CONDUCCION DE CALOR EN SOLIDOS

1. Introduccion y formulacion general.

Empezaremos el analisis de los procesos de conduccion de calor por el caso mas simple de

la conduccion de calor en solidos. Para facilitar este analisis introduciremos simplificaciones,

como son suponer constantes los valores ρs, cs y ks de la densidad, del calor especıfico y de la

conductividad del solido, que estan bastante bien justificadas dadas las pequenas variaciones

que tienen estas magnitudes en la mayor parte de las aplicaciones.

La constancia de la densidad del solido permite su consideracion como solido rıgido, a la

hora de calcular la distribucion de temperaturas. Sin embargo, las variaciones de la densidad

local del solido con la temperatura, aunque pequenas, juegan un papel esencial en la generacion

de esfuerzos termicos. Por ello, para la determinacion de los esfuerzos en los solidos es esencial

la determinacion previa de la distribucion de temperatura; y esta puede obtenerse con buena

precision usando las aproximaciones introducidas mas arriba.

Consideraremos el caso de un solido que ocupa un dominio Ωs,que supondremos banado en

el exterior por un fluido que puede estar en movimiento con conveccion forzada o natural. Para

la determinacion del calor que puede pasar del fluido al solido, a traves de la superficie∑

s

que limita al solido, deberıamos analizar simultaneamente el proceso del transporte convectivo

de calor en el fluido; tarea que es mas compleja que la determinacion de la distribucion de

temperatura en el solido. Sin embargo, empezaremos nuestro analisis usando un procedimiento

aproximado, comun en la Ingenierıa, de modelizar este transporte con una ley global, de tipo

Newtoniano. Esta aproximacion consiste en suponer que el calor q′′fs que pasa, por unidad de

superficie y por unidad de tiempo, del fluido al solido es

q′′fs = hc(Te − Ts) (1)

proporcional a la diferencia entre la temperatura ambiente Te del fluido y la temperatura local

Ts, que comparten el fluido y el solido, en la entrefase∑

s.

El coeficiente de proporcionalidad hc se denomina coeficiente global de transferencia de calor.

Si tenemos en cuenta que q′′fs viene dado por

q′′fs = kf (∂T/∂n)0+ (2)

donde n es la distancia normal exterior a la superficie, y kf la conductividad del fluido evaluada

a la temperatura Ts, el coeficiente hc puede escribirse en la forma

hc = kf/δT (3)

donde δT , definido mediante la relacion

(∂T/∂n)0+ = (Te − Ts)/δT , (4)

1

es el espesor local efectivo de la capa termica; la cual, finalmente, debera determinarse mediante

el analisis del proceso de transporte convectivo de calor en el fluido. Aunque el valor de δT y con

ello hc variara de un punto a otro de la superfice del solido, en el analisis que sigue supondremos,

como se hace frecuentemente a la hora de describir la temperatura en solidos, que hc es constante.

Ası pues, a la hora de determinar la distribucion de temperatura en el dominio Ωs del solido

definido por F (xxx/L) < 0 hemos de resolver la ecuacion

ρscs∂T

∂t= ks∆T , (5)

con la condicion de contorno

ks (∂T/∂n)0− = hc(Te − Ts) + q′′rad (6)

en la superficie∑

s del solido, definida por F (xxx/L) = 0. En (6) hemos incluido tambien el calor

q′′rad que, por unidad de superficie y tiempo, pueda llegar por radiacion a la superficie, y ser

absorbido en esta. En la ecuacion, F (xxx/L) = 0, de la superficie aparece la longitud caracterıstica

L del cuerpo. La componente normal al solido del gradiente de temperatura, que aparece en (6),

viene dada por

∂T/∂n = nnn · ∇T = ∇T · ∇F/ | ∇F | (7)

Hemos de complementar las ecuaciones (5) y (6) con la condicion inicial

T = T0 en t = 0 , F (xxx/L) < 0 (8)

donde, por simplicidad en la exposicion, supondremos que T0 es uniforme. En el Apendice A,

analizaremos el caso del calentamiento de un solido desde una zona caliente localizada, donde

la temperatura inicial TI difiere de T0, suponiendo que la zona caliente no esta cerca de la

superficie del solido, y que tiene una dimension LI pequena frente a LI . La forma autosemejante

de la solucion de (5) para tiempos L2I/αs t L2/αs corresponde a una de las soluciones

fundamentales de la ecuacion.

Es importante observar que en la ecuacion (5), los parametros fısicos aparecen combinados

en la difusitividad termica αs = ks/ρscs. Esta, y la dimension L caracterıstica del solido definen

el tiempo

ts = L2/αs (9)

caracterıstico de la conduccion de calor a traves del solido, como se deduce de la igualdad

(Ts − T0)/ts = αs(Ts − T0)/L2 entre los ordenes de magnitud de los dos terminos de la ecuacion

∂T

∂t= αs∆T (10)

A continuacion formularemos en forma adimensional el problema de resolver la ecuacion (10)

con la condicion de condicion de contorno (6) y la condicion inicial (8), utilizando L como escala

2

de longitud y ts = L2/αs como escala de tiempo. El incremento de temperatura (T − T0) se

medira con (Te − T0) para definir la variable dependiente

θ = (T − T0)/(Te − T0) (11)

Con ello obtenemos la ecuacion∂θ

∂t= ∆θ (12)

a resolver para t > 0 en F (xxx) < 0, con la condicion inicial

θ = 0 en t = 0 , F (xxx) < 0 (13)

y la condicion de contorno

∂θ

∂n= Bi(1 − θ) + qrad en F (xxx) = 0, (14)

Aquı encontramos dos parametros adimensionales: El numero de Biot

Bi = hcL/ks , (15)

y el valor adimensional del flujo de calor recibido por radiacion

qrad = q′′radL/ks(Te − T0) (16)

El segundo puede interpretarse como el cociente entre el flujo de calor radiante q′′rad y el flujo

de calor, ks(Te − T0)/L, caracterıstico de la conduccion. El numero de Biot es el cociente entre

el tamano L caracterıstico del cuerpo y la longitud

δe = ks/hc (17)

definida por ks y hc. Esta longitud caracteriza, como veremos a continuacion, el espesor de

la capa termica calentada en un solido semi-infinito por un flujo convectivo exterior, con el

coeficiente de transferencia hc, cuando se espera el tiempo te necesario para que la temperatura

superficial alcance un valor intermedio entre T0 y Te.

2. Calentamiento de un solido semi-infinito por un flujo convectivo externo de calor.

Supondremos que el solido, que inicialmente esta a la temperatura T0, ocupa el semiespacio

x > 0 donde la temperatura T (x, t) viene dada por la ecuacion

∂T

∂t= αs

∂2T

∂x2, (18)

a resolver para t > 0 con la condicion inicial

T = T0 en x > 0 , t = 0 , (19)

3

valida tambien para todo t, como una de las condiciones de contorno, cuando x → ∞. La otra

condicion de contorno es

−ks(∂T/∂x) = hc(Te − T ) en x = 0 (20)

A la vista del problema (18)-(20) podemos concluir que

T − T0 = f(x, t, αs, Te − T0, ks/hc) (21)

donde aparecen como parametros dimensionales: la longitud δe = ks/hc, el incremento de tem-

peratura (Te − T0) y la difusitividad termica αs. Esta ultima define junto con δe el tiempo

caracterıstico te = δ2e/αs, que podemos utilizar para re-escribir en forma adimensional (21) y el

problema (18)-(20).

Ası pues utilizaremos como variable independiente θ, definida en (11), y las variables inde-

pendientes

ξ = x/δe y τ = αst/δ2e (22)

con lo que (18)-(20) toman la forma

∂θ

∂τ=∂2θ

∂ξ2, para ξ > 0 , τ > 0 , (23)

θ = 0 en τ = 0 y en ξ → ∞ (24)

∂θ

∂ξ= −(1 − θ) en ξ > 0 , τ > 0 (25)

La solucion de este problema del calentamiento convectivo de un solido semi-infinito puede

obtenerse por cuadraturas; reformulandolo previamente usando la variable −∂θ/∂ξ + θ = F .

La variable intermedia F (ξ, τ) verifica el sistema

∂F

∂τ=∂2F

∂ξ2, para ξ > 0 , τ > 0 , (26)

F = 0 en τ = 0 , y en ξ → ∞ , (27)

F = 1 en ξ = 0 , τ > 0 , (28)

correspondiente al problema del calentamiento de un solido semi-infinito, inicialmente a la tem-

peratura F = 0, cuando la temperatura de la superficie sube bruscamente en τ = 0 a F = 1.

La solucion de este problema (26)-(28) es autosemejante como el lector puede demostrar;

esto es, F es funcion de la variable de semejanza ξ/√τ . El lector puede obtener facilmente la

solucion

F = erfc(ξ/2√τ) = θ − ∂θ

∂ξ(29)

4

donde erfc(η) = 1− erf(η) es la funcion de error complementaria de la funcion de error.

erf(η) =2√π

∫ η

0exp(−z2)dz (30)

que crece de 0 a 1 cuando η sube de 0 a ∞.

Notese que en este problema de temperatura superficial constante, 1, el flujo de calor adi-

mensional hacia el solido es

(∂F/∂ξ)0 = −1/√πτ (31)

El lector puede demostrar tambien, previa derivacion respecto a ξ de (29) y particularizacion

para ξ = 0, que la temperatura superficial θs(τ), correspondiente al problema (23)-(25), satisface

la ecuacion

∂θs/∂τ = θs − 1 + 1/√πτ (32)

a resolver con la condicion inicial θs(0) = 1 para dar

θs = 1 − eτ erfc√τ (33)

que se representa en la figura 1 y, que tiene las formas asintoticas

θs = 2√τ/π para τ 1 y θs = 1 − 1/

√πτ para τ 1 (34)

deducibles directamente de (32). La primera corresponde al caso de flujo de calor constante; es

la solucion de (23)-(25) cuando en (25) se desprecia la subida θ de la temperatura superficial.

Observese que, como muestra la figura 1, θs sube a valores de orden de 0.5 para τ de orden

unidad; esto es, para t del orden de te = (ks/hc)2/αs, cuando la onda termica tiene un espesor

del orden de δe = ks/hc. Para t moderadamente grande frente a te, la temperatura superficial ya

es proxima a Te, y la distribucion de temperatura en el solido se aproxima a la autosemejante

correspondiente a la subida brusca de la temperatura superficial al valor constante Te.

Ejercicio

1. Generalizar el analisis de la seccion anterior para incluir el efecto de un aporte exterior por

radiacion, q′′rad por unidad de superficie y tiempo. Dar explıcitamente la evolucion temporal de

la temperatura superficial y de los flujos de calor que, por unidad de superficie y tiempo, pasan

al fluido y al solido.

2. Dos solidos seminfinitos, de conductividades y difusitividades termicas k0 y k1, α0 y α1,

inicialmente a las temperaturas T0 y T1, se ponen en contacto a partir de t = 0. Escribir las

ecuaciones y condiciones de contorno que determinan la distribucion de temperaturas en los

mismos. Mostrar con ayuda del analisis dimensional que la temperatura en la superifice de

contacto salta en t = 0 a un valor constante Tc. Mostrar entonces, apoyandose en la solucion

(29) del problema (24), que la distribucion de temperaturas en los solidos 0 y 1, que ocupan

5

los semi-espacios x < 0 y x < 0, viene dadas por (T − T0)/(Tc − T0) = erfc−x/2√α0t y

(T − T1)/(Tc − T1) = erfcx/2√α1t, respectivamente. Muestran que Tc viene dado por la

relacion k1(T1 − Tc)/√α1 = k0(Tc − T0)/

√α0. Expliquen con este resultado porque al poner la

mano sobre la madera la encontramos mas caliente que una superficie metalica

3. Calentamiento, rapido, de un solido para Bi 1Bi 1Bi 1

A continuacion daremos la forma asintotica de la solucion del problema (12)-(14) para

Bi 1, cuando el transporte convectivo externo es rapido. Por simplicidad en la exposicion

consideraremos el caso qrad = 0, en que no hay flujo por radiacion.

Empezaremos por observar que cuando siendo Bi = L/δe 1 la dimension caracterıstica

del solido es grande frente al espesor δe de la zona calentada en el solido cuando la temperatura

superficial θs esta subiendo a valores intermedios entre 0 y 1. Esto ocurre en un tiempo te = δ2e/αs

muy pequeno frente al tiempo, ts = L2/αs, necesario para que el calentamiento por conduccion

alcance a todo el solido.

Por ello, para tiempos del orden de te solo se ha calentado una capa superficial delgada, con

una distribucion de temperatura que puede calcularse como si la capa fuese plana y el solido

semi-infinito.

Para que la onda termica alcance a todo el solido hay que esperar un tiempo del orden de

ts = L2/αs, mucho mayor que te, y entonces la temperatura superficial del solido ya tiene un

valor muy proximo a Te. Si queremos describir la distribucion de temperaturas para tiempos

del orden de ts, utilizaremos el sistema de ecuaciones adimensionales (12)-(14), con qrad = 0,

haciendo el lımite formal Bi → ∞ en la ecuacion (14). En este lımite formal suponemos que

para el tiempo adimensional t de orden unidad tanto θ como los valores adimensionales de

sus derivadas temporales y espaciales son de orden unidad. Ası pues, el sistema de ecuaciones

resultante es el sistema (12)-(13) con la condicion (14) reemplazada por

θ = 1 en F (xxx) = 0 (35)

correspondiente a la condicion T = Te en la superficie del solido; ya que la subida de Ts desde T0

a valores proximos a Te (o de θs desde 0 a 1) ocurre en tiempos t adimensionales, muy pequenos,

del orden de 1/Bi2, cuando la mayor parte del solido esta todavıa a la temperatura T0.

La solucion del problema (12)-(13) y (35), representada en las figuras 2 a 4, proporcionara la

evolucion temporal del valor adimensional, ν = (∂θ/∂n)0− , del flujo de calor. Este variara de un

punto a otro de la superficie si la configuracion geometrica del solido no tiene la simetrıa que

sı tienen las placas, cilindros circulares o esferas.

En la figura 3 se representa, para placas, cilindros circulares y esferas, la evolucion temporal

6

del numero de Nusselt ν, en funcion del tiempo adimensionalizado con el tiempo ts, de conduccion

en el solido. Este valor del numero de Nusselt nos proporciona, de acuerdo con la condicion de

contorno (14), la correccion respecto a 1 de la temperatura superficial; la cual resulta dada por

θs = 1 − ν/Bi (36)

4. Calentamiento, lento, de un solido para Bi 1Bi 1Bi 1.

La forma en que se calienta un solido, con qrad = 0, en el lımite opuesto, Bi 1, de

intercambio lento de calor con el fluido exterior se puede deducir de la forma adimensional

(12)-(14) del problema. En efecto a la vista de la condicion (14) las variaciones de θ a traves

del solido son pequenas, del orden de Bi, frente a la unidad lo que permite obtener la solucion

aproximada de (12), integrando esta ecuacion a traves del solido. Para obtener en este caso la

forma aproximada, T = Ts(t), de la evolucion de la temperatura del solido partiremos de la

ecuacion original (5), la cual multiplicada por dΩ e integrada a traves del volumen proporciona∫

Vs

ρscs∂T

∂tdΩ =

∫

s

hc(Te − Ts) + q′′raddσ (38)

Las integrales en (38) pueden evaluarse facilmente, teniendo en cuenta que las variaciones

espaciales de T son, del orden de Bi(Te − T0), pequenas frente a Te − T0. Ası obtenemos la

ecuacion diferencial ordinaria

VsρscsdTs/dt = Ashc(Te − Ts) + q′′rad (39)

para determinar la evolucion temporal Ts(t) de la temperatura del solido, de volumen Vs y area

superficial As, si anadimos la condicion inicial Ts(0) = T0. La ecuacion (39) puede escribirse en

la forma

tcdTs/dt = Te − Ts + q′′rad/hc (40)

donde

tc = ρscsVs/Ashc (41)

es el tiempo de calentamiento del solido. Este tiempo, como puede comprobar el lector, es 1/Bi

veces mas grande que el tiempo de conduccion ts = L2/αs.

La ecuacion (40) puede integrarse con la condicion inicial Ts = T0, en t = 0, para dar

Ts − T0 = Te − T0 + q′′rad/hc(1− e−t/tc) (42)

Ejercicio

3. Calcular la solucion aproximada del problema (12)-(14) para una partıcula esferica con qrad =0

y Bi 1, usando el desarrollo θ = θs(t) +Biθ1(r, t)+ ......, calculando, en primer lugar, θs(t) y,

7

despues, θ1(r, t), la cual esta determinada, salvo su valor en r = 0, por la ecuacion diferencial.

Mostrar como calcular θ1(0, t) usando la forma integrada de (12) a traves de la partıcula.

5. Conduccion de calor en laminas solidas delgadas.

En muchos casos de interes practico el solido presenta dos longitudes caracterısticas dispares,

y esto conduce a un proceso de calentamiento con tiempos caracterısticos muy dispares. Este es

el caso, de gran interes en la Ingenierıa, de estructuras solidas en forma de laminas o cascaras

delgadas.

Sea dp el espesor local de la lamina, que suponemos pequeno frente a su dimension carac-

terıstica L (dp L). El tiempo caracterıstico, d2p/αs, de conduccion transversal a la lamina es

muy pequeno frente al tiempo caracterıstico de conduccion longitudinal, L2/αs. De modo que

en fenomenos de calentamiento transitorio de la placa, de duracion del orden de d2p/αs, la con-

duccion longitudinal es despreciable y la distribucion de temperaturas viene determinada por la

forma unidimensional de (5),

ρscs∂T

∂t= ks

∂2T

∂y20 < y < dp , (43)

donde y es la coordenada transversal a la placa. Esta ecuacion ha de resolverse con la condicion

inicial

T = TI(y, x, z) en t = 0 , (44)

y las condiciones de contorno

q′′1 = −ks

(∂T

∂y

)

y=0+

, q′′2 = ks

(∂T

∂y

)

y=d−p

(45)

donde q′′1 y q′′2 representan el calor recibido del medio exterior por la placa, por unidad de

superficie y tiempo. Sus valores dependen del tiempo t y de las coordenadas superficiales x, z.

Estas pueden aparecer tambien en las condiciones iniciales, pero juegan el papel de parametros

a la hora de integrar (1).

Los flujos de calor pueden ser consecuencia del calor recibido por radiacion, pero aquı supon-

dremos que proceden del transporte por conduccion asistida por la conveccion de los fluidos

exteriores. Para la determinacion de q′′1 y q′′2 deberıamos describir la distribucion de temperatu-

ras en la fases fluidas exteriores, porque

q′′1 = −(kf∂T

∂y

)

y=0−

, q′′2 =(kf∂T

∂y

)

y=d+p

(46)

Como indicamos antes, frecuentemente se usa una descripcion Newtoniana de q′′1 y q′′2 , escri-

biendo estos flujos en la forma

q′′1 = hc,1(T1 − Ts,1) , q′′2 = hc,2(T2 − Ts,2) (47)

8

donde hc,1 y hc,2 son coeficientes de transferencia de calor a la lamina, desde los fluidos exteriores

de temperatura T1 y T2 fuera de las capas lımites adyacentes a la placa, y Ts,1 y Ts,2 las

temperaturas en las entrefases y = 0 e y = dp. Si δ1 y δ2 son los espesores efectivos de las

correspondientes capas lımites y k1 y k2 son las conductividades de calor de estos fluidos (a las

temperaturas T1 y T2), podemos escribir

hc,1 = k1/δ1 y hc,2 = k2/δ2 (48)

Los valores de hc,1 y hc,2 variaran, en general, con x, z y t, si varıan δ1 y δ2 o T1 y T2. El valor

de hc,2 serıa nulo si, por ejemplo, la placa estuviese aislada termicamente en la cara y = dp.

Ejercicios

4. Describan la solucion estacionaria del problema (43), (45), (47), en el supuesto de que T1, T2

y hc,1 y hc,2 sean constantes.

5. Muestren como la solucion del problema transitorio para valores muy grandes de hc,1 y hc,2 y

TI = T1 esta dado en la figura 2 para el caso de una placa plana.

——————————–

Los tiempos de calentamiento de la lamina hacia la solucion estacionaria dependeran de los

parametros de Biot

Bi1 = hc,1dp/ks =k1

ks

dp

δ1y Bi2 =

k2

ks

dp

δ2(49)

Para valores grandes de estos parametros, Bi1 1 Bi2 1, el tiempo caracterıstico de

calentamiento es d2p/αs; manteniendose Ts,1 = T1 y Ts,2 = T2 durante la mayor parte del periodo

transitorio.

Si ambos, Bi1 y Bi2, son de orden unidad el intercambio de calor con el exterior, cualquiera

que sea la temperatura inicial, conduce a la solucion estacionaria para tiempos moderadamente

mayores que d2p/αs. Esta temperatura estacionaria resultarıa muy proxima a T2 si, por ejemplo,

Bi1 fuese muy pequeno frente a Bi2.

Si Bi1 y Bi2 son pequenos frente a la unidad el calentamiento externo puede despreciarse;

esto es podemos poner q′′1 = q′′2 = 0 a la hora de resolver el problema (43)-(45) para t ∼ d2p/αs,

lo que conduce para t moderadamente grandes frente a d2p/αs a una temperatura uniforme

transversalmente a la placa TIa(x, z) = d−1p

∫ dp

0 TI(x, y, z)dy. Esta se tomara como temperatura

inicial en el analisis, que damos a continuacion, del caso lımite Bi1 1 y Bi2 1; cuando el

tiempo de calentamiento de la placa es grande frente al tiempo, d2p/αs, de uniformizacion de su

temperatura por conduccion transversal, por lo que podemos escribir

T (y, x, z, t) = Ts,1 = Ts,2 = Ts(x, z, t) (50)

si despreciamos las pequenas variaciones transversales de temperatura, del orden de Bi(T2−T1),

9

necesarias para que penetre el calor a la placa. Ası pues, la temperatura de la placa puede

entonces suponerse uniforme en direccion transversal, dada por la ecuacion de conduccion de

calor que, integrada transversalmente a la lamina, toma la forma

ρscsdp∂Ts

∂t=

∂

∂x

(dpks

∂Ts

∂x

)+

∂

∂z

(dpks

∂Ts

∂z

)+ hc,1(T1 − Ts) + hc,2(T2 − Ts) (51)

Aquı hemos supuesto que la lamina es casi plana y hemos utilizado coordenadas cartesianas

para caracterizar los puntos de su superficie. Si por ejemplo, la placa es rectangular y esta limi-

tada a los intervalos 0 < x < L, 0 < z < B, si los bordes son adiabaticos (lo que esta justificado

si la transferencia externa en los bordes puede ser descrita con coeficientes de transferencia del

orden de hc,1, o hc,2 y la conduccion longitudinal no es despreciable).1

∂Ts

∂x= 0 en x(x− L) = 0 y

∂Ts

∂z= 0 en z(z −B) = 0 , (52a)

Si uno de los bordes esta unido a un solido de dimensiones grandes frente a dp, con temper-

atura T0, la condicion en el borde, en x = 0 por ejemplo, puede escribirse

Ts = T0 en x = 0 (52b)

dado que, para absorber el flujo de calor longitudinal de la lamina bastan variaciones espaciales

de T pequenas frente a T2 − T1 en la region del solido proxima a la union.

La solucion del problema anterior para Ts, con la condicion inicial

Ts = TIa(x, z) en t = 0 , (52c)

definida en el dominio (x, z) de la placa, es analıtica en todos los puntos interiores a la placa si

ks y dp, al igual que TIa, son funciones analıticas. La formulacion del problema matematico sigue

estando dada por (51); pero ha de considerarse como formulacion debil cuando ks y dp tienen

discontinuidades en alguna linea (x = xd, por ejemplo) de la placa. Allı Ts debe ser contınua al

igual que el flujo de calor dpks(∂Ts/∂x) normal a la lınea; por lo que ∂Ts/∂x sera discontınua

en x = xd.

Si la lamina esta curvada usaremos para la descripcion de Ts dos coordenadas superficiales

ortogonales (α, β), con lo que (51) toma la forma

gαgβρscsdp∂Ts

∂t=

∂

∂α

gβdpks

∂Ts

gα∂α

+∂

∂β

gαdpks

∂Ts

gβ∂β

+hc,1(T1 − Ts) + hc,2(T2 − Ts) gαgβ

(53)

donde gα y gβ son los coeficientes de la metrica, (ds)2 = (gαdα)2 + (gβdβ)2, correspondiente a

las coordenadas superficiales. El espesor dp y ks se consideran funciones conocidas de α y β.1Por ejemplo, para que la conduccion longitudinal en la direccion x sea importante en (51), dpks/L)2 ha de ser del orden

de hc,1 o hc,2 ; lo que implica que los numeros de Biot transversales no han de ser grandes frente a (dp/L)2. (El parametro(dp/L)2(ks/hc,1dp) mide los efectos de la conduccion longitudinal). Entonces los gradientes de temperatura en el borde,medidos con la escala (T2 − T1)/L, son del orden (hcdp/ks)L/dp mucho menores que (hcdp/ks)(L/dp)2 que serıa de ordenunidad.

10

Por ejemplo, para aletas de refrigeracion de forma anular, con T1 = T2 = Te y hc,1 = hc,2 = hc,

de radios interior y exterior R1 y R2, si la temperatura en el borde interior es Tp y el borde

exterior es adiabatico, Ts(r, t) viene dada (con α = r, β = θ, gα = 1, gβ = r) por la ecuacion

ρscsdp∂Ts

∂t=

1r

∂

∂r

(rdpks

∂Ts

∂r

)+ 2hc(Te − Ts) (54)

a resolver, para t > 0, R1 < r < R2, con las condiciones de contorno

Ts = Tp en r = R1 y∂Ts

∂r= 0 en r = R2 , (55)

donde se ha supuesto despreciable el calor eliminado a traves del borde exterior, r = R2, por

suponer que (R2 −R1) dp

Tambien hemos de anadir una condicion inicial, dando Ts en t = 0, para la solucion de los

problemas transitorios (51)-(52) o (54)-(55).

6. Aletas de refrigeracion.

Como ejemplo, analizaremos aquı la eficiencia de las aletas de refrigeracion, que se usan para

aumentar la superficie efectiva de intercambio de calor de un solido con un fluido; para lo cual

se dota al solido de placas metalicas (aletas) de refrigeracion.

Para simplificar el analisis supondremos que la configuracion es bidimensional con una aleta de

longitud L, espesor dp L, conductividad ks. Esta refrigerada por ambas caras por un fluido de

temperatura Te, con un flujo tal que da lugar a un coeficiente de transferencia hc. Supondremos

conocida la temperatura Tp en el encastre con el solido. La aproximacion bidimensional es

aplicable al caso, formulado antes de aleta axi-simetrica, cuando dp R2 −R1 R1.

Para asegurar que la aleta sea eficaz, el numero de Biot, Bi = 2hcdp/ks, ha de ser pequeno

frente a la unidad, como veremos mas adelante. Entonces, las variaciones de temperatura

transversales a la placa son despreciables; por ello, la temperatura, en el regimen estacionario

puede considerarse solo funcion, Ts(x), de la distancia x al encastre, dada por la ecuacion

d

dx

(dpks

dTs

dx

)+ 2hc(Te − Ts) = 0 (56)

valida para 0 < x < L.

Podemos despreciar en el borde x = L el calor intercambiado con el fluido, frente al recibido

por las caras laterales. De manera que las condiciones de contorno para (1) toman la forma

dTs

dx= 0 en x = L , Ts = Tp en x = 0 (57)

Un dato importante de la solucion es el calor, q′, que cede, por unidad de longitud y tiempo,

11

el solido a la placa, para ser transferido por esta al fluido

q′ = −dpks

(dTs

dx

)

x=0

(58)

El problema (1)-(2) puede ser escrito en forma adimensional

d2θ

dξ2− θ = 0 (59)

θ = 1 en ξ = 0 ;dθ

dξ= 0 en ξ = ξL (60)

usando las variables

θ = (Ts − Te)/(Tp − Te) , ξ = x/lc (61)

donde lc es la longitud de penetracion de los efectos termicos en la aleta dada por

lc/dp = ks/2hcdp1/2 = Bi−1/2 (62)

El parametro ξL = L/lc se supone de orden unidad. Para que las aletas puedan ser utiles

lc dp, lo que implica que Bi = 2hcdp/ks 1.

La solucion de (59)-(60) viene dada por

θ = ch(ξ − ξL)/chξL . (63)

De manera que el calor cedido por la aleta, dado por

q′lc/ksdp(Tp − Te) = − (dθ/dξ)ξ=0 = q , (64)

toma el valor

q = thξL =(e2ξL − 1

) /(e2ξL + 1

)(65)

Cuando ξL = L/lc es grande frente a la unidad el calor cedido por la aleta tiende a un valor

constante, correspondiente a q = 1, dado por

q′/ks(Tp − Te) ' dp/lc =√Bi , (66)

independiente de L. Esto es ası, porque entonces θ viene dada por exp(−ξ), y la parte exterior

de la aleta es ineficaz porque allı la temperatura es ya la exterior.

Cuando ξL 1, q/ξL ' 1, y

q′/ks(Tp − Te) =√Bi L/lc (67)

Al aumentar la longitud de la aleta crece el calor eliminado por la misma hasta un valor

asintotico, dado por (66), que se alcanza cuando ξL = L/lc se hace moderamente grande frente

a la unidad. La eficiencia, η, de la aleta se define como la relacion entre el calor q′ eliminado por

la aleta y el que eliminarıa, 2hc(Tp − Te)L, si su temperatura superficial se mantuviese igual a

Tp; viene dada por η = q/ξL. Es igual a 1 para aletas cortas, ξL 1, e igual a 1/ξL para las

largas, ξL 1.

12

Ejercicio.

6. Como ya vimos antes, la formulacion correspondiente al comportamiento estacionario de una

aleta anular de radio exterior R2 adosada a un solido cilındrico de radio R1 y temperatura Tp,

conduce, si suponemos que hc es uniforme al igual que Te, a la ecuacion

1r

d

dr

(rdpks

dTs

dr

)+ 2hc(Te − Ts) = 0 (68)

para R1 < r < R2, siendo

Ts = Tp en r = R1 ydTs

dr= 0 en r = R2 (69)

Escribir, en forma adimensional, el problema cuya solucion permite calcular el calor

Q = −2πR1dpks (dTs/dr)r=R1, eliminado por la aleta, por unidad de tiempo. Analicen la forma

asintotica de la solucion para valores extremos de los parametros R2/R1 y 2hcR21/dpks

7. Proteccion termica de una placa metalica con una placa de material aislante.

Una placa metalica de espesor ds, conductividad ks, calor especıfico cs y densidad ρs, aislada

termicamente por una de sus caras, esta sometida a un flujo de calor procedente de un fluido,

de temperatura Te, en su otra cara.

La ecuacion de la energıa, para el solido en 0 < x < ds, toma la forma

ρscs∂T

∂t= ks

∂2T

∂x2(70)

a integrar con la condicion inicial

T = T0 en t = 0 (71)

y las condiciones de contorno

∂T

∂x= 0 en x = ds ,

∂T

∂x= −hc

ks(Te − T ) en x = 0 (72)

donde hc = kf/δf es el coeficiente de transferencia de calor a traves de la capa lımite termica,

de espesor efectivo δf , siendo kf la conductividad del fluido.

La evolucion de la temperatura, θ(ξ, τ), en el solido viene dada por la ecuacion

∂θ

∂τ=∂2θ

∂ξ2en 0 < ξ < 1 , τ > 0 (73)

a resolver con las condiciones iniciales y de contorno

θ = 0 en τ = 0 (74)

13

∂θ

∂ξ= 0 en ξ = 1 ,

∂θ

∂ξ= −Bs(1 − θ) en ξ = 0 (75)

Aquı θ = (T − T0)/(Te − T0) , ξ = x/ds , τ = αst/d2s

Bs es el numero de Biot,Bs = hcds/ks = (kf/ks)(ds/δf) que para placas metalicas es tıpicamente

pequeno frente a la unidad.

Si Bs 1 el tiempo de calentamiento de la placa es grande frente al tiempo caracterıstico

de conduccion, ts = d2s/αs; de modo que durante este periodo τBs es de orden unidad, y θ es,

salvo variaciones del orden Bs, espacialmente uniforme: θ = θs(τBs) dada por la ecuacion

dθsdτ

= −Bs(1− θs) (76)

obtenida por integracion espacial de (4). La solucion de (6) es

θs = 1− exp(−Bsτ) , (77)

de manera que para τ del orden de 1/Bs, θs alcanza valores de orden unidad. Para proteger la

placa metalica conviene interponer una placa de material aislante (ceramico, por ejemplo) de

espesor dm, conductividad km, densidad ρm y calor especıfico cm.

La respuesta termica de la placa aislante depende del parametro Bm = hcdm/km, que puede

ser, tıpicamente, de orden unidad, mucho mayor que Bs. Entonces, el tiempo de calentamiento

de la placa aislante es del orden de tm = d2m/αm, mucho mayor que ts = d2

s/αs.

En este caso, para tiempos t del orden tm, la temperatura de la placa metalica es espacialmente

uniforme, T = Ts(t), en tanto que la temperatura en la placa ceramica viene dada por la ecuacion

∂T

∂t= αm

∂2T

∂x20 < x < dm , t > 0 (78)

y condiciones iniciales y de contorno

T = T0 en t = 0 , 0 < x < dm

∂T

∂x= − hc

km(Te − T ) en x = 0 ,

∂T

∂x= −ρscsds

km

∂T

∂ten x = dm (79)

Podemos escribir el problema en forma adimensional, usando como variables

θ =T − T0

Te − T0, η =

x

dmσ =

αmt

d2m

(80)

con lo que∂θ

∂σ=∂2θ

∂η2en 0 < η < 1 , σ > 0 (81)

θ(η, 0) = 0 y

∂θ

∂η= −Bm(1− θ) en η = 0 ;

∂θ

∂η= −E ∂θ

∂σen η = 1 (82)

14

donde Bm = hcdm/km = (kf/km)(dm/δf) y E =ρscsds

ρmcmdm.

Si E 1 la solucion del problema (11)-(12) toma una forma sencilla, pues el calentamiento

de la placa metalica ocurre en tiempos σ/E ∼ 1 con lo que podemos olvidarnos de los efectos

no estacionarios en (81) y considerar ∂θ/∂η, independiente de η, igual a la diferencia θs − θ1 de

los valores de θ en ξ = 1 y ξ = 0. Entonces, teniendo en cuenta (82),

θ1 − θs = Bm(1 − θ1) = Edθs/dσ (83)

con lo que

θ1 − θs = (1 − θs)Bm/(1 +Bm) (84)

y finalmentedθsdσ

=Bm/E

(1 +Bm)(1 − θs) (85)

a integrar con la condicion θs = 0 en σ = 0 para dar

1 − θs = exp− σ

E

Bm

(1 +Bm)

= exp

(− t

tca

Bm

1 + Bm

)(86)

donde

Bm = hcdm/km , E =ρscsds

ρmcmdmy tca =

ρscsdsdm

km(87)

que permite evaluar la temperatura θs de la placa en funcion del tiempo de funcionamiento.

La ecuacion (85) puede generalizarse para incluir los efectos de la conduccion de calor lon-

gitudinal en la placa metalica, en el caso de ser Bm variable con la escala longitudinal L de la

misma (L ds), y que haya perdida de calor al ambiente exterior de temperatura T0, con un

coeficiente de transferencia hs.

dsρscs∂Ts

∂t=

∂

∂x

(ksds

∂Ts

∂x

)+ km

T1 − Ts

dm− hs(Ts − T0) (88)

Aquı

kmT1 − Ts

dm= hc(Te − T1) (89)

representa el calor que llega a la placa metalica desde la ceramica.

Si definimos θs = (Ts − T0)/(Te − T0), obtenemos

kmT1 − Ts

dm= km

Te − T0

dm

Bm

(1 +Bm)(1 − θs) (90)

Por lo que (88), si ks y ds son constantes y ξ = x/L, toma la forma

tca∂θs∂t

= λs∂2θs∂ξ2

+Bm

1 + Bm(1 − θs) −

hsdm

kmθs (91)

en la que intervienen los numeros de Biot Bm y hsdm/km, y el parametro de conductividad

longitudinal λs = ksdsdm/kmL2

15

10−3 10−2 10−1 100 101 102 1030

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

τ

2√

τ/π − τ

1 − 1/√

πτ

θ s

Figura 1

16

Figura 217

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

τ

ν(τ)

j = 0

1

2

1/(πτ)1/2 − j/2

∂θ

∂τ=

1

ξj

∂

∂ξ

(ξj∂θ

∂ξ

), 0 ≤ ξ < 1, τ > 0

θ = 0 en ξ < 0, τ = 0

θ = 1 en ξ = 1, τ > 0

∂θ

∂ξ= 0 en ξ = 0, τ > 0

ν(τ) =∂θ

∂ξ

∣∣∣∣∣ξ=1

?

Figura 3

18

Figura 4

19

APENDICE A:

Conduccion de calor en un solido infinito desde una zona caliente localizada.

Suponemos que en t = 0 hay en el solido una zona caliente con una distribucion de tempera-

tura T − T0 = T ′I(r/LI), que por simplicidad en la exposicion consideraremos que es simetrica

respecto al origen r = 0; siendo el exceso de temperaturas, T ′I , distinto de cero solo en una region

r/LI ∼ 1.

La distribucion posterior de temperatura, T (r, t), viene dada por la solucion de la ecuacion

diferencial∂T

∂t= αs

1rj

∂

∂r

(rj ∂T

∂r

)para r > 0, t > 0 , (A.1)

donde j = 0, 1, 2 en los casos de simetrıa plana, cilındrica o esferica, a integrar con las condiciones

T − T0 → 0, en r→ ∞, y∂T

∂r= 0 en r = O (A.2a)

y la condicion inicial

T − T0 = T ′I(r/LI) en t = O (A.2b)

Si el valor inicial del exceso de energıa termica

Qj . = bj

∫ ∞

0ρscsT

′Ir

jdr (A.3)

(donde bj = 2, 2π, 4π para j = 0, 1, 2 respectivamente) es finito, porque T ′I decae lo suficiente

mente rapido con r, el exceso de energıa termica se mantendra constante para todo t

bj

∫ ∞

0

ρscs (T − T0) rjdr = Qj , (A.4)

como puede deducirse de (A.1).

Para tiempos t grandes frente a L2I/αs, el tiempo caracterıstico de conduccion a traves de

la zona caliente, la onda termica se ha extendido a una region r ∼ δ =√αst, grande frente a

LI . La distribucion de temperaturas no recuerda los detalles de la distribucion inicial T ′I(r/LI),

pues la zona caliente inicial aparece como puntual cuando es vista con la escala δ. T − T0

dependera unicamente del esceso de energıa termica inicialQj , o para ser mas preciso de Qj/ρscs,

y no de la forma de T ′I . Esto es,

T − T0 = f(r, αst, Qj/ρscs, j) , (A.5)

que puede escribirse con ayuda del analisis dimensional en la forma

T − T0

Tc − T0= θ(η, j) , η =

r

δ(A.6)

donde δ =√αst y (Tc − T0)δj+1 = Qj/bjρscs

20

Los valores de δ y de Tc − T0 pueden obtenerse tambien de las igualdades

Tc − T0

t= αs

Tc − T0

δ2(A.7)

bjρscs(Tc − T0)δj+1 = Qj (A.8)

de los ordenes de magnitud de los terminos de (A.1) y (A.4).

Si llevamos (A.6) a (A.1) obtenemos una ecuacion diferencial ordinaria,

1ηj

d

dη

(ηj dθ

dη

)+j + 1

2θ +

η

2dθ

dη= 0 (A.9)

que ha de integrarse con las condiciones θη(0) = θ(∞) = 0 y la condicion,∫ ∞

0θηjdη = 1 (A.10)

deducida de (A.4). Una integral primera de (A.9) es

ηj dθ

dη+ηj+1

2θ = 0 (A.11)

que puede integrarse de nuevo para dar

θ = cje−η2/4 (A.12)

donde cj = 1/√π, 1/2, 1/2

√π para j = 0, 1, 2.

Estas soluciones elementales pueden usarse para obtener, por superposicion, la solucion co-

rrespondiente a distribuciones iniciales arbitrarias en solidos no acotados.

Ası por ejemplo, la distribucion de temperaturas T (x, t) en una varilla infinita, es solucion

de la ecuacion∂T

∂t= αs

∂2T

∂x2,

con la condicion inicial T − T0 = T ′I(x), en t = 0, que viene dada por

T − T0 =∫ +∞

−∞

T ′I(ξ)

2√παst

e−(x−ξ)2/4αstdξ (A.13)

Soluciones no estacionarias asociadas a fuentes de calor, constantes para t > 0, de tipo plano,

lineal o puntual

Ha de buscarse la solucion de la ecuacion (A.1) que cumpla la condicion inicial (y en el

infinito)

T = T0 en t = 0 , r > 0 y en t > 0 , r→ ∞ , (A.14)

junto con la condicion en r→ 0, para t > 0,

∂T

∂r= −q0/2ks si j = 0 (A.15a)

21

r∂T

∂r= −q1/2πks si j = 1 (A.15b)

r2∂T

∂r= −q2/4πks si j = 2 (A.15c)

correspondientes a las intensidades q0, q1 y q2 de las fuentes de calor.

Si T ′c es el orden de magnitud del incremento de temperatura (T − T0), en la region r ∼

rc(t) =√αst calentada por las fuentes en el instante t, este incremento de temperatura, de

acuerdo con las condiciones (A.15), viene dado por las relaciones

T ′c/rc = q0/2ks , T ′

c = q1/2πks , rcT′c = q2/4πks (A,16)

que conducen a

T ′c =

√αstq0/2ks para j = 0 (A.17a)

T ′c = q1/2πks para j = 1 (A.17b)

T ′c = q2/4πks

√αst para j = 2 (A.17c)

que nos sugieren que los tres problemas definidos por las ecuaciones (A.1), (A.14) y (A.15),

tienen solucion de semejanza.

Empezaremos buscando la solucion correspondiente a una fuente de calor puntual, constante

para t > 0. (Caso j = 2).

En este caso, la solucion del problema (A.1), (A.14) y (A.15c) tiene la forma

T − T0 = (q2/4πks

√αst)θ(ξ) , con ξ = r

/√αst (A.18)

donde θ(ξ) satisface la ecuacion

−θ2− ξ

2θξ = θξξ +

2ξθξ (A.19)

a resolver, para ξ > 0, con las condiciones de contorno, deducidas de (A.14),

ξ2θξ = −1 para ξ → 0 y θ → 0 para ξ → ∞ (A.20)

Pero debemos anadir la exigencia de que θ caiga a cero cuando ξ → ∞ mas deprisa que la

solucion

θ = 1/ξ (A.21)

del problema (A.19)-(A.20), el cual (no satisfaciendo la condicion inicial) corresponde a la

solucion estacionaria

T − T0 = q2/4πksr (A.22)

de (A.1); para la que el flujo global de calor, −4πr2ks(∂T/∂r), se mantiene constante, igual a

q2 para todo r.

22

Teniendo en cuenta que θ = 1/ξ es solucion de (A.19), es posible simplificar la obtencion de

su solucion general re-escribiendo la ecuacion para la variable ξθ = F (ξ), dada por la ecuacion

Fξξ + (ξ/2)Fξ = 0 (A.23)

a resolver con las condiciones

F (0) = 1 , F (∞) = 0 (A.24)

La solucion es

F = erfc(ξ/2) =2√π

∫ ∞

ξ/2

e−z2dz (A.25)

Por lo que la solucion autosemejante del problema (A.1), (A.14) y (A.15c) viene dada por

(A.18), con

θ =1ξerfc(

ξ

2) (A.26)

que decae a 0 muy rapidamente cuando ξ/2 se hace moderadamente grande frente a la unidad.

Observen que para valores de ξ pequenos frente a la unidad θ viene dada por

θ = 1/ξ − 1/√π para ξ 1 (A.27)

equivalente a

T − T0 = (q2/4πks)1/r− 1/√

παst (A.28)

para valores de r √αst.

En el caso bidimensional, j = 1, T ′c es constante y la solucion autosemejante del problema

(A.1), (A.14) y (A.15b) toma la forma

T − T0 = (q1/2πks)θ(ξ) con ξ = r/√

αst (A.29)

donde θ(ξ) satisface la ecuacion

−ξ2θξ = θξξ +

1ξθξ (A.30)

con las condiciones de contorno

ξθξ = −1 para ξ → 0 y θ → 0 para ξ → ∞ (A.31)

La ecuacion (A.30) puede integrarse una vez para dar

ξθξ = − exp(−ξ2/4) (A.32)

Una segunda integracion, con la condicion θ(∞) = 0, proporciona θ(ξ), dada por

θ =12E1(ξ2/4) =

12

∫ ∞

ξ2/4z−1 e−z dz (A.33)

23

en funcion de la funcion exponencial integral E1(x). Para ξ 1, θ viene dada por

θ = − ln ξ + ln2 − γE/2 (A.34)

donde γE es la constante de Euler, γE = 0,577...

En el caso plano, j = 0, tambien existe solucion de semejanza

T − T0 = (√αstq0/2ks)θ(ξ) , con ξ = r/

√αst , (A.35)

para el problema (A.1), (A.14) y (A.15a); donde θ(ξ) viene dada por la solucion del problema

θ

2− ξ

2θξ = θξξ ; θξ(0) = −1 , θ(∞) = 0 (A.36)

Teniendo en cuenta que θ = ξ es solucion particular de esta ecuacion, para obtener la solucion

del problema (A.36) escribiremos θ en la forma θ/ξ = G(ξ), donde G; verifica la ecuacion

ξGξξ = −(ξ2

2+ 2

)Gξ (A.37)

que integrada una vez, con la condicion G(∞) = 0, conduce a

Gξ = −A

ξ2exp(−ξ2/4) (A.38)

donde A es una constante, a determinar. Integrando (A.38) obtenemos

ξG = θ = A

exp(−ξ2/4) − ξ

2

∫ ∞

ξe−z2/4 dz

(A.39)

que cumple automaticamente la condicion θ(∞) = 0. Para que θξ(0) = −1, A debe ser igual a

2/√

π con lo que la solucion del problema (A.36) es

θ =2√π

exp(−ξ2/4)− ξerfc(ξ/2) (A.40)

de manera que para ξ 1,

θ = 2/√

π − ξ (A.41)

y la temperatura Ts en la fuente viene dada por

Ts − T0 = (q0/ks)√αst/π (A.42)

que, obviamente, coincide con la expresion de la temperatura superficial (34), para un flujo de

calor constante, de intensidad 2q0, hacia un solido semi-infinito.

En la figura 5 se muestran las distribuciones adimensionales θ(ξ) de temperaturas dadas

por las soluciones autosemejantes, (A.26), (A.33) y(A.40), correspondientes a fuentes de calor

puntuales (j = 2), lineales (j = 1) y planas (j = 0). Tambien se han representado con linea

discontınua, las aproximaciones calculadas antes, para ξ 1.

24

25

APENDICE B:

Soluciones elementales para la ecuacion de la conduccion estacionaria de calor

∆T = 0 , (B.1)

con conductividad de calor k constante, en solidos infinitos.

Fuente puntual de calor de intensidad q constante en el origen. T tiene la forma simetrica

T = T (r), siendo r la distancia a la fuente. La ecuacion (1) toma la forma

1r2

d

dr

(r2dT

dr

)= 0 (B.2)

de modo que

4πr2kdT

dr= −q (B.3)

La ecuacion (3) puede integrarse , con la condicion T = T∞ en r → ∞, para dar la solucion

T − T∞ =q

4πrk, (B.4)

que puede servir de base para la obtencion de soluciones mas generales de (1) por superposicion.

Fuente lineal de calor de intensidad ql, constante.

La forma simetrica T (r) de la distribucion de temperaturas viene dada por la ecuacion

1r

d

dr

(rdT

dr

)= 0 (B.5)

donde r es la distancia a la fuente lineal, supuesta recta. Integrando una vez obtenemos

2πrkdT

dr= −ql

La solucion es

T − T1 = − ql2πrk

lnr , (B.6)

donde la constante T1 corresponderıa al valor de la temperatura en r = 1. Sin embargo,

cualquiera que sea T1 la temperatura en r→ ∞ tiende a infinito. (Una fuente lineal estacionaria

de calor termina calentando todo el espacio a temperaturas que tienden a infinito).

Si tuviesemos dos fuentes paralelas de intensidades opuestas, entonces sı existe solucion esta-

cionaria, con T → T∞ para r→ ∞, dada por

T − T∞ = − ql2πrk

(lnr− lnrs) , (B.7)

siendo r y rs las distancias del punto, donde queremos calcular la temperatura, a la fuente y al

sumidero lineal de calor de la misma intensidad ql que la fuente.

26

El lector puede observar que esta solucion (B.7) permite describir la distribucion de temper-

aturas debida a una fuente lineal, ql, paralela a la superficie de un solido semi-infinito, cuando

la temperatura de esta superficie se mantiene constante igual a la temperatura T∞ del solido

lejos de la fuente. T (r) viene dada por

T − T∞ =ql

2πkln(rs/r) , (B.8)

siendo rs la distancia a la linea simetrica de la fuente respecto a la superficie del solido.

Si x es la distancia de un punto del solido a su superficie e y es la distancia al plano formado

por la fuente lineal y su simetrica, r y rs vienen dadas por

r2 = (x− d)2 + y2 , r2s = (x+ d)2 + y2 ,

donde d es la distancia de la fuente lineal a la superficie del solido.

Notese que las isotermas son las superficies cilındricas para las que la relacion rs/r es una

constante c. Vienen dadas por(x− c2 + 1

c2 − 1d

)2

+ y2 =4c2

(c2 − 1)2d2 (B.9)

de eje y = 0, x = xc y radio Rc dados por

xc =c2 + 1c2 − 1

d y Rc =2c

| c2 − 1 |d (B.10)

Las isotermas T > T∞, que corresponden a c > 1 son superficies cilındricas de base circular,

situadas en x > 0. Las isotermas T < T∞ que corresponden a c < 1, estan situadas en x < 0.

Esta solucion puede utilizarse para calcular el calor ql que, por unidad de longitud, pasa de

un cilindro de radio R2 a otro paralelo de radio R1, con temperaturas T2 y T1 < T2, (situados

ambos en un solido infinito).

Para ello situamos sus ejes en y = 0, a distancias x1 y x2 de la superficie virtual del solido

anterior, definidas por

x1 =c21 + 1c21 − 1

d , x2 =c22 + 1c22 − 1

d , (B.11)

donde c1 < 1 y c2 > 1 estan dadas por

T2 − T∞ =ql

2πklnc2 , T1 − T∞ =

ql2πk

lnc1 (B.12)

y

R2 =2c2c22 − 1

d , R1 =2c1

1 − c21d (B.13)

La distancia dc entre los ejes de los cilindros se supone dato, al igual que los radios R1 y R2

y sus temperaturas T1 y T2.

27

La relacion dc = x2 − x1 conduce a la relacion

d

dc

c22 + 1c22 − 1

− c21 + 1c21 − 1

= 1 (B.14)

que podemos escribir en la forma

2d/dc = (c22 − 1)(1− c21)/(c22 − c21) (B.15)

Las cinco relaciones (12), (13) y (15) permiten calcular, en funcion de los datos T2, T1, R2,

R1 y dc, las cinco incognitas T∞, ql/2πk, c2, c1 y d. Entre ellas la temperatura T∞ que alcanza

el solido lejos de los cilindros.

De las relaciones (12), (13) y (15) se pueden deducir las relaciones

R1

R2=c1c2

(1 + c22)(1 − c21)

(B.16)

dc

R2=

c22 − c21c2(1 − c21)

(B.17)

Para calcular c1 y c2 en funcion de R1/R2 y dc/R2. Tengase en cuenta que dc debe ser mayor

que R1 + R2.

28