Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado.

Bachillerato L. O. E.

Materia: MATEMATICAS IIInstrucciones: El alumno debera contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.

Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas.

Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntua 2,5 puntos.

PROPUESTA A

1A. a) Calcula el valor de a ∈ R, a > 0, para que la funcion

f(x) =

ex − e−x

ax, si x < 0

(2x + 72x + 1

)x

, si x ≥ 0

sea continua en x = 0. (1,25 puntos)b) Calcula el lımite

lımx→+∞ f(x) (1,25 puntos)

2A. Calcula las siguientes integrales:∫

1 + x +√

x

x2dx,

∫ex

e2x − 3ex + 2dx (1,25 puntos por integral)

Observacion: El cambio de variable t = ex puede ayudarte a calcular la segunda integral.

3A. a) Despeja X en la ecuacion matricial X ·A−B = 2X, donde A, B y X son matrices cuadradas deorden 3. (1,25 puntos)

b) Calcula X, siendo

A =

3 0 02 3 01 2 3

y B =

0 1 02 0 −20 −1 3

(1,25 puntos)

4A. a) Estudia la posicion relativa de las rectas

r ≡{

x− 2z = 1y − z = 2

y s ≡{

x + y + z = 1x− 2y + 2z = a

en funcion del parametro a ∈ R. (2 puntos)b) Encuentra el punto de corte de las rectas en el caso en que sean secantes. (0,5 puntos)

(sigue a la vuelta)

A1.- Solución:

Para ser continua debe estar definida, tener límite por la derecha y por la izquierda y que

ambos coincidan con el valor de la función, que en este caso es 1

212

11

7

12

72lim

Hopital) L'(Aplicando2

limlim

)0

0

00

aa

x

x

aa

ee

ax

ee

ax

x

xx

x

xx

x

b) 3

12

6

6

12

12

6

6

12

6

12

11lim

12

61lim

12

72lim e

xxx

x

x

xx

x

x

xx

x

x

x

También 312

6lim

12

6lim1

12

72lim

12

72lim eeee

x

xx

x

xx

x

xx

x

x

xxx

A2.- Solución:

kxLxxdxxx

xdxxxxx

dxx

xx2

112

3

2

222)

1(

1111

ke

eLtLtL

dttt

dtt

B

t

A

tt

dt

tt

dtdx

ee

e

x

x

xx

x

1

2)2()1(

2

1

1

1

21)2()1(2323 22

22

2

, variablede cambio elpara Cálculos

111

12)1()2(1

21)2)(1(

1

2,1023 fracciones enr descomponepara Calculos

tedtdxete

AAt

BttBtA

t

B

t

A

tt

tttt

xxx

A3.- Solución:

1)2()2(·2·2· IABXBIAXBIXAXBXAX

XIAB

IAIA

3711

244

012

113

021

001

·

310

202

010

)2·(

113

021

001

1

1adjuntos) de traspuesta(

2

1

121

012

001

)2(

1

1

1

A4.- Solución:

La recta r viene dada por un sistema compatible indeterminado cuyas infinitas soluciones son

los puntos de r (intersección de dos planos. Lo mismo podemos decir de la recta s). Si

consideramos el sistema formado por las ecuaciones de r y el primer plano de s, y resulta que

tiene solución única, esto implicará que las rectas r y s deben cortarse en ese punto, y por

tanto el segundo plano tiene que pasar también por él.

2

3

0

2

124

1221

2

21

1

2

12

y

x

zz

zzz

zy

zx

zyx

zy

zx

Este punto nos sirve para determinar a, sólo tenemos que sustituirlo en el segundo plano de s

42

12

2

320 aa

Cuando 4a la recta r y la recta s no se cortan, se cruzan porque sus vectores directores no

son proporcionales. Los sacamos del producto vectorial de los vectores asociados a los planos

que determinan r (1,0,-2)x(0,1,-1)=(2,1,1) y los que determinan s (1,1,1)x(1,-2,2)=(4,-1,-3).

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Materia: MATEMATICAS II

PROPUESTA B

1B. a) Interpretacion geometrica de la derivada de una funcion en un punto. (1 punto)b) Halla el punto de la grafica de la funcion f(x) = x3+3x2+1 donde la recta tangente tiene pendiente

mınima. (1,5 puntos)

2B. a) Esboza la region encerrada entre las graficas de las funciones f(x) = 1/x y g(x) = −2x + 3.(0,5 puntos)

b) Calcula el area de la region anterior. (2 puntos)

3B. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en funcion del parametro m ∈ R

x + y − 5z = −12x − y − 3z = 1−mx − 2y + 2z = m

(1,5 puntos)

b) Calcula la solucion cuando el sistema sea compatible indeterminado. (1 punto)

4B. a) Dados los puntos P (4, 2, 3) y Q(2, 0,−5), da la ecuacion implıcita del plano π de modo que elpunto simetrico de P respecto a π es Q. (1,25 puntos)

b) Calcula el valor del parametro λ ∈ R para que el plano determinado por los puntos P , Q y R(λ, 1, 0)pase por el origen de coordenadas. (1,25 puntos)

B1.- Solución:

Cuando h t iende a 0, e l punto Q t iende a confundi rse con el P . Entonces la rec ta secante t iende a ser la recta tangente a la func ión f (x) en P, y

por tanto e l ángu lo α t iende a ser β.

La derivada en el punto a es la tangente del ángulo pues por definición:

h

afhafaf

h

)()(lim)('

0Es decir la derivada es la tangente del ángulo que forma la

recta tangente a la curva en el punto (a,f(a)) con la horizontal

La derivada primera nos da los valores de la tangente en cada punto. Las derivadas segunda y

tercera nos sirven para calcular los máximos y mínimos de la derivada primera, por tanto los

máximos y mínimos de la tangente

)3,1(

))1('(-1, en Mínimo06)1('''

1066

0)(''

6)('''

66)(''

63)('13)( 223 ff

xx

xf

xf

xxf

xxxfxxxf

B2.- Solución:

La función f es la función de proporcionalidad inversa y la g es una recta con pendiente -2 y

ordenada en el origen 3, la gráfica de ambas es:

Los puntos de corte de ambas son:

212

11013232

1

32

12

yx

yxxxx

xxy

xy

Luego el área encerrada es: 24

3]3[)

132( 1

21

21

21

LLxxxdxx

x

B3.- Solución:

El rango de la matriz de coeficientes de las incógnitas es 2 porque:

El rango de la matriz ampliada

leincompatibSistema 1 cuando 3y

indeterm. comp 1066

21

112

111

cuando 2 Es

m

mm

m

m

Cuando m=1 el sistema se puede resolver así:

z

yzxy

xzx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

3

7

3

232

3

8

3

1813

32

51

122

032

15

0

221

312

511

y 0312

11

B4.- Solución:

a) Un punto del plano es el punto medio del segmento PQ cuyas coordenadas son la

semisuma de los extremos, es decir el punto M(3,1,-1) y un vector perpendicular al plano es

04zyx01)4(z1)-(y3)-(x luego (1,1,4), tambiéno )8,2,2(QP

Es la ecuación del plano pedida

b) Los puntos P,Q,R y el origen deben satisfacer una ecuación de la forma Ax+By+Cz=0 por

pertenecer al plano, luego

0

0)5(2

0324

BA

CA

CBA

Este sistema debe tener solución distinta

de la trivial (0,0,0) Porque A,B,C no pueden ser simultáneamente cero ya que necesitamos que

la ecuación exista, por tanto el determinante de los coeficientes de las incógnitas debe ser

igual a cero 5

13010260

01

502

324

C

B

A

C

BA

A

BA

CA

BA

CA

CBA

2

13

2

5

0513

52

0513

052

05

13

0)5(2

0324

Entonces tenemos que A=5, B=-13, C=2 es una solución y 5x-13y+2z=0 es una ecuación del

plano buscado. (Cualquier otra con los coeficientes proporcionales también es válida)