Mecanica de Solidos y Sistemas EstructuralesDepartamento de Estructuras de Edificacion

Escuela Tecnica Superior de de Arquitectura de MadridAA 07/08 7-3-2008 Resultados

Practica 4. Equilibrio, esfuerzos internos, deformacionesv1.2

Datos. P=150kN; L=5m; el resto en el enunciado.

1. Grado de libertad: θC. Modos de deformacion: εA, εB. OC esun solido indeformable que representa a la piedra.

Ecuacion de equilibrio,∑

MC =0:

{

P·1,1L}

= L·

[

1sin(α+β)

cosα

] {

SA

SB

}

Ecuaciones de comportamiento de los cables (periodo proporcional):

{

SA

SB

}

=EA

L·

[

1/0,61/1,17

]{

∆ℓA

∆ℓB

}

Ecuaciones de compatibilidad:

{

∆ℓA

∆ℓB

}

= L·

[

1sin(α+β)

cosα

]

{

θC

}

Resultados: θC = 0,78mm/m; vO = 3,90mm; SA = 126kN; SB = 49,5 kN; HC = 42,00kN; VC = −1,49 kN. Lasolicitacion en ninguno de los cables supera su lımite elastico (196 kN), luego la carga no supera el lımite elasticode la estructura (por determinar).

β

αP

O

A B

C

2. Ecuacion de equilibrio en el lımite de resistencia de ambos cables:

{

Pu ·1,1L}

= L

[

1sin(α+β)

cosα

] {

196kN196kN

}

⇒ Pu = 316 kN

Coeficiente de seguridad γ =2,11.

Comprobacion cinematica:εA

εB

=∆ℓA/(0,6L)

∆ℓB/(1,17L)= 2,53. Por tanto, si εA = 10mm/m entonces εB =

3,95mm/m, mayor que 2mm/m: ambos cables pueden alcanzar su maxima resistencia antes de que rompael primero que lo hace, el A.

3. Puesto que se trata de disminuir el descenso, en ambos casos la estructura esta en periodo proporcional:

3,9mm

1 mm=

150kN

P1 mm⇒ P1mm = 38,5 kN

3,9mm

1mm=

126 kN

SA1 mm⇒ σ

A,1 mm = 65,8 N/mm23,9 mm

1 mm=

49,5 kN

SB1 mm⇒ σ

B,1 mm = 25,8 N/mm2

4. Grado de libertad: θC. Modos de deformacion: εA, εB; OQC esel perfil de la piedra.Hay que volver a escribir los tres conjuntos de ecuaciones para lanueva geometrıa de la estructura.

Resultados: θC = 2,92mm/m; vO = 14,60mm; SA = 147kN; SB =155 kN; HC = 258kN; VC =−5,54 kN. La solicitacion en ninguno delos cables supera su lımite elastico (196 kN), luego la carga no superael lımite elastico de la estructura (por determinar). P

O

Q

A

B

C

β

5. Si ambos cables alcanzan su maxima resistencia antes de que rompa el primero, Pu≈196kN. Coeficiente deseguridad, γ =1,31.

Comprobacion cinematica:εA

εB

=∆ℓA/(0,6L)

∆ℓB/(1,17L)= 0,96. Por tanto, si εB = 10mm/m entonces εA =

9,60mm/m, mayor que 2mm/m: ambos cables pueden alcanzar su maxima resistencia antes de que rompael primero que lo hace, el B.

Con esta estructura se emplea mas volumen de acero pero se obtiene menos resistencia: es mas costosa (omenos eficaz) que la anterior.

6. En la estructura de la izquierda, las longitudes de los cables son proporcionales a la serie 0,8; 1; 1,2; 1,4. Losalargamientos producidos por el giro en C son proporcionales a su vez a la serie 0,58; 0,7; 0,82; 0,94. Por tanto,las deformaciones seran proporcionales a la serie 0,725; 0,700; 0,683; 0,671. El cable que mas se deforma es elmas cercano a C. La proporcion entre las deformaciones del cable que mas tiene y el que menos es 1,08, portanto los cuatro cables pueden alcanzar su maxima resistencia, antes de que se rompa alguno. La carga ultimase obtiene como suma del maximo esfuerzo de cada cable por la distancia a C, divida por el brazo de palancadel peso (1,1L): 465 kN. Respecto a la estructura de 4, la carga ultima ha aumentado 2,37veces, para lo cual seha doblado el numero de cables y se ha aumentado 2,44 veces el volumen de acero: hubiera resultado mas eficazy menos costoso doblar el area de los dos cables originales.

P

O

Q

C

0,58L

0,12L

0,12L

0,12L

0,8L0,2L0,2L0,2L

P

O

Q

C

1,243

m0,6

22m0,6

22m0,5

14m

0,4L0,2L0,2L0,2L

En la estructura de la derecha el trazado geometrico no sigue la ley simple de la anterior y el calculo de lasdistancias de cada cable a C es distinto segun se trate del cable que pasa por O o de los otros tres (en la figura, seha dibujado y medido, como en AUTOCAD). Se puede calcular exactamente la proporcion entre deformaciones,pero como los tres cables mas cercanos a C guardan la misma proporcion entre su longitud y su distancia a C,se sigue que tienen exactamente la misma deformacion, y por tanto es seguro que las deformaciones de los cuatropresentaran menores diferencias que en el caso anterior: los cuatro pueden alcanzar su maxima resistencia (laproporcion entre la maxima y mınima deformacion es 1,04). En tal caso, la carga ultima se obtiene como antes:307 kN. Respecto a la estructura de 4, la carga ultima ha aumentado 1,57 veces, para lo cual se ha doblado elnumero de cables y se ha aumentado 1,56 veces el volumen de acero: para aumentar la resistencia se trata deuna alternativa menos costosa que la de la izquierda.

Comparacion crıtica de soluciones.Resulta difıcil comparar la solucion de 1 con las otras tres:la sustentacion, un techo, es muy diferente a la otra, unapared. Entre las otras tres las diferencias no son abismales.Resulta mas eficaz la ultima, aquella que tiene tres de suscuatro cables trabajando con la misma deformacion: noteseque, de los tres, el cable cercano a C aporta menos momentoque el mas lejano, pero justamente en la misma proporcionen que es mas corto y, por tanto, requiere menos material.Para encontrar una alternativa mejor a las tres ultimas, loanterior sugiere especular con la inclinacion y punto de en-ganche de un solo cable (que, por definicion, siempre tendrıatodo el material a la misma deformacion). Tal y como semuestra en la figura, puede encontrarse una solucion quepermite ahorrar casi dos litros de acero por cada meganew-ton de carga aplicada. Seguro que existen disenos mejoresaun. . . P

O

Q

A

C

0,1L

0,71L

0,8L0,2L0,1L

solucion V Pu V ÷ Pu

dm3 kN dm3/MN

1 4,34 316 13,73

4 5,16 196 26,33

6izq 12,59 465 27,08

6der 8,05 307 26,22

figura 2,63 108 24,35

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