matemÁticas ii pruebas de acceso a la...
TRANSCRIPT
1
MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO
3.- Matrices y Determinantes
1.- (MODELO DE PRUEBA)
a) Producto de matrices: concepto. Condiciones para su realización. ¿Es posible que para dos matrices A y B no cuadradas puedan existir AB y BA?.
b) Si C, D y E son tres matrices cuadradas de igual dimensión tales que CD = CE, ¿Se puede asegurar que D = E? ¿Por qué?. Razona las respuestas.
SOLUCIÓN
a) Dadas dos matrices A y B, de dimensiones m × n y n × p, respectivamente, AB será una nueva
matriz, de dimensión m × p, que se define del siguiente modo:
Para que dos matrices puedan multiplicarse, el número de filas de la segunda ha de ser igual al de columnas de la primera. En general, cuando dos matrices no cuadradas A y B son de dimensiones m x n y n x m respectivamente, podemos asegurar que existen AB y BA. b) Si CD = CE, no siempre podemos asegurar que D = E. Únicamente podemos hacerlo, cuando la matriz C admita inversa C-1; en ese caso, multiplicando por la izquierda en la igualdad inicial, resulta que: C-1CD = C-1CE ⇒ D = E ya que C-1C = I (matriz identidad ).
2 .- (JUNIO 1994)
a) Define rango de una matriz. b) Una matriz de tres filas y tres columnas, tiene rango tres; ¿Cómo puede variar el rango si
quitamos una columna?. Si suprimimos una fila y una columna, ¿Podemos asegurar que el rango de la matriz resultante sea 2?. Razona las respuestas
SOLUCIÓN a) El rango de una matriz, es el máximo número de filas (o columnas) linealmente independientes
que podemos encontrar. Dicho de otro modo: es el orden del menor no nulo más grande que de ella se puede extraer.
b) Si el rango de la matriz es tres, los tres vectores columna son linealmente independientes. Si quitamos una columna, los dos vectores columna que quedan, seguirán siendo linealmente independientes, luego el rango de la matriz que resulta al suprimir esa columna, es dos. Ahora bien, si quitamos una fila y una columna, ya no podemos asegurar que el rango sea dos. Veamos un ejemplo: si en la matriz A, quitásemos la última fila y la última columna, la matriz resultante no tendría rango dos, sino uno.
3.- (SEPTIEMBRE 1994) Dada la ecuación: 0
3111
1211
1111
1111
=
−−
−
x
x
x
Se pide: i) Razonar que es polinómica de grado menor o igual que tres. ii) Obtener, sin desarrollar el determinante, sus soluciones. Razona las respuestas.
∑=
==⇒==n
kkjikijijijij bacdondecABbByaA
1
,)()()(
=654
711
211
A
2
SOLUCIÓN i) Puesto que al desarrollar un determinante, en cada sumando nada más puede aparecer un factor y sólo uno de cada fila y columna, en el peor de los casos, estarán como factores en un sumando los tres elementos en los que aparece la incógnita: -x(1-x)(2-x). Por tanto, el grado será como mucho,3 (en este caso, 3) ii) Restando la primera fila a todas las demás (y por supuesto dejándola a ella fija), obtenemos la siguiente ecuación equivalente a la anterior:
Como se trata del determinante de una matriz triangular, para su desarrollo basta con multiplicar los elementos de la diagonal principal. La ecuación que resulta es: - x (1 – x) (2 – x) = 0, que es una ecuación polinómica de grado 3. Sin más que cambiar los signos de los tres factores (la ecuación es equivalente) resulta: x (x – 1) (x – 2) = 0 cuyas raíces son evidentemente, x = 0; x = 1 y x = 2. 4 .- (JUNIO 1995) i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Siendo A, B, y C matrices
¿Que condiciones deben cumplir p, q, y r para que las operaciones que se indican a continuación puedan ser efectuadas y cual es el orden de la matriz resultante? : a) ACB b) A(B + C)
ii ) Siendo BA
=
21
43
21
43 con A y B matrices cuadradas de orden 2
¿Deben ser necesariamente A = B?. Razona las respuestas. SOLUCIÓN i) Para la primera parte, ver ejercicio 1. En cuanto a la segunda:
a) El producto ACB, sólo podrá efectuarse cuando q = n = r. La matriz resultante en ese caso, será de dimensión m x p.
b) Para que pueda efectuarse A (B + C), ha de ser n = q y p = r. La matriz resultante, será m x r ó bien m x p.
ii) Puesto que la matriz
21
43 es cuadrada y su determinante es distinto de cero, admite inversa.
Multiplicando (por la izquierda, naturalmente), por esa matriz inversa en la expresión que nos dan:
BA
=
21
43
21
43 . Concluimos que A = B.
5 .- (SEPTIEMBRE 1995)
i) Definir rango de una matriz explicando cada concepto que interviene en la definición. ii) Sea A una matriz cuadrada de orden tres, cuyo rango es dos. ¿Se alterará el rango de dicha matriz
si a los elementos de una de las columnas se les suman los correspondientes de otra de sus columnas? . Razona la respuesta.
SOLUCIÓN i) Ver ejercicio 2. ii) Desde luego, si en el determinante de la matriz A le sumamos a una columna otra columna, el
determinante sigue valiendo lo mismo es decir, cero. El rango de la nueva matriz por tanto, no es tres; la cuestión es si será dos o uno. Veamos que ha de seguir siendo necesariamente dos. Sean u, v, y w los tres vectores columna de la matriz A. Supongamos que hemos sumado a la primera columna, la tercera. Los vectores columna de la nueva matriz, serán: u + w, v y w. Veamos que si entre u, v, w hay dos vectores linealmente independientes y el tercero depende de los otros dos, entre u + w, v, w, ocurre lo mismo. Distingamos tres casos:
rqpnnm MCyMBMA ××× ∈∈∈ ,
0
2000
1100
110
1111
=
−−
−
x
x
x
3
1.- u y v son linealmente independientes y w =αu + βv (con α, β∈R) veamos que en ese caso, u + w y v, son linealmente independientes. En efecto, si no fuese así, sería: u +w = k v (con k ∈R) es decir, que:
u + αu + βv = k v ⇒ (α + 1)u = (k – β) v ⇒ u y v no son linealmente independientes, lo cual contradice nuestra suposición inicial.
2.- v y w son linealmente independientes. En este caso, no hay nada que decir. 3.- u y w son linealmente independientes y v = αu + βw (con α, β∈R).
Veamos que en ese caso, u + w y w , son linealmente independientes. En efecto, si no fuese así, sería: u +w = k w (con k ∈R) es decir, que: u = (k –1) w ⇒ u y w no son linealmente independientes, lo cual contradice nuestra suposición inicial.
6.- (JUNIO 1996) Aplicando las propiedades de los determinantes (y sin desarrollar, ni aplicar la regla de Sarrus) responder
a las siguientes preguntas: i)¿Cómo variará el determinante de una matriz cuadrada de orden 3, si se multiplica cada uno de sus elementos ija por 2i – j ?
ii)¿La matriz de orden 4 A = (ija ) con ija = i + j, tiene inversa?
( ija es el elemento de la matriz, perteneciente a la fila i columna j ).
SOLUCIÓN
i) Sea
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A =
El determinante de una matriz cuadrada de orden 3. Si a cada elemento ija de ese determinante lo
multiplicamos por 2i – j, obtenemos este nuevo determinante:
333231
232221
131211
242
2
42
aaa
aaa
aaa
B =
La cuestión es: ¿Qué relación habrá entre esos dos determinantes?. En este último determinante, multipliquemos la primera fila por 4 y la segunda por 2, con el fin de que desaparezcan los denominadores. En consecuencia y puesto que cuando se multiplica una fila de un determinante por un número, el determinante queda multiplicado por ese número, el determinante B, ha quedado multiplicado por 4 y por 2. En consecuencia:
De donde se concluye inmediatamente que A = B. El determinante, no varía.
ii)La matriz de la que nos preguntan si tiene inversa, es:
=
8765
7654
6543
5432
A
Bastará ver si su determinante es cero o no. Ahora bien, como la última fila es combinación lineal de las anteriores ( C4 = C2 +C3 – C1 ), el determinante A = 0 y por tanto la matriz A, no tiene inversa.
A
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
B ⋅⋅=⋅⋅==⋅⋅=⋅⋅ 2424
24
24
24
242
2
42
2424
333231
232221
131211
333231
232221
131211
333231
232221
131211
4
7.- (SEPTIMBRE 1996) Aplicando las propiedades de los determinantes y sin utilizar la regla de Sarrus, calcular
razonadamente las raíces de la ecuación polinómica: 0
111
111
111
111
)( ==
x
x
x
x
xP
Enunciar las propiedades utilizadas. SOLUCIÓN
Por tanto, la ecuación P(x) = 0, se convierte en: (x-1)3 (x+3) = 0 cuyas raíces son: x = 1 (triple) y x = -3 Aclaremos los pasos dados en el desarrollo del determinante: (1) A la primera, segunda y tercera columnas, les restamos la cuarta (2) A la última fila, le sumamos la primera, la segunda y la tercera. (3) Como es el determinante de una matriz triangular, para desarrollarlo basta multiplicar los elementos de la diagonal principal.
8.- (JUNIO 1997) Dadas las matrices
=
−=
kNyM
8
1
7
3
1
1
3
1
2
2
1
i) Averiguar para qué valores de k existe alguna matriz P, que cumpla: N = PM. ii)¿Tiene sentido hablar de la existencia de la matriz inversa de MNt, para todo k∈R ?. Si existe para k = 0, hallarla. ( denotamos con Nt a la traspuesta de N )
SOLUCIÓN
i) Si existiese esa matriz P, debería ser una matriz 2 x 2 :
=
tz
yxP
Y ha cumplirse que N = PM es decir:
−
=
1
3
1
2
2
18
1
7
3
1
tz
yx
k
Multiplicando las matrices e igualando, obtenemos las siguientes ecuaciones:
41133.1;121
231;3
38
27
21
=+⋅=⇒+===⇒
−=+=
−==⇒
+=−=
+=ktzktz
tz
tzyx
yx
yx
yx
En consecuencia, Para k = 4, existe una matriz Que verifica: N = PM
ii)
++
=
−=
k
k
k
MN t
53
35391
3
8
7
1
1
3
1
2
2
1
Esa matriz tendrá inversa sólo, cuando su determinante sea distinto de cero. Veamos cuándo es cero.
Cuando k no valga – 6, esa matriz admite inversa. Para el caso k = 0, será:
−
−=
−−
=⇒
= −
60
13
36
160
1
36
1
395
35
180
1)(
53
539 1tt MNMN
( ) )3(1)3(
3000
1100
1010
1001
)2(
111
1100
1010
1001
)1(
111
111
111
111
)( 3 +−=
+−
−−
=−−−−
−−
== xx
x
x
x
x
xxxx
x
x
x
x
x
x
x
xP
6030180053
3539−=⇒=+⇒=
++
kkk
k
5
9.- (SEPTIEMBRE 1997)
i) Si A es una matriz tal que A2 = I, ¿ Se deduce que A = I ? En caso afirmativo, probarlo, y en caso negativo, proponer un ejemplo aclaratorio.
ii) Si A3 = I, demostrar que A es invertible, y calcular en función de A, su inversa. iii) Probar que si AB = A y BA = B, entonces A2 = A.
( I ≡ matriz unidad )
SOLUCIÓN
i) La matriz
−−
=10
01A no es la matriz identidad, sin embargo: A2 = I. Por tanto, no se puede
asegurar que siempre que A2 = I, la matriz "A" deba ser necesariamente Identidad. A continuación, y aunque no es necesario para este ejercicio, vamos a encontrar todas las matrices cuadradas de orden 2, que al multiplicarlas por sí mismas dan la identidad es decir, tales que A2 = I
Sea la matriz
=
tz
yxA . Impongamos que A2 = I:
=
⋅
10
01
tz
yx
tz
yx
Desarrollando esa ecuación matricial, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
=+
=+=+
=−+⇒=−
⇒
=+
=+=+=+
1
(*)0)(
0)(
0)()(0(*)
1
0
0
1
2
22
2
2
tzy
primeralaaecuacióncuartalarestandoobtienesetxz
txy
txtxtx
tzy
tzzx
ytxy
yzx
Puesto que (x+t) (x-t)=0, caben dos posibilidades para las que encontraremos todas las soluciones:
a) Que x+t =0 ⇒
−=⇒=+
−=
z
tytzyquecumplan
quesiemprequieranquelovalerpuedenyezperotx2
2 11:
,,
Por tanto, las soluciones en este caso, serán todas las matrices de la forma:
−−
tzz
tt
21
Donde tanto t como z, son en este caso parámetros que pueden tomar cualquier valor real.
• Ahora bien, cuando z = 0 la expresión z
ty
21−= no tiene sentido, luego debemos contemplar aparte, el
caso en el que x+t = 0 y además z = 0. Cuando eso ocurra, y puede valer lo que quiera, pero como ha de cumplirse que 111 22 ±=⇒=⇒=+ tttzy las soluciones en este caso, serán las matrices de una
de esas dos formas:
−
− 10
1,
10
1 yy (donde y, vale lo que queramos)
b) Que x-t = 0 ⇒
±=⇒=⇒=+±=⇒=⇒=+
===
111
111
0;0;
22
22
xxxzy
tttzy
zytxLas soluciones en este caso, serán
únicamente las matrices:
−−
10
01
10
01y
En definitiva: las matrices cuadradas de orden dos tales que A2 = I, son:
−−
10
01,
10
01
−
− 10
1,
10
1 yy y todas las de la forma:
−−
tzz
tt
21 (con Rzt ∈, )
ii) 21
2
23 AA
IAA
IAAIAAAIA =⇒
=⋅
=⋅⇒=⋅⋅⇒= − Es decir, que A es invertible y su inversa es A2.
6
iii) 22
2
)()(
)(
AAAABcomoAABBBAcomo
AABAderechalaaApormosmultiplicasiAAB
==⇒==⇒
⇒=⇒=
10.- (JUNIO 1998) Dada la identidad matricial
=
65
43
21
13
12X
i) ¿Cuáles son las dimensiones de una matriz solución de la identidad anterior? ii) Calcula una solución. iii) ¿Es única la solución? . Razona las respuestas. SOLUCIÓN i) Sea nm× la dimensión de X. Para que 2322 ××× =⋅ BAX nm , el número de columnas "n", debe de ser 2
para que se puedan multiplicar; y el número de filas "m", de ser 3 ya que ese es el número de filas de la matriz producto. Luego las matrices solución de la igualdad que nos dan, deben tener dimensión 23× .
ii) Sean
=
=
65
43
21
13
12ByA . Nuestra ecuación, será: X A = B.
Para resolverla es decir, para despejar X, bastará multiplicar (a la derecha) los dos miembros de la igualdad por la matriz A-1 inversa de A, para lo cual debemos en primer lugar asegurarnos de que existe. Puesto que
0≠A , sabemos que existe matriz inversa. La calculamos y resulta ser
−−
=−
23
111A . Por tanto:
X A = B ⇒ X A A-1 = B A-1 ⇒ X = B A-1 ⇒
−−−
=
−−
⋅
=713
59
35
23
11
65
43
21
X
iii) La solución es única ya que la matriz A tiene inversa, lo que nos permite despejar en la ecuación y obtener la solución.
11.- (SEPTIEMBRE 1998)
i) Define matriz triangular superior y calcula su determinante. ii) Halla todas las matrices triangulares superiores, de orden dos, que verifican que su cuadrado es la matriz identidad.
SOLUCIÓN i) Diremos que una matriz cuadrada ( )ijaA = es triangular superior, cuando todos los elementos situados
por debajo de la diagonal principal, son nulos es decir, jiparaaij >= 0 .
Para obtener el determinante de una matriz triangular superior, basta multiplicar los elementos de la diagonal principal. La demostración, es evidente: desarrollamos el determinante por la primera columna, que es toda de ceros salvo el primer elemento, en consecuencia, 1111 AaA ⋅= ; en el determinante (ya de un
orden menor) correspondiente al único adjunto que hay que desarrollar 11A , hacemos lo mismo. Y así sucesivamente, hasta concluir.
ii) Las matrices triangulares superiores de orden dos, son todas de la forma: A =
z
yx
0 .
Imponiendo la condición que nos dan: A2 = I, obtenemos la siguiente ecuación matricial:
z
yx
0
z
yx
0 =
10
01 ⇒ =
+2
2
0 z
yzxyx
10
01
De esa ecuación matricial, obtenemos las siguientes tres ecuaciones (no lineales) con tres incógnitas:
7
±=⇒==+⇒=+
±=⇒=
11
0)(0
11
2
2
zz
zxyyzxy
xx
La incógnita "x" y la "z", pueden valer solamente: 1 ó -1. Fijémonos pues en la segunda ecuación. Si y (x + z) = 0, caben solo dos posibilidades: o bien x + z = 0, o bien y = 0. Estudiemos cada caso. a) Si x+z=0, quiere decir que "x" y "z" deben tomar valores opuestos y ya sabemos que éstos, solo pueden
ser 1 ó -1. La incógnita "y" en cambio, puede en este caso tomar los valores que quiera (escribiremos " y = λ", donde λ es un parámetro que va recorriendo los números Reales). En consecuencia, las soluciones que de aquí obtenemos, son las siguientes:
1) [y = λλλλ , x = 1, z = -1] 2) [y = λλλλ , x = - 1, z = 1] b) Si y = 0, como la "x" y la "z" solo pueden valer como ya sabemos, 1 ó -1, obtendremos las siguientes soluciones distintas de las anteriores:
3) [y = 0, x = 1, z = 1] 4) [ y=0, x=-1, z= -1 ]. En definitiva, las matrices pedidas son:
−
−
−−
10
1
10
1:
10
01,
10
01 λλyformasdosestasdelastodasy donde λλλλ∈∈∈∈R
12.- (JUNIO 1999) Sea A =
ba 0
010
001
i) ¿Cuándo el determinante de A es el seno de algún número real? ii) Calcula la inversa de A cuando exista. iii) Determina todos los pares (a, b) para los cuales A coincida con su inversa. SOLUCIÓN i) Como es fácil de ver, |A| = b. Por otro lado, y teniendo en cuenta que la función seno toma únicamente valores comprendidos entre -1 y 1, podemos concluir que: |A| es el seno de algún número real ⇔ 11111 ≤⇔≤≤−⇔≤≤− bbA
Es decir, que el determinante de A será el seno de algún número real, cuando el valor absoluto de "b" sea menor o igual que 1.
ii) Existe A-1 ⇔ |A| ≠ 0 ⇔ b ≠ 0. En ese caso,
−=−
10
00
0011
a
b
b
bA =
−bb
a 10
010
001
iii) ⇒= −1AA
ba 0
010
001
=
−bb
a 10
010
001
⇒
=−==⇒−==
⇒−=
±=⇒=⇒=
)
,(,1
0,1
111 2
aparascondicionehayno
quedeciresaabsi
aaabsi
b
aa
bbb
b
Los pares que buscamos, son por tanto: (0, 1) y (a, -1), donde "a" puede tomar cualquier valor.
13.- (SEPTIEMBRE 1999) Sea A =
−311
21
11
λλ
donde λ es un número real.
i) Halla los valores de λ para los cuales A no tiene inversa. ii) Calcula el valor de b para el que la matriz bA tiene determinante 1.
8
SOLUCIÓN i) Para que A no tenga inversa, su determinante debe ser cero. Desarrollamos el determinante, y resulta
que |A| = - λ2 +7λ. Por tanto,
==
⇒=+−⇒=7
0070 2
λλ
λλA
A no tendrá inversa, cuando λλλλ tome los valores 0 ó 7. ii) En este apartado hemos de tener en cuenta que como la matriz A viene dada en función del parámetro λ, el valor "b" que nos piden, también vendrá dado en función de λ. También debemos recordar, que cuando multiplicamos la matriz A por el número b, todos sus elementos quedan multiplicados por ese número. Ahora bien, para multiplicar un número por un determinante basta con multiplicar una fila. Y como en este caso se trata de una matriz cuadrada de orden 3, el determinante de la matriz que resulta al multiplicar la matriz inicial por "b", no queda multiplicado por "b" sino por b3, ya que hemos multiplicado las tres filas. En definitiva, que |bA| = b3 |A| Así pues, |bA| = b3 |A| = b3 (- λ2 +7λ). Si nos dicen que |bA| debe valer 1 y nos piden "b", bastará con
despejar: |bA| = 1 ⇒ b3 (- λ2 +7λ) = 1 ⇒ 322
3
7
1
7
1
λλλλ +−=⇒
+−= bb
14.- (JUNIO 2000) i) Calcula todas las matrices diagonales de orden dos que coinciden con su inversa. ii) Si A es una de esas matrices, calcula su cuadrado. SOLUCIÓN
i) Sea
=
y
xX
0
0 una matriz diagonal cualquiera. Para que coincida con su inversa, ha de ocurrir que:
⇒=⋅ IXX
±=±=
⇒
==
⇒
=
1
1
1
1
10
01
0
0
0
02
2
y
x
y
x
y
x
y
x Por tanto, las matrices buscadas
son estas cuatro:
−−
−
−
10
01
10
01
10
01
10
01
ii) Si A es una de esas matrices, como debe coincidir con su inversa: IAIAA =⇒=⋅ 2 .
15.- SEPTIEMBRE 2000 Sea
=
dc
baA
i) Encuentra todas las matrices que verifican la relación: IAA += siendo I la matriz identidad.
ii) Calcula todas las matrices diagonales que no tienen inversa y verifican la relación anterior. ii) ¿Se verifica para cualquier par de matrices B y C la relación CBCB +=+ ?.
Si no es cierto, pon un contraejemplo. Justifica las respuestas.
SOLUCIÓN
i)
++
=
+
=+⇒
=
1
1
10
01
dc
ba
dc
baIA
dc
baA . Por tanto,
⇒=++⇒+++=⇒++=−⇒+= 01da1daadadbc-1)1)(d(abcadIAA d =-a-1
Como no hay ninguna condición sobre a ni sobre b ni sobre c, las matrices que nos piden son de la forma
−−=
1ac
baA donde a, b y c, pueden tomar los valores que quieran.
ii) Las matrices que buscamos son diagonales es decir, de la forma:
−−=
10
0
a
aA
Ahora bien, como deben verificar la relación del apartado anterior, ha de ser d= -a-1. Y como no pueden tener inversa, su determinante ha de ser cero:
9
•
−=⇒=−−=
⇒=−−⇒=101
00)1(0
aa
aaaA
Por tanto, las únicas dos matrices que cumplen lo que nos piden en este apartado, son:
−
−10
00
00
01y
iii) NO. En general, es falso que el determinante de la suma de dos matrices sea igual a la suma de los determinantes de cada una de ellas. Pueden encontrarse todos los contraejemplos que se quieran, pero vamos a poner uno bien sencillo. Sea I la matriz identidad 2x2:
=
10
01I ⇒
=
+
=+
20
02
10
01
10
01II
Evidentemente, 420
02==+ II . Sin embargo, II + =
10
01
10
01+ =1+1=2
Por tanto IIII +≠+ .
18.- JUNIO 2002. a) Determinar la matriz X para que tenga solución la ecuación C(A+X)B=I, donde A, B, y C son
matrices no singulares de orden n, e I la matriz identidad de orden n.
b) Aplicar el resultado anterior para las matrices
=
=
=
11
01
10
11
21
43CBA
NOTA: Matriz singular es aquella de determinante nulo o lo que es igual, la que no admite inversa. SOLUCIÓN a) Como A, B y C son no singulares (determinante distinto de cero), tienen inversa y por tanto podemos
despejar: ABCXBCXABIBXACIBXAC −=⇒=+⇒==+⇒=+ −−−−−− 1111)2(
11)1(
)()( (1) Multiplicamos por la inversa de B, por la derecha. (2) Multiplicamos por la inversa de C, por la izquierda.
b) En este caso,
−−−
=
−
−
−−
=−= −−
02
52
21
43
10
11
11
0111 ABCX
19.- SEPTIEMBRE 2002
Sean las matrices
−=
=
51
01
13
32ByA
a) calcular las matrices C y D tales que AC = BD = I , siendo I la matriz identidad de orden 2.
b) Discutir y resolver el sistema ( )
=
− −−
2
111
y
xDC siendo 11 −− DyC las inversas de las
matrices C y D indicadas en el ejercicio anterior. SOLUCIÓN
a)
−=⇒=⇒=
−
−=⇒=⇒= −−
5
1
5
101
;
7
2
7
37
3
7
111 DBDIBDCACIAC
b)
( )
=+=+
⇒
=
⇒
⇒
=
−−
=
−⇒
=
− −−
262
13
2
1
62
31
2
1
51
01
13
32
2
1)(
2
111
yx
yx
y
x
y
x
y
xBA
y
xDC
El sistema es evidentemente compatible indeterminado, ya que tanto la matriz del sistema como la ampliada, tienen rango 1. Dicho de forma más sencilla: la segunda ecuación es la primera multiplicada por dos.
10
Así pues, el sistema se reduce a una única ecuación: x + 3y = 1 cuyas infinitas soluciones son:
Rdondey
x∈
=−=
αα
α31 .
20.- SEPTIEMBRE 2002 Sea la matriz
=
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
2
2
2
2
.
a) Calcular el valor de su determinante en función de a. b) Encontrar su inversa, si existe, cuando a = 1
SOLUCIÓN
a) 4)3()2()1(
5
5000
00
00
00
2
00
00
00
2
2
2
2
a
a
aa
aa
aa
aaaa
aa
aa
aa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
==
−−−
=
(1) Restamos la columna 4, a las columnas 1, 2, 3. (2) A la última fila, le sumamos las tres primeras. (3) Puesto que se trata del determinante de una matriz triangular, basta multiplicar los elementos de su diagonal principal. b) ⇒=⇒= 51 Aa existe la inversa de A. Para calcularla, seguimos el proceso que ya conocemos:
( )
( )
−−−−−−−−−−−−
=
−−−−−−−−−−−−
==→
→
−−−−−−−−−−−−
=→
=→
=
−
5/45/15/15/1
5/15/45/15/1
5/15/15/45/1
5/15/15/15/4
4111
1411
1141
1114
5
11
4111
1411
1141
1114
2111
1211
1121
1112
2111
1211
1121
1112
1 t
tt
AAdjA
A
AAdjAA
21.- JUNIO 2003 a) Si A es una matriz no singular y (B – C) A = 0, siendo 0 la matriz nula, comprueba que B = C.
b) Según el resultado del apartado anterior, cuando
−−
=31
62A , la única matriz X que verifica la
ecuación XA = 0 es la matriz nula. ¿Es cierta esa afirmación? ¿Por qué? NOTA: Matriz singular es aquella de determinante nulo. SOLUCIÓN
a) A no singular⇒ Existe 1−A . En ese caso: CBCBAAACBACB =⇒=−⇒⋅=⋅⋅−⇒=⋅− −− 00)(0)( 11 .
b) No es cierta esa afirmación, ya que la matriz A es singular puesto que 0=A . En este caso, hay
infinitas matrices X tales que XA = 0. Como ejercicio, vamos a encontrarlas:
Sea
=
tz
yxX una matriz da las que buscamos.
=⇒
=⇒
=+−=−
=⇒
=+−=−
⇒=
−−
zz
xxX
zttz
tz
xyyx
yx
tz
yx
2
2formaladematricesLas
2036
02
2036
02
031
62
verifican todas la ecuación 0=⋅ AX .
11
22.- SEPTIEMBRE 2003 Sea
=001
100
010
A
a) Calcula su inversa, si existe. b) Encuentra la regla de cálculo de las sucesivas potencias nA de A.
c) Resuelve la ecuación
=−+
111
232)( 24 AAAX
SOLUCIÓN
a) Puesto que 01≠=A , existe 1−A . Recordemos cómo hallar la inversa: tAAdjA
A11 =− .
=010
001
100tA ;
=010
001
100tAAdj ;
=−
010
001
1001A
En este caso, como se trata de una matriz muy sencilla, tal vez sea más fácil hallar la inversa acudiendo a la definición.
La inversa que buscamos, es una matriz
=ihg
fed
cba
A tal que IAA =−1 es decir, que:
=⇒
=========
⇒
⇒
=
⇒
=
−
010
001
100
1;0;0;0
;1;0;0;0;1
100
010
001
100
010
001
001
100
010
1Acbai
hgfed
cba
ihg
fed
ihg
fed
cba
b) Para encontrar una ley que nos de etcAAA ,,, 432 comenzaremos calculando2A .
== AAA2 1
010
001
100−=
A . Casualmente, el cuadrado de la matriz es su inversa. Por tanto
IAAAAAAAAAAAAIAAAAIAAAAAAA ===⇒===⇒===⇒===⇒= −−− 1562453412312 La secuencia que se obtiene es:
.....;;;;;; 61543121 IAAAAAIAAAAA ====== −−
===+=
=+=
=⇒ −
....)3,2,1(3
,...)3,2,1,0(23
,....)3,2,1,0(131
kknsiI
kknsiA
kknsiA
An
c)
=⇒
=−+⇒
=−+ −−
111
132
111
132)(
111
132)( 1124 XAAAAXAAAX
Multiplicando por A a la derecha, obtenemos:
=
=⇒
=⇒
=−
111
321
001
100
010
111
132
111
132
111
1321 XAXAAXA
23. JUNIO 2004 Dadas las matrices
=
=
−=10
01
00
10
01
01
12
201
DC
x
xA
a) ¿Para qué valores de x la matriz A tiene inversa?
12
b) Calcula la inversa de A para el valor x = -1. c) ¿Qué dimensión debe tener una matriz B para que la ecuación matricial DCBA ⋅=⋅ tenga
sentido?. Calcula B para el valor x = -1.
SOLUCIÓN a) Como A es una matriz cuadrada, para que tenga inversa basta comprobar si su determinante es
distinto de cero.
−−=
+−=⇔=++⇔=−−−⇔=
22
220240240 22
x
xxxxxA
Por tanto A tendrá inversa siempre que x tome valores distintos de )22()22( +−+− y .
b) Para x = -1,
−−−=011
112
201
A AA ⇒≠= 01 tiene inversa: ( )
−−−−−−
==−
111
321
22111 tAAdjA
A
c) Supongamos que la matriz B tiene dimensión nm× . Para que tenga sentido la ecuación matricial DCBA ⋅=⋅ , las dimensiones de las matrices han de ser así:
⇒
==
⇒×=××⇒××=××2
3)23()()33()22)(23()()33(
n
mnmnm B ha de ser una matriz 23×
Calculemos ahora B en la ecuación DCBA ⋅=⋅ , cuando x = -1.
==⇒=⇒⋅=⋅ −−− DCABDCABAADCBA 111
−−−−
=
−−−−−−
11
21
21
10
01
00
10
01
111
321
221
24. SEPTIEMBRE 2004. Dadas las matrices
−=
=21
01
22
62
42
62
B
m
m
m
A
a) Discute el rango de A según los valores de m. b) ¿Qué dimensión ha de tener la matriz X para que sea posible la ecuación BXA =⋅ ? c) Calcula X para m = 0.
SOLUCIÓN
a) 82 2 −= mA .
−==
⇒=−⇒=2
20820 2
m
mmA Pueden presentarse estos casos:
• 3022 =⇒≠⇒−≠≠ ARangAmym
• m=2. En este caso 2
622
422
622
=⇒
= ARangA
• m=-2. En este caso 2
622
422
622
=⇒
−−
−= ARangA
b) Supongamos que X es una matriz de dimensión nm× .
==
⇒=⋅ ××× 2
32333 n
mBXA nm
Por tanto X debe ser una matriz 23×
c) Para m = 0, ⇒≠−=
= 08;
602
402
620
AA A tiene inversa.
13
Podemos entonces despejar en la ecuación matricial que nos dan: BAXBAXAABXA 111 −−− =⇒=⇒= (1)
Calculamos la inversa de A: ( )
−−−
==−
110
331
230
2
111 tAAdjA
A
Llevamos este resultado a (1) y obtenemos:
−−−
=
−
−−−
== −
11
24
22/5
21
01
22
110
331
230
2
11BAX
25. JUNIO 2005. Resuelve las siguientes ecuaciones en la variable x:
0
11
11
111
)0
1
1
10
)2
==− x
xb
xx
xx
x
a
SOLUCIÓN
−==
⇒=+−−⇒=
−===
⇒=−⇒=−
1
)(1010
11
11
111
)
1
1
0
00
1
1
10
) 23
2
3
x
doblexxxx
x
xb
x
x
x
xx
xx
xx
x
a
26. SEPTIEMBRE 2005. Si la matriz
=ihg
fed
cba
A tiene determinante k, cuáles son los valores
de los siguientes determinantes:
ihhg
feed
cbba
b
ihg
cba
fed
a
2
2
2
)
2
2
2
)
+++
SOLUCIÓN
k
ihg
fed
cba
ihg
fed
cba
ihg
cba
fed
a 22
2
2
2
2
2
2
))2()1(
−=−=−=
(1) Cambiamos el orden de las filas 1ª y 2ª, con lo que el signo del determinante cambia. (2) Sacamos el factor 2 de la 2ª columna. Recuerda que para multiplicar un determinante por un número,
basta multiplicar una fila o una columna por dicho número.
k
ihg
fed
cba
ihg
fed
cba
ihhg
feed
cbba
b 2
2
2
2
2
2
2
))4()3(
===+++
(1) A la primera columna le restamos la segunda. Recuerda que cuando a una columna se le suma o se le
resta otra columna, el determinante no cambia de valor. (2) Sacamos el factor 2 de la 3ª columna.
27. JUNIO 2006. Dada la matriz
−
−=
x
xA
14
30
101
donde x es un número real, halla:
a) Los valores de x para los que la matriz A tiene inversa. b) La inversa de A para x = 2. c) Con x = 5, el valor de Rx∈ para que la matriz Ab ⋅ tenga determinante 1.
14
SOLUCIÓN a) A tendrá inversa siempre que 0≠A .
⇒
==
⇒=+−⇒=−+−=1
30340;34 22
x
xxxAxxA A tendrá inversa, siempre que 13 ≠≠ xyx
b) Si x = 2, 1
214
320
101
=⇒
−
−A . En ese caso, la matriz de los adjuntos de A será:
−−−−−
=232
121
8127
AAdj y la inversa: ( )
−−−
−−==−
218
3212
2171
A
AAdjA
t
c) Para x = 5, 8
214
350
101
−=⇒
−
−A
( ) ⇒−=⇒−=⇒=−⋅⇒=⇒=⋅ 3333
8
1
8
11811 bbbAbAb
2
1−=b
28. SEPTIEMBRE 2006. Sean las matrices A
=10
2
01
k B =
−211
10k
a) Estudia, en función de valores reales de k, si la matriz AB ⋅ tiene inversa. b) Lo mismo para la matriz BA⋅ SOLUCIÓN
a)
+−−
=
−⋅
=⋅211
223
10
211
10
10
2
01
kkk
kk
kAB
02232
211
223
10
,.0 22 =−++−=+−−
=⋅≠⋅⇔⋅ kkkkkkkk
k
ABbienAhoraABinversatieneAB
Es decir, que 0=⋅ AB para cualquier valor de k. Por tanto, la matriz AB ⋅ no tendrá inversa,
independientemente de lo que valga k.
b) 3223
1
23
1
10
2
01
211
10 2 ++=+−
=⋅⇒
+−
=
⋅
−⋅=⋅ kk
k
kBA
k
kk
kBA
0320 2 =++⇔=⋅ kkBA
Esa ecuación no tiene soluciones reales, por tanto, 0≠⋅ BA para todos los valores de k.
En consecuencia, BA⋅ siempre tendrá inversa independientemente del valor de k.
29. JUNIO 2007. Sean las matrices
+=
=aa
By
a
A
111
2201
3210
11
201
210
a) Estudia en función de a, el rango de las matrices A y B. b) Calcula, para a = -1, la matriz X que verifica BXA =⋅
15
SOLUCIÓN a) Tomamos el menor formado por las dos primeras filas y dos últimas columnas:
20220
21≥⇒≠= RangA . Le añadimos la columna y fila que faltan: 12 += aA
⇒−=⇒=+⇒=2
10120 aaA
=⇒−≠
=⇒−=
32
1
22
1
ARanga
ARanga
La matriz B tiene las tres primeras columnas exactamente iguales que A, y la cuarta es la suma de la segunda y la tercera. Por tanto, a efectos de rango, todo sigue igual porque la cuarta
columna es combinación lineal de las dos anteriores:
=⇒−≠
=⇒−=
32
1
22
1
BRanga
BRanga
b) 1011 −⇒≠−=⇒−= AexisteAa . Por tanto: BAXBAX ⋅=⇒= −1
Hallamos 1−A :
−−−−−
==−
111
221
23211 tAAdjA
A
=
−⋅
−−−−−
=⋅= −
0111
2201
3210
111
221
2321 BAX
1100
1010
0001
31. JUNIO 2008. Se consideran las matrices ( ) ( )2,0,43,2,
1
0 ==
= CaB
zz
yy
xyx
A
a) Halla los valores de x, y, z para los que A no tiene inversa. b) Determina los valores de a para los que el sistema CAB =⋅ tiene solución. c) Resuelve el sistema anterior cuando sea posible.
SOLUCIÓN
a) ⇔=−⇔=−⇔=⇔ 0)1(00 222 zyzyyAinversatienenoA
==
1
0
z
y
b) ( ) ( )
=++=+=+
⇔=
⇔=⋅232
03
12
204
1
032
zyax
zay
yax
zz
yy
xyx
aCAB
Se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que depende del parámetro “a”.
Las matrices del sistema y ampliada, son respectivamente
=
=2
0
1
32
30
02
32
30
02
a
a
a
By
a
a
a
A
0030 2 =⇔=⇔= aaA . Por tanto:
leincompatibessistemaelRangB
RangAa
adoercompatibleessistemaelRangB
RangAa
⇒
==
⇒=
⇒
==
⇒≠
3
20
mindet3
30
0≠⇔ a solucióntiene sistema el
16
c) Resolvamos el sistema para 0≠a . Como hay infinitos valores, daremos la solución en función de a.
El sistema en este caso, como ya vimos en el apartado anterior, es de Cramer. Por tanto:
3
1
3
22
00
12
1
3
332
300
01
3
63322
30
021
2
2
22===−=−==−==
a
a
A
a
a
a
zaa
a
A
a
a
ya
a
A
a
x
32. SEPTIEMBRE 2008 Se considera una matriz cuadrada A de orden tres que verifica la ecuación IAA 962 −= (I es la matriz identidad de orden tres) a) Expresa 4A como combinación lineal de A e I.
b) Estudia si la matriz
−−=
232
162
131
B verifica la ecuación IBB 962 −= .
Determina si B tiene inversa, y si la tiene, calcúlala.
SOLUCIÓN
a) ( ) ( )
IAIAIA
IAAIIAAIAIAIAIAAA
24310881108)96(36
811083681545436)96()96(96 2222224
−=+−−=+−=+⋅−⋅−=−−=−==
b)
−−−
=
−
−−=−
−−−
=
−−⋅
−−=
31812
62712
6183
900
090
009
121812
63612
6186
96
31812
62712
6183
232
162
131
232
162
1312
IB
B
Por tanto:
( )
( )( )BIB
IBIB
IBBI
BBIBBIIBB −=⇒
=
−⋅
=⋅
−⇒−=⇒−=⇒−= − 6
91
691
691
)6(91
6996 1222
33. JUNIO 2009.
Se consideran las matrices
−=
−=211
120
101
33
12
310
Qy
a
aaP
a) Estudia el rango de P, según los valores de a R∈ . b) Para a = 1, Halla X tal que QXP =⋅
SOLUCIÓN
a)
−=
+=⇒
±=±=⇒=+−⇒=−⇒=74
74
2
728
2
2880980
33
12
310
0 2
a
aaaa
a
aaP
Se pueden presentar estos dos casos:
17
033
102
74
74
374
74
≠=⇒
−
+=
=⇒
−
+≠
menorelquepuestoRangAa
RangAa
b) Cuando a = 1, inversatienePP ⇒≠= 02
Hallemos la inversa de P:
−−
−−=−
130
392
282
2
11P
==⇒= − QPXQPX 1
−−−
−−=
−
−−
−−
551
17155
14144
2
1
211
120
101
130
392
282
2
1
Por tanto:
−−−
−−=
5,25,25,0
5,85,75,2
772
X
34. SEPTIEMBRE 2009.
Dado El número real m, se considera la matriz
=11
11
111
m
mA
a) Halla los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. b) Para m = 2, halla, si existe, la inversa de A.
c) Para m = 2, calcula el vector X que verifica BXA =⋅ siendo
−=
4
1
4
B
SOLUCIÓN
a) 12
11
11
1112 −+−== mm
m
mA . A tiene inversa 0≠⇔ A
10120 2 =⇔=+−⇔= mmmA . Por tanto 1≠⇔ minversatieneA
b) ⇒−=⇒= 12 Am A admite inversa:
−−−−
=−
113
011
1011A
c) ==⇒= − BAXBAX 1
−=
−⋅
−−−−
17
5
8
4
1
4
113
011
101
35. JUNIO 2010. Dada la matriz
=100
112
021
A
a) Calcula los valores de m para los que la matriz A – mI no tiene inversa b) calcula, si existe, la inversa de la matriz A – 2 I. Nota: I es la matriz identidad de orden 3.
18
SOLUCIÓN
a)
−−
−=−
m
m
m
mIA
100
112
021
Veamos para qué valores de m se anula esa matriz.
[ ]
−==
⇒−−
=⇒=−−−=−−−⇒=−
1
332
1
0)32)(1(4)1()1(0 222
)1(
m
mmm
m
mmmmmmIA
(1) Desarrollamos el determinante por la última fila. Por tanto, 3,1,1 −≠⇔− minversatienemIA
b) Por supuesto que A-2I tiene inversa, ya que 032 ≠=− IA . Para hallar la inversa, calculamos la matriz de sus
adjuntos. Luego trasponemos y dividimos por el determinante:
( ) ⇒−⋅=⇒
−=− − tIAAdj
AAIAAdj 2
1
312
012
021
)2( 1
−=−
300
112
221
3
11A
36. JUNIO 2010. Dada la matriz
−−
−=
x
x
x
A
11
11
11
a) Resuelve la ecuación: det A = 0. b) calcula el rango de la matriz A según los valores de x. SOLUCIÓN a) [ ]2,10233 =−=⇒=++−= xxxxA
b) Casos que se pueden presentar:
• 32,1 =⇒−≠ RangAx puesto que 0≠A
• ⇒−= 1x 1
111
111
111
=⇒
= ARangA (las tres filas son iguales)
• ⇒= 2x 021
122
211
121
112
≠−
−=⇒
−−
−= quepuestoRangAA pero 0=A
37. SEPTIEMBRE 2010. Dada la matriz
−−−=
221
111
120
M
a) Halla, si existe, la matriz inversa de M. b) Calcula la matriz X que cumple: 22MMMX =+⋅ SOLUCIÓN a) ⇒≠= 01M M tiene inversa. Vamos a calcularla
( )
−−−==⇒
−−−
=
−
−−−
−−−−−
−−−−−
−−
= −
221
111
1201
211
212
110
11
20
11
10
11
1221
20
21
10
22
1221
11
21
11
22
11
1 tMAdjM
MMAdj
Como se ve, M es una matriz involutiva (es su propia inversa) IMIMMMM =⇒=⋅⇒= − 21
19
b) Podemos despejar X de muchas formas diferentes, pero si utilizamos lo que acabamos de decir en la línea anterior, abreviaremos bastante los cálculos:
⇒=+⋅⇒=+⋅⇒=+⋅⇒=+⋅ MIIXMMMXIMMXMMMX 2222 22)1(
2 IMX −= 2
−−−
−=
−
−−−=
542
212
241
100
010
001
221
111
120
2X
(1) Multiplicamos por M a la derecha.
38. SEPTIEMBRE 2010. Dada la matriz
−=
211
10
01
m
m
A
a) Calcula el determinante de A. b) Indica los valores de m para los que A tiene matriz inversa. c) Halla, si existe, la matriz inversa de A cuando m = 1. SOLUCIÓN a) 22 −−= mmA
b) A tiene inversa 0≠⇔ A . Veamos para qué valores es cero ese determinante.
−=+=⇒=−−⇔=
2
51;
2
51020 2 mmmmA M tendrá inversa
2
51±≠⇔ m
c) ( )
−−
−−=
−−−
−
−==⇒≠−=⇒= −
2/102/1
2/112/1
2/112/3
101
121
123
2
11021 1 tAAdj
AAAm
39. JUNIO 2011. Se considera la matriz
−−++
=a
aa
aa
A
11
110
121
a) Obtén los valores del número real a para los que A tiene matriz inversa. b) Halla, si es posible, la matriz inversa de A en el caso a = 0 SOLUCIÓN a) A tiene inversa 23.0 2 +−=≠⇔ aaAA .
2;10230 2 −==⇒=+−⇒= aaaaA .
Por tanto: A tiene inversa 2,1 −≠⇔ a
b) a = 0
−−−
−=⇒=⇒ −
111
111
311
21
.2 1AinversatieneAA .
40. JUNIO 2011. Dado el número real a se considera la matriz
=01
011
11
a
a
A
a) Halla los valores de a para los cuales la matriz A tiene inversa. b) Obtén la matriz inversa de A en los casos en que exista. SOLUCIÓN a) A tiene inversa 0≠⇔ A . Como 1−= aA , 1010 =⇔=−⇔= aaA
Por tanto: A tiene inversa 1≠⇔ a .
20
b) Para todos los valores de a distintos de 1, la inversa de A será:
( )
−−−
−
−=
−−−
−
−==−
aa
a
aa
a
a
aAdjA
AA
t
t
101
110
10
11
111
01
100
1111
41. JULIO 2011. Sea la matriz
−−−=a
a
a
A
21
10
12
a) Estudia su rango según los valores del número real a. b) Resuelve el sistema homogéneo cuya matriz es A en el caso a = -1.
SOLUCIÓN a) 123212 222 +−−=−+−−= aaaaaA
=−=
⇒=+−−⇒=3/1
101230 2
a
aaaA Casos que pueden presentarse:
• 33/1,1 =⇒−≠ ARanga
• 33/1,1 =⇒−= ARanga
b) Nos mandan resolver el sistema:
=−−=+−=++−
02
0
02
zyx
zy
zyx
cu a matriz es
−−−
−=
121
110
121
A
Como ya sabemos por el apartado anterior, Rang A =2 y por tanto el sistema homogéneo, es compatible indeterminado: tendrá infinitas soluciones dependendiendo de un parámetro. Para resolverlo tomamos un
menor de orden dos distinto de cero, por ejemplo 21
10
−−
Despreciamos la ecuación que no está en esa caja
y consideramos como parámetro la incógnita que tampoco está es decir, la z que pasamos al otro miembro.
Resolvemos el sistema:
===
⇒
=−−=−
ααα
z
y
x
zyx
zy3
2
42. JULIO 2011. Se consideran las matrices
−=
101
210
112
A y
−=
021
110
111
B
Resuelve, si es posible, la ecuación matricial A X = B SOLUCIÓN
• inversatieneAA ⇒≠= 05
• Calculamos la inversa ( )
−−
−==−
211
432
311
5
111 tAAdjA
A
• Despejamos X en la ecuación que nos dan:
−−−
=
−
−−
−==⇒=⇒= −−−
241
132
264
5
1
021
110
111
211
432
311
5
1111 BAXBAAXABAX
21
43. JUNIO 2012. Se consideran las matrices
=
−−
=100
010
001
200
031
013
3IeA
a) Resuelve la ecuación 0)(det 3 =⋅− IxA
b) Discute el sistema homogéneo de matriz 3IxA ⋅− según los valores del número real x.
c) Resuélvelo en aquellos casos en que el sistema sea compatible determinado. SOLUCIÓN
a)
−−−−−
=
⋅−
−−
=⋅−x
x
x
xIxA
200
031
013
100
010
001
200
031
013
==
⇒=+−+−⇒=−
−−−−
⇒=⋅−4
)(20162080
200
031
013
0 23
x
doblesoluciónxxxx
x
x
x
IxA
b) Para discutir un sistema homogéneo, basta con fijarse en el rango de su matriz. En este caso, nos dicen que la matriz del sistema es IxA ⋅− , cuyo rango podemos estudiar ayudándonos del resultado obtenido en el apartado anterior. Estos son los casos que pueden presentarse: • ⇒=⇒≠ 342 ARangayx el sistema es compatible determinado, y como es homogéneo, solo tiene la solución trivial (0, 0, 0). • ⇒=⇒= 12 ARangx El sistema es compatible indeterminado, y sus soluciones dependen de dos parámetros. • ⇒=⇒= 24 ARangx El sistema también es compatible indeterminado, pero en este caso sus soluciones dependen de un parámetro.
c) Como ya dijimos en el anterior apartado, por tratarse de un sistema homogéneo, cuando es compatible determinado la única solución es la solución trivial.
44. JUNIO 2012. Dado el número a se considera la matriz
−−+−−
=a
aa
aa
A
11
110
121
a) Halla los valores de a para los que la matriz A tiene inversa. b) Busca, si es posible, la matriz inversa de A en el caso a = 0. SOLUCIÓN
a) A tiene inversa 0≠⇔ A
2;10230;23 33 =−=⇒=−−⇒=−−= aaaaAaaA .
Por tanto: A tiene inversa, siempre que a no valga ni -1 ni 2.
b) Para a = 0 :
−−
−=⇒
−−−
= −
131
111
111
21
011
110
1211AA
45. JULIO 2012. Dados los números reales a, b, c, x, se considera la matriz
−=
xcb
xa
cbx
A 3
4
a) Halla los valores de a, b, c, x para los cuales A es antisimétrica.
(Recuerda que una matriz A es antisimétrica si AAt −= ) b) Si 1=== cba , halla el rango de A según los valores de x.
c) Si 0=== cba resuelve la ecuación 0=+ tAA ( tA denota la matriz traspuesta de A)
a)
−==
−==
⇔
−=+−=
−=−=
⇔
−−−−−−
+−−−=
−⇔−=⇔
3
7
7
0
3
43
4
34c
b
a
x
c
cb
ba
xx
xcb
xa
cbx
xc
cxb
bax
AAicaantisimétresA t
22
b) xxA
x
x
x
Acba −=⇒
−=⇒=== 3
11
31
31
1 ; { }1;1;000 3 −===⇒=−⇒= xxxxxA
Casos que se pueden presentar • 31,1,0 =⇒−≠ ARangx
• 21,1,0 =⇒−= ARangx
c)
−
−=
−+
−=+⇒===
x
x
x
x
x
x
x
x
x
AAcba t
234
320
402
34
00
00
00
30
40
0
±==⇒=−⇒=+
25
;005080 3 xxxxAA t
46. JULIO 2012. Sean las matrices
−=
−=
302
011
100
210
112
ByA
a) Calcula, si es posible, la matriz inversa de la matriz A. b) Resuelve, si es posible, la ecuación matricial BAX =⋅ SOLUCIÓN
a) ( )
−−
==
−−== −
200
420
311
21
;
243
021
001
;2 1 tAAdjAAAdjA
b)
−−
=
−−
⋅⋅
−=⇒⋅=⇒⋅=⋅⋅⇒=⋅ −−−
1222
731
21
200
420
311
21
302
011111)1(
XABXABAAXBAX
(1) Multiplicamos por la izquierda los dos miembros de la ecuación por la matriz inversa de A.
47. JULIO 2012. Se considera la matriz
−−
−=
xabc
x
x
A 10
01
a) Obtén el polinomio p(x) = Det(A). b) Si c = 0, halla las raíces de p(x) dependiendo de a y b. SOLUCIÓN
a) Axp =)( = cbxaxx
xabc
x
x
+++−=−
−−
2310
01
b)
+±=⇒=−−
=⇒=
−−−⇒++−=⇒=
24
0
0
0)(
)()(0
22
223
baaxbaxx
x
xp
baxxxbxaxxxpc
Las tres raíces del polinomio p(x) son: 2
4;
24
;02
3
2
21
baax
baaxx
+−=++==
23
48. JUNIO 2013. Dado el número real a, se considera la matriz ⋅
=001
011
11 a
A
Halla el rango de la matriz tAA −2 según los distintos valores de a. SOLUCIÓN Calculemos en primer lugar la matriz tAA −2 .
−−+
=
−
++
=−
++
=
⋅
=10
12
0121
001
01
111
11
112
122
;
11
112
122
001
011
11
001
011
1122
a
aa
aa
a
a
a
aa
AA
a
a
aaaa
A t
Si el determinante de tAA −2 es distinto de cero, su rango es 3. Cuando sea cero, será dos o uno. Por tanto:
• ( ) 32
1,2 2 =−⇒≠ tAARanga
• ( ) 020
3322 2 ≠=−⇒= quepuestoAARanga t
• ( ) 02/12/3
02/32
2
1 2 ≠=−⇒= quepuestoAARangat
49. JUNIO 2013. Dado el número real a, se considera la matriz
−−=
1
211
11
2aa
a
a
A
a) Obtén los valores del número real a para los que la matriz A no tiene inversa. b) Halla, si es posible, la matriz inversa de A cuando a = 0. SOLUCIÓN a) La matriz A tiene inversa ⇔ su determinante es distinto de cero 1013 −=⇒=−−= aaA (las otras dos soluciones son complejas) Por tanto:
A tiene inversa 1≠⇔ a
b) Para a = 0 ( )
−−==
−= −
100
111
1011
100
211
1011 tAAdj
AAA
50. JULIO 2013 Se considera la matriz
2 0
1 1 0
0 0 1
a
A a
a
− = − − −
a) Obtén los valores de a para los que det(A) = 0 b) Discute el sistema homogéneo de matriz A, según los valores del número real a. c) Resuélvelo, si es posible, para a = 1.
SOLUCIÓN a)
[ ]
=−=
⇒=−+
=⇒=−⇒=−+−⇒=
−+−=−−−−−=−−−−−−=
1
202
101
0)2)(1(0
)2)(1(2)1()1()1(2)1)(1(
22
2
a
aaa
aa
aaaA
aaaaaaaaaaA
−==
⇔=2
10
a
aA
24
b) Debemos discutir el sistema
=−=+−=+−
⇔
=
−−−
−
0)1(
0)1(
02
0
0
0
100
011
02
za
yax
yax
z
y
x
a
a
a
Un sistema homogéneo siempre es compatible porque tiene al menos la solución trivial: 0;0;0 === zyx . En un sistema homogéneo no tiene sentido hablar de la matriz ampliada, porque es como la matriz del sistema pero con una columna de ceros y por tanto, las dos tienen el mismo rango. La discusión en un sistema de este tipo, se centra solo en si es compatible determinado o indeterminado, y eso depende de si la matriz del sistema tiene rango 3 (el número de incógnitas en este caso) o menos.
Como vimos en el apartado anterior:
−==
⇔=2
10
a
aA Por tanto:
• ⇒=⇒−≠ 32,1 ARanga El sistema es compatible determinado. Solo tiene la solución trivial.
−⇒=⇒
−−
=⇒=)º(
inf.mindet1
000
021
021
1Arangincógnitasdenparámetrosdosdeodependiendsoluciones
initasTieneadoerincompatibleessistemaElARangAa
• ⇒−= 2a
⇒=⇒
=parámetroundeodependiendsoluciones
initasTieneadoerincompatibleessistemaElARangA
inf.mindet2
300
011
022
c) Para a = 1 el sistema es así: ⇒=−⇒
=−=+−
0202
02yx
yx
yxRcon
z
y
x
∈
===
βαβαα
,
2
51. JULIO 2013. . Se considera la matriz ⋅
−=100
011
020
A
d) Escribe factorizado el polinomio ( )3det)( tIAtp −= donde 3I es la matriz identidad de orden 3.
e) Halla las raíces de p(t). f) Resuelve el sistema homogéneo de matriz 3xIA− cuando sea compatible indeterminado
SOLUCIÓN
a) =− tIA =
−
−t
t
t
00
00
00
100
011
020
−−−
−
t
t
t
100
011
02
=−= tIAtp )( [ ] )2)(1)(1()2)(1(2)1()1()1(2)1)(1( 2 +−−=−+−=−−−−−=−−−−−− ttttttttttttt
b) Las raíces de p(t) son, como puede deducirse del apartado anterior: 2)(1 −== tydoblet
c) El sistema homogéneo que debemos resolver es:
=−=+−=+−
⇒
=
−−−
−
0)1(
0)1(
02
0
0
0
100
011
02
zt
ytx
ytx
z
y
x
t
t
t
Ese sistema es diferente según los distintos valores que tome el parámetro t. En cualquier caso, y como es homogéneo, siempre tendrá la solución trivial. Lo que nos piden es que lo resolvamos cuando tenga otras soluciones además de la trivial es decir, en los casos en que sea compatible indeterminado. Eso ocurrirá cuando la matriz tenga rango menor que tres, es decir cuando su determinante sea cero. En definitiva, en dos casos: para t = 1 y t = -2.
• ⇒= 1t ⇒=−⇒
=−=+−
0202
02yx
yx
yxRcon
z
y
x
∈
===
βαβαα
,
2
• ⇒
==+
⇒
==+
=+⇒−=
0
0
03
0
022
2z
yx
z
yx
yx
t Rcon
z
y
x
∈
=−=
=λλ
λ
0