matemÁticas unidad 3 grado 8º factorización · 14) abc + abc² = 15) 24a²xy² - 36x²y= factor...

1 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física

Universidad de Antioquia

1

MATEMÁTICAS

UNIDAD 3

GRADO 8º

factorización



2

LOGRO:

Reconoce la formación de los casos principales de factorización a partir

de los productos notables identificando la forma correcta de lograr

factorizarlos a partir de la reversibilidad de la propiedad distributiva de

la multiplicación respecto a la suma.

INDICADORES DE LOGRO:

Reconoce los principales casos de factorización.

Factoriza polinomios por el método de factor común.

Factoriza polinomios por el método de factor común por agrupación.

Factoriza binomios y trinomios cuadrados.

Factoriza diferencias de cuadrados.

Factoriza la suma y la diferencia de cubos



3

FACTORIZACIÓN

Cuando una expresión algebraica es el producto de dos o más

expresiones, llamadas factores de ella, la determinación de estas

cantidades es llamada factorización.

Factorizar significa convertir en factores una expresión algebraica dada.

Existen varios casos de factorización que se encuentran cotidianamente

cuando se trabajan los algoritmos (procedimientos) matemáticos.

Factor común:

Cuando cada uno de los términos de una expresión es divisible por un

factor común, la expresión puede ser simplificada dividiendo cada

término separadamente por este factor y encerrando la cantidad que

resulta entre paréntesis y el factor común afuera como coeficiente.

Ejemplo 1:

Los términos de la expresión 3a² - 6ab tienen un factor común 3a.,

luego:

3a² - 6ab = 3a(a - 2b). Recuérdese que como no hay signo entre el 3a

y el paréntesis, asumimos que es un producto.

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



4

Ejemplo 2:

5a²bx³ - 15abx² - 20b³x²

Los términos 5a²bx³, 15abx², 20b³x² tienen un factor común 5bx², por

lo tanto:

= 5bx²(a²x - 3a - 4b²).

Procedimiento para factorizar una expresión algebraica:

PASO 1: Extrae todos los monomios que sean comunes a todos los

términos.

PASO 2: Agrupa todos los términos por parejas y extrae los monomios

comunes de cada par de términos.

PASO 3: Agrupa todos los términos con la finalidad de hacer aparecer

productos notables como los mencionados en.

PASO 4: Escribe la expresión algebraica original bajo la forma de un

producto de factores.

ACTIVIDAD

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE



5

Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios basándose en los

últimos ejemplos realizados.

1) a² + ab =

2) b + b² =

3) x² + x =

4) 3a³ - a² =

5) x³ - 4x =

6) 5m² + 15m³=

7) ab – bc =

8) x²y + x²z =

9) 2b²x + 6bx² =

10) 8m² - 12mn =

11) 9a³x² - 18ax³=

12) 15c³d² + 60c²d³ =



6

13) 35m²n³ - 70m³ =

14) abc + abc² =

15) 24a²xy² - 36x²y=

Factor común por agrupación:

Una expresión puede ser factorizada si los términos pueden ser

arreglados en grupos que tengan un factor común.

Ejemplo 1: factorizar x² - ax + bx - ab

Notemos que los dos primeros términos tienen factor común x y que los

dos últimos tienen factor común b, entonces agrupamos los dos

primeros términos entre paréntesis y los dos últimos también.

(x² - ax) + (bx – ab) = x(x - a) + b(x - a)

Aquí encontramos otro factor común (x-a) por lo que esto es igual a

(x - a)(x + b)

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



7

Ejemplo 2: factorizar 6x² - 9ax + 4bx - 6ab

6x² - 9ax + 4bx - 6ab = (6x² - 9ax) + (4bx - 6ab)

= 3x(2x - 3a) + 2b(2x - 3a)

= (2x - 3a)(3x + 2b)

Ejemplo 3: factorizar 12a² - 4ab - 3ax² + bx²

12a² - 4ab - 3ax² + bx² = (12a² - 4ab) - (3ax² + bx²)

= 4a(3a - b) - x²(3a - b)

= (3a - b)(4a - x²)

ACTIVIDAD



1) a² +ab + ax + bx =

2)am – bm + an – bn =

3) ax – 2bx – 2ay + 4by =

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE



8

4) a²x² - 3bx² + a²y² - 3by² =

5) 3m – 2n – 2nx + 3mx=

6) x² - a² + x – a²x =

7) 4x³ - 1 –x² + 4x=

8) x + x² - xy² - y² =

9) 3abx² - 2y² - 2x² + 3aby² =

10) 3c – b² + 2b²x – 6cx =

11) 4m³x – 4m²b + 3ab – 3amx =

12) 6bx + 3b + 1 + 2x =

13) 3x³ - 9bx² - x + 3b=

14) 2b²x –5b²y + 15ay – 6ax =



9

Expresiones trinomiales

Observemos los siguientes productos resueltos utilizando la propiedad

distributiva de la multiplicación respecto a la suma.

(x + 5)(x + 3) = x² +3x+5x+ 15= x² + 8x + 15

(x - 5)(x - 3) = x² - 8x + 15

(x + 5)(x - 3) = x² + 2x - 15

(x - 5)(x + 3) = x² - 2x – 15

Nos proponemos considerar el problema inverso. Examinando estos

resultados tenemos:

i) El primer término de ambos factores es x

ii) El producto de los segundos términos de los dos factores es igual al

tercer término del trinomio.

iii) La suma algebraica de los segundos términos de los dos factores es

igual al coeficiente de x en el trinomio.

Ejemplo 1: factorizar x² + 11x + 24

x² + 11x + 24 =

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



10

El segundo término de los factores debe ser tal que su producto sea +24

y su suma +11. Es claro que ellos deben ser +8 y + 3 , luego

x² + 11x + 24 = (x + 8)(x + 3)

Ejemplo 2: factorizar x² - 10x + 24

El segundo término de los factores debe ser de tal modo que su

producto sea +24 y su suma -10.

De ahí que ambos números deben ser negativos, y es fácil ver que los

números son -6 y -4, algunas veces o empezando con este juego de

adivinar cuales número son, se hace algo complicado, en ese caso se

deben sacar los factores del número 24 y ver cuales nos dan como

resultado de su suma el valor -10, luego

x² - 10x + 24 = (x - 6)(x - 4)

Ejemplo 3: factorizar x² - 18x + 81 =

(x - 9)(x - 9) = (x - 9)²

Ejemplo 4: factorizar x + 10x² + 25 =

(x² + 5)(x² + 5) = (x² + 5)²



11

ACTIVIDAD



1) a² - 2ab + b² =

2) a² + 2ab + b² =

3) x² - 2x + 1 =

4) y + 1 + 2y² =

5) x² - 10x + 25=

6) x² + 7x + 10 =

7) x² - 5x + 6 =

8) x² + 3x – 10 =

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE



12

9) x² + x – 2 =

10) x² + 4x + 3 =

11) m² + 5m – 14 =

12) y² - 9y + 20 =

13) x² - 6 – x =

14) x² - 9x + 8 =

15) c² + 5c – 14 =

16) x² - 3x + 2 =

17) b² + 7b + 6 =

18) y² - 4y + 3 =

19) 12 – 8n + n² =



13

TRINOMIO ax² + bx + c

De acuerdo a lo visto tenemos los siguientes resultados

(3x + 2)(x + 4) = 3x² + 14x + 8

(3x - 2)(x - 4) = 3x² - 14x + 8

(3x + 2)(x - 4) = 3x² - 10x - 8

(3x - 2)(x+ 4)= 3x² + 10x - 8

El problema inverso presenta mayor dificultad que los casos que hemos

considerado.

Antes de establecer un método general examinaremos en detalle dos de

las identidades vistas arriba.

Consideremos el resultado de (3x + 2)(x + 4) = 3x² + 14x + 8.

El primer término es el resultado del producto de 3x y x

El tercer término + 8 es el resultado de +2 por +4

El término central es el resultado de sumar los productos de3x y -4 y de

x y 2.

Procedimiento para encontrar la factorización del trinomio ax² + bx + c

Lo realizaremos a través del siguiente ejemplo

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



14

7x² - 19x – 6

Multiplicamos el trinomio por 7/7

La multiplicación debe expresar el resultado del término con x² y del

término sin x, solamente el término con x sólo se expresará el producto

sin realizarlo

Ahora se intercambian los valores del término que sólo se expresó

Dado que esta expresión es equivalente con

Corresponde a una expresión del caso ax² + bx + c, luego

El primer paréntesis tiene factor común 7, entonces

Simplificando por 7

(x - 3)(7x + 2) que es el resultado

Ejemplo 2 factorizar14x² + 29x - 15



15

Multiplicamos por 14/14

Cambiamos el orden del término central

Factorizamos usando el caso III

Sacando factor común en ambos paréntesis

Simplificando

(2x + 5)(7x - 3)

ACTIVIDAD



TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE



16

1) 2x² + 3x – 2 =

2) 3x² - 5x – 2 =

3) 6x² + 7x + 2 =

4) 5x² + 13x – 6 =

5) 6x² - 6 – 5x=

6) 12x² - x – 6 =

7) 4x² + 15x + 9 =

8) 3 + 11x + 10x² =

9) 12m² - 13m – 35 =

10) 20y² + y – 1 =

11) 8x² - 14x – 15=



17

12) 7x² - 44x – 35 =

13) 16m + 15m²- 15 =

14) 2x² + 5x + 2 =

15) 12x² - 7x – 12 =

La Diferencia de dos cuadrados

Al multiplicar (a+ b)(a - b) obtenemos la identidad

(a + b)(a - b) = a² + ab –ab - b² = a² - b²

Un resultado que puede ser verbalmente expresado como

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual a la

diferencia de sus cuadrados.

Recíprocamente, la diferencia de dos cuadrados es igual al producto de

la suma por la diferencia de las dos cantidades.

Ejemplo 1

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



18

25x² -16y² = (5x + 4y)(5x - 4y)

Ejemplo 2

1 - 49c² = (1+ 7c)(1 - 7c)

Ejemplo 3

329² - 171² = (329 + 171)(329- 171)

= 500x158

= 79000

ACTIVIDAD



1) x² - y² =

2) a² - 1 =

3) a² - 4 =

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE



19

4) 9 – b² =

5) 1 – 4m² =

6) 16 – n² =

7) 1 – y² =

8) 4x² - 9 =

9) 25 – 36x² =

10) a²b – c² =

11) (x+y)² - a²=

12) 4 – (a + 1) ² =

13) 9 – (m + n)² =

14) (m – n)² - 16 =



20

15) (x – y)² - 4z² =

Caso especial

1) (x+y)²- a²=

2) 4 - (a + 1)²=

3) 9 - (m + n)² =

4) (m - n)² - 16 =

5) (x - y)² - 4z² =

6) (a + 2b)² - 1 =

7) 1 - (x - 2y)² =

8) (x + 2a)² - 4x² =

9) (a + b)² - (c + d)² =

10) (a - b)² - (c - d)² =



21

11) (x + 1)² - 16x² =

12) 64m² - (m - 2n)²=

13) (a - 2b)² - (x + y)² =

14) (x + 1)² - 4x² =

15) 36x² - (a + 3x)²=

LA SUMA O LA DIFERENCIA DE DOS CUBOS

Si dividimos a³+b³ por a +b el cociente es a² - ab + b² ; y si dividimos

a³ - b³ por a - b el cociente es a² + ab + b², por lo tanto tenemos las

siguientes identidades:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Estos resultados nos permiten factorizar expresiones en las cuales

aparece una suma o una diferencia de cubos.

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



22

Ejemplo 1: factorizar 8x³ - 27y³ = (2x)³ - (3y)³

= (2x - 3y)(4x² + 6xy + 9y²)

Ejemplo 2: factorizar 64a³ + 1 = (4a)³ + 1

= (2a + 1)(4a² - 2a + 1)

ACTIVIDAD



1) 1 + a³=

2) 1 - a³ =

3) x³ + y³=

4) m³ - n³ =

5) a³ - 1 =

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE



23

6) y³ + 1 =

7) y³ - 1 =

8) 8x³ - 1 =

9) 1 - 8x³ =

10) x³ - 27 =

11) a³ + 27 =

12) 8x³ + 27 =

13) 27a³ - b³ =

14) 64 + a =

15) a³ - 125 =

16) 1 - 216m³ =



24

17) 8a³ - 27b =

18) x – b =

19) 8x³ - 27y³ =

20) 1 + 343n³ =

En los siguientes ejercicios debes interpretar cual es el caso de

factorización utilizado y resolverlo según lo estudiado en la presente

unidad.

1) a³ + a² + a =

2) 4x² - 8x + 2 =

3) 15y³ + 20y² - 5y =

4) a³ - a²x + ax² =

5) 2a²x + 2ax² - 3ax =

6) x³ + 5x2 – 7x=

7) 14x²y² - 28 x³ + 56x=

Recolectemos

lo aprendido



25

8) 34ax² + 51ay² - 68ay² =

9) 96 – 48mn² + 144n³ =

10) x – x² + x³ - x=

11)2x²y + 2xz² + y²z² + xy³=

12) 6m – 9n + 21nx – 14mx =

13) 1 + a + 3ab + 3b =

14) 4am³ - 12amn – m² + 3n =

15) 20ax – 5bx – 2by + 8ay =

16) a³ + a² + a + 1 =

17) 2bm – 2bn + 2b – m + n – 1 =

18) 3mx – 2by – 2bx – 6m + 3my + 4b =

19) a³+ a² + a + 1 + x² + a²x² =

20) y + z² - 2ax – 2az² =

21) x² + 10x + 21 =

22) x² + 7x – 18 =

23) m² - 12m + 11=

24) x² - 7x – 30 =

25) n² + 6n – 16 =

26) 20 + x² - 21x =

27) y² + y – 30 =

28) 28 + x² - 11x=

29) n² - 6n – 40 =



26

30) x² - 5x – 36 =

31) x² + 8x – 180=

32) m² - 20m – 300 =

33) x² + x – 132=

34) m² - 2m – 168 =

35) c² + 24c + 135=

36) m² - 41m + 135=

37) 9x² + 10x + 1 =

38) 20n² - 9n – 20=

39) 21x² + 11x – 2 =

40) m – 6 + 15m² =

41) 15x² - 8x – 12 =

42) 9x² + 37x + 4 =

43) 44n + 20n² - 15 =

44) 14m²- 31m – 10 =

45) 2x² + 29x + 90 =

46) 20x² - 7x – 40 =

47) 4n² + n – 33=

48) 30x²+ 13x – 10 =

49) 1 – (x – 2y)² =

50) (x + 2y)² - 4x² =



27

51) (a + b)² - (c + d) ² =

52) (x + 1)² - 16x² =

53) 64m² - (m-2n)²=

54) a² + 2ab + b² - x² =

55) x² - 2xy + y² - m² =

56) m² + 2mn + n² - 1=

57) x² -2x + 1 – b² =

58) n² + 6n + 9 – c² =

59) a²+ x²+ 2ax – 4 =

60) x² + 4y² - 4xy – 1 =

61) a² - 6ay + 9y² - 4x² =

62) 4x² + 25y² - 36 + 20xy =

63) 1 – a² + 2ax – x² =

64) 64a³ - 729 =

65) a³b³ - x =

66) 512 + 27ª =

67) x - 8y =

68) 1 + 729x =

69) 27m³ + 64n =

70) 343x³ + 512y =

71) x³y - 216y =



28

72) a³b³x³ + 1 =

73) x + y =

matemÁticas unidad 3 grado 8º factorización · 14) abc + abc² = 15) 24a²xy² - 36x²y= factor...

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