mecanica cuantica

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS

TITULO: Mecánica Cuántica

INTEGRANTES: Arias Barón Kevin Brando

Fernández Cumbia Cristhian

Fernández Requejo Gleny

Inca Sánchez Walter Andrés

Guevara Matías Luis

PROFESOR: Cueva Guevara Elmer Augusto

CURSO: Física III

PRESENTACION: Jueves 12 de Julio

Lambayeque 12 de julio del 2012

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FISICA IIIMECÁNICA CUÁNTICA

MECÁNICA CUÁNTICA

1. TITULO

“MECÁNICA CUÁNTICA”

2. RESUMEN

La mecánica cuántica es una de las ramas principales de la Física y uno de los más

grandes avances del siglo XX en el conocimiento humano. Explica el comportamiento de

la materia y de la energía. Su aplicación ha hecho posible el descubrimiento y desarrollo

de muchas tecnologías, como por ejemplo los transistores, componentes profusamente

utilizados en casi todos los aparatos que tengan alguna parte funcional electrónica.

La mecánica cuántica describe que existe una diversa multiplicidad de estados, los cuales

habiendo sido descritos mediante ecuaciones matemáticas por los físicos, son

denominados estados cuánticos. De esta forma la mecánica cuántica puede explicar la

existencia del átomo y desvelar los misterios de la estructura atómica.

La parte de la mecánica cuántica que sí incorpora elementos relativistas de manera formal

y con diversos problemas de forma más exacta y potente, la teoría cuántica de campos y

más generalmente, la teoría cuántica de campos en espacio-tiempo curvo.

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La mecánica cuántica es el fundamento de los estudios del átomo, su núcleo y las

partículas elementales.

Las partículas intercambian energía en múltiplos enteros de una cantidad mínima

posible, denominado quantum (cuanto) de energía.

• La posición de las partículas viene definida por una función que describe la

probabilidad de que dicha partícula se halle en tal posición en ese instante.

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3. OBJETIVOS

Aprenderemos cómo usar la ecuación de Schrödinger para determinar los niveles

posibles de energía, y las funciones de onda correspondientes, para diversos

sistemas.

Cómo calcular las funciones de onda y los niveles de energía para una partícula

confinada en una caja.

Cómo analizar el comportamiento mecánico-cuántico de una partícula en un pozo

de potencial.

Cómo la mecánica cuántica hace posible que las partículas lleguen a donde la

mecánica newtoniana indica que no pueden.

Cómo extender los cálculos mecánico-cuánticos a problemas tridimensionales.

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4. FUNDAMENTO TEÓRICO

MECÁNICA CLÁSICA

La mecánica clásica es una formulación de la mecánica para describir el movimiento de

sistemas de partículas físicas de sistemas macroscópicos y a velocidades pequeñas

comparadas con la velocidad de la luz. Existen varias formulaciones diferentes,

atendiendo a los principios que utilizan, de la mecánica clásica que describen un mismo

fenómeno natural. Independientemente de aspectos formales y metodológicos, llegan a la

misma conclusión.

La mecánica clásica (también conocida como mecánica de Newton, llamada así en honor

a Isaac Newton, quien hizo contribuciones fundamentales a la teoría) es la parte de la

física que analiza las fuerzas que actúan sobre un objeto. La mecánica clásica se

subdivide en las ramas de la estática, que trata con objetos en equilibrio (objetos que se

consideran en un sistema de referencia en el que están parados) y la dinámica, que trata

con objetos que no están en equilibrio (objetos en movimiento). La Mecánica Clásica

reduce su estudio al dominio de la experiencia diaria, es decir, con eventos que vemos o

palpamos con nuestros sentidos. Tiene diversas extensiones: La mecánica relativista va

más allá de la mecánica clásica y trata con objetos moviéndose a velocidades grandes

(de valor relativamente próximo a la velocidad de la luz). La mecánica cuántica trata con

sistemas de reducidas dimensiones (a escala semejante a la atómica), y la teoría del

campo cuántico trata con sistemas que exhiben ambas propiedades.

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MECÁNICA CUÁNTICA

La mecánica cuántica, también conocida como la

física cuántica o la teoría cuántica, es un área de la

física que brinda una delineación matemática de

gran parte de la partícula y de onda similar a como

trabaja el comportamiento dual y las interacciones

de la energía y la materia.

Se parte de la mecánica clásica sobre todo en escalas atómicas y subatómicas, el

llamado reino cuántico. En temas avanzados de la mecánica cuántica, algunos de estos

comportamientos son macroscópicos y sólo emergen a bajas o muy altas energías.

El nombre, acuñado por Max Planck, nace de la observación de que algunas magnitudes

físicas se pueden intercambiar sólo cuantías discretas, o cuantos, en múltiplos de la

constante de Planck, en vez de ser capaces de variar de forma continua o por cualquier

cantidad arbitraria. Por ejemplo, el momento angular, o más generalmente la acción, de

un electrón ligado a un átomo o molécula está cuantizada.

Mientras que un electrón no consolidado no presenta niveles de energía cuántica, un

electrón atado en un orbital atómico ha cuantificado los valores del momento angular. En

el contexto de la mecánica cuántica, la dualidad onda-partícula de la energía y la materia

y el principio de incertidumbre proporciona una visión unificada del comportamiento de los

fotones, electrones y otros objetos a escala atómica.

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La formulación matemática de la mecánica cuántica es abstracta. Del mismo modo, las

consecuencias suelen ser no-intuitivo en términos de la física clásica. La pieza central del

sistema matemático es la función de onda.

FUNCIONES DE ONDA

La función de onda es una función matemática que informa sobre la amplitud de

probabilidad de posición y el momento de una partícula en manipulaciones matemáticas

de la función de onda.

La función de onda trata el objeto como un oscilador armónico cuántico y las matemáticas

es similar a la de resonancia. Muchos de los resultados de la mecánica cuántica no tiene

modelos que son fáciles de visualizar en términos de mecánica clásica, por ejemplo, el

estado fundamental de la mecánica cuántica es un modelo de no-estado cero de energía

que es la más baja la energía del estado permitido de un sistema, en lugar de un sistema

más tradicional que se considera como simple hecho de estar en reposo con cero energía

cinética.

A una escala atómica o subatómica, una partícula como el electrón no se puede describir

en forma encilla como un punto. En cambio, usamos una función de onda para describir

el estado de una partícula. Describiremos en forma más específica el lenguaje cinemático

que se debe usar para remplazar el esquema clásico de la descripción de una partícula

por sus coordenadas y componentes de velocidad.

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El nuevo esquema para describir el estado de una partícula tiene mucho en común con el

lenguaje del movimiento ondulatorio clásico i.e. las ondas transversales en una cuerda,

especificando la posición de cada punto en ella, en cada instante en el tiempo, mediante

una función de onda. Si y representa el desplazamiento con respecto al equilibrio en el

momento t, de un punto de la cuerda a una distancia x del origen, la función y (x, t)

representa el desplazamiento de cualquier punto x en cualquier momento t. Una vez

conocida la función de onda para determinado movimiento ondulatorio, sabemos todo lo

que hay que saber acerca del movimiento. Podemos determinar la posición y la velocidad

de cualquier punto en la cuerda en cualquier momento. Desarrollamos formas específicas

de esas funciones para ondas senoidales, en las que cada partícula tiene movimiento

armónico simple.

Por lo anterior, es natural usar una función de onda como elemento fundamental de

nuestro nuevo lenguaje. El símbolo que se acostumbra utilizar para representar esta

función de onda es Ψ o bien ψ. En general, Ψ es una función de todas las coordenadas

de espacio y tiempo; en tanto que ψ es una función sólo de las coordenadas de espacio, y

no del tiempo. Así como la función de onda y (x, t) de las ondas mecánicas en una cuerda

proporciona una descripción completa del movimiento, también la función de onda Ψ (x,

y, z, t) de una partícula contiene toda la información que se puede conocer acerca de

ésta. La teoría matemática de la mecánica cuántica describe cómo usar Ψ (x, y, z, t) para

determinar los valores promedio de posición, velocidad, cantidad de movimiento, energía

y cantidad de movimiento angular de la partícula. Las técnicas necesarias salen del

alcance de esta descripción, pero están bien establecidas y respaldadas por resultados

experimentales.

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INTERPRETACIÓN DE LA FUNCIÓN DE ONDA

La función de onda describe la distribución de una partícula en el espacio, el cuadrado de

la función de onda de una partícula en cada punto nos indica la probabilidad de encontrar

la partícula cerca de ese punto. Con más precisión, deberíamos decir que es el cuadrado

del valor absoluto de la función de onda,¿Ψ∨¿2¿. Esto es necesario porque, como

veremos después, Ψ puede ser una cantidad compleja con partes real e imaginaria.

Para una partícula que se mueva en tres dimensiones, la cantidad ¿Ψ (x , y , z , t)∨¿2 ¿ dV

es la probabilidad de que la partícula se encuentre, en el momento t, dentro de un

volumen dV en torno al punto (x, y, z). Es más probable que la partícula se encuentre en

regiones donde ¿Ψ∨¿2¿ sea grande, etcétera. Esta interpretación, debida al físico alemán

Max Born, requiere que la función de onda Ψ esté normalizada. Es decir, que la integral

de ¿Ψ∨¿2dV ¿sobre todo el espacio debe ser exactamente igual a 1. En otras palabras,

la probabilidad de que la partícula esté en algún lugar del universo es exactamente 1, es

decir, del 100%.

Interpretación de ¿Ψ∨¿2: ¿Observe que ¿Ψ (x , y , z , t)∨¿2 ¿ no es una probabilidad en

sí misma. Más bien ¿Ψ (x , y , z , t)∨¿2dV ¿, es la probabilidad de encontrar la partícula

dentro de un volumen dV en torno al punto (x, y, z) en el momento t. Si el volumen es más

pequeño, se hace menos probable que la partícula se encuentre dentro de ese volumen,

es decir, disminuye la probabilidad. Un nombre apropiado de ¿Ψ (x , y , z , t)∨¿2 ¿ es la

función de distribución de probabilidad, porque describe la forma en que está

distribuida en el espacio la probabilidad de encontrar la partícula en distintos lugares.

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ESTADOS ESTACIONARIOS

En general, el valor de ¿Ψ (x , y , z , t)∨¿2 ¿ en determinado punto varía en función del

tiempo. Eso tiene lógica: un electrón en un tubo de TV sale despedido del cátodo hacia la

pantalla, y el lugar donde es más probable encontrarlo cambia al pasar el tiempo. Pero si

la partícula está en un estado de energía definida, como un electrón en un átomo, en un

nivel definido de energía, el valor de ¿Ψ∨¿2¿ en cada punto es independiente del tiempo.

Ya que la distribución de probabilidad de la partícula en ese estado no cambia con el

tiempo, a un estado con energía definida se le llama estado estacionario, el cual tiene

una enorme importancia en la mecánica cuántica. Por ejemplo, para cada estado

estacionario con energía definida en un átomo de hidrógeno, hay una función de onda

específica. Es posible que un átomo esté en un estado que no sea idéntico con alguna de

esas funciones de onda de estado estacionario, y que no tenga una energía definida. Sin

embargo, la función de onda para cualquier estado siempre se puede escribir como una

combinación de funciones de onda de estado estacionario.

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LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER

Hemos destacado la importancia de los estados estacionarios en la descripción de

sistemas mecánico cuánticos, para describir un estado estacionario debemos conocer su

función de onda espacial c (x, y, z) y su energía E. Para determinar esos valores se usa

una herramienta desarrollada en 1926 por el físico austriaco Erwin Schrödinger, que se

llama ecuación de Schrödinger. Esta ecuación tiene el mismo papel fundamental en la

mecánica cuántica que las leyes de Newton en la mecánica, y las ecuaciones de Maxwell

en el electromagnetismo. Nuestra comprensión de todo sistema mecánico cuántico,

incluyendo átomos, moléculas, núcleos atómicos y electrones en los sólidos, se basa en

las soluciones de esta ecuación para esos sistemas. No podemos deducir la ecuación de

Schrödinger partiendo de otros principios. En sí misma es un nuevo principio. Pero

podemos demostrar cómo se relaciona con las ecuaciones de De Broglie y podemos

hacer que parezca factible. La forma más sencilla de la ecuación de Schrödinger es la de

una partícula de masa m que sólo se mueve en una dimensión, paralela al eje x, por lo

que la función de onda espacial ψ sólo es una función de x. Supondremos que la partícula

se mueve en presencia de una fuerza conservativa que sólo tiene una componente x, por

lo que está la energía potencial correspondiente U (x). La ecuación de Schrödinger para

esa partícula, con energía definida E, es:

…(*)

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En esta ecuación, E es constante. ¿Cómo saber si esta ecuación es correcta? Porque

funciona. Las predicciones que se hacen con esta ecuación concuerdan con los

resultados experimentales.

Antes del desarrollo de la ecuación de Schrödinger, no había forma de predecir niveles de

energía partiendo de teoría fundamental alguna, excepto del modelo de Bohr, que había

tenido un éxito muy limitado. También hay una versión de la ecuación de Schrödinger que

incluye la dependencia con respecto al tiempo. Se necesita para estudiar estados que no

son estacionarios y para los cuales la función de distribución de probabilidad

¿Ψ (x , y , z , t)∨¿2 ¿ depende del tiempo. Sin embargo, no necesitamos esa versión para

calcular los niveles de energía y las funciones de onda de estados estacionarios. Cuando

sí se necesita una función de onda dependiente del tiempo, para un estado estacionario

de energía E, sólo usamos la ecuación (*). La ecuación de Schrödinger con dependencia

del tiempo es esencial para estudiar los detalles de las transiciones entre los estados.

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PARTÍCULA EN UNA CAJA - NIVELES DE ENERGÍA

Partícula en una caja (también conocida como pozo de potencial infinito).

El sistema de una partícula en una caja de paredes impenetrables. Para simplificar las

cosas vamos a estudiar el sistema en una dimensión.

Para representar la caja podemos suponer que en las paredes existe un potencial infinito

que no permite que la partícula escape y que dentro de la misma la partícula puede

moverse libremente.

Este modelo se puede aplicar al movimiento traslacional de las moléculas de un gas ideal,

movimiento de electrones en metales e incluso al movimiento de electrones pi en

hidrocarburos insaturados.

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http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Infinite_potential_well.svg?uselang=es

Los niveles de energía para una partícula de masa m en una caja (un pozo cuadrado de

potencial, infinitamente profundo) de ancho L se determinan con la ecuación

En = n2h2

8mL2

Características en partícula en una caja

Los valores de la energía representan los posibles niveles de energía del sistema.

Los niveles de energía están cuantizados.

El número es llamado número cuántico

La exclusión de E=0 es una consecuencia de la mecánica cuántica.

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Ejercicio:

Calcule el nivel mínimo de energía para una partícula en una caja, si la partícula es un

electrón, y la caja mide 5.0 x 10 -10 m en su interior, es decir, es un poco mayor que un

átomo.

Resolución

El nivel mínimo de energía (esto es, el estado fundamental) corresponde a n = 1

Nota:

Constante de Max Planck = 6.62606896(33) ×10 -34 J·s

Masa del electrón = 9,109×10-31 kg

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POZOS DE POTENCIAL

Un pozo de potencial es una función de energía potencial U (x) que tiene un mínimo.

En la mecánica newtoniana, una partícula confinada en un pozo de potencial puede vibrar

de un lado a otro con movimiento periódico.

Un pozo de potencial que se aproxima mejor a varios casos físicos reales es un pozo con

lados verticales, pero con altura finita.

A esta función a menudo se le llama potencial de pozo

cuadrado. Podría servir como modelo sencillo para un

electrón dentro de una lámina metálica de espesor L,

que se mueve en dirección perpendicular a la superficie

de la hoja.

El electrón se puede mover con libertad dentro del

metal, pero debe superar una barrera de energía

potencial, de altura Uo, para escapar por alguna de la

superficie del metal.

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Estados confinados de un potencial de pozo cuadrado

En la mecánica newtoniana, la partícula está atrapada (localizada) en un pozo si la

energía total E es menor que Uo. En la mecánica cuántica, a ese estado atrapado a

menudo se le llama estado confinado. Todos los estados están confinados cuando el pozo

tiene profundidad infinita, pero si E es mayor que Uo para un pozo finito, la partícula

no está confinada.

Para un pozo cuadrado finito, examinaremos las soluciones de la ecuación de

Schrödinger para el estado confinado, que corresponden a E < Uo. El método más fácil

es considerar por separado las regiones donde U = 0 y donde U = Uo. Cuando U = 0,

podemos expresar las soluciones de esta ecuación como combinaciones de cos(kx) y

sen(kx), donde E=h2k 2

2m, por lo que k=√2mE

h por consiguiente, dentro del pozo

cuadrado (0≤ x≤ L) se tiene que

Donde A y B son constantes. Hasta ahora, esto se parece al análisis de partícula de una

caja.

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En las siguientes regiones x<0 y x>L se usa la ecuación (40.1) con U=Uo al reordenar

La cantidad Uo-E es positiva, por lo que las soluciones de esta ecuación son

exponenciales k=[2m(Uo−E)]1 /2/h , se pueden escribir las soluciones en la forma:

Donde C y D son constantes con distintos valores en las regiones x<0 y x>L .

Vemos que las funciones de onda en estado confinado para este sistema son senoidales

dentro del pozo y exponenciales fuera de él. Debemos usar el exponente positivo en la

región x<0 y el exponente negativo en la región x>L. Esto es D=0 para x<0 y C=0 para

x>L . Si no eligiéramos esas constantes, Ψ tendería al infinito cuando |x| tienda al

infinito, y no satisfaría la ecuación de normalización.

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También hay estados para los cuales E es mayor que Uo. En este caso, la partícula no

está confinada, sino que es libre de moverse por todos los valores de x. Así, es

posible cualquier energía E mayor que Uo. Estos estados de partícula libre forman

entonces un continuo, y no un conjunto discreto de estados con niveles de energía

definidos. Las funciones de onda para partículas libres son senoidales, tanto dentro como

fuera del pozo. La longitud de onda es más corta dentro del pozo que fuera de él, y

corresponde a mayor energía cinética en el interior que en el exterior. Una versión

tridimensional, en la que U es cero dentro de una región esférica de radio R y su valor

es Uo fuera de ella, es el modelo más sencillo para representar la interacción de un

neutrón con un núcleo en experimentos de dispersión de neutrones. En este contexto, el

modelo se llama modelo de bola de cristal del núcleo, porque los neutrones que

interaccionan con ese potencial se dispersan en forma parecida a la dispersión de la luz

por una bola de cristal. La figura 40.10 es una demostración gráfica de partículas en un

pozo de potencial finito bidimensional

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BARRERAS DE POTENCIAL Y TUNELAMIENTO

Una barrera de potencial es lo contrario a un pozo de potencial: es una función de energía

potencial con un máximo.

En la mecánica newtoniana, si la energía total es E1, una partícula que inicialmente esté

a la izquierda de la barrera de potencial debe quedar a la izquierda del punto x = a. Si

tuviera que moverse hacia la derecha de este punto, la energía potencial U sería mayor

que la energía total E. Ya que K = E - U, la energía cinética sería negativa, lo cual es

imposible, ya que para que un valor de K 5= mv2/2 sea negativo se necesitaría que la

masa fuera negativa o que la rapidez fuera imaginaria.

Si la energía total es mayor que E2, la partícula puede pasar la barrera. Un carrito de

montaña rusa puede remontar la subida si tiene suficiente energía cinética desde el inicio.

Si no la tiene, se detendrá a media subida y después se regresará hacia abajo.

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5. APLICACIONES EXPERIMENTALES O TÉCNICAS

El marco de aplicación de la Teoría Cuántica se limita, casi exclusivamente, a los

niveles atómico, subatómico y nuclear, donde resulta totalmente imprescindible.

Un nuevo concepto de información, basado en la naturaleza cuántica de las

partículas elementales, abre posibilidades inéditas al procesamiento de datos. La

nueva unidad de información es el qubit (quantum bit), que representa la

superposición de 1 y 0, una cualidad imposible en el universo clásico que impulsa

una criptografía indescifrable, detectando, a su vez, sin esfuerzo, la presencia de

terceros que intentaran adentrarse en el sistema de transmisión. La otra gran

aplicación de este nuevo tipo de información se concreta en la posibilidad de

construir un ordenador cuántico, que necesita de una tecnología más avanzada

que la criptografía, en la que ya se trabaja, por lo que su desarrollo se prevé para

un futuro más lejano.

La teleportación de hombres, aunque en un futuro lejano, es una de las

aplicaciones más atractivas de la mecánica cuántica.

En la medicina, la teoría cuántica es utilizada en campos tan diversos como la

cirugía láser, o la exploración radiológica. En el primero, son utilizados los

sistemas láser, que aprovechan la cuantificanción energética de los orbitales

nucleares para producir luz monocromática, entre otras característcias. En el

segundo, la resonancia magnética nuclear permite visualizar la forma de algunos

tejidos al ser dirigidos los electrones de algunas sustancias corporales hacia la

fuente del campo magnético en la que se ha introducido al paciente.

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6. CONCLUSIONES

Según lo expuesto anteriormente, podemos concluir lo siguiente:

La Teoría Cuántica nos habla de la probabilidad de que un suceso dado

acontezca en un momento determinado, no de cuándo ocurrirá ciertamente el

suceso en cuestión.

La Mecánica Cuántica es el fundamento de los estudios del átomo, su núcleo y

las partículas elementales.

La función de onda es una función matemática que informa sobre la amplitud

de probabilidad de posición y el momento de una partícula en manipulaciones

matemáticas de la función de onda.

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7. BIBLIOGRAFÍA

http://es.wikipedia.org/wiki/Mecánica_cuántica

https://www.dropbox.com/s/rzm9twakmq9john/FISICA%20III.pdf

Mecánica Cuántica y Relatividad.(PDF)

http://www.monografias.com/trabajos35/mecanica-cuantica/mecanica-

cuantica.shtml

http://www.youtube.com/watch?v=zqZtfxZM0jU Parte 1

http://www.youtube.com/watch?v=0b8CekLDdhk&feature=relmfu Parte 2

http://www.youtube.com/watch?v=Fq_1etZNc9o&feature=relmfu Parte 3

http://www.youtube.com/watch?v=IhHwqV2wYqI&feature=relmfu Parte 4

http://www.youtube.com/watch?v=nWBACiDtpMs&feature=relmfu Parte 5

http://www.youtube.com/watch?v=8oyJpF0jXDc&feature=relmfu Parte 6

23


http://www.youtube.com/watch?v=8oyJpF0jXDc&feature=relmfu

http://www.youtube.com/watch?v=nWBACiDtpMs&feature=relmfu

http://www.youtube.com/watch?v=IhHwqV2wYqI&feature=relmfu

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http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica

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mecanica cuantica

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