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Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado.
Bachillerato L. O. E.
Materia: MATEMATICAS IIInstrucciones: El alumno debera contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.
Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas.
Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntua 2,5 puntos.
PROPUESTA A
1A. a) Calcula el valor de a ∈ R, a > 0, para que la funcion
f(x) =
ex − e−x
ax, si x < 0
(2x + 72x + 1
)x
, si x ≥ 0
sea continua en x = 0. (1,25 puntos)b) Calcula el lımite
lımx→+∞ f(x) (1,25 puntos)
2A. Calcula las siguientes integrales:∫
1 + x +√
x
x2dx,
∫ex
e2x − 3ex + 2dx (1,25 puntos por integral)
Observacion: El cambio de variable t = ex puede ayudarte a calcular la segunda integral.
3A. a) Despeja X en la ecuacion matricial X ·A−B = 2X, donde A, B y X son matrices cuadradas deorden 3. (1,25 puntos)
b) Calcula X, siendo
A =
3 0 02 3 01 2 3
y B =
0 1 02 0 −20 −1 3
(1,25 puntos)
4A. a) Estudia la posicion relativa de las rectas
r ≡{
x− 2z = 1y − z = 2
y s ≡{
x + y + z = 1x− 2y + 2z = a
en funcion del parametro a ∈ R. (2 puntos)b) Encuentra el punto de corte de las rectas en el caso en que sean secantes. (0,5 puntos)
(sigue a la vuelta)
A1.- Solución:
Para ser continua debe estar definida, tener límite por la derecha y por la izquierda y que
ambos coincidan con el valor de la función, que en este caso es 1
212
11
7
12
72lim
Hopital) L'(Aplicando2
limlim
)0
0
00
aa
x
x
aa
ee
ax
ee
ax
x
xx
x
xx
x
b) 3
12
6
6
12
12
6
6
12
6
12
11lim
12
61lim
12
72lim e
xxx
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
También 312
6lim
12
6lim1
12
72lim
12
72lim eeee
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
xxx
A2.- Solución:
kxLxxdxxx
xdxxxxx
dxx
xx2
112
3
2
222)
1(
1111
ke
eLtLtL
dttt
dtt
B
t
A
tt
dt
tt
dtdx
ee
e
x
x
xx
x
1
2)2()1(
2
1
1
1
21)2()1(2323 22
22
2
, variablede cambio elpara Cálculos
111
12)1()2(1
21)2)(1(
1
2,1023 fracciones enr descomponepara Calculos
tedtdxete
AAt
BttBtA
t
B
t
A
tt
tttt
xxx
A3.- Solución:
1)2()2(·2·2· IABXBIAXBIXAXBXAX
XIAB
IAIA
3711
244
012
113
021
001
·
310
202
010
)2·(
113
021
001
1
1adjuntos) de traspuesta(
2
1
121
012
001
)2(
1
1
1
A4.- Solución:
La recta r viene dada por un sistema compatible indeterminado cuyas infinitas soluciones son
los puntos de r (intersección de dos planos. Lo mismo podemos decir de la recta s). Si
consideramos el sistema formado por las ecuaciones de r y el primer plano de s, y resulta que
tiene solución única, esto implicará que las rectas r y s deben cortarse en ese punto, y por
tanto el segundo plano tiene que pasar también por él.
2
3
0
2
124
1221
2
21
1
2
12
y
x
zz
zzz
zy
zx
zyx
zy
zx
Este punto nos sirve para determinar a, sólo tenemos que sustituirlo en el segundo plano de s
42
12
2
320 aa
Cuando 4a la recta r y la recta s no se cortan, se cruzan porque sus vectores directores no
son proporcionales. Los sacamos del producto vectorial de los vectores asociados a los planos
que determinan r (1,0,-2)x(0,1,-1)=(2,1,1) y los que determinan s (1,1,1)x(1,-2,2)=(4,-1,-3).
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Bachillerato L. O. E.
Materia: MATEMATICAS II
PROPUESTA B
1B. a) Interpretacion geometrica de la derivada de una funcion en un punto. (1 punto)b) Halla el punto de la grafica de la funcion f(x) = x3+3x2+1 donde la recta tangente tiene pendiente
mınima. (1,5 puntos)
2B. a) Esboza la region encerrada entre las graficas de las funciones f(x) = 1/x y g(x) = −2x + 3.(0,5 puntos)
b) Calcula el area de la region anterior. (2 puntos)
3B. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en funcion del parametro m ∈ R
x + y − 5z = −12x − y − 3z = 1−mx − 2y + 2z = m
(1,5 puntos)
b) Calcula la solucion cuando el sistema sea compatible indeterminado. (1 punto)
4B. a) Dados los puntos P (4, 2, 3) y Q(2, 0,−5), da la ecuacion implıcita del plano π de modo que elpunto simetrico de P respecto a π es Q. (1,25 puntos)
b) Calcula el valor del parametro λ ∈ R para que el plano determinado por los puntos P , Q y R(λ, 1, 0)pase por el origen de coordenadas. (1,25 puntos)
B1.- Solución:
Cuando h t iende a 0, e l punto Q t iende a confundi rse con el P . Entonces la rec ta secante t iende a ser la recta tangente a la func ión f (x) en P, y
por tanto e l ángu lo α t iende a ser β.
La derivada en el punto a es la tangente del ángulo pues por definición:
h
afhafaf
h
)()(lim)('
0Es decir la derivada es la tangente del ángulo que forma la
recta tangente a la curva en el punto (a,f(a)) con la horizontal
La derivada primera nos da los valores de la tangente en cada punto. Las derivadas segunda y
tercera nos sirven para calcular los máximos y mínimos de la derivada primera, por tanto los
máximos y mínimos de la tangente
)3,1(
))1('(-1, en Mínimo06)1('''
1066
0)(''
6)('''
66)(''
63)('13)( 223 ff
xx
xf
xf
xxf
xxxfxxxf
B2.- Solución:
La función f es la función de proporcionalidad inversa y la g es una recta con pendiente -2 y
ordenada en el origen 3, la gráfica de ambas es:
Los puntos de corte de ambas son:
212
11013232
1
32
12
yx
yxxxx
xxy
xy
Luego el área encerrada es: 24
3]3[)
132( 1
21
21
21
LLxxxdxx
x
B3.- Solución:
El rango de la matriz de coeficientes de las incógnitas es 2 porque:
El rango de la matriz ampliada
leincompatibSistema 1 cuando 3y
indeterm. comp 1066
21
112
111
cuando 2 Es
m
mm
m
m
Cuando m=1 el sistema se puede resolver así:
z
yzxy
xzx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
3
7
3
232
3
8
3
1813
32
51
122
032
15
0
221
312
511
y 0312
11
B4.- Solución:
a) Un punto del plano es el punto medio del segmento PQ cuyas coordenadas son la
semisuma de los extremos, es decir el punto M(3,1,-1) y un vector perpendicular al plano es
04zyx01)4(z1)-(y3)-(x luego (1,1,4), tambiéno )8,2,2(QP
Es la ecuación del plano pedida
b) Los puntos P,Q,R y el origen deben satisfacer una ecuación de la forma Ax+By+Cz=0 por
pertenecer al plano, luego
0
0)5(2
0324
BA
CA
CBA
Este sistema debe tener solución distinta
de la trivial (0,0,0) Porque A,B,C no pueden ser simultáneamente cero ya que necesitamos que
la ecuación exista, por tanto el determinante de los coeficientes de las incógnitas debe ser
igual a cero 5
13010260
01
502
324
C
B
A
C
BA
A
BA
CA
BA
CA
CBA
2
13
2
5
0513
52
0513
052
05
13
0)5(2
0324
Entonces tenemos que A=5, B=-13, C=2 es una solución y 5x-13y+2z=0 es una ecuación del
plano buscado. (Cualquier otra con los coeficientes proporcionales también es válida)