mecanica cuantica resolubles

7/25/2019 Mecanica cuantica resolubles

1/69

1

TEMA 3 MECNICA CUNTICA EN MODELOSEXCTAMENTE RESOLUBLES

1. IntroduccinEn este tema consideraremos algunos de los ms importantes conceptos y resultados dela mecnica cuntica; todos ellos dentro del campo de lo que podramos consideraraspectos matemticos relativamente sencillos. Ms adelante, cuando nos enfrentemos aconceptos concernientes con aspectos matemticos un poco ms complejos, podremosapoyarnos en la analoga con los sistemas ms simples para facilitar la comprensin.

2. La partcula libreUna partcula libre es aquella que no est sujeta a ninguna fuerza o barrera de potencial1y es libre para moverse en un espacio sin lmites. Una partcula libre debe llevar, desde

un punto de vista clsico, un movimiento rectilneo; movimiento que haremos coincidircon el eje x. As, la ecuacin de Schrdinger para la partcula libre ser

)()(

2 2

22

xEdx

xd

m

=

h 0)(

2)(22

2

=+ xmE

dx

xd

h (3.1)

Si hacemos

2

2 2

h

mEk = (3.2)

la ecuacin (3.1) queda en la forma

0)()( 2

2

2

=+ xkdx

xd

(3.3)

La solucin general de la ecuacin diferencial (3.3) es

senkxBkxA cos += (3.4)

o equivalentemente2

)exp()exp( ikxDikxC += (3.5)

donde C y D son constantes distintas de A y B, respectivamente.

1Una partcula libre podra estar sometida a un potencial, pero entonces ste debera ser independiente dela posicin; es decir, constante. Un potencial constante dara lugar a una energa potencial constante quenicamente supondra un escalado de la energa total de la partcula libre. Nosotros, para la partcula libresiempre supondremos V = 0.2La equivalencia entre las ecuaciones (3.4) y (3.5) puede justificarse de la siguiente forma:De acuerdo con la identidad de Euler para nmeros complejos,

isenkxkxikx += cos)exp( y isenkkxikx = cos)exp( De las dos igualdades anteriores, sumando y restando, obtenemos

2/)}exp(){exp(cos ikxikxkx += y iikxikxsenkx 2/)}exp(){exp( = Con lo cual,

ikxikxikxikx eDeCiBAeiBAeBsenkxkxA +=++=+ 2/)(2/)(cos .


2/69

2

Las funciones )exp( ikx son funciones propias del operador momento linealdx

dih ,

con valores propios kh . Si tenemos en cuenta la ecuacin (3.2) vemos que los valorespropios kh coinciden con mE2 ; es decir, con el momento lineal clsicopxde unapartcula libre con energa cintica E. De acuerdo con la relacin de de Broglie, lalongitud de onda asociada a una partcula libre ser:

mE

h

p

h

x 2== . (3.6)

El estado de la partcula libre en el que D = 0 (ver ecuacin (3.5)) conduce a unafuncin de onda ikxCe= que representa una onda plana viajando en la direccin del

eje x, con sentido hacia la derecha, y con momento lineal mEpx 2= . Por el contrario,

si es C= 0, la funcin de onda es ikxDe= y representa una onda plana viajando en la

direccin del eje x, con sentido hacia la izquierda, y con momento lineal mEpx 2= .Para valores de CyDno nulos (ver ecuacin (3.5)), el estado de la partcula consiste enla superposicin de dos ondas planas que viajan ambas en el eje x pero que llevansentidos contrarios.

Puesto que la funcin de onda (3.5) no se anula para ningn valor x de a + ,dicha funcin no puede ser normalizada en todo el espacio donde tiene presencia. Esfcilmente verificable que

=dx* (3.7)

El producto * representa la densidad de probabilidad, es decir, la probabilidad deencontrar la partcula en la unidad de longitud. Para una partcula libre, usando una delas dos funciones, ikxCe= o ikxDe= , obtenemos * = constante (independientede x); por lo tanto, la probabilidad de encontrar una partcula libre es la misma encualquier punto del eje x. Esto es sinnimo de desconocer completamente cual es su

posicin ( =x ). Lo cual, de acuerdo con el principio de incertidumbre, es coherentecon el hecho de que conozcamos exactamente su momento lineal ( mEpx 2= si

ikxCe= o mEpx 2= si

ikxDe

= ).

Puesto que no hay ninguna restriccin en la constante k(salvo que, de acuerdo con laecuacin (3.2), debe ser un nmero real), sta puede tener un valor cualquiera. Estoimplica que la energa de la partcula libre puede tener cualquier valor real positivo y,

por consiguiente, no est cuantizada.

3. La partcula en una caja monodimensionalSi la partcula del apartado anterior es obligada a permanecer en una regin finita delespacio definida por ax0 (donde aes una longitud finita), entonces el sistema esconocido como partcula en la caja. Este sistema sirve como modelo simple de

algunos sistemas reales de inters fsico: movimiento de traslacin de molculas de


3/69

3

gases ideales3, electrones en la banda de conduccin de los metales y electrones enhidrocarburos conjugados y molculas relacionadas. Puesto que el modelo de la

partcula en la caja es matemticamente simple, puede ser utilizado para la comprensinde conceptos mecanocunticos importantes sin que corramos el peligro de perdernos endetalles matemticamente engorrosos. Puede afirmarse que ningn otro sistema

mecanocuntico es capaz de dar tanta informacin con tan poca manipulacinmatemtica.

La ecuacin de Schdinger para la partcula en la caja es la misma que para la partculalibre si asumimos que el potencial dentro de la caja ( ax0 ) es el mismo en cualquier

punto (es decir, V= cte). As,

EVdx

d

m=+

2

22

2

h 0)(

2 2

22

=+

VEdx

d

m

h 0

)(222

2

=

+

h

VEm

dx

d

022

2

=+

k

dx

d (siendo

22 )(2

h

VEmk

= ) (3.8)

(Normalmente tomaremos V= 0 dentro de la caja, pero si no fuera as, no es ningnproblema ya que siempre podemos hacer VEE =' ).

Para asegurarnos de que la partcula permanece confinada dentro de la caja,supondremos un potencial infinito fuera de ella (es decir =V si 0 ). Estonos permite escribir las siguientes condiciones de contorno:

1. 0)( =x parax < 0 o x > a2. 0)0( =

3. 0)( =a Las condiciones 2 y 3 aseguran que la funcin de onda es continua en el intervalo

+ a .

Si tomamos la ecuacin (3.4), BsenkxkxA += cos , como solucin de la ecuacin deSchrdinger, ecuacin (3.8), el cumplimiento de la condicin de contorno 2 ( 0)0( = )obliga a que la constante A de la funcin de onda sea cero. As, la funcin de ondaqueda reducida a

Bsenkx= (3.9)

Por otra parte, el cumplimiento de la condicin de contorno 3 exige que el argumento kasea un mltiplo de radianes4. Esta condicin puede escribirse como

nka= n = 1, 2, 3, (3.10)

De la ecuacin (3.10) vemos que la constante kest cuantizada:

a

nk

= n = 1, 2, 3, (3.11)

3La partcula libre tambin puede servir como modelo para este tipo de sistemas siempre que la cajatenga una longitud muy grande.4

El cumplimientote la condicin de contorno 3 tambin se consigue haciendoB= 0, pero comoAdebe sercero (para que se cumpla la condicin de contorno 2), tendramos = 0, es decir, que, en contra de lahiptesis de partida, no habra partcula dentro de la caja.


4/69

4

Elevando (3.11) al cuadrado y sustituyendo 2k por el valor dado en la ecuacin (3.8)tendremos

2

22

2

)(2

a

nVEm =

h

Si en la expresin anterior tomamos V= 0, sustituimos h por 2/h y despejamos E,obtenemos finalmente,

2

22

8ma

nhE= (n = 1, 2, 3, ) (3.12)

donde vemos claramente que, como consecuencia de la condicin de contorno 3, laenerga de la partcula en la caja est cuantizada (al igual que la constante k).

De las ecuaciones (3.9) y (3.11), las soluciones de la ecuacin de Schrdinger de lapartcula en la caja, que cumplan las condiciones de contorno requeridas, son funcionesdel tipo

a

xnBsenx

=)( n = 1, 2, 3, (3.13)

donde la constante B puede obtenerse normalizando la funcin. As,

21 2

0

22

0

* aBdx

a

xnsenBdx

aa

===

a

B2

=

Llevando el valor obtenido deBa la ecuacin (3.13) tendremos

a

xnsen

ax

2)( = (n = 1, 2, 3, ) (3.14)

Los nmeros enteros n = 1, 2, 3, son los nmeros cunticos de la partcula en la caja,anlogos a los nmeros cunticos que aparecen en el tomo de Borh; con la diferenciade que aqu tales nmeros cunticos no deben postularse a priori, sino que surgen deforma natural como consecuencia de las condiciones de contorno.

En la figura 3.1 se muestran las tres primeras funciones (1, 2y 3, para n = 1, 2 y 3,respectivamente) y sus respectivos cuadrados (densidades de probabilidad). Ntese quetanto n como

2n tienen n-1 nodos (valores de x donde tanto la funcin como su

cuadrado se anulan). Evidentemente, los extremos x = 0 y x = ano se consideran nodos.

Para n = 1 la partcula tiene un solo mximo de densidad de probabilidad justo en elmedio de la caja (en x = a/2). Para n = 2, la partcula tiene dos mximos de densidad de

probabilidad, en x = a/4 y en x = 3a/4. Para n = 3, la partcula tiene tres mximos dedensidad de probabilidad, en x = a/6, en x = 3a/6 y x = 5a/6. (Sabras encontrar una

forma sistemtica de localizar los mximos de densidad de probabilidad para un estadocualquiera de nmero cuntico n?).


5/69

5

La ecuacin (3.12), para la energa de la partcula en la caja, muestra que los niveles deenerga permitidos son inversamente proporcionales al cuadrado de la longitud de lacaja. Por tanto, a medida que ase hace ms grande las energas se hacen ms pequeas(para un mismo valor de n).

En la figura 3.2 vemos un diagrama de niveles de energa para los cuatro primerosestados. Ntese que la energa del nivel ms bajo (n = 1) no es cero, sino )8/( 22 mah .

x = ax = 0

Figura 3.1(la lnea gruesa es la funcin y la delgada el cuadrado de la funcin)

211 y

222 y

233 y

Energa,en unidades

)8/( 22 mah

16

0

1

4

9

n

4

2

V = 0

1

3

Figura 3.2


6/69

6

Uno puede preguntarse por qu el nivel ms bajo de energa (para la partcula en lacaja) no es cero? Hay dos razones importantes para que no sea as:

La primera es que si la energa es cero, n debe ser cero y por tanto la funcin de onda

para n = 0,a

xsen

ax

02)(

= , resultara ser cero en cualquier punto de la caja. Esto

sera equivalente a decir que la partcula no existe en el primer estado.

La segunda razn tiene que ver con el principio de incertidumbre de Heisenberg. Enefecto, si la energa es cero (energa que resulta ser toda ella energa cinetica) lavelocidad tambin ser cero y, por tanto, el momento lineal pxresultara cero. De estaforma la incertidumbre del momento lineal sera 0= xp . Por otra parte, la mxima

incertidumbre para el conocimiento de la posicin de la partcula es ax= (ya quesabemos que la partcula est dentro de la caja). El producto de las incertidumbres de la

posicin y del momento lineal sera 0= xpx , lo cual contradice el principo de

incertidumbre.Ntese que la partcula libre puede tener energa cero sin violar el principio deincertidumbre, ya que =x .

Es interesante notar que el espaciado entre dos niveles de energa consecutivos aumentaa medida que aumenta n. En efecto,

2

2

2

222

1 8)12(

8])1[(

ma

hn

ma

hnnEEE nn =+== + (3.15)

Adems, como se deduce de la ecuacin (3.15), a medida que la anchura de la caja es

ms pequea, mayor es el espaciado entre dos niveles consecutivos de energa. Por elcontrario, a mayor valor de a, menor es el espaciado. En el lmite, cuando a (partcula libre), el espaciado 0E (es otra forma de ver que la energa de la

partcula libre no est cuantizada, es decir, toma valores continuos). El mismorazonamiento podemos hacer con partculas de masas macroscpicas (masas grandes).Para este tipo de partculas el espaciado entre dos niveles consecutivos de energa esnulo; es decir, la energa no est cuantizada.

EJERCICIO 3.1

Demuestra que el conjunto de funciones de onda de la partcula en la caja,

a

xnsen

axn

2)(

= , constituye un constituye un conjunto ortonormal de funciones. Es

decir, demuestra que nm

a

mn =0

* (= 1 si m = n y 0 si m n)

EJERCICIO 3.2

Obtener la funcin de onda de la partcula en la caja para el caso en el que la caja estcentrada en el origen de coordenadas, es decir 2/2/ axa .

El potencial V ser V= 0 si 2/2/ axa y =V si 2/|| ax > .


7/69

7

Ayuda.- Puedes partir de BsenkxkxA += cos y aplicar las siguientes condiciones decontorno 0)2/()2/( == aa .Solucin.-

==

==

)6,4,(2,parnsi2

)5,3,(1,imparnsicos2

22

a

xnsen

a

a

xn

aax

aSi

n

n

02/|| => naxSi

Obsrvese que cuando n es impar, la funcin de onda n es una funcin simtrica o

par; es decir, cumple )()( xx = . En cambio, si n es par, la funcin de onda n es

una funcin antisimtrica o impar; es decir, cumple )()( xx = .

4. La partcula en una caja bidimensionalEl modelo de la partcula en la caja es fcilmente extensible a dos o tres dimensiones.Para el caso bidimensional la ecuacin de Schrdinger es

),(),(2 2

2

2

22

yxEyxyxm

=

+

h (3.16)

Dentro de la caja la energa potencial es cero y fuera de ella es infinita:

0),( =yxV si ],0[ ax e ],0[ by

=),( yxV si ],0[ ax y/o ],0[ by

Como el operador

+

=

2

2

2

22

2 yxm

H h)

podemos considerarlo como la suma de los

operadores independientes2 2

22

xm

Hx

=

h)y

2

22

2 ymHy

=

h), podemos usar la tcnica

de separacin de variables5y hacer la siguiente sustitucin:

)()(),( yYxXyx = (3.17)

Reorganizando la ecuacin (3.16) y sustituyendo, en ella, la (3.17) obtenemos

)()(2)(

)()(

)(22

2

2

2

yYxXmE

y

yYxX

x

xXyY

h

=

+

5

La separacin de variables de la ecuacin de valores propios de la partcula en una caja bi otridimensional es un caso particular de la factorizacin de la funcin propia de un operador suma deoperadores independientes.


8/69

8

22

2

2

2 2)(

)(

1)(

)(

1

h

mE

y

yY

yYx

xX

xX

=

+

2

2

22

2 )(

)(

12)(

)(

1

y

yY

yY

mE

x

xX

xX

=+

h (3.18)

La igualdad (3.18) slo puede ser cierta si ambos trminos son iguales a una mismaconstante (tener en cuenta que el trmino de la izquierda nicamente depende dex, y encambio el de la derecha solo depende de y). Por conveniencia, haremos que esta

constante seal igual a una cantidad que representaremos por 2/2 hymE . De esta forma, a

partir de la ecuacin (3.18) obtenemos las dos ecuaciones diferenciales siguientes:

22

2 2)(

)(

1

h

ymE

y

yY

yY=

(3.19)

222

2 22)(

)(

1

hh

ymEmE

x

xX

xX=+

22

2 )(2)(

)(

1

h

yEEm

x

xX

xX

=

22

2 2)(

)(

1

h

xmE

x

xX

xX=

(siendo )yx EEE = ) (3.20)

Como puede observarse, hemos transformado el problema bidimensional en dosproblemas monodimensionales independientes. Las soluciones de las ecuaciones (3.19)y (3.20) son ya conocidas; es decir,

a

xnsen

axX

2)(

= y

2

22

m8 a

nhEx= (con n= 1, 2, 3, ) (3.21)

b

ymsen

byY

2)(

= y

2

22

m8 b

mhEy= (con m= 1, 2, 3, ) (3.22)

De acuerdo con la ecuacin (3.17) la funcin de onda para la partcula en la cajabidimensional ser

=b

ymsen

a

xnsen

abyx

4),(

(3.23)

y la energa (ver ecuaciones (3.21) y (3.22),

+=+=

2

2

2

22

m8 b

m

a

nhEEE yx (3.24)

Puede comprobarse que la funcin de onda ),( yx , dada por la ecuacin (3.23), esta

normalizada:


9/69

9

14

),(),(0

2

0

2

0 0

* == dybym

sendxa

xnsen

abdxdyyxyx

baa b

.

Adems, dos funciones cualesquiera mn y pq sern ortogonales a menos que m = p y

n = q (es decir, a menos que sean la misma funcin). Esto ltimo lo podemos expresaren la siguiente forma

nqmppqmn dxdy = (3.25)

En el caso particular de una caja bidimensional cuadrada (a= b), la energa total, deacuerdo con la ecuacin (3.24), ser

)(m8

222

2

mna

hE += (3.26)

En el caso de una caja cuadrada podemos encontrar soluciones degeneradas cuandodiferentes combinaciones de los nmeros cunticos n y m dan el mismo valor para

22mn + . Por ejemplo,

1,222

2

222

2

2

2,1 )12(m8)21(

m8 E

a

h

a

hE =+=+=

Esto significa que los estados 2,1 y 1,2 (los cuales son estados distintos) estn

doblemente degenerados. Adems, esta degeneracin proviene de una simetra bsicadel sistema: las direcciones x e y son indistinguibles.

Las funciones de onda de la partcula en la caja bidimensional pueden ser representadascomo superficies resultantes de la distorsin de una superficie plana rectangular, tal ycomo se muestra en la figura 3.3. El estado fundamental (n = m = 1) es unabombamiento positivo en el plano xy (figura 3.3a), y el estado n= 2, m= 1 (figura3.3b) est representado por un abombamiento positivo de media parte del plano de lacaja y el correspondiente abombamiento negativo (o hundimiento) de la otra media

parte. Ntese que los estados n=1, m= 2 y n= 2, m= 1 estn degenerados (para la cajabidimensional cuadrada) y sus funciones de onda pueden hacerse coincidir con un

simple giro de 90 alrededor de un eje perpendicular al plano de la caja por su centro.La figura 3.4 ilustra una manera sencilla de representar las funciones de onda para lacaja bidimensional. Para un estado dado con nmeros cunticos (n,m) el plano de la cajase divide en nmrectngulos (por ejemplo, si n=2 y m=3, nm=6), y cada rectngulo esetiquetado + o dependiendo de si en esa zona el abombamiento es positivo onegativo (hundimiento). Las fronteras entre distintos rectngulos representan los nodosde la funcin de onda (es decir, los lugares geomtricos donde la funcin de ondacambia de signo y por tanto es nula). Obsrvese que en la direccin xhabrn n-1 nodosmientras que en la direccinyhabrn m-1 nodos.


10/69

10

Figura 3.3

Figura 3.4


11/69

11

En la figura 3.5 se han dibujado las densidades de probabilidad 2. |),(| yxmn para una

partcula en una caja bidimensional cuadrada y para diferentes valores de los nmeroscunticos (n,m), a saber: (2,1), (2,2), (2,3) y (3,2). Puesto que la densidad de

probabilidad se obtiene elevando al cuadrado la funcin de onda, los hundimientos de lafuncin de onda (zonas negativas de la figura 3.4) se convierten tambin en

abombamientos. Evidentemente los nodos de la funcin de onda permanecen en lasfiguras representativas de la densidad de probabilidad.En la figura 3.5 puede observarse (como es lgico y esperable) que el nmero de picosde cada diagrama de densidad de probabilidad es igual al producto nm.

Figura 3.5


12/69

12

5. El efecto tnelConsideremos una caja monodimensional de longitud a, de tal forma que el potencial enel extremo izquierdo (x = -a) sea infinito y en el extremo derecho (x = 0) tenga un valorfinito 0V . Adems, suponemos que la barrera de potencial 0V tiene una anchura b. En

este apartado se trata de considerar el comportamiento de la partcula con una energa

0VE< , la cual se encuentra inicialmente confinada en la regin comprendida entreax = yx= 0 (es decir en la zona I de la figura 3.6).

De acuerdo con la mecnica clsica, dicha partcula nunca podra escapar de la zona I.

Sin embargo, nosotros encontraremos que la teora cuntica predice una probabilidadfinita (no nula) de encontrar la partcula ms all de la barrera; es decir, en la zona III.Tal y como se aprecia en la figura 3.6, hemos considerado tres regiones cuyos

potenciales son los siguientes:

Regin I: 0=V para 0


13/69

13

Regin I 0


14/69

14

El nmero de veces que la partcula impacta en la barrera, en x = 0 y proveniente desdela izquierda, es proporcional a 2||A , mientras que el nmero de veces que la partcula

consigue atravesar la barrera en x = b es proporcional a 2||F . Por tanto, el coeficientede transmisin ser

2

2

||||

AF= (3.32)

El paso de la partcula a travs de la pared ser posible si > 0. Aplicando lascondiciones de contorno tendremos:

1) DCBA +=+ (3.33)

2) bikbkbk IIIII eFeDeC =+ (3.34)

3) ( ) 0= =

x

xk

II

xk

II

xik

I

xik

IIIIIII eDkeCkeAikeAik

)()( DCkBAik III = (3.35)4) bikI

bk

II

bk

IIIIIII FeikeDkeCk = (3.36)

El sistema de ecuaciones anterior puede escribirse como

=

=+

=+

=+

FeikDekCek

DkCkBikAik

FeDeCe

DCBA

bik

I

bk

II

bk

II

IIIIII

ikbkbk

IIIII

IIIII

0

0

(3.37)

Como vemos el sistema anterior resulta indeterminado ya que obtendremosA, B, CyDen funcin de F. La solucin (llevada a cabo con Matemtica) es la siguiente:

Z

iZiZeFieA

ZbkiZbk II

4

))()(( 222)( +=

(3.38)

Z

FZeieB

ZbkiZbk II

4

)1)(1( 22)( +=

(3.39)

Z

FiZeC

iZbkI

2

)()( +=

(3.40)

Z

FiZeD

iZbkI

2

)()( =

+

(3.41)

Donde2

20

/2

/)(2

h

h

mE

EVm

k

kZ

I

II

== 2/1

0

==E

EV

k

kz

I

II (3.42)

Puede comprobarse, a partir de las ecuaciones (3.38), (3.40) y (3.41), que la relacinentre los coeficientes A, C y D es

[ ]DiZCiZA )1()1(21 ++= (3.43)


15/69

15

Si la barrera es gruesa (es decir, si bes grande) y 0VE> . Portanto, como una aproximacin, podemos despreciar, en la ecuacin (3.43), el trmino

CiZ)1( frente al DiZ)1( + . As, tendremos

+)41.3(.

)1(21 ec

DiZA Z iZFieAiZbkI

4 )(

2)(

+

(3.44)

Con lo cual el complejo conjugado serZ

iZFieA

iZbkI

4

)( 2)(* +

, y

2

2222*2

16

)1(||

Z

ZFeAAA

ZbkI += (3.45)

De la ecuacin anterior, teniendo en cuenta la ecuacin (3.32) para el coeficiente detransmisin , tendremos

22

22

2

2

)1(

16

||

||

+==

Z

eZ

A

F ZbkI

(3.46)

Deshaciendo el cambio, III kkZ /= , podemos escribir la ecuacin (3.46) en la forma

IIbk

I

III ek

kk 222

II

k

4

+= (3.47)

De acuerdo con las ecuaciones (3.28) y (3.29),2

0

022

II

)(16

k

4

V

EVE

k

kk

I

III

=

+

, y por tanto el

coeficiente de transmisin queda

IIbkeV

EVE 22

0

0 )(16 = (3.48)

En la ecuacin (3.48) vemos que el factor clave del coeficiente de transmisin a travsde la barrera es IIbke 2 , ya que 200 /)(16 VEVE depende nicamente de los valores

relativos de E y V0. Teniendo en cuenta el valor de IIk , dado por la ecuacin (3.29),tendremos

[ ] = 2/102 )(22exp EVmbe

IIbk

h (3.49)

Evidentemente el coeficiente de transmisin no ser cero a no ser que =0V (con lo

cual tendramos la partcula en la caja de paredes infinitas), o que =b , o que sea=m . Puede observarse de la ecuacin (3.49) que para unos valores dados de V0,Ey

b, el coeficiente de transmisin aumenta al disminuir la masa de la partcula (es decir,las partculas de menos masa, en igualdad de condiciones, son ms penetrantes).Este efecto de penetracin a travs de una barrera de potencial, por una partcula cuyaenerga es clsicamente insuficiente para saltar dicha barrera, es lo que se conoce comoefecto tnel mecanocuntico.


16/69

16

En qumica, este efecto explica, por ejemplo, el fenmeno conocido como inversin dela sombrilla en molculas piramidales como NH3, PH3y AsH3.

El PH3en la forma [I] con una energa E< V0puede pasar a la forma [II] sin saltar labarrera, atravesndola por efecto tnel.

7. El oscilador armnicoEl movimiento peridico realizado por una partcula, de tal forma que la aceleracindividida por el desplazamiento sea una constante, se dice que es un movimientoarmnico simple.Como ejemplo generalizado de movimiento armnico simple, consideraremos la

proyeccin, sobre el eje X, del extremo de un radio vector r, con origen en el origen decoordenadas, que realiza una rotacin en el plano XY con velocidad angularconstante (ver figura 3.8).

Figura 3.7

E

V0

Energa

[II][I]

N

N

X

Y

O x

m

Figura 3.8


17/69

17

Vamos a demostrar que la proyeccin del radio vector r, sobre el eje X, tiene unaaceleracin del tipo kxa = .De acuerdo con la figura 3.8, el valor instantneo de x ser

trrx coscos == (3.50)

La velocidad instantnea del puntoxser tsenrvdt

dx== (3.51)

y la aceleracin

xtrdt

dv

dt

xda

222

2

cos ==== (3.52)

De la ecuacin (3.52) vemos que ctexa == 2/ ; con lo cual comprobamos que elmovimiento estudiado es armnico simple.Si, como puede observarse en la figura 3.8, asociamos una masa m al punto x, alconjunto de la masa y del movimiento que lleva le llamamos oscilador armnico. Su

energa cintica ser

m

pvmT x

22

1 22 == (3.53)

La energa potencial podemos encontrarla a partir de la relacin fundamental V=f ,donde f es la fuerza que acta sobre el sistema tendiendo a restaurar su posicin deequilibrio. Para el caso unidimensional podemos no utilizar la notacin vectorial yescribir

dx

dVf = (3.54)

Pero, = )52.3(. ecmaf kxxmf == 2 (3.55)

Siendo 2mk= (3.56)

la llamada constante de fuerza (o constante de la ley de Hooke).

Si la velocidad angular la rescribimos en trminos de la frecuencia del oscilador, 2/2 == T , la constante de fuerza resulta

224 mk= (3.57)

Ntese que la constante de fuerza es simplemente la fuerza por unidad dedesplazamiento tendiente a restaurar la partcula a la posicinx= 0.De las ecuaciones (3.54) y (3.55) tendremos

kxdx

dV= =

xV

kxdxdV00

22

1kxV= (3.58)

(como vemos, hemos tomado el criterio de que la energa potencial de la partcula escero enx= 0).

Combinando las ecuaciones (3.53) y (3.58) la energa total del oscilador ser

Ekxm

pVT x =+=+ 22

21

2 (3.59)


18/69

18

Ahora vamos a considerar un sistema de mayor importancia prctica por su analogacon el modelo de movimiento vibracional de las molculas diatmicas. Se trata de dosmasas m1y m2(iguales o distintas) conectadas por un muelle ideal (muelle que cumplela ley de Hooke)

Suponemos que x1y x2representan las posiciones instantneas de las masas m1y m2,respectivamente, respecto al centro de masas.

Si definimos las coordenadas internas

21 xxx = (3.60)

21

2211

mm

xmxmxCM +

+= 2211 xmxmxM CM += (3.61)

dondeM= m1+ m2.

De las ecuaciones (3.60) y (3.61) podemos obtener:

xM

m

xx CM1

2 = (3.62)

xM

mxx CM

21 += (3.63)

La energa total del sistema ser

221

2

22

2

11 )(2

1

2

1

2

1xxk

dt

dxm

dt

dxmE +

+

= (3.64)

De las ecuaciones (3.62) y (3.63) podemos obtener, respectivamente,

dt

dx

M

m

dt

dx

dt

dx CM 12 = dt

dx

dt

dx

M

m

dt

dx

M

m

dt

dx

dt

dx CMCM 2 1

2

2

21

22

2

+

=

(3.65)

dt

dx

M

m

dt

dx

dt

dx CM 21 += dt

dx

dt

dx

M

m

dt

dx

M

m

dt

dx

dt

dx CMCM 2 2

2

2

22

22

1 +

+

=

(3.66)

Llevando las ecuaciones (3.65) y (3.66) a la ecuacin (3.64) y teniendo en cuenta que

21 xxx = , obtenemos

2

22

21

221 kx

dtdx

dtdxME CM +

+

= (3.67)

Figura 3.9

CM

x2 x1

m2 m1


19/69

19

donde hemos tenido en cuenta la definicin de masa reducida, 21 /1/1/1 mm += .

Si ahora ponemos las velocidades dtdxCM / y dtdx / en funcin de los correspondientes

momentos linealesCMX

P y xp , tendremos finalmente,

222

21

22 kx

p

M

PE x

XCM ++=

(3.68)

donde el trminoM

PCMX

2

2

representa la energa cintica de translacin del sistema (como

un todo), mientras que el trmino 22

2

1

2 kx

px +

representa la energa de vibracin

(cintica ms potencial).

Ignorando la translacin del sistema como un todo (o considerando el centro e masas

fijo), la energa total del oscilador quedar

22

2

1

2 kx

pE x +=

(3.69)

Si comparamos la ecuacin obtenida (3.69) con la que hemos obtenido anteriormente enel caso de una nica masa movindose con un movimiento armnico simple, veremosque la nica diferencia formal es que, en el caso del oscilador compuesto de dos masas,hemos de utilizar la masa reducida.

El paso a la mecnica cuntica lo podemos realizar sustituyendo (operador)xx y

dxdipx h . As, el operador hamiltoniano ser

22

22

2

1

2 kx

dx

d

mH +=

h) (3.70)

(si consideramos el oscilador armnico de dos masas, pondramos en lugar de m).

La ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo, EH =)

, quedar

Ekxdx

d

m =+

2

2

22

2

1

2

h

(3.71)

La ecuacin diferencial anterior (3.71) puede resolverse mediante el mtodo estndar dedesarrollos en series de potencias (ver, por ejemplo, Levine tema 4). Esta va es bastanteengorrosa y no aporta ningn concepto fsico nuevo. Es por ello, que nosotros vamos autilizar un mtodo muy elegante que, sin duda, ser de gran utilidad para un curso msavanzado de Qumica Fsica. El mtodo se denomina mtodo de la factorizacin y es

vlido para cualquier ecuacin diferencial del tipo 0),(2

2

=++

mxfdx

d. (Ntese

que la ecuacin (3.71) puede escribirse como 02

22

2

2

2

=+

+

hh

mmkx

dx

d; siendo,

por tanto, 22 /),( hmkxmxf = y 2/2 hm= ).


20/69

20

Comencemos escribiendo la ecuacin diferencial (3.71) en la forma

Exkm

dx

d

kmm

k=

+

22

2/12/1

2

2

2/12/1

1/2

h

hh (3.72)

Donde el factor que hemos sacado fuera del corchete tiene dimensiones de energa. En

efecto, de la ecuacin (3.57) se tiene 2)/( 2/1 =mk y, por tanto,22

1/2h

m

k=

h

(recordar que h tiene dimensiones de energa). Como consecuencia de lo anterior, elcorchete de la ecuacin (3.72), y por tanto cada sumando de dicho corchete, debe seradimensional.

A continuacin vamos a realizar un cambio de variables que elimine las constantes queacompaan a la variable x. Este cambio ser:

xkm

2/12/12/1

=

h (es adimensional) (3.73)

De esta forma,

=

=

(*))73.3(

2/12/12/1

h

km

dx

dde

dx

d

d

d

dx

d

d

dkm

dx

d2/12/12/1

=

h

dx

d

d

dkm

dx

d

2

22/12/12/1

2

2

=

h

(*)ver

2

22/12/1

2

2

d

dkm

dx

d

=

h (3.74)

Sustituyendo las ecuaciones (3.73) y (3.74) en la ecuacin (3.72) obtenemos

Ed

d

m

k=

2 2

22

2/1h

(3.75)

El trmino entre corchetes de la ecuacin (3.75) nos permite intuir la posibilidad deexpresar esa formal diferencia de cuadrados en funcin de una suma pordiferencia. Si se tratara de simples nmeros, la sustitucin sera inmediata, pero nodebemos perder de vista que estamos tratando con operadores, y stos tienen un lgebradistinta a la de los nmeros reales.

EJERCICIO 3.3

Demuestra la siguiente relacin 12

22 +

+

=

dd

d

d (3.76)

De las ecuaciones (3.75) y (3.76) tenemos


21/69

21

Ed

d

d

d

m

k=

+

+

2

1

2

1

2

12/1

h (3.77)

A continuacin definimos dos nuevos operadores,

- operador de creacin: ( ) ddb /2

1 =+ (3.78)

- operador de aniquilacin: ( ) ddb /2

1+= (3.79)

Con las definiciones de +b y b, la ecuacin (3.77) se escribe como

Ebbm

k=+

+ )2/1(2/1

h

De la ecuacin (3.56), =2/1)/( mk (frecuencia angular). Por tanto, la ecuacinanterior queda

Ebb =++ )2/1(h )2/( hh =+ Ebb

'Ebb =+h (3.80)siendo

2/' h=EE (3.81)

EJERCICIO 3.4

Demostrar que los operadores de creacin, +b , y aniquilacin, b , definidos por lasecuaciones (3.78) y (3.79), respectivamente, presentan la siguiente regla deconmutacin

1],[ )

=+bb (3.82)

Resolvamos ahora la ecuacin de valores propios (3.80) para el estado fundamental.

Llamaremos 0al estado fundamental del oscilador armnico, al cual le corresponderel autovalor de energa ms bajo '0E . La ecuacin (3.80) quedar, por tanto,

0'00 Ebb =

+h

multiplicando ambos miembros de la ecuacin anterior por el operador b, por laizquierda, tenemos

0'00 bEbbb =

+h (3.83)

Por otra parte, de la ecuacin (3.82) tenemos 1)

= ++ bbbb bbbb ++ += 1)

, quellevada a la ecuacin (3.83) nos permite escribir


22/69

22

0'00)1( bEbbb =+

+)

h ))(()( 0'00 bEbbb hh =

+ (3.84)

Puesto que h es una cantidad positiva, la ecuacin (3.84) presenta una contradiccin,ya que hemos encontrado un estado del sistema, 0b , cuya energa h

'0E es inferior

al valor que hemos considerado el ms bajo (el correspondiente al estadofundamental, '0E ). Como la deduccin de la ecuacin (3.84) es coherente, la nica

posibilidad para compatibilizar (3.84) y el hecho de que '0E corresponda al estado

fundamental, es que 00=b . Esta conclusin nos permitir obtener 0 . En efecto,

02

100 =

+=

d

db 000 =+

d

d 0

0

=d

d

dd

0

0 = Cln2

ln2

0 +=

)2/exp( 20 =C (3.85)

(donde C es una constante que se obtiene mediante normalizacin de la funcin).

Para obtener la energa 0E , llevamos la funcin obtenida para 0 a la ecuacin de

valores propios (3.80). Tendremos:

2/'0

2/ 22 + = CeECebbh )79.3(.ec

2/' 02/ 22)/(

2 + =+ CeEeddb

Ch

2/'0

2/2/ 222 )(2

+ = eEeebh

2/'02

02

+ = eEbh

0'0=E )81.3(.ec

20h

=E (3.86)

Puesto que ya tenemos la funcin de onda y la energa para el estado fundamental,estamos en condiciones de obtener las funciones y las energas de los estados excitadosutilizando convenientemente los operadores de creacin y aniquilacin. Para ello vamosa partir de la ecuacin (3.80) particularizada para el estado fundamental

00 00'00 ===

+ Ebbh (observar que 0' 0 =E )

Si la ecuacin anterior la multiplicamos, por la izquierda, por el operador +b tendremos

00b 0 == +++bbb h

Adems, de 1],[ )

=+bb 1)

= ++ bbbb , que llevada a la anterior ecuacin conduce a

0)1(b 0=++

)h bb )()(b 00

+++ = bbb hh (3.87)

De la ecuacin (3.87), comparndola con la ecuacin (3.80), concluimos que hemosencontrado una funcin propia 01

+=b cuya energa corregida es h='1E . Teniendo


23/69

23

en cuenta quien es el operador +b , la expresin de 0 dada por la ecuacin (3.85) y la

definicin (3.81) para la energa corregida, tendremos

)(2

)/(2

1 2/2/2/01

222 + +=== eeC

eCddb

2/11

2

2 = eC (3.88)y

hh ==2

11

'1 EE h)2/11(1 +=E (3.89)

Si la ecuacin (3.87) la multiplicamos, por la izquierda, por el operador +b , tendremos

])[()( 02

0 ++++ = bbbbb hh

Por otra parte, de 1],[ )

=+bb 1)

= ++ bbbb , que llevada a la ecuacin anteriorconduce a

])[()()1( 02

0 ++++ = bbbbb h

)h

])[(2])[( 02

02 +++ = bbbb hh (3.90)

Al igual que antes, de la ecuacin (3.90), comparndola con la ecuacin (3.80),concluimos que hemos encontrado una funcin propia 0

22 )(

+= b cuya energa

corregida es h2'1=E . La obtencin de 2 y 2E es inmediata:

( )===== ++++ 2)/(2

1)()( 2/11002

2

2 eCddbbbb

( )2/22/2/21 222 2222

+ eeeC

( ) 2/2222

24 = eC (3.91)

hh 22/2'2 ==EE h)2/12(2 +=E (3.92)

Procediendo de esta manera podemos encontrar un conjunto infinito, pero numerable,de soluciones (funciones y energas):

0v)( += bv y h)2/1v(v +=E (con v = 0, 1, 2, ) (3.93)

La funcin propia vpuede expresarse en la forma

2/vvv

2

)()( = eHC (3.94)

donde )(v H son los llamados polinomios de Hermite

1)(0 =H


24/69

24

2)(1 =H

24)( 22 = H

128)( 33 =H

124816)( 244 += H

..

Deshagamos ahora el cambio de variables para tener )(v x en lugar de )(v . Para

ello recordemos la ecuacin (3.73): xkm

2/12/12/1

=

h . Si hacemos

h

2/12/1km

= , la

relacin entre y x ser x2/1= . Llevando esta ltima relacin a la ecuacin deonda (3.94) y normalizando la funcin )(v x de acuerdo con

1)()()(

2

vv

*

v ==

dxxdxxx ,

puede obtenerse la frmula general siguiente para la funcin de onda normalizada deloscilador armnico:

2/v

2/1

v

2/1

v

2

)(v!2

)/()( xexHx

= (3.95)

En la figura 3.10 se ha dibujado la funcin energa potencial (fig. 3.10a), las cuatros

primeras funciones de onda (fig. 3.10b) y las funciones de densidad de probabilidadcorrespondientes a las anteriores funciones de onda (fig. 3.10c).

Figura 3.10


25/69

25

Si recordamos que una funcin )(xf es par cuando )()( xfxf = e impar cuando)()( xfxf = , de la anterior figura 3.10 vemos que 0 , 2 , 4 , son funciones de

onda pares; en cambio, 1 , 3 , 5 , son impares. A la misma conclusin llegamos si

examinamos los polinomios de Hermite (ntese que el factor multiplicativo 2/2x

e

siempre es par, por lo tanto la paridad de la funcin de onda depender de la paridad delpolinomio de Hermite que acompae).

EJERCICIO 3.5

Utilizando el Matemtica comprueba que

=0

vv )(2)( dxxdxx si v es par, mientras

que 0)(v =

dxx si v es impar.

Un aspecto interesante a notar es el hecho de que, tanto en el caso de la partcula en lacaja unidimensional como en el oscilador armnico, el nmero de nodos del estadofundamental es cero; y crece de unidad en unidad para los sucesivos estados excitados.Esto sucede en todos los problemas mecanocunticos unidimensionales. El que aumenteel nmero de nodos a medida que aumenta la energa (y por tanto el nmero cunticocorrespondiente) es comprensible por el hecho de que la energa cintica estdirectamente relacionada con la curvatura de la funcin de onda (recordar que laderivada segunda, 22 / dxd , nos da la curvatura de una funcin). Por tanto, a medida que

la energa cintica es mayor, la funcin de onda se hace ms rizada; o lo que es lomismo, aumenta el nmero de nodos.En el caso del oscilador armnico tambin hay un aumento de la energa potencial amedida que aumenta el nmero cuntico v. Esto es debido a que a medida que vaumenta, la funcin de onda )(v x se extiende sobre un intervalo mayor; es decir,

aumenta la amplitud de la oscilacin y la energa potencial 2/2kx adquiere valoresmayores.


26/69

26

8. Teora cuntica del momento angular: el rotor rgidoEl momento angular juega un importante papel en muchos sistemas qumicos y fsicosen los que los efectos cunticos son dominantes. En ciertos sistemas el momentoangular ser una constante del movimiento y, por tanto, esta magnitud ser til paraclasificar los estados cunticos. En este captulo veremos la construccin de operadores

mecanocunticos para el momento angular y sus componentes, y veremos cmo utilizarlos operadores escalera para deducir los valores propios de estos operadores.Finalmente, utilizaremos estos resultados para resolver la ecuacin de Schrdinger delrotor rgido (sistema de dos masas separadas una distancia fija que gira alrededor de sucentro de masas). Algunos de estos resultados sern empleados en el apartado siguiente(apartado 9) para resolver la ecuacin de Schrdinger del tomo de hidrgeno.

8.1 Revisin clsica del momento angularConsideremos una partcula de masa m que describe una trayectoria circular de radio ralrededor del origen.

El momento angular clsico de la partcula se define, en coordenadas cartesianas, por elproducto vectorial

L= r p=

zyx ppp

zyx

kji

(3.96)

Donde r=xi+yj+zk y p=pxi+pyj+pzk. De acuerdo con la ecuacin (3.96) lascomponentes cartesianas del vector Lsern

yzx pzpyL = zxy pxpzL = xyz pypxL = (3.97)

(Ntese que las componentes estn relacionadas por una permutacin cclica de lasvariables x, y, z).

El producto escalar del momento angular consigo mismo tiene, como veremos, unespecial inters

L L= 2222 zyx LLLL ++= (3.98)

Resulta til examinar la variacin con el tiempo del vector L. Para ello, consideraremosprimero la variacin con el tiempo del vector momento lineal p. De acuerdo con la

segunda ley de Newton, la fuerza sobre una partcula de masa m es el producto de lamasa por su aceleracin. As,

p

mr


27/69

27

dt

d

dt

)d(mm

pvF

=== a (3.99)

De la anterior ecuacin se deduce que si la fuerza sobre una partcula es cero, lavariacin del momento lineal con el tiempo tambin resulta nula; es decir, el momentolineal se conserva.

Para analizar la variacin del vector momento angular (L) con el tiempo, consideremosel momento de la fuerza (tambin llamado torque y representado por ) con respecto alorigen de coordenadas. De acuerdo con la definicin de momento,

= r F )99.3(.ec

= rdt

dp (3.100)

Por otra parte, de L= r pse tiene

dtd

dtd

dtd prprL +=

dtd

dtd prL = (3.101)

(tngase en cuenta que 0)( === vvpvpr/ mdtd )

Comparando las ecuaciones (3.100) y (3.101) concluimos que

==dt

d

dt

d pr

L (3.102)

Por tanto, si el momento que acta sobre una partcula es nulo, la variacin con el

tiempo del vector momento angular L ser cero; es decir, el momento angular seconserva.

Los operadores mecanocunticos para el momento angular y sus componentes sonfcilmente obtenibles a partir de la ecuacin clsica (3.96) utilizando las reglasilustradas en el apartado 11 del tema 2. As, tendremos

)hh

)))

)=

== r

kjikji

L i

z/y/x/

zyxi

ppp

zyx

zyx

(3.103)

de donde podemos extraer las componentes

==

==

==

xy

yx

ipypxL

zx

xz

ipxpzL

yz

zy

ipzpyL

xyz

zxy

yzx

h)))

h)))

h)))

(3.104


28/69

28

El orden con se que apliquen los operadoresj

iq

q y (donde iq , jq = x,y,z) es

irrelevante si ji qq ; pero no lo es si ji qq = (en este ltimo caso hay que respetar el

orden).

El operador mecanocuntico para2

L ser2222

zyx LLLL))))))

++== LL (3.105)

EJERCICIO 3.6

Demuestra que el operador 2L)

y sus componentes 2xL)

, 2yL)

y 2zL)

son operadores

lineales y hermticos (es decir, auto-adjuntos).

8.2 Movimiento rotacional de una partcula en el plano (partcula en un ring)El ejemplo ms sencillo de movimiento rotacional es el que corresponde a una partculade masa mpque lleva un movimiento estacionario siguiendo una trayectoria circular deradio r. Supondremos que la partcula posee nicamente energa cintica y que el planode la trayectoria coincide con el plano XY, es decir, supondremos que el momentoangular tiene la direccin del eje Z (ver ecuacin (3.96)). Puesto que el problema

planteado tiene simetra circular, es conveniente utilizar coordenadas polares (r,)6.

La energa clsica de la partcula ser )2/()()2/( 222 pyxp mppmpE +== ; con lo cual,

realizando las sustitucionesxi

px h y

yipy

h , obtendremos la siguiente

expresin para el operador hamiltoniano:

+

=

2

2

2

22

2 xxmH

p

h) (3.106)

Al anterior hamiltoniano hay que aadirle la ligadura r = cte; la cual es ms fcil deimponer si utilizamos coordenadas polares. Las ecuaciones de cambio sern:

Para las primeras derivadas parciales tendremos:

6Puesto que el movimiento lo hemos supuesto en el plano XY, la coordenada es constante e igual a /2.

Y

x

X

y(3.107)

r 222

==

+=

x

yarctg

x

ytg

yx


29/69

29

xx

r

rxx

=

+

=

(r = cte) (3.108)

Anlogamente,

yy

=

(3.109)

A partir de las anteriores ecuaciones podemos obtener las derivadas segundas (tngaseen cuenta que r es constante):

+

=

2

2

2

2

2

2

xxxx

+

=

2

2

2

22

2

2

xxx (3.110)

Anlogamente,

+

=

2

2

2

22

2

2

yyy (3.111)

Teniendo en cuenta las ecuaciones (3.110) y (3.111), tendremos

+

+

+

=

+

2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

yxyxyx (3.112)

Por otra parte, de las ecuaciones (3.107) se tiene (podis comprobarlo rpidamente con

el mathemtica): 02

2

2

2

=

+

yx

y

2

221

ryx=

+

. Con lo cual, la ecuacin

(3.112), queda

2

2

22

2

2

21=

+

ryx (3.113)

que llevada al hamiltoniano, ecuacin (3.106), conduce finalmente a

2

2

2

2

2 d

d

rmH

p

h) = (3.114)

Tambin podemos obtener la expresin del operador zL)

en coordenadas esfricas. En

efecto, si tenemos en cuenta que

= x

yy

xi

Lzh)

, el trminox

yy

x , de

acuerdo con las ecuaciones (3.108) y (3.109) ser:

=

x

yy

xx

yy

x (3.115)

Dex

yarctag=

=+=

=+=

/)/(/

/)/(/222

222

rxyxxy

ryyxyx

que llevadas a la ecuacin

(3.115) conduce a


30/69

30

=+

=

2

22

r

yx

xy

yx (3.116)

Lo cual permite escribir zL)

en la forma

dd

iLz

h) = (3.117)

(Obsrvese que en las ecuaciones (3.114) y (3.117) hemos cambiado, respectivamente,las derivadas parciales 22 / y / por las correspondientes derivadas totales

22 / dd y dd/ . Esto es posible porque al ser r= cte, el problema, en coordenadas

esfricas, pasa a depender de una sola variable . Es decir, un problema de dos variablesindependientes en coordenadas cartesianas se ha convertido, en virtud de las ligadurasimpuestas, en un problema idntico de una sola variable al pasar a coordenadasesfricas.

EJERCICIO 3.7

Obtener la expresin del hamiltoniano (3.114) a partir de los siguientes datos:

a)la ecuacin clsica para la energa de la partcula en el ring, 2

2

2 rm

LE

p

= ,

b) si la trayectoria la suponemos en el plano XY, entonces zLL= ,

c)el operador zL)

viene dado, en coordenadas esfricas, pord

d

iLz

h)=

Ntese que los operadores zL)

y H)

conmutan; es decir [H)

, zL)

] = 0. Esto implica laexistencia de un conjunto completo de funciones propias comunes a ambos operadores.Por tanto, para obtener las funciones propias de la partcula en el ring, podemos resolverla ecuacin de valores propios de zL

)en lugar de resolver la de H

). Una vez obtenidas

tales funciones e impuestas las condiciones de contorno, las llevaremos al operador H)

para obtener las energas.

Si llamamos Lz al autovalor del operador zL)

tenemos la siguiente ecuacin de valor

propio

zL

d

d

i=

h

Separando variables podemos escribir CdiLd z ln+= h (donde C es una cte de

integracin. Realizando las integrales tendremos

mieC

= (donde h/zLm= ) (3.118)

Si sumamos 2 al ngulo , nos encontramos en el mismo punto del espacio; por tanto

debe cumplirse la siguiente condicin de contorno


31/69

31

)()2( =+ )118.3(.ec )2( mimi eCeC =+ 12 =mie

1)2()2cos( =+ msenim ...,3,2,1,0 =m

Vemos que los valores propios del operador zL)

estn cuantizados, ya que

h

zLm= hmLz= (siendo ...,3,2,1,0 =m ) (3.119)

Si normalizamos la funcin de onda obtenida, ecuacin (3.118),

1ee2

0

22

0

* == ==

dCd i m-i m 122 =C )2/(1 =C ,

con lo cual la funcin resulta ser

mi

e

2

1= (siendo ...,3,2,1,0 =m ) (3.120)

Llevando la funcin de onda anterior a la ecuacin de Schrdinger, EH =)

,podemos obtener (hacerlo como ejercicio)

2

22

2 rm

mE

p

h= (siendo ...,3,2,1,0 =m ) (3.121)

De la ecuacin (3.121) se observa que, excepto el estado fundamental m= 0, todos losdems estados estn doblemente degenerados (los valores cm = conducen a la misma

energa2

22

2 rmcE

p

h= ). Esto es debido a que la energa es independiente del sentido de

rotacin (lo cual es lgico).

Otro detalle a destacar es que el valor m= 0 conduce a una funcin de onda aceptableporque no da lugar a una funcin nula, sino a una constante en todos los puntos de latrayectoria circular ( 2/10 )2(

= ). A esta funcin constante le corresponde una energacero (energa del estado fundamental).

Por otra parte, de la ecuacin (3.119) vemos que la componente z del momento angular

puede ser positiva si m> 0 (ver figura 3.11a) o negativa si m< 0 (ver figura 3.11b).

Lz> 0 (m> 0)

mpY

X

(a)

Lz< 0 (m< 0)

mp

Y

X

(b)

Figura 3.11


32/69

32

La condicin )()2( =+ , y por consiguiente la cuantizacin que deriva tantopara

zL como para la energa E, puede ser contemplada como una restriccin para los

valores de la longitud de onda , que evita el que se produzcan interferenciasdestructivas en la funcin de onda asociada al giro de la partcula. En efecto,

m

rhmhrm

hr

mprL

hpph

z

22

//

===

==== h

h (3.122)

Vemos, por tanto, que la longitud de la circunferencia descrita por la partcula, debe serun mltiplo entero de la longitud de onda asociada a dicha partcula.En la figura 3.12 vemos la parte real de las funciones de onda del movimiento rotacionalde la partcula en el plano:

)()2()cos()2()2( 2/12/12/1 msenime mi +== .

Figura 3.12

Se han dibujado las funciones correspondientes a los nmeros cunticos m = 0, 1, 2 y 3.De acuerdo con la ecuacin (3.122), si == 0m , si rm 21 == , si

rm 2 == , si 3/23 rm == ,

De la representacin de las funciones de onda para la partcula en el ring (anillo)observamos la conexin entre el nmero de nodos y el valor del momento angular y dela energa: a medida que aumenta el nmero de nodos (lo cual ocurre cuando aumentael nmero cuntico m), aumenta tanto el momento angular como la energa. En otras

palabras, las funciones de onda ms rizadas tienen mayor momento angular y mayor

energa.


33/69

33

8.3 Propiedades de conmutacin de los operadores del momento angularMuchas de las propiedades importantes de los operadores del momento angular sonconsecuencia de sus relaciones de conmutacin. Las propiedades de conmutacin de lascomponentes del operador L

)se obtienen de las ecuaciones (3.104) como sigue:

],[ yx LL

))

))(())(( yzzxzxyzxyyx pzpypxpzpxpzpzpyLLLL ))))))))))))

==

yzzzyxzxzyxyzzxz pzpxppxyppzppzyppzxppzppyxpzpy ))))))))))))))))

2

2

+++=

yzzxzyxz pzpxppyzppxzpzpy ))))))))

+=

+

=y

zz

xzx

zyzy

zxx

zz

yi

22

2

2h

],[ yx

LL))

+

+

=

yzxz

yx

zxzy

zyzx

xzyz

xy

22222

h

=

=

=x

yi

ix

yy

xy

xy

xx

y 22 h

hhh )104.3(.ec

zyx LiLL)

h))

=],[ (3.123a)

Anlogamente podemos encontrar

xzy

LiLL)

h))

=],[

(3.123b)

yxz LiLL)

h))

=],[ (3.123c)

Las ecuaciones (3.123a,b,c) son fciles de recordar por la simetra cclica que presentansus etiquetas x, y, z. Ntese, por ejemplo, que si en la ecuacin (3.123a) cambio x y,y z y z x, obtengo la ecuacin (3.123b).

A continuacin vamos a demostrar que el operador 2L)

conmuta con cualquiera de lascomponentes xL

), yL

) y zL

) del operador L

). Para ello, haremos uso de la siguiente

relacin de conmutacin7:

ABABAABA))))))))

],[],[],[ 2 += (3.124)

7Omitiendo, por comodidad, los circunflejos en los operadores A y B, se tiene:

[A2, B]= AABBAA (I)

De [A , B]=AB BA obtenemos AB = [A , B] + BA, que sustituido en la ecuacin (I) conduce a

[A2, B]= A([A , B] + B A)BAA = A [A , B]+ ABA BAA

[A2, B]= A[A , B] + ( ) = A[A , B] + [ , ] [A2, B] = A [A , B]+ [ , ]


34/69

34

Se trata de demostrar que

],[ 2 xLL))

= ],[ 2 yLL))

= ],[ 2 zLL))

= 0. (3.125)

Puesto que las tres demostraciones son idnticas, es suficiente con demostrar un slocaso. Por ejemplo, vamos a demostrar que ],[ 2 xLL )) = 0. En efecto,

],[ 2 xLL))

= ],[ 222 xzyx LLLL))))

++ = ],[],[],[ 222 xzxyxx LLLLLL))))))

++ = 0],[ 2 xx LL))

],[ 2xLL

))= ],[],[ 22

xzxy LLLL))))

+ (3.126)

Aplicando la igualdad (3.124) se tiene yxyxyyxy LLLLLLLL))))))))

],[],[],[ 2 +=

)123.3(. aec

)(],[ 2

yzzyyzzyxy LLLLiLLiLLiLL))))

h))

h))

h))

+== (3.127)

Anlogamente,zxzxzzxz LLLLLLLL

)))))))) ],[],[],[ 2 += y, de acuerdo con la ecuacin (3.123c),

)(],[ 2

zyyzzyyzxz LLLLiLLiLLiLL))))

h))

h))

h))

+=+= (3.128)

Sumando las ecuaciones (3.127) y (3.128) tenemos, 0],[],[ 22 =+ xzxy LLLL))))

, que llevado a

la ecuacin (3.126) conduce, finalmente, a

],[ 2 xLL))

= 0.

Las demostraciones de ],[ 2yLL

))= 0 y ],[ 2

zLL))

= 0 son idnticas a la realizada y se

dejan al estudiante como ejercicio.

EJERCICIO 3.8

Hallar las componentes cartesianas del producto vectorial LL))

.

EJERCICIO 3.9Demuestra que las relaciones de conmutacin entre los componentes

xL)

,yL

) y

zL)

pueden derivarse de la relacin LLL)

h))

i= . Por qu LL))

no es cero, como ocurre

en lgebra vectorial (el producto vectorial de un vector consigo mismo es nulo)?

El significado fsico de las diversas relaciones de conmutacin obtenidas es evidente ala luz del principio de incertidumbre; puesto que 2L

) conmuta con todas las

componentes de L)

(es decir, xL)

, yL)

y zL)

), pero stas no conmutan entre si

( 0],[ pq LL)

si qp , siendop,q= x, y, z), se sigue de ello que slo 2L)

y una de las

componentes de L)

podrn ser medidas simultneamente. Adems, de acuerdo con elteorema 6 (ver tema 2) el operador 2L

)y uno de los componentes del conjunto (

xL)

,yL

)

y zL)

) podrn tener un conjunto completo de funciones propias.


35/69

35

8.4 Operadores del momento angular en coordenadas polares

Los operadores 2L)

,xL

),

yL)

yzL

) a menudo suelen ser expresados en coordenadas

esfricas. La razn de ello es, como veremos ms adelante, que las funciones propiascomunes a 2L

)y a una de las componentes de L

)(

xL)

,yL

)o

zL)

) son tambin funciones

propias de los operadores hamiltonianos de sistemas cuyo potencial presenta simetraesfrica (como es el caso del rotor rgido y del tomo de hidrgeno).

Las ecuaciones de transformacin de coordenadas cartesianas (x, y, z) a coordenadasesfricas (r, ,) son

cossenrx= sensenry= cosrz= (3.129)

Las relaciones inversas sern

222zyxr ++=

r

zarccos=

x

yarctg= (3.130)

Las coordenadas esfricas estn definidas en los intervalos

r0 0 20 zyx ,, (3.131)

Las relaciones geomtricas entre ambos tipos de coordenadas se derivan de la siguientefigura

Hay dos ecuaciones de transformacin que resultan de suma importancia cuandoqueremos realizar un cambio de coordenadas. Si hacemos que qrepresente una de lastres coordenadasx, y, z,la primera ecuacin de transformacin es la siguiente:

++= qqrqr

q (3.132)

Esta relacin nos permite transformar un operador diferencial dependiente de lascoordenadas (x,y,z) en otro dependiente de (r,,). Para las derivadas superiores se tiene

nnnqq )/(/ = .

La segunda ecuacin de transformacin importante se requiere para transformarintegrales en (x,y,z) a integrales en (r,,):

drddr

zyx

g(r,dzdydxzyxfr

),,(

),,(

),),,(0

2

0 0

= = =

= (3.133)

r

Z

YX


36/69

36

donde

zzz

yyy

xxx

r

zyx

r

r

r

),,(

),,( =

(3.134)

y donde qxxq = / , qyyq = / , qzzq = / (siendo q= r, , ).

Utilizando la ecuacin de transformacin (3.132) es sencillo (aunque bastante laborioso)obtener las expresiones de los operadores 2L

), xL)

, yL)

y zL)

en coordenadas esfricas. El

resultado es el siguiente:

+

=

coscot gseniLx h)

(3.135)

=

cosencot sgiLy h)

(3.136)

=i

Lzh)

(3.137)

+

=2

2

222

1

1

sensen

senL h)

(3.138)

El hecho de que la variable rno aparezca en ninguno de los anteriores operadores esdebido a la simetra esfrica de la rotacin.

EJERCICIO 3.10

Dados dos operadores A)

y B)

, comprueba que siempre es posible factorizar el operador22

BA))

+ en la siguiente forma:],[))((],[))(( 22 BAiBiABiABAiBiABiABA

))))))))))))))+=++=+ (3.139)

8.5 Operadores escalera para el momento angular

En este apartado vamos a proceder de forma anloga a como resolvimos la ecuacin deSchrdinger en el caso del oscilador armnico. Utilizaremos los llamados operadoresescalera (que ms adelante definiremos) para resolver las ecuaciones de autovalores delos operadores 2L

)y zL

).

De la definicin del operador 2L)

es inmediato justificar

2222yxz LLLL

))))+= (3.140)

Utilizando la ecuacin (3.139) y teniendo en cuenta quezyx LiLL

)h

))],[ = , podemos

escribir

zyxyxzyxyxz LLiLLiLLLiLLiLLL)

h)))))

h)))))) ++=+= ))(())((22 (3.141)


37/69

37

Los operadores

+=+ LLiL yx)))

(3.142a)

y = LLiL yx)))

(3.142b)

reciben el nombre de operadores escalera (ms adelante veremos la justificacin de esa

denominacin).Con la simbologa utilizada para los operadores escalera, ecuaciones (3.142ayb),

podemos reescribir la ecuacin (3.141) en la forma

zzz LLLLLLLL)

h)))

h))))

+== ++ 22 (3.143)

EJERCICIO 3.11

Demuestra las igualdades: )( h))))

+= ++ zz LLLL y )( h))))

= zz LLLL (3.144)Resolucin.-Vamos a resolver la primera de las igualdades (3.144) y dejaremos para el estudiante laresolucin de la segunda. Utilizando la definicin de +L

)tenemos

)( yxzz LiLLLL)))))

+=+ = yzxz LLiLL))))

+ (I)

deyxz LiLL

)h

))=],[ yzxxz LiLLLL

)h

))))+= (II)

dexzy LiLL

)h

))=],[ xzyyz LiLLLL

)h

))))= (III)

Llevando las ecuaciones (II) y (III) a la ecuacin (I) obtenemos)()()( h

))))h

))))h

)))h

))))+=+++=+++= ++ zyxzyxxzyyzxz LLLiLLLiLLLLiLiLLLL (cqd).

Las relaciones expresadas en las ecuaciones (3.144) pueden utilizarse para demostrar elcarcter ascendente y descendente de los operadores escalera, +L

) y L

),

respectivamente. Utilizaremos ),(, Y para representar las funciones propias (todava

desconocidas) de los operadores 2L)

y zL)

, las cuales satisfacen las siguientesecuaciones de valor propio:

,,2

YYL =)

(3.145a)

y ,, YYLz =)

(3.145b)

(donde yson los valores propios de 2L)

y zL)

, respectivamente).

Si operamos zL)

sobre ,YL+)

, tendremos

,, )()( YLLYLL zz ++ = ))))

)144.3(.ec

,, )()( YLLYLL zz h))))

+= ++

)()( ,,, YYLLYLL zz h))))

+= ++ )145.3(. bec

,, )()( YLYLLz h)))

+= ++

))(()( ,, YLYLLz ++ += )h

)) (3.146)

Anlogamente, operando zL)

sobre ,YL)

, tendremos


38/69

38

))(()( ,, YLYLLz = )h

)) (3.147)

De la ecuacin (3.146) se deduce que al operar +L)

sobre ,Y (funcin con valor propio

igual apara el operadorzL

)) el resultado, ,YL+

), constituye una nueva funcin cuyo

valor propio para el operador zL)

es h+ ; es decir, el efecto de +L)

sobre ,Y esaumentarel valor propio en una cantidad h . Anlogamente, de (3.147) se observa queel efecto de L

)sobre ,Y es disminuir su valor propio, respecto del operador zL

), en

una cantidad h .

EJERCICIO 3.12

Demuestra que 2L)

conmuta tanto con +L)

como con L)

; es decir 0],[],[ 22 == + LLLL))))

.

EJERCICIO 3.13

Demuestra que el conmutador de +L)

y L)

viene dado por zLLL)

h

))2],[ =+ .

Si aplicamos nuevamente el operador +L)

sobre la ecuacin (3.146) tendremos

))(()( ,2

, YLYLLL z +++ += )h

))) (3.148)

La primera de las ecuaciones (3.144) implica +++ = LLLLL zz)

h))))

, que sustituida en laecuacin (3.148) conduce a

))(())(( ,2

, YLYLLLLz ++++ +=

)

h

))

h

))

))(()()( ,

2,, YLYLLYLLLz +++++ += )

h))

h)))

))(()()( ,2

,2

,2

YLYLYLLz +++ += )

h)

h))

))(2()( ,2

,2

YLYLLz ++ += )h

)) (3.149)

De forma anloga, aplicando el operador L)

a la ecuacin (3.147), y procediendo deforma idntica a como hemos hecho para obtener la ecuacin (3.149), se obtiene

))(2()( ,2,2 YLYLLz = )

h

))

(3.150)

Las ecuaciones (3.146) y (3.149), por un lado, y las (3.147) y (3.150), por otro,muestran que la aplicacin de los operadores escalera +L

) y L

), a la funcin ,Y ,

generan una serie de valores propios escalonados del operador zL)

, siendo h la

diferencia entre dos valores consecutivos. Adems se observa que la aplicacin de +L)

aumenta el valor propio, mientras que la aplicacin de L)

disminuye el valor propio.

Estas son las razones por las que +L)

y L)

reciben el nombre de operadores escaleraascendenteydescendente,respectivamente.


39/69

39

Puesto que 2L)

conmuta con xL)

y yL)

, ver ecuacin (3.125), resulta sencillo verificar

que 2L)

tambin conmuta con +L)

y L)

. Por tanto, podemos obtener

)()( ,2

,2

YLLYLL))))

++ = )145.3(. aec

)()( ,,2

YLYLL ++ = )))

(3.151a)

Anlogamente, podemos obtener )()( ,,2

YLYLL = ))) (3.151b)

Las ecuaciones anteriores, (3.151a,b), muestran que, a diferencia de lo que ocurre conlos valores propios de zL

), los operadores escalera +L

) y L

)no tienen ningn efecto

sobre los valores propios del operador 2L)

.

El efecto de los operadores escalera sobre las funciones ,Y (funciones propias

comunes de los operadores 2L)

y zL)

) podemos resumirlo en las siguientes expresiones

1,, +++ =

YCYL

) (3.152a)

y

1,, = YCYL)

(3.152b)

donde +C y C son constantes numricas. Obsrvese que las ecuaciones (3.152) no son

ecuaciones de valores propios (tngase en cuenta que 1,,1, + YYY ).

8.6 Los valores propios de zL)

y 2L)

Puesto que los operadores +L)

y L)

son adjuntos uno del otro, ++ =LL

)) ; y, por tanto,

,,,,

,, |||| YLYLYLYLYLLY +++++ ==

))))))

0| 21,1,2 == ++++ CYYC (3.153)

donde se ha tenido en cuenta la regla de turnover para la primera igualdad, ++ =LL

)) para

la segunda igualdad, la ecuacin (3.152a) para la tercera igualdad y la hiptesis de quela funcin 1, +Y est normalizada para la cuarta y ltima igualdad.

Por otra parte, de acuerdo con la ecuacin (3.143), se tiene zz LLLLL)

h))))

=+22 ; con lo

cual

,22

,,, |||| YLLLYYLLY zz)

h))))

=+

,,,2

,,2

, |||||| YLYYLYYLY zz)

h))

=

,,,,2

,, ||| YYYYYY h=

Suponiendo, nuevamente, que las funciones ,Y estn normalizadas; y que, de acuerdo

con la ecuacin (3.153), la integral ,, || YLLY +))

es 0 , tendremos

0)(|| ,, +=+ h)) YLLY (3.154)


40/69

40

Anlogamente podemos obtener

0)(|||| ,22

,,, =+=+ h)

h))))

YLLLYYLLY zz (3.155)

Sumando miembro a miembro 0)( + h con 0)( h , obtenemos

022 2 + hh 2 (3.156)

La desigualdad (3.156) implica que, para un determinado valor de , existe un mnimoy un mximo valor de; los cuales designaremos por min y max , respectivamente.

De las propiedades de los operadores escalera, simbolizadas en las ecuaciones(3.152a,b), se tiene

0max,

=+ YL)

(3.157a)

y 0min,

= YL)

(3.157b)

ya que, segn la ecuacin (3.156), para no hay un valor compatible de que seamayor que max ni menor que min .

Las ecuaciones (3.157a,b) indican que los operadores +L)

/ L)

aniquilan las funciones

propias que tengan el mximo/mnimo valor propio dezL

)para un valor propio dado del

operador 2L)

.Si ahora operamos sobre la ecuacin (3.157a) el operador L

)y tenemos en cuenta que

zz LLLLL)

h))))

=+22 , tendremos

[ ] 0)()( maxmaxmax ,maxmax,22

, =+==+ YYLLLYLL zz h

)

h

))))

0)( maxmax =+ h (3.158)

Anlogamente, operando sobre la ecuacin (3.157b) con +L)

y teniendo en cuenta que

zz LLLLL)

h))))

+=+22 , tendremos

0)( minmin = h (3.159)

De las ecuaciones (3.158) y (3.159) obtenemos

)()( minminmaxmax hh =+ 0)( min2minmax

2max =+ hh

h= minmax (absurdo porque indica que minmax < ) y minmax = (3.160)

Esto significa que los valores propios dezL

)son simtricos alrededor de cero. Adems,

puesto que sucesivas aplicaciones de +L)

a la funcin propia ,Y genera funciones

propias dezL)

con valores propios h+min , h2min+ , h3min+ , , max , debecumplirse necesariamente que

...3,2,,02maxminmax hhh== (3.161)


41/69

41

Para el cumplimiento del requerimiento anterior, ecuacin (3.161), tenemos dosposibilidades:a) que max2 sea un mltiplo entero par de h (0, 2h , 4h , ), con lo cual max ser un

mltiplo entero de h (0, h ,2h , ).b) que max2 sea un mltiplo entero impar de h (h , 3h , 5h , ), con lo cual max ser

un mltiplo semientero de h (h /2, 3h /2, 5h /2, ).Estas relaciones vienen ilustradas en la figura 3.13 para los casos especficos en los que

max2 = 4h ( max mltiplo entero de h ) y max2 = 3h ( max mltiplo semientero de

h ).

Como es habitual, el valor propio mximo del operador zL)

, compatible con un

determinado valor (valor propio del operador 2L)

), suele representarse por lh , y losdistintos valores de , comprendidos entre min y max (es decir, entre -lh y lh ),

suelen representarse porl

m h . Por tanto,

...,3,2,,0minmax hhhh=== l o h /2, 3h /2, 5h /2, (3.162a)

...,3,2,,0 hhhh == lm o h /2, 3h /2, 5h /2, (3.162b)

De la ecuacin (3.158), sustituyendo hlmax , o de la ecuacin (3.159), sustituyendo

hlmin , obtenemos los valores propios del operador2

L)

:

2)1( h+= ll (3.163)

Los valores propios del operador zL)

, compatibles con el anterior valor , sern, portanto, hlm , donde

lml l ( ll,llml ,1...,1,0...,,1, += ) (3.164)

Las ecuaciones (3.145ayb) pueden ser rescritas en la forma:

ll mlml YllYL ,

2,

2 )1( h)

+= (3.165a)

ll mllmlz YmYL ,, h

)= (3.165b)

3/2 1/2 1/2 3/2

Figura 3.13

-2 1 0 1 2 2max= 4h h2max =

2max= 3h 2/3max h= /h

/h


42/69

42

Puesto que cada valor propio del operador 2L)

est asociado con 2l+1 valores diferentesde lm , podemos afirmar que cada funcin propia del operador

2L)

es 2l+1 veces

degenerada.

Los valores propios hlm del operador zL)

pueden ser interpretados fsicamente como la

proyeccin del momento angular total |L| = h)1( +ll en el eje z:

Los distintos valores de lm , compatibles con un valor dado de l (y por tanto de ),

correspondern a las distintas posiciones posibles del vector |L| (distintos ngulos )respecto del eje z.

8.7Las funciones propias de zL)

y 2L)

Puesto que los operadoreszL

)y 2L

)conmutan, tendremos un conjunto completo comn

de funciones propias; estas funciones las hemos simbolizado por ),(, lmlY . En esteapartado se trata de encontrar dicho conjunto de funciones propias.Recordemos la forma de los operadores zL

)y 2L

)en coordenadas esfricas (ecuaciones

(3.137) y (3.138), respectivamente):

=i

Lzh)

+

=2

2

222

1

1

sensen

senL h)

Puesto que el operador zL)

no es funcin de la variable , la funcin ),(, lmlY puede

separarse como un producto de dos funciones )( )( . Llevando esta funcin

producto a la ecuacin de autovalores de 2L) (ll mlml

YllYL ,2

,2 )1( h) += ) tenemos

)()()1()()(1

1 2

2

2

22

+=

+

hh llsen

sensen

)()()1()(

)()(

)(

2

2

2

+=

+

ll

d

d

send

dsen

d

d

sen

(obsrvese que, en la ltima expresin, hemos cambiado las derivadas parciales porderivadas totales).

L siendo |L| = h)1( +ll

donde)1(

cos+

=ll

ml

hlm


43/69

43

Si en la expresin anterior dividimos por )( )( , multiplicamos por 2sen yreorganizamos los trminos, obtenemos

2

22 )(

)(

1)()1(

)(1

)(

d

dll

d

dsen

d

d

sen

sen

=

++

2

2

2

22 )(

)(

1)()1(

)(cot

)(

)(

d

dll

d

dg

d

dsen

=

++

+

(3.166)

La ecuacin (3.166) es cierta para cualquier valor de y ;por tanto, ambos trminosde la igualdad deben ser iguales a una misma constante k. Es decir,

klld

dg

d

dsen=

++

+

)()1()(

cot)(

)( 2

22

(3.167a)

kd

d =

2

2 )()(

1

(3.167b)

Por otra parte, de acuerdo con la ecuacin (3.165b),ll mllmlz

YmYL ,, h)

= , teniendo en

cuenta la separacin de variables efectuada y la forma del operadorzL

)en coordenadas

esfricas, tenemos

)()(d

))()((

=

h

hlm

d

i )(

d

)(

=

lmi

d (3.168)

Derivando de nuevo la ecuacin (3.168) se tiene,

ddmid l )(d

)(2

2 = )168.3(.ec

)(d

)( 222

2

=

lmi

d 2

2

2

d

)(

)(

1lm

d=

(3.169)

Comparando las ecuaciones (3.167b) y (3.169) concluimos que 2lmk= . Con lo cual, la

ecuacin (3.167b) resulta 22

2 )(

)(

1lm

d

d=

, cuya solucin (una vez normalizada) es

)exp(21)(

2/1

lm mil

= (con ...,2,1,0 =lm ) (3.170a)

(expresin que ya conocamos porque es idntica a la obtenida en el caso delmovimiento rotacional de una partcula en el plano ver ecuacin (3.120) ).

Para la resolucin de la ecuacin (3.167a), una vez sustituido kpor 2lm , es conveniente

realizar el cambio de variable cos=x ; con lo cual,

dx

dsen

d

d

= y2

22

2

2

cosdx

dsen

dx

d

d

d

+= .


44/69

44

Realizando los cambios indicados, la ecuacin (3.167a) resulta

01

)1(2)1(2

2

2

22 =

++

x

mll

dx

dx

dx

dx l (3.170b)

Esta ltima ecuacin es idntica a la llamada ecuacin diferencial asociada de Legendre:

0))1/()1((dx

dy2)1( 22

2

22 =++ yxprrx

dx

ydx . Es bien sabido que para que la

ecuacin diferencial asociada de Legendre tenga solucin aceptable, es necesario que rsea un entero positivo o cero y que rp || . En estas condiciones, las soluciones de laecuacin diferencial asociada de Legendre son conocidas con el nombre de polinomiosasociados de Legendre. Por consiguiente, estos polinomios asociados de Legendretambin sern las soluciones de nuestra ecuacin diferencial (3.170b), con elrequerimiento de que lsea un entero positivo o cero y lml || .

En la tabla siguiente se han anotado algunos ejemplos de funciones )(, lml (polinomios asociados de Legendre) en los que hemos deshecho el cambio cosx .Dichas funciones ya estn normalizadas. En la misma tabla podemos ver tambin lascorrespondientes funciones )(

lm .

llm )(, lml )(lm

0 0 2/1 2/1)2/1(

1 0 cos)2/3( 2/1 2/1)2/1(

1 1 sen2/1)4/3( )exp()2/1( 2/1 im 2 0 )1cos3()8/5( 22/1 2/1)2/1( 2 1 cos)4/15( 2/1 sen )exp()2/1( 2/1 im 2 2 22/1)16/15( sen )2exp()2/1( 2/1 i

Las funcines )()(),( ,, lll mmlmlY = son conocidas como armnicos esfricos.

Estos armnicos esfricos, adems de ser las soluciones del rotor rgido (apartadosiguiente), aparecen tambin en la resolucin de la ecuacin de Schrdinger del tomode hidrgeno.

Resulta instructivo comparar la secuenciacin del nmero cuntico lm obtenidoutilizando los operadores escalera (ver ecuacin (3.162b)) con el que resulta de aplicar

las condiciones de contorno a la ecuacin diferencial kd

d=

2

2 )(

)(

1

. En el primer

caso tenemos la posibilidad de nmeros enteros y semienteros. En cambio, en elsegundo caso, como el nmero cuntico resulta de imponer la condicin de contorno

)2()( += , la nica posibilidad es llllml ,1,...,1,0...,,1, += ; es decir,nmeros enteros. El mtodo de los operadores escalera es ms general que la simpleresolucin de la ecuacin diferencial, y abarca un segundo tipo de momento angular quedenominamos espn. Cuando no se realiza un tratamiento cuntico relativista (como esel que hemos hecho), el espn no surge de los postulados, sino que necesita un postuladoadicional. La introduccin del espn no causa ningn desajuste en el tratamiento general


45/69

45

del momento angular que hemos realizado a partir de los operadores escalera. Es comosi la mecnica cuntica estuviera preparada para introducir esta nueva magnitud en suformulacin.

Puede comprobarse que los armnicos esfricos constituyen un conjunto ortonormal de

funciones (sera un ejercicio muy instructivo comprobarlo utilizando el Mathematica).As, podemos escribir:

'''''' ,,

2

0 0,

*,,,

)(),(),(llllll mmllml

mlmlml ddsenYYYY

== = =

(3.171)

8.8 El rotor rgido

Denominamos rotor rgido al sistema constituido por dos masas m1y m2, separadas unadistanciaRconstante, que pueden girar alrededor de su centro de masas.

De acuerdo con la mecnica clsica, la energa cintica debida a la rotacin ser

22

222

211 vmvmT += (3.172)

Llamando a la velocidad angular de rotacin yir a la distancia de la masa im al

centro de masas (C.M.), ii rv = y, por tanto,

22

)(

2

2222

211

222

22

21

21 IrmrmrmrmT =

+=

+= (3.173)

donde 2222

11 rmrmI += es el momento de inercia del sistema.

Teniendo en cuenta que el momento angular L viene dado por L = I, tendremos22 )(IL == LL , y por tanto, podemos escribir la ecuacin (3.173) en la forma

I

L

I

IIT

222

2222

===

(3.174)

De acuerdo con la ecuacin clsica para la energa cintica, ecuacin (3.174), y teniendoen cuenta una energa potencial nula (V= 0), podemos escribir el hamiltoniano como

x2, y2, z2o

r2, 2, 2

x1, y1, z1o

r1, 1, 1

m2

m1Z

Y

XC.M

Figura 3.14

21

2/122

22

222

2/121

21

211

)(

)(

rrR

zyxr

zyxr

+=

++=

++=


46/69

46

2I

2L

H

))

= (3.175)

Puesto que 2Ies una constante, las funciones propias del operador hamiltoniano tienenque ser las mismas que las del operador 2L

); y ya hemos visto que stas ltimas son los

llamados armnicos esfricos. As, podemos escribir

ll mlml EYY

L,,

2

2I =

)

ll mlml

YEIYL ,,2

2=)

(3.176)

Dado que, de acuerdo con la ecuacin (3.165a),ll mlml

YllYL ,2

,2 )1( h

)+= , tendremos

2)1(2 h+= llIE I

llE

2

)1( 2h+= (3.177)

La ecuacin (3.177) muestra que la energa rotacional est cuantizada. El estado

fundamental de energa, correspondiente a l= 0, tiene una energa cero. Obsrvese quelos estados energticos del rotor rgido estn 2l +1 degenerados (tanto como valores demlcompatibles con l). nicamente el estado fundamental (l= 0), al tener un nico valorde mlcompatible con l, no est degenerado.

9. El tomo de hidrgenoEl estudio mecanocuntico del tomo de hidrgeno es realmente importante porque susfunciones de onda sirven como base para un tratamiento cuntico aproximado del restode elementos de la tabla peridica; as como de las molculas que forman.

Vamos a considerar el caso ms general de las especies monoelectrnicas (in o tomo)de carga nuclearZe. Si Nm y em representan, respectivamente, la masa del ncleo y del

electrn, la ecuacin de Schrdinger es

eNeNe

e

N

N

ErVmm

,,2

22

2

)(22

=

+

hh (3.178)

donde

2

2

2

2

2

22

NNN

Nzyx

+

+

= (siendo NNN zyx ,, las coordenadas del ncleo)

2

2

2

2

2

22

eee

ezyx

+

+

= (siendo eee zyx ,, las coordenadas del electrn)

r

eZeKrV

)()( = siendo 2/1222 ])()()[( NeNeNe zzyyxxr ++=

(la energa potencial del sistema depende nicamente de la distancia r entre elncleo y el electrn ya que la fuerza entre ambas partculas es central )

),,,,,(, NNNeeeeN zyxzyx=

Las coordenadas del sistema estn definidas tal y como se indica en la figura 3.15.


47/69

47

Ne xxx = Mxmxmx NNeeCM /)( +=

Ne yyy = Mymymy NNeeCM /)( +=

Ne zzz = Mzmzmz NNeeCM /)( +=

(siendo Ne mmM += la masa total del sistema, y CMCMCM zyx ,, las coordenadas delcentro de masas).

Operando como hemos hecho en el apartado 7 para el oscilador armnico de dos masasm1 y m2, en una dimensin, podemos obtener la siguiente expresin para la energacintica en las tres dimensiones:

+

+

+

+

+

=

222222

22 dt

dz

dt

dy

dt

dx

dt

dZ

dt

dY

dt

dXMT CMCMCM

22

22 p

M

pT CM += (3.179)

dondeeN

eN

mm

mm

+= es la masa reducida del sistema y (x, y, z) son las coordenadas

internas.

La energa potencial,

r

eZeKrV

)()( = , (3.180)

depende nicamente de las coordenadas internas (x, y, z) puesto que2/12222/1222 )(])()()[( zyxzzyyxxr NeNeNe ++=++= .

Las ecuaciones clsicas, (3.179) y (3.180), para la energa cintica y potencial,respectivamente, nos permite escribir el hamiltoniano en la forma

Figura 3.15

Z

YX

CM ),,(CMCMCM

ZYX

me),,(

ez

ey

ex

mN),,( NNN zyx

r


48/69

48

+=

r

ZeK

MH CM

22

22

2

22

hh) (3.180)

Donde el trmino entre parntesis depende nicamente de las coordenadas internas(x,y,z).

Podemos hacer, por tanto, la siguiente separacin de variables,

),,(),,(),,,,,(, eeeeNNNNNNNeeeeN zyxzyxzyxzyx == ,

Con lo cual, la ecuacin diferencial (3.178) la podemos separar en dos ecuacionesdiferenciales independientes:

),,(),,(2

2

2

CMCMCMNNCMCMCMNCM ZYXEZYXM

= h

(3.181)

y

),,(),,(2 2

2

2

zyxEzyxr

ZeK eee

=

h

(3.182)

Donde, como hemos visto es la masa reducida yEN+Ee=E, energa total del sistema.

La ecuacin (3.181) es justo la ecuacin de una partcula libre; en cambio, la ecuacin(3.182) describe el movimiento relativo del electrn respecto del ncleo. nicamentenos interesa sta ltima ecuacin; por tanto, eliminando los subndices podemos escribir

22

2

2

Er

ZeK =

h (3.183)

(se sobrentiende que las nicas coordenadas que se contemplan son las coordenadasinternas, es decir, las coordenadas del electrn relativas al ncleo).

En coordenadas cartesianas ya no es posible hacer ninguna separacin de variables ms;pero, en cambio, si utilizamos coordenadas esfricas (sugeridas por la simetra esfricadel potencial) todava es posible, como veremos a continuacin, realizar una posteriorseparacin de variables.

El operador laplaciano, en coordenadas esfricas, viene dado por la expresin

+

+

= 2

2

22

2

2

2

1

1

11

sensensenrrrrr (3.184)

Teniendo en cuenta la ecuacin (3.138) que nos da el operador 2L)

en coordenadasesfricas y definiendo el operador D

)en la forma

=r

rr

D2

), (3.185)

El operador laplaciano vendr dado por

= 2

222 11

LDr

)

h

). (3.186)

De acuerdo con la ecuacin (3.186) podemos escribir el hamiltoniano H)

como


49/69

49

r

ZeKL

rD

rH

22

22

2

2

1

2 +=

))h)

(3.187)

y la ecuacin (3.183) en la forma

22

2

222

h

)

h

) Lr

ZeKErD =

++ (3.188)

Si nos fijamos en la ecuacin (3.188), observamos que el operador que aparece en eltrmino de la derecha, 22 /h

)L , nicamente depende de las coordenadas y ;mientras

que el conjunto de operadores que aparecen a la izquierda slo dependen de lacoordenada r. E

mecanica cuantica resolubles

Documents