placentera de la belleza ideal, entre otras cosas. Más de un milenio antes de los tiempos de Pitágoras y Platón, los Neolíticos de las Islas británicas y de las primeras culturas europeas, estaban tallando bolas de piedra en diseños que exploraban las simetrías poliaxiales de los poliedros regulares y semi-regulares y sus duales. Keith Critchlow considera que estos pueden tener significancia astronómica y calendárica. Aubrey Burl también sugiere que pueden haber sido objetos de fertilidad representando los testículos, ya que muy a menudo eran puestos en pares, en asociación con objetos fálicos. Es muy factible que fueran observadas en la naturaleza en la forma de algunos cristales como los de pirita, o en esqueletos de animales marinos como la radiolaria. Según Lawlor (1993), Gordon Plummer en su obra Las Matemáticas de una Mente Cósmica, afirma que la mística hindú asocia el icosaedro con el Purusha, la “semilla-imagen de Brahma, el creador supremo, la imagen del hombre cósmico”, mientras que el dodecaedro es asociado con Prakiti, el “poder femenino de la creación, la Madre Universal, la quintaesencia del universo natural”. En la mitología hindú, Purusha y Prakiti son la eterna dicotomía creadora, representación mística de la dualidad geométrica entre el icosaedro y el dodecaedro. Diversos historiadores de las Matemáticas (Eves, 1983; Kline, 1992) admiten que las antiguas civilizaciones egipcias y babilónicas tenían conocimiento del cubo, tetraedro y octaedro y que este saber se trasmitiría a Grecia a través de los viajes de Tales y Pitágoras.

Sólidos regulares neolíticos de Escocia (Ashmolean Museum de Oxford). Según Critchlow (1979), «lo que tenemos son objetos que indican claramente un grado de dominio de las matemáticas que hasta la fecha todo arqueólogo o historiador de la matemática le había negado al hombre neolítico». También se encuentran dodecaedros Etruscos, de antigüedad considerable en el Louvre y en otros museos.

 

1. Esfera tetraédrica neolítica (Keith Critchlow: Time Stands Still). 2. Dodecaedro etrusco (500 a.C. Landes-Museum. Mainz, Alemania).

3. Icosaedro romano (Rheinisches Landes-Museum. Bonn). Las cosmologías conocidas del mundo también asignan un rol dinámico principal a estos mismos cinco elementos, pues cada uno de ellos tiene un rol particular e indispensable para la transformación del material cósmico, eso es, lo que llamamos ecosistema, medio ambiente o la madre tierra. Estas figuras eran conocidas y modeladas por muchas culturas tempranas. Los antiguos chinos conceptualizaron un cosmos con los elementos fuego, tierra, metal, agua y madera usando una tabla pentagonal sobre los cinco elementos llamada Wu Xing9.

Cada fase dinámica de este sistema también representa un color, una función orgánica en el cuerpo humano, y una posición (más que una forma concreta) en el esquema universal de la creación y la destrucción. Platón de nuevo provee un punto de vínculo con esta cultura, pues los colores que él usó para representar cada uno de los cinco elementos es idéntico al de los antiguos chinos. También hay un leve parecido entre las stupas (o stobas) Budistas —figuradas en la próxima página— y las formas platónicas. Estas son lápidas tradicionales que todavía se utilizan en India, China y Japón.

                                                        9 “Wu Xing,” Wikipedia. <http://es.wikipedia.org/wiki/Wu_Xing> 

 

“La base de estas stupas es un cubo que representa la tierra, la fundación estable sobre la cual todo está construido. Apilado encima del cubo están, en orden: la esfera, la cual representa el agua; el fuego, representado por el triángulo rojo, el símbolo de la transformación de los elementos; una creciente simbolizando el aire, una bóveda haciendo referencia al cielo/aire; y, finalmente, una esfera afilada, el éter disipándose y convirtiéndose en un espacio perfecto.”10 Muchos líderes espirituales de tribus nativas de Norte América tenían una visión también similar. Por ejemplo, el universo de la tribu de los Sioux también es esférica, contiene los mismos cinco elementos creadores y los relacionaban con los mismos colores que los chinos y los griegos. Pero para estas tribus, la posición en el espacio-tiempo en relación con los infinitos flujos cíclicos tuvo mucho más predominancia en estas culturas que la jerarquía progresiva de los elementos en las culturas mencionadas previamente. Ahora investiguemos, entonces, qué significación cosmogónica tomaron los sólidos para Platón y la antigua Grecia y de qué forma organizaron los sólidos platónicos dentro de su esquema cósmico, y a partir de la filosofía geométrica.

                                                        10 “Plato’s Cosmic Container,” por Bethe Hagens. Mission-Ignition.<http://missionignition.net/bethe/platos.php> 

 

Este era el ideal de Platón del receptáculo femenino divino, diseñado para suplir su propio alimento de sus propio residuos. (Imagen © Bethe Hagens 2006) Platón usó esta forma para organizar sus enseñanzas sobre los orígenes de la vida. Él lo llamó el cuerpo ideal del cosmos. Lo describe como una esfera, compuesta de 120 triángulos idénticos que contienen los cinco elementos dinámicos de la creación: fuego, tierra, aire, agua y éter (energía de vida). En esto se parece mucho a la visión de los Sioux del universo, que también es esférica y contiene los cinco mismos elementos.

Estas formas geométricas regulares están “contenidas” en la esfera cósmica que ilustra Platón. Cada una de estos cinco sólidos pueden ser posicionados dentro de los 15 aros, de la esfera de 120 triángulos de forma que cada una de sus esquinas se encuentra con una esquina de uno de los triángulos de la esfera. Ellos pensaban que este “recipiente” organizaba las formas. No se creía que fuese visible, pero es la estructura que se pensaba mantiene todo en orden, y deducían que era por esta razón que esta “estructura natural” se pudiera encontrar en el mundo externo. Por eso, y de la misma forma, se creía que esta organizaba el pensar y la percepción. Los cinco sólidos platónicos proveen un cuadro, un marco para la percepción. Los vemos virtualmente en todas las escalas imaginables, desde la topografía del planeta

 

Tierra hasta cristales, granos de polen, plancton y moléculas.11 El esqueleto o estructura de proteínas microscópicas de muchos virus comunes, por ejemplo, son descritas por los actuales científicos como una mezcla de dos formas, el icosaedro(agua) y el dodecaedro (lo que llamaban éter o energía). La tabla periódica de los elementos es un sistema entero de pensamiento organizado alrededor de estas mismas cinco formas geométricas. Hay elementos que tienen muchas propiedades físicas analógicas a la formas geométrica correspondiente. Por ejemplo, las bases moleculares del oro, el cobre y la plata todos son cubos. Es importante remarcar que lo que describo no me interesa que adquiera ningún tipo validez científica, sino como demostración de las relaciones similares que se han llegado a elaborar dentro de un lenguaje común en nuestras culturas. Más adelante veremos otros ejemplos de estructuras que se asemejan a aquellas de los sólidos. Pero si todo recae dentro del lenguaje mismo de la construcción y forma de los estas figuras geométricas, vamos a analizar sus propiedades.

                                                        11 Ernst Haeckel, Art Forms from Nature (New York: Prestel‐Verlag, 1998).  Michael Schneider, A Beginner’s Guide to Constructing the Universe: The Mathematical Archetypes of Nature, Art, and Science (New York: HarperCollins Publishers, 1994). 

 

¿QUÉ SON LOS SOLIDOS PLATÓNICOS? Los cinco sólidos regulares conocidos como los sólidos platónicos fueron llamados así no porque fueron descubiertos por Platón, sino por el énfasis que él puso en ellos cuando expuso la teoría pitagórica en la cosmología del Timeo y porque no se conocen registros escritos anteriores que se refieran a los sólidos. Por decirlo de otra manera, Platón es el primer punto sólido de referencia conocido respecto a los sólidos regulares. Se conocen también como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos. Sólido, da.

(Del lat. solĭdus). 1. adj. Firme, macizo, denso y fuerte. 2. adj. Dicho de un cuerpo: Que, debido a la gran cohesión de sus moléculas, mantiene forma y volumen constantes. 3. adj. Asentado, establecido con razones fundamentales y verdaderas. 5. m. Geom. cuerpo (objeto material de tres dimensiones).

Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejanzas topológicas del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones; una arista o segmento representa un sólido en 1 dimensión; el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro es de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como polítopos, por lo que podemos definir un poliedro como un polítopo tridimensional.

 

polígono: 2D poliedro: 3D polícoro: 4D

Al añadir al cubo una dimensión más, esta sería “invisible” para el ojo humano, en tres dimensiones, pero es posible ver sus huellas en dos dimensiones. A éste polícoro se le llama un hipercubo. Retomando la definición geométrica, un poliedro es construido uniendo polígonos en sus aristas para encerrar una región del espacio; los polígonos son las caras de los poliedros. La palabra poliedro viene del griego clásico, de poli-muchas y edron-caras. Cuando todos los bordes y ángulos de un polígono son iguales, se les llama regulares. Los sólidos platónicos son construidos de estos polígonos regulares, y se caracterizan por tres propiedades:

1. Todas las caras son polígonos regulares, 2. Todas las caras son exactamente iguales, o congruentes, 3. Todas las esquinas son exactamente iguales. O sea, la misma cantidad de caras se

encuentran en cada vértice de la misma forma.

En Los Elementos de Euclides, éste muestra que hay exactamente cinco figuras. Estas son el tetraedro, el cubo o hexaedro regular, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Hay un video en línea12 informativo y sencillo que trata sobre la construcción de los sólidos. La segunda parte del video también es interesante, para quien le interese profundizar en las propiedades duales de los sólidos. La explicación en escrito está a continuación…

                                                        12 Vídeo en línea. The Platonic Solids.  Part 1 of 2: <https://www.youtube.com/watch?v=voUVDAgFtho> Part 2 of 2:<https://www.youtube.com/watch?v=BsaOP5NMcCM>  

 

Sólidos Platónicos con triángulos El polígono más simple es el triangulo equilátero. Tres triángulos forman una esquina, y un triangulo más cierra la forma, creando un sólido platónico con caras triangulares. Este sólido es llamado tetraedro regular.

Cuatro triángulos encontrándose en un vértice crean una esquina que se ve como una pirámide. Dos de estas esquinas pueden juntarse para formar un sólido platónico con ocho caras triangulares. Nótese que todas las esquinas son idénticas. Este sólido se llama octaedro regular.

Cinco triángulos encontrándose en un vértice crean una bóveda superficial. Unir dos de estas bóvedas no formará un sólido platónico, por que no todas las esquinas son las mismas. Pero uniendo dos de estas bóvedas, con una banda central de diez triángulos congruentes,c crea un sólido platónico con veinte caras. Este es llamado el icosaedro regular.

Seis triángulos equiláteros rodeando un vértice descansan en posición horizontal, así que no se pueden hacer más sólidos regulares con caras triangulares, por que no caben más triángulos alrededor de un vértice común.

Con cuadrados El próximo polígono regular es el cuadrado. Tres cuadrados congruentes pueden unirse para formar una esquina con ángulo recto; dos de estas esquinas pueden unirse para hacer un cubo. Cuatro esquinas uniéndose en un vértice vuelven a una posición plana, así que el cubo es el único sólido platónico que caras cuadradas.

 

Con pentágonos El pentágono regular es el próximo polígono más simple. Tres de estos uniéndose en un vértice crean una esquina. Cuatro de estas esquinas unidas forman un sólido platónico con doce caras. Este es llamado el dodecaedro regular. Cuatro o más pentágonos regulares no cabrán alrededor de un vértice común.

¿Puede haber más sólidos platónicos? Tres hexágonos regulares uniéndose en un vértice común descansan en posición horizontal, así que no se pueden hacer más sólidos con caras hexagonales. Polígonos regulares con más de seis lados no caben alrededor de un vértice común, así que hay exactamente cinco sólidos platónicos que cumplen las propiedades exigidas: convexidad y regularidad.

Simetría

Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos:

• Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.

• Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de la simetría anterior.

• Todos ellos tienen simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en partes iguales.

Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas ubicadas en el centro de simetría del poliedro:

 

• Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro. • Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro. • Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro. 

Recordad la esférca cósmica que mencionamos antes:

Ideal de Platón del receptáculo femenino divino, diseñado para suplir su propio alimento de sus propio residuos. (Imagen © Bethe Hagens 2006)

 

LAS MATEMÁTICAS Y

LOS NÚMEROS IRRACIONALES Pero comencé explicando, primero y primordialmente, la historia de cómo surgieron estos sólidos y toda la creencia y misticismo que se creó (y se ha creado) alrededor de ellos. Recordemos que los pitagóricos y Platón creían que a través del lenguaje de las matemáticas y la geometría, podrían dar explicación a aquella estructura que daba orden al mundo externo, o sea, al pensar y a la percepción. Y recordemos que su doctrina se encontró en crisis con el descubrimiento de los números irracionales, y el hecho de que la construcción de los sólidos regulares, las figuras consideradas más perfectas, tenían vínculos inseparables con los números irracionales. En las matemáticas podemos encontrar muchos números que ahora conocemos como irracionales, inconmensurables, y que han tomado parte en romper con un espejismo: no todo se puede explicar a partir de números racionales. Sin embargo, éstos números nos ofrecen herramientas para la construcción de ciertos elementos. Algunos de los números irracionales más célebres son:

El número pi π π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente: π ≈ 3,14159265358979323846...

El número phi Φ, o proporción áurea Es un número irracional. Surge de la división en dos partes de un segmento, guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.

Se trata de un número algebraico irracional que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, las nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, el caparazón de un caracol, y los flósculos de los girasoles, entre otros.

 

Este número, además, guarda una estrecha relación con la serie de Fibonacci, a la cual haremos referencia más tarde. En la razón de números Fibonacci consecutivos, mientras más grandes se hacen los números de la secuencia más se acercan a phi Φ. La raíz cuadrada de dos La raíz cuadrada de 2 es un número irracional (más aún, algebraico), su valor numérico es aproximadamente 1.4. La raíz cuadrada de 2 fue, posiblemente, el primer número irracional conocido como tal. Se conocía la existencia de pi, por ejemplo, pero se desconocía que eran números irracionales. La raíz de 2, geométricamente, equivale a la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado es igual a la unidad. Esto se deduce del teorema de Pitágoras, y es conocida como la constante pitagórica.

√2 = √1+1

Aquí podemos encontrar algunas explicaciones gráficas y descriptivas sobre cómo toman papel los números irracionales en la construcción de los sólidos:

• A través de la esfera representada en geometría euclidiana, usualmente llamada una “gráfica polar”.

En la construcción de una circunferencia podemos entrever que pi juega un papel, ya que representa el radio de una esfera, y esta esfera puede ser de cualquier tamaño, pero pi siempre será una constante en su radio. El espiral que se crea en el gráfico nos demuestra que el espiral áureo (phi) también se puede encontrar dentro de la gráfica polar, y por defecto también phi puede encontrarse

 

dentro de una esfera y ser una característica inherente dentro de la construcción de los sólidos.

También hay otras formas de construir los sólidos. Por ejemplo, a través de la “Flor de Vida”, otro patrón geométrico que tiene gran relación con los números irracionales.

“Fruto de vida” o “cubo de Metratrón”, también extraído de la estructura de la flor de vida.

De las gráficas anteriores podemos ver la naturaleza fractal y holográfica de la esfera y de los sólidos platónicos correspondientes. Cuando uno llega a una sola esfera, lo que existe

 

fractal y holográficamente dentro de la esfera, son nidos infinitos de esferas y sólidos platónicos “fractalmente” incluidos dentro de esta. Por esta razón mencioné, previamente, el hecho de que la particularidad del número irracional pi π reside en que sin importar el tamaño de la esfera, pi siempre será una constante de la figura. Aquí, además, tenemos las fórmulas inherentes de cada uno de los sólidos, y podemos ver cómo los números irracionales descritos anteriormente hacen parte de la figura y las representan en lenguaje algebraico. Para las personas familiares con el lenguaje algebraico es fácil, además, entender el orden de sucesión de los sólidos en relación armónica con su expresión algebraica.

1. Círculo [sin planos]

2. Central Icosahedron 1 / phi2

3. Octahedron 1/ √2

4. Star Tetrahedron √2

5. Cube 1

6. Dodecahedron 1 / phi

7. Icosahedron phi

8. Sphere [sin planos]

Las proporciones basadas en números irracionales comparten muchas propiedades con los fractales. De los fractales sabemos que están íntimamente relacionados con muchas formas y procesos de la naturaleza. Por ejemplo, se ha descubierto que los monumentos basados en proporciones irracionales nos ponen en contacto con los ritmos íntimos de nuestra propia naturaleza13. Hacia esto apuntaba la arquitectura cisterciense, muchas de cuyas abadías estaban concebidas como resonadores acústicos que transformaban un coro humano en música celestial. Aquí hay otros ejemplos curiosos sobre los números irracionales descritos anteriormente: Sobre la raíz cuadrada de dos

• en música, la razón de frecuencias de la cuarta aumentada de la gama temperada vale √2;

• en fotografía, la sucesión de valores de apertura del diafragma son los valores

                                                        13 Blogspot. El Número de Oro. Phi y la Arquitectura. <http://numerodeoroivh4.blogspot.com.es/p/fi‐y‐el‐arte.html> Mayo, 2013.  

 

aproximados de una progresión geométrica de razón √2.

Sobre phi Φ y la serie de Fibonacci De las cuales hemos señalado su estrecha relación. Estas son algunas de las estructuras en las cuales se pueden encontrar Φ y Fibonacci.

• La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal. • La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la

botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig.)

• La distribución de las hojas en un tallo. • La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles • La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas

principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).

• La distancia entre las espirales de una piña.

• La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones áureas.

• En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos, se encuentran números pertenecientes a la sucesión

 

de Fibonacci. El cociente de dos números sucesivos de esta sucesión tiende al número áureo.

• La Anatomía de los humanos se basa en una relación Φ estadística y aproximada,

así vemos que:

‐ La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo. ‐ La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos. ‐ La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla. ‐ La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Φ. ‐ La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz ‐ Es Φ la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar ‐ Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene Φ, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).

• Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de

Leonardo da Vinci.

• El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros.

 

• En el cuadro Leda atómica de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka.

• En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.

• En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussy.

• La molécula de ADN, la cual es considerada la “programadora de toda la vida”,

tiene la estructura basada en la sección áurea.

• La “fruta de vida” o “cubo de Metratrón”, el cual es derivado de la flor de vida (mencionada previamente en la demostración de la construcción de los sólidos), contiene la base para el diseño de cada átomo, estructura molecular y forma de vida. Como ya lo demostramos antes, también se puede construir los sólidos a partir de está gráfica.

• Las espirales de las galaxias se organizan alrededor de la constante phi.

• Los templos antiguos de Egipto, Grecia, entre otros, siguen las proporciones del

número áureo. Las pirámides también.

 

LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS

EN LA NATURALEZA

No puedo incluir en este trabajo todas las propiedades complejas que se han encontrado respecto a la relación de los sólidos y la naturaleza, pero se pueden compartir algunas analogías divertidas entre este lenguaje geométrico y su analogía con lo orgánico, lo vivo. Estos son algunos de los ejemplos que podemos encontrar:

• Algunos organismos microscópicos llamados radiolaria tienen esqueletos con la

forma de los sólidos.

• La estructura básica del VIH es un icosaedro regular.

• Algunos cuasi cristales tienen figura de dodecaedros.

• Algunos cristales regulares como el granate, el diamante y la Pirita (piritoedros) muestran características de dodecaedro o sus caras son, de hecho, pentágonos irregulares; hay otros cristales con formas de sólidos también. Ejemplos de Pirita:

 

• Hay dos sólidos platónicos encontrados en el agua: el icosaedro y el dodecaedro. El icosaedro, que Platón lo asociaba con el agua, es la estructura de H2O más dominante en agua de bajas partículas. El icosaedro tiende a duplicarse en interminables formaciones de estructuras icosaédricas, estos se atraen magnéticamente y se convierten en cúmulos extremadamente grandes, de millones y millones de moléculas. Atrapados entre estas gigantes formaciones yace siempre un único dodecaedro, asociado por Platón con el universo o energía. Cuando se liberan de su prisión icosaédrica tienden a separarse los unos de los otros, repelándose magnéticamente. También hay que recordar que el icosaedro y el dodecaedro son partículas complementariamente duales. Sobre la complementariedad de los sólidos he citado un video14 que explica estas propiedades. A continuación hay una imagen que puede servir para entender esta propiedad dual de los sólidos:

                                                        14 Vídeo en línea. The Platonic Solids. Part 2 of 2:<https://www.youtube.com/watch?v=BsaOP5NMcCM>  

 

Si se marca un punto justo en el centro de cada cara de un poliedro regular, y se unen estos puntos, aparecerá el poliedro regular dual de esta figura. El tetraedro es el dual de sí mismo; el cubo es el dual del octaedro y viceversa; el icosaedro es el dual del dodecaedro y viceversa.

Los dibujos que hay a continuación fueron hechos por el Dr. David Wheeler. Sus recursos para presentar estos datos concretos sobre el agua en relación con la física de los Sólidos Platónicos y su relación con la hidratación a través de la membrana de la célula vinieron, primordialmente, de los escritos del Dr. Martin Chaplin. Él es profesor de Ciencias Aplicadas, Investigación de Agua y Sistemas Acuáticos en la universidad de South Banks, Londres.

Dodecaedro Icosaedro Molécula

Cúmulos con estructuras de Sólidos Platónicos en moléculas de H2O, © Dr. David

Wheeler.

 

Patrones de agregación en cúmulos de agua, © Dr. David Wheeler.

Pequeños cúmulos dodecaédricos de agua son fácilmente hidratados por la membrana de una célula, © Dr. David Wheeler.

• El caparazón de las proteínas microscópicas de muchos virus han sido descritas por muchos científicos ya que poseen una mezcla de estas dos figuras: el icosaedro (lo que representaba antiguamente el agua) y el dodecaedro (antiguamente éter/energía de vida). La forma más estable y eficiente de estos tipos de virus es el icosaedro.

 

• Varios modelos han sido propuestos para la geometría del universo. Entre ellas, el espacio dodecaédrico de Poincaré: un espacio curvo que consiste de un dodecaedro a quien las caras opuestas corresponden.

• Platón organizó los cinco sólidos de menor a mayor complejidad geométrica. El

más básico es el tetraedro, y el más complejo el dodecaedro. Los científicos de hoy piensan en términos de una idéntica jerarquía geométrica cuando explican los principios del crecimiento celular y molecular, y su forma de vincularse. Por

 

ejemplo, las moléculas de metano, amoníaco, agua y carbono tienen estructura tetraédrica: una molécula central rodeada de cuatro electrones situados equidistantes los unos de los otros en las esquinas del tetraedro (fuego).

• La misma línea de pensamiento describe el crecimiento de un óvulo fertilizado. La división inicial de un óvulo para luego interconectarse con mitades de esferas es inmediatamente seguido por una segunda división que crea un Blastómero, una agrupación tetraédrica compuesta por cuatro células. Las siguientes imágenes muestran esta formación:

Fotografías e ilustraciones de un blastómero tetraédrico (de cuatro células).15

                                                        15 Los blastómeros son células animales indiferenciada resultantes de la segmentación del cigoto. En el ser humano, los blastómeros son producidos durante las primeras 24 horas después de la fecundación por un

 

• La Tabla Periódica de los Elementos es un sistema de pensamiento organizado

alrededor de estas cinco figuras geométricas. Elementos con la misma forma básica molecular tienen muchas propiedades físicas análogas a la de sus respectivos sólidos. Por ejemplo, las formas básicas moleculares del sólido, bronce y plata son todos cubos. Los vínculos químicos de las moléculas con diferentes formas de base son posibles por la particular habilidad transformacional de su estructura y su capacidad de vincularse con las esquinas de los 120 triángulos de la esfera cósmica de Platón.

• A nivel macroscópico16, la Tierra de por sí está siendo modelada como un gran

conjunto de moléculas, un cuerpo compuesto unido o fusionado a través de numerosos planetesimales17 que alguna vez orbitaron alrededor del sol. La investigación científica sugiere que el intenso calor de la tierra en el tiempo de su nacimiento (plasma o fuego), envió los elementos más livianos hacia arriba para formar la corteza terrestre (tierra). Con el tiempo, los gases (aire) burbujearon a través de las grietas de la corteza. Al enfriar el planeta, los líquidos se formaron (agua) y el material orgánico que trajeron los cometas o que traía el polvo interestelar germinaron hacia la transformación biológica y la evolución (vida/éter/energía). Este orden de transformación elemental es idéntica a la de Platón.

• Los cubos han sido utilizados en juegos de azar desde muy temprano en los

tiempos. “Cubos”, en realidad significa dado en griego. Todos los sólidos platónicos han sido usados como dados por miles de años. Como todas las caras, bordes y esquinas son iguales, todas las caras tienen igual posibilidad de ser escogidas cuando lanzas el dado.

                                                                                                                                                                  proceso de segmentación llamado blastogénesis. Dos días después de la fecundación hay 4 blastómeros y entre 7 y 8 al tercer día.

 16 En física, el nivel macroscópico es el nivel de descripción en que la posición o estado físico concreto de las partículas que integran un cuerpo puede ser resumido en una ecuación de estado que sólo incluye magnitudes extensivas (volumen, longitud, masa) y magnitudes intensivas promedio (presión, temperatura).  17 Los planetesimales son objetos sólidos que se estima que existen en los discos protoplanetarios. En esa primitiva nebulosa de gases y polvo en forma de disco, las partículas sólidas más masivas actuarían como núcleo de condensación de las más pequeñas, dando lugar a objetos sólidos cada vez más grandes que, en el curso de millones de años, acabarían creando los planetas.  

 

LOS SÓLIDOS EN EL ARTE

El modelo platónico del sistema solar, por Johannes Kepler. Mysterium Cosmographicum (1596) En los tiempos modernos los poliedros han sido un importante nexo que vincula cuestiones de Matemática superior (Topología algebraica, Teoría de Grupos) con la resolución de ecuaciones algebraicas y la Cristalografía, pero también, por su belleza y misterio, una fuente inagotable de inspiración que enciende la fantasía de creadores, arquitectos, diseñadores, escultores y artistas en general, entre los que sobresalen los impresionantes trabajos de aplicación de los poliedros en Antonio Gaudí, M.C. Escher (ej. Reptiles y Gravitación) y Salvador Dalí (ej. La última cena y Crucifixión). Estos artistas, como sus antepasados, geómetras y artistas, imputan a la geometría funciones de orden estético, cosmológico, científico, místico y teológico. También han estado presentes en la composición de muchas obras y tratados de artistas y teóricos renacentistas (Piero della Francesca, Pacioli, Leonardo Da Vinci, Durero,...), que diseñan y escriben sobre el Arte y la Geometría, tomando como argumento el encanto y la seductora perfección de los sólidos platónicos. Leonardo Da Vinci y Dalí, por ejemplo, construyeron y llevaban consigo su propio set de sólidos platónicos donde fuesen; Dalí recomendaba a sus estudiantes hacerse uno ellos mismos. Da Vinci hizo las ilustraciones para una disertación publicada por Luca Pacioli en 1509 titulada De Divina Proportione. Este libro contiene los dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco sólidos platónicos. Las repercusiones en la cultura figurativa de la época fueron considerables, Luca Pacioli cuenta en su libro que había en Venecia (ciudad de buenos vidrieros), una colección de esos cuerpos completamente transparente.

 

Uno de los dibujos realizados por Da Vinci para Luca Pacioli

La afición visual a estos “cuerpos” fue tan intensa que parece haber dado origen a un género específico que podríamos calificar como naturaleza muerta geométrica. Dicho de otra manera: antes de que aparezca el género autónomo del “bodegón” (utilizo ahora la tradicional denominación española), a principios del Barroco, existió una modalidad de arte objetual que consistió en la representación de entes geométricos autónomos, sin pretexto mitológico, histórico o religioso.

 

También estos cuerpos pueden asumir valores iconológicos. Lo sospechamos en La melancolía de Durero (ilustrada en la página anterior), por ejemplo, pues es imposible imaginar que la esfera de la parte inferior izquierda, o el gran cubo recortado, no tengan significados específicos en un contexto tan cargado de simbolismo como el de este grabado. Allí están compartiendo el espacio con otras cosas como un martillo, tenazas, un cepillo de carpintero, clavos, una escalera, etc., que son utensilios de medida, diseño y construcción, al igual que el compás. La figura femenina alada fija su mirada en el gran objeto geométrico de la izquierda, como si éste fuera en realidad la causa de su actitud especulativa o de su misma melancolía. ¿Es un romboedro o un hexaedro? Algo le falta para la perfección y tal vez sea esa la causa de la angustia especulativa que parece atenazar al personaje. La esfera, por su parte, al carecer de aristas, no puede fijarse de modo permanente en ningún lugar: su inestabilidad podría relacionarse con el hecho de que el perro (la fidelidad), encima de ella, esté dormido.

No muy posterior a esta, está otra famosa pintura alegórica, Los embajadores de Hans Holbein, donde vemos a los dos amigos, Jean de Dinterville y a Georges de Selve, de pie, frente al espectador, con el codo apoyado en un mueble plagado de utensilios geográficos y de instrumentos musicales. Son entes de melancolía, también, que esconden apenas su estructura geométrica subyacente, y que revelan su pleno sentido moral cuando el espectador, convenientemente situado, puede reconocer otro objeto revelador: la gran calavera que hay en primer plano, entre ambos embajadores, que funciona aquí como una mediadora de significados. Hay una aparente filosofía geométrica objetiva y una subyacente mecánica de perspectiva subjetiva. En el renacimiento se estudió la perspectiva del espectador sobre el objeto en su aspecto y plano simbólico. En la Perspectiva como forma simbólica (1927), de Erwin Panofsky, este plantea la perspectiva de un punto fijo establecido por el Renacimiento como una particular manera de representación espacial, que no se deriva de ninguna configuración visual o perceptiva humana, ni de la realidad objetiva, sino de una determinada concepción del mundo. No hay estructuras visuales objetivas ni percepciones

 

universales, sino particulares construcciones realizadas por cada sujeto en función de su visión del mundo (cosmovisión de tipo hegeliano). Si todavía no es clara la estrecha relación entre la perspectiva y las características irracionales de los sólidos platónicos, vuelvo a citar el ejemplo dado en la introducción sobre lo escrito por Maurice Merleau-Ponty en Sentido y Sinsentido:

Si yo digo que veo hombres, es porque me apodero, “por una inspección del espíritu”, de aquello que yo creía ver con mis ojos. Estoy persuadido de que los objetos siguen existiendo cuando no los veo, por ejemplo, a mi espalda. Pero para el pensamiento clásico, estos objetos invisibles no subsisten para mí más que a causa de que mi juicio los mantiene presentes. Incluso los objetos que tengo delante no son propiamente vistos, sino sólo pensados. Así, yo no podría ver un cubo, es decir, un sólido formado por seis caras y doce aristas iguales, yo no veo más que una figura en perspectiva en la cual las caras laterales están deformadas y la cara dorsal absolutamente escondida. Si yo hablo de cubos es porque mi espíritu completa estas apariencias, suple la cara oculta. Nunca podré ver el cubo según su definición geométrica, sólo puedo pensarlo.

Y es aquí, probablemente, donde recae la irracionalidad de los propios sólidos, y la incapacidad de describir el mundo externo a partir de números enteros o una geometría euclidiana. El hecho de que no se pueda construirlo todo a partir de la razón, porque siempre hay algo que se le escapa al sujeto en el proceso de significar un objeto, siempre hay una cara escondida en la llamada “realidad” que intentamos descubrir con el lenguaje. Y a propósito del tema de la perspectiva y la racionalización de nuestro entorno en leyes físicas, ¿a dónde ha llevado esto en la edad moderna?

 

LA CIENCIA MODERNA Y LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS

La física, la astronomía y la química vienen de sus antiguos maestros, de la antigua matemática, geometría, astrología y alquimia, aunque a muchos les avergüence admitirlo o no entiendan cómo puedan haber surgido de filosofías sin fundamentos considerados “científicos” o racionales. Una de las ramas más avanzadas en la ciencia actual es la mecánica cuántica. Esta es una de las ramas principales de la Física y considerada uno de los grandes avances del siglo XX en el conocimiento humano. Explica el comportamiento de la materia y de la energía. Pero aun esta ciencia tan avanzada se ha encontrado con problemas muy reminiscentes a los problemas de los antiguos griegos. Dicen que si quieres ver miedo en los ojos de un físico cuántico, sólo hay que mencionarle El problema de la medida. El problema es el siguiente: un átomo sólo aparece en un lugar particular si lo mides. En otras palabras, un átomo está dispersado por todas partes hasta que un observador consciente decide mirarlo18. Así que el acto de medir o de observar crea el universo entero. O sea, hay una fundamental inseparabilidad entre el observador y lo observado. Y es aquí donde se une la filosofía antigua, el arte y la ciencia. Volvamos a repasar cómo describía Platón la “creación del universo” en los diálogos de Timeo:

"...Así, el dios colocó agua y aire en el medio del fuego y la tierra y los puso, en la medida de lo posible, en la misma

relación proporcional mutua --la relación que tenía el fuego con el aire, la tenía el aire con el agua y la que tenía el aire con

el agua, la tenía el agua con la tierra— y de este modo unió el marco del mundo visible y tangible."

Timeo 32b Si es el observador el que da significado al mundo que le rodea, entonces esta descripción de Platón muestra cómo el hombre actúa como una especie de microcosmos que nombra, disecciona y discierne, se separa de y se une a los objetos o a la experiencia en este juego de articulación y desarticulación. Como una especie de oscilación, un juego, del lenguaje frente a lo que se encuentra. Anexando aquí otro trozo de información útil, los escritos teóricos de Henri Poincaré influenciaron e inspiraron particularmente a Marcel Duchamp. Poincaré postuló que las

                                                        18 Youtube. Experimento de la segunda ranura 1/3, en línea. <https://www.youtube.com/watch?v=MzCf6b6qnWg> Enero 12, 2013.  

 

leyes, que se creía gobernaban la materia, eran creadas solamente por la mente que las “entendía” y que ninguna teoría podía ser considerada “verdadera”. Escribió en 1902: “Las cosas en sí no son lo que la ciencia puede alcanzar, pero solamente la relación entre las cosas. Fuera de estas relaciones no hay ninguna realidad cognoscible.” Esto recuerda a una conocida frase del caso 29 de Mumonkan (una serie de filosofías budistas):

Dos monjes estaban discutiendo sobre la bandera del templo que estaba siendo agitada por el viento. Uno decía, “la bandera se mueve.” El otro decía, “el viento se mueve.” Estos discutían una y otra vez pero no se podían poner de acuerdo. El Sexto Ancestro dijo, “Caballeros! No es el viento el que se mueve; no es la bandera la que se mueve; es tu mente la que se mueve.”

 

¿CÓMO SE LIGAN ESTOS CONCEPTOS AL PROYECTO REALIZADO?

El proceso abstracto, pensativo, que realicé fue el siguiente: Me interesé por hacer una intervención dentro de estos poliedros regulares conocidos y me encontré con el simbolismo cosmogónico que diferentes culturas les han atribuido. Decidí acotar mi trabajo dentro de esos límites, y a partir de ahí, dentro de ese vacío entre el objeto externo que se me presentó para trabajar y aquello que me sugería, hice una intervención con mi dibujo y modelado. Como si la intervención propia colapsara estas formas geométricas, y de este colapso surgieron unas formas orgánicas que son invención mía, pero consideradas siempre dentro de la acotación de sus figuras geométricas y su supuesto simbolismo. Y, a propósito de eso, encontré un artista que hizo unas esculturas en bronce de los sólidos platónicos colapsados. Un trabajo interesante que resume el tema de una forma más minimalista pero igualmente bastante ilustrativos sobre esta forma más moderna de mirar la geometría y entender el mundo físico.

El artista se llama Julian Voss-Andreae, graduado con PhD en física, y la serie a la cual pertenecen estas piezas se llama Quantum Objects (Objetos Cuánticos). Son los sólidos platónicos colapsados.

 

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

• La Geometría no euclidiana y la Geometría de n dimensiones. El blog de juanjo. <http://elblogdejuanjo.wordpress.com/>

• Pierre Cabanne, Conversaciones con Marcel Duchamp. Ed. Anagrama. • Claude Bragdon, A Primer of Higher Space (the Fourth Dimension) • Juegos Topológicos. La esfera de Poincairé, ¿la forma de nuestro universo? 

<http://topologia.wordpress.com/2009/02/14/la-esfera-de-poincare-%C2%BFla-forma-de-nuestro-universo/> Publicado febrero 14, 2009

• La Historia del tiempo de Stephen Hawking. • El aura y el objeto de Juan Antonio Ramírez. • <http://es.wikipedia.org/> Artículos: Antiguo egipto. La suceción de Fibonacci.

Numero Áureo. Socrates. Platón. Aristóteles.

• Youtube, <http://www.youtube.com/> Carl Sagan, Pitágoras y Platón.

• Fibonnacci numerbers and the Golden Section, <http://www.maths.surrey.ac.uk/>

• Régis DEBRAY, Vida y muerte de la imagen. Historia de la Mirada en Occidente.

España, Ed. Paidós Comunicación, 1994.