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PABLO

EFFENBERGER

MATEMÁTICA2.° SECUNDARIA CABA

#EducandoGeneracionesCC 61075385ISBN 978-950-13-2594-2

III

Derechos reservados Kapelusz Editora S.A. Prohibida su copia, reproducción y distribución.

Capítulo4

• Relaciones entre conjuntos numéricos.

• Concepto de función.

• Dominio e imagen de una función.

• Conjuntos de ceros, positividad y negatividad.

• Crecimiento y decrecimiento.

• Función lineal.

• Pendiente y ordenada al origen.

• Rectas paralelas y perpendiculares.

• Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

• Función de proporcionalidad directa.

• Función de proporcionalidad inversa.

• Sistemas de ecuaciones lineales.

Funciones


Teoría

Concepto de función

Se define R: A B A 2 ; 3 B 1 ; 4[ ] [ ]∧ = − ∧ = −Indicar si los siguientes gráficos corresponden o no a funciones y justificar la respuesta.

Se define R: A B A 2 ; 4 ; 7 ; 8 B 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9{ } { }∧ = ∧ =

Indicar si las siguientes relaciones son o no funciones y justificar la respuesta.

2

1

Una relación entre dos conjuntos numéricos A y B es un conjunto de pares ordenados (x; y), con la condición de que x A y B∈ ∧A .

Ejemplo: R: A B A B{ }0; 1; 2 { }3; 4; 5; 6∧ =A ∧ =B

a) R1 { }, , ,0 ; 3 0 ; 4 1 ; 5 2; 6 b) R2 { },1 ; 3 2 ; 5 c) R3 { }, ,0 ; 5 1 ; 6 2 ; 3

Una relación es una función cuando se cumplen dos condiciones: 1) Todos los elementos del conjunto A están relacionados con algún elemento del conjunto B (existencia). 2) Cada elemento del conjunto A se relaciona con un único elemento del conjunto B (unicidad).

Del ejemplo anterior:En R1, el 0 se relaciona con 2 elementos del conjunto B, el 3 y el 4 (no cumplen con la condición de unicidad).En R2, el 0 no está relacionado con ningún elemento del conjunto B (no cumple con la condición de existencia).En R3, todos los elementos de A se relacionan con un único elemento de B, por lo tanto, es función.

f: A B f { }, ,0 ; 5 1 ; 6 2 ; 3∧ =f

f(0) 5 5 es la "imagen" de 0 y 0 es la "preimagen" de 5f(x) y f(1) 6 6 es la "imagen" de 1 y 1 es la "preimagen" de 6 f(2) 3 3 es la "imagen" de 2 y 2 es la "preimagen" de 3

a) b) c) d) e)

a) b) c) d)

2

1

3

4

y

x 2 1

3

4

y

x 2 1

3

4

y

x 2 1

3

4

y

x

x y

2 1

4 1

7 1

8 1

x y

7 1

7 3

7 5

7 9

x y

2 3

8 1

4 5

x y

8 1

7 5

4 9

2 3

x y

8 5

4 3

7 1

2 9

8 7

68


Teoría

Dominio e imagen de una función

Observar el gráfico de la función y responder.

a) ¿Cuál es la imagen de 3?

b) ¿Y cuál la de 3?

c) ¿Cuál es la preimagen de 2?

d) ¿Y cuál la de 4?

e) ¿En qué valor de x la función vale 0?

f) ¿En qué valor de y el valor de x es 0?

g) Escribir dos valores de x con la misma imagen.

Completar según corresponda.

Escribir el dominio y la imagen de las siguientes funciones.

Hallar el dominio de las siguientes funciones.

a) R1 : N0 N R (x) x 10 1∧ = − b) R2 : N Q R (x) x2∧ = c) R3 : N0 Q R (x) xx 53∧ =+

3

4

5

En una función f: , su dominio es un conjunto de números reales que pueden ser valores de x; y su imagen, los que pueden ser valores de y.

a) En la función f, el dominio son los valores marcados en azul; y la imagen, los marcados en verde.

f : [ 5 ; 4] [ 3 ; 2] Dominio Imagen

b) En la función y f(x) x , el dominio son los reales positivos; y el cero, al igual que su imagen: f: 0 0.

Decidir si las siguientes relaciones son o no funciones y justificar.

Desafío

6

a) b) c)

a) f(x) 5x 1= −

b) f(x) 1x

c) f(x) x3

d) f(x) x 3= −

e) f(x) 1x 2

=+

f) f(x) 1 x= −

h) f(2)

i) f( ) 6

j) f( 4)

k) f( ) 8

5

1

6

3

7

8

y

x

5

3

4

2

y

x

4

3

2

3

y

x

2

2

3

2

4

y

x 3 1

4

3

y

x

69


Teoría

Conjuntos de ceros o raíces, positividad y negatividad

Escribir los conjuntos de ceros, positividad y negatividad de las siguientes funciones.

Realizar el gráfico de una función que cumpla con las condiciones pedidas en cada caso.

a) f(1) 0 f( 3) 0 f(0) 0 b) C0 2 ; 0 ; 3 f( 5) 0 f(1) 0 c) f( 4) 0 f(0) 0 C

7

8

• El conjunto de ceros o raíces de una función son los valores de x que determinan que f(x) = 0.

f( 6) 0 f( 2) 0 f(3) 0 C0 6 ; 2 ; 3

• El o los conjuntos de positividad son los intervalos reales de los valores de x que determinan que la función sea positiva, o sea, que f(x) 0, (gráfica en azul).

C 6 ; 2 3 ;

• El o los conjuntos de negatividad son los intervalos reales de los valores de x que determinan que la función sea negativa, o sea, que f(x) 0, (gráfica en verde).

C ; 6 2 ; 3

a) b) c)

C0

C

C

C0

C

C

C0

C

C

2 6 3

y

x

2 3

y

x 1 4 2

y

x 41

y

x

y

x

y

x

y

x

70


Teoría

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Observar el gráfico y escribir.

Graficar una función que cumpla con las siguientes condiciones.

a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) El o los intervalos donde es constante.

c) El o los puntos máximos y/o mínimos relativos.

a) f(x) x 3= +

b) f(x) 2

c) f(x) 1 x= −

d) f(x) x

e) f(x) x3

f) f (x) 7= −

• Crecimiento: ; 5 2 ;( ) ( )−∞ − ∪ + ∞• Es constante: 5 ; 2

• f( 7) f(0) f(5) 0

• Mínimo relativo en 2 ; 2

9

10

Indicar cuáles de las siguientes funciones son crecientes, decrecientes o constantes.

Desafío

11

Si a medida que los valores de x aumentan, el valor de la función aumenta, entonces, la función crece; pero si disminuyen, entonces, la función decrece.En x 2 y x 4, la función no crece ni decrece. Los puntos ( 2 ; 4) y (4 ; 2) se denominan máximo y mínimo relativo, respectivamente.

Crecimiento: ( ); 2 ( )4 ;∪)2 .

Decrecimiento: ( )2 ; 4 .

Cuando al aumentar los valores de x, los valores de la función no varían, la función no crece ni decrece, sino que se mantiene constante.f( 3) f( 2) f( 1) 1f(2) f(3) f(4) 4La función es constante en: ( ); 1 ( )2 ;∪)1 .

1

− 1

− 4

2

x

y

1 4

4

2

4

3 5

y

x

y

x

4

− 4 − 2

− 2

64

1 x

y

71


Repaso

Indicar si las siguientes relaciones de R: son funciones y justificar.

Escribir un dominio y una imagen adecuados para que las siguientes relaciones sean funciones.

Observar el gráfico de la función y responder.

Colocar , o según corresponda.

g) f(2) f(4)

h) f(6) f(7)

i) f( 1) f( 2)

j) f(1) f(5)

k) f(8) f( 6)

l) f( 3) f(1)

a) ¿Cuál es el dominio y la imagen de la función?

b) ¿Cuáles son las raíces?

c) ¿Cuál es la imagen de 2?

d) ¿Y cuál la de 0?

e) ¿Cuáles son las preimágenes de 4?

f) ¿En qué intervalo la función vale 8?

12

13

14

a) b) c) d)

a) b) c)

4

6

5

5

y

x 5

3

5

y

x

2

5

2

y

x

6

12

8

3

5 8

y

x

72


Marcar sobre el eje x.

• Con rojo: los intervalos de positividad.

• Con verde: los intervalos de negatividad.

• Con azul: el conjunto de ceros o raíces.

Realizar el gráfico de una función que cumpla con las condiciones pedidas en cada caso.

a) Es constante en ; 1 ;

decreciente en 1 ; 3 y tiene

un mínimo relativo en 3 ; 4 .

b) Es constante en 2 ; 0 y es

creciente en ; 2

3 ; .

c) f(0) 3 y tiene máximos

relativos en 4 ; 1 y 3 ; 0 .


15

16

17

a) b) c)

a) Los conjuntos de ceros, positividad y negatividad.

b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c) El o los intervalos donde es constante.

d) El o los puntos máximos y/o mínimos relativos.

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

5

4

3

42

y

x1

1 3

73


Teoría

Función lineal

a) y 3x 1 b) 2y x 4 c) x y 5 d) 4x 2y 6

a) b) c) d)

Hallar la ordenada al origen, la raíz y el ángulo de inclinación de las siguientes rectas.

Hallar la ecuación explícita de las siguientes rectas.

18

19

Toda función cuya fórmula es y = mx + b se denomina función lineal y su gráfica es una recta.

La fórmula y m x b se denomina ecuación explícita de la recta. Pendiente Ordenada al origen

a) x y 2 y x 2

m 1 b 2

b) 3x y 1 y 3x 1 y 3x 1

m 3 b 1

c) x 2y 5 2y x 5

y 12

x 52

m 12

b 52

d) 3y 2x 7 3y 2x 7

y 23

x 73

m 23

b 73

• La ordenada al origen (b) es el valor de donde la recta corta al eje y.

f(0) m . 0 b f(0) b

• La raíz (x0) de una función lineal es el valor donde corta al eje x.

mx + b = 0 mx b x0 bm

• La pendiente (m) es la inclinación de la recta respecto del eje x y se determina con el ángulo

α

∧.

m tg α

∧ α

∧ arc tg m

y

x

R

b

RaízOrdenada al origen

x0

Ángulo deinclinación

4

y

x

1

3

y

x 2

2

y

x

4

y

x

45°

74


Escribir la ecuación explícita de cada una de las siguientes rectas.

Trazar la recta a partir de su ordenada al origen y de su pendiente. Hallar analíticamente la raíz.

a) = −y 25

x 1 b) = − +y 43

x 2 c) = − −y 2x 1

21

20

Teoría

Gráfico de una función lineal

Hallar la ecuación explícita de la recta que tiene una inclinación de 45° y pasa por el punto (2 ; 5).

Desafío

22

Para graficar una función lineal a partir de su ecuación explícita y mx b, se utiliza la construcción de la figura.

El ángulo de inclinación α∧ es igual al ángulo β

∧

por ser correspondientes entre paralelas.

m tg α∧ tg β

∧

yx

1

1

a) R : y 23

x 2 m 23

y1

x1

b) S : y 4x 1 m 41

y1

x1

c) T : y 12

x + 3 m 12

y1

x1

23

x 2 0 x 2 32

x0 3 4x 1 0 x0 14

12

x + 3 0 x 3 . 2 x0 6

x

y

x

y

x

y

a) b) c) d)

x

y

b

x1

y1

y

x

22

3

x0

R y

x

1

1

4

x0

Sy

xT

2

3 1

x0

2

3

y

x

3

1

3

y

x

2

1

3

y

x

2

3

4

y

x

75


Rectas paralelas y perpendicularesTeoría

a) Paralela a la recta R y que pase por el punto

3 ; 1 .

b) Perpendicular a la recta S y que pase por el

punto 1 ; 5 .

a) y 2x 1= + y 2x 5= +

b) y 13

x 5= − y 3x 8= +

c) y 2x 4=− − y 12

x 3= +

d) y x 1=− + y 5 x= −

e) y 16

x 4= + y 7 6x= −

f) y 2 23

x=− + y 32

x 6= +

a) Paralela a y 3x 4 y que pase por 1 ; 3 .

b) Perpendicular a = −y 12

x 5 y que pase por

3 ; 2 .

c) Paralela a 4x 5y 1 y que pase por el origen

de coordenadas.

d) Perpendicular a x 3y 1 0 y que su raíz sea 2.

Trazar la recta pedida en cada caso.

Completar con , o según corresponda.

Plantear y hallar la ecuación de la recta pedida en cada caso.

23

24

25

Dos rectas en un plano pueden ser paralelas ( ), perpendiculares ( ) u oblicuas ( ).

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.

Dos rectas son perpendiculares cuando sus pendientes son inversas y opuestas.

Si dos rectas no son paralelas ni perpendiculares, entonces, son oblicuas.

x

y A

Bb1

b2

x

y

b1

b2

C

DA : y1 mx b1

B : y2 mx b2A B

C : y1 mx b1

D : y2 1m

x b2A B

y

x

1

1

y

x

1

1

76


a) M: paralela a la recta que pasa por 1 ; 5

y 2 ; 7 , y que pase por 3 ; 2 .

b) T: perpendicular a la recta que pasa por 3 ; 0

y 6 ; 3 y que pase por 2 ; 2 .

Plantear y hallar la ecuación de la recta que cumpla con las condiciones pedidas.

Observar el gráfico y hallar la ecuación de la recta pedida y su raíz.

a) Recta M.

b) Recta E.

27

26

Teoría

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

El triángulo abc tiene por vértices los puntos a 1 ; 1 y b 3 ; 3 .

Determinar analíticamente un punto c para que el triángulo sea rectángulo.

Desafío

28

Por dos puntos cualquiera del plano, pasa una sola recta.La recta A pasa por los puntos a = ( 2 ; 1 ) y b = ( 1 ; 5 ). x1 y1 x2 y2

La ecuación de la recta es y = mx + b, por lo tanto:

1 2m b b 1 2m 5 1m b b 5 m

1 2m 5 m3 m 6m 2

b 5 2 3A : y 2x 3

5

2

1

1

x

y

a

b

A

M

E

2

1

1

5

7

3 4

2

y

x

77


Repaso

Hallar la raíz y la ordenada al origen de las siguientes rectas.

a) x y 3 b) x 3y 6 c) 2y x 2 d) 3y 2x

4 1

Graficar las siguientes funciones a partir de la ordenada al origen y la pendiente.

a) = − +y x 5 b) = −y 23

x 2 c) = − +y 43

x 1

Escribir la ecuación explícita de las siguientes rectas y hallar su raíz.

Colocar , o según corresponda.

29

30

31

32

x

y

x

y

x

y

a) b) c)

a) = − +y x 1 − =y x 4

b) + =3x y 4 = +3y x 5

c) + =2x 3y 5 = +y 2x 7

d) + =x 4y

31 = +y x 1

4

e) + =3y 5x 2 − =x y

35

f) + − =x 13

y 2 0 = −y 1 6x2

3

1

4

y

x

4

5

y

x

2

3

5

y

x

78


Trazar la recta pedida en cada caso.

a) Paralela a la recta A y que pase por el punto

2 ; 3 .

b) Perpendicular a la recta B y que pase por el

origen de coordenadas.

a) Es paralela a R y pasa por m. b) Es perpendicular a F y pasa por s.

a) Tiene pendiente 12

y pasa por 4 ; 1 .

b) Es paralela a = −y x 43

y pasa por 6 ; 3 .

c) Es perpendicular a y 1 4x y pasa por 8 ; 5

d) Pasa por 4 ; 10 y 2 ; 1 .

Hallar la ecuación de las rectas que cumplen con las siguientes condiciones.

Hallar la ecuación de la recta pedida en cada caso.

33

34

35

x

y

B

x

y

A

R

m

3

5 1

4

7

2

y

x

F

s

6

4

3

2

3

y

x

8

79


Función de proporcionalidad directaTeoría

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente entre ambas es siempre un mismo valor k.Un automóvil que se desplaza a una velocidad constante de 90 km

h .

kyx

901

1802

2703

3604

4505

y 90x

La función de proporcionalidad directa es una recta que pasa por el origen de coordenadas y su pendiente es k.

Tiempo en horas Distancia recorrida en km

x y1 90

2 180

3 270

4 360

5 450

Las siguientes tablas corresponden a funciones de proporcionalidad directa.

Hallar la constante k, la fórmula de cada una, completar las tablas y graficar.

a)

x y

1

3 12

4

5

6

b)

x y

2 1

4

8

10

6

b) ¿Cuántos litros arroja en 23 minutos?

c) ¿Y cuántos, en 2 horas y media?

d) ¿Cuánto tarda en arrojar 1 400 litros?

e) ¿Y cuánto, en arrojar 2 450 litros?

a) Un automóvil recorre 200 km con 16 litros

de combustible. ¿Cuántos kilómetros puede

recorrer con 30 litros de combustible?

b) Para preparar pan, cada 12 kg de harina se

necesitan 336 g de levadura. ¿Cuánta levadura

se necesitan para 25 kg de harina?

Una bomba que arroja siempre la misma cantidad de agua llena una pileta de 9 000 litros en 6 horas.

a) Hallar la función que permita calcular la cantidad y de litros de agua que arroja la canilla en

x minutos.

Calcular y responder.

Plantear la proporción y resolver.

36

37

38

y 90x

x

y

1 2 3 4 5 6

90

180

270

360

450

540

y

x

y

x

80


Función de proporcionalidad inversaTeoría

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto entre ambas es siempre un mismo valor k.Para vaciar una pileta de natación, se utilizan varias bombas que arrojan la misma cantidad de agua.

y . x k y kx

k 5 . 8 2 . 20 10 . 4 8 . 5 4 . 10 40 y 40x

La función de proporcionalidad inversa es una hipérbola.

Hallar la constante k, la fórmula de cada una, completar las tablas y graficar.

a)

x y

2

3 8

4

1

6

b)

x y

3

4 3

6

12

1

b) ¿Cuál es la distancia del trayecto?

c) ¿A qué velocidad debe ir para llegar en 9 horas?

d) ¿Y para llegar en 7 h 12 min?

e) ¿Cuánto tarda en llegar a 120 kmh

?

a) Una máquina coloca etiquetas y funciona

15 h diarias durante 4 días. ¿Cuántos días

tardará la máquina en colocar la misma

cantidad de etiquetas si funciona 12 h diarias?

b) Una persona recorre un trayecto dando 60

pasos iguales de 80 cm cada uno. ¿Cuántos

pasos iguales de 75 cm tendrá que dar para

recorrer el mismo trayecto?

Un tren tarda 8 horas en recorrer un trayecto a una velocidad constante de 90 kmh

.

a) Hallar la función que permita calcular la velocidad y del tren que tarda x horas en recorrer el

trayecto.

Calcular y responder.

Plantear, a partir de la definición de magnitudes inversamente proporcionales, y resolver.

39

40

41

y

x

y

x

Tiempo en que se vacía la pileta (en horas)

Cantidad de bombasnecesarias

x y

5 82 2010 48 54 10

8

10

5

4

10854 x

y

81


Sistemas de ecuaciones linealesTeoría

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos rectas de un plano. Resolver el sistema es hallar el punto donde estas rectas se cortan.Dos rectas en un plano pueden ser paralelas o incidentes (oblicuas o perpendiculares).

• Si las rectas son paralelas, no se cortan en ningún punto y el sistema no tiene solución.

• Si las rectas son incidentes, se cortan en un punto y ese punto es la solución del sistema.

El sistema es incompatible. El sistema es compatible determinado.

a)

=− +

= −

y x 5

y 52

x 2

b)

= +

=− −

y 2x 3

y 12

x 2

a)

+ =+ =

x y 1

y x 4

b)

+ =− =

3x y 5

y 3x 2

c)

= +

− =

y x 13

3y x 7

d)

= ++ =

4y x 8

y 4x 7

Trazar cada recta a partir de su ordenada al origen y pendiente, y hallar la solución gráfica.

Analizar las pendientes de las rectas de cada sistema y decidir si es compatible o incompatible.

43

42

x

y

C

D

y1

x1

o

x

y A

B

A B

C D o

S S x1 ; y1

x

y

x

y

82


a)

+ =−− =

2x y 6

y x 9

b)

− =+ =

x y 4

2y 3x 7

c)

y x

25

13

x y 6

− =

+ =

d)

+ =

− =

32

x 25

y 4

x 2y

27

a) Su diferencia es dos y la mitad de su suma

es nueve.

b) La tercera parte de su diferencia es dos, y su

suma es veinticuatro.

c) La sexta parte de su suma es cinco y el doble

de su diferencia es ocho.

d) Uno es la cuarta parte del otro, y la quinta parte

de su diferencia es tres.

Hallar el par de números que cumple con cada una de las siguientes condiciones.

Resolver analíticamente los siguientes sistemas.

Las ecuaciones de las rectas que contienen a los

lados de un triángulo son:

A : y 4x 1

B : y 12

x 8

C : y x 4

a) Trazar las rectas y marcar el triángulo.

b) Escribir los vértices del triángulo.

46

45

44

Hallar el valor de a para que el sistema sea incompatible.

− =+ =

6x 2y 1

ax 4y 7

Desafío

47

x

y

83


Repaso

a)

x y12 8

110 40

1,3 3

0,8 5

56

245

b)

x y65 9

0,134

45 6

6 45

245 36

c)

x y23 4

34 4,5

56 5

1, 1203

0,135

d)

x y2

15 2

0,1594

16 2,5

0,2103

150 0,3

e)

x y34 0,5

920

56

12 0,75

0,69

16

0,2532

a) Directamente

proporcionales

x y

2

0,3

23

12

65

38

b) Inversamente

proporcionales

x y

8

29

0,2

1,58916

c) Directamente

proporcionales

x y

5

1,6

4

35

0,8323

d) Inversamente

proporcionales

x y1445

258

0,375

0,5

152

a) La cantidad de agua que arroja una canilla y el tiempo que tarda en llenar un balde.

b) La edad de una persona y su peso.

c) La cantidad de artículos iguales que se compran y su costo.

d) El tiempo que dura un viaje y la distancia que se recorre a la misma velocidad.

e) La cantidad de agua que arroja una canilla y el tiempo que está abierta.

f) La longitud del lado de un cuadrado y su superficie.

g) El tiempo de un viaje en automóvil y su velocidad.

h) El diámetro de un círculo y su perímetro.

Colocar una D a las magnitudes directamente proporcionales y una I a las inversamente

proporcionales.

Hallar la constante k, la fórmula de cada función y completar las tablas.

Colocar en cada casillero DP, IP o NP según corresponda.

48

49

50

• DP: magnitudes directamente proporcionales.• IP: magnitudes inversamente proporcionales.• NP: magnitudes no proporcionales.

84


a) Cinco personas se hospedan 15 días en un

hotel y abonan una cierta cantidad de dinero.

¿Cuántos días se podrán quedar tres personas

si pagan lo mismo?

b) Una impresora tarda una hora y cuarto en

imprimir 6 000 folletos. ¿Cuántas horas va a

tardar en imprimir 3 600 folletos?

c) Con 5 bidones de 12 litros cada uno, se llenan

90 botellas de agua. ¿Cuántas botellas se podrán

llenar con 9 bidones de 20 litros cada uno?

d) Para pintar una pared de 15 m de largo y 2,4 m

de altura, se necesitan 18 litros de pintura.

¿Cuántos litros serán necesarios para otra pared

de 10,5 m de largo y 4 m de altura?

a) Si la diferencia entre dos números es 12, y el

menor es igual a las dos terceras partes del

mayor, ¿cuáles son los números?

b) En una caja, hay $ 139 en 35 billetes de $ 2 y $ 5.

¿Cuántos billetes de cada valor hay en la caja?

c) La suma de las edades de dos hermanos es 18,

y dentro de 3 años la edad del mayor será el

doble que la del menor. ¿Cuántos años tiene

cada uno?

d) En un corral, hay vacas y gallinas. Si se cuentan 30

cabezas y 76 patas, ¿cuántas vacas y gallinas hay?

a)

+ =− + =

2y x 1

x y 5 0

b)

+ =

− =

32

x y 5

x 2y

32

Plantear según la definición de magnitudes directa o inversamente proporcionales y luego resolver.

Resolver analítica y gráficamente los siguientes sistemas.

53) Plantear y resolver.

51

52

53

x

y

x

y

85


Integración

Escribir el dominio y la imagen de las siguientes funciones.

Decidir si las siguientes relaciones son o no funciones y justificar.

Observar el gráfico y responder.

a) ¿Cuáles son las raíces de la función?

b) ¿Cuál es su ordenada al origen?

c) ¿Cuál es la imagen de 3?

d) ¿Y cuál es la imagen de 1?

e) ¿Cuál es la preimagen de 6?

f) ¿Y cuál es la preimagen de 3?

Escribir los conjuntos de ceros, positividad y negatividad de las siguientes funciones.

a) R1 : Z Q =∧∧+

((R (R ))) 3x 77x+1

b) R2 : Z N =∧∧ (R (R x) xxx23

c) R3 : Z Z =∧∧∧ −−((R ( ))) xx332

d) R4 : Z N0 =∧∧ ((R (R ))) xx4

54

55

56

57

a) b) c)

a) b) c)

C0

C

C

C0

C

C

C0

C

C

4

6

3

1

3

y

x

4

3

6

4

2

y

x

2

5

5

1

32

y

x

5 1

4

6

2

2 6

y

x

x

y

4 1 x

y

2 3 x

y

1 2

5

86



a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) El o los intervalos donde es constante.

c) El o los puntos máximos y/o mínimos relativos.

Hallar la ecuación explícita de cada una las siguientes rectas.

Plantear y hallar la ecuación de la recta pedida en cada caso.

Completar las tablas, hallar la fórmula y graficar las siguientes funciones.

58

59

60

61

a) b) c) d)

a) Paralela a y 2x 7 y que pase por 1 ; 3 .

b) Perpendicular a ==yy 133

x 4x 4−− y que pase por

2 ; 1 .

c) Paralela a 2x 3y 1 y que pase por el origen

de coordenadas.

d) Perpendicular a x 2y 1 0 y que su raíz sea 3.

a) Proporcionalidad directa

x y

3 4

6

20

9

24

b) Proporcionalidad inversa

x y

3 12

4

36

6

18

6

6 4 2

5

1 4 7

6

3

y

x

3

3

y

x 2

2

2

y

x

2

4

1

y

x

5

1

3

2

y

x

y

x

y

x 87


Integración

Plantear según la definición de magnitudes directa o inversamente proporcionales y resolver.

Resolver analítica y gráficamente los siguientes sistemas.

Plantear el sistema y resolver.

62

63

64

a) Seis bombas iguales llenan el tanque de agua

de un edificio en 10 horas. ¿Cuántas bombas

habrá que apagar para llenar los tanques en

15 horas?

b) Para fertilizar un campo de 40 ha, se necesitan

5 bidones de 18 litros cada uno. ¿Qué cantidad

de fertilizante será necesario para un campo de

30 ha?

c) Con un rollo de alfalfa, se alimentan 18 caballos

durante 20 días. Si se agregan 12 caballos más,

¿para cuántos días alcanza el alimento?

d) Con 4 toneles de 780 litros cada uno, se llenan

4 160 botellas de vino. ¿Cuántas de esas botellas

se pueden llenar con 6 toneles de 920 litros?

a)

y 2y 2x 7 00

yy 2255

x 11 00

−22x ==

+ ++ +2255

xx ===

b)

2yyy 10 x4y 3x

466

+ =+ =10− =−=−−

a) Si la suma de dos números es 27 y la quinta

parte de uno de ellos es igual a la cuarta parte

del otro, ¿cuáles son los números?

b) Guillermo tiene $ 80 más que Pablo, y entre

los dos tienen $ 540. ¿Cuánto dinero tiene

cada uno?

c) En una alcancía, hay $ 7 en 34 monedas de

$ 0,10 y $ 0,25. ¿Cuántas monedas de cada valor

hay en la alcancía?

d) En una fiesta, hay 132 personas. Si el doble de la

cantidad de mujeres supera en 18 a la cantidad

de hombres, ¿cuántos hombres y mujeres hay?

x

y

x

y

88


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