mecánica de materiales ii

MECÁNICA DE MATERIALES II - Introducción

Razón de ser.

Estudio de los principios y métodos generales para el diseño y verificación de los elementos de las estructuras, garantizando la resistencia, la rigidez y la estabilidad de los mismos para condiciones dadas de geometría, cargas, condiciones de apoyo y comportamiento de material, que son los factores fundamentales que se modelan en el estudio de un problema dado.

Resistencia.

Es la capacidad de los elementos en su conjunto, de las secciones transversales que lo integran y de todos y cada uno de los puntos que lo componen, para soportar la acción de las cargas exteriores sin que se produzca la falla.

MECÁNICA DE MATERIALES II - Introducción

Rigidez.

Es la capacidad de los elementos en su conjunto, las secciones transversales que lo integran y los puntos que lo componen, de oponerse a experimentar cambios en su posición (desplazamientos y deformaciones) bajo acción de cagas.

Valores determinados de rigidez es necesario establecer en todo problema estructural para garantizar que no se produzca la falla.

MECÁNICA DE MATERIALES II - Estabilidad

Estabilidad Exterior

Se refiere a los componentes de reacción en los apoyos.

P

F Para F, es inestable la estructura.

Para P, es estable la estructura.

CONCLUSIÓN.

Para que se cumpla la estabilidad exterior, el mínimo número de componentes de reacción deben ser tres (03), y todos no deben ser paralelas ni concurrentes en un punto.

R1

R3

R2


Ejemplo 1.

d f

2a

c b a

M

2a a

Para la estructura que se muestra, calcular:

1. Las reacciones.

2. Es inestable o estable general de la estructura.

3. Plantee su alternativa.


Estabilidad Interior

Se refiere a los elementos que conforman la estructura.

La estructura, presenta grandes deformaciones, por lo tanto es inestable interiormente.

P1 P2

2 3

a

1 4

6 5

30° P3

a a a

P4

P1 P2

2 3

a

1 4

6 5

30° P3

a a a

P4

Asimismo:

¿Cumple con la estabilidad exterior?

3 reacciones como mínimo, además no son paralelas y no concurren en un punto.


Planteamiento de alternativas.

Alternativa N° 01.

Para la estructura, esta sufre pequeñas deformaciones interiormente.

P1 P2

2 3

a

1 4

6 5

30° P3

a a a

P4

P1 P2

2 3

a

1 4

6 5

30° P3

a a a

P4

Alternativa N° 02.

Para la estructura, esta sufre pequeñas deformaciones interiormente, interiormente indeterminada pero estable.

CONCLUSIÓN.

La estabilidad interior, se cumple cuando la estructura presenta pequeñas deformaciones.


Estabilidad General

Si la estructura es estable exteriormente e interiormente en general la estructura es ESTABLE.

Si la estructura es inestable exteriormente o interiormente en general la estructura es inestable.

MECÁNICA DE MATERIALES II – Estabilidad

Estructuras Isostáticas (Determinadas).

Se dice que una estructura es determinada cuando las ecuaciones de la estática son suficientes para calcular las incógnitas que se presentan.

Estructuras Hiperestáticas (Indeterminadas).

Son aquellas estructuras que tienen incógnitas súper abundantes con respecto a las ecuaciones de la estática.

Estructuras Hipostáticas

Son aquellas estructuras inestables, que no puede equilibrarse (no tienen equilibrio estático).


Tipos de estructuras

Los nudos tienen la

capacidad de tomar

momentos.

V

b

b N CORTE b-b

M

Nudos caresen de fricción

1 solo cargas axiales 2 3

a

5 4 N CORTE a-a

a


Determinación general de la hiperestaticidad en todas las estructuras.

Para todas las estructuras: g = ge + gi

Donde:

g = Grado de hiperestaticidad general.

ge = Grado de hiperestaticidad exterior.

gi = Grado de hiperestaticidad interior.

Si:

g < 0, La estructura es Hipostática (inestable).

g = 0, La estructura es Isostática (estable).

g > 0, La estructura es Hiperestática (estable).


Determinación de la hiperestaticidad exterior en todas las estructuras.

Para todas las estructuras (barras, continuas, mixtas):

ge = r – ( E + e )

Donde:

r = N° total de componentes reacción en los apoyos.

E = N° total de ecuaciones de la estática (3 en el plano, 6 en el espacio.

e = N° total de ecuaciones especiales (rotulas, cortes, etc).


Ecuaciones especiales

Para total de barras que concurren menos 1

e = b – 1

e= 2-1=1

e= 3-1=2

e= 4-1=3 e= 2-1=1


EN ESTRUCTURAS DE BARRAS Ó ARTICULADAS.

g = b + r – 2n

Donde:

r = N° total de componentes reacción en los apoyos.

b = N° total de barras.

n = N° total de nudos incluyendo los apoyos.


EN ESTRUCTURAS DE BARRAS Ó ARTICULADAS.

1 2 3

5 4

Para la estructura de barras que se muestra estudiar la estabilidad y determinación general.

Recordando: Para todas las estructuras: g = ge + gi ………………………..(I) Para todas las estructuras: ge = r – ( E + e ) ………………(II) En estructuras de barras: g = b + r – 2n ………………….(III)

Calculando las variables: r = 4 E = 3 (en el plano) E = 0 Reemplazando en (II): ge = 1° Reemplazando en (III): g = 1° De (I) tenemos: gi = g – ge = 1-1=0 Conclusión: ge = 1°, Estructura estable. gi = 0°, Estructura estable. g = 1°, Estructura hiperestática de 1er grado.


EN ESTRUCTURAS CONTINUAS.

g = 3b + r – 3n - e

Donde:

g = Grado de hiperestaticidad general.

b = N° total de barras.

r = N° total de componentes de reacción en los apoyos.

n = N° total de nudos incluyendo los apoyos.

e = N° total de ecuaciones especiales.


EN ESTRUCTURAS CONTINUAS.

Para la estructura estudiar la estabilidad y determinación general.

Recordando: Para todas las estructuras: g = ge + gi ………………………..(I) Para todas las estructuras: ge = r – ( E + e ) ………………(II) En estructuras continuas: g = 3b + r – 3n + e ….……….(III)

Calculando las variables: r = 8 E = 3 (en el plano) e = 1 Reemplazando en (II): ge = 4° Reemplazando en (III): g = 10° De (I) tenemos: gi = g – ge = 10-4=6 Conclusión: ge = 4°, Estructura estable. gi = 6°, Estructura estable. g = 10°, Estructura hiperestática de 10 vo grado.

1 2 3

4 5 6

7 8 e=0 9

e=1


EN ESTRUCTURAS DE MIXTAS.

g = 3b3+2b2+b1+3a3+2a2+a1–3n3–2n2–n1

Donde:

b3 = N° total de barras con 3 incógnitas.



a1 = N° total de empotramientos perfectos.

a2 = N° total de apoyos fijos.

a3 = N° total de apoyos móviles (deslizante).



Donde:

n1 = N° total de nudos con 1 grado de libertad.

n2 = N° total de nudos con 2 grados de libertad.

n3 = N° total de nudos con 0 grados de libertad.



Para la estructura mixta que se muestra estudiar la estabilidad y determinación general.

Recordando: Para todas las estructuras: g = ge + gi ………………………..(I) Para todas las estructuras: ge = r – ( E + e ) ………………(II) En estructuras mixtas: g = 3b3+2b2+b1+3a3+2a2+a1–3n3–

2n2–n1 ………………….(III)



n34n11n31 n32 n21 n33

a34a33a32a31

a21

a11

n35n36 n37 n38

n39n310 n311 n312

n22n23 n24 n25

n26 n27 n28 n29

b31b32b21b33b34

b22 b23 b24 b25

b35b36b37b38

b39 b310 b311

b312 b313 b314

b21 b22 b23

b28 b24

b27 b26 b25

b210

b29

b211b214

b212

b213

b215

b216

Calculando las variables: a3 = 4 b3 = 14 n3 = 12 a2 = 1 b2 = 5 n2 = 9 a1 = 1 b1 = 17 n1 = 1 Reemplazando en (II): ge = 12° Reemplazando en (III): g = 29° De (I) tenemos: gi = g – ge = 29-12=17° Conclusión: ge = 12°, Estructura estable. gi = 17°, Estructura estable. g = 29°, Estructura hiperestática de grado 29 ve.


ESTUDIAR LA ESTABILIDAD Y DETERMINACIÓN DE LA SIGUIENTE ESTRUCTURA.

MIXTA. CONTINUA.

BARRAS

MECÁNICA DE MATERIALES II – Isostatización

FORMAS DE ISOSTATIZACIÓN.

De lo señalado anteriormente tenemos:

Cuando g>0

Número de ecuaciones de equilibrio < Número de incógnitas de las reacciones.

Como lo resolvemos

Entonces para resolver la hiperestaticidad es necesario añadir ecuaciones de deformación, tantas como sea el grado de hiperestaticidad, de tal forma que:

Nᵒ ecuaciones de equilibrio + Nᵒ ecuaciones de deformación = Nᵒ incógnitas



1 2 3

5 4

El método de solución será el transformar la estructura hiperestática en una viga isostática equivalente, liberándola de sus ligaduras de más y sustituyendo sus acciones por fuerzas o momentos de magnitudes tales que la viga isostática conserve las coacciones que las ligaduras ejercían sobre la estructura hiperestática.

Ejemplo. Analizar la estructura mostrada.

ge= 3ᵒ, Estructura estable. gi = 0ᵒ, Estructura estable. g = 3ᵒ, Estructura hiperestática de 3er grado.



Solución 1. Solución 2.

g= 0°, Estructura isostática δv4 = 0 δh5 = 0 f =(X1, X2, X3), tres incógnitas. δv5 = 0

1 2 3

X3 5 4

X2 X1

1 2 3

5 4

X1

X2

X3

g= 0°, Estructura isostática δh1 = 0 δv1 = 0 f =(X1, X2, X3), tres incógnitas. Θ1 = 0



Cuando g<0

Número de ecuaciones de equilibrio > Número de incógnitas de las reacciones.

Como lo resolvemos Para isostizar las estructuras cuando el g es menor que cero, se procede a modificar los apoyos, agregar elementos o quitar elementos, de tal manera que la estructura resultante sea una estructura isostática y estable en general.

Ejemplo. Analizar la estructura mostrada.

1 2 3

4

ge=-1ᵒ, Estructura hipostática (inestable) g =-1ᵒ, (un grado de Inestabilidad). gi =0ᵒ



Solución 1: g=0 Solución 2: g=0

1 2 3

4

1 2 3

4

ge= 0ᵒ, Estructura Estable. g = 0ᵒ, Estructura Estable. gi = 0ᵒ, Estructura Estable.

ge= 0ᵒ, Estructura Estable. g = 0ᵒ, Estructura Estable. gi = 0ᵒ, Estructura Estable.

mecánica de materiales ii

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